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Partie V
Analyse du Comportement Mécanique des Structures en
Matériaux Composites
Cette partie développe les éléments de l’analyse de la flexion, du flambement et des vibrations des structures constituées de matériaux composites. Les analyses les plus simples sont celles pour qui l’ana-lyse peut être réduite à une analyse en une dimension. C’est le cas de la flexion cylindrique de plaques (chapitre 19) et également le cas de la flexion de poutres (chapitre 20). Le chapitre 21 étudie la flexion de plaques constituées d’un stratifié orthotrope pour lequel il n’y a pas de couplage membrane-flexion. Le chapitre 22 considère le compor-tement en flexion de plaques rectangulaires constituées de différents stratifiés : stratifiés symétriques, stratifiés croisés et stratifiés équili-brés. Les analyses montrent la difficulté de trouver des solutions analytiques. Le flambement des poutres et des plaques est considéré au chapitre 23. Les vibrations des poutres et des plaques sont ensuite étudiées au chapitre 24. Le dernier chapitre 25 analyse le problème du prédimensionnement d’une structure constituée d’un matériau stratifié ou sandwich, établissant ainsi une synthèse générale des divers concepts développés tout au long de l’ouvrage.
CHAPITRE 19
Flexion Cylindrique
19.1 INTRODUCTION
Dans ce chapitre et le suivant, nous nous intéressons aux problèmes pour lesquels la théorie des plaques peut être ramenée à une analyse à une dimension. Le premier type de problème concerne les plaques ayant un rapport longueur sur largeur assez élevé pour que la déformation de la plaque puisse être considérée comme indépendante de la coordonnée suivant la longueur de la plaque. Un tel comportement est appelé flexion cylindrique, et est traité dans ce chapitre. Le second type de problème est celui de l’analyse du comportement en flexion des poutres, dont fait l’objet le chapitre 20.
19.2 THÉORIE CLASSIQUE DES STRATIFIÉS
19.2.1 Équations
Nous considérons une plaque, constituée d’un stratifié comportant un nombre quelconque de couches de longueur très grande dans la direction y (figure 19.1). La plaque est en appui tout le long de ses côtés x = 0 et x = a. Si la charge transverse n’est fonction que de x : q = q(x), la déformation de la plaque est cylindrique, c’est-à-dire :
0 0
0 0
0 0
( , , ) ( , ),( , , ) ( , ),( , , ) ( , ).
u x y t u x tx y t x tx y t x t
===
v vw w
(19.1)
En reportant l’équation (19.1) dans les équations fondamentales (16.1) à (16.3) de la théorie classique des stratifiés, nous obtenons les équations à une dimension :
2 2 3 2
0 0 0 011 16 112 2 3 2s
u uA A Bx x x t
ρ∂ ∂ ∂ ∂+ − =
∂ ∂ ∂ ∂v w , (19.2)
2 2 3 2
0 0 0 016 66 162 2 3 2s
uA A Bx x x t
ρ∂ ∂ ∂ ∂+ − =
∂ ∂ ∂ ∂v w v , (19.3)
Chapitre 19 Flexion cylindrique 396
FIGURE 19.1. Plaque de longueur élevée.
4 3 3 2
0 0 0 011 11 164 3 3 2s
uD B B qx x x t
ρ∂ ∂ ∂ ∂− − = −
∂ ∂ ∂ ∂w v w . (19.4)
Dans le cas d’une flexion statique, ces équations peuvent être découplées en exprimant u0 et v0 à partir des équations (19.2) et (19.3) suivant :
2 30 02 3
d dd d
u BAx x
=w , (19.5)
2 30 02 3
d dd d
CAx x
=v w , (19.6)
avec
211 66 16
66 11 16 16
11 16 16 11
,,.
A A A AB A B A BC A B A B
= −= −= −
(19.7)
En dérivant les équations (19.5) et (19.6) et en reportant les résultats dans la relation (19.4), nous trouvons l’équation différentielle en w0 :
40
4dd
A qDx
=w , (19.8)
où 11 11 16D D A B B B C= − − . (19.9)
L’équation (19.8) peut être intégrée, et le résultat reporté dans les équations (19.5) et (19.6) pour obtenir les équations en u0 et v0 :
x
y
a
19.2 Théorie classique des stratifiés 397
202
d ( ) dd
u B q x xDx
= ∫ , (19.10)
202
d ( ) dd
C q x xDx
= ∫v . (19.11)
Les résultantes et moments sont ensuite obtenus à partir de l’équation constitutive (14.29) :
20 0 0
11 16 11 2
20 0 0
12 26 12 2
20 0 0
16 66 16 2
20 0 0
11 16 11 2
20 0 0
12 26 12 2
016
d d d ,d d dd d d ,d d d
d d d ,d d d
d d d ,d d dd d d ,d d d
dd
x
y
xy
x
y
xy
uN A A Bx x xuN A A Bx x x
uN A A Bx x x
uM B B Dx x xuM B B Dx x x
uM Bx
= + −
= + −
= + −
= + −
= + −
=
v w
v w
v w
v w
v w
20 0
66 16 2d d .d d
B Dx x
+ −v w
(19.12)
19.2.2 Charge uniforme
Dans le cas d’une charge uniforme, indépendante de x : q(x) = q0, l’intégration des équations (19.8), (19.10) et (19.11) conduit, en tenant compte de (19.5) et (19.6), à :
3 2
0 0 1 1 1
3 2
0 0 1 2 2
4 3 2
0 0 1 3 3 3
,6 2
,6 2
.24 6 2
B x xu q a b x cDC x xq a b x cDA x x xq a b c x dD
⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞
= + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
v
w
(19.13)
Nous considérons, ci-après, deux types d’appuis.
