Chapitre 4 Introduction au filtrage

Chapitre 4

Introduction au filtrage

Justine Philippe

2JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 4

Sommaire

• Introduction

• Types de filtre

• Caractérisation d’un filtre

• Montages fondamentaux

• Analyse spectrale d’une grandeur périodique


Sommaire

• Introduction

• Types de filtre




JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 4

Que fait un filtre ?

4

Introduction

Le signal de sortie est égal au signal d’entrée à certaines fréquences nul à d’autres fréquences

Filtre

« passe

bas »


A quoi sert un filtre ?

5

Introduction

Exemple : filtre ADSL

TELEPHONE

(0 – 5 kHz)

INTERNET

(25 kHz – 2,5 MHz)


Pourquoi l’étudie-t-on maintenant ?

6

Introduction

On peut faire des filtres avec de simples circuits RLC

Exemple : Filtre passe-bas RC

A fréquence (ou pulsation) nulle, condensateur = circuit ouvert ; uS = uE

A fréquence (ou pulsation) infinie, condensateur = court-circuit ; uS = 0


Pourquoi l’étudie-t-on maintenant ?

7

Introduction

On peut faire des filtres avec de simples circuits RLC

Exemple : Filtre passe-bas RC

Le signal de sortie est le même que le signal d’entrée, (déphasé et) nettoyé des « petites oscillations » / oscillations à hautes fréquences

Signal d’entrée

Signal de sortie


Vue globale du cours d’Electronique

8

Introduction

Chapitre 1 et 2

Régime permanent et transitoire des circuits RLC en courant continu

Chapitre 3

Circuits RLC avec une tension d’entrée sinusoïdale

(on n’a traité que le régime permanent)

Chapitre 4. Filtrage

Circuits RLC avec une tension d’entrée multifréquences (= multi sinusoïdale)

Chapitre 5. Amplificateur opérationnel

Chapitre 6. Les diodes


Objectifs du chapitre

9

Introduction

• Connaître le vocabulaire associé au filtrage

• Savoir faire une analyse spectrale simple : comportement d’un filtre RLC

lorsque ω 0 et ω ∞

• Calculer la fonction de transfert d’un filtre passif

• Tracer les diagrammes de Bode associés [donc savoir utiliser des graphes

semilog et des dB]


Sommaire

• Introduction

• Types de filtre





Classification des filtres

11

Types de filtre

Filtre qui laisse passer les basses fréquences et coupe les hautes fréquences

G

ω



12

Types de filtre

Filtre qui laisse passer les hautes fréquences et coupe les basses fréquences

G

ω



13

Types de filtre

Filtre qui coupe les basses et hautes fréquences et laisse passer le signal sur une bande de fréquence dite bande passante

G

ω



14

Types de filtre

Filtre qui coupe le signal sur une plage de fréquence

G

ω


Sommaire

• Introduction

• Types de filtre





Quelques définitions

16

Caractérisation d’un filtre

Fonction de transfert H : 𝐻 =𝑢𝑆

𝑢𝐸

Gain G : 𝐺 = 𝐻

Déphasage ΦH : Φ𝐻 = 𝐴𝑟𝑔 𝐻


Diagramme de Bode

17


Une représentation particulière du gain et du déphasage en fonction de la

pulsation/fréquence

ω (ou f) sur

une échelle log

Phase en

Degré (ou rad)

Gain en dB


Décibels

18


𝐺𝑑𝐵 = 20 log 𝐺

Exemples :G 0,01 0,1 0,5 1 10 0

GdB -40 -20 -6,02 0 +20 -ꝏ

log 10𝑃 = 𝑃 𝑙𝑜𝑔 10 = 𝑃Propriété de la fonction log à savoir par cœur :


Echelle/papier semi log x

19


On utilise ce type d’échelle dans les diagrammes de Bode pour pouvoir

comparer la réponse à basse et haute fréquence, sur plusieurs décades

Fonction y = x


Définitions

20


Une décade correspond à l’intervalle de pulsation pour passer de la pulsation

ω à la pulsation 10 ω.

