Autour des limites de fonctions, des Autour des limites de fonctions, des études de fonctions et des divers études de fonctions et des divers

niveaux dniveaux d’’étude en analyseétude en analyse1ère partie1ère partie

Maggy SchneiderMaggy Schneider

Université de LiègeUniversité de Liège

Par où commencer ?Par où commencer ?

Des applications des limites ? Lesquelles ?Des applications des limites ? Lesquelles ?Des exemples simples de limites de fonctions ? Des exemples simples de limites de fonctions ?

QuQu’’est-ce quest-ce qu’’un exemple « simple » ?un exemple « simple » ?Des exemples de limites de suites Des exemples de limites de suites

contextualisées ou non? Lesquels ?contextualisées ou non? Lesquels ?Eviter, dans un premier temps, les cas où limites Eviter, dans un premier temps, les cas où limites

à droite et à gauche sont distinctes ?à droite et à gauche sont distinctes ?Faut-il des préambules : intervalles, points Faut-il des préambules : intervalles, points

adhérents, « ladhérents, « l’’infini », opérations sur la droite infini », opérations sur la droite achevée et cas dachevée et cas d’’indétermination … ?indétermination … ?

Où placer lOù placer l’’étude des asymptotes ?étude des asymptotes ?

Par où commencer ?Par où commencer ?

Commencer par les « infiniment grands » ou par les Commencer par les « infiniment grands » ou par les « infiniment petits » ?« infiniment petits » ?

Pour les « infiniment grands », on nPour les « infiniment grands », on n’’a plus la distance, a plus la distance, dd’’où des difficultés de formulation. En outre, il faut où des difficultés de formulation. En outre, il faut

« mobiliser« mobiliser tous les réels qui précèdent »tous les réels qui précèdent » Pour les infiniment petits, il faut faire sentir aux élèves la Pour les infiniment petits, il faut faire sentir aux élèves la

continuité numérique : « scontinuité numérique : « s’’approcher dapprocher d’’un nombre un nombre dd’’aussi près que laussi près que l’’on veut sans lon veut sans l’’atteindre »atteindre »

QuQu’’est ce quest ce qu’’un « infiniment petit » ? Et un « infiniment un « infiniment petit » ? Et un « infiniment grand » ?grand » ?

Et que veut dire « tendre vers » ?Et que veut dire « tendre vers » ?

Par où commencer ? Par où commencer ? Une variété de réponses a prioriUne variété de réponses a priori

Limites contextualisées ou non, en particulier, celles qui Limites contextualisées ou non, en particulier, celles qui définissent des grandeurs telles que vitesse, aire, …définissent des grandeurs telles que vitesse, aire, …

Etude de suites, voire de sériesEtude de suites, voire de séries Etude de graphiques de fonctions en privilégiant Etude de graphiques de fonctions en privilégiant

asymptotes (lesquelles ?) ou graphiques « à trous » ou asymptotes (lesquelles ?) ou graphiques « à trous » ou graphiques en plusieurs morceauxgraphiques en plusieurs morceaux

Insistance sur le regard localInsistance sur le regard local Exemple générique ou étude de cas particuliers précisés Exemple générique ou étude de cas particuliers précisés

par des formulespar des formules Définition discursive ou formaliséeDéfinition discursive ou formalisée Connotations liées au temps ou au mouvementConnotations liées au temps ou au mouvement Aspect covariant ou contravariantAspect covariant ou contravariant

formulations covariante et contravarianteformulations covariante et contravariante du concept de limite du concept de limite

LL’’énonciation naturelle est covariante : « plus x est énonciation naturelle est covariante : « plus x est proche de a, plus f(x) est proche de b ». Elle ne définit proche de a, plus f(x) est proche de b ». Elle ne définit pas la limite car, en ce sens 1/x tend vers - 0,01 quand pas la limite car, en ce sens 1/x tend vers - 0,01 quand x tend vers lx tend vers l’’infini positif. Dinfini positif. D’’où loù l’’ambiguïté dambiguïté d’’un travail un travail dd’’observation dobservation d’’un tableau numériqueun tableau numérique

