EstatEstatíísticastica e e ProbabilidadeProbabilidade

Aula Aula 0404: : VariVariááveisveisAleatAleatóóriasrias ContContíínuasnuas

ITA ITA -- LaboratLaboratóóriorio de Guerra de Guerra EletrônicaEletrônica

EENEM 2008EENEM 2008

FunFunççãoão densidadedensidade de de probabilidadeprobabilidade contcontíínuanua

xx

f(xf(x))

a ba b

f(xf(x) ) ≥≥ 0 0 parapara todotodo xxáárearea abaixoabaixo dada curvacurva f(xf(x) = 1) = 1

FunFunççãoão distribuidistribuiççãoão cumulativacumulativacontcontíínuanua

P (X > a) = 1 P (X > a) = 1 -- F(aF(a))P (a P (a ≤≤ X X ≤≤ b) = b) = F(bF(b) ) -- F(aF(a))

FF’’(x(x) = ) = f(xf(x))

ExemploExemplo

•• Um professor do GITE Um professor do GITE nuncanunca terminaterminasuassuas aulasaulas antes antes queque a a campainhacampainhatoque e toque e sempresempre encerraencerra atatéé doisdoisminutosminutos depoisdepois. . SejaSeja X = o tempo X = o tempo quequedecorredecorre entre o soar entre o soar dada campainhacampainha e o e o fimfim dada aula: aula: f(xf(x) = kx) = kx22 0 0 ≤≤ x x ≤≤ 22

a) determine o valor de ka) determine o valor de k

ExemploExemplo (cont.)(cont.)

b) b) qualqual éé a a probabilidadeprobabilidade de de queque aula aula terminetermine atatéé 1 1 minutominuto depoisdepois queque a a campainhacampainha toque?toque?

c) c) qualqual a a probabilidadeprobabilidade de de queque a aula se a aula se encerreencerre somentesomente entre 60 e 90 entre 60 e 90 segundossegundos apapóóss o toque do o toque do sinalsinal??

d) d) qualqual a a probabilidadeprobabilidade queque a aula a aula continue continue pelopelo menosmenos porpor 90 90 segundossegundosapapóóss o o sinalsinal??

MMéédiadia e e VariânciaVariância

μμxx = E(X) = = E(X) = x.f(x)dxx.f(x)dx

σσ22xx = V(X) = (x = V(X) = (x -- μμ))22.f(x)dx.f(x)dx

V(X) = E(XV(X) = E(X22) ) -- [E(X)][E(X)]22

--∞

∞

--∞

∞

DistribuiDistribuiççõesões de de probabilidadeprobabilidade contcontíínuasnuas

•• UniformeUniforme•• NormalNormal•• ExponencialExponencial

•• ChiChi--quadradoquadrado ((χχ22), G), Gamma, amma, WeibullWeibull, Lognormal, Beta, Lognormal, Beta

DistribuiDistribuiççãoão uniformeuniforme

•• UmaUma varivariáávelvel aleataleatóóriaria contcontíínuanua ééditadita possuirpossuir umauma distribuidistribuiççãoãouniformeuniforme no no intervalointervalo [A, B] se a [A, B] se a fdpfdpde X de X éé::

f(xf(x; A, B) = 1/ (B ; A, B) = 1/ (B —— A) A A) A ≤≤ X X ≤≤ BB00 nosnos demaisdemais

DistribuiDistribuiççãoão uniformeuniforme

xx

f(xf(x))

a ba b

11bb--aa

FunFunççãoão distribuidistribuiççãoão cumulativacumulativa

UniformeUniforme

0 0 x < Ax < Ax x —— AA

F(xF(x) = ) = B B —— AA A A ≤≤ x x ≤≤ BB

11 x x ≥≥ BB

xx

F(xF(x))

a ba b

11

FunFunççãoão distribuidistribuiççãoão cumulativacumulativa

UniformeUniforme

DistribuiDistribuiççãoão normalnormal

•• UmaUma varivariáávelvel aleataleatóóriaria X X éé ditaditapossuirpossuir umauma distribuidistribuiççãoão normalnormal com com parâmetrosparâmetros μμ e e σσ ((ouou σσ22), ), ondeonde --∝<∝< μμ<< ∝∝ and 0 and 0 << σσ se a se a fdpfdp de X de X éé::

f(xf(x; ; μμ, , σσ) = 1 e) = 1 e--(x(x--μμ))22/(2/(2σσ22)) --∝<∝< x x << ∝∝√√22ππ σσ

