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Série S

Février 2018

Bac blanc de Mathématiques

Durée de l'épreuve : 4 heures

Le sujet comporte 7 pages dont 2 pages de spécialité. La feuille annexe (page 5) est à rendre avec la copie. L’exercice de spécialité (pages 6 et 7) est à rédiger sur une copie séparée.

La qualité de la rédaction et la présentation, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

L'utilisation d'une seule calculatrice mode examen est autorisée. Le prêt de calculatrice n'est pas autorisé

Exercice 1 ( 4 points) : commun à tous les candidats Partie A Soit la fonction f définie sur ℝ par f x( ) = 0,1x −1( )e0,1x − 20 .

1) Déterminer la limite de f en +∞ .

2) Vérifier que f x( ) = 0,1xe0,1x − e0,1x − 20 et déterminer la limite de f en −∞ .

Interpréter géométriquement cette limite.

3) a) Pour tout réel x, calculer f ' x( ) .

b) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur ℝ .

4) a) Montrer que l’équation f x( ) = 0 possède une unique solution α sur ℝ.

b) Donner un encadrement d’amplitude 10−2 de α.

5) En déduire le tableau de signes de f x( ) sur ℝ.

Partie B

Une entreprise fabrique chaque mois x vélos de course, x appartenant à l’intervalle [5 ; 60].

Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d’euros, pour une production de x vélos de course est donné

par C x( ) = e0,1x + 20

x.

Donner à une unité près (par excès) le nombre de vélos à produire pour que le coût moyen de fabrication soit minimal.

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Exercice 2 ( 5 points) : commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O ; u!,v!( ) .

L’unité graphique est égale à 4 cm.

On note A le point d’affixe 1, Γ le cercle de centre O et de rayon 1 et f l’application du plan complexe dans

lui-même qui, à tout point M distinct de A, d’affixe z, associe le point 'M d’affixe z ' = 1− z

z −1.

1) On note B le point d’affixe zB = −2+ i .

a) Calculer l’affixe du point 'B , image de B par f.

b) Démontrer que le point 'B appartient au cercle Γ .

c) Démontrer que les points A, B et 'B sont alignés.

d) Réaliser une figure sur le repère de la feuille annexe.

2) a) Soit z un nombre complexe. Montrer que z −1 = z −1 .

On pourra poser iz x y= + où x et y sont des réels.

b) Que peut-on en déduire pour 'z puis pour le point M’ ?

3) On dit qu’un point M est invariant par f, lorsque M ' = M .

Déterminer l’ensemble des points invariants par f.

4) Soit point M un point de la droite d’équation 1x = , M ≠ A .

Montrer que M ' = A .

5) On note E le point d’affixe i.

Démontrer que les antécédents de E par f appartiennent à une droite D dont on précisera l’équation.

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Exercice 3 ( 6 points) : commun à tous les candidats Dans une population de fourmis, on étudie un allèle récessif, c’est-à-dire la modification d’un gène. Les

fourmis de l’espèce Mycocepurus Smithii se reproduisent par parthénogenèse c’est-à-dire sans brassage

génétique. Les gènes sont transmis directement ou non à la descendance directement. Une étude montre que le

rapport d’une génération à une autre du nombre de fourmis portant l’allèle étudié dépend aussi de la génération

étudiée. Cette étude montre que si on note un le nombre de fourmis, exprimé en millions, dans la colonie

possédant l’allèle au bout de n générations, alors : un+1 =

n+12n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

un .

La génération 1 de la colonie comporte un demi-million d’individus.

On considère la suite un( ) définie par u1 =

12

et pour tout entier naturel n non nul : un+1 =

n+12n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

un .

1) Vérifier que u2 =

12

. Calculer puis interpréter u3 .

2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul, un est strictement positif.

3) Démontrer que la suite un( ) est décroissante.

4) a) Démontrer que la suite un( ) est convergente.

b) À la calculatrice on a obtenu le tableau ci-dessous. Conjecturer la limite de la suite un( ) .

𝑛 5 10 15 20

un 0,15625 0,00976 0,00045 0,000019

5) Pour tout entier naturel n non nul on définit la suite vn( ) par vn =

un

n.

a) Montrer que la suite vn( ) est géométrique, préciser sa raison et son premier terme v1 .

b) En déduire que pour tout entier naturel n non nul, un =

n2n .

c) On admet que un <

34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n

. Déterminer la limite de un( ) . 6) a) On considère qu’un allèle est disparu si la population qui le porte passe sous les 10 000 individus

c’est-à-dire 10!! million. Justifier qu’il existe un entier naturel p tel que pour tout entier n supérieur

à p, un <10−2 .

b) Recopier et compléter l’algorithme ci-contre pour que à la fin de l’exécution soit stocké dans N le

plus petit entier naturel n tel que, un <10−2 .

U ← 0,5N ←1Tant que ...........10−2

U ← ...........N ← ...........

Fin du Tant que

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Exercice 4 ( 5 points) : Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Toute trace de recherche sera valorisée.

Partie A : Un premier test anti-dopage

Lors d’un contrôle d’une population de sportifs, le comité antidopage utilise un test de dépistage afin de

déclarer chaque sportif positif ou négatif au dopage. Or, certains produits peuvent aider à masquer la présence

d’une substance dopante et le test utilisé par le comité n’est pas fiable à 100 %. On note les événements

suivants :

D : « Le sportif contrôlé est dopé »,

T : « Le test est positif ».