LL’’énonciation française contravariante est : « f(x) est énonciation française contravariante est : « f(x) est aussi proche de b que laussi proche de b que l’’on veut pourvu que x soit on veut pourvu que x soit suffisamment proche de a »suffisamment proche de a »

Un choc numérique : Un choc numérique : vers une formulation contravariantevers une formulation contravariante

On plie une feuille de papier de 0,1 mm dOn plie une feuille de papier de 0,1 mm d’’épaisseur en épaisseur en deux, puis en quatre, puis en huit, et ainsi de suite deux, puis en quatre, puis en huit, et ainsi de suite soixante fois. Serait-il possible dsoixante fois. Serait-il possible d’’atteindre ainsi une atteindre ainsi une épaisseur qui dépasse 2 m, 20 m, 1 km, la distance épaisseur qui dépasse 2 m, 20 m, 1 km, la distance Terre-Soleil ? (AHA)Terre-Soleil ? (AHA)

Première expérience dPremière expérience d’’une suite divergenteune suite divergente

Amorce dAmorce d’’une formulation contravarianteune formulation contravariante

Importance du jeu : « Je te donne un R, tu me donnes Importance du jeu : « Je te donne un R, tu me donnes un N »un N »

Un préalable non négociableUn préalable non négociable

Montrer que les savoirs mathématiques Montrer que les savoirs mathématiques répondent à des questions ou projets répondent à des questions ou projets préalables, en restant allusif le moins longtemps préalables, en restant allusif le moins longtemps possiblepossible

Faire apparaître les mathématiques comme Faire apparaître les mathématiques comme économie de pensée et déconomie de pensée et d’’action : à laction : à l’’encontre encontre dd’’une perspective « monumentaliste » de une perspective « monumentaliste » de ll‘‘enseignementenseignement

Cette « dynamique » est exprimée dans le Cette « dynamique » est exprimée dans le concept de praxéologie mathématique (ou concept de praxéologie mathématique (ou organisation mathématique : OM)organisation mathématique : OM)

Le concept de praxéologieLe concept de praxéologie

QUOI : Quelles sont les QUOI : Quelles sont les tâchestâches (questions, projets) que (questions, projets) que ll’’on se propose don se propose d’’effectuer ?effectuer ?

COMMENT : quelles sont les COMMENT : quelles sont les techniquestechniques qui vont qui vont permettre de le faire dpermettre de le faire d’’une manière « conviviale » ?une manière « conviviale » ?

POURQUOI : POURQUOI : discours technologiquediscours technologique ou ou théoriethéorie qui qui justifie le choix des techniques et les rend intelligiblesjustifie le choix des techniques et les rend intelligibles

PRAXEOLOGIE : PRAXIS + LOGOS, (t, T, PRAXEOLOGIE : PRAXIS + LOGOS, (t, T, TT ) )

(pratique + discours sur la pratique)(pratique + discours sur la pratique)

Le caractère fondamental des tâchesLe caractère fondamental des tâches

Les tâches (questions, …) doivent avoir un caractère Les tâches (questions, …) doivent avoir un caractère fondamental par rapport au savoir visé: ce dernier fondamental par rapport au savoir visé: ce dernier permet les meilleures techniques pour effectuer les permet les meilleures techniques pour effectuer les tâchestâches

Elles peuvent faire lElles peuvent faire l’’objet dobjet d’’un discours ou être déclinées un discours ou être déclinées en activitésen activités

Les tâches peuvent avoir un éventuel caractère ludique, Les tâches peuvent avoir un éventuel caractère ludique, concret, utilitaire, … mais doivent favoriser lconcret, utilitaire, … mais doivent favoriser l’’intelligibilité intelligibilité du projet global pour les élèvesdu projet global pour les élèves

Les exemples « simples » sont les exemples qui Les exemples « simples » sont les exemples qui montrent la nécessité du projet et lmontrent la nécessité du projet et l’’économie de pensée économie de pensée que les maths procurent pour le réaliserque les maths procurent pour le réaliser

Détermination de grandeurs Détermination de grandeurs ou dou d’’objets géométriquesobjets géométriques

