Physique 3 Vibrations linaires et ondes mcaniques

Physique 3Vibrations linaires et ondes mcaniquesLeon n4Les oscillations harmoniques1Introduction Je vous souhaite la bienvenue cette quatrime leon du cours de vibration et ondes mcaniques. Cette leon sintitule les Oscillations harmoniques et est divise en deux parties : le mouvement harmonique et lanalyse harmonique.Cette leon commence donc par donner des dfinitions sur le mouvement harmonique qui est le mouvement priodique le plus simple avec des solutions en sinus et cosinus, o la trajectoire x(t) est gale (-) fois lacclration. Nous donnerons bien sur cette partie toutes les dfinitions concernant ce genre de mouvement telles que la priode, la frquence; la phase. Nous dcrirons ce mouvement sous sa forme vectorielle et sa forme complexe. Nous utiliserons ces deux reprsentations (vectorielles et complexes) pour additionner deux fonctions harmoniques. Cette premire partie de la leon daujourdhui sur les mouvements harmoniques est plutt une rvision de concepts que vous avez dj vu. Ce qui peut tre diffrent pour la seconde partie que nous avons intitul Analyse harmonique et qui concerne les dveloppements en srie de Fourier de fonctions priodiques. Introduction Ces fonctions concernent soit le mouvement oscillatoire dun systme, soit la force extrieure applique au mouvement. Les dveloppements en srie de Fourier concerneront le cas gnral de fonctions priodiques et les cas particuliers de ces fonctions tels que les fonctions paires et impaires ou les extensions de demi-fonctions. Nous apprendrons calculer numriquement les coefficients des sries de Fourier, et des exemples utilisant Mathlab, auquel vous serez initi, vous seront donns. Nous traiterons bien sr des exemples qui vous aideront la comprhension de ce cours.3

Le mouvement harmoniqueType le plus simple de mouvement harmonique

Fig.1 : Exemple dun Oscillateur Harmonique

Un mouvement oscillatoire peut se rpter rgulirement comme dans le cas dun pendule simple, ou il peut montrer de considrables irrgularits, comme dans le cas de mouvements du sol durant un tremblement de terre. Si le mouvement est rpt aprs des intervalles de temps gaux, on appelle a un mouvement priodique. Le plus simple des mouvements priodiques est le mouvement harmonique. La figure montre un simple mouvement harmonique. Nous avons une baguette de rayon A, qui tourne autour dun point O. Lautre bout de la manivelle P glisse lintrieur dune baguette solidaire dun axe vertical R. Quand la manivelle tourne la vitesse angulaire , lextrmit S et donc la masse se dplace suivant :

Ce mouvement est mont par la courbe sinusodale de la figure.La vitesse de la masse m au temps t est donne par

et son acclration est donne par :

On voit donc que pour un mouvement harmonique lacclration est directement proportionnelle au dplacement et dirige en sens inverse.4

Reprsentation vectorielle du mouvement harmoniqueFig.2 : Montrant le mouvement harmonique rsultant de la projection de lextrmit dun vecteur en rotationLe mouvement donn par x = A cos t est autre exemple de mouvement harmonique simple. La figure montre clairement la similarit entre un mouvement cyclique et un mouvement sinusodale travers la projection sur les deux axes du vecteur en rotation. Donc un mouvement harmonique reprsente par un vecteur de longueur A en rotation une vitesse angulaire constante . La projection de lextrmit du vecteur sur laxe vertical est donne par et sa projection sur laxe horizontal est donne par 5

Reprsentation complexe dun mouvement harmonique Un vecteur dans le plan xoy peut tre reprsente par un nombre complexe

Si A est le module de et son angle avec laxe ox :

Fig. 3 : Reprsentation vectorielle par un nombre complexeReprsentations vectorielles et complexes :Les mouvements harmoniques peuvent tre reprsents par un vecteur de module A tournant a une vitesse angulaire constante w. Les projections sur les axes Ox et Oy de l'extrmit de ce vecteur tant, respectivement :

Tout vecteur dans le plan xOy peut aussi tre reprsent par un nombre complexe avec

Les composantes a et b sont aussi appeles les parties relles et imaginaires du vecteur, A est son module, et l'angle entre le vecteur et l'axe des x.

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Reprsentation complexe dun mouvement harmonique (suite)

Fig.4. : La rotation des vecteurs dplacement, vitesse et acclration.