1. Cas d’appuis simples La plaque est en appuis simples sur les côtés x = 0 et x = a. Les conditions aux
frontières sont donc pour x = 0 et x = a :
0x xy xN N M= = = , (19.14)
398 Chapitre 19 Flexion cylindrique
0 0=w . (19.15)
Les relations (19.12) montrent que Nx, Nxy et Mx s’annulent aux appuis si pour x = 0 et x = a :
20 0 0
2d d d 0.d d dux x x= = =v w (19.16)
De manière à prévenir tout déplacement d’ensemble, nous supposons que la plaque est fixée à l’origine, ce qui impose pour x = 0 :
0 0 0u = =v . (19.17)
L’ensemble des expressions (19.13) et des conditions (19.15), (19.16), (19.17) conduit aux expressions des déplacements :
( )
( )
( )
200
200
3 2 300
2 3 ,12
2 3 ,12
2 .24
Bqu x a xD
Cq x a xD
Aq x ax a xD
= −
= −
= − +
v
w
(19.18)
En reportant les expressions (19.18) dans les relations (19.12), les résultantes et moments s’écrivent :
( )( )
( )
( )( )
( )( )
012 26 12
0
012 26 12
016 66 16
0,
,2
,2
,2
.2
x xy
y
x
y
xy
N NqN A B A C B A x a xDqM x a x
qM B B B C D A x a xDqM B B B C D A x a xD
= =
= + − −
= − −
= + − −
= + − −
(19.19)
Les relations (19.18) montrent que la flèche maximum est atteinte pour x = a/2, et est donnée par :
4
00max
5384Aa q
D=w . (19.20)
2. Cas d’encastrements Dans le cas où la plaque est encastrée sur les côtés x = 0 et x = a, les
conditions aux frontières sont pour x = 0 et x = a :
00 0 0
d0, 0.d
ux
= = = =wv w (19.21)
19.2 Théorie classique des stratifiés 399
Compte tenu de (19.13), ces conditions conduisent aux expressions des dépla-cements :
( )
( )
( )
2 200
2 200
2 2 200
2 3 ,12
2 3 ,12
2 .24
Bqu x ax a xD
Cq x ax a xD
Aq x ax a xD
= − +
= − +
= − +
v
w
(19.22)
En reportant ces expressions dans les relations (19.12), nous obtenons les résul-tantes et moments :
( )( )( )( )( )( )( )
2 2012 26 12
2 20
2 2012 26 12
2 2016 66 16
0,
6 6 ,12
6 6 ,12
6 6 ,12
6 6 .12
x xy
y
x
y
xy
N NqN A B A C B A x ax a
DqM x ax a
qM B B B C D A x ax aD
qM B B B C D A x ax aD
= =
= + − − +
= − − +
= + − − +
= + − − +
(19.23)
La flèche maximum est atteinte au milieu des côtés : x = a/2, et s’exprime d’après (19.22) suivant :
4
00max 384
Aa qD
=w . (19.24)
Pour les deux types d’appuis étudiés, la flèche maximale (19.20) et (19.24) peut se mettre sous la forme :
( )0max 0max1 E ′= +w w , (19.25) où
11 16B B B CED+
= , (19.26)
et 0max′w est la flèche maximale dans le cas où les coefficients de couplage Bij membrane-flexion/torsion sont nuls. Soit :
— dans le cas d’appuis simples :
4
00max
11
5384
a qD
′ =w , (19.27)
— dans le cas d’encastrements :
4
00max
11384a q
D′ =w . (19.28)
400 Chapitre 19 Flexion cylindrique
Le coefficient E est toujours positif. Il en résulte que le couplage membrane-flexion/torsion accroît la flèche de la plaque. Cet accroissement dépend de la structure du stratifié. Par exemple dans le cas de stratifiés croisés [0°/90°]p, constitués de 2p couches croisées identiques (chapitre 15) : 16 16 16 0A B D= = = , (19.29)
et la relation (19.25) s’écrit :
0max 0max211
11 11
1
1 BA D
′=−
w w , (19.30)
avec d’après les expressions du tableau 15.3 :
11 11
211 11
311
11
1 1 ,2
1 1 ,8
1 1 .2 12
T
L
T
L
T
L
EA Q hE
EB Q hp E
E Q hDE
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
(19.31)
D’où
0max 0max2
2
13 11
14T L
T L
E EE Ep
′=−⎛ ⎞− ⎜ ⎟+⎝ ⎠
w w . (19.32)
Cette expression montre que 0maxw est pratiquement confondu avec 0max′w , même pour un faible nombre de couches. Par exemple, dans le cas où ET/EL = 1/4, nous obtenons :
0max 0max
0max 0max
pour 1 (2couches) : 1,37 ,
pour 2 (4couches) : 1,07 .
p
p
′= =
′= =
i
i
w w
w w
19.2.3 Charge sinusoïdale
Toute charge pouvant être exprimée sous la forme d’une série de Fourier, il est intéressant de résoudre le problème de flexion cylindrique dans le cas d’une charge sinusoïdale. Nous examinons le cas d’une plaque en appuis simples soumise à une charge de la forme :
0( ) sin xq x q ma
π= . (19.33)
Les expressions (19.8), (19.10) et (19.11), associées aux conditions aux appuis (19.15), (19.16) conduisent à :
19.3 Prise en compte du cisaillement transverse 401
30
0 3 3
30
0 3 3
40
0 4 4
cos ,
cos ,
sin .
