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CALCUL LITTERAL
Chapitre
05-LT
I – NOTATIONS REDUIRE-ORDONNERII – VALEUR NUMERIQUE d’une EXPRESSIONIII-DEVELOPPEMENTIV – FACTORISATIONV - IDENTITESVI- UTILISATION DES IDENTITESVII-EQUATION PRODUITVIII- EXERCICES / PROBLEME
3° Avon 2010 Bernard Izard
I-NOTATION-REDUIRE-ORDONNER
1 x a =a 0 x a = 0 -1 x a = -a-1 x (…..) =-(….)
a x b se note
2 x x se note
3x(…..) se note
(…..)x(…..)se note
On lit: 3 facteur de
ab
2x
3(…..)
(…..)(…..)
x + x = 2x
x x x = x²
On met les nombres chiffrés devant les lettres
On écrit 2x et non x2 3(…) et non (…)3
1) Rappel des notations
Expressions littérales exercice: Si a, b et x représentent des nombres, traduire les
phrases suivantes par une expression littérale simplifiée:
Le quadruple de a
La moitié de a
L’inverse de a
l’opposé de a
La moitié de la somme de 3 et a
La somme de 6 par le produit de x et 3
Les trois quarts de x
Le carré de la somme de 3 et x
La somme des carrés de 3 et x
Le double de la somme de 3 et x
4a
a/2
1/a
-a
3+a 2
6(x + 3)
6+3x
3x 4
3² + x²
(3 + x)²
2(3 + x)
Le produit de 6 par la somme de x et 3
Règle de suppression des parenthèses (rappel)
Dans un calcul, on peut supprimer les parenthèses :
- précédées du signe + et ce signe +, sans changer le signe des nombres à l’intérieur des parenthèses.
- précédées du signe - et ce signe -, en changeant chaque nombre à l’intérieur des parenthèses en son opposé.
Ex: A = 8 + (- 3 + x ) - ( 4 - 3x )
A = 8 + (- 3 + x ) - (+ 4 - 3x )
A = 8 – 3 + x – 4 + 3x
A = 4x + 1
2) Réduire une somme (Rappel)Pour réduire une somme, on regroupe les termes de mêmes « mots mathématiques », puis on les ajoute ensemble.
Remarque : on ajoute les x avec les x, les x²avec les x² , les y avec les y et les nombres chiffrés seuls avec les nombres chiffrés seuls.
Ex1: A = x + 3x
A = 4x
Ex2: B = x + x² +3 + x + 2x² + 5
B = x + x + x² + 2x² + 3 + 5
Mais jamais les x avec les x², les a avec les b..
Ex3: C = x + x²
On ne peut pas réduire
B = 2 x + 3x² + 8
3) Ordonner une expression (Rappel)
On range les termes suivant les puissances d’une lettre
A = x + 3x² – 3
A = -3 + x +3x²
Ordre croissant
A = x + 3x² - 3
A = 3x² + x - 3
Ordre décroissant
On a ordonné suivant les puissances de x
Ex: Ranger suivant les puissances décroissantes de x:
B = 5x – 5 + 7x³ - 8x²B = 7x³- 8x² + 5x - 5
4) Réduire et ordonner une expression
On Réduit en commençant par les puissances 3, puis 2, puis 1, puis 0, ou dans l’autre sens.