A quel(s) type(s) de questions répond le calcul des A quel(s) type(s) de questions répond le calcul des limites ?limites ?Réponse donnée par J. Stewart dans le cadre dRéponse donnée par J. Stewart dans le cadre d’’un cours un cours de « mathématiques générales »de « mathématiques générales » : :

Un aperçu du calcul différentiel et intégralUn aperçu du calcul différentiel et intégral Le problème de lLe problème de l’’aireaire Le problème de la tangenteLe problème de la tangente La vitesseLa vitesse La limite dLa limite d’’une suite (paradoxe de Zénon)une suite (paradoxe de Zénon) La somme dLa somme d’’une sérieune série

Les limites et dérivéesLes limites et dérivées Les problèmes de tangente et de vitesseLes problèmes de tangente et de vitesse La limite dLa limite d’’une fonctionune fonction

Détermination de grandeurs Détermination de grandeurs ou dou d’’objets géométriquesobjets géométriques

Emergence du concept de limite dans lEmergence du concept de limite dans l’’histoire :histoire : Aires et volumes « curvilignes » (intégrale)Aires et volumes « curvilignes » (intégrale) Tangentes (dérivée)Tangentes (dérivée) Vitesses variables (dérivée)Vitesses variables (dérivée) Optimisation (dérivée)Optimisation (dérivée)

Praxéologies « grandeurs » : lPraxéologies « grandeurs » : l’’analyse nanalyse n’’a pas pour seul a pas pour seul but dbut d’’étudier les fonctionsétudier les fonctions

Praxéologies « grandeurs »Praxéologies « grandeurs »

Tâches : déterminer des grandeurs (aires, vitesses, …)Tâches : déterminer des grandeurs (aires, vitesses, …) Techniques : calcul de limites (suites et taux Techniques : calcul de limites (suites et taux

dd’’accroissement), calcul de dérivées et de primitives (où accroissement), calcul de dérivées et de primitives (où les fonctions jouent un rôle majeur)les fonctions jouent un rôle majeur)

Discours technologique : justifier que ces calculs Discours technologique : justifier que ces calculs donnent bien la valeur exacte de ce qui est cherchédonnent bien la valeur exacte de ce qui est cherché

Théorie : peut-on présenter les concepts et techniques Théorie : peut-on présenter les concepts et techniques sans le formalisme classique associé aux limites ?sans le formalisme classique associé aux limites ?

Praxéologie « modélisation fonctionnelle »Praxéologie « modélisation fonctionnelle »ou « étude de graphiques »ou « étude de graphiques »

Tâches : étudier des fonctions ou des classes Tâches : étudier des fonctions ou des classes paramétrées de fonctions pour pouvoir modéliser des paramétrées de fonctions pour pouvoir modéliser des phénomènes; ce qui suppose de faire des liens, dans les phénomènes; ce qui suppose de faire des liens, dans les deux sens, entre graphiques et expressions analytiques deux sens, entre graphiques et expressions analytiques mais aussi de bien identifier, à chaque fois, dans quel mais aussi de bien identifier, à chaque fois, dans quel sens on vasens on va

Techniques : racines, signe, calcul de limites, de Techniques : racines, signe, calcul de limites, de dérivées, …dérivées, …

Discours technologique : à voirDiscours technologique : à voir

Que sont des exemples simples Que sont des exemples simples de limites de fonctions ?de limites de fonctions ?

Limite réelle en une valeur réelle de son domaine de définition ou Limite réelle en une valeur réelle de son domaine de définition ou de continuité ?de continuité ?

Limite réelle en un réel nLimite réelle en un réel n’’appartenant pas au domaine mais à son appartenant pas au domaine mais à son adhérence ?adhérence ?

Limite réelle aux infinis ?Limite réelle aux infinis ? Limite infinie en un réel ?Limite infinie en un réel ? Limite infinie aux infinis ?Limite infinie aux infinis ?

Comment motiver chacun de ces exemples ?Comment motiver chacun de ces exemples ?

Que sont des exemples simples de limites ?Que sont des exemples simples de limites ?

