Chapitre VIII : Etat limite de service

II.X. GénéralitésII.X. GénéralitésII.X. GénéralitésII.X. Généralités : : : :

1- Combinaisons d’actions et sollicitations de calcul1- Combinaisons d’actions et sollicitations de calcul1- Combinaisons d’actions et sollicitations de calcul1- Combinaisons d’actions et sollicitations de calcul : : : :

La combinaison fondamentale uti l isée pour l ’état l imite de serviceest : Gmax + Gmin + Q1 + Σ Ψ0, i . Qi

Les soll icitat ions de calcul sont : le moment de service Mser etl ’effort normal de service Nse r donnés par le chargement de lacombinaison fondamentale.

Remarque :

! le béton et l ’acier sont considérés l inéairement élastique :

bbb E εσ .= ; SSS E εσ .=

! bbS n σεσ .15. == ; b

S

EEn = : coeff icient d’équivalence

2- Vérifications à effectuer2- Vérifications à effectuer2- Vérifications à effectuer2- Vérifications à effectuer : : : :

Ces vérif ications sont relat ives à la contrainte maximale du bétoncomprimé bσ , à la contrainte des aciers Sσ et aux déformations.

2-1/ contrainte maximale du béton comprimé :

Lorsque la sect ion comporte une part ie comprimée ; on doit

vérif ier sous la soll ic itat ion de service : 28.6,0 cb f≤σ

2-2/ Contrainte des armatures tendues :

afin de limiter les f issures, la contrainte des aciers tendus sous la

soll icitat ion de service doit être inférieure aux limites suivantes :

a- Fissurat ion peu nuisible : (éléments situés dans les locaux couverts

et clos) : aucune vérif icat ion.

b- Fissurat ion préjudiciable : (éléments exposés aux intempéries,

émergés en eau douce).

≤ ησ 150 ;

32min eS f

η : Coeff icient de f issuration

→→

=YHARL

6.11

η

c. Fissuration très préjudiciable : (éléments devant assurer une

étanchéité, exposés à des mil ieux agressifs) ( )ησ 110 ; 5,0min eS f≤

3- Méthodes pratiques pour effectuer les vérifications3- Méthodes pratiques pour effectuer les vérifications3- Méthodes pratiques pour effectuer les vérifications3- Méthodes pratiques pour effectuer les vérificationsrelatives à relatives à relatives à relatives à σσσσbbbb et et et et σσσσSSSS : : : :

Dans une section donnée ; les armatures sont déjà connues, car

elles ont été déterminées à l’état l imite ult ime.

Pour déterminer σb et σS , on ut il isera les méthodes exposées ci-

après. Si σb et σS ne sont pas vérif iées, i l est nécessaire de calculer

sous les soll icitations de service, une nouvelle valeur A et A’, et ce sont

ces dernières valeurs qui seront retenues pour le ferrail lage de la

section.

II/ Section rectangulaire soumise à la flexionII/ Section rectangulaire soumise à la flexionII/ Section rectangulaire soumise à la flexionII/ Section rectangulaire soumise à la flexionsimplesimplesimplesimple : : : :a. Section rectangulaire sans armatures compriméesa. Section rectangulaire sans armatures compriméesa. Section rectangulaire sans armatures compriméesa. Section rectangulaire sans armatures comprimées : : : :

dh

A

y1 Mser

σb

σS

15

bb

a1

G

Fb

Fa

y1/3

Z

Fb : résultante des efforts de compression ; Fa : résultante des

A.N

b

a-1/ Relations entre les diverses grandeurs d’unesection rectangulaire sans armatures comprimés :

( ) dyKK

Kb

S . ; 115 ; 15

15 ; 111

11

11 αα

αασσ

=−=+

==

2'1

11'111

11 ;

2. ; d ;

31 dbMZ b ⋅⋅⋅==⋅=−= σµβαµβαβ

dmdbeA

Ke dbσμ m

Kμμ

SS

'

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅=⋅⋅⋅==

1

1

1

11

21

1

11 100

; 2

100 ; ;

βσα

a-2/ Détermination des contraintes :

1ère méthode :

On connaît b, d, A et M et on veut déterminer σb et σS

1111 et ,100 µβ ′⇒⋅⋅= kdbAe

2111

; db

MkdA

M Sb ⋅⋅′

==⋅⋅

=µ

σσ

βσ

M : en [npm], σb et σS : en [MPk], b et d : en [cm], A : en [cm2]

* 2ème méthode :

y1 se calcule de : ( ) 0152 1

21 =−⋅⋅− ydAby

dyEDDydDE

bAD 1

12

1 ; ; 2 ; 15 =++−=⋅=⋅= α

( )2

1111S

1

11

11

2 ; ; 115

; 3

1db

MkdA

Mk Sb ⋅⋅⋅

==⋅⋅

=−

=−=βα

σσ

βσ

αααβ

M : en [N.m] ; b et d : en [cm] ; A : en [cm2] ; σb et σS : en [MPa]

* 3ème méthode :

( )21

31

12

1 153

; ; 2 ; 15 ydAyb IEDDydDEb

AD −+⋅

=++−=⋅=⋅=

( )11 15 ; ; ydkykI

Mk Sb −=⋅== σσ

M : en [N.m] ; b et d : en [cm] ; A : en [cm2] ; σb et σS : en [MPa]

a-3/ Détermination des armatures :

b,d, m et Sσ sont connus et on veut déterminer A et σb .