Ba q xu mam D
Ca q xmam D
Aa q xmam D
ππ
ππ
ππ
=
=
=
v
w
(19.34)
La flèche maximum s’écrit :
4
00max 4 4
Aa qm Dπ
=w , (19.35)
et peut se mettre sous la forme :
( )0max 0max1 E ′= +w w , (19.36)
où E est le coefficient de couplage introduit en (19.26) et :
4
00max 4 4
11
a qm Dπ
′ =w , (19.37)
la flèche observée en l’absence de couplage membrane-flexion/torsion (Bij = 0). La répartition des contraintes dans chaque couche du stratifié est obtenue à
partir de la relation (14.20). Les contraintes de cisaillement transverse peuvent ensuite être estimées à partir des relations fondamentales (13.20) dans le cas d’un problème statique.
19.3 PRISE EN COMPTE DU CISAILLEMENT TRANSVERSE
19.3.1 Stratifié orthotrope
Nous considérons la flexion cylindrique (figure 19.1) d’une plaque constituée d’un stratifié comportant un nombre quelconque de couches orthotropes (tissus ou renforts unidirectionnels), dont les axes d’orthotropie sont parallèles aux axes x et y de la plaque. Soit :
16 26 16 26 16 260, 0, 0.A A B B D D= = = = = = (19.38)
La plaque de longueur infinie dans la direction y est supposée être dans un état de déformations planes :
0 0 0 0 0( , ), ( , ), 0, 0, ( , ).x x yu u x t x t x tϕ ϕ ϕ= = = = =v w w (19.39)
Les équations (17.27) à (17.31) se réduisent alors, compte tenu de (17.53), à :
402 Chapitre 19 Flexion cylindrique
2 2 2 2
0 011 112 2 2 2
x xs
u uA B Rx x t t
ϕ ϕρ∂ ∂ ∂ ∂+ = +
∂ ∂ ∂ ∂, (19.40)
2 2
0 055 55 2 2
xsk F q
x x tϕ ρ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + =⎜ ⎟
∂⎝ ⎠∂ ∂w w , (19.41)
2 2 2 2
0 0 011 11 55 552 2 2 2
x xx xy
u uB D k F R Ixx x t t
ϕ ϕϕ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ − + = +⎜ ⎟⎝ ⎠∂∂ ∂ ∂ ∂
w . (19.42)
Dans le cas d’une flexion statique, les équations précédentes s’écrivent sous la forme :
2 20
11 112 2d d 0d d
xuA Bx x
ϕ+ = , (19.43)
20
55 55 2d d 0d d
xk F qx xϕ⎛ ⎞
+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠
w , (19.44)
2 20 0
11 11 55 552 2d d d 0
dd dx
xuB D k F
xx xϕ ϕ⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟
⎝ ⎠w . (19.45)
Nous considérons le cas d’appuis simples sur les côtés x = 0 et x = a. Les conditions aux frontières, pour x = 0 et x = a, sont donc, d’après (17.35) :
0 0, 0, 0.x xN M= = =w (19.46)
Compte tenu de l’équation constitutive (17.21), les conditions aux frontières, pour x = 0 et x = a, s’écrivent :
0
011 11
011 11
0,d d 0,d dd d 0.d d
xx
xx
uN A Bx x
uM B Dx x
ϕ
ϕ
=
= + =
= + =
w
(19.47)
Nous étudions le cas d’une charge transversale sinusoïdale :
0( ) sin xq x q ma
π= . (19.48)
Les solutions satisfaisant aux équations d’équilibre (19.43) à (19.45) et aux conditions aux frontières (19.47) sont de la forme :
0 0cos , cos , sin .m x m mx x xu A m B m C ma a a
π ϕ π π= = =w (19.49)
19.3 Prise en compte du cisaillement transverse 403
En substituant les expressions (19.49) dans les équations (19.43) à (19.45), puis en résolvant le système des équations obtenues, nous obtenons :
( )
( )
( )
311 0
3 3 211 11 11
311 0
3 3 211 11 11
2 211 0
2 22 2 255 5511 11 11
,
,
1 .
m
m
m
B a qAm A D B
A a qBm A D B
A a a qCk F mm A D B
π
π
ππ
=−
−=
−
⎡ ⎤= +⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
(19.50)
La flèche est maximale au milieu de la plaque (x = a/2), soit :
0max mC=w ,
et peut se mettre sous la forme :
( )2 20max 0max1 E m Sπ ′= + +w w , (19.51)
où 0max′w est la flèche maximale du stratifié en l’absence de couplage membrane-flexion et en l’absence de déformation en cisaillement, E est le terme dû au couplage membrane-flexion et S le terme qui tient compte du cisaillement. Ces termes sont exprimés suivant :
40
0max 4 411
211
211 11 11
112
55 55
,
,
.
