Leon4 Flexion LPGCE 2009-2010
FLEXION
Exemple:
Flexion sur le systme isostatique (gauche) et sur le systme
hyperstatique
(droite): 1 poutre en porte--faux, 2 poutre sur 2 supports, 3
poutre demiencastrement,
4 poutre double encastrement Il existe plusieurs types de
flexions (pure, plane, dvie). Nous limiterons notre tude au cas de
la flexion plane simple.
1 Hypothses
En plus des hypothses dj nonces au dbut du cours de RDM, la
flexion plane simple nous amne supposer que :
la ligne moyenne de la poutre est rectiligne.
la section droite de la poutre est rectiligne.
la poutre admet un plan de symtrie longitudinal (voir fig.).
toutes les forces appliques la poutre sont disposes
perpendiculairement la ligne moyenne et dans le plan de symtrie
longitudinal (ou symtriquement par rapport celui-ci).
les forces appliques sont soit concentres en un point, soit
rparties suivant une loi dtermine.
2 Dfinition
Une poutre est sollicite en flexion plane simple lorsque le
systme des forces
extrieures se rduit un systme coplanaire et que toutes les
forces sont
perpendiculaires la fibre moyenne (voir ci-dessous).
Les lments de rduction en G du torseur des efforts de cohsion
s'expriment par :
3 Essai de flexion (domaine lastique)
Un dispositif reprsent ci-dessous permet d'effectuer un essai de
flexion plane
simple sur une poutre reposant sur deux appuis A et B et soumise
en C une force .
p
Un comparateur plac en D permet de mesurer la flche lorsque F
varie.
Constatations :
La flche est proportionnelle l'effort F appliqu et ceci quelque
soit le point D choisi.
Pour une mme valeur de F, la flche est maximum lorsque D est au
milieu de la poutre.
On observe, en effectuant l'essai avec diffrentes poutres, que
la flche en D est inversement proportionnelle au moment quadratique
IGz de la section.
Les fibres longitudinales situes au dessus de la ligne moyenne
se raccourcissent et celles situes en dessous de la ligne moyenne
s'allongent.
Les fibres appartenant au plan (G,x,z) ne changent pas de
longueur.
Les allongements et raccourcissement relatifs ( (l/l ) sont
proportionnels la distance de la fibre considre au plan
(G,x,z).
Les sections planes normales aux fibres restent planes et
normales aux fibres aprs dformation.
Relation entre leffort tranchant et le moment flchissantLe
moment flchissant dpend de leffort tranchant. Pour tablir cette
relation on isolera un tronon de poutre (2) de longueur dx, soumis
des efforts tranchants Ty et des moments flchissants Mfz.
Bilan des actions mcaniques extrieures (2): Le tronon (2) tant
en quilibre, on peut appliquer le P.F.S. En prenant uniquement
lquation de moment au point G projet sur laxe z, on obtient:
soit encore Etude des contraintes normalesLa poutre tant
sollicite en flexion simple, la ligne caractristique peut tre
assimile un arc de cercle de rayon R appel rayon de courbure
Au cours de la dformation, le tronon considr initialement
prismatique se transforme en portion de tore de rayon moyen R
intercept dun angle R dfinit le rayon de courbure dune fibre
neutre.
MM est une fibre du tronon joignant deux points homologues des
sections et Les fibres situes dans le plan ne varient pas et sont
appeles fibres neutres
Les fibres au dessus de G (Y > 0) se raccourcissent et celles
en dessous de G (Y < 0) sallongent
Allongement / Raccourcissement relatif de la fibre MMSoient MM
une portion de fibre comprime et NN une portion de fibre
tendue.
Soient: (YM, ZM) coordonnes du point M dans le repre local
(YN,ZN) coordonnes du point N dans le repre local - longueur
initiale MM =NN= dx- aprs dformation, NN> dx et MM <
dxallongement relatif: donc, raccourcissement relatif: donc, 4
Contraintes
Dans le cas de la flexion plane simple, les contraintes se
rduisent essentiellement
des contraintes normales .
Les contraintes de cisaillement sont ngligeables.
La contrainte normale s en un point M d'une section droite (s)
est proportionnelle la distance y entre ce point et le plan moyen
passant par G.
