Chap4CoursPhys3

CHAPITRE IV. Systèmes linéaires forcés à un degré de liberté.

4.1 Force dexcitationPour vaincre les frottements responsables des pertes dénergie et du ralentissement des sys-tèmes en mouvement, il faut appliquer une force externe quon appelle excitation.

4.2 Équation de Lagrange des systèmes forcésSi en plus du frottement f = q, il existe une force dexcitation externe F (t); léquation deLagrange sécrit:

d

dt

@L@x

@L@x

= @D@x+ F (t) (En translation) (4.1.a)

d

dt

@L

@

! @L@

= @D

@+M(t) (En rotation. M est le moment de la force F :) (4.1.b)

4.3 Équation du mouvement des systèmes forcésLéquation du mouvement des systèmes linéaires amortis par f = q et excités par F (t) estde la forme (a est une constante)

q + 2

q + !20q = F (t) =a: (4.2)

4.4 Résolution de léquation dumouvementLa résolution de léquation (4:2) est très simple pour une excitation sinusoïdale F (t) = F0 cost.Dans ce cas (4:2) sécrit: q+2 q+!20q=(F0=a) cost: La solution générale de cette équation est:

q(t) = qT(t) + qP(t):

qT(t) est la solution (transitoire) de léquation homogène (sans F ): Elle dépend du signede 2 !20: Elle est dite transitoire car elle séteint au cours du temps (Voir Chap. III.) qP(t) est la solution (permanente) de léquation nonhomogène (avec F ): Elle est appeléepermanente car elle dure tout au long dumouvement. Elle est de la forme q(t) = A cos (t+ ) :On trouve A et à laide de la représentation complexe comme suit:

F0 cost ! F0ejt:

q(t) = A cos (t+ ) ! q(t) = Aej(t+) = Aejt:

q + 2

q + !20q = (F0=a) cost !

q + 2q + !20q = (F0=a) e

jt

=) 2Aejt + 2jAejt + !20Aejt = (F0=a) ejt=)

2 + 2j+ !20

A = F0=a

=) A =F0=a

(!20 2) + j2: (4.3)

Lamplitude du mouvement est donc:

A = jAj = F0=aq(!20 2)

2+ 422

: (4.4)

La phase du mouvement (déphasage entre q(t) et F (t)) est donnée par:

tan =Im (A)

Re (A)= 2

(!20 2): (4.5)

Finalement la solution du mouvement en régime permanent est

q (t) = A cos (t+ ) : (Avec A donné par (4:4) et donnée par (4:5) ) (4.6)

F. HAMMAD Vibrations & Ondes Chap.IV http://exerev.yolasite.com - http://sites.google.com/site/exerev

4.5 RésonanceLa pulsation dexcitation pour laquelle lamplitude A atteint son maximum est appeléepulsation de résonance (damplitude) R. A est maximale lorsque @A

@ = 0: Daprès (4:4) :@A

@= 0 =)

[4!20 2

+ 82] (F0=a)

2h(!20 2)

2+ 422

i3=2 = 0 =) 4!20 2

+ 82 = 0; soit

=q!20 2

2 R: () R = !0

r1 1

2Q2: (4.7)

À cette pulsation, lamplitude est

Amax =F0=aq

42!20 44 ()

Amax =F0a!20

Qr1 1

4Q2

.(4.8)

Pour quil y ait résonance il faut que: !20 22 > 0 =) 1 12Q2 > 0 =) Q > 1p

2:

Le facteur de qualité doit donc être supérieur à 1p2=) lamortissement doit être faible.

Daprès (4:5) ; tan = 1 ( = 2 ) lorsque

= !0: (4.9)

Cette pulsation est appelée pulsation de résonance de phase.

4.6 Bande passante et facteur de qualitéLa puissance instantanée fournie par la force dexcitation est: P = dW

dt =F:dqdt = F:

q:

En utilisant (4:6) ; on trouve: P = F0 cost:A sin (t+ ) = 12AF0 [sin+ sin (2t+ )] :

La puissance moyenne est hPi = 1T

R T0Pdt = 1

2AF0 sin = 12AF0

tanp1+tan2

: Daprès (4:4)et(4:5):

hPi =2

F 20 =a

(!20 2)

2+ 422

: (4.10)

hPi est maximale lorsque @hPi@ = 0 =)

= !0:

hPimax =F 204a

:(4.11)

Les pulsations c1 et c2 pour lesquelles hPi est à moitié de son maximum sont appeléespulsations de coupure. La largeur c2c1 = B est appelée la bande passante. Daprès(4.10), hPi = hPimax

2 (à faible amortissement: !0) pour c1 !0 et c2 !0 + : Donc

B = 2: (4.12)!0B=!02= Q est le facteur de qualité (Voir Chap. III ).Les graphes de A; ; et hPi en fonction de la pulsation dexcitation sont:

A 30=Q

10=Q

3=Q

2/1=Q

RΩ Ω02

0ωaF

02004,3

ωaF

02010

ωaF φ

0

2π−

π−

Ω0ω

10=Q3=Q

2/1=Q

maxP

P

B

0ω Ω1cΩ 2cΩ

max21 P

A = F0=aq(!202)

2+422

: = tan1 2

(!202)

: hPi = 2(F 2

0 =a)(!202)

2+422


Analogie entre les systèmes mécaniques et électriquesLe formalisme développé en cours est valable pour toute coordonnée généralisé q. Dans le cas des sys-tèmes mécaniques q peut être x; y; z; ; :::, alors que dans le cas des systèmes électriques q est la chargeq qui circule dans le circuit. Nous avons alors les tableaux suivants des analogies mécanique-électrique.

Analogie entre grandeursSystème Mécanique Système Electrique

Grandeur réelle complexe Grandeur réelle complexeCoordonnée x x Charge q q

Vitesse v =x v=

x Courant i =

q i=

q

Force F F Tension E E

Analogie entre formulesSystème Mécanique Système Electrique

Formule complexe Formule complexe

Impédance mécanique Z= F

vImpédance électrique Z = E

i

Force dinertie mdv

dt= jm!v f.c.e.m dinductance L

di

dt= jL!i

Force de frottement v Tension dune résistance Ri

Force dun ressort kx = kRvdt =

k

j!v Tension dune capacité

q

C=1

C

Ridt =

1

jC!i

Analogie entre éléments et caractéristiquesSystème Mécanique Système Electrique

Ressort k Capacité inverse1

CInertie m Inductance LFrottement Résistance R

Pulsation de résonancepk=m Pulsation de résonance 1=

pLC

Bande passante 2 = =m Bande passante 2 = R=L

Energie dun ressort 12kx

2 Energie dun condensateur 12

q2

CEnergie cinétique dun corps 1

2mv2 Energie dune bobine 1

2Li2

Puissance dissipée par frottement v2 Puissance dissipée par e¤et Joule Ri2

Exemple

k m α

F

x L RC

E

q

kx v + F = mdvdt

1

C

Ridt+ L

di

dt+Ri E = 0

F =k

j!v + jm!v + v E =

1

jC!i+ jL!i+Ri

Impédance mécanique Impédance électrique

Z = F

v=k

j!+ jm! + Z = E

i=

1

jC!+ jL! +R


Documents

Chap4CoursPhys3