Autour des limites de fonctions, des études de fonctions et des divers niveaux d’étude en analyse 2ème partie Maggy Schneider Université de Liège

Autour des limites de fonctions, des Autour des limites de fonctions, des études de fonctions et des divers études de fonctions et des divers

niveaux dniveaux d’’étude en analyseétude en analyse2ème partie2ème partie

Maggy SchneiderMaggy Schneider

Université de LiègeUniversité de Liège

22

La piste de la modélisation fonctionnelleLa piste de la modélisation fonctionnelle

Suites dSuites d’’objets proposées aux élèvesobjets proposées aux élèves

1 2 3

La piste de la modélisation fonctionnelleLa piste de la modélisation fonctionnelle

Question sur le nombre dQuestion sur le nombre d’’objets à une étape objets à une étape éloignée, à néloignée, à n’’importe quelle étapeimporte quelle étape

Question sur le numéro dQuestion sur le numéro d’’étape à laquelle on a un étape à laquelle on a un nombre donné dnombre donné d’’objetsobjets

Exemples qui se prêtent à plusieurs « programmes Exemples qui se prêtent à plusieurs « programmes de calcul » équivalentsde calcul » équivalents

Question sur les similitudes et regroupement Question sur les similitudes et regroupement dd’’exemples : premiers paramétragesexemples : premiers paramétrages

Permet de distinguer dPermet de distinguer d’’emblée équation, emblée équation, identité, modèle fonctionnel y compris paramétréidentité, modèle fonctionnel y compris paramétré

Suites de nombres et fonctionsSuites de nombres et fonctions

EtapeEtape 11 22 33 44 …… nn

NombreNombre 11 1+21+2 1+2+31+2+3 1+2+3+41+2+3+4 …… 1+2+…1+2+…nn

EtapeEtape 11 22 33 …… nn

NombreNombre 11 44 99 …… nn22

Régularité itérative » et/ou régularité fonctionnelle : Régularité itérative » et/ou régularité fonctionnelle : variable vis-à-vis de laquelle tous les modèles ne sont pas variable vis-à-vis de laquelle tous les modèles ne sont pas sur pied dsur pied d’’égalitéégalité

Suites de nombres et fonctionsSuites de nombres et fonctions

Particularité des suites arithmétiques et Particularité des suites arithmétiques et géométriques : lgéométriques : l’’étude de la régularité étude de la régularité itérative conduit à la régularité itérative conduit à la régularité fonctionnelle; suites basiques qui trouvent fonctionnelle; suites basiques qui trouvent un prolongement dans le programmeun prolongement dans le programme

Le contexte peut jouer un rôle dans Le contexte peut jouer un rôle dans ll’’apprentissage : objets intermédiaires, apprentissage : objets intermédiaires, intuitions fausses, …intuitions fausses, …

Le besoin de prouverLe besoin de prouver

Une suite géométrique de raison strictement comprise entre 0 et 1 Une suite géométrique de raison strictement comprise entre 0 et 1 converge vers 0. Même si la raison est très proche de 1 ? (C. converge vers 0. Même si la raison est très proche de 1 ? (C. Hauchart). Impact de 1/2 ?Hauchart). Impact de 1/2 ?

Une intuition mise à malUne intuition mise à mal

On part dOn part d’’un carré, à lun carré, à l’’intérieur intérieur duquel on construit un duquel on construit un octogone en divisant les côtés octogone en divisant les côtés du carré en 3, puis ceux de du carré en 3, puis ceux de ll’’octogone pour obtenir un 16-octogone pour obtenir un 16-gone, et ainsi de suitegone, et ainsi de suiteTous les polygones successifs Tous les polygones successifs ont même apothème : leurs ont même apothème : leurs aires tendent vers celle du aires tendent vers celle du disque inscrit (C. Hauchart)disque inscrit (C. Hauchart)

Une suite positive Une suite positive décroissante ne converge décroissante ne converge pas forcément vers 0pas forcément vers 0