Ex: A=3x – 2x² +5 –3 – x +7x² +4x³
Les x³
4x³
Les x²
7x²
-2x²
5x²
Les x
3x
-x
2x
Les chiffres
5
-3
2
A = 4x³ + 5x² +2x + 2
Ex1: A = 3x x 5 x 2x
A =3x5x2 x x x x
A = 30 x x²
A = 30x²
5)-Réduire ou simplifier un produit
Pour réduire un produit, on multiplie les nombres chiffrés ensemble et les mêmes lettres ensemble
On utilise la règle du:
Signes
Chiffres
LettresEx2: B = -3 x 5 x x² x7 x (-x)
Signes
Chiffres
Lettres
- par - = +
3x5x7 =105
x² x x = x³
B = 105 x³
II-VALEUR NUMERIQUE D’ UNE EXPRESSION
A = 5x + 5 est une expression littéralSi on remplace x par 3, on va trouver la
valeur numérique de cette expression pour x = 3A = 5 x 3 + 5
A =15 + 5
A = 20Cette expression vaut 20 pour x = 3Si on remplace x par –2
A = 5x(-2) +5
A =-10+5
A = -5Cette expression vaut -5 pour x = -2
Si on note f(x)= 5x + 5
On écrit alors f(3) = 20
Ex2: Calculer pour x = -3
A = 4x – 4
B = 5x – 5(x-7)
C = 2x² - 3x + 1
D = -32x² + x + 18
A = 4(-3) – 4
A = -12 – 4
A = -16A = -16
B = 5(-3) – 5((-3)-7)
B = -15 – 5(-10)
B = -15 + 50
B = 35
C = 2(-3)² – 3(-3) +1
C =2x9 + 9 + 1
C = 18 + 10
C = 28
D = -32(-3)² +(-3) + 18
D = -32x9 – 3 + 18
D = -288 +15
D = - 273
Mettre des parenthèses pour éviter les erreurs de signes
III - DEVELOPPEMENT
On utilise la distributivité
k( a + b) = ka + kb
Développement
Factorisation
k( a - b) = ka - kb
Développer = transformer un produit en somme ou différence
Ex1:
A= 3 ( 2x +7)
A= 3 x 2x
A= 6x + 21
+ 3 x 7
A= 6x + 21
Ex2:
B = ( 6 + 2x) (x +3)
B= 6x x + 6 x 3 + 2x x x+ 2xx3
B= 6x + 18 + 2x2 + 6x
B= 2x2 + 6x+ 6x + 18
B= 2x2 + 12x + 18
B= 2x2 + 12x + 18
Autres formules appelées parfois « double distributivité »
(a + b ) ( c + d) = ac + ad + bc + bd
(a + b ) ( c - d) = ac - ad + bc - bd
(a - b ) ( c + d) = ac + ad - bc - bd
(a - b ) ( c - d) = ac - ad - bc + bd
Ex3:
B = ( 6 - 2x) (-x +3)
B= 6 x (-x) + 6 x 3 - 2x x (-
x)- 2x x 3
B= -6x + 18 + 2x2 - 6x
B= 2x2 - 6x -6x + 18
B= 2x2 - 12x + 18
B= 2x2 - 12x + 18
Ex4:
B = ( -8 - 2x) (5 –3x)
B= - 40
B= 6x2 + 14x - 40
B= 6x2 + 14x - 40
- 10x + 6x2+ 24x
Signes
chiffres
lettres
Règle
En 3°,on fait directement les calculs
IV - FACTORISATION
On utilise la distributivité
Dans l’autre sens
k( a + b) = ka + kb
Factorisation
Factoriser = transformer une somme ou différence en produit
Méthode du facteur commun
Ex1: Ex2: Ex3:
A = 5 x + x2 B = 15 x2 + x3 C = 12 xy + 6x
A = 5 x x + x x x
A = 5 x x + x x x
A = x x
A = x (5 + x)
(5 + x)
B = x2 x (15 + x )
B = 15 x x2 + x x x2
B = x2 (15 + x)
C = 6 x x 2y + 6x x 1
C = 6 x x (2y + 1)
C = 6 x (2y + 1) On dit que l’on a mis x en facteur commun
Mettre en facteur commun une expression A = (x + 7) (3x – 5) + (x + 7) (- 5x + 13)
A = (x + 7) (-2x + 8)
A = (x + 7) (3x – 5) + (x + 7) (- 5x + 13)
A = (x + 7)
[(3x – 5) + (- 5x + 13)]
A = (x + 7) [3x – 5 - 5x + 13]
A = (x + 7) [- 2x + 8]
1) On cherche les facteurs identiques
3) On met dans les crochets ce
qui reste
4) On chasse les parenthèses dans les crochets et on réduit
2) On met en facteur commun devant entre parenthèses
V – IDENTITÉS REMARQUABLES
ab
b
ba
b
aa
b²
abMarquons dans chaque figure son aire
ab
a²
b
b
b²
ab
ab
a
b
ab
aaa²
b
b
b²
ab
ab
a
b
ab
aaa²
b
b
b²
ab
ab
a
b
ab
aaa²
Aire totale = a²+ ab+ ab + b²Aire totale = a²+ 2ab + b²
La figure complète est un carré de côté (a+b)
Son aire = côté x côté
Aire = (a+b)x(a+b) = (a+b)²
D’où (a + b)² = a² + 2ab + b²
1)-Carré d ’une somme.