a qm D
BEA D B
DSk F a
π′ =
=−
=
w
(19.52)
L’expression (19.51) montre que le cisaillement transverse augmente la flèche. Les expressions précédentes peuvent également être réécrites en introduisant une rigidité effective en flexion : 11Q , ayant la dimension d’un module, et un module de cisaillement moyen : 13G , exprimés suivant :
11 5511 133
12 , .D FQ Ghh
= = (19.53)
La flèche maximale en l’absence de couplage membrane-flexion et en l’absence de cisaillement s’écrit :
4
00max 4 4 3
11
12a qm h Qπ
′ =w , (19.54)
et le facteur de cisaillement s’écrit :
404 Chapitre 19 Flexion cylindrique
2
11
55 13
112
Q hSk G a
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
. (19.55)
L’importance du cisaillement dépend donc du rapport 11 13Q G et du rapport a/h : distance entre appuis par rapport à épaisseur du stratifié.
La répartition des contraintes en membrane , , k k kxx yy xyσ σ σ dans chaque
couche k du stratifié est obtenue à partir de la relation (17.16). Les contraintes de cisaillement transverse sont ensuite déduites des relations fondamentales (13.20), exprimées dans le cas d’un problème statique.
19.3.2 Stratifié équilibré
Nous considérons le cas d’un stratifié équilibré antisymétrique (chapitre 15), constitué de couches alternativement orientées à ±θ, par rapport à l’axe x de la plaque. Pour ces stratifiés, nous avons (relations (15.26)) :
16 26 11 12 22 66
16 26 45
0, 0,0, 0.
A A B B B BD D F
= = = = = == = =
(19.56)
La plaque, de longueur infinie dans la direction y, est en appui tout le long de ses côtés x = 0 et x = a. La plaque est soumise à une charge q(x). Dans ces conditions, la déformation est cylindrique de la forme :
0 0 0 0 0 0( ), ( ), ( ), ( ), ( ).x x y yu u x x x x xϕ ϕ ϕ ϕ= = = =v = v w w (19.57)
Les relations fondamentales (17.27) à (17.31) s’écrivent ici :
220
11 162 2
2 20
66 162 2
20
55 2
2 20 0
16 11 552 2
220
16 66 442 2
dd 0,d dd d 0,d d
d d 0,d d
d d d 0,dd d
dd 0.d d
y
x
x
xx
yy
uA Bx x
A Bx x
F qx x
B D Fxx x
uB D Fx x
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕϕ
+ =
+ =
⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠
+ − =
v
w
v w
(19.58)
Dans le cas d’appuis simples sur les côtés x = 0 et x = a, les conditions aux frontières peuvent être écrites sous la forme :
0 0x xy x xyN N M M= = = = =w . (19.59)
19.3 Prise en compte du cisaillement transverse 405
Les résultantes et moments sont liés aux fonctions u0, v0, ϕx et ϕy par l’équation constitutive (17.21). Soit ici :
0
11 12 16 0
12 22 26
66 16 26
16 11 12
26 12 22
16 26 66
0 0 00 0 0
00 0 00 0 00 0 0
0 0 0
0
x
y
xy
x x
yyxy
ux
N A A BN yA A BN A B BM B D D
xM B D DM B B D
y
ϕ
ϕ
∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂⎢ ⎥
⎡ ⎤ ∂⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥
∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
v
. (19.60)
Dans le cas où la plaque est soumise à une charge sinusoïdale :
0( ) sin xq x q ma
π= , (19.61)
les solutions aux équations d’équilibre (19.58) et aux conditions d’appuis (19.59) sont de la forme :
0 0
0
cos , cos ,
cos , cos ,
sin .
m m
x m y m
m
x xu A m B ma ax xC m D ma axE ma
π π
ϕ π ϕ π
π
= =
= =
=
v
w
(19.62)
Les constantes Am, Bm, Cm , Dm et Em sont déterminées en reportant les expres-sions (19.62) dans les équations (19.58). D’où le système d’équations :
11 16
66 16
055
2
16 11 55 552 2
2
16 66 442 2
0,0,
1 ,
0,
0.
m m
m m
m m
m m m
m m
A A B DA B B C
m aC E qa F m
a aB B D F C F Emm
aB A D F Dm
ππ
ππ
π
+ =
+ =
+ =
⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠
(19.63)
La résolution de ce système d’équations permet de déterminer les constantes Am, Bm, Cm, Dm et Em. La répartition des contraintes dans le stratifié est ensuite obtenue à partir des relations (17.16) et (13.20).
406 Chapitre 19 Flexion cylindrique
19.4 RECHERCHE D’UNE SOLUTION EXACTE
La solution exacte a été obtenue par N.J. Pagano [26], dans le cas de la flexion cylindrique d’un stratifié constitué de couches orthotropes, dont les axes d’ortho-tropie sont parallèles aux axes x et y de la plaque.
La flexion cylindrique est caractérisée par un état de déformations planes, sans déformation dans la direction y, soit :
0, 0, 0.yy xy yzε γ γ= = = (19.64)
D’autre part, les contraintes, déformations et déplacements ne sont fonctions que de x et z.
