Chapitre 2: Les ondes mécaniques Exercices · Chapitre 2: Les ondes mécaniques Exercices E1. On cherche les longueurs d’onde associées à des fréquences d’ondes électromagné-tiques

Chapitre 2 : Les ondes mécaniques

Exercices

E1. On cherche les longueurs d’onde associées à des fréquences d’ondes électromagné-

tiques. Selon l’équation 2.5c, la relation entre la vitesse de propagation de ces ondes¡ = 3× 108¢, leur longueur d’onde et leur fréquence est = de sorte que =

(a) Pour la bande AM, on donne min = 550 kHz et max = 1600 kHz, de sorte que

min =

max= 3×108

1600×103 = 188 m et max =

min= 3×108

550×103 = 545 m

L’intervalle de longueurs d’onde va de 188 m à 545 m .

(b) Pour la bande FM, on donne min = 88 MHz et max = 108 MHz, de sorte que

min =

max= 3×108

108×106 = 278 m et max =

min= 3×108

88×106 = 341 m

L’intervalle de longueurs d’onde va de 278 m à 341 m .

E2. On cherche la fréquence du signal enregistré sur le microsillon. Lorsque le microsillon

tourne à raison de r =33 1

3tours

min× 2 rad

1 tour× 1 min

60 s= 349 rad/s, l’ondulation présente

sur la circonférence ( = 15 cm) est équivalente à une onde sinusoïdale progressive de

longueur d’onde = 12 mm. On calcule la vitesse de propagation de cette onde au

moyen de l’équation 11.5 du tome 1 :

= r = 349 (015) = 05235 m/s

Au moyen de l’équation 2.5c, on obtient

= =⇒ = = 05235

12×10−3 = 436 Hz

E3. L’onde transversale, de forme sinusoïdale, se propage à = 40 cm/s vers la droite et, en

observant la figure 2.28 du manuel, on obtient les autres données nécessaires.

(a) Comme = 4 cm, on obtient au moyen de l’équation 2.5c

= = 040

4×10−2 = 100 Hz

(b) Selon le paragraphe qui précède dans le manuel l’équation 2.5b, la phase à une position

quelconque de l’onde est fixée par 2¡

¢.

Si la distance entre deux points est ∆ = 25 cm, la variation de phase entre ces deux

points est donnée par

∆ = 2¡∆

¢= 2

³25×10−24×10−2

´= 393 rad

(c) Selon le paragraphe qui précède dans le manuel l’équation 2.5a, la phase de l’onde à un

instant quelconque est fixée par 2¡

¢et la période de l’onde est = 1

= 1

100= 01 s.

32 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 2 : Les ondes mécaniques v5

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En un point donné, si la variation de phase est de ∆ = 3rad, le temps écoulé est

∆ = 2¡∆

¢=⇒ ∆ = ∆

2=

010(3 )2

= 0106= 00167 s

(d) Chaque particule de la corde subit un mouvement harmonique simple. Comme on le voit

à la figure 1.3, lorsque la position d’une particule est nulle, sa vitesse est maximale et

donnée par ± selon l’équation 2.9. Comme l’onde se propage vers la droite, le pointP se déplace vers le bas à l’instant représenté. Si l’amplitude de l’onde est = 2 cm, on

en conclut, au moyen de l’équation 2.5a, que

= − = −¡2

¢ = −

³2010

´ ¡2× 10−2¢ = −126 m/s

E4. La fréquence du signal sonore enregistré sur le microsillon est = 1× 104 Hz. On donne = 15 cm, le rayon du microsillon, et r =

33 13tours

min× 2 rad

1 tour× 1 min

60 s= 349 rad/s, sa

vitesse de rotation.

(a) À = 145 cm, la vitesse tangentielle d’un point sur le disque est donnée par l’équation

11.5 du tome 1 :

= r = 349 (0145) = 0506 m/s

L’ondulation présente sur le microsillon à ce rayon est équivalente à une onde sinusoïdale

progressive de fréquence = 1 × 104 Hz. Sa longueur d’onde est donnée par l’équation2.5c :

= =⇒ = = 0506

1×104 = 506× 10−5 m

(b) L’onde sinusoïdale progressive gravée sur le disque et le son qui lui est associé possèdent

la même fréquence, mais leur vitesse diffère.

Dans le cas du son, pour lequel s = 340 m/s, la longueur d’onde est, selon l’équation

2.5c

= = 340

1×104 = 340× 10−2 m

E5. Étant donné les deux vitesses de propagation, S = 5 km/s et P = 8 km/s, le délai

d’arrivée ∆ = 18 min entre les deux ondes s’exprime en fonction de la distance ∆

entre l’épicentre et la station d’observation :

∆ = ∆S− ∆

P= ∆

³1S− 1

P

´= ∆

³P−SSP

´=⇒ ∆ = ∆

³SPP−S

´=⇒

∆ =¡18 min × 60 s

1 min

¢ ³5(8)8−5´= 144× 106 m

E6. On donne = 25 g et = 3 m; donc, = = 25×10−3

3= 833× 10−3 kg/m.

Avec = 40 m/s et l’équation 2.1, on trouve

v5 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 2 : Les ondes mécaniques 33


=q

=⇒ = 2 =

¡833× 10−3¢ (40)2 = 133 N

E7. On donne = 20 m/s, = 30 N et = 75 m. Si on combine = avec l’équation 2.1,

on trouve

=q

=⇒ 2 =

=⇒ =

2=⇒

=

2=⇒ =

2=

(75)(30)

202= 0563 kg

E8. Pour 1 = 15 N, on a 1 = 28 m/s et on cherche 2 pour que 2 = 45 m/s. Selon

l’équation 2.1, on sait que = 2, ce qui permet d’établir le rapport des tensions et de

trouver directement l’inconnue, soit

21=

2221

=⇒ 2 = 1

³2221

´= 15

³452

282

´= 387 N

E9. (a) Si on combine les équations 2.1 et 2.5c, on peut établir une relation entre la fréquence

la longueur d’onde et le module de la tension dans la corde :q= = =⇒ = 1

q

Soit 1 1 et 1 les valeurs initiales de ces trois paramètres. Comme il s’agit de la même

corde, le terme n’est pas modifié. Si 2 = 21 et que 2 = 1 le rapport entre les

valeurs finales et initiales donne

21=

12

q2

11

q1

= 12

q21= 1

1

q211

=⇒ 21= 141

(b) Selon l’équation 2.5c, la vitesse de propagation et la fréquence sont directement propor-

tionnelles, de sorte que

21= 141

E10. On donne = 2 cm/s pour la vitesse de propagation de l’impulsion sur la corde.

