8/7/2019 4m42011

1/2

EXERCICE 1 : ( 4 points)

Rpondre par vrai ou faux

1/Le plan P est rapport un ROND ( )v,u,o .On considre la transformation du plan g qui tout M daffixe z associe M

daffixe z dfini par : z'=2iz-2+i

g est une similitude indirecte de centre I daffixe ide rapport 2 et daxe dquation :

y=x+1

2/750

5 1 0(mod 7)

3/ Si n 1(mod7) alors (3n+4) (4n+3)=7

4/Soient a et b deux entiers naturels non nuls .Sils existent deux entiers u et v

tel que au+bv=2 alors a b 2 = 5/

x

ln xlim

x+= +

6/ Soit la fonction f dfinie sur R par :x x

2 2f (x) e e

= f est une bijection de IR sur IR

lapplication rciproque de f est dfinie par:

21 x x 4f (x) 2ln( )

2

+ +=

EXERCICE 2 : (6 points)Soit dans le plan orient un triangle ABC rectangle en B tel que AB= 3 et BC=4

et [ ](BC,BA) 22

.

1/Soit f la similitude directe telle que f(A)=B et f(B)=C

a. Dterminer le rapport et langle de f.

b. Soit H le projet orthogonal de B sur (AC)

Montrer que H est le centre de f

2/Soit D=f (C)

a. Montrer que D appartient (BH)b. Construire le point D.

3/ Soit g la similitude indirecte telle que g(A)=B et g(B)=C

On dsigne par le centre de g

a. Montrer que fog-1 =SBCb. Soit E=g(C) .Dterminer SBC(E).Construire le point E.

4/ a. Prciser la nature de gog et montrer que (AC) (BE)

b. Construire

et laxe

L-P-Bourguiba de Tunis Dure : 4 HSujet de mathmatiques

Date : 17 / 3/2011 Classes : 4 M1 -4M8

8/7/2019 4m42011

2/2

EXERCICE 3: (4points)On considre dans ZxZ lquation (E) : 5x-3y=11.

1/a. Citer le thorme permettant daffirmer que lquation (E) a des solutions.

b. Vrifier que si le couple (x,y) est solution de lquation E ,alors x 1(mod3)

c. En dduire une solution particulire de (E)

d. Rsoudre dans ZxZ lquation (E)

2/Dterminer les entiers n tel que (3n 1) (5n 2) 11+ =

3/ On considre le systme (S) :x 4(mod5)

x 2(mod3)

a. Dans le cas o x un entier solution de (S) montrer que :9x 6 (mod15)

10x 5 (mod15)

b. En dduire lensemble des solutions du systme.

EXERCICE4 :(6 points)

Soit f la fonction dfinie sur ] [1, + par : f(x) = x- ln(1+x)

On dsigne par C la courbe reprsentative de f dans un repre orthonorm )j,i,O(

(unit graphique 1cm )

PARTIE A1.Dresser le tableau de variation de f.

2.En dduire que pour tout x de ] [1, + : ln(1 x) x+ 3. Tracer C.

4.Calculer laire A de la partie du plan limit par la courbe C la droite : y x =

et les droites dquations x=0 et x=e

PARTIE B

On considre la suite (Sn) dfinie sur N* par : Sn=n

1

1 1 1 11 ... .

k 2 3 n= + + + +

1/a. Montrer que pour tout k>0 : ln(1+k)-lnk1

k

b. En dduire que pour tout n de N* : ln(1+n) nS .Et calculer nnlim S+

2/On considre les suites (Cn) et ( n ) dfinie sur N* par : Cn= Sn-ln(n) et n n 1Cn

=

a. Dmontrer que pour tout nde N* : n 1 n n 1 n1 1

C C f ( ) et f ( )n 1 n

+ + = =+

b. En dduire le sens de variation de (Cn) puis de ( n ) .

3/a. Dmontrer que les suites (Cn) et ( n ) sont adjacentes.

La limite commune de ces deux suites est appele la constante dEuler C

b. Donner un encadrement de la constante dEuler C damplitude 10-1

.