Extrait du programme de la FESeCExtrait du programme de la FESeC Construction de suites arithmétiques et géométriques. Somme de Construction de suites arithmétiques et géométriques. Somme de

termes, limites associéestermes, limites associées Limite aux infinis de fonctions, asymptotes horizontalesLimite aux infinis de fonctions, asymptotes horizontales Limite infinie en un point, asymptotes verticales, limite à gauche et à Limite infinie en un point, asymptotes verticales, limite à gauche et à

droitedroite Limite infinie aux infinis, y compris les asymptotes obliquesLimite infinie aux infinis, y compris les asymptotes obliques Limites en un pointLimites en un point Limites de fonctions trigonométriques de baseLimites de fonctions trigonométriques de base

Que sont des exemples simples de limites ?Que sont des exemples simples de limites ?

4 périodes (FESeC)4 périodes (FESeC)« La notion de limite sera interprétée à partir des « La notion de limite sera interprétée à partir des graphiques et des suites. Les exemples de limites qui graphiques et des suites. Les exemples de limites qui seront privilégiés sont ceux qui donnent lieu à une seront privilégiés sont ceux qui donnent lieu à une asymptote. Quelques exemples de fonctions asymptote. Quelques exemples de fonctions discontinues en un point seront envisagés »discontinues en un point seront envisagés »

Place des suites arithmétiques et géométriques dans le Place des suites arithmétiques et géométriques dans le programme ?programme ?

Que sont des exemples simples de limites ?Que sont des exemples simples de limites ?

Extrait du programme de la Extrait du programme de la CFWB BECFWB BE Construction de suites arithmétiques et géométriques. Construction de suites arithmétiques et géométriques.

Somme de termes, limites associéesSomme de termes, limites associées Limite en un point, finies et infiniesLimite en un point, finies et infinies Limites en plus ou moins lLimites en plus ou moins l’’infiniinfini Limite à gauche et limite à droiteLimite à gauche et limite à droite AsymptotesAsymptotes Limites de fonctions trigonométriques de baseLimites de fonctions trigonométriques de base

Que sont des exemples significatifs de limites Que sont des exemples significatifs de limites dans la praxéologie « étude de graphiques  »?dans la praxéologie « étude de graphiques  »?

Quels sont les cas de limites qui apportent le Quels sont les cas de limites qui apportent le plus à lplus à l’’étude graphique des fonctions ?étude graphique des fonctions ?

Quelles sont les fonctions dont le comportement Quelles sont les fonctions dont le comportement graphique nécessite vraiment le calcul des graphique nécessite vraiment le calcul des limites ? Ou celles pour lesquelles ce calcul limites ? Ou celles pour lesquelles ce calcul suffit presque ?suffit presque ?

Hiérarchiser les cas de limites ? Les mettre là où Hiérarchiser les cas de limites ? Les mettre là où apparaissent leurs « raisons dapparaissent leurs « raisons d’’être » être »

Que sont des exemples significatifs de limites Que sont des exemples significatifs de limites dans la praxéologie « étude de graphiques  »?dans la praxéologie « étude de graphiques  »?

Les limites en une abscisse du domaine de Les limites en une abscisse du domaine de continuité ont un caractère abscons pour les continuité ont un caractère abscons pour les élèves; les graphiques en morceaux semblent élèves; les graphiques en morceaux semblent « tordus »« tordus »

Les graphiques « à trous » ont leur intérêt mais Les graphiques « à trous » ont leur intérêt mais semblent « bizarres » : pourquoi ne pas semblent « bizarres » : pourquoi ne pas simplifier une fois pour toutes ?simplifier une fois pour toutes ?