(a) Chaque figure montre la déformation réelle de la corde en trait plein. L’impulsion initiale

continuant d’avancer au delà de l’extrémité et l’impulsion imaginaire se déplaçant vers

la gauche sont représentées en traits pointillés. Les échelles horizontale et verticale sont

graduées en centimètres.



(b) La vitesse moyenne de la particule pendant sa montée est donnée par l’équation 3.3 du

tome 1. La particule se déplace de ∆ = 1 cm pendant que l’impulsion progresse vers

l’avant de ∆ = 1 cm, ce qui correspond à un délai en temps de ∆ = 05 s. Ainsi

moy =∆∆= 1 cm

05 s= 200 cm/s

E11. On donne = 2 cm/s pour la vitesse de propagation de l’impulsion sur la corde.

(a) Chaque figure montre la déformation réelle de la corde en trait plein. L’impulsion initiale

continuant d’avancer au delà de l’extrémité et l’impulsion imaginaire se déplaçant vers

la gauche sont représentées en traits pointillés. Les échelles horizontale et verticale sont

graduées en centimètres.



(b) La vitesse moyenne de la particule pendant sa descente est donnée par l’équation 3.3 du

tome 1. La particule se déplace de ∆ = −1 cm pendant que l’impulsion progresse vers

l’avant de ∆ = 2 cm, ce qui correspond à un délai en temps de ∆ = 10 s. Ainsi

moy =∆∆= −1 cm

10 s= −100 cm/s

E12. Dans le logiciel Maple, on définit l’expression de la fonction d’onde de l’impulsion :

restart;

y:=5/(2+(x-2*t)^2);

(a) On fixe la valeur de et on trace le graphe demandé sur un intervalle pour allant de 0

à 10 cm :

t:=2;

plot(y,x=0..10);

(b) On change la valeur de et on relance la commande qui trace le graphe :

t:=3;

plot(y,x=0..10);

Le nouveau graphe permet de constater que le sommet de l’impulsion a avancé de

∆ = 2 cm, ce qui est concorde avec = 2 cm/s.

(c) Non , l’équation mathématique choisie ne représente pas parfaitement une impulsion

puisque, si on élargit l’intervalle sur l’axe des dans l’un ou l’autre des deux graphes,

on constate que la déformation de la corde s’approche de 0, mais ne devient nulle que



pour −→ ±∞. Ce résultat implique que l’impulsion décrite par l’équation possède unelargeur infinie .

E13. Soit la forme suivante d’une impulsion à = 0 :

(; 0) = 2×10−34−2

On cherche la fonction d’onde de l’impulsion dont la vitesse de propagation est de 12 m/s

dans la direction des négatifs. On substitue pour ce faire l’argument (+ ) à , où

= 12 m/s pour que l’onde progresse selon les négatifs :

(; 0) = 2×10−34−(+12)2

où est en mètres et en secondes.

E14. Selon l’énoncé, la crête se trouve en = 0 lorsque = 0. À partir de la figure 2.31, on

en conclut que l’onde se déplace vers la droite et on cherche une expression de la forme

(; ) = sin (− + ), où = 002 m. Toujours selon l’énoncé et la figure 2.31,

on conclut aussi que = 0075 m et = ∆∆= 0012

03= 004 m/s, ce qui implique que

= 2 = 2 004

0075= 335 rad/s

= 2= 2

0075= 838 m−1

Si la crête se trouve à = 0 à l’instant = 0 on obtient = 2, et la fonction d’onde

s’écrit

= 00200 sin¡838− 335+

2

¢où et sont en mètres et en secondes.

E15. Une onde sinusoïdale progressive sur une corde s’exprime par

(; ) = sin (− ).

(a) La pente de la corde en fonction de est

= cos (− )

(b) La valeur maximale de la pente est³

´max

= , la vitesse de propagation de l’onde est

= , et le module de la vitesse maximale d’une particule sur la corde est ()max =

Puisque = = (), on obtient ()max = ³

´max

E16. Dans le logiciel Maple, on définit d’abord l’expression de la fonction d’onde :

restart:

y:=’3.2*cos(0.2*x-50*t)’;

On définit ensuite 1 la forme de cette expression à 1 = 0 s, et 2 à 2 = 01 s :

y1:=subs(t=0,y);



y2:=subs(t=0.1,y);

On trace finalement le graphe superposé de ces deux expressions :

plot([y1,y2],x=0..50,color=[blue,red]);

(a) Le graphe permet d’observer que la crête se trouvant à = 0 cm lorsque 1 = 0 s s’est

déplacée de ∆ = 25 cm vers la droite. Comme ∆ = 01 s, on en conclut que

= ∆∆= 25 cm

01 s= 250 m/s

(b) On note dans le graphe que = 10 cm Selon le paragraphe qui précède dans le manuel

l’équation 2.5b, la phase à une position quelconque de l’onde est fixée par 2¡

¢. Si la

variation de phase entre deux points correspond à ∆ = 23 on obtient

∆ = 2¡∆

¢=⇒ 2

3= 2

¡∆

¢=⇒ ∆ =

3= 10 cm

3= 0105 m

E17. Une onde sinusoïdale progressive est décrite par

= 24 cos¡20(05− 40)¢ = 24 cos ¡

40− 2¢

où et sont en centimètres, et en secondes.