2 2 2( ) 2a b a ab b
² ² ( + )² = +2 +
Le carré d’une somme est égal à la somme des carrés plus le double produit des deux termes 2 2 2
2 2
( 7) 2 7 7
( 7) 14 49
x x x
x x xExemple
² ² ( + )² = +2 +
Pour ceux qui ont du mal au début
(7 + x )² = ?On reconnaît: (a+b)²=a²+ 2ab + b²
(7 + x )² = ?
7 x 77 xx
( 7 + x )² = 49 + 14 x + x²
2)-Carré d ’une différence
2 2 2( ) 2a b a ab b
²- 2 +( - )² = ²
Le carré d’une différence est égal à la somme des carrés moins le double produit des deux termes
( - )( + ) = ²- ²
3)-Différence de deux carrés.
2 2( )( )a b a b a b
Le produit d’une différence par une somme est égal à la différence des deux carrés .
VI – UTILISATION DES IDENTITÉS
1) Pour développer
A = x2 - 6x + 9
A = x2 – 2x3x x + 32
A = (x- 3)2 (a-b)2 = a2-2 ab+b2
A = (x- 3)2
On repère
l’identitéOn l’utilise
pour développer On réduit
Ex1:
B = x2 - 9
B = x2 –32
B = (x - 3) (x + 3) (a-b) (a+b) = a2 - b2
B = (x- 3)(x+3)
On repère
l’identitéOn l’utilise
pour développer
Ex2:
A = 9x2 + 42x + 49
A = (3x)2 + 2x7x3x + 72
A = (3x+ 7)2 (a+b)2 = a2+2 ab+b2
A = (3x +7)2
On repère
l’identitéOn l’utilise
pour développer On réduit
Ex3:
A = 16x2 + 40x + 25
A = (4x+ 5)2
a2+2 ab+b2
=(a+b)2 On repère
l’identité
On l’utilise pour
factoriser
Ex1:
2) Pour factoriser
A = (4x)2 + 2x5x4x + 52
A = (4x+ 5)2
A = 9x2-16
A = (3x)2- 42
A = (3x)2- 42
A = (3x +4) (3x- 4)
A = (3x +4) (3x- 4)
B = x2 - 6x + 9
B = x2 – 2x3x x + 32
B = x2 – 2x3x x + 32
B = (x- 3)2
B = (x- 3)2
Ex2: Ex3:
a2 - b2 = (a-b)
(a+b)
a2 - 2 ab - b2 =(a - b)2
VII – EQUATION PRODUITRésoudre l’équation (2x + 3) ( x – 7) = 0C’est une équation produit nul car égal à zéro. On utilise la
propriété:Si un produit est nul alors l’un des facteurs (au moins ) est nul et réciproquement.