C3

Freq

uenc

y

1,60,80,0-0,8-1,6

20

15

10

5

0

Mean -0,04130StDev 0,9244N 100

Histogram of C3Normal

C3

Freq

uenc

y

3210-1-2-3

100

80

60

40

20

0

Mean 0,03500StDev 1,036N 1000

Histogram of C3Normal

• O gráfico é construídotomando-se a freqüência de cada faixa de valores

• Na medida em que n aumenta, mais o resultado se aproxima da curva teórica

• Se n é suficientementegrande, a freqüência relativatorna-se probabilidade e temos então uma “FunçãoDensidade de Probabilidade”, no caso, de uma Normal

x - 3s x - 2s x - s x x + s x + 2s x + 3s

0,3400,340 0,3400,340

0,1350,1350,1350,135

0,0240,024 0,0240,0240,0010,0010,0010,001

68% 68% estãoestãodentrodentro de 2de 2

desviosdesvios--padrõespadrões

95% 95% estãoestãodentrodentro de 4 de 4 desviosdesvios--padrõespadrões

99,7% dos dados 99,7% dos dados estãoestãodentrodentro de 6 de 6 desviosdesvios--padrõespadrões a a contarcontar

dada mméédiadia (x (x -- 3s, x + 3s)3s, x + 3s)

0,5

1,0

x

F(x)

μ = 0

FunFunççãoão distribuidistribuiççãoão cumulativacumulativa

NormalNormal

x

f(x)

função distribuição

0,5

1,0

x

F(x)

μ = 0

função cumulativa

DistribuiDistribuiççãoão normal normal padrãopadrão

•• A A distribuidistribuiççãoão normal com normal com parâmetrosparâmetros μμ = 0 = 0 e e σσ = 1 = 1 éé chamadachamada distribuidistribuiççãoão normal normal padrãopadrão. . UmaUma varivariáávelvel aleataleatóóriaria queque tem tem umaumadistribuidistribuiççãoão normal normal padrãopadrão éé chamadachamadavarivariáávelvel aleataleatóóriaria normal normal padrãopadrão e e serseráádenotadadenotada porpor Z:Z:

f(zf(z; 0, 1) = 1 e; 0, 1) = 1 e--zz22/2/2 --∝<∝< z z << ∝∝√√22ππ

•• A A funfunççãoão distribuidistribuiççãoão cumulativacumulativa de Z de Z ééP(ZP(Z≤≤zz) = ) = f(y)dyf(y)dy, , queque serseráá denotadadenotada porporΦΦ(z)(z)

z z

--∝∝

DistribuiDistribuiççãoão normal normal padrãopadrão

μ x 0 z

z = x — μσ

DistribuiDistribuiççõesões normaisnormais nãonão--padrõespadrões

•• Se X tem Se X tem umauma distribuidistribuiççãoão normal normal com com mméédiadia μμ e e desviodesvio--padrãopadrão σσ, , entãoentão Z = (X Z = (X -- μμ)/ )/ σσ tem tem umaumadistribuidistribuiççãoão normal normal padrãopadrão. . AssimAssim::

P(aP(a ≤≤ X X ≤≤ b) = b) = ΦΦ((((bb--μμ))//σσ)) -- ΦΦ((((aa--μμ))//σσ))P(X P(X ≤≤ a) = a) = ΦΦ((((aa--μμ))//σσ))P(X P(X ≥≥ b) = 1 b) = 1 -- ΦΦ((((bb--μμ))//σσ))

ExercExercííciocio 2424

•• Se X tem Se X tem mméédiadia 80 e 80 e desviodesvio--padrãopadrão 10, 10, compute as compute as seguintesseguintes probabilidadesprobabilidadesutilizandoutilizando transformatransformaççãoão::

a) P(X a) P(X ≤≤ 100)100)b) P(X b) P(X ≤≤ 80)80)c) P(65 c) P(65 ≤≤ X X ≤≤ 100)100)d) P(70 d) P(70 ≤≤ X)X)

ExercExercííciocio 2525

•• EmEm cadacada casocaso, determine o valor , determine o valor dadaconstanteconstante c c queque fazfaz a a probabilidadeprobabilidadecorretacorreta::

a) a) ΦΦ(c) = 0,9838(c) = 0,9838b) P(0 b) P(0 ≤≤ Z Z ≤≤ c) = 0,291c) = 0,291c) c) P(cP(c ≤≤ Z) = 0,121Z) = 0,121d) P(d) P(--c c ≤≤ Z Z ≤≤ c) = 0,668c) = 0,668e) e) P(cP(c ≤≤ |Z|) = 0,016|Z|) = 0,016