(a) Le module de la vitesse maximale d’une particule est

= 2 (24) = 151 cm/s

(b) L’équation générale de la vitesse d’une particule est

== −24 (−2) sin ¡

40− 2¢ = 24 (2) sin ¡

40− 2¢

Pour = 15 cm et = 025 s, on calcule

= 24 (2) sin¡40(15)− 2 (025)¢ =⇒ || = 150 cm/s

(c) Le module de l’accélération maximale d’une particule est

2 = (2)2 (24) = 947 cm/s2

(d) L’équation générale de l’accélération d’une particule est

== −24 (−2)2 cos ¡

40− 2¢ = −24 (2)2 cos ¡

40− 2¢


= −24 (2)2 cos¡40(15)− 2 (025)¢ = −111 cm/s2

(e) Dans le logiciel Maple, on définit l’expression de la fonction d’onde et la valeur du temps,

et on trace le graphe de pour allant de l’origine à 3 cm :

restart:

y:=’2.4*cos(Pi*x/40-2*Pi*t)’;

t:=0.25;

plot(y,x=0..3);



Comme la particule se trouve au-dessus de l’axe des à l’instant représenté, on en conclut

que l’accélération qu’elle subit doit être négative, si elle doit revenir vers le bas.


= 003 cos (24− 12+ 01)où et sont en centimètres, et en secondes.

(a) On calcule la fréquence, soit = 2= 12

2= 191 Hz

(b) On calcule la vitesse de propagation, soit = = 12

24= 500 cm/s

(c) On note l’amplitude, soit = 00300 cm

(d) L’équation générale de la vitesse d’une particule est

== (12) (003) sin (24− 12+ 01)


= (12) (003) sin (24 (15)− 12 (02) + 01) = 0272 cm/s

(e) Le module de l’accélération maximale d’une particule est

2 = (12)2 (003) = 432 cm/s2

E19. Une onde progressive doit présenter un argument qui est linéaire par rapport aux variables

et . Autrement dit, cet argument doit prendre la forme d’un binôme + , où

et sont des constantes. Les fonctions d’ondes progressives a, b, d, e respectent cette

contrainte.

E20. Une onde sinusoïdale possède une longueur d’onde = 20 cm et une période = 002 s.

(a) Selon le paragraphe qui précède dans le manuel l’équation 2.5b, la phase à une position

quelconque de l’onde est fixée par 2¡

¢. Si la distance entre deux points équivaut à

∆ = 8 cm, la variation de phase entre ces deux points est donnée par

∆ = 2¡∆

¢= 2

³8×10−220×10−2

´= 251 rad

(b) Selon le paragraphe qui précède dans le manuel l’équation 2.5a, la phase de l’onde à un

instant quelconque est fixée par 2¡

¢. En un point donné, s’il s’écoule ∆ = 0035 s, la

variation de phase durant ce délai en temps correspond à

∆ = 2¡∆

¢= 2

³0035002

´= 110 rad

Comme elle est supérieure à 2 cette valeur de déphasage est équivalente à

∆ = 110− 2 = 472 rad

(c) Dans le logiciel Maple, on définit l’expression d’une onde sinusoïdale d’amplitude



= 1 cm, de déphasage = 0 de longueur d’onde = 20 cm et de période = 002 s.

On choisit arbitrairement une onde se propageant vers la droite :

restart;

A:=1; phi:=0; lambda:=20; T:=0.02; k:=2*Pi/lambda; omega:=2*Pi/T;

y:=A*sin(k*x-omega*t+phi);

On trace le graphe demandé pour = 0 s :

plot(subs(t=0,y),x=0..lambda);

Le graphe confirme la réponse obtenue en (a).

(d) On trace le graphe demandé pour = 0 cm :

plot(subs(x=0,y),t=0..T);

Lorsqu’on l’examine à = 0035 s − = 0015 s, le graphe confirme la réponse obtenue

en (b).


= 002 sin(04+ 50+ 08)


(a) On calcule la longueur d’onde, soit = 2= 2

04= 157 cm

(b) On note le déphasage, soit = 0800 rad

(c) On calcule la période, soit = 2= 2

50= 0126 s

(d) On note l’amplitude, soit = 00200 cm

(e) On calcule la vitesse de propagation, soit = = 50

04= 125 cm/s

(f) L’équation générale de la vitesse d’une particule est

== (50) (002) cos (04+ 50+ 08)


= (50) (002) cos (04 (1) + 50 (05) + 08) = 0483 cm/s


= 004 sin(5− 2) = 004 sin(02− 2)

où et sont en mètres, et en secondes.


02= 314 m

(b) On calcule la période, soit = 2= 2

2= 314 s

(c) On calcule la vitesse de propagation, soit = = 2

02= 100 m/s



E23. On donne : la longueur d’onde, = 0025 m; la période, = 001 s; et l’amplitude,

= 003 m. Si l’onde se propage dans la direction des négatifs, on a

= sin¡2 +

2+

¢= 003 sin

³20025+

2001

+ ´= 003 sin (251+ 628+ )

À = 0 s et = 0 m, = −002 m, et donc−002 = 003 sin =⇒ = arcsin (−0667) =⇒ = 387 rad ou 555 rad

L’expression générale de la vitesse d’une particule est

== (003) (628) cos (251+ 628+ )

À = 0 s et = 0 m, on veut que 0 Dans l’expression de la vitesse, cela implique

que cos 0 On en déduit que = 555 rad, et l’expression de la fonction d’onde

devient

= 00300 sin (251+ 628+ 555)


E24. On donne : le nombre d’onde, = 01 rad/m; la vitesse de propagation, = 50 m/s; et

l’amplitude, = 005 m.