(2x + 3) ( x – 7) = 0
(2x + 3) = 0
( x – 7) = 0
2x = -3
ou
x = -3/2
2x + 3 = 0
x – 7 = 0x = 7
Solution de cette équation –3/2 et 7
Ex1:
143 x 102 = 143 x ( 100 + 2 )
= 143 x 100 + 143 x 2
= 14 300 + 286
= 14 586
1) ExercicesCalculer mentalement avec la distributivité
143 x 102
143 x 102
143 x 102
Ex2: 102 x 209 = ( 100 + 2 ) x ( 200 + 9 )
= 100 x 200 + 100 x 9 + 2 x 200 + 2 x 9
= 20 000 + 900 + 400 + 18
= 21 318
102 x 209
102 x 209
102 x 209
VIII– EXERCICES / PROBLEME
A = 3(- 6x + 4)
A= -18x + 12
B = (2x + 3)(3x - 4)
B = 6x² - 8x + 9x – 12
B= 6x² + x - 12
DévelopperEx3:
Ex4:
103²= ( 100 + 3 )²
103²= 100² + 2 x 100 x 3 + 3²
103²= 10 000 + 600 + 9
103²= 10 609
En utilisant une identité, calculer mentalement
96² = ( 100 - 4 )² (a - b)² = a² - 2ab + b²
96²= 100² - 2 x 100 x 4+ 4²
96²= 10 000 - 800 + 16
96²= 9 216
105 x 95= ( 100 + 5 ) x ( 100 - 5 )
(a + b)(a - b) = a² - b²105 x 95 = 100² - 5²
105 x 95 = 10 000 - 25
105 x 95 = 9 975
A = (4 - 3x)² (a - b)² = a² - 2ab + b²
A = 16 - 24x + 9x²
B = (2x + 3)(2x - 3) (a + b)(a - b) = a² - b²
B= 4x² - 9
Ex5: Développer
C = (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x )
C = (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x ) (a - b)² = a² - 2ab + b²
C = 4x² - 12x + 9 + 3x – x ² + 15 - 5x
C = 3x² - 14x + 24
D = ( x - 3)( x + 3) - (4 - 3x)²
D = ( x - 3)( x + 3) - (4 - 3x)² (a + b)(a - b) = a² - b²
D = x² - 9 - (a - b)² = a² - 2ab + b ²
( 16 - 24x + 9x² )
D = x² - 9 - 16 + 24x - 9x²
D = -8x²+ 24x - 25
Ex6:
A = x² + 3x - 5x²
A = x x x + x x 3 - x x 5x
A = x ( x + 3 - 5x )
A = x (- 4x + 3)
B = (1 - 6x)² - (1 - 6x)(2 + 5x)
B= (1 - 6x)(1 - 6x) - (1 - 6x)(2 + 5x)
B = (1 - 6x)[ (1 - 6x) - (2 + 5x)]
B = (1 - 6x)[ 1 - 6x - 2 - 5x]
B = (1 - 6x)( - 11x - 1 )
Factoriser
Ex7: factoriser
x² - 2x + 1 = (x - 1 )² 25x² - 49 = (5x + 7 )(5x - 7 )
A = (2x + 3)² - 64
A =[ (2x + 3) – 8 ][ (2x + 3) + 8 ]
A = [2x + 3 – 8][2x + 3 + 8]
A = (2x – 5)(2x + 11)
a²-b²=…….
A = 8 + a + 8 b + ab
A = 8 + a + 8 b + ab
A = 8 + a + b ( 8+ a)
A = (8 + a) + b ( 8+ a)
A = (8 + a) x1 + b ( 8+ a)
A = (8 + a) x (1 + b)
A = (8 + a) (1 + b)
A = (8 + a) (1 + b)
Ex8: Factoriser en plusieurs étapes
2) Problème récapitulatif
4° Résoudre l’équation f(x) = 0
Enoncé:
Solution
4° Résoudre f(x) = 0
(2x +1) (-x + 6) = 0Si un produit est nul alors l’un des facteurs (au moins ) est nul et réciproquement.
2x + 1 = 0 ou -x + 6 =02x = -1
x = -1/2
-x = -6
x = 6
Solution -1/2 et 6
CALCUL LITTERAL
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FIN