11

1121

;

et

kdMA

kdb

M

Sb

S

S

σσ

βσ

βσ

µ

=⋅⋅

=

⇒⋅⋅

=

286,0 cb f⋅≤σ ; si cette condit ion n’est pas vérif iée ⇒ les armatures

comprimées sont nécessaires.

Remarque :I l n’est pas nécessaire de vérif ier la contrainte maximale du béton

pour les sect ions rectangulaires dont les armatures sont de classe

FeE400 si :

10021 28cf

dy +−≤= γα fc28 : en [MPa]

y : la distance de l’axe neutre à la fibre la plus comprimée pour l’E-L-U-R.

service de limiteétat l'pour Moment limiteétat l'pour Moment ==

ser

u

MM

γ

2dbM

b

u

⋅⋅=

σµ →

8,0211 u−−=α

et si ⇒+−≤1002

1 28cfγα i l n’est pas nécessaire de vérif ier si σb

286,0 cf⋅≤

si on a :

- Acier Fe E400

- 1002

1 28cf+−≤ γα

- Fissurat ion par nuisible

Exemple n°1Exemple n°1Exemple n°1Exemple n°1 : : : :

Déterminer les armatures de la

- à l ’état l imite ult ime de rési

- à l ’état l imite de service à u

Acier FeE400 ; Fissurat ion peu

Fc28 = 25 Mpa.

I l n’y a aucune vérif ication à

effectuer pour l ’état l imite de

section rectangulaire suivante soumise à :

stance à un moment : Mu = 200 kN.m

n moment : Mser = 140 kN.m

nuisible.

a- Etat limite ultime de résistance :

( )180,0

56252,14200000

22 =××

=⋅⋅

=db

M

b

u

σµ

MPa 3481000et ==⇒⟩∃′⇒⟨S

eSLSL

f A

γσεεµµ

83,11900,0 ; 250,0180,0 =⇒==⇒= Aβαµ cm2

Choix : 2T25 + 1T16 → A = 11,83 cm2

b- Etat limite de service :

La f issurat ion est peu nuisible, les armatures sont en acier

FeE400 :

43,1140200 ===

ser

u

MM

γ 5,2=α

465,010025

21-1,43 50,2 =+<=α

I l n’y a donc aucune vérif

service.

Vérification :1ère méthode :La f issurat ion est peu n

MPafc 156,0 28 =≤

⇒=×

×=⋅⋅= 845,0

562583,11100100

1 dbAe

(××=

⋅⋅′=

dbM ser

b 56251708,0000.140

21µ

σ

les armatures déterminées

2ème méthode :

098,725

83,111515 =×=⋅=b

AD

(

211

11

1

21

869,0392,01422

1 392,056

98,21098,7

serb db

Mdy

EDDy

××=

⋅⋅⋅⋅

=

====

+−=++−=

βασ

βα

A

60

25

56

?

100210 28cf

+−≤ γ

ication à effectuer pour l ’état l imite de

uisible ⇒ i l suff it de vérif ier que σb

(voir tableau) 1708,01 =′µ

)⇒= Mpa 5,102

par l ’E-U-L-R conviennent

976,79456098,722 =××=⋅⋅= DdE

)

( ) 282

1

2

6,0 MPa 15 MPa 5,105625

000.0

869,03

cm 98,21976,794098,7

cb f⋅==<=××

=−

=+

σ

α

* 3ème méthode : 98,211 =y cm

( ) ( ) ( )

b1

423

21

31

MPa 5,1098,21476,0 476,0800.239000.140

cm 800.23998,215683,11153

98,2125153

σσ <=×=⋅====

=−××+×=−⋅⋅+⋅

=

ykI

Mk

ydAybI

bser

b. Section rectangulaire avec armatures compriméesb. Section rectangulaire avec armatures compriméesb. Section rectangulaire avec armatures compriméesb. Section rectangulaire avec armatures comprimées : : : :

Soit une section rectangulaire de dimensions (b×h) soumise à un

moment de service M = Ms er

b.1. Détermination des contraintes :

b, d, A et A’ sont connus et on veut déterminer Sb σσσ et , S′

les calculs à effectuer sont résumés dans ce qui suit :

y1 est racine de l ’équation ( ) ( ) 015152 1

21 =⋅+′⋅′−⋅+′⋅+

⋅ dAdAyAAyb

et pour la résolution de cette équation, on uti l ise :( ) ( ) ; dAdA30 ; 15 2

1 EDDyb

Eb

AAD ++−=⋅+′⋅′=′+⋅=

( ) ( )I

M k d-yAdyAybI =⋅⋅+′−⋅′⋅+⋅

= ;15153

21

21

31

1ykb ⋅=σ ( )dykS ′−⋅⋅=′ 115σ ( )115 ydkS −⋅⋅=σ

M : en [N.m] ; b et d : en [cm] ; A et A’ : en [cm2] ; σb, σ’S σS: en [MPa]

b.2. Détermination des armatures :