Les cas dLes cas d’’asymptotes semblent les plus asymptotes semblent les plus significatifs, dsignificatifs, d’’abord les AH dans la foulée des abord les AH dans la foulée des suites, puis les AV; les asymptotes sont de bons suites, puis les AV; les asymptotes sont de bons « guides » pour tracer des graphiques« guides » pour tracer des graphiques

Et le discours technologique ?Et le discours technologique ?Prouver lProuver l’’existence dexistence d’’asymptotes horizontales : asymptotes horizontales :

l’exemple des fractions rationnellesl’exemple des fractions rationnelles

Une drôle de mise en évidence qui a une vertu Une drôle de mise en évidence qui a une vertu technologique …technologique …

LL’’utilisation de lutilisation de l’’algèbre des limitesalgèbre des limitesDiversité des ordres de grandeur : 1/xDiversité des ordres de grandeur : 1/x22 est plus est plus

petit que 1/x au delà de 1petit que 1/x au delà de 1Un préalable indispensable : lim Un préalable indispensable : lim xx1/x = 0 1/x = 0

(équivaut à l’axiome d’Archimède)(équivaut à l’axiome d’Archimède)

Et le discours technologique ? Et le discours technologique ? Prouver lProuver l’’existence dexistence d’’asymptotes verticalesasymptotes verticales

« C« C’’est là où le dénominateur sest là où le dénominateur s’’annule ». Oui, annule ». Oui, mais … la fonction ne s’écrit pas forcément sous mais … la fonction ne s’écrit pas forcément sous forme de fraction (exemple du logarithme). forme de fraction (exemple du logarithme). Supposons que ce soit le cas, cette condition Supposons que ce soit le cas, cette condition n’est quand même pas suffisante pour assurer n’est quand même pas suffisante pour assurer l’existence d’une asymptote verticalel’existence d’une asymptote verticale

Qu’imposer alors de plus pour que Qu’imposer alors de plus pour que f/g f/g ou ou 1/f 1/f ait ait une AV d’équation une AV d’équation x = a x = a ??

Dispositif heuristique basé sur l’analyse de Dispositif heuristique basé sur l’analyse de contre-exemplescontre-exemples

Du calcul infinitésimal à lDu calcul infinitésimal à l’’analyseanalyse

De lDe l’’examen de contre-examen de contre-exemples à lexemples à l’’émergence du émergence du concept de continuité : on concept de continuité : on ne peut rendre, p.ex., ne peut rendre, p.ex., 1/f(x) 1/f(x) aussi grand que laussi grand que l’’on veut on veut sans rendre sans rendre f(x) f(x) aussi aussi proche de proche de f(a) f(a) que lque l’’on on veut, pour des valeurs de veut, pour des valeurs de xx suffisamment proches de suffisamment proches de a a : si f(x) > 1/1000, 1/f(x) < : si f(x) > 1/1000, 1/f(x) < 10001000

Du calcul infinitésimal à lDu calcul infinitésimal à l’’analyseanalyse

Ce nCe n’’est pas encore est pas encore suffisant : il faut exiger suffisant : il faut exiger que que ff ait un signe ait un signe constant dans un constant dans un voisinage de voisinage de aa ou sur un ou sur un intervalle dintervalle d’’extrémité extrémité aa

Et le discours technologique ? Et le discours technologique ? Prouver lProuver l’’existence dexistence d’’asymptotes verticalesasymptotes verticales

Nécessité de considérer des graphiques « à trous » : les Nécessité de considérer des graphiques « à trous » : les cas de limites « tordus » cas de limites « tordus » a prioria priori aux yeux des élèves ont aux yeux des élèves ont donc un intérêt théoriquedonc un intérêt théorique

Possibilité de faire travailler numériquement les Possibilité de faire travailler numériquement les définitions formaliséesdéfinitions formalisées

Intérêt dune preuve car il nIntérêt dune preuve car il n’’existe plus de technique existe plus de technique dd’’écriture « parlante ». Décriture « parlante ». D’’où la nécessité de considérer où la nécessité de considérer au minimum une hypothèse de continuité sur la fonction au minimum une hypothèse de continuité sur la fonction du dénominateur (év. à dr ou à gch) et donc des limites du dénominateur (év. à dr ou à gch) et donc des limites en un réel appartenant au domaine de continuitéen un réel appartenant au domaine de continuité

Que deviennent donc l’énoncé et la démonstration d’un Que deviennent donc l’énoncé et la démonstration d’un théorème qui assure l’existence d’une AV pour la théorème qui assure l’existence d’une AV pour la fonction fonction 1/f 1/f en en x = a x = a (dans le cas où les limites à dr et à (dans le cas où les limites à dr et à gch valent l’infini positif) ?gch valent l’infini positif) ?