La fréquence angulaire équivaut à = = 01 (50) = 500 rad/s, et, si l’onde se propage

dans la direction des négatifs, on a

= sin (+ + ) = 00500 sin (0100+ 500+ )

À = 2 s et = 0 m, = 00125 m, et donc

00125 = 00500 sin (500 (2) + ) = 00500 sin (10 + ) =⇒sin (10 + ) = 00125

00500= 0250 =⇒

(10 + ) = arcsin(0250) =⇒ (10 + ) = 0253 rad ou 289 rad

L’expression générale de la vitesse d’une particule est

== (500) (00500) cos (0100+ 500+ )

À = 2 s et = 0 m, on veut que =

0 Dans l’expression de la vitesse, cela

implique que cos (10 + ) 0 Ainsi, des deux valeurs d’angles calculées plus haut, on

conserve 289 rad, dont le cosinus est négatif. On obtient alors pour :

(10 + ) = 289 =⇒ = 289− 10 = −711 radSelon la consigne présentée à la section 1.2 du manuel, la valeur de la constante de phase

doit être comprise entre 0 et 2 rad. Pour y arriver, on modifie le résultat obtenu en lui

ajoutant un multiple entier de 2. Ici, l’ajout de 2 ≈ 628 n’est pas suffisant, de sorte



qu’on obtient une valeur adéquate avec

= −711 + 2 (2) = 546 radet l’expression de la fonction d’onde devient

= 00500 sin (0100+ 500+ 546)


E25. Les différentes expressions équivalentes à = sin (− ) sont

(a) sin¡2(− )

¢(b) sin

¡2

¡− ¢¢

(c) sin ( (− ))

(d) sin¡2¡−

¢¢E26. Une onde stationnaire est décrite par = 40 sin(05) cos (30), où et sont en centi-

mètres, et en secondes.

(a) On calcule la fréquence, soit = 2= 30

2=⇒ = 477 Hz

On calcule l’amplitude de l’une ou l’autre des deux ondes progressives, soit

= 0042

=⇒ = 200 cm

On calcule la vitesse de propagation, soit = = 30

05=⇒ = 600 cm/s

(b) L’expression générale de la vitesse d’une particule est

== − (30) (40) sin(05) sin (30) = −120 sin(05) sin (30)

Pour = 24 cm et = 08 s, on obtient

= −120 sin(05 (24)) sin (30 (08)) = 101 cm/s

(c) Dans le logiciel Maple, on définit l’expression de la fonction d’onde et la valeur du temps,


restart;

y:=’4.0*sin(0.5*x)*cos(30*t)’;

t:=0.8;

plot(y,x=0..5);

Ce graphe ne permet pas de vérifier le signe de la vitesse. En effet, on ne sait pas si

la particule monte ou descend. Pour trouver la réponse, on superpose le graphe de la

fonction à 1 = 08 s et à 2 = 0801 s. Dans le logiciel Maple, on redonne au temps le

statut de variable et on crée le graphe superposé en intégrant un code de couleur :

t:=’t’;



plot([subs(t=0.8,y),subs(t=0.801,y)],x=0..5,color=[blue,red]);

Ce nouveau graphe permet de vérifier le signe de la vitesse.

E27. L’onde stationnaire a pour forme = 2 sin () cos ()

(a) On calcule 2 = 2 (002) = 004 m. On calcule la longueur d’onde, soit

= =

40 cm/s8 Hz

= 005 m. On calcule le nombre d’onde, soit = 2= 2

005= 126 rad/m,

et finalement la fréquence angulaire, = 2 = 2 (8) = 503 rad/s. L’expression de la

fonction d’onde devient

= 00400 sin(126) cos (503)


(b) La distance entre 2 nœuds est 2= 005

2= 250 cm

(c) Le déplacement maximal d’une particule en = 05 cm s’obtient en posant cos () = 1

donc max ( = 0005 m) = 00400 sin(126 (0005)) = 236 cm

(d) Dans le logiciel Maple, on définit l’expression de la fonction d’onde et on superpose son

graphe pour trois valeurs successives du temps :

restart;

y:=0.0400*sin(126*x)*cos(50.3*t);

lambda:=0.05;

T:=1/8.0;

y1:=subs(t=0.5*T,y);



plot([y1,y2,y3],x=0..2*lambda,color=[red,blue,green]);

On peut aussi créer directement une animation en faisant appel à la commande "animate",

issue de la librairie "plots". On procède en chargeant d’abord la librairie puis en lançant

la commande qui crée l’animation :

with(plots):

animate(y,x=0..2*lambda,t=0..T);

E28. On donne 2 = 450 Hz, pour le deuxième harmonique d’une corde de guitare de longueur

= 06 m et de densité de masse linéique = 00015 kg/m. On calcule le module de la

tension en combinant les équations 2.1 et 2.13 :

2 =22= 1

q=⇒ = 22

2 = (450)2 (06)2 (00015) = 109 N

E29. Les distances entre nœuds adjacents sont respectivement de 1 = 18 cm et de



2 = 16 cm.

(a) Puisque =2 on obtient 2 = 36 = 32 (2+ 1) d’où la solution, = 8 implique

que = 2=

8(36 cm)2

= 144 cm

(b) Si le module de la tension est = 10 N et que la densité de masse linéique équivaut à

= 4× 10−3 kg/m, on calcule ainsi la fréquence fondamentale :1 =

12

q= 1

288

q10

4×10−3 = 174 Hz

E30. Les fréquences des modes d’onde stationnaire consécutifs sont +1 = 600 Hz et

= 480 Hz.

(a) La fréquence fondamentale de la corde correspond à 1 = +1 − = 120 Hz

(b) On donne = 12 N et = 26×10−3 kg/m. On calcule d’abord la vitesse de propagation, =

q=q

1226×10−3 = 6794 m/s, puis la longueur de la corde, soit

= 21

= 67942(120)

= 0283 m

E31. On donne = = 005 (98) = 049 N et = 12×10−3 kg/m. On cherche à déterminerla longueur de corde lui permettant de résonner avec le diapason.

(a) Pour la fréquence fondamentale, 1 = 440 Hz, au moyen de l’équation 2.13, on calcule

1 =21

=⇒ 1 =21

= 121

q= 1

2(440)

q049

12×10−3 = 230 cm

(b) Pour le troisième harmonique, on calcule 3 = 31 = 689 cm

E32. On donne = 15 N et = 3×10−3 kg/m. Une onde stationnaire possède une amplitudedont la valeur est 2 = 2 × 10−3 m, et sa longueur d’onde correspond au double de ladistance entre deux nœuds, soit = 2 (012) = 024 m.

On calcule le nombre d’onde, soit = 2= 2

024= 262 m−1

On calcule la vitesse de l’onde, soit =q

=q

153×10−3 = 707 m/s.