Dans cette partie, la probabilité que le sportif soit dopé est notée p . Ainsi, on a : ( )P D p= .

Caractéristiques du premier test:

Si le sportif est dopé, le test est positif avec une probabilité de 0,94

Si le sportif n’est pas dopé, le test est positif avec une probabilité de 0,05.

On pourra s’aider d’un arbre de probabilités.

1) Un sportif n’est pas dopé.

Affirmation 1 : La probabilité que le test soit négatif est égale à 0,05(1 )p− .

2) On procède au test d’un autre sportif.

Affirmation 2 : La probabilité que le test soit positif est égale à 0,89 0,05p + .

Affirmation 3 : La probabilité que le test soit défaillant est égale à 0,01 0,05p + .

Partie B : Un second test anti-dopage

Le comité effectue un deuxième test sur une population de sportifs dont on sait que 20% sont dopés. Ainsi, on

a : ( ) 0,2P D = .

Les caractéristiques de ce second test sont les mêmes que celles du premier test.

1) Un athlète a été testé positivement.

Affirmation 4 : La probabilité qu’il soit réellement dopé est égale à 4757

.

2) On regarde les dossiers de dix sportifs supposés indépendants.

Affirmation 5 : La probabilité qu’au moins un sportif soit dopé au second test est environ égale à 0,107 .

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Exercice 2 : Repère à compléter

Nom : Prénom : Classe : FEUILLE ANNEXE à rendre avec la copie

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Exercice 4 (5 points) : Pour les candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité « Mathématiques »

A REDIGER SUR FEUILLE SEPAREE L’objet du problème est l’étude d’une méthode de cryptage, dite « chiffrement de Hill », dans un cas particulier.

Cette méthode nécessite une matrice de la forme 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 , dont les coefficients sont des nombres entiers choisis

entre 0 et 25, et tels que 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 soit premier avec 26.

Cette matrice est connue seulement de l’émetteur et du destinataire.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

Partie A : quelques résultats 1. On considère l’équation 𝐸 : 9𝑑 − 26𝑚 = 1, où 𝑑 et 𝑚 désignent deux entiers relatifs.

a. Donner une solution simple de cette équation, de sorte que 𝑑 et 𝑚 soient des nombres entiers

compris entre 0 et 3.

b. Démontrer que le couple (𝑑,𝑚) est solution de l’équation (𝐸) si et seulement si :

9 𝑑 − 3 = 26 𝑚 − 1 .

c. En déduire que les solutions de l’équation (𝐸) sont les nombres entiers relatifs de la forme :

𝑑 = 26𝑘 + 3𝑚 = 9𝑘 + 1 , avec 𝑘 ∈ ℤ

2. a. Soit 𝑛 un nombre entier. Démontrer que si 𝑛 = 26𝑘 − 1, avec 𝑘 entier relatif, alors 𝑛 et 26 sont

premiers entre eux.

b. En déduire que les nombres 9𝑑 − 28, avec 𝑑 = 26𝑘 + 3 et 𝑘 ∈ ℤ, sont premiers avec 26.

PARTIE B : cryptage et décryptage

On considère la matrice 𝐴 = 9 47 3 .

On utilisera le tableau suivant pour la correspondance entre les lettres et les nombres.

A B C D E F G H I J K L M

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

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1. En cryptant par cette méthode le mot « PION », on obtient « LZWH ». En détaillant les étapes pour les

lettres « ES », crypter le mot « ESPION ».

2. Méthode de décryptage

Notation : lorsqu’on manipule des matrices de nombres entiers relatifs, on peut utiliser la notation

« ≡ » pour parler de congruence coefficient par coefficient. Par exemple, on peut écrire :

10884 ≡ 4

6 modulo 26 car 108 ≡ 4 modulo 26 et 84 ≡ 6 modulo 26.

Soient 𝑎, 𝑏, 𝑥,𝑦, 𝑥! et 𝑦′ des nombres entiers relatifs.

On sait que si 𝑥 ≡ 𝑥′ modulo 26 et 𝑦 ≡ 𝑦′ modulo 26 alors :

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≡ 𝑎𝑥! + 𝑏𝑦′ modulo 26.

Ce résultat permet d’écrire que, si 𝐴 est une matrice 2×2, et 𝐵 et 𝐶 sont deux matrices colonne 2×1,

alors :

𝐵 ≡ 𝐶 modulo 26 implique 𝐴𝐵 ≡ 𝐴𝐶 modulo 26.

a. Etablir que la matrice 𝐴 est inversible et déterminer son inverse.

b. Décrypter le mot : XQGY.

Méthode de cryptage (pour un mot comportant un nombre pair de lettres)

Exemple : avec le mot MATH

1. On regroupe les lettres par paires. MA TH

2. On remplace les lettres par les valeurs associées à l’aide du tableau précédent, et on place les couples de nombres obtenus dans des matrices colonne.

𝐶! =120

𝐶! =197

3. On multiplie les matrices colonne par la gauche par la matrice 𝐴 = 9 4

7 3 𝐴𝐶! =10884 𝐴𝐶! =

199154

4. On remplace chaque coefficient des matrices colonne obtenues par leur reste dans la division euclidienne par 26.

108 = 4×26+ 4 84 = 3×26+ 6 On obtient : 46

1724

5. On utilise le tableau de correspondance entre lettres et nombres pour obtenir le mot crypté. EGRY