Les couches étant orthotropes et d’axes principaux confondus avec les axes de la couche, les contraintes dans une couche sont données par :
11 12 13
12 22 23
13 23 33
44
55
66
0 0 00 0 0 00 0 0
0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0
xx xx
yy
zz zz
yz
xz xz
xy
C C CC C CC C C
CC
C
σ εσσ εσσ γσ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
, (19.65)
D’où
11 13
12 23
13 33
55
,,
,0,
,0.
xx xx zz
yy xx zz
zz xx zz
yz
xz xz
xy
C CC C
C C
C
σ ε εσ ε ε
σ ε εσ
σ γσ
= +
= +
= +
=
=
=
(19.66)
Nous en déduisons :
0, 0.yz xyσ σ= = (19.67)
Les relations déformations-contraintes, exprimées à l’aide des coefficients de souplesse, s’écrivent donc :
11 12 13
12 22 23
13 23 33
44
55
66
0 0 00 0 0 0
0 0 00 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0
xx xx
yy
zz zz
xz xz
S S SS S SS S S
SS
S
ε σσ
ε σ
γ σ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
19.4 Recherche d’une solution exacte 407
Soit :
11 12 13
12 22 23
13 23 33
55
,
0 ,
,
.
xx xx yy zz
xx yy zz
zz xx yy zz
xz xz
S S S
S S S
S S S
S
ε σ σ σ
σ σ σ
ε σ σ σ
γ σ
= + +
= + +
= + +
=
(19.68)
La contrainte σyy s’exprime en fonction des contraintes σxx et σzz suivant :
( )12 2322
1yy xx zzS S
Sσ σ σ= − + . (19.69)
En reportant cette expression dans les relations (19.68), nous obtenons :
11 13
13 33
55
00
0 0
xx xx
zz zz
xz xz
R RR R
R
ε σε σγ σ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, (19.70)
où Rij sont les constantes de souplesse réduites, exprimées suivant :
212 12 23
11 11 13 1322 22223
33 33 55 5522
, ,
, .
S S SR S R SS S
SR S R SS
= − = −
= − =
(19.71)
Les équations d’équilibre (13.20) se réduisent à :
0,
0,
xx xz
zz xz
x z
z x
σ σ
σ σ
∂ ∂+ =
∂ ∂∂ ∂
+ =∂ ∂
(19.72)
et les équations de compatibilité (8.21) à :
2 2 2
2 2zz xx xz
x zx zε ε γ∂ ∂ ∂
+ =∂ ∂∂ ∂
. (19.73)
Nous considérons le cas d’une plaque soumise à une charge transversale q(x) sur sa face supérieure et en appuis simples sur ses côtés x = 0 et x = a. Les conditions aux frontières sur les faces supérieure et inférieure s’écrivent :
( , 2) ( ), ( , 2) 0,( , 2) 0, ( , 2) 0,
zz zz
xz xz
x z h q x x z hx z h x z h
σ σσ σ
= = = − == = = − =
(19.74)
alors que les conditions d’appuis peuvent être décrites par :
(0, ) 0, ( , ) 0,(0, ) 0, ( , ) 0.
xx xxz a zz a z
σ σ= == =w w
(19.75)
408 Chapitre 19 Flexion cylindrique
D’autre part, la continuité des contraintes et des déplacements doit être vérifiée entre chaque couche :
1 1
1 1
( , ) ( , ), ( , ) ( , ),
( , ) ( , ), ( , ) ( , ).
k k k kzz k zz k xz k xz kk k k k
k k k k
x h x h x h x h
u x h u x h x h x h
σ σ σ σ+ +
+ +
= =
= =w w (19.76)
Toute charge q(x) pouvant être exprimée sous forme d’une série de Fourier, nous étudions le cas où :
0( ) sin xq x q ma
π= . (19.77)
La solution au problème posé est recherchée en exprimant les contraintes dans la couche k sous une forme satisfaisant aux équations d’équilibre (19.72), soit :
2 2
2
( )sin ,
( )sin ,
( ) cos ,
kxx k
kzz k
kxz k
xf z ma
m xf z maa
m xf z ma a
σ π
πσ π
πσ π
′′=
= −
′= −
(19.78)
où fk(z) est une fonction de la variable z à déterminer (l’origine des z étant prise dans le plan milieu du stratifié) et où les primes indiquent les dérivées par rapport à la variable z. Le champ des déformations dans la couche k s’en déduit à l’aide de (19.70) suivant :
2 2
11 13 2
2 2
13 33 2
55
( ) ( ) sin ,
( ) ( ) sin ,
( ) cos .
k k kxx k k
k k kzz k k
k kxz k
m xR f z R f z maa
m xR f z R f z maa
m xR f z ma a
πε π
πε π
πγ π
⎡ ⎤′′= −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤′′= −⎢ ⎥
⎣ ⎦
′= −
(19.79)
En reportant ces expressions dans l’équation de compatibilité (19.73), nous obtenons une équation différentielle en fk(z) :
( )2 2 4 4
11 13 55 332 4( ) 2 ( ) ( ) 0 k k k kk k k
m m''''R f z R R f z R f za aπ π′′− + + = . (19.80)
Cette équation différentielle du quatrième ordre a pour solution :
( )4
1
1
( ) exp ,
,1, 2, . . . , , : nombre de couches,
k ik iki
k k
f z A r z
h z hk n n
=
−
=
≤ ≤=
∑ (19.81)
19.5 Comparaison entre les diverses théories 409
où les constantes rik sont données par :
1
2
3
4
,
,
k k k
k k
k k k
k k
r m a br a c
r m a br a c
π
π
+⎫= ±⎬
⎭
−⎫= ±⎬
⎭
(19.82)
avec
55 13
211 33
11
2 ,
4 ,
2 ,
k kk
k kk k
kk
a R R
b a R R
c R
= +
= −
=
(19.83)
et où les constantes Aik sont à déterminer.