On calcule la fréquence de l’onde, soit = = 707

024= 295 Hz, et la fréquence angulaire,

soit = 2 = 2 (295) = 185× 103 rad/s.L’équation générale d’une onde stationnaire est = 2 sin() cos (); donc

=¡200× 10−3¢ sin (262) cos ¡¡185× 103¢ ¢


E33. Pour une même tension le rapport des fréquences des deux fils est 21=q

12 Cependant,

pour une longueur de corde possédant une masse et une aire de section s = 2,

on peut établir une relation entre les densités de masse linéique et volumique :



= = = s = 2 =⇒ = s = 2

En fonction du rapport des rayons, 12= 2, et du rapport des masses volumiques,

12= 05

le rapport des fréquences devient

21=

r1

21

222

= 12

q12= 2√05 =⇒ 2

1= 141

E34. Deux cordes identiques (même ) ont un rapport des tensions de 12= 2 et un rapport

de longueur de 12= 1

3 On calcule ainsi le rapport des fréquences fondamentales :

12=

121

q1

122

q2

= 21

q12= 3√2 =⇒ 1

2= 424

E35. La fonction d’onde d’une onde stationnaire est

= 002 sin (03) cos (25) = 2 sin () cos ()



03=⇒ = 209 cm

On calcule la vitesse de propagation de l’onde, soit = = 25

03=⇒ = 833 cm/s

(b) Pour le troisième harmonique, la longueur de la corde est

3 = 3¡2

¢= 3

³209 cm

2

´= 314 cm

(c) La vitesse d’une particule est nulle à la position des nœuds, soit à = 0 3 23et ;

donc = 0 cm, 105 cm, 209 cm, 314 cm

E36. Lorsqu’on pince une corde de guitare dont la fréquence fondamentale est 1 = 320 Hz

de façon à réduire sa longueur d’un tiers, la longueur d’onde associée à cette nouvelle

fréquence fondamentale est 2 =213 mais la vitesse de propagation ne change pas. On

calcule la nouvelle fréquence fondamentale en établissant un rapport

2211

= =⇒ 2

1= 1

2=⇒ 2 =

321 =

32(320) = 480 Hz

E37. Une fonction d’onde vérifiant l’équation d’onde doit être de la forme (± ). Le cas

(a) satisfait cette exigence. Le cas (b) aussi, mais uniquement si (− ) 0

E38. On vérifie directement qu’une fonction d’onde = sin () cos () est une solution de

l’équation d’onde en calculant

22

= −2 sin () cos ()et, ensuite,

22

= −2 sin () cos () = − ¡ 12

¢2 sin () cos () =⇒

22

= 12

22

=⇒ CQFD

E39. On donne 0 = 0015 m, = 04 m, = 2 × 10−2 kg/m et = 30 m/s. On calcule la



fréquence angulaire, = = 2=

2(30)04

= 4712 rad/s, puis la puissance moyenne

fournie :

moy =12 (0)

2 = 12

¡2× 10−2¢ (4712)2 (0015)2 (30) = 150 W

E40. On donne moy = 3 W, = 30 Hz, = 15 m, = 0045 kg et = 40 N. On calcule

la densité de masse linéique, = = 0045

15= 3 × 10−3 kg, la vitesse de propagation,

=q

=q

403×10−3 = 1155 m/s, la fréquence angulaire,

= 2 = 2 (30) = 1885 rad/s, et, finalement, on trouve l’amplitude à l’aide de

l’équation 2.16 :

moy =12 (0)

2 =⇒ 0 =1

q2moy

= 11885

q2(3)

3×10−3(1155) = 00221 m

E41. On donne 0 = 0008 m, = 50 Hz, = 35× 10−3 kg/m et = 60 m/s.

(a) On calcule la fréquence angulaire, soit = 2 = 100 rad/s, et la puissance moyenne :

moy =12 (0)

2 = 12

¡35× 10−3¢ (100 (0008))2 (60) = 663 mW

(b) Pour doubler la puissance moyenne à fréquence constante, la vitesse doit doubler, donc

= 120 m/s, et le module de la tension nécessaire devient

= 2 =¡35× 10−3¢ (120)2 = 504 N

E42. On donne 1 = 275 N, 1 = 3 m/s et 2 = 36 m/s. On obtient le nouveau module de la

tension par le rapport suivant

21=

22

21=⇒ 2 =

22211 =

(36)2

32(275) = 396 N

E43. Cette figure indique la réponse



E46. On calcule la fréquence, = 24 osc.12 s

= 20 Hz, puis la vitesse de propagation,



= ∆∆= 270 cm

225 s= 120 cm/s, et enfin la longueur d’onde,

= = 600 cm

E47. (a) On donne = 2004

= 2, donc = 00400 m

On donne = 2005

= 2, donc = 00500 s

(b) On calcule ainsi la vitesse de propagation :

= = 00400

00500= 0800 m/s

(c) Le module de la vitesse maximale d’une particule est

= 2005

¡02× 10−4¢ = 251 mm/s

E48. On calcule le nombre d’onde, = 2= 2

003= 209 rad/s, et la fréquence angulaire,

= 2 = 2 (40) = 251 rad/s.

À = 0 et = 0 on précise que = 0 Dans l’équation générale d’une onde sinusoïdale

progressive se déplaçant dans le sens des négatifs, soit = sin (− + ), cette

condition entraîne que sin = 0 donc que = 2 Ainsi, on obtient

= 00600 sin¡209− 251+

2

¢où et sont en mètres, et en secondes.