Si en calculant les contraintes comme indiqué dans le paragraphe

(b-1), on trouve 286,0 cb f⋅>σ b

Skσσ

=1 1

1 1515

k+=α

dd ′

=′δ

( )1

115α

σδασ b

S⋅′−⋅

=′ bdbM σµ 211 ⋅⋅′=

( )ddMMA

S ′−′−

=′σ

1 ;S

S

S

Ad

MAσσ

βσ′

⋅′+⋅⋅

=1

1

dh

A

y1 M

σb

σS

15

b b

a1

GFb

Fa

y1/3A’

d’F’a

A.N

aσ ’ S

1 5

b

1µ′ et 1β sont donnés en fonction de 1α

M : en [N.m] ; b et d et d’ : en [cm] ; A et A’ en [cm2] ; fc2 8, SSb σσσ et , ′ en

[MPa ]

2ème méthode :

286,0 cb f⋅=σb

Skσσ

=11

1 1515

k+=α dy ⋅= 11 α

( )1

115y

dy bS

σσ ⋅′−⋅

=′ Fb = byb σ⋅⋅

21

( )dd

ydFMA

S

b

′−⋅′

−⋅−

=′σ

31

; S

Sb AFA

σσ⋅′+

=

M : en [N.m] ; b et d et d’ : en [cm] ; A et A’ en [cm2] ; fc2 8, SSb σσσ et , ′ en

[MPa ]

Exercice d’applicationExercice d’applicationExercice d’applicationExercice d’application : : : :

Calculer le ferrail lage de la section rectangulaire suivante soumise à :MU = 490 KN.mMser = 350 KN.mAcier FeE400 ; fc28 = 25 MPa ; Fissurat ion préjudiciable

a- Etat limite ultime de résistance :

Vérification de l’ ∃ de A’ :

( )

( )

( ) ( )ddM

dM

Add

MA

N.mMMMmNdbM

f

Adb

M

SLS

u

S

uu

bLU

S

eSLS

Lb

U

′−⋅∆+

⋅⋅=

′−⋅′∆=′

=−=∆=×××=⋅⋅⋅=

==⇒=

∃′⇒=>=××

=⋅⋅

=

σβσσ

σµ

γσεε

µσ

µ

11

1

221

22

;

3051. 949 48654302,14392,0

MPa 3481000 1000

et 392,0394,054302,14

490000

Acier FeE400 1000⇒ 739,1=Lε ; ;668,0=Lα 733,0=Lβ ; 1,0=′

=′ddσ

1000 ( ) MPa 3481000976,2100015,3 ==′⇒>=′⋅−′−=′S

eSLLS

fγ

σεδεδε

6

3

A’1 = 0,18

cm23T12 → A’ = 3,39 cm2

(7T25 + 2T12) → A = 36,62

donc : Choix :

b- Etat limite de service :

La f issurat ion est préjudiciable ⇒ on doit vérif ier que :

286,0 cbb f⋅=≤ σσ et =≤ SS σσ min

η150 ;

32

ef

→→

=HA

RL6.11

η

MPa 156,0 28 =⋅= cb fσ ; ( ) MPa 240240 ; 67,266min1 ==Sσ

et on a comme données : b = 30 cm ; d = 54 cm ; d’ = 6 cm ; A’ = 3,39cm2 ; A = 36,62 cm2

et M = Ms er = 350 000 N.m

Vérification des contraintes :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

57,0100 614000 350

cm 100 61415153

cm 96,28

82,19975462,36639,33

3030

005,2062,3639,3301515

421

21

31

21

===

=−⋅⋅+′−⋅′⋅+⋅

=

=++−=

=×+×=⋅+′⋅′⋅=

=+=′+=

IMk

ydAdyAybI

EDDy

dAdAb

E

AAb

D

( )

( ) MPa 214 , minet R-L-U-El' à trouvéesarmatures dessection lamodifier de nécessaireest Il 6,0

MPa 240MPa 21415MPa 5,16

1

28b

1S1

==⇒=⋅>

<=−⋅⋅=>=⋅=

SSS

bc

b

fydKyk

σσσσσ

σσ

Calcul des armatures à l’E-U-L-R :

27,1415214

1 ===b

Skσσ

5125,015

15

11 k+

=α

cm 68,2711 =⋅= dy α ( )22,176

15

1

1 =⋅′−

=′ydy b

Sσ

σ Mpa

21 1022,62272

×=⋅⋅= bbybF σ N.m

( )2

2

1

cm 03,36214

22,17642,822,6227

cm 42,83

=×+=′⋅′+

=

=′−⋅′

−⋅−

=′

S

Sb

S

bser

AFA

dd

ydFMA

σσ

σ

Choix :

( )12T225T714T6

+→⇒′

AA

2

2

cm 62,36cm 42,9

=

=′

AA

Remarque :Si nous comparons les résultats ⇒ A est le même dans les deux

cas (E-L-U et E-L-S), mais A’ à l ’E-L-S est supérieur à A’ de l’E-L-U

⇒ C’est les armatures données par l ’E-L-S que nous garderons.

