amphi6

IntroductionOndes non-linéaires

Oscillations non-linéairesConclusion

ENSTA - COURSMS 204DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES:

ONDES ET VIBRATIONS

Amphi 6

ENSTA-MS 204-2013/2014 Dynamique des systèmes mécaniques – cours 6



RAPPEL

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Amphi + examens pour révisions :http://www.ensta-paristech.fr/∼touze/MS204/




RappelsPanorama des non-linéarités en mécanique

RAPPELS DE COURS

Dynamique des systèmes mécaniques :gouvernée par des EDP du type:

∀ x ∈ Ω, ∀ t :∂2w∂t2 + L(w(x , t)) = 0

Milieu infini : Formalisme des ondes :

w(x , t) = ei(kx−ωt)

Clé de la résolution : variable x − ct . Relation de dispersion .(Lien entre les mouvements temporels et spatiaux).





RAPPELS

Milieu fini :

∀ x ∈ Ω, ∀ t :∂2w∂t2 + L(w(x , t)) = 0.

∀ x ∈ ∂Ω, ∀ t : Bi(w(x , t)) = 0, i = 1... p.

Résolution du problème spatial : Calcul des modes propres : déformées modales + fréquences

propres Projection modale : w(x , t) =

∑+∞

n=1 Xp(t)φp(x). Problème temporel : oscillateurs découplés





RAPPELS

Mode propre : déformée modale + fréquence propre fort contenu physique !

⊲ Un seul oscillateur

10−1

100

101

10−2

10−1

100

101

102

103

PSzeta1

PSzeta2

PSzeta3

PSzeta4

PSH2

PSz

Réponsequasi statique

Réponserésonante

Réponseinertielle

PSeq1 PSeq2 PSeq3

⊲ Structure (système continu) Une infinité de modes

magnitude[dB]

frequency[Hz]

phase[deg]

100 101 102

100 101 102

−200

0

200

−80

−60

−40

−20

0





RAPPELS

Discrétisation des systèmes continus :Quand on ne connait pas les modes propres du système méthode de résolution numérique.–Méthode des différences finies–Méthode des éléments finis–Méthode de Galerkin (Ritz-Rayleigh)

w(x, t) =N∑

i=1

Xi (t)Ψi(x)

Forme générale des équations:

MX + CX + KX = 0

Modes propres pour les systèmes discrets.





EFFETS NON-LINÉAIRES

Dans tout ce qui a été montré :Hypothèse Majeure :l’amplitude des mouvements considérés est petite

EDP linéaires .

But de ce cours : lever cette hypothèse.

Plan:– Classification des non-linéarités en mécanique.– Ondes non-linéaires.– Vibrations non-linéaires.





CLASSIFICATION DES NON-LINÉARITÉS

Non-linéarité de comportement :Lorsque la loi de comportement n’est plus linéaire.

Non-linéarité d’amplitude :Lorsque les amplitudes du mouvement sont grandes :relation non-linéaire entre les déplacements et les déformations.

Discontinuités et interfaces :Discontinuités, chocs, ...Non-linéarité non-régulière.





NON-LINÉARITÉS DE COMPORTEMENT

En mécanique des solides :Lorsqu’il n’y a plus proportionnalité entre la contrainte imposéeet la déformation résultante :

Exemple : comportement élasto-plastique (cf. cours MS 201).






En mécanique des solides :autres exemples :

élastomère Matériau à mémoire de forme

Élasticité non-linéaire. Transformation martensitique.






En mécanique des fluides :Rappel : fluide newtonien : les gradients de vitesse (taux dedéformation) sont croissants avec la contrainte.

fluide à seuil rhéo−fluidifiant

fluide à seuil "de Bingham"

fluide newtonien

fluide rhéo−épaisissant

fluide rhéo−fluidifiant

γtaux de cisaillement

cont

rain

teσ

Rhéologie : étude des comportements des fluides réels(non-newtoniens).





NON-LINÉARITÉS D’ AMPLITUDE

En mécanique des solides :La relation entre les déplacements et les déformations ne peutplus être linéarisée :

ε =12

(

∇ξ +∇tξ +∇tξ.∇ξ)

On parle de non-linéarité géométrique . En Mécanique des fluides :

terme en (v .∇)v dans l’équation de Navier-Stokes ne peut plusêtre négligé.





DISCONTINUITÉS ET INTERFACES

exemples en mécanique des solides :

discontinuités dans les forces externes

jeu, butée

Lois de contact : exemple de la loi de Hertz :

δ

=⇒ F = kδ32





CLASSIFICATION DES NON-LINÉARITÉS

Non-linéarité de comportement :Lorsque la loi de comportement n’est plus linéaire.

Non-linéarité d’amplitude :Lorsque les amplitudes du mouvement sont grandes :relation non-linéaire entre les déplacements et les déformations.

Discontinuités et interfaces :Discontinuités, chocs, ...Non-linéarité non-régulière.




ExempleMéthode perturbativeRelation de dispersion

ONDES NON-LINÉAIRES

Corde sur fondation élastique non-linéaire :

EDP gouvernant la dynamique :

∂2w∂t2 − c2 ∂

2w∂x2 + g(w) = 0

Force de rappel : développement de Taylor :

g(w) = bw + b2w2 + b3w3 + ....

Quel effet vont avoir les termes non-linéaires ?