Une octave correspond à l’intervalle de pulsation pour passer de la pulsation

ω à la pulsation 2 ω.

La pente d’une droite dans la représentation du gain en tension G en fonction

de log(ω) est exprimée en décibel /décade (dB/dec).

L’ordre d’un filtre est le degré du polynôme en x situé au dénominateur de la

fonction de transfert complexe H


Définitions

21


Une pulsation de coupure à -3dB, notée ωC d’un filtre est une pulsation pour

laquelle

𝐺 𝜔 =𝐺𝑚𝑎𝑥

2

𝐺𝑑𝐵 𝜔𝐶 = 20 log𝐺𝑚𝑎𝑥 − 20 log 2 = 20 log 𝐺𝑚𝑎𝑥 − 10 log 2

𝐺𝑑𝐵 𝜔𝐶 = 𝐺𝑑𝐵𝑚𝑎𝑥 − 3

En effet cela correspond à une diminution du gain de 3 dB :


Définitions

22


La bande passante d’un filtre est l’intervalle (ou les intervalles) de pulsations

pour lequel le gain G a une valeur supérieure au gain max -3 dB .

Une bande passante est donc comprise entre deux pulsations de coupures

Cela correspond à une transmission en tension de 1/√2 et donc une

transmission en puissance d’entrée de 1/2.

lorsqu’on a « perdu » la moitié de la puissance au travers du filtre, alors le

signal est considéré comme perdu (il n’a pas transité vers la sortie)


Sommaire

• Introduction

• Types de filtre





Filtre RC passe-bas

24

Montages fondamentaux

a) Fonction de transfert : 𝐻 =𝑢𝑆

𝑢𝐸=

1

1+𝑗𝑅𝐶𝜔

(On a utilisé le diviseur de tension 𝑢𝑆 =𝑍𝐶

𝑍𝑅+𝑍𝐶𝑢𝐸 puis simplifié en multipliant

par jCω au numérateur et au dénominateur)


Filtre RC passe-bas

25


b) Expression avec les variables usuelles ω0 et x :

𝐻 =1

1 + 𝑗𝑅𝐶𝜔=

1

1 + 𝑗𝜔𝜔0

=1

1 + 𝑗𝑥

Avec ൞𝜔0 =

1

𝑅𝐶

𝑥 =𝜔

𝜔0


Filtre RC passe-bas

26


c) Etude du gain G = |H|

𝐺 = 𝐻 =1

1 + 𝑗𝑥=

1

1 + 𝑥²

A quoi ressemble G en fonction de x ?

Limite en x = 0 ? En x = +ω ? La fonction √ est croissante, donc ?

On obtient :

Notons que

À x=0 : G=1

À x=1 : G=1/√2

À x∞ : G=0


Filtre RC passe-bas

27


e) Diagrammes de Bode :

GdB et ΦH sur un graphe semi logarithmique

𝐺𝑑𝐵 = 20 log(𝐺) = 20 log1

1 + 𝑥²

𝐺𝑑𝐵 = −20 log 1 + 𝑥2 = −10 log(1 + 𝑥2)

Et on a déjà calculé le déphasage :

Φ𝐻 = 𝐴𝑟𝑔 𝐻 = 𝐴𝑟𝑔1

1 + 𝑗𝑥= −arctan 𝑥

log 𝐴𝐵 = 𝐵 𝑙𝑜𝑔 𝐴Propriété de la fonction log à savoir par cœur :


Filtre RC passe-bas

28


Pour tracer la courbe du gain et la courbe de phase, on fait varier f

𝐺𝑑𝐵 = −10 log(1 + 𝑥2)

Φ𝐻 = −arctan 𝑥

X=f/f0 f0/10 f0/2 f0 2f0 10f0 100f0

G (dB) -0,04 -0,97 -3 -7 -20 -40

f f0/10 f0/2 f0 2f0 10f0 100f0

Φ (°)

Φ (rad)

-5,7

-0,099

-26,6

-0,463

-45

-0,78

-63,4

-1,10

-84,3

-1,47

-89,4

-1,57


Filtre RC passe-bas

29


Papier semi-log : 3 décades


Filtre RC passe-bas

30


Tracé du diagramme de Bode : le gain


Filtre RC passe-bas

31


Tracé du diagramme de Bode : la phase


Filtre RC passe-bas

32


f) Diagrammes de Bode asymptotiques

Pour déterminer les équations des demi-droites du diag.