IIX.3. Section rectangulaire soumise à la flexionIIX.3. Section rectangulaire soumise à la flexionIIX.3. Section rectangulaire soumise à la flexionIIX.3. Section rectangulaire soumise à la flexioncomposéecomposéecomposéecomposée : : : :

a. Section rectangulaire partiellement compriméea. Section rectangulaire partiellement compriméea. Section rectangulaire partiellement compriméea. Section rectangulaire partiellement comprimée ::::

N et MGB sont l ’effort normal et le moment f léchissant appliqués au

centre de gravité du béton seul.

a-1/ Condition pour que la section soit partiellementcomprimée :

Une sect ion est part iel lement comprimée si :! Le point d’application d’un effort normal de traction N se trouve en

dehors des armatures.! Le point d’application d’un effort normal de compression se trouve

en dehors de la sect ion.! Si N est un effort de compression appliqué à l ’ intérieur de la section,

alors i l faut vérif ier :

dh

A

y1

MGB

σb

σS

15

b b

a1

G

A’

d’

A.N

aσ ’ S

1 5

b

GBNGB*

( )[ ] 215 VAABxIx

NM G

⋅′++′

≥

MG : moment de f lexion par rapport au centre de gravité de la sect ionhomogène.Ixx’ : moment d’inertie de la section homogène / à l ’axe xx’ passant parson Centre de gravité GB : Section du bétonV2 : distance du centre de gravité G à l’arrête inférieur (le f ibre la plustendue).

Si A et A’ ne sont pas connues, alors on peut ut i l iser la formulesimplif iée suivante :

6h

NM G ≥

a-2/ Détermination des contraintes :

∀ : Centre de pression

C : la distance du point ∀ à l ’arrête la plus comprimée.

• Si N est un effort de compression :

C > 0 → ∀ se trouve à l’ intérieur de la sect ion.

C < 0 → ∀ se trouve à l’extérieur de la section.

• Si N est un effort de tract ion : → ∀ > 0

y2 : la distance du point ∀ à l ’axe neutre.

• Si N est un effort de compression → y2 > 0

N•

C > 0

y2>

y1> y1

∀

•C > 0

y2>

∀

A.N

• ∀

y1>

y2<C >

N compress ion N compress ion N traction

A.

0

• Si N est un effort de tract ion → y2 < 0

y1 = y2 + C

Résumé pour le calcul de Résumé pour le calcul de Résumé pour le calcul de Résumé pour le calcul de σσσσbbbb, , , , σσσσ’’’’SSSS et et et et σσσσSSSS : : : :

p = - ( ) ( )cdb

Adcb

AC −⋅+′−′⋅− 90903 2

q = - ( ) ( )223 90902 cdb

Adcb

AC −⋅+′−′⋅−

y2 est racine de l ’équation : 0232 =+⋅+ qypy

hcyy <+=< 210

( ) ( )[ ]11

21 15

2ydAdyAybS −−′−⋅′+

⋅=

SNk

⋅=

100 (N négatif en cas de tract ion)

1ykb ⋅=σ ( )dykS ′−⋅⋅=′ 115σ

N : en [N] ; b, d, d’ et C : en [cm] ; A et A’ : en [cm2] ; SSb σσσ et ,

: en [Mpa]

Remarque :

Si A’ n’existe pas, on prendra A’=0 dans les formules

précédentes.

a.3. Détermination des armatures :

b, d, M, N, Sb σσ et sont connus et on cherche les valeurs de A et A’.

Les valeurs des armatures sont calculées en f lexion simple sous

l’effet d’un moment f ict if M1 par rapport aux armatures tendues [sous

les soll icitat ions de service] ⇒ A’1 et A1 (A’1 peut être nulle).

Et enf in on a :

• Si N est un effort de compression →

• Si N est un effort de tract ion →

A’ = A’1

A = A1 - S

Nσ⋅100

A’ = A’1

A = A1 + S

Nσ⋅100

Exercice d’applicationExercice d’applicationExercice d’applicationExercice d’application : : : :

Déterminer les armatures de la sectionrectangulaire ci-contre soumise à :

- à l ’état l imite ult ime de résistance : Mu = 161 Kn.m ; Nu = 210 KN(traction).

- à l ’état l imite ult ime de service : Mser = 115 Kn.m ; Nu = 150 KN(traction).