Les fonctions sLes fonctions s’’étudient aussiétudient aussià plusieurs niveauxà plusieurs niveaux

Le concept de fonction peut être vu comme Le concept de fonction peut être vu comme concept unificateur au niveau des fondements des concept unificateur au niveau des fondements des mathématiques, cmathématiques, c’’est-à-dire dans une praxéologie est-à-dire dans une praxéologie de « déduction », mais aussi, à un niveau plus de « déduction », mais aussi, à un niveau plus « élémentaire », comme outil de catégorisation de « élémentaire », comme outil de catégorisation de phénomènes extra ou intra-mathématiques et phénomènes extra ou intra-mathématiques et donc dans une praxéologie de type donc dans une praxéologie de type « modélisation » : l« modélisation » : l’’exemple du calcul intégralexemple du calcul intégral

Des problèmes qui relèvent de la Des problèmes qui relèvent de la même catégorie fonctionnellemême catégorie fonctionnelle

Les fonctions sont des outils de Les fonctions sont des outils de classement des problèmesclassement des problèmes

Pour Archimède, ces problèmes sont distincts même sPour Archimède, ces problèmes sont distincts même s’’ils relèvent ils relèvent tous deux de la méthode dtous deux de la méthode d’’exhaustionexhaustionPour nous, cPour nous, c’’est le même problème : primitive dest le même problème : primitive d’’une fonction du une fonction du second degré ou limite de sommes de Riemann de même structure second degré ou limite de sommes de Riemann de même structure

« Mais pour qu« Mais pour qu’’on ait le droit de voir là un on ait le droit de voir là un ““ calcul intégral calcul intégral ””, il faudrait y , il faudrait y mettre en évidence, à travers la multiplicité des apparences géométriques, mettre en évidence, à travers la multiplicité des apparences géométriques, quelque ébauche de classification des problèmes suivant la nature de quelque ébauche de classification des problèmes suivant la nature de ““ l l’’intégrand intégrand ”” sous-jacent. Au XVII sous-jacent. Au XVIIee siècle, nous allons le voir, la recherche siècle, nous allons le voir, la recherche dd’’une telle classification devient peu à peu lune telle classification devient peu à peu l’’un des principaux soucis des un des principaux soucis des géomètres »géomètres » (Bourbaki) (Bourbaki)

Les fonctions sont des outils Les fonctions sont des outils de classement des problèmesde classement des problèmes

Une classification algébrique de modèles fonctionnels Une classification algébrique de modèles fonctionnels paramétrés qui donnera prise aux techniques de paramétrés qui donnera prise aux techniques de dérivation et de primitivation… dérivation et de primitivation…

Possibilité dPossibilité d’’une initiation à un tel regard dès les une initiation à un tel regard dès les premières années du secondaire : cf. lpremières années du secondaire : cf. l’’ingénierie relative ingénierie relative aux problèmes de suites de nombres figurés (Thèse de aux problèmes de suites de nombres figurés (Thèse de Krysinska)Krysinska)

Rôle des ostensifs algébriques, en amont dRôle des ostensifs algébriques, en amont d’’une une définition générale du concept de fonction dans un projet définition générale du concept de fonction dans un projet de fondementde fondement

Les fonctions dans un projet de Les fonctions dans un projet de fondement des mathématiquesfondement des mathématiques

Organisation déductive de toutes les Organisation déductive de toutes les mathématiques à partir des notions dmathématiques à partir des notions d’’ensembles ensembles et de relations entre ensembleset de relations entre ensembles

Elargissement du concept de fonction pour Elargissement du concept de fonction pour prendre en compte les relations fonctionnelles prendre en compte les relations fonctionnelles dans tous les domaines mathématiquesdans tous les domaines mathématiques

Apparition, à des fins didactiques, de Apparition, à des fins didactiques, de représentations sans grande valeur représentations sans grande valeur instrumentale et dinstrumentale et d’’exemples de peu dexemples de peu d’’intérêtintérêt

Étude de graphiques ou Étude de graphiques ou modélisation fonctionnelle ?modélisation fonctionnelle ?