DistribuiDistribuiççãoão exponencialexponencial

•• X X éé ditadita umauma distribuidistribuiççãoão exponencialexponencialse a se a fdpfdp de X de X éé

f(xf(x;;λλ) = ) = λλee--λλxx x x ≥≥ 0 e 0 e λλ>0>0

μμ = 1/= 1/λλσσ22 = 1/= 1/λλ22

F(F(xx;;λλ) = 1 ) = 1 -- ee--λλxx x x ≥≥ 0 0

Distribuições densidade de probabilidade (Exponenciais)

x

f(x,

)

λ = 2

λ = 1

λ = 0,5

Propriedade da Propriedade da ““falta de falta de memmemóóriaria””

A/(A+B+C+D)=C/(C+D)A/(A+B+C+D)=C/(C+D)

ExemploExemplo

•• SuponhaSuponha queque o tempo de o tempo de respostaresposta X X emem um um terminal de terminal de computadorcomputador tem tem distribuidistribuiççãoãoexponencialexponencial com tempo de com tempo de respostarespostaesperadoesperado igualigual a 5 a 5 segundossegundos. . EntãoEntão E(X) = E(X) = 1/ 1/ λλ = 5, = 5, portantoportanto λλ = 0,2. = 0,2.

•• A A probabilidadeprobabilidade de de queque o tempo de o tempo de respostaresposta sejaseja no no mmááximoximo 10 10 segundossegundos éé: : P(XP(X≤≤10) = F(10; 0,2) = 1 10) = F(10; 0,2) = 1 -- ee--(0,2)(10)(0,2)(10) = 1 = 1 -- ee--22

= 1 = 1 -- 0,135 = 0,8650,135 = 0,865

AplicaAplicaççãoão dada distribuidistribuiççãoãoexponencialexponencial

•• A A distribuidistribuiççãoão exponencialexponencial ééfreqfreqüüentementeentemente utilizadautilizada comocomo um um modelomodelo parapara a a distribuidistribuiççãoão dos tempos dos tempos entre entre ocorrênciaocorrência de de sucessivossucessivos eventoseventos, , taistais comocomo clientesclientes chegandochegando a a umaumaestaestaççãoão de de serviserviççoo ouou chamadaschamadas a um a um centrocentro de de atendimentoatendimento. A . A razãorazão paraparaissoisso éé queque a a distribuidistribuiççãoão exponencialexponencialestestáá relacionadarelacionada aoao processoprocesso de Poisson de Poisson discutidodiscutido anteriormenteanteriormente..

•• SuponhaSuponha queque o o nnúúmeromero de de eventoseventosocorrendoocorrendo emem qualquerqualquer intervalointervalo de de tempo t tempo t tenhatenha umauma distribuidistribuiççãoão de de Poisson com Poisson com parâmetroparâmetro ααt (t (ondeonde αα ééa a taxataxa do do processoprocesso, o , o nnúúmeromeroesperadoesperado de de eventoseventos queque ocorremocorrem ememumauma unidadeunidade de tempo) e de tempo) e queque a a quantidadequantidade de de ocorrênciasocorrências emem cadacadaintervalointervalo éé independenteindependente dos dos demaisdemais..

•• AssimAssim, a , a distribuidistribuiççãoão do tempo do tempo quequepassapassa entre a entre a ocorrênciaocorrência de de doisdoiseventoseventos sucessivossucessivos éé exponencialexponencial com com λλ = = αα..

ExercExercííciocio 2626

•• SejaSeja X = tempo entre X = tempo entre duasduas chegadaschegadassucessivassucessivas de de clientesclientes a um a um bancobanco. Se X . Se X tem tem umauma distribuidistribuiççãoão exponencialexponencial com com λλ = 1, = 1, calculecalcule::

a) o tempo a) o tempo esperadoesperado entre entre duasduas chegadaschegadassucessivassucessivas

b) o b) o desviodesvio--padrãopadrão do tempo entre do tempo entre duasduaschegadaschegadas sucessivassucessivas

c) P(X c) P(X ≤≤ 4)4)d) P(2 d) P(2 ≤≤ X X ≤≤ 5)5)