Acier Fe E400 ; fc28 = 25 Mpa ; f issuration préjudiciable .

a. Etat limite ultime de résistance :

point d’application de l’effort normal (Nu) (centre de pression) :

e0 = m 77,0210161 ==

NuMu ⇒ le centre de pression ∀ u se trouve à

l’extérieur de la section ⇒ S.P.C

Moment par rapport aux armatures tendues :

( )

mKNM

hdeNuhdNuMuM

. 6,110

0354,021016122

1

01

=⇒

−×−=

−−⋅=

−⋅−=

Vérification de l’existence de A’ :

( )

211

221

cm 42,654943,0348

600 110

943,0et MPa 34810001000

et '392,0107,054252,14

110600

=××

=⋅⋅

=

===⇒>

∃⇒=<=××

=××

=

dMA

f

Adb

M

S

S

eSLS

Lb

βσ

βγ

σεε

µσ

µ

et 21 cm 27,12

3481002100042,6

100=

×+=

⋅+=

S

NuAAσ

choix : 4T20 → A = 12,56 cm2

6

0

25

GB*d -

e0 A

A’

NuMu

*GB

•

e’0 A

A’

NserMser

GB

•

C>

Cu Cs

25

60

b. Eta t limite de service :

La f issurat ion est préjudiciable ⇒ on doit vérif ier :

286,0 cbb f⋅=≤ σσ et MPa 240150 ; 32min =

≤ ησ feS

Position du point d’application de l’effort normal Position du point d’application de l’effort normal Position du point d’application de l’effort normal Position du point d’application de l’effort normal NserNserNserNser : : : :

m 77,0150115

0 ⇒===′NserMsere le centre de pression ∀ ser se trouve à

l’extérieur de la section ⇒ S-P-C

cm 107307720 =+=+′= heC et puisque N est un effort de tract ion ⇒

C > 0 ; c’est à dire : C = +107 cm et on a :

N 000150cm 107 cm54; cm 25 ; cm 56,12 ; 0 2 ; N; C d bAA ======′donc :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) MPa 240MPa 25006,1754452,01515MPa 15MPa 7,706,17452,0

452,0321 3100

000 150100

; 321 3

06,175456,12152

06,1725152

cm 60cm 06,1710794,890cm 94,980098 577 26743 3

0 : de racineest ; 098 577 2

1075425

56,12901072902

36743

1075425

56,12901073903

S1S

b1

2

1

21

21

2232

2322

2323

2

=>=−⋅⋅=−⋅⋅==<=×=⋅=

=−×

−=⋅

=−=

⇒−××−×=−⋅⋅−⋅

=

=<=+−=+=<−=⇒=−⋅−

⇒=+⋅+−=

⇒−××−×−=−⋅−⋅−=

−=

⇒−××+×−=−⋅+⋅−=

σσσσ

ydkyk

SNkS

ydAybS

hCyyyyy

qypyyq

cdb

ACq

p

cdb

ACp

b

⇒ I l faut recalculer les armatures à l ’état l imite de service avec

MPa 240=Sσ

Moment par rapport aux armatures tendues :

( ) KN.m 793,054,01501152

=−×−=

−⋅−= hdNserMserM A

( )73,31 ; 893,0

00452,05425240000 79

11221 ==⇒=××

=⋅⋅

= kdb

M

S

A βσ

µ

22

2

1

1b1

cm 56,12cm 08,13240100

000 15083,6100

cm 83,6540,893240

000 79

0MPa 6,773,31

240

>=×

+=⋅

+=

=××

=⋅⋅

=

=′⇒<===⇒

Sf

S

Af

Sb

NserAA

dMA

Ak

σ

βσ

σσσ

Choix : (3T20 + 2T16) → A = 13,44 cm2

b. Section rectangulaire entièrement compriméeb. Section rectangulaire entièrement compriméeb. Section rectangulaire entièrement compriméeb. Section rectangulaire entièrement comprimée : : : :

Une sect ion rectangulaire soumise à la f lexion composée sera

entièrement comprimée, si l ’effort normal est un effort de compression,

le centre de pression ∀ se trouve à l ’ intérieur de la section, avec :

( )[ ] 22115 VAABxIx

NM

e GG ⋅′+′+

′≤=

Avec : MG : le moment f léchissant par rapport au centre de gravité

de la sect ion homogène.

Ixx’ : le moment d’inert ie / à l ’axe xx’ passant par le centre

de gravité de la sect ion homogène.

B : La sect ion du centre de gravité G à l ’arête la moins

comprimée.

Si les armatures A’1 et A’2 ne sont pas connus, on peut ut i l iser la

formule approchée suivante :Gh

NM GB <

MGB : le moment f léchissant / au c-d-z de la section du béton seul.

b.1. Détermination des contraintes :

Pour la détermination des contraintes , on ut i l ise les formules

suivantes :

dh

A2

V1

σ1

σ2

b

b

a1

G

A’

d’ aσ1

S

1 5

b

NG*x x’V2

MG

σ2S

1 5

( )210 15 AAhbB ′+′⋅+⋅= ( )dAdAhbB

V ⋅′+′⋅′⋅+⋅= 21

2

01 15

21

12 VhV −= ( ) ( ) ( )[ ]212

211

32

31 15

3VdAdVAVVbxIx −⋅′+′−⋅′⋅++⋅=′

00 100 B

N⋅

=σxIx

Mk G

′=

101 Vkb ⋅+= σσ 20

2 Vkb ⋅−= σσ

( )[ ] ( )[ ]102

101 15 15 VdkdVk SS −⋅−⋅=′−⋅+⋅= σσσσ

N : en [N] ; MG : en [N.m] ; b, h , d et d’ : en [cm] ; A’1 et A’2 :

en [cm2] ; 22b

1b0 et , , Sσσσσ : en [MPa]

b.2. Détermination des armatures :