Un objectif commun : établir des liens entre des Un objectif commun : établir des liens entre des expressions analytiques et des types de expressions analytiques et des types de graphiquesgraphiques

Des accents différents : Des accents différents : sens du parcours privilégié dans les exercices : sens du parcours privilégié dans les exercices : de lde l’’expression vers le graphique ou le contraire, expression vers le graphique ou le contraire, étude complète des fonctions une par une ou étude complète des fonctions une par une ou étude des principales classes paramétrées en étude des principales classes paramétrées en privilégiant les outils les plus adaptés à chaque privilégiant les outils les plus adaptés à chaque classeclasse

Importance des paramètresImportance des paramètres

Etude de la classe des Etude de la classe des fonctions homographiquesfonctions homographiques

Une entrée privilégiée pour introduire le calcul Une entrée privilégiée pour introduire le calcul des limites dans le cas où ce calcul correspond des limites dans le cas où ce calcul correspond à des asymptotes ?à des asymptotes ?

Retombées dRetombées d’’une étude de la classe une étude de la classe paramétrée?paramétrée?

Faire comprendre aux élèves ce que cette étude Faire comprendre aux élèves ce que cette étude signifie en faisant appel à leurs expériences signifie en faisant appel à leurs expériences antérieures relatives aux fonctions du premier antérieures relatives aux fonctions du premier ou second degréou second degré


Les élèves veulent une formule ou une Les élèves veulent une formule ou une technique (une « recette »). Soit, mais ils technique (une « recette »). Soit, mais ils doivent payer le prix de ldoivent payer le prix de l’’intelligibilité. Sinon, il intelligibilité. Sinon, il nn’’y a aucun apprentissage et on tombe dans les y a aucun apprentissage et on tombe dans les effets pervers du contrat didactiqueeffets pervers du contrat didactique

Une marge de négociation : à eux de trouver la Une marge de négociation : à eux de trouver la technique (collectivement) et de pouvoir la technique (collectivement) et de pouvoir la justifier (individuellement). Dans ce cas, ils sont justifier (individuellement). Dans ce cas, ils sont autorisés à lautorisés à l’’utiliser pour se faciliter la vieutiliser pour se faciliter la vie

Le phénomène de réticence didactiqueLe phénomène de réticence didactique

Exemple des suites de nombres et des Exemple des suites de nombres et des fonctions homographiquesfonctions homographiques

Préserver le caractère « inédit » et Préserver le caractère « inédit » et « complexe » des « problèmes »« complexe » des « problèmes »


Comment organiser cette découverte à lComment organiser cette découverte à l’’aide de la aide de la calculatrice graphique ?calculatrice graphique ?Inventaire de plusieurs « variables didactiques »:Inventaire de plusieurs « variables didactiques »: Faire constater aux élèves la position des asymptotes sur Faire constater aux élèves la position des asymptotes sur

plusieurs cas; des cas évidents ou douteux ?; en faisant plusieurs cas; des cas évidents ou douteux ?; en faisant varier plusieurs paramètres à la fois ?; en bloquant tous varier plusieurs paramètres à la fois ?; en bloquant tous les paramètres sauf un ?les paramètres sauf un ?

Se contente-t-on de leur faire constater ou leur demande-t-Se contente-t-on de leur faire constater ou leur demande-t-on don d’’expliquer pourquoi ?expliquer pourquoi ?

Demande-t-on aux élèves de prévoir préalablement : la Demande-t-on aux élèves de prévoir préalablement : la position du graphique à partir de lposition du graphique à partir de l’’expression analytique expression analytique ou cette dernière à partir du graphique ?ou cette dernière à partir du graphique ?

Constater nConstater n’’est pas forcément comprendreest pas forcément comprendre


Cette activité est-elle précédée de la formulation du Cette activité est-elle précédée de la formulation du projet plus global de lprojet plus global de l’’étude de la classe paramétrée?étude de la classe paramétrée?