Et le discours technologique ? Et le discours technologique ? Prouver lProuver l’’existence dexistence d’’asymptotes verticalesasymptotes verticales

Et le discours technologique ? Et le discours technologique ? Prouver lProuver l’’existence dexistence d’’asymptotes obliquesasymptotes obliques

Ecriture des fonctions sous une « bonne forme », avant Ecriture des fonctions sous une « bonne forme », avant les formules canoniques :les formules canoniques :

(ax(ax22 + bx + c) / (x + d) = mx + p + k / (x + d) + bx + c) / (x + d) = mx + p + k / (x + d)

[25 t[25 t22 - 8t + 1] - 8t + 1]1/21/2 = [(5t - 4/5) = [(5t - 4/5)22 + 9/25] + 9/25]1/21/2

Praxéologie « analyse formalisée » :Praxéologie « analyse formalisée » : couler le calcul infinitésimal dans un moule euclidien couler le calcul infinitésimal dans un moule euclidien

Définir mathématiquement les objets initiaux (vitesses, Définir mathématiquement les objets initiaux (vitesses, aires, …) par les techniques qui permettaient de les aires, …) par les techniques qui permettaient de les déterminer au stade précédent, ce qui suppose que déterminer au stade précédent, ce qui suppose que soient réglées les questions relatives à lsoient réglées les questions relatives à l’’efficacité et efficacité et ll’’intelligibilité des techniquesintelligibilité des techniques

Agencer les pièces du modèle en une organisation Agencer les pièces du modèle en une organisation déductive où le mode de validation est exempt de toute déductive où le mode de validation est exempt de toute considération liée aux contextes dconsidération liée aux contextes d’’origineorigine

Praxéologie « analyse formalisée » :Praxéologie « analyse formalisée » : couler le calcul infinitésimal dans un moule euclidien couler le calcul infinitésimal dans un moule euclidien

Du calcul infinitésimal à lDu calcul infinitésimal à l’’analyse :analyse : Euler, le concept de fonction et le renversement de lEuler, le concept de fonction et le renversement de l’’ordre ordre

dd’’exposition de la théorie : les questions dexposition de la théorie : les questions d’’ordre géométrique ou ordre géométrique ou physique deviennent des applicationsphysique deviennent des applications

Lagrange et la reformulation de lLagrange et la reformulation de l’’analyse en termes de analyse en termes de fonctions dérivées et de fonctions primitivesfonctions dérivées et de fonctions primitives

Cauchy et la volonté dCauchy et la volonté d’’une refonte déductive basée sur le une refonte déductive basée sur le concept « mère » de limite, respectant la « rigueur des concept « mère » de limite, respectant la « rigueur des géomètres grecs de lgéomètres grecs de l’’Antiquité »Antiquité »

Bolzano et le projet métaphysique dBolzano et le projet métaphysique d’’épurer le discours de toute épurer le discours de toute connotation géométrique ou cinématique et de définir la connotation géométrique ou cinématique et de définir la continuité numériquecontinuité numérique

Praxéologie « analyse formalisée » :Praxéologie « analyse formalisée » : couler le calcul infinitésimal dans un moule euclidien couler le calcul infinitésimal dans un moule euclidien

Ce 2Ce 2èmeème niveau d niveau d’’étude se distingue du 1étude se distingue du 1erer par des tâches par des tâches et techniques det techniques d’’un autre ordre : conjecturer un ordre un autre ordre : conjecturer un ordre dd’’agencement de théorèmes, démontrer lagencement de théorèmes, démontrer l’’un dun d’’eux au eux au moyen des règles dmoyen des règles d’’inférence du calcul propositionnel, inférence du calcul propositionnel, établir un lot détablir un lot d’’axiomes, réfuter une conjecture axiomes, réfuter une conjecture fausse .par la technique de la recherche du lemme fausse .par la technique de la recherche du lemme coupable (théorème faux de Cauchy sur les séries de coupable (théorème faux de Cauchy sur les séries de fonctions continues sur un intervalle et concept de fonctions continues sur un intervalle et concept de convergence uniforme) ou convergence uniforme) ou .par la mise en évidence d.par la mise en évidence d’’hypothèses sans lesquelles hypothèses sans lesquelles on non n’’a pas telle ou telle propriété : ex de la continuité et a pas telle ou telle propriété : ex de la continuité et du théorème des valeurs intermédiairesdu théorème des valeurs intermédiaires