Les contraintes dans la couche k s’écrivent :
( )
( )
( )
42
142 2
21
4
1
sin exp ,
sin exp ,
cos exp ,
kxx ik ik ik
i
kzz ik ik
i
kxz ik ik ik
i
xm A r r za
m xm A r zaa
m xm A r r za a
σ π
πσ π
πσ π
=
=
=
=
= −
= −
∑
∑
∑
(19.84)
et les déplacements sont donnés par :
( )
( )
4 2 22
13 1121
4 2 233
13 21
cos exp ,
sin exp .
k k kik ik ik
ik
k kik ik ik
iki
a x mu m A R R r r zm a a
x m Rm A R r r za ra
πππ
ππ
=
=
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
∑w
(19.85)
Les conditions de continuité (19.76) entre chaque couche, associées aux conditions (19.74) sur les faces inférieure et supérieure conduisent à un système de 4n équations, dont la résolution permet de trouver les 4n constantes Aik.
19.5 COMPARAISON ENTRE LES DIVERSES THÉORIES
Nous comparons les résultats obtenus par les diverses théories : théorie classique des stratifiés, théorie des stratifiés avec prise en compte du cisaillement transverse et solution exacte, dans le cas d’un stratifié constitué de couches
410 Chapitre 19 Flexion cylindrique
orthotropes d’axes parallèles aux axes de la plaque et dans le cas d’une charge transversale sinusoïdale :
0( ) sin xq x qa
π= . (19.86)
Dans le cas de la théorie classique, la flèche maximale est donnée par (19.36) :
( )0max 0max1 E ′= +w w . (19.87)
Dans le cas de la théorie prenant en compte le cisaillement transverse, la flèche maximale est donnée par l’expression (19.51) :
( )20max 0max1 E Sπ ′= + +w w , (19.88)
où 0max ,′w E et S sont exprimés en (19.52). Le calcul de la flèche maximale par la solution exacte se fait à partir de la relation (19.85).
Nous considérons, ci-après, deux types de stratifiés : un stratifié croisé antisymétrique [0°/90°] et un stratifié symétrique [0°/90°/0°].
1. Stratifié [0°/90°]
Les coefficients de rigidité sont donnés par les expressions (19.31) :
11 11
211 11
311
11
1 1 ,21 1 ,8
1 1 .2 12
T
L
T
L
T
L
EA Q hE
EB Q hE
E Q hDE
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
(19.89)
Il en résulte, d’après (19.53) :
( )
11 112
13
1 11 1 ,2 2 1
1 .2
T T L
TL L LTL
LT TT
E E EQ Q EE EE
G G G
ν
′ ′
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −
= +
(19.90)
En reportant ces diverses expressions dans (19.88), nous obtenons :
( )
2
220max
20max 55
1 131 1
1 12 41 1
T T
LL LT T LT TTLTL L
E EE hE E
E Ek G G aE E
π
ν ′ ′
⎡ ⎤⎛ ⎞+ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥′ ⎝ ⎠+ +⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
wE w
.
(19.91)
Les variations de ( )0max 0max1 ′+w E w en fonction du rapport a/h, obtenues
19.5 Comparaison entre les diverses théories 411
FIGURE 19.2. Flèche maximale d’un stratifié [0°/90°] en fonction de l’élancement.
par les diverses théories, sont reportées sur la figure 19.2 dans le cas d’un stratifié composé de couches unidirectionnelles à fibres de carbone, les modules de chaque couche ayant pour valeurs :
230 GPa, 14 GPa, 5 GPa,4 GPa, 0,3.
L T LT
TT LT
E E GG ν′
= = == =
(19.92)
Dans le cas de la théorie avec cisaillement transverse, les variations de la flèche sont reportées avec trois valeurs de k55 : 5 2
6 31, , . Les courbes obtenues montrent un bon accord entre les résultats obtenus avec la théorie tenant compte du cisaillement transverse et les résultats déduits de la solution exacte, la meilleure évaluation étant obtenue avec k55 5
6= . La théorie classique des stratifiés ne rend pas compte de l’effet de l’élancement a/h, les résultats obtenus par les diverses théories étant pratiquement confondus pour les grandes valeurs de ce rapport.