Y a-t-il une phase dY a-t-il une phase d’’exploration plus sauvage au exploration plus sauvage au cours de laquelle les élèves sont amenés dcours de laquelle les élèves sont amenés d’’eux-eux-mêmes à ne faire varier qumêmes à ne faire varier qu’’un paramètre à la fois (ou un paramètre à la fois (ou à le bloquer) ?à le bloquer) ?

Le professeur mise-t-il ou non sur le travail fait Le professeur mise-t-il ou non sur le travail fait antérieurement à propos de la fonction y = 1/x et de antérieurement à propos de la fonction y = 1/x et de ses transformés graphiques ?ses transformés graphiques ?

Attend-on des élèves une conjecture sur le nombre Attend-on des élèves une conjecture sur le nombre de graphiques possibles ? (deux « idéogrammes »: de graphiques possibles ? (deux « idéogrammes »: y = 1/x et y = - 1/x à un « changement de repère y = 1/x et y = - 1/x à un « changement de repère près »)près »)


Le professeur joue-t-il sur les deux écritures : avant et Le professeur joue-t-il sur les deux écritures : avant et après division, ou sur une seule ?après division, ou sur une seule ?

En quoi consiste la justification : le transport des En quoi consiste la justification : le transport des asymptotes lors des translations ou lasymptotes lors des translations ou l’’une ou lune ou l’’autre autre expérimentation numérique ? La justification est-elle expérimentation numérique ? La justification est-elle transférable à dtransférable à d’’autres fonctions ? (par exemple des autres fonctions ? (par exemple des fonctions rationnelles qui ne sont pas homographi-fonctions rationnelles qui ne sont pas homographi-ques)ques)

Le choix de la fenêtre est-il à charge des élèves; leur Le choix de la fenêtre est-il à charge des élèves; leur donne-t-on à analyser des cas où ils devront vraisem-donne-t-on à analyser des cas où ils devront vraisem-blablement ajuster la fenêtre pour y voir clair ?blablement ajuster la fenêtre pour y voir clair ?

Au total, quelle est la part dAu total, quelle est la part d’’initiative de initiative de ll’’élève? Où sont ses risques et que peut-il en élève? Où sont ses risques et que peut-il en apprendre?apprendre?


La double écriture des fonctions homographiques prouve La double écriture des fonctions homographiques prouve ququ’’il ne leur correspond que deux idéogrammes il ne leur correspond que deux idéogrammes graphiques graphiques

Le tracé préalable de y = 1/x montre que la Le tracé préalable de y = 1/x montre que la connaissance des asymptotes (plus lconnaissance des asymptotes (plus l’’image dimage d’’un point) un point) suffit pour dessiner le graphique dsuffit pour dessiner le graphique d’’une fonction une fonction homographique; pourquoi donc faire une étude complète homographique; pourquoi donc faire une étude complète qui va à lqui va à l’’encontre dencontre d’’une recherche dune recherche d’’économie de économie de pensée et dpensée et d’’action ? Ou continuer à exploiter les images action ? Ou continuer à exploiter les images de graphiques par des transformations ?de graphiques par des transformations ?

Peut-on imaginer dPeut-on imaginer d’’étudier détudier d’’autres fonctions en les autres fonctions en les groupant en classes paramétrées et en privilégiant groupant en classes paramétrées et en privilégiant certains outils dcertains outils d’’investigation ? Quelles sont les fonctions investigation ? Quelles sont les fonctions importantes qui ne sont pas des transformées des importantes qui ne sont pas des transformées des fonctions de référence ?fonctions de référence ?

Exemple dExemple d’’une application des fonctions une application des fonctions homographiques : un phénomène de saturationhomographiques : un phénomène de saturation

Le code de la route stipule que, sur une route à bonne visibilité et dans de bonnes conditions, il faut que « deux secondes séparent deux voitures ». Les responsables des tunnels comme celui du Saint Bernard ou celui du Mont Blanc souhaitent que les voitures respectent cette « distance » de sécurité et que le nombre de voitures qui traversent le tunnel soit maximal. Supposons que la longueur moyenne des voitures est de quatre mètres et que leur vitesse constante est la même. Évaluer le plus grand nombre possible de voitures qui peuvent passer le tunnel par minute. Et à quelle vitesse ?