Un vecteur en rotation peut tre exprim par un nombre complexe:

la driv de ce vecteur par rapport au temps donne

Ces quantits sont montres comme des vecteurs en rotation sur la figure 4. On peut voir que le vecteur vitesse de 90 qui devance le vecteur dplacement de 90.

7Un vecteur en rotation peut tre exprim par un nombre complexe:

la driv de ce vecteur par rapport au temps donne

Reprsentation complexe dun mouvement harmonique (suite) On peut crire :

Si le dplacement harmonique est donnes par x(t)=A sin t ; nous aurons :

Si l'origine, le dplacement est donn par Acost, nous prenons les parties relles des expressions complexes ci dessus:

Si lorigine, le dplacement est x(t)=Asin t, nous prenons les parties imaginaires des expressions complexes.8

Addition de Fonctions Harmoniques Soient

Le vecteur rsultant a pour magnitude

et pour phase :

La projection relle du vecteur somme scrit :

Les fonctions harmoniques peuvent tre additionnes. Si par exemple le module du vecteur rsultant et son angle a seront donns par (fig.4) :

et

comme les fonctions originales sont donnes comme les composantes relles, leur somme est donne par9

Addition de Fonctions Harmoniques (Suite) En utilisant des nombres complexes

Fig.5 : Addition Vectorielle de deux Fonctions Harmoniques

Cette somme peut tre aussi trouve en utilisant les nombres complexes

o les constantes A et sont donnes par les quations :

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Exemple 1: Mouvement HarmoniqueUn mouvement harmonique a une amplitude de 0,05 m et une frquence de 10Hz. Trouver la priode, la vitesse maximale et lacclration maximale.

Solution :

Cette somme peut tre aussi trouve en utilisant les nombres complexes

o les constantes A et sont donnes par les quations :

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Exemple 2 : Addition de deux Mouvements Harmoniques nonc :Trouver la somme des deux mouvements harmoniques suivants :

Fig.6 : Addition de deux vecteurs

Exemple 10 : Addition de deux mouvements harmoniques

Trouver la somme des deux mouvements harmoniques suivants :

Nous utiliserons trois mthodes diffrentes.12

Exemple 2 : addition de deux mouvements harmoniques (suite)

En utilisant des relations trigonomtriques, on exprime la somme par :

qui nous donne :

do :

en galant les coefficients correspondant de cos t et sin t des deux membres, on obtient

do :

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Deuxime mthode : en utilisant des vecteurs et une reprsentation graphique pour une valeur arbitraire de t, la somme graphique des deux vecteurs peut tre trouve comme tant :

Exemple 2 : Addition de deux Mouvements Harmoniques (Suite)

En utilisant les vecteurs:Pour une valeur arbitraire de t, les mouvements harmoniques x1(t) et x2(t) peuvent tre reprsents graphiquement comme le montre la figure.Le vecteur rsultant est gal :

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Troisime mthode : en utilisant les nombres complexes :

La somme peut scrire :

o A et sont donnes par

Exemple 2 : Addition de deux Mouvements Harmoniques (Suite)

En utilisant les nombres complexes, on crit :

la somme des parties relles de x1(t) et de x2(t) peut tre exprime par:

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Les Oscillations Harmoniques, dfinitions (Suite) Cycle de vibration : Il dcrit le mouvement suivant : Position dquilibre position extrme dans une direction position dquilibre position extrme dans lautre direction position dquilibre Exemples : pendule simple, un dplacement de 2 radians de l(extrmit dun vecteur sur un cercle.

Amplitude : Dplacement maximum dun corps vibrant partir de sa position dquilibre. Lamplitude de vibration est gale A dans les figures (1) et (2).

Priode des Oscillations : Temps mis pour complter un cycle du mouvement, dnot par ou par T. Cest le temps mis par le vecteur sur un cercle pour effectuer une rotation de 2 . est la vitesse angulaire.