Asymptotique, le plus simple est de revenir à la fonction de

transfert complexe

𝐻 =1

1 + 𝑗𝑥𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑥 =

𝜔

𝜔0

Lorsque ω → 0, H ~ 1 => G = |H| ~ 1Donc la première asymptote est : 𝐺𝑑𝐵 = 20 log 𝐺 ~ 0


Filtre RC passe-bas

33


𝐻 =1


𝜔

𝜔0

Lorsque ω → 0, H ~ 1 => G = |H| ~ 1Donc la première asymptote est : 𝐺𝑑𝐵 = 20 log 𝐺 ~ 0

Lorsque ω → ꝏ, H ~ 1/jx => G = |H| ~ 1/xDonc la première asymptote est : 𝐺𝑑𝐵 = 20 log 𝐺 = −20 log 𝑥

=> La pente est de -20 dB par décade


Filtre RC passe-haut

34



𝑢𝐸=

𝑗𝑅𝐶𝜔

1+𝑗𝑅𝐶𝜔

(On a utilisé le diviseur de tension 𝑢𝑆 =𝑍𝑅

𝑍𝑅+𝑍𝐶𝑢𝐸 puis simplifié en multipliant

par jCω au numérateur et au dénominateur)



35


b) Expression avec les variables usuelles ω0 et x :

𝐻 =𝑗𝑅𝐶𝜔

1 + 𝑗𝑅𝐶𝜔=

𝑗𝜔𝜔0

1 + 𝑗𝜔𝜔0

=𝑗𝑥

1 + 𝑗𝑥

Avec ൞𝜔0 =

1

𝑅𝐶

𝑥 =𝜔

𝜔0



36



𝐺 = 𝐻 =𝑗𝑥

1 + 𝑗𝑥=

𝑥

1 + 𝑥²

A quoi ressemble G en fonction de x ?

Limite en x = 0 ? En x = +ω ? La fonction √ est croissante, donc ?

On obtient :

Notons que

À x=0 : G=0

À x=1 : G=1/√2

À x∞ : G=1


Filtre RC passe-bas

37


e) Diagrammes de Bode :

GdB et ΦH sur un graphe semi logarithmique

𝐺𝑑𝐵 = 20 log(𝐺) = 20 log𝑥

1 + 𝑥²

𝐺𝑑𝐵 = 20 log 𝑥 − 20 log 1 + 𝑥2 = 20 log 𝑥 − 10 log(1 + 𝑥2)

Et on a déjà calculé le déphasage :

Φ𝐻 = 𝐴𝑟𝑔 𝐻 = 𝐴𝑟𝑔𝑗𝑥

1 + 𝑗𝑥=𝜋

2− arctan 𝑥

log 𝐴𝐵 = 𝐵 𝑙𝑜𝑔 𝐴Propriété de la fonction log à savoir par cœur :



38


Tracé du diagramme de Bode : le gain



39


Tracé du diagramme de Bode : la phase



40


f) Diagrammes de Bode asymptotiques

Pour déterminer les équations des demi-droites du diag.