Praxéologie « analyse formalisée »Praxéologie « analyse formalisée »

Portée du concept formalisé de limite : donner prise à un Portée du concept formalisé de limite : donner prise à un nouveau système de preuves en termes de nouveau système de preuves en termes de quantificateurs et dquantificateurs et d’’inégalitésinégalités

Ne sert pas à prouver telle ou telle limite particulière Ne sert pas à prouver telle ou telle limite particulière (sauf pour des raisons didactiques)(sauf pour des raisons didactiques)

Sert à prouver les théorèmes relatifs à lSert à prouver les théorèmes relatifs à l’’algèbre des algèbre des limites, théorèmes grâce auxquels on peut se passer de limites, théorèmes grâce auxquels on peut se passer de ces écritures formaliséesces écritures formalisées

LL’’algèbre des limites repose sur un axiome : algèbre des limites repose sur un axiome :

lim lim xx1/x = 0 qui découle de l1/x = 0 qui découle de l’’axiome daxiome d’’ArchimèdeArchimède

Praxéologie « analyse formalisée »Praxéologie « analyse formalisée »

CC’’est plus « lest plus « l’’esprit » de ces preuves qui compte que esprit » de ces preuves qui compte que ll’’écriture des quantificateurs lesquels peuvent être écriture des quantificateurs lesquels peuvent être remplacés par des formes langagières :remplacés par des formes langagières :

Cauchy, le père de lCauchy, le père de l’’analyse moderneanalyse moderne n n’’utilise pas de quantificateursutilise pas de quantificateurs

Limite dLimite d’’une variable versus une variable versus limite dlimite d’’une fonctionune fonction

Peut-on définir la limite dPeut-on définir la limite d’’une variable ? En une variable ? En français ? Avec des formules quantifiées ?français ? Avec des formules quantifiées ?

Que signifie:Que signifie:

0 : 0 : x - a x - a < < ou ou 0 0 x ( x ( a) tq a) tq x - a x - a < < ? ?

Limite dLimite d’’une variable versus une variable versus limite dlimite d’’une fonctionune fonction

Ces écritures signifient que x = a ou quCes écritures signifient que x = a ou qu’’on peut trouver on peut trouver un réel x aussi proche que lun réel x aussi proche que l’’on veut de a. Elles on veut de a. Elles supposent sans doute une référence implicite à une supposent sans doute une référence implicite à une suite de nombres, csuite de nombres, c’’est-à-dire à une fonctionest-à-dire à une fonction

LL’’expression expression 0 : 0 : x - a x - a < < caractérise ce qu caractérise ce qu’’on on appelle, en ANS, des nombres infiniment proches c-à-d appelle, en ANS, des nombres infiniment proches c-à-d dont la différence est un infiniment petitdont la différence est un infiniment petit

Un infiniment petit est un « nombre », non-standard, non nul qui, en Un infiniment petit est un « nombre », non-standard, non nul qui, en valeur absolue, est inférieur à tout réel positif. (permet dvaleur absolue, est inférieur à tout réel positif. (permet d’’exprimer le exprimer le concept de limite : pour tout hyperréel, réel ou non standard, x tel concept de limite : pour tout hyperréel, réel ou non standard, x tel que x - a est un infiniment petit, f(x) est infiniment proche de b)que x - a est un infiniment petit, f(x) est infiniment proche de b)

Connotations parasitesConnotations parasites

Dans la formulation de limite dDans la formulation de limite d’’une variable, il y une variable, il y a aussi une référence implicite au temps : a aussi une référence implicite au temps : « successives », « s« successives », « s’’approchent indéfiniment », approchent indéfiniment », « finit par devenir et rester … »« finit par devenir et rester … »