Frquence des Oscillations : Cest le nombre de cycles par unit de temps

Les dfinitions qui suivent sont utiles dans la description des mouvement harmonique :CYCLE : Le mouvement vibratoire d'un corps partir de sa position d'quilibre jusqu' sa position extrme dans une direction, puis jusqu', sa position d'quilibre, puis jusqu' sa position extrme dans l'autre direction et de nouveau sa position d'quilibre est appel un cycle de vibration. Une rvolution complte, c'est dire un dplacement de 2 radians ou une rvolution complte du vecteur en rotation sur un cercle constitue un cycle.AMPLITUDE: Le dplacement maximum d'un corps vibrant partir de sa position d'quilibre est appel l'amplitude de la vibration. PERIODE DES OSCILLATIONS: Le temps mis pour complter un cycle du mouvement est appel la priode d'oscillation et est dnot par T ou . Elle est gale au temps mis par le vecteur sur un cercle pour effectuer une rotation d'un angle de 2. Nous avons alors : o est appele la pulsation, frquence circulaire ou vitesse angulaire.

FREQUENCE DES OSCILLATIONS : Le nombre de cycles par unit de temps est appel la frquence des oscillations ou tout simplement la frquence. On la dnote par la lettre f:f est mesure en cycles par seconde (hertz) alors que w est mesure en radians par seconde.

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Les Oscillations Harmoniques, dfinitions (Suite) Angle de phase : Les deux mouvements vibratoires

Sont dit synchrones car ils ont la mme vitesse angulaire . Le second mouvement est en avance sur le premier dun angle quon appelle langle de phase.

Fig.7 : Diffrence de phase entre deux vecteurs

ANGLE DE PHASE : Considrons deux mouvements vibrations dnots par

Les deux mouvements vibrations sont dit synchrones parce qu'ils ont la mme frquence ou vitesse angulaire . Ces deux mouvements sont reprsents dans la figure. Dans cette figure le second vecteur op2 est en avance sur le premier vecteur op1 par un angle qu'on appelle l'angle de phase.Cela veut dire que le maximum du second vecteur sera atteint radius plus tt que celui du premier vecteur. Les deux vecteurs ont une diffrence de phase gale .

17ANGLE DE PHASE : Considrons deux mouvements vibrations dnots par

Les deux mouvements vibrations sont dit synchrones parce qu'ils ont la mme frquence ou vitesse angulaire w. Ces deux mouvements sont reprsents dans la figure (1.21). Dans cette figure le second vecteur op2 est en avance sur le premier vecteur op1 par un angle F qu'on appelle l'angle de phase.Cela veut dire que le maximum du second vecteur sera atteint F radius plus tt que celui du premier vecteur. Les deux vecteurs ont une diffrence de phase gale F.

Les Oscillations Harmoniques, dfinitions (Suite) Frquence naturelle : Si aprs une perturbation initiale, on laisse vibrer un systme librement. La frquence avec laquelle il oscille est appele la frquence naturelle du systme. Un systme ayant n degrs de libert a n frquences naturelles distinctes.

Figure 8 : Phnomne des battementsFREQUENCE NATURELLE: Si aprs une perturbation initiale, on laisse un systme vibrer librement, la frquence avec laquelle il oscille est appele la frquence naturelle du systme. Un systme ayant n degr de libert aura n frquences naturelles distinctes.

Battements : Quand deux mouvements harmoniques avec des frquences proches lun de lautre sont additionns, le mouvement rsultant exhibe un phnomne connu comme des battements. Par exemple si,

quantit, laddition de ces deux mouvements donne

Cette quation est montre dans le graphique. On voit que le mouvement rsultant reprsente une onde en cosinus avec la frquence +/2 qui est peu prs gale , et avec une amplitude qui varies de 2Xcost/2. quand lamplitude atteint un maximum . On appelle a un battement. La frquence laquelle lamplitude crot et meurt entre 0 et 2X est appel la frquence des battements est souvent observ dans les machines et les structures quand lamplitude de la force extrieure est proche de la frquence naturelle du systme.

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Dveloppement en srie de FourrierSi x(t) est une fonction de priode , sa reprsentation en srie de Fourrier est donne par :

o les coefficients a0, an et bn sont donns par :

On peut aussi crire :

Le mouvement de la plupart des systmes vibratoires n'est pas harmonique et donc pas simple a analyser. Cependant, dans plusieurs cas, le mouvement est priodique, et peut tre reprsent par une srie de fourrier, comme une somme infinie de fonctions sinus et cosinus.Si x(t) est une fonction de priode , sa reprsentation en srie de fourrier est donne par :

o =2/t est la frquence fondamentale, et a0, a1, a2, . . ., b0, b1, b2, . . sont des coefficients constants. Pour dterminer les coefficients an et bn, on multiplie l'quation ci-dessus par cos n t et sin nt, respectivement, et on intgre sur une priode =2p/. On trouve que tous les termes du membre de droite sauf un seul s'annulent, et on obtient