E49. (a) On calcule la vitesse de propagation, = = 270

36= 75 m/s, puis la densité de masse

linéique, = 2= 018

(75)2= 320× 10−3 kg/m

(b) Le module de la vitesse maximale d’une particule est

= 270¡24× 10−3¢ = 0648 m/s

E50. (a) On donne = 2= 2

, donc = 400 m

On calcule ainsi la vitesse de propagation :

= =

42=⇒ = 0500 m/s

(b) On indique que = 03 sin¡2−

4¢. À = 0 cette équation devient = 03 sin

¡2¢,

ce qui se traduit par le graphe suivant :



À = 3 s, on obtient = 03 sin¡2− 3

4

¢. Comme l’onde avance à = 0500 m/s vers

la gauche, il suffit de reprendre le graphe précédent en décalant la courbe de

∆ = − = −0500(3) = −15 m, soit

E51. (a) On obtient facilement

=¡500× 10−3¢ sin (300) cos (420)


(b) Pour une valeur donnée de la position sur la corde, l’amplitude de l’onde stationnaire

prend une valeur maximale que l’on calcule ainsi :

max = sin() =¡500× 10−3¢ sin (300 (017)) = 463× 10−3 m

(c) On trouve un ventre chaque fois que sin() = ±1 donc lorsque = 23252, ou encore

lorsque =(2+1)

2dans laquelle ∈ N On peut modifier cette égalité et écrire que

=(2+1)2

=(2+1)

2(300)= (2+ 1) (005236)

La valeur la plus proche de 025 m s’obtient lorsque = 2 soit

= (2(2) + 1) (005236) = 0262 m

(d) Dans le logiciel Maple, on définit l’expression de la fonction d’onde et la valeur du temps,


restart;

y:=’5e-3*sin(30*x)*cos(420*t)’;

t:=0;

plot(y,x=0..0.30);

Ce graphe permet de vérifier les réponses obtenues en (a) et en (b). Toutefois, si on crée

une animation, la vérification s’avère plus facile. On y arrive en redonnant à le statut

de variable, en définissant la période en chargeant la commande « animate » et en

lançant cette commande sur le même intervalle pour et sur toute une période :

t:=’t’;



T:=2*Pi/420.0;

with(plots):

animate(y,x=0..0.30,t=0..T);

E52. (a) Comme on l’a vu à l’exercice 33, la densité de masse linéique peut être exprimée en

fonction de la masse volumique et de l’aire de la section du fil s, soit = s. Pour

= 2 la contrainte de traction devient

= s= 2

s= 2s

s= 2 =⇒ =

q=⇒ CQFD

(b) On calcule directement

=q

=

q4×1097860

= 713 m/s

E53. On utilise le résultat de l’exercice 33, = 2 avec

= 2 = 22 = (230)2 (7860)¡03× 10−3¢2 = 118 N

E54. On donne 1 = 120 m/s. On conserve la même tension et le même métal, mais on double

le rayon du fil, soit 2 = 21.

On combine le résultat de l’exercice 33, = 2 avec = 2, ce qui donne

= 2 = 22 =⇒ =q

2

On établit ensuite le rapport entre les vitesses finale et initiale :

21=q

22

q21= 1

2=⇒ 2 =

121 =

12(120) = 600 m/s

E55. (a) 2= ∆

=⇒ ∆ = 0191 m

(b) 2= ∆

=⇒ = 377 rad

E56. On donne 12= 07×10−3

05×10−3 = 140

(a) On utilise le résultat de l’exercice 33, = 2 avec les équations 2.1 et 2.13 pour établir

le rapport des fréquences fondamentales :

21=

2212

= 21=

q2q1

=q

12=

r2122

= 12= 140

(b) Comme on l’a vu en (a), si les cordes ont la même fréquence fondamentale, la vitesse de

propagation est la même, soit

21=

22

12 =

21=

2221

=2221=³

1140

´2= 0510

E57. (a) 2 =22

=⇒ = 2 = 480 m/s

(b) = =

2=⇒ =

2= 0911 g

E58. (a) = 32

=⇒ = 105× 103 Hz

= 3=⇒ = 0400 m



(b) On donne 2 = 2×10−3 m. On calcule le nombre d’onde, = 2= 2

4= 157 rad/m, et

la fréquence angulaire, = 2 = 2¡105× 103¢ = 660× 103 rad/s. On obtient ainsi

=¡200× 10−3¢ sin (157) cos ¡¡660× 103¢ ¢


(c) =¡100× 10−3¢ sin ¡157± ¡660× 103¢ ¢


E59. On donne12= 1

2 Avec les équations 2.1 et 2.13, on établit le rapport des fréquences

fondamentales :

21=

2212

= 21=

q2q1

=q

12

=⇒ 2 = 1

q12= (180)

q12= 127 Hz

E60. (a) 1 =2

=⇒ = 21 = 132 m/s

(b) = 2 = 523 N

E61. = 2

=⇒ 21= 1

2=⇒ 2 = 1

21= 0450 m

On produit le son demandé en appuyant à 150 cm du bout .

E62. On calcule la vitesse de propagation, =q

=

q= 800 m/s, et les fréquences sont

obtenues grâce à l’équation 2.13, =2

Pour 1 2 et 3, on obtient 160 Hz, 320 Hz, 480 Hz .

E63. 3 =32= 3

2

q=⇒ = 161× 10−3 kg/m

E64. 21=q

21

=⇒ 2 = 287 N

E65. =q

= 553 m/s =⇒ 3 =

32= 593 Hz

E66. (a) = 2= 3 m =⇒ ∆ = 150 m

(b) = − sin () cos () = −0145 m/sE67. (a) = 00600 sin (628) cos (314)


(b) = où ∈ N =⇒ = 0500 m, 100 m

(c) =(2+1)

2où ∈ N =⇒ = 0250 m, 0750 m

(d) = 00600 sin¡28

¢= 424× 10−2 m

E68. Puisque = 24 ms et = = 037 m, on obtient

=¡300× 10−3¢ sin (170± 262)


E69. Selon l’exercice 33, = s. On a donc



= 2= 1

2

qs

=⇒ = (2)2 s =⇒21=

(22)2s2

(21)2s1

=22s2

21s1

Selon la donnée, s2 = 2s1 1 = 320 Hz et 2 = 400 hz. Ainsi,

21=

(400)2(2s1)