Exemple dExemple d’’une application des fonctions une application des fonctions homographiques : un phénomène de saturationhomographiques : un phénomène de saturation

Soit f(v) le nombre de voitures par minute en fonction de la vitesse :Soit f(v) le nombre de voitures par minute en fonction de la vitesse :

f(v) = 30v / (v + 2)f(v) = 30v / (v + 2)

Expliquer et justifier les effets graphiques Expliquer et justifier les effets graphiques de transformations géométriquesde transformations géométriques

Variété dVariété d’’approches : approches : Faire intervenir les transformations au fur et à mesure Faire intervenir les transformations au fur et à mesure

des besoins rencontrés dans ldes besoins rencontrés dans l’’étude des classes de étude des classes de fonctions OU voir toutes les transformations dfonctions OU voir toutes les transformations d’’emblée en emblée en les illustrant sur une fonction de référence OU plusieursles illustrant sur une fonction de référence OU plusieurs

Jouer sur des tableaux numériques ou non mais Jouer sur des tableaux numériques ou non mais lesquels ?lesquels ?

Interpréter dans des situations « concrètes » Interpréter dans des situations « concrètes » Préciser plus ou moins en quoi consistent les Préciser plus ou moins en quoi consistent les

transformations; les définir et comment (éventuelle transformations; les définir et comment (éventuelle référence aux vecteurs)référence aux vecteurs)

Décrire ou non leurs effets sur les coordonnéesDécrire ou non leurs effets sur les coordonnées

Certains tableaux sont plus difficiles Certains tableaux sont plus difficiles à faire que dà faire que d’’autresautres

Exemple des translations « horizontales »Exemple des translations « horizontales »

Certains tableaux sont plus difficiles Certains tableaux sont plus difficiles à faire que dà faire que d’’autresautres


Une justification utilisant lUne justification utilisant l’’ostensif f (x) :ostensif f (x) :

« Analytiquement, en notant g(x) = f (x+k), si un « Analytiquement, en notant g(x) = f (x+k), si un point (x,y) appartient au graphe de f, alors le point (x,y) appartient au graphe de f, alors le point (x - k, y) appartient au graphe de g car point (x - k, y) appartient au graphe de g car g (x - k) = f(x) »g (x - k) = f(x) »

Une autre plus limitée mais plus facile ? :Une autre plus limitée mais plus facile ? :

La translation envoie M (x,y) sur MLa translation envoie M (x,y) sur M’’(x+k, y)(x+k, y)

y = xy = x22 ; x ; x’’ = x+k; y = x+k; y’’ = y. Donc y = y. Donc y’’ = (x = (x’’ - k) - k)22


Il y a ici un changement de registre :Il y a ici un changement de registre : Registre géométrique pour les transformationsRegistre géométrique pour les transformations Registre algébrique pour les fonctions Registre algébrique pour les fonctions

Le trait dLe trait d’’union vient dunion vient d’’une caractérisation une caractérisation algébrique des transformations, voire dalgébrique des transformations, voire d’’une une définition algébriquedéfinition algébrique

Travaux sur les classes de fonctionsTravaux sur les classes de fonctions

Fonctions du second degré et fonctions du Fonctions du second degré et fonctions du troisième degré (avec calculatrices troisième degré (avec calculatrices graphiques)graphiques)

Fonctions sinusoïdalesFonctions sinusoïdales Fonctions exponentielles et logarithmiquesFonctions exponentielles et logarithmiques

A mûrir …A mûrir …

Documents

Autour des limites de fonctions, des études de fonctions et des divers niveaux d’étude en analyse 2ème partie Maggy Schneider Université de Liège