Les sries de Fourrier peuvent aussi tre reprsentes par une somme de termes seulement en cosinus ou seulement en sinus, par exemple, avec des termes en cosinus, nous avons :

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Dveloppement en srie de Fourrier

Fig. 9 : Une fonction priodiqueFig. 9 : Le phnomne de GibbsLinterprtation physique est que nimporte quelle fonction priodique peut tre reprsente par une somme de fonctions harmoniques. Bien que nous ayons une somme infinie de termes, on peut approximer la plupart des fonctions priodiques par seulement quelques fonctions harmoniques.Par exemple, londe triangulaire de la figure peut tre reprsente convenablement en additionnant seulement trois fonctions harmoniques comme le montre la figure d ct.Dans certains cas cependant, quand une fonction priodique est reprsente par une srie de fourrier, un comportement anormal peut tre observ prs de points de discontinuit. Par exemple, londe triangulaire montre dans la troisime figure, on voit que lapproximation samliore de partout, sauf au point P. La dviation reste peut prs 9% de la valeur relle mme quand le nombre de termes est infini. Ce comportement est connu sous le nom de phnomne de Gibbs daprs son inventeur.20Srie de Fourriers Complexes

Les sries de Fourier peuvent tre reprsentes en termes de nombres complexes, on note que

O les cosinus et sinus peuvent tre exprims par

Lquation du dveloppement en srie de Fourier prend la forme

On dfini les coefficients de Fourier complexes Cn et C-n par

Ce qui nous donne pou x(t) et les coefficient Cn :21

Spectre de frquenceFig.11 Spectre de frquence dune fonction priodique typiqueFig.12 Reprsentation dune fonction dans les domaines temporels et de frquence Les fonctions harmoniques ancosnt et bnsint sont appeles des harmoniques dordre n de la fonction x(t). Lharmonique dordre n a une priode /n. Ces harmoniques peuvent tre illustres comme des lignes verticales sur un diagramme damplitude (an et bn ou dn et n) en fonction de la frquence n, appel le spectre de frquence ou le diagramme spectral. La premire figure montre un spectre de frquence typique.

On peut donc reprsenter une fonction priodique dans le domaine temporel o dans le domaine des frquences. Par exemple, la fonction x(t)=sin(t) dans le domaine temporel que nous voyons dans la deuxime figure peut tre reprsenter par lamplitude et la frquence dans le domaine des frquences. De la mme manire, on peut utiliser les amplitudes an et bn et reprsenter dans le domaine des frquences la fonction triangulaire de la dernire figure22

Fonctions paires et fonctions impairesFonction paire

Fonction impaire

Fig.13 : Fonction paire et fonction impaireUne fonction paire satisfaite la relation x(-t)=x(t) dans ce cas, le dveloppement en srie de Fourier de x(t) contient seulement des termes en cosinus :

o a0 et an vous ont dj t donns. Une fonction impaire satisfait la relation : x(t)=-x(t). Dans ce cas, le dveloppement en sries de Fourier contient uniquement des termes en sinus

Dans certains cas, une fonction peut tre considre comme paire ou impaire dpendant de la location de laxe des ordonnes. Par exemple, une translation de laxe vertical de (a) vers (b) ou (c) de la figure rendra la fonction impaire ou paire. Ce qui veut dire que nous devons seulement calculer les coefficients bn et an. De la mme manire, un changement de laxe temporel de (d) (e) revient additionner une constante gal la quantit du changement (shift).23

Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite)Trouver les dveloppements en srie de Fourier des fonctions des figures (ii) et (iii).Trouver aussi leur dveloppement en srie de Fourier quand laxe temporel est dplac vers le bas dune distance A.Montrer quil existe une relation directe entre les dveloppements en sries de Fourier des fonctions des figures (ii) et (iii)