Asymptotique, le plus simple est de revenir à la fonction de

transfert complexe

𝐻 =𝑗𝑥


𝜔

𝜔0

Lorsque ω → 0, H ~ jx => G = |H| ~ xDonc la première asymptote est : 𝐺𝑑𝐵 = 20 log 𝑥



41


𝐻 =𝑗𝑥


𝜔

𝜔0

Lorsque ω → 0, H ~ jx => G = |H| ~ xDonc la première asymptote est : 𝐺𝑑𝐵 = 20 log 𝑥

Lorsque ω → ꝏ, H ~ 1 => G = |H| ~ 1

Donc la première asymptote est : 𝐺𝑑𝐵 = 0

=> La pente est de +20 dB par décade


Filtre RLC passe-bande

42


Quel type de filtre est-ce ?

Quand ω0, condensateur = circuit ouvert

Quand ω+∞, bobine = circuit ouvert

Donc c’est un filtre qui coupe les basses et hautes fréquences ; c’est un filtre

passe bande



43



𝑢𝐸=

𝑅

𝑅+𝑗 𝐿𝜔−1

𝐶𝜔

b) Expression avec les variables usuelles ω0, x et Q

𝐻 =1

1 + 𝑗𝑄 𝑥 −1𝑥

𝑎𝑣𝑒𝑐

𝜔0 =1

𝐿𝐶

𝑥 =𝜔

𝜔0

𝑄 =𝐿𝜔0

𝑅



44


𝑯 =𝟏

𝟏 + 𝒋𝑸 𝒙 −𝟏𝒙

G

x= ω / ω0

Rmq. Quand Q augmente, le pic devient plus étroit

1

Gmax

Gmax/√2

Il y a donc 2

fréquences

de coupures


𝐺 = 𝐻 =1

1 + 𝑗𝑄 𝑥 −1𝑥

=1

1 + 𝑄2 𝑥 −1𝑥

2



45


d) Pulsations de coupure à -3 dB, bande passante

• Gain maximum Gmax = 1 pour x = 1

• Pulsations réduites de coupures xc1 et xc2 pour 𝐺 =𝐺𝑚𝑎𝑥

2

On trouve (preuve page suivante) :

𝑥𝑐1 = −1

2𝑄+ 1 +

1

4𝑄²

𝑥𝑐2 = +1

2𝑄+ 1 +

1

4𝑄²

• La bande passante est donc : ∆𝑥𝑐 =1

𝑄

Quand Q est

élevé, Δx petit et

filtre plus sélectif



46


- Pulsations réduites de coupure xc1 et xc2

pour G=Gmax/√2

Donc pour :

𝑄2 𝑥 −1

𝑥

2

= 1

1

1 + 𝑄2 𝑥 −1𝑥

2

=1

2

Équivalent à

Soit 𝑥 −1

𝑥=1

𝑄

𝑥2 − 1 =𝑥

𝑄

En multipliant par x

On a donc deux équations du second degré à

résoudre : 𝑥2 ±𝑥

𝑄− 1 =0

Le discriminant commun à ces deux équations est :

Δ =1

𝑄2+ 4

Discriminant positif, donc 2 solutions par équation.

Sachant que x est une grandeur physique

positive, on ne retient que les solutions positives,

il y en a bien deux :

𝑥𝑐1 =1

2−1

𝑄+

1

𝑄2+ 4

𝑥𝑐2 =1

2+1

𝑄+

1

𝑄2+ 4



47


e) Etude du déphasage Φ𝐻 = 𝐴𝑟𝑔 𝐻

Φ𝐻 = 𝐴𝑟𝑔 𝐻 = 𝐴𝑟𝑔1

1 + 𝑗𝑄 𝑥 −1𝑥

= −arctan 𝑄 𝑥 −1

𝑥



48


Lorsque x → 0, 𝐻 ~1

−𝑗𝑄

𝑥

=𝑗𝑥

𝑄

Donc le gain est : 𝐺 = 𝐻 ~𝑥

𝑄

La 1ère asymptote du diagramme de Bode en gain est ainsi :