Le langage reste fort géométrique ou Le langage reste fort géométrique ou cinématique : se « rapprocher de » ou ambigu : cinématique : se « rapprocher de » ou ambigu : « proche de l« proche de l’’infini »infini »

Dans la théorie standard, la notion dDans la théorie standard, la notion d’’« infini » « infini » est évitée : il nest évitée : il n’’existe que la limite dexiste que la limite d’’une fonctionune fonction

Connotations parasitesConnotations parasites

Projet de Bolzano formulé en 1817 à propos du théorème des Projet de Bolzano formulé en 1817 à propos du théorème des valeurs intermédiaires : « Il nvaleurs intermédiaires : « Il n’’y a absolument rien à objecter ni y a absolument rien à objecter ni contre la justesse ni contre lcontre la justesse ni contre l’’évidence de ce théorème géométrique. évidence de ce théorème géométrique. Mais il est tout aussi manifeste quMais il est tout aussi manifeste qu’’il y a là une faute intolérable il y a là une faute intolérable contre la bonne méthode qui consiste à vouloir déduire les vérités contre la bonne méthode qui consiste à vouloir déduire les vérités des mathématiques pures (ou générales, c-à-d de ldes mathématiques pures (ou générales, c-à-d de l’’arithmétique, de arithmétique, de ll’’algèbre ou de lalgèbre ou de l’’analyse) de considérations qui appartiennent à une analyse) de considérations qui appartiennent à une partie appliquée (ou spéciale) seule, à savoir la géométrie. […] Il partie appliquée (ou spéciale) seule, à savoir la géométrie. […] Il faut rejeter de même la démonstration que certains ont établie à faut rejeter de même la démonstration que certains ont établie à partir du concept de continuité dpartir du concept de continuité d’’une fonction en y faisant intervenir une fonction en y faisant intervenir les concepts de temps et de mouvement »les concepts de temps et de mouvement »

Que conclure sur le formalisme ?Que conclure sur le formalisme ?

Le formalisme et la rigueur associée ont une Le formalisme et la rigueur associée ont une fonctionnalité : rien nfonctionnalité : rien n’’est gratuit en math. est gratuit en math.

On peut travailler le concept de limite à partir On peut travailler le concept de limite à partir dd’’expressions langagières (formulation expressions langagières (formulation contravariante, …) qu’il faudra préciser au fur et contravariante, …) qu’il faudra préciser au fur et à mesureà mesure

Si on sSi on s’’offre le formalisme, coffre le formalisme, c’’est pour en faire est pour en faire quelque chose de pertinent par rapport à la quelque chose de pertinent par rapport à la théorie, pas pour faire « bien »théorie, pas pour faire « bien »

Inversion didactiqueInversion didactique

HistoireHistoire Intégrales (aires, Intégrales (aires,

volumes)volumes) Dérivées (tangentes, Dérivées (tangentes,

vitesses, optimisation)vitesses, optimisation) Réorganisation autour Réorganisation autour

des concepts de des concepts de fonction et de limitefonction et de limite

ContinuitéContinuité RéelsRéels

EnseignementEnseignement RéelsRéels ContinuitéContinuité Théorie des limitesThéorie des limites Dérivées et intégralesDérivées et intégrales Applications Applications

géométriques, géométriques, cinématiques ou cinématiques ou pratiquespratiques

Inversion didactiqueInversion didactique

Cet enseignement est propre à lCet enseignement est propre à l’’université ou, université ou, au niveau du secondaire, est typique de la au niveau du secondaire, est typique de la réforme des « math modernes »réforme des « math modernes »

Il continue à inspirer lIl continue à inspirer l’’enseignement de lenseignement de l’’analyse analyse dans le secondaire : on prend de ldans le secondaire : on prend de l’’enseignement enseignement universitaire quelques éléments emblématiques universitaire quelques éléments emblématiques (quantificateurs, …) mais on l(quantificateurs, …) mais on l’’édulcore dédulcore d’’aspects aspects plus délicats (en particulier, sur les réels)plus délicats (en particulier, sur les réels)

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