2. Stratifié [0°/90°/0°]
Les coefficients de rigidité sont d’après le tableau 15.2 :
solution exacte
55 2 / 3k =
55 5 / 6k =
55 1k =
cisaillementtransverse
théorie classique
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
0,9 0 5 10 15 20
rapport longueur sur épaisseur ( )a h
flè
che
max
imal
e
()
0max
0max
1′
+w
Ew
412 Chapitre 19 Flexion cylindrique
11 11
113
1111
1 1 ,20,
1 7 .8 12
T
L
T
L
EA Q hE
B
E Q hDE
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
=
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
(19.93)
Il en résulte, d’après (19.53) :
( )
112
13
1 7 ,8 1
1 .2
T L
TL LTL
LT TT
E EQ EEE
G G G
ν
′ ′
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ −
= +
(19.94)
En reportant ces expressions dans (19.88), nous obtenons :
22
0max20max 55
71
48 1
T
LLT LT TTLTL
EE hE
Ek G G aE
π
ν ′ ′
+⎛ ⎞= + ⎜ ⎟′ ⎝ ⎠+−
ww
, (19.95)
puisque E = 0. La variation de 0max 0max′w w en fonction de l’élancement a/h est reportée sur la figure 19.3 dans le cas d’un stratifié dont les couches ont les caractéristiques reportées en (19.92). On observe également dans ce cas un bon accord entre les résultats de la théorie avec cisaillement transverse et les résultats déduits de la solution exacte.
19.6 FLEXION CYLINDRIQUE DES PLAQUES SANDWICHES
Nous avons noté, chapitre 18, l’identité de comportement entre les plaques sandwiches symétriques et les stratifiés symétriques avec cisaillement transverse. Les éléments développés au paragraphe 19.3 peuvent donc être transposés au cas de la flexion cylindrique de plaques sandwiches symétriques. En complément à ces résultats, nous considérons un exemple de plaque sandwich, constituée de :
— deux peaux identiques dont les axes d’orthotropie sont parallèles aux axes x et y de la plaque :
16 26 16 26
0,0,
ij ijB CA A D D
= =
= = = = (19.96)
— une âme dont les axes principaux 1 et 2 sont parallèles aux axes x et y :
45 44 23, 55 13,0, F F hG F hG= = = (19.97)
où G13 et G23 sont les modules de cisaillement mesurés suivant les axes des matériaux.
19.6 Flexion cylindrique des plaques sandwiches 413
FIGURE 19.3. Flèche maximale d’un stratifié [0°/90°/0°] en fonction de l’élancement.
L’état de déformation de la plaque sandwich est décrit suivant :
0 0 0 00, ( , ), 0, 0, ( , ).x x yu x t x tϕ ϕ ϕ= = = = =v w w (19.98)
Les relations fondamentales (paragraphes 18.3.2) se réduisent ici à :
2 2
011 132 2
x xx xyD hG I
xx tϕ ϕϕ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + =⎜ ⎟
⎝ ⎠∂∂ ∂w , (19.99)
2 2
0 013 2 2
xshG q
x x tϕ ρ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + =⎜ ⎟
∂⎝ ⎠∂ ∂w w . (19.100)
Soit dans le cas d’une flexion statique :
20
11 132d d 0
ddx
xD hGxx
ϕ ϕ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠
w , (19.101)
20
13 2d d 0d d
xhG qx xϕ⎛ ⎞
+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠
w . (19.102)
solution exacte
55 2 / 3k =
55 1k = cisaillementtransverse
théorie classique
3,0
2,8
2,6
2,2
2,0
1,8
1,6
1,2
1,0
0,8 0 5 15 25 20
2,4
1,4
10 20 30
rapport longueur sur épaisseur ( )a h
flè
che
max
imal
e
()
0max
0max
1′
+w
Ew
414 Chapitre 19 Flexion cylindrique
Nous étudions le cas d’une charge uniforme : q(x) = q0, et d’une plaque en appuis simples sur les côtés x = 0 et x = a :
0d0, 0, 0.d
xxw M
xϕ
= = = (19.103)
L’intégration de l’équation (19.102) conduit à :
013 0
ddxhG q x C
xϕ⎛ ⎞+ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
w ,
et en substituant ce résultat dans l’équation (19.101), nous obtenons :
2
11 02d 0d
xD q x Cxϕ
+ − = .
L’intégration de cette équation, associée à la condition (19.103) aux appuis, conduit à :
( )
0
11
dd 2
x q x x ax Dϕ
= − − . (19.104)
En reportant cette expression dans la relation (19.102), nous obtenons l’équation différentielle en w0 :
( )
20
0211 13
d 1 12d
q x x aD hGx
⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦
w . (19.105)
En intégrant deux fois, puis en tenant compte que w0 est nul pour x = 0 et x = a, nous obtenons finalement :
( )3 2 30 110
11 13
12224
q Dx x ax a a xD hG
⎡ ⎤= − + + −⎢ ⎥⎣ ⎦w . (19.106)
L’équation (19.101) peut ensuite être explicitée pour en déduire ϕx, soit :
( )3 2 30
114 6
24xq x ax aD
ϕ = − − + . (19.107)
Les contraintes dans la couche k de la peau supérieure ou inférieure s’écrivent, d'après (18.17), suivant :
11 12
12 22
66
d2 d0
0 0
0 00
xk k kxxk k kyyk kxy
hxQ Q
Q Q
Q
ϕσ
σ
σ
⎡ ⎤±⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
19.6 Flexion cylindrique des plaques sandwiches 415
Soit :
11
12
d ,2 d
d ,2 d
0.