Pour illustrer les dveloppements en sries de Fourier de fonctions paires et impaires, on suppose la fonction de la figure qui a la particularit dtre rendue impaire ou paire juste par un dplacement de laxe x(t). Si on dplace le point b, on aura une fonction impaire. Si on le dplace sur le point (c), on aura une fonction paire. On nous demande de trouver les dveloppements en sries de Fourier des fonctions paires et impaires, on nous demande aussi de trouver le dveloppement, on nous demande aussi de trouver le dveloppement en sries de Fourier quand on dplace laxe temporel dune distance A vers le bas. Et troisimement, on nous demande de trouver une relation directe entre les dveloppements en sries de Fourier des fonctions paires et impaires.24

Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite)25

Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite)Fonction impaire donc

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Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite)Fonction paire donc bn=0

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Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite)

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Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite)Fonction paire donc bn=0

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Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite)3) Relation en la fonction paire et la fonction impaire

30Extension de demi-fonction

Dans certaines applications pratiques, la fonction x(t) est dfinie seulement dans un intervalle de 0 , comme le montre la figure. Dans ce cas, nous navons pas de priodicit. Cependant, on peut faire une extension de la fonction en incluant lintervalle de - 0 pour en faire, comme on veut, une fonction paire ou une fonction impaire. On peut aprs cela dvelopper la fonction en sries de Fourier. On appelle a une extension de demi-fonction. Ceci est trs utile pour rsoudre les quations diffrentielles des vibrations dans le cas dune force extrieure qui est un choc ou une impulsion.31

Calcul numrique des coefficientsFig.17 : Valeurs de la fonction priodique x(t) aux points t1,t2,..tN

Dans certaines applications pratiques, comme sans le cas de la dtermination exprimentale des vibrations, la fonction x(t) est inconnue, et on ne la connait quaux points t1, t2, ., tn. Dans ce cas, les coefficients an et bn peuvent tre valus en utilisant une procdure dintgration numrique comme la rgle trapzodale ou la rgle de Simpson.

Supposons que t1, t2, ., tn sont un nombre paire de points quidistants sur la priode (N pair), avec les valeurs correspondantes de x(t) donnes par x1=x0(t), x2=x(t2),xN=x(tN), lapplication de la rgle trapzodale donne les coefficients an et bn, (en notant que =Nt): 32

Exemple 3 : Dveloppement en srie de Fourier dune fonctionEnonc : trouver le dveloppement en srie de Fourier de la valve du systme arbre came de la figure. On notera que

Fig 18 : Systme darbre cameLa fonction x(t) peut tre reprsente pendant le premier cycle par :

o la priode est donne par =2/ pour calculer les coefficients du dveloppement de Fourier an et bn, nous utilisons les quations du cours. 33

Exemple 3 : Dveloppement en srie de Fourier dune fonction (suite)

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Exemple 3 : Dveloppement en srie de Fourier dune fonction (suite)

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Les fluctuations de la pression de leau dans une pipe mesures 0,01secondes dintervalles sont donnes par le tableau suivant. Ces fluctuations sont de nature rptitives. Faire une analyse harmonique des fluctuations de pression et dterminer les trois premires harmoniques du dveloppement en sries de Fourier.Exemple 4 : Analyse numrique en sries de FourieriTemps (s), tiPression (kN/m), Pi00010,012020,023430,034240,044950,055360,067070,076080,083690,0922100,1016110,117120,120Tableau 1 : Mesure des fluctuations de pression dans un pipe36Ici nous avons traiter un problme om nous navons pas de fonction, mais des mesures prises diffrents moments. Ce problme concerne les fluctuations de la pression de leau dans un pipe. Celles-ci sont mesures 0,01 secondes dintervalle. Elles sont donnes dans le tableau. On nous dit que ces fluctuations sont de nature rptitives. On nous demande de faire une analyse harmonique du problme et de dterminer les trois premires harmoniques du dveloppement en sries de Fourier.