Généralement, le calcul est fait par tâtonnement. On se f ixera les

sections des armatures et on déterminera les contraintes à l’aide des

formules précédentes en (b-1). Suivant les résultats obtenus, les

armatures seront modif iés jusqu’à ce qu’on aura : bcb f σσ =⋅≤ 281 6,0

Si les armatures sont symétriques (A’1 = A’2) ⇒ On les détermine

à partir de :

xIxhMB

NG

b

′⋅⋅

+⋅=

2100 0

σ

b.3. Exemple d’application n°1 :

Déterminer les armatures de la section rectangulaire suivante

soumise aux efforts rapportés au centre de gravité du béton seul.

- à l ’état ult ime de résistance :

Mu = 77 KN.m

N’u = 2548 KN (effort de compression)

- à l ’état l imite de service :Mser = 55 KN.mN’ser = 1820 K.N

25

60

Les armatures sont en acier FeE400, la f issuration est préjudiciable

et pour le béton ; fc28 = 25 Mpa.

a. Etat limite de résistance :

Position du point d’application de l’effort normal :

⇒==== cm 3m 03,0254877

0 NuMue l ’ef fort normal de compression est appliqué

entre les armatures.

(0,337 181,0 Ch ⋅−⋅ ) hbb ⋅⋅⋅σ

⇒ ( )KN.m 52,688

06,03,02548772

1

1

1

=−×+=

⋅′−+=

MM

dhNuMuM δ

* ( ) 327,N.m 168 32781,0337,0 1 ==⋅⋅⋅−⋅ hbCh bσ

* ( ) : donc ; KN.m 52,53411 =−−′ McduN

( ) ( ) McduNchhbb !81,0337,0 111 ⇒−−⋅′<⋅−⋅⋅⋅⋅σ

a.2. Est ce que

( ) ( ) hbchMcduN b ⋅⋅⋅−⋅≥−−⋅′ σ111 5,0

* ( ) KN.m 511,2 N.m 200 5115,0 1 ==⋅⋅⋅−⋅ hbch bσ

( ) ( )5,0 111 ⇒⋅⋅⋅−⋅≥−−′ AhbchMcduN bσ

( )( ) 2

12

11 ;

5,0 Acd

hbhdMA =′−⋅

⋅⋅⋅−−=′

σσ

MPa 348

1000FAcier ; 21000

2

4002

==′

⇒=′⋅→′

S

e

eS

fE

γσ

εσ

GB*

A’1

A’2

?

( ) 11 MCduN −−′≤

KN.m 168

CS ..

A’2 > 0 :

d ;

2 >′

uN ′

⋅ ε

NuM

* GBe0

A’1

A’2

Nu

E

?

: onc

0

12100

100A

hbb ′−′⋅

⋅⋅⋅−σσ

1000739,1 ⇒′⋅<= SL ε

( )( )

2221

3

2

21

cm 39,1cm 62,10cm 01,12348100

60252,14102548

cm 62,10654348

60252,143054520 688

=−=−×

⋅⋅⋅⋅=′

=−×

×××−−=′

NA

A

Choix :

b/ Etat limite de service :

Position du point d’application de l’effort normal(centre de pression)

⇒====′ cm 3m 03,01820

550 Nser

Msere l ’ef fort normal de compression se

trouve à l’ intérieur de la sect ion.

Remarque :

⇒==<==′ cm 10660

60h

NM

NserMsere GB

La section est entièrement comprimée et i l nous faut vérif ier que

bcb f σσ =⋅≤ 281 6,0

Bien que la f issuration est préjudiciable, la condition relative à la

f issurat ion, MPa 240150 ; 32min =

≤ ησ feS , n’est pas nécessaire car toute

la sect ion est comprimée et i l n’y a pas d’armatures tendues.

N 000 820 155560259610 ; cm 39,3 2

12

2

==′====′=′

er cm ; Nsd cm ; d cm ; cm ; h ; b cm, AA

( ) ( )

( ) ( )

cm 6,31 cm 4,28

5439,3696,1025,1715

1152

1

cm 25,715 196,1039,315602515

121

21

2

01

2210

=−==⇒

×+×⋅=

⋅′+′⋅′⋅+⋅=

=+×+×=′+′⋅+⋅=

VhVV

dAdAhbB

V

AAhbB

A’1 → 3T20 +1T14 ⇒ A’1 =

10,96 cm2

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) KN.m 88,25284,030,01820552

cm 654,4 5694,285439,364,2896,10156,314,28325

153

1

42233

122

113

23

1

=⇒−⋅−=⇒

−⋅−=

=′⇒−⋅+−⋅++⋅=′

⇒−⋅′+′−⋅′++=′

GGG MMVhNserMserM

xIxxIx

VdAdVAVVbxIx

Vérification exacte : (S-E-C ?)