ONDES NON-LINÉAIRES

Effet qualitatif :– Si b2, b3, ... ≥ 0, =⇒ comportement raidissant.– Si b2, b3, ... ≤ 0, =⇒ comportement assouplissant.

Effet quantitatif :On se limite à une non-linéarité cubique :

∂2w∂t2 − c2 ∂

2w∂x2 + bw + εb3w3 = 0.

Recherche d’une solution perturbative.





ONDES NON-LINÉAIRES : SOLUTION PERTURBATIVE

On pose, pour le déplacement w :développement de Taylor de termes propagatifs :

w(x , t) = w0(kx − ωt) + εw1(kx − ωt) + ...

La relation de dispersion sera modifiée :

ω2 − c2k2 = b + εδ,






Développant et regroupant les puissances de ε :

w ′′0 + w0 = 0

b(w ′′1 + w1) + b3w3

0 + δw ′′0 = 0

solution à l’ordre ε0 :

w0(z) = A cos(z), avec z = kx − ωt .

En reportant à l’ordre ε :

b(w ′′1 + w1) =

[

−34

b3A3 + δA]

cos(z)−14

b3A3 cos 3z






Solution à l’ordre ε :on doit absolument annuler le terme résonnant pour obtenir unesolution acceptable physiquement. D’où :

δ =34

b3A2.

Conséquence : la relation de dispersion dépend del’amplitude A !

ω2 − c2k2 = b +3ε4

b3A2

Vitesse de phase :

cφ =ω

k= c

√

1 +b

k2c2 +3εb3A2

4k2c2 .




Le penduleEquation de DuffingNon-linéarités géométriquesSystèmes dynamiques

V IBRATIONS NON-LINÉAIRES

Milieu fini la dynamique est gouvernée par des oscillateurs. Pour les grandes amplitudes de vibrations oscillateurs

non-linéaires. Cas du pendule : θ + sin θ = 0.

θ

θ

θ

l

m

Force de rappel potentiel

E

E

E

p

s

l

(a) (b) (c)−π π

−ππ






Pendule : trajectoires possibles :

0 5 10 15 20

0

5

10

0

−2

0

2trajectoirepassante

états liés

séparatrice

θ

θ

θ

t

La période dépend de l’amplitude.






Oscillateur de Duffing forcé à la résonance :

X + ω20X + 2εµX + εαX3 = εF cosΩt .

calcul perturbatif : on introduit le paramètre σ :

Ω = ω0 + εσ

Après calcul :

σ =38α

ω0a2 ±

√

F 2

4ω2a2 − µ2.

avec:X(t) = a cos(Ωt + φ0) +O(ε)





ÉQUATION DE DUFFING

Augmentation du forçage

−10 −5 0 5 100

0.5

1

1.5

2

F=1

F=4

F=10

σ

a






Effet de la non-linéarité :

−10 −5 0 5 100

0.5

1

1.5

2

σ

a

α=−10 α=−5 α=0 α=5 α=10






Balayage en fréquence : cycle d’hystéresis :

−10 −5 0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

σ

a





NON-LINÉARITÉS GÉOMÉTRIQUES

Cas général pour les solides élastiques en grandsdéplacements :–Relation contrainte-déformation:

ε =12

(

∇ξ +∇tξ +∇tξ.∇ξ)

,

–Équations de la dynamique :

div (F . σ) + f = ρ∂2ξ

∂t2 ,

où F est le tenseur gradient de transformation :

F = 1 +∇ξ,

–Comportement élastique linéaire :

σ = λ(trε)1 + 2µε,





NON-LINÉARITÉS GÉOMÉTRIQUES

Les EDP en non-linéaire géométrique auront la forme :

w + L(w) +N2(w ,w) +N3(w ,w ,w) = 0,

+ les conditions aux limites On utilise la base des modes propres pour projeter l’équation:

w(x , t) =+∞∑

p=1

Xp(t)φp(x).

La dynamique s’écrit donc sous forme générique:

Xn + ω2pXn +

+∞∑

i=1

+∞∑

j≥i

gnij Xi Xj +

+∞∑

i=1

+∞∑

j≥i

+∞∑

k≥j

hnijk XiXjXk = 0






Notion de système dynamique et d’espace des phases :

X = Fr (X , t).

X ∈ E : espace des phases.r : paramètre(s) de contrôle.

X0 points fixes ssi F (X0) = 0. dans le cas du pendule :

θ = 0, π,−π.





SYSTÈMES DYNAMIQUES

Stabilité des points fixes : Développement limité en X = X0 : Soit X = X0 + ξ. Alors :

ξ = Fr (X 0) +

[

∂Fr

∂X

]

X=X 0

ξ.

ξ =

[

∂Fr

∂X

]

X=X0

ξ.

La stabilité est donnée par les valeurs propres de la matricejacobienne .






Cas du pendule : valeurs propres à l’origine :

λ = ±i

oscillations autour de l’origine. En ±π, les valeurs propres valent (1,−1) :

points fixes instables.






Notion de bifurcation : le système dynamique dépend deparamètres :

X = Fr (X , t).

quand r varie, la nature des points fixes peut changer: bifurcation.

Etude des bifurcations en regardant comment les valeurspropres de la matrice jacobienne varient avec r .




CONCLUSION

Non-linéarité d’amplitude : La relation de dispersion dépend de l’amplitude. La période des oscillations dépend de l’amplitude.

D’autres solutions apparaissent : solutions multiples, hystéresis,bifurcations.

Formalisme mathématique adapté : théorie des systèmesdynamiques.


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