Exemple 4 : Analyse numrique en sries de Fourier (suite)

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Puisque les fluctuations de pression quon nous donne se rptent toutes les 0,12 secondes, on a . Le nombre de valeurs observes est 12, on a :

Les coefficients an et bn sont dtermines par les quations du cours:

Les calculs ont t runis dans un tableau, nous obtenons pour p(t) :

Exemple 4 : Analyse numrique en sries de Fourier (suite)n=1n=2n=3tipi0,0120000173201000010000173200200000,02340001700029444-1700029444-3400000,0342000042000-4200000-420000,0449000-2450042434-24500-424344900000,0553000-458982650026500-458980530000,0670000-700000700000-7000000,0760000-51960-3000030000519600-600000,0836000-18000-31176-18000311763600000,09220000-22000-2200000220000,10160008000-13856-8000-13856-1600000,1170006062-35003500-60620-70000,120000000409000-16197649846850021650-35000-1400068166,7-26996,08307,71416,73608,3-5833,3-2333,3

38Le tableau nous montre que les calculs sont fastidieux. Heureusement quil y a les ordinateurs. Cette exemple va de nouveau tre trait en utilisant Mathlab.Introduction MathLab39Introduction MathLab (2)40Introduction MathLab (3)41Introduction MathLab (4)42Exemple 4 : Reprsentation dune fonction en sries de Fourier Donnez le graphe de la fonction

et ses reprsentations en sries de Fourier avec quatre termes :

43Exemple 4 : Reprsentation dune fonction en sries de Fourier (suite)

44Exemple 4 : Reprsentation dune fonction en sries de Fourier (suite)

45Exemple 5 : Reprsentation des battementsUne masse est soumise deux mouvements harmoniques donns par x1(t) = X cos t et x1(t)=Xcos(+)t avec X=1cm, =20rad et =1rad/sec. Faire un graphe du mouvement rsultant en utilisant Mathlab identifier la frquence des battements.46Exemple 5 : Reprsentation des battements (suite)Solution : Le mouvement rsultant de la masse x(t) est donne par :

Le mouvement rsulte en des battements avec la frquence : b=(+)-==1rad/s

47Exemple 5 : Reprsentation des battements (suite)

48Exemple 6 : Analyse en srie de Fourier utilisant MatlabLes fluctuations de la pression de leau dans un pipe (tuyau), mesures 0,01 secondes dintervalle sont donnes dans le tableau suivant. Ces fluctuations sont de nature rptitives. Faire une analyse harmonique des fluctuations de pression et dterminer les cinq premires harmoniques de lexpansion en sries de Fourier.49Exemple 6 : Analyse en srie de Fourier utilisant Matlab (suite)iTemps (s), tiPression (kN/m), Pi00010,012020,023430,034240,044950,055360,067070,076080,083690,0922100,1016110,117120,12050Exemple 6 : Analyse en srie de Fourier utilisant Matlab (suite)Pour trouver les cinq premires harmoniques des fluctuations de pression donnes dans le tableau (a0, a1,,a5, b1, b2,., b5), un programme MathLab a t dvelopp en utilisant les quations vu en cours :

51Exemple 6 : Analyse en srie de Fourier utilisant Matlab (suite)Le programme a utilis en gnral pour les analyses en sries de Fourier a besoin des donnes suivants :N=nombre des points quidistants o les valeurs de x(t) sont connusM= nombre de coefficients de Fourier calculerTime = priode de la fonction x(t)X= vecteur de dimension n contenant les valeurs connues de x(i)=x(ti)T= vecteur de dimension n contenant les valeurs connues

Le programme gnre les rsultats suivants :a zro =a0,i, a(i), b(i); i=1, 2, ,m o a0, a(i) et bi sont les valeurs calcules de a0, ai et bi donnes par les quations du cours.52Exemple 6 : Analyse en srie de Fourier utilisant Matlab (suite)

53ConclusionDans cette quatrime leon intitule les oscillations harmoniques , cours de vibrations et ondes mcaniques, nous avons dfini ce quest un mouvement harmoniques, et lavons reprsente sous sa forme vectorielle, et sa forme complexe. Nous avons aussi appris dvelopper en sries de Fourier toute sorte de fonctions priodiques. Un mouvement priodiques que lon peut certainement dcomposer en srie de Fourier. La force extrieure applique au mouvement peut aussi tre dveloppe en sries de Fourier, ce qui nous permet dans certains cas de rsoudre lquation diffrentielle du mouvement.Nous avons aussi dans cette leon calculer numriquement les coefficients de Fourier et avons t introduit lutilisation de Mathlab pour rsoudre des problmes pratiques sur les sries de Fourier.Cette leon sur les oscillations harmoniques clos le premier chapitre de ce cours qui donne des gnralits sur les vibrations. Ce premier chapitre nous a fourni toutes les bases ncessaires pour aborder les mouvements un degr de libert qui font lobjet du deuxime chapitre de ce cours.