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ATELIER : UTILISATION D’UN THEODOLITE
Dans le cadre de la semaine des mathématiques, les élèves de la classe de 1ère Technicien en Etudes du Bâtiment ont participé à cet atelier.
LE TRAVAIL A REALISER
Les élèves ont dû simuler l’implantation du terrassement d’une
piscine polyester du commerce sur le terrain de rugby du lycée.
Pour cela, ils disposaient des dimensions de la piscine et d’un extrait du
plan de masse du terrain .
Position du théodolite
Dans un premier temps, ils ont dû repérer la position du
théodolite sur l’extrait du plan de masse, celui-ci devant être mis en
station sur la borne sud-ouest de la propriété.
Ils ont ensuite déterminé les coordonnées cartésiennes locales
des points 1 à 7 (fond de fouille) et 8 à 16 (entrée de terre) sur le plan
d’implantation du terrassement.
LES CALCULS
Coordonnées cartésiennes
Points x y
1 9,800 4,800
2 9,800 9,200
3 19,300 9,200
4 19,300 8,739
5 20,850 7,000
6 19,300 5,261
7 19,300 4,800
8 8,000 2,867
9 8,000 11,133
10 19,300 10,300
11 20,400 10,300
12 20,400 9,536
13 21,950 7,000
14 20,400 4,464
15 20,400 3,700
16 19,300 3,700
La plupart des coordonnées ont été obtenues par simple lecture
sur le plan. La détermination des coordonnées cartésiennes des points 8 et
9 était plus difficile.
(D)
Exemple : Détermination des coordonnées cartésiennes du point 9
L’équation de la droite (D) est de la forme y = ax + b.
→ Calcul du coefficient directeur a :
A (9,8 ; 11) (D) yB – yA 10,3 – 11
a = ———— = ————— = -0,0737
B (19,3 ; 10,3) (D) xB – xA 19,3 – 9,8
L’équation de la droite (D) est de la forme y = -0,0737x + b.
→ Calcul de b :
A (9,8 ; 11) (D) yA = -0,0737xA + b
11 = -0,0737 x 9,8 + b
b = 11 + 0,7223
b = 11,7223
L’équation de la droite (D) est y = -0,0737x + 11,7223.
• •
A
B
L’abscisse du point 9 se repère
facilement sur le plan.
Pour déterminer l’ordonnée de ce point,
il faut utiliser l’équation de la droite (D) :
y = -0,0737 x 8,000 + 11,7223 ≈ 11,133.
Une fois la détermination des coordonnées cartésiennes réalisée, les
élèves ont dû les transformer en coordonnées polaires.
Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires :
- La coordonnée radiale exprime la distance D
du point à un point central appelé pôle
(équivalent à l’origine O des coordonnées
cartésiennes).
- La coordonnée angulaire (azimut) exprime la
mesure dans le sens horaire de l’angle α entre
le point et l’axe polaire (équivalent à l’axe des
ordonnées en coordonnées cartésiennes).
x x
tan α = —— donc α = arctan ——
y y
Les coordonnées polaires sont un système de coordonnées à deux
dimensions, dans lequel chaque point est déterminé par une coordonnée radiale et
une coordonnée angulaire.
O
α
D
x
y
x
y
Coordonnées cartésiennes Coordonnées polaires
Points x y D Azimut
1 9,800 4,800 10,912 71,0051
2 9,800 9,200 13,442 52,0097
3 19,300 9,200 21,381 71,6818
4 19,300 8,739 21,186 72,9323
5 20,850 7,000 21,994 79,3794
6 19,300 5,261 20,004 83,0580
7 19,300 4,800 19,888 84,4818
8 8,000 2,867 8,498 78,0929
9 8,000 11,133 13,709 39,6671
10 19,300 10,300 21,876 68,7912
11 20,400 10,300 22,853 70,2341
12 20,400 9,536 22,519 72,1625
13 21,950 7,000 23,039 80,3469
14 20,400 4,464 20,883 86,2854
15 20,400 3,700 20,733 88,5776
16 19,300 3,700 19,651 87,9417
Exemple : Détermination des coordonnées polaires du point 9
→ Calcul de la coordonnée radiale :
→ Calcul de la coordonnée angulaire (azimut) :
x 8,000
α = arctan —— = arctan ———— = 39,6671 gon
y 11,133
LES ELEVES EN PLEIN CALCULS
IMPLANTATION DU TERRASSEMENT
Après avoir déterminé les coordonnées polaires des 16 points du
plan, les élèves se sont rendus sur le terrain pour y effectuer l’implantation.
Un étudiant en 2ème année de BTS Géomètre-Topographe leur a
expliqué l’utilisation d’un théodolite et la méthode à suivre pour
matérialiser les points à l’aide de piquets topographiques.
Dans un premier
temps, le théodolite doit
être « mis en station ».
Pour cela, il faut poser
l’appareil sur un trépied à
la verticale exacte du
« pôle » ; sa base doit être
parfaitement horizontale.
L’axe polaire doit
également être réglé.
Il faut ensuite paramétrer le
théodolite en lui indiquant la valeur
de l’azimut du point que l’on
souhaite matérialiser.
A l’aide du théodolite, un
élève indique à son camarade tenant
une borne la direction dans laquelle
il doit se placer.
Ces opérations ont été
répétées pour les 16 points du plan
qui devaient être matérialisés pour
l’implantation du terrassement de la
piscine.
Enfin, il faut repérer à
l’aide du décamètre la distance du
théodolite au point que l’on souhaite
matérialiser et y planter le piquet
topographique.