100

4,1

0 ⋅=

=

′=

NseNserM

xIxNserMe

G

GG

σ

= 9,111σ b

l imite ul

ExeExemExeExem

Calc

soumise a

section de

- à l ’état

Mu =

- à l ’état

Mser

Nser

Les arm

Très pré

V 1 = 28,4 cm

V 2 = 31,6 cm

**G

G

G** GMser

Nser

≤?

( )[ ]

( )[ ]045,0

654,4 569880 25 ; MPa 61,10

25,1715100000 820 1

C-E-Scm 5,1015

cm 2

15

0

22

222

=⇒=′

==⋅

=

⇒=⋅′+′⋅+

′<

⋅′+′⋅+

kxIx

MkBr

VAABxIxVAAB

G

⇒=< MPa 15MPa bσ les armatures déterminées pour l ’état

t ime de résistance sont suff isants.

mple d’application n°02ple d’application n°02mple d’application n°02ple d’application n°02 : : : :

uler les armatures de la sect ion rectangulaire suivante

ux efforts suivantes rapportés au centre de gravité de la

béton seul.

ult ime de résistance :

200 KN.m N’u = 4000 K.N (effort de compression)

l imite de service :

= 143 KN.m

= 2860 K.N (effort de compression)

atures sont en acier FeE400 ; Fissuration

judiciable et pour le béton ; on a fc28 = 25 Mpa.

40

70

a. Etat limite ultime de résistance :

Position du point d’application de l’effort normal N’u :

⇒==′

= cm 5m 05,00 uNMue l ’ef fort normal de compression est appliqué entre

les armatures (à l ’ intérieur de la section).

(0,337 181,0 Ch ⋅−⋅ ) ( ) 11 MCduNhbb −−′⋅⋅⋅σ ; cm 7=′dδ

⇒ ( )KN.m 1320

07,035,040002002

1

1

11

=−×+=

−′+=

MM

ehuNMuM

( ) KN.m 4992,712N.m 499,2 71281,0337,0 1 ==⋅⋅⋅−⋅ hbCh bσ

( ) : aon donc ; KN.m 92011 =−−′ McduN

( ) ( ) CESMcdNuch ..!81,0337,0 111 ⇒−−⋅<⋅−⋅

a.2. Est-ce que A’2 > 0 :

( ) McduN −−⋅′ 1

* ( ) =⋅⋅⋅−⋅5,0 1 hbch bσ

( ) 11 −−′ McduN

(×

⋅′+

=Ψ8571,0

1003571,0 duN

908,0=Ψ

+=′⋅ Sε 437,321000 1

MPa 3481 ==′S

Sfe

γσ

GB*Nu

M

* GB

A’1

A’2

e0

A’1

A’2

Nu

?

( )ch ⋅−⋅≥ σ11 5,0

=1 N.m 280 113 1

( )5,0 1 ⋅−⋅≥ ch bσ

)=

−

××−− 0100

1

211

hc

hbMc

bσ

−×−

hc 11019,8 1

≤?

hbb ⋅⋅

⇒ KN.m 113,28

02 =′⇒⋅⋅ Ahb

( )( ) ⇒

−

×××⋅−−⋅+

7078571,0

70402,14100132000010076340000003571, 2

⇒>=Ψ Lε1000798,2

0 ; cm 2,11100

1002

2

11 =′=

′⋅⋅⋅⋅Ψ⋅−′

=′ AhbuN

AS

b

σσ

Choix :

b.b.b.b. EtaEtaEtaEta

c 5

cm 06,12

0

21

==′

=′

NserMsere

A

1

1

01

0

=⇒

=

⋅=

V

BV

bB

(132063

31

=

=′

=′

G MserM

xIx

VbxIx

1000 ⋅′

=

=′

=

≤′

=

BserN

serNMe

serNMe

GG

GG

σ

= M 21,121σ b

6T16 → A’1 = 12,06 cm2

3T12 A’2 = 3,39 cm2 (montage)

t limite de servict limite de servict limite de servict limite de servic

E-Scm 7,116

m

40393 ; 22

⇒=<

==′h

; b cm, A

( )

(

cm 8,33

152

704015

12

21

2

21

−=

⋅′+′⋅′⋅+⋅

×=′+′⋅+

VhV

AdAhb

AAh

) ( )[

2

cm ,751

15

1

4

211

32

=⇒

−⋅′−

+′−⋅′++

GMVhserN

dVAV

M 43,975,3031100

000 8602303

3 1 cm 8,32860

10868

exaion (vérificat

0

20

=⋅

=

<=

⋅′

VBxIx

⇒=< MPa 15Pa bσ Leco

33,8

36.2

35

35

?

eeee : : : : ( )MPa 156,0 28

1 =⋅=≤ cbb fσσ

C-

770 =′= cm ; d cm ; cm ; h

( )

) ( ) ( )

cm 2,36

6339,3706,121527040

75,30311

cm 75,30319,306,12152

2

=

×+××+×=

=+×+

d

( ) ]

( ) KN.m 68,108338,035,02860143

212

=⇒−⋅−

⇒−⋅′

GM

VdA

cte)

**G

G

G** GMser

Nser

A’

A’2

40

?