(320)2s1= 313

E70. Selon l’exercice 33, = s; donc

3 =32= 3

2

qs

=⇒ =³23

´2s = 889 N

E71. Soit = 1 + 2 = 2 sin¡84+

6

¢cos (50) Les nœuds se produisent lorsque

84+ 6= , où ∈ N =⇒ = 0312 m, 0686 m

E72. On sait que = 2= 1

2

q

(a) ∝ 1=⇒ = 08001

(b) ∝ 1√=⇒ = 1121

(c) ∝√ =⇒ = 1091

(d) = (08) (112) (109) 1 = 09771

E73. = 2= 5× 10−3 kg/m =⇒ = 1

2 ()2 = 568 mW

E74. On calcule = 2= 251 rad/s; puis =

= 16m/s, donc = 1

2 ()2 = 806 mW

E75. On calcule =q

= 707 m/s. Comme = 1

2 ()2 on obtient = 276 mm

E76. On calcule = = 125 m/s; donc = 1

2 ()2 = 144 mW

Problèmes

P1. La contrainte de traction du fil d’acier équivaut au rapport entre le module de la tension

dans le fil et son aire de section s : =s= 2× 108 N/m2. La masse volumique de

l’acier est de = 7860 kg/m3. Selon l’exercice 33, = s; donc

=q

=q

s

=q

= 160 m/s

P2. (a) On sait que = 2

q En dérivant par rapport à on obtient

=

2

q1

³121√

´=

2

q

¡121

¢=⇒

=

2

Pour une faible variation du module de la tension, on obtient

∆ = ∆ =⇒ ∆ =

2∆ =⇒ ∆

= 05∆

=⇒ CQFD

(b) Si = 400 Hz et que le module de la tension est abaissé de 3 % on arrive à

∆= −003 =⇒ ∆ = 05 ∆

= −6 Hz =⇒ 0 = +∆ = 394 Hz

(c) Si la fréquence fondamentale varie de 260 Hz à 262 Hz, le module de la tension doit

augmenter de



∆= 2∆

= 2

¡2260

¢= +154 %

P3. Le fil va cesser d’être en contact avec la corde lorsque lorsque le module de l’accélération

maximale de la parcelle de corde qui supporte le morceau de fil devient supérieur au

module de l’accélération gravitationnelle, ()max . Lorsque cela se produit, la corde

se dérobe sous le fil plus rapidement qu’il ne peut tomber. On calcule la valeur limite de

l’amplitude en supposant que la valeur maximale de l’accélération a été atteinte :

()max = =⇒ 2 = =⇒ (21)2 = =⇒ =

4221

P4. On calcule la vitesse de propagation avec l’équation 2.5c, soit = solsol = 2509 m/s.

Comme 1 =2 on trouve la longueur de corde d’une note avec =

21:

la =2la

= 570 cm

si =2si

= 508 cm

do =

2do= 479 cm

ré =2ré

= 427 cm

P5. (a) Pour une onde de faible amplitude, on calcule la puissance transmise de proche en proche

par la projection de la tension dans la direction du déplacement de la particule, soit

verticalement. Si = sin on a

= = sin

(i)

Si l’amplitude est faible et parce que la pente est négative à la figure 2.34, on peut affirmer

que sin ≈ tan = −. Avec ce remplacement, l’équation (i) devient

= ³−

´

=⇒ = −

=⇒ CQFD

(b) Si = sin (− ), on a = − cos (− ) et

= cos (− ), que l’on

insère dans le résultat de la partie (a) :

= −

= − ( cos (− )) (− cos (− )) =⇒

= 2 cos2 (− ) =¡2

¢2¡

¢ cos2 (− ) =⇒

= ()2 cos2 (− ) (ii)

Pour une certaine valeur de la position, durant une période, la valeur moyenne de

cos2 (− ) est de 12 Avec ce résultat, on exprime la valeur moyenne de la puissance

transmise au moyen de l’équation (ii) :

moy = = ()2 cos2 (− ) = 12 ()2

Ce résultat est identique à l’équation 2.16.



P6. Soit la position d’un élément de la corde de longueur mesurée à partir de l’extrémité

inférieure. Le module de la tension dans la corde augmente linéairement à partir de

l’extrémité inférieure, ce qui permet d’exprimer la vitesse de propagation d’une onde

comme une fonction de la position :

= = () =⇒ =q

=√

Comme = on a = 1

= 1√

, et le temps que prend une impulsion pour aller

de l’extrémité inférieure à l’extrémité supérieure est donné parR0

=R0

1√ =⇒ =

h2q

¯̄̄0=⇒ = 2

q=⇒ CQFD

P7. Selon l’équation (ii) du problème 5, pour une onde sinusoïdale progressive de forme

= sin (− ) la puissance instantanée transmise le long d’une corde s’exprime

comme suit

= ()2 cos2 (− )

En fonction de l’identité trigonométique sin2 + cos2 = 1 on voit que

= 0 =⇒ sin (− ) = 0 =⇒ cos2 (− ) = 1

Donc, est maximale lorsque = 0 =⇒ CQFD

À l’inverse,

= ± =⇒ sin2 (− ) = 1 =⇒ cos2 (− ) = 0

Donc, est minimale lorsque = ± =⇒ CQFD

P8. Si = 0 est un nœud et que = est un ventre, les valeurs possibles pour sont 4

34 54 74 soit =

(2−1)4

où ∈ N∗ de sorte que = 4(2−1) Les différentes valeurs

de fréquence sont données par

==

4(2−1)

=(2−1)4

où ∈ N∗

P9. Selon l’équation 14.5 du tome 1, le module de Young et la contrainte de traction

= ssont liés par = = ∆

Selon l’exercice 33, = s de sorte que la vitesse

de propagation est donnée par

=q

=q

s

=q

=⇒ =

q∆

=⇒ CQFD

P10. Pour une onde stationnaire, = 2 sin () cos (), et la vitesse d’une particule est

donnée par == −2 sin () sin (). Pour une parcelle de corde de masse

= l’énergie cinétique est donnée par

=2

2=

2(−2 sin () sin ())2 = 2 ()2 sin2 () sin2 ()



L’énergie cinétique par unité de longueur est donc

= 2 ()2 sin2 () sin2 ()

La valeur moyenne de sin2 () sur une période est de 12, de sorte que¡

¢moy

= 2 ()2 sin2 () sin2 () =⇒ ¡

¢moy

= ()2 sin2 () =⇒ CQFD

Pour la même parcelle de corde, l’énergie potentielle associée à l’étirement infinitésimal de

la corde est = (− ). On sait que =p2 + 2 =

r1 +

³

´2 Toutefois,

si l’amplitude est faible ¿ 1 et qu’on fait appel à l’approximation du binôme, qui veut

que (1 + ) ≈ 1 + lorsque ¿ 1 on obtient

=

µ1 +

³

´2¶12≈ +

2

³

´2et

= (− ) =

µ+

2

³

´2−

¶=

2

³

´2(i)