k k xxx
k k xyy
kxy
hQx
hQx
ϕσ
ϕσ
σ
= ±
= ±
=
(19.108)
Le signe + étant associé à la peau supérieure et le signe – à la peau inférieure. La contrainte de cisaillement transverse peut être obtenue ensuite à partir des relations fondamentales (13.20) qui se réduisent ici à :
0k kxx xzx zσ σ∂ ∂
+ =∂ ∂
. (19.109)
Soit :
( )011
112
2 2
kkxz h qQ x a
z Dσ∂
= ± −∂
, (19.110)
ou en intégrant :
( )( )110
112
4
kkxz k
Q h x a z c qD
σ = ± − + . (19.111)
Les constantes ck dans chaque couche sont déterminées en annulant la contrainte de cisaillement σxz sur les faces supérieure et inférieure, et en assurant sa con-tinuité entre chaque couche.
Nous examinons le cas d’un sandwich symétrique dont les peaux sont constituées de deux couches unidirectionnelles croisées de même épaisseur : [0°/90°]. Les coefficients 11
kQ des couches sont :
0 9011 11
2 2, .
1 1
L T
T TLT LT
L L
E EQ QE EE E
ν ν
° °= =− −
(19.112)
Dans la peau inférieure, la contrainte de cisaillement dans la couche à 0° est, d’après (19.111) :
( )( )00 0
211
24 1
Lxz
TLT
L
E h x a z c qEDE
σν
° = − − +⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
.
La constante c0 est telle que :
01, 0
2xzhx z hσ ° ⎛ ⎞⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
,
Ce qui conduit à :
( )( )01 0
211
2 2 28 1
Lxz
TLT
L
E h x a h h z qEDE
σν
° = − − + +⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
. (19.113)
416 Chapitre 19 Flexion cylindrique
La contrainte de cisaillement dans la couche à 90° est :
( )( )9090 0
211
24 1
Txz
TLT
L
E h x a z c qEDE
σν
° = − − +⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
.
La constante c90 est obtenue en écrivant la continuité de σxz entre les couches :
0 901 1, , 2 2 2 2xz xzh h h hx z x zσ σ° °⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
Soit :
( ) ( )901 1 0
211
2 2 216 1
L Txz
T LLT
L
E h Ex a z h h h qE EDE
σν
° ⎡ ⎤= − − + + +⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎣ ⎦−⎜ ⎟⎝ ⎠
. (19.114)
La contrainte σxx étant nulle dans l’âme, il résulte de (19.109) que la contrainte σxz dans l’âme est indépendante de z. Elle est obtenue en explicitant la continuité à l’interface peau-âme :
a 90 , 2xz xzhx zσ σ ° ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟
⎝ ⎠.
D’où :
( )a 10
2 11
22
161
T
LLxz
TLT
L
EE hhE x a qE D
E
σν
+= − −
−. (19.115)
La répartition des contraintes dans la peau supérieure est obtenue par symétrie de la répartition dans la peau inférieure.
La figure 19.4 donne la variation de la contrainte de cisaillement dans l’épaisseur du sandwich, pour x = 0 et dans le cas où EL/ET = 4,5 et h1/h = 0,1. Nous pouvons noter que l’hypothèse de déformation uniforme dans les peaux conduit à une variation linéaire de la contrainte de cisaillement dans chaque couche, au lieu d’une variation parabolique dans le cas de la théorie classique des stratifiés. La contrainte de cisaillement est maximale dans l’âme, avec une valeur indépendante des propriétés de l’âme. Cette contrainte maximale dans l’âme conduit à une rupture du sandwich par délaminage dans le cas où la cohésion peau-âme n’est pas assez élevée.
EXERCICES
19.1 Une plaque de grande dimension selon la direction y est soumise à une charge uniforme q0. La plaque est en appui le long de deux supports dans la direction y, distants de a dans la direction x. Nous étudions le comportement en flexion cylindrique de la plaque dans le cas de deux types de supports : (1) le cas
Exercices 417
FIGURE 19.4. Répartition des contraintes de cisaillement suivant l’épaisseur d’une plaque sandwich.
de deux appuis simples, et (2) le cas de deux encastrements. La plaque est constituée d’un stratifié à six couches à renfort tissu. Chaque
couche d’épaisseur 1 mm a les mêmes caractéristiques mécaniques :
20 GPa, 14 GPa, 0,15, 2, 4 GPa.L T LT LTE E Gν= = = =
Pour les deux types de supports, déterminer la flèche en un point quelconque de la plaque, les résultantes et moments, les contraintes dans chaque couche.
19.2 Le stratifié à six couches, considéré dans l’exercice précédent, constitue pour moitié les peaux d’un matériau sandwich symétrique dont l’âme isotrope a une épaisseur de 20 mm et les caractéristiques mécaniques suivantes :
a a80 MPa, 35 MPa.E G= =
Reprendre l’exercice précédent dans le cas où la plaque est constituée de ce matériau sandwich.
h1
h1
h ht
0°
1 0.1 4.5L Th h E E= =
1121
L
TLT
L
EQ EE
ν=
−
211 0 11xz D q Q ahσ
0.005 0.015 0.010 0 –0.50
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