0823,01320651,7

108680 ; Pa

C-E-Scm 03,122,3675,1

7,651 20

=⇒=′

=

⇒=×

kxIx

Mk G

s armatures déterminées à l ’E-L-U-Rnviennent.

c/ Section rectangulaire entièrement tendue :

Soit la sect ion rectangulaire ci-dessous soumise aux efforts Mser

et Nser (f ig-a) et (f ig-b) représente le diagramme des contraintes.

a. conditions pour que la section soit entièrement tendue :

Une sect ion rectangulaire soumise à la f lexion composée sera

entièrement tendue, si l ’effort normal est un effort de traction appliqué

entre les armatures :

b. Détermination des contraintes :

( )( )

( ) 2

2S

1

1

100 ;

100 AddeddN

AddeN aa

S ′−⋅−′−⋅

=⋅′−⋅

⋅= σσ

N : en [N] ; d, d’ : en [cm] ; A1 et A2 : en [cm2] ; 1Sσ et 2

Sσ : en [cm2]

Traction simple :Soit A, la sect ion totale des armatures et Nser, l ’effort normal de

service appliqué.

a/ Détermination des contraintes :

AuNser

S ⋅=

100σ N : en [N] ; A : en [cm2] ; Sσ : en [MPa]

b. Détermination des armatures :

S

NserAσ⋅

=100

N : en [N] ; A : en [cm2] ; Sσ : en [MPa]

Compression simple :

a. Détermination des contraintes :Soit : B : l ’a ire de la section du béton seul.

dh

A2

σ2S

b

a

C

A’

d’a1

σ1S

b

NC*

bea

(d-d’)

(a

)

(b

)

A’ : la sect ion totale des armatures (adoptée à l’E-L-U)

N’ser : l ’effort normal de compression (de service)

( )ABserN

b ′⋅+⋅′

=15100

σ ; bS σσ ⋅=15

N’ : en [N] ; A’ et B : en [cm2] ; Sσ et bσ : en [MPa]

b. Détermination des armatures :

S’i l n’y a pas de risque de f lambement, la sect ion des armatures

peut être donnée par :

−

⋅′

⋅=′ BserNAbσ10015

1 bS σσ ⋅=′ 15

N’ : en [N] ; A’ et B : en [cm2] ; Sσ et Sσ ′ : en [MPa]

* Exemple d’application :

Calculer le ferrail lage d’un poteau de sect ion carré, de

dimensions (30×30) cm2 supportant un effort normal centré de :

- à l ’état l imite ult ime : N’u = 980 KN

- à l’état l imite de service : N’ser = 700 KN

L f = 2,8 m, Acier FeE400 ; Fissurat ion peu nuisible et

fc 2 8 = 20 Mpa

a.1. Etat limite ultime de résistance :

2100100

σσβ

′⋅××−′

=′ bUR

uNA ; 739,1100021000 =>=′ LS εε

⇒===′⇒ MPa 33,11 ; MPa 348 b2 σγ

σS

fe

00cm 56,8 2 =′⇒<−=′ URAuA

30

30

a.2. Etat limite ultime de stabilité de forme :

( )( ) 2

22828

22

mm 32,5411004005,19,0

15,1230230400726,0

15,1980000

][mm 1009,09,0

726,0

3529,322,01

85,0

352,01

85,0

5029,323028046,346,3

=×××

××−−−××≥′

⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅′

≥′⇒

⋅′+⋅

⋅≤′

=

⋅+

=

⋅+

=

⇒<=×=⋅=

A

fefBr

feNAfeAfBrN

bLf

b

ScSU

Sb

cU γ

γα

γγγ

α

λα

λ

2cm 41,5=′USFA

Armature minimale :

( ) [ ][ ] 2

min

222min

cm415max

cm 8,4cm 4,8 ; cm 8,1max100

hb8 ; 100

2,0max

,A, A , AA

hbA

USF UR =′′′=′

==

+××=′

Choix : 4T14 A’= 6,16 cm2

Armatures transversales :

( ) cm 20cm 21cm 40 ; cm 10; 15min

mm 6mm 67,43

143

max

t

max

=⇒=+⋅≤

=⇒==≥

t bt L

Lt

φ

φφφ

b. Etat limite de service :

Vérification des contraintes :

( ) ( )( ) MPa 05,716,61530100

70000015100

MPa 126,0

2b

28

=×+⋅

=⋅+⋅

′=

=⋅=≤

NBserN

fcbb

σ

σσ

⇒=<⇒ MPa 12bb σσ les armatures déterminées à l ’E-L-U

conviennent.

••

• •

2T14

2T14

30

30