Avec = 2 cos () cos (), l’équation (i) devient

= 2(2 cos () cos ())2 = 2 ()2 cos2 () cos2 ()

L’énergie potentielle par unité de longueur est donc

= 2 ()2 cos2 () cos2 ()

La valeur moyenne de cos 2 () sur une période est de 12, de sorte que¡

¢moy

= 2 ()2 cos2 () cos2 () =⇒ ¡

¢moy

= ()2 cos2 () =⇒ CQFD

P11. (a) Comme = + on peut exprimer l’énergie mécanique moyenne par unité de longueur

en utilisant le résultat obtenu au problème 10 :¡

¢moy

=¡

¢moy

+¡

¢moy

= ()2 sin2 () + ()2 cos2 () (i)

Toutefois, comme 2 = 22 = 2, l’équation (i) devient¡

¢moy

= ()2¡sin2 () + cos2 ()

¢= ()2

Pour une corde de longueur l’énergie mécanique est

=¡

¢moy

=⇒ = ()2 =⇒ CQFD

(b) La distance entre 2 nœuds est de 2, et = 2 Sur une telle longueur, l’énergie

mécanique est

=¡

¢moy

2= (2)2

2= 22

¡

¢2 =⇒ = 222 =⇒ CQFD

P12. On donne = 06 m et = 2× 10−3 kg; donc = = 333× 10−3 kg/m et le module

de la tension est = 200 N. On calcule la vitesse de propagation, =q

= 245 m/s,

la longueur d’onde, = 2 = 12 m, et la fréquence, = = 204 Hz.

D’après le problème 11, avec = 1× 10−3 m, l’énergie mécanique dans la corde est



= ()2 = (2)2 =¡333× 10−3¢ ¡2 (204) ¡1× 10−3¢¢2 (06) = 328 mJ

Comme l’énergie est proportionnelle au carré de l’amplitude, si cette dernière diminue à

0 = 09 on trouve que 0 = 081 La moitié de la perte rayonne sous forme de son,

donc ∆son =0192

= 0095 L’autre moitié est perdue en chaleur ou en déformation

plastique comme, par exemple, dans l’usure des doigts du musicien !

L’émission du son s’effectue en ∆ = 01 s, ce qui correspond à une puissance sonore de

son =∆son∆

= 009501

= 312 mW

P13. D’après la section 2.10 et le problème 11, la densité d’énergie linéique s’exprime comme

= = 1

2 ()2. Toutefois, comme = 1

2 ()2 on obtient = =⇒ CQFD

P14. (a) La deuxième loi de Newton appliquée à la particule contient deux forces de rappel, l’une

dirigée vers la particule − 1, qui se trouve à gauche et l’autre dirigée vers la particulequi se trouve à droite, + 1. Si est la masse de la particule et sa position à tout

moment, on obtient

22

= − ( − −1) + (+1 − ) =⇒2

2= (+1 + −1 − 2) =⇒ CQFD

(b) La position d’équilibre de la particule est = , et on suppose que cette particule

oscille autour de cette position d’équilibre selon = sin ( − ). Si on utilise cette

expression pour les particules − 1 et + 1 dans le résultat obtenu en (a), on trouve−2 sin (− ) =

(sin ( (+ 1) − ) + sin ( (− 1) − ) + 2 sin (− )) (i)

Si on applique l’identité trigonométrique sin+sin = 2 sin¡+2

¢cos¡−2

¢aux deux

termes du centre, l’équation (i) devient

−2 sin (− ) = 2 sin (− ) (cos ()− 1)L’annexe E donne une autre identité trigonométrique, cos (2) = 1− 2 sin , qui permetde modifier le dernier terme à droite. Ainsi,

−2 sin (− ) = 2 sin (− )¡1− 2 sin ¡

2

¢− 1¢ =⇒−2 sin (− ) = −4 sin (− ) sin

¡2

¢=⇒

2 = 4 sin¡2

¢=⇒ 2 = 4

sin¡2

¢=⇒ CQFD

P15. (a) La loi de Hooke appliquée à de petites déformations du Slinky donne, si À 0

= (− 0) ≈ 0 =⇒ =q

=q

=⇒ =

q

=⇒ CQFD



(b) On trouve ∆ = =

q une quantité indépendante de la longueur. =⇒ CQFD

P16. (a) On pose

1 + 2 = 0 =⇒ 1 = −2 =⇒ 1

2+(2−3)2 =1

2+(2−3−6)2 =⇒2− 3 = ± (2− 3− 6) (i)

Comme on cherche un résultat indépendant du temps, on choisit = 0 de sorte que

±2 = 2− 6 et le seul résultat cohérent est = 150 m

(b) Comme on cherche un résultat indépendant de la position, on pose = 0, et l’équation

(i) devient ±3 = 3− 6, et le seul résultat cohérent est = 100 s

P17. On calcule la fréquence angulaire, = 2= 314 rad/s, puis la longueur d’onde,

= = 05 m, et le nombre d’onde, = 2= 126 rad/m, de sorte que, pour une onde

se déplaçant dans le sens des négatifs, on obtient

= sin(+ + ) = sin (126+ 314+ )

Et la vitesse d’une particule est donnée par

== 314 cos (126+ 314+ )

À = 0 et = 0

= 3× 10−3 = sin (i)

= −2 = 314 cos () =⇒ − 637× 10−3 = cos () (ii)

Si on additionne le carré de l’équation (i) avec le carré de l’équation (ii) et qu’on utilise

l’identité sin2 + cos2 = 1 on trouve = 704 × 10−3 m. Puis, en divisant l’équation(i) par l’équation (ii), on trouve = 270 rad, de sorte que

=¡704× 10−3¢ sin (126+ 314+ 270)




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Chapitre 2: Les ondes mécaniques Exercices · Chapitre 2: Les ondes mécaniques Exercices E1. On cherche les longueurs d’onde associées à des fréquences d’ondes électromagné-tiques