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L-P-Bourguiba de Tunis Durée : 3 H

Devoir de SynthèseDate : 4 /12/2012 Classes : 4 Maths 2-4-6

EXERCICE 1 : (3points)Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie

en justifiant votre réponse.

1)  On considère la fonction f définie sur R par :

2 1f(x)=x sin si x 0

x

f(0)=0

≠

 

a) f est dérivable en 0 et f’0)=0.

b) 

x 0limf '(x)=0

→ 

c) f ' est continue en 0 

2) Soit la suite ( nU ) définie sur ℕ par :k=n

n k k=1

1u =

(1+k)∑  

a) la suite n(u ) est décroissante .

b) la suite n(u ) est majorée.

c) la suite n(u ) est divergente.

3) On considère l’équation ] [

2 iθ

θE : z -2z+1-e 0 avecθ

0,π

= ∈  On désigne par z1et z2 les solutions deθ

E

 a)

1 2

θz .z sin( )

2=

 b) [ ]1 2Arg z + Arg z π 2π≡

 c) [ ]1 2

θ πArg z + Arg z - 2π

2 2≡

 EXERCICE 2: (4 points)

 

Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct ( )O,u,v

 On considère l’équation [ ]2 2iθ

θE : z +2iz-1+ 4e 0 avec θ 0,π= ∈

 

θ1) Résoudre dans C l'équation E

 2) Soit M’et M’’les points d’affixes respectives :

iθz'=i(-1-2e ) etiθz''=i(-1+2e )

a. Montrer que M’’ est limage de M’ par une isométrie que l’on caractérisera

b. Déterminer l’ensemble des points M’ quand [ ]θ varie dans 0, π  

c. En déduire l’ensemble des points M’’ quand [ ]θ varie dans 0, π 

3) Pour tout z , on pose P(z)=z4+4z

3+8z

2+(8-16i)z-(12+16i)

a. Vérifier que P(z-1)=(z2-1)2+4(z-2i)2 b. Résoudre dans C l’équation :P(z-1)=0

c. En déduire les solutions de l’équation P(z)=0.

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 EXERCICE 3 :(5 points)

Dans le plan orienté, on considère un carré ABCD de centre O tel que : [ ]π

(AB,AD) 2π2

≡

 

On désigne par I et J les milieux respectifs des segments [ ]AB et [ ]BC  

On note E le symétrique de A par rapport B et F le symétrique de D par rapport C

et O’ le symétrique de O par rapport à (BC)1)  Soit l’isomérie f telle que f(A)=B ,f(B)=C et f(C)=F

a.  Montrer que f(D)=Eb.  Montrer que f n’a pas de points invariants et déduire la nature de f.

c.  Montrer que BC π(O, )

2

f=S or  

d. Caractériser f 

2) Soit l’applicationBC π

(O, - )2

h=S or  

a. Déterminer h(A) et h(B).b. Montrer que h n’a pas de points invariants et en déduire que h est une symétrie glissante.

c.. Soit ∆ l’axe de h et u

son vecteur.

Montrer que J est un point de l’axe∆ et vérifier que2u

hoh=t  

d. Montrer que h(C)=B .Déterminer ∆ et u

 

3) a. Déterminer les isométries g de P qui laissent globalement invariant le carré ABCD.

b. On pose F= SBC o g .

Déterminer l’image par F du carré ABCD

c..En déduire les isométries qui transforment ABCD en BEFC.

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 EXERCICE4: (8 points)

1) Soit la fonction ϕ définie sur R* par:

2x 1(x) 2

x

−ϕ = +  

On désigne par Cϕ la courbe représentative de ϕ dans un plan rapporté

à un repère orthonormé (O,i,j).

 a)Etudier la dérivabilité de ϕ en 1.

b)Montrer que A(0,2) est un centre de symétrie de Cϕ  

c)Dresser le tableau de variation deϕ . 

d) Construire Cϕ  

2) Soit f la restriction de ϕ sur [ [1,+∞  

a)Montrer que f réalise une bijection de[ [1,+∞ sur un ensemble J que l’on déterminera

b) Montrer que l'équation f(x)=x admet dans ] [2,3 une solution unique α  

c)On note f -1

la réciproque de f .Construire Cf -1

dans le même repère orthonorméd) Expliciter f 

-1(x).

3) Soit la suite (Un) définie sur N par:

0

n+1 n

U 2

et pour tout n de N

U =f(U )

=

 

a) Montrer que pour tout n de N : 2 Un 3≤ ≤  

b) Montrer que pour tout x de [ ]1

2,3 f '(x)4 3

≤  

c) Montrer que pour tout n de N : n 1 n

1U U4

+ − α ≤ − α .

d) Montrer que pour tout n de N n

n

1U ( )

4− α ≤ et déterminer la limite de (Un)

4) Soit la fonction définie par :

1h(x) f ( ) si x 0,

cos x 2

h( ) 32

π = ∈

π

=  

a)Etudier la continuité de h à gauche en2

π.

b) Montrer que pour tout x de 0,2

π

, h(x) 2 sin x= +  

c)Montrer que h est réalise une bijection de 0,2

π

sur un ensemble K que l’on déterminera

On note h-1

sa fonction réciproque

d) Montrer que h-1

est dérivable sur K et calculer sa fonction dérivée.