Expression de la contrainte normaleEn exprimant la loi de Hooke
dfinie par la relation , on obtienten un
Point quelconque N de la section:Dans la zone tendue:
-dans la zone comprime:
Remarque:
- est dit courbure en G dune fibre neutre.
- la contrainte normale est nulle sur la fibre neutre
- le signe sinverse la traverse du plan - la rpartition est
linaire sur la section droite
- le point le plus sollicit de la section est celui qui est le
plus loign de la fibre neutre
Relation entre contrainte normale et moment flchissantUne
coupure est effectue au niveau de la section droite Soit un pont M
de coordonnes et un lment de surface entourant M
Leffort lmentaire en un point est Le moment de cet effort au
point G est avec Y distance du point M laxe GzLe moment flchissant
Mfz est la somme des moments en G des actions mcaniques lmentaires
transmises par les lments de surface constituant le section droite.
soit
Or moment quadratique de par rapport mlaxe Gz et
donc ou Dans une section droite,la contrainte normale est maxi
au point le plus loign du point G(cdg de la section)
donc Module de flexionOn appelle module de flexion la quantit en
mm3. Cest une caractristique courante des profils.
Contrainte normale maximaledans la section la plus
sollicite:
si on pose alors:
= contrainte normale maximale (Mpa)
= module de flexion (mm3)
= moment de flexion maxi sur (N.mm)
5 Conditions de rsistance
Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester
infrieure une valeur limite appele contrainte pratique l'extension
pe. On a :
s est un coefficient de scurit
La condition de rsistance traduit simplement le fait que la
contrainte relle ne doit pas dpasser le seuil prcdent, soit:
6 Influence des variations de section
Si le solide tudi prsente de fortes variations de sections, les
relations prcdentes ne s'appliquent plus. Il faut alors appliquer
un coefficient de concentration de contraintes.
7 Etude de la dforme
Cette tude permet de donner l'quation de la dforme de la poutre
sous la forme
y = f(x).
Elle est principalement bas sur la rsolution de l'quation
diffrentielle suivante :
Il faut alors procder deux intgrations successives.
Les constantes d'intgration s'obtiennent grce aux conditions aux
limites
(appuis, encastrements...).
exemple de conditions aux limites :
Appui simpley = 0
Encastrementy = 0y' = 0
Exemple dapplication:
Etude statiqueOn dduit = = = 10,5 N
donc et Torseur de cohsion pour
Torseur de cohsion pour
Diagrammes
Contrainte normale maximale
Condition de rsistance
la condition est vrifie avec un rapport
Contrainte tangentielle maximale
Condition de rsistance
la condition est vrifie avec un rapport ConclusionLa poutre
soumise la flexion simple est plus sensible aux contraintes
normales quaux contraintes tangentielles.
Calcul de la flche maximale= Calcul de la flche sans laide du
formulaire
y(x)=0 pour x=l/2=300mm
y(x)=0 pour x=0 donc C2 = 0
La flche sera maxi au point C (-6,64)
Exercice
On considre une poutre sur deux appuis sollicits par deux
charges concentres P. La section droite de la poutre est un caisson
rectangulaire depaisseur constante. La limite elastique du materiau
vaut Re = 24 daN/mm2.
On demande de calculer :
1. le module de flexion de la section droite pour une flexion
autour de laxe OZ ;
2. la valeur Pe des charges que peut supporter la poutre en
regime elastique ;
3. la valeur Pl des charges `a letat limite plastique ;
Solution
1. Linertie geometrique est calculee en considerant deux
rectangles pleins :
Iz =200 1903/12 188 1783/12
= 2.596 107mm4 v =190 /2= 95mm Iz/v = 273.3 103mm3 = 273.3 106m3
2 . Par symetrie, on trouve aisement `a partir de lequilibre
vertical de la poutre, que :
FA = FB = P Le moment maximum vaut 2P, d`es lors : max =2P /Iz/v
RePe =1/2ReIz/v =(1/2) .24 107 273 106 == 32760N = 3276 daN3 .La
charge Pl limite conduit `a la plastification totale de la section.
Dans ce cas, le profil des contraintes
normales correspond `a celui illustre sur la figure. Le moment
plastique vaut :Ml =sectionydA = Re sectionydA 2 Re ( ( 190-12 )/2
.200.6 +2095 6ydy )
=2 Re ( 106800+54150) =7725600daNm 7726daNm Pl = Ml /2 = 3863
daN
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