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L-P-Bourguiba de Tunis Dure : 2 HDevoir de Mathmatiques n3
Prof : Ben Jedidia Chokri Date : 11/2/2009 Classe : 4M4
EXERCICE 1 : ( 4 points)Rpondre par vrai ou faux1. u=5183 est un
nombre premier2. La division Euclidienne de a = -2009 par b = -112
donne :
Comme quotient q= 1)b
a(E + et comme reste r = 47
3. a/2009 20092 3+ est divisible par 5
b/ Pour tout n N . 2n 2n2 3 n 'est pas divisible par 5+
4. On considre lquation dans : 9x 15(mod 24)
Lensemble des solutions est S={ }7 24k,k + EXERCICE 2 : (5
points)
Soit dans le plan orient un carr ABCD de sens direct de centre
O
tel que [ ](AB,AD) 22
.
On dsigne par I et J les milieux respectifs des segments [ ] [
]ADetAB
1) Reprsenter ces points sur une figure
2) a)Justifier qu'il existe une similitude directe f telle que
f(A)=J et f(B)=A
b) Dterminer le rapport et langle de f
c) construire son centre
3)a)Dterminer les images des droites (AC) et (BC) par f.
b) Dterminer alors f(C) puis f(D).
4) Soit O le centre du carr JAIO.
Montrer que est le barycentre du systme de points pondrs {
},4)(O'(D,1); .
5) Soit g la similitude indirecte telle que : g(A)=J et
g(B)=A
Donner les lments caractristiques de g
6)Le plan P est rapport au repre orthonorm ( A,AB,AD)
et On pose-1
s=gofog .a) Dterminer la nature de s
b) Dterminer les transformations complexes F ; G et G-1
associes f ; g et g-1
et dduire S celle de s.
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EXERCICE 3 : (5 points)Soit x un rel de [ [0,1 et pour tout
entier naturel n 1.
On posen
x
n0
tI (x) dt
1 t=
et
2 n
n
1 1 1 1 1U 1 ( ) ..... ( )
2 2 2 n 2= + + +
1) Montrer que pour tout rel x de [ [0,1 et pour tout entier
naturel n 1.
( )k 1n-1
n
0
xI (x) ln 1 x
k 1
+ = +
+
2) a) Montrer que pour tout entier naturel n 1.
n n 1
1 1 10 I ( )
2 n 1 2
+
b) En dduire que : nn
1lim I ( ) 0
2+=
3) Montrer que nnlim U ln 2
+
=
EXERCICE 4 : (6 points)
Soit la fonction f dfinie sur 02
,
par :f(x)=
1
2cosx
1- Montrer que f est une bijection de 02
,
sur un intervalle I que lon dterminera.
2-Montrer que f admet une fonction rciproque f-1
=g drivable sur un ensemble
K que lon prcisera et calculer pour tout x de K g(x)
3-On dsigne par Cf et Cf-1
les courbes reprsentatives de f et f-1
dans le plan rapport un mme repre orthonorm ( )o i j, ,
.
On donne Cf .Tracer avec soin Cf-1
(voir F3)
4-Soit la fonction F dfinie sur 0 2,
par : F( )= 0
1dx2cosx
.
4-a .Montrer que pour tout rel de 02
,
F( )=
2
2
1dx
2sinx
4-b. Vrifier que pour tout rel x de 0,2
2
x2tan( )
2sinxx
1 tan ( )2
=
+
4-c En dduire la valeur de A=3
0
1 dx2cosx
Que reprsente la valeur trouve.