𝐺𝑑𝐵 = 20 log𝐺 ~ 20 log 𝑥 − 20 log𝑄

Elle a une pente de +20 dB par décade

Pour le déphasage, on peut ainsi montrer qu’on a l’asymptote horizontale

Φ𝐻 = +𝜋

2

𝐻 =1

1 + 𝑗𝑄 𝑥 −1𝑥



49


Lorsque x → ꝏ, 𝐻 ~1

𝑗𝑄𝑥= −

𝑗

𝑄𝑥

Donc le gain est : 𝐺 = 𝐻 ~1

𝑄𝑥


𝐺𝑑𝐵 ~ − 20 log 𝑥 − 20 log𝑄

Elle a une pente de -20 dB par décade

Pour le déphasage, on peut ainsi montrer qu’on a l’asymptote horizontale

Φ𝐻 = −𝜋

2

𝐻 =1

1 + 𝑗𝑄 𝑥 −1𝑥



50


Diagramme de Bode asymptotique du gain



51


Diagramme de Bode asymptotique de la phase


Filtre RLC coupe-bande

52


Quel type de filtre est-ce ?

Quand ω0, condensateur = circuit ouvert

Quand ω+∞, bobine = circuit ouvert

Donc c’est un filtre qui laisse passer les basses et hautes fréquences ; c’est un

filtre coupe bande



53



𝑢𝐸=

1−𝐿𝐶𝜔2

1+𝑗𝐿

𝑅𝜔−𝐿𝐶𝜔2

b) Expression avec les variables usuelles ω0, x et Q

𝐻 =1 − 𝑥2

1 + 𝑗1𝑄𝑥 − 𝑥2𝑎𝑣𝑒𝑐

𝜔0 =1

𝐿𝐶

𝑥 =𝜔

𝜔0

𝑄 =𝑅

𝐿𝜔0



54


𝑯 =𝟏 − 𝒙𝟐

𝟏 + 𝒋𝟏𝑸𝒙 − 𝒙𝟐c) Etude du gain G = |H|

𝐺 = 𝐻 =1 − 𝑥2

1 + 𝑗1𝑄𝑥−𝑥2=

1 − 𝑥2

1 − 𝑥2 2 + 𝑥𝑄

2

d) Etude du déphasage Φ𝐻 = 𝐴𝑟𝑔 𝐻

Φ𝐻 = 𝐴𝑟𝑔 𝐻 = 𝐴𝑟𝑔1 − 𝑥2

1 + 𝑗1𝑄𝑥 − 𝑥2

= −arctan

𝑥𝑄

1 − 𝑥2



55


Lorsque x → 0, 𝐻 ~ 1

Donc le gain est : 𝐺 = 𝐻 ~ 0


𝐺𝑑𝐵 = 0

Pour le déphasage, on peut ainsi montrer qu’on a Φ𝐻 = 0

𝑯 =𝟏 − 𝒙𝟐

𝟏 + 𝒋𝟏𝑸𝒙 − 𝒙𝟐



56


Lorsque x → ∞, 𝐻 ~ 1

Donc le gain est : 𝐺 = 𝐻 ~ 0

La 2ème asymptote du diagramme de Bode en gain est ainsi :

𝐺𝑑𝐵 = 0

Pour le déphasage, on peut ainsi montrer qu’on a Φ𝐻 = 0

𝑯 =𝟏 − 𝒙𝟐

𝟏 + 𝒋𝟏𝑸𝒙 − 𝒙𝟐



57


Diagramme de Bode


Sommaire

• Introduction

• Types de filtre





Analyse spectrale d’une grandeur périodique

59


On ne traite que le cas de signaux sinusoïdaux,

Pourquoi ?

Tout signal peut être décrit comme une somme de sinusoïdes



60


Un théorème très utilisé : le théorème de Fourier

Tous les signaux périodiques sont des sommes de sinusoïdes

Sinusoïde de pulsation ω : « le fondamental »

Les multiples : « les harmoniques »


Un signal triangulaire décomposé en sinusoïdes

61




62




63



Un signal rectangulaire décomposé en sinusoïdes

64




65




66



Récapitulatif (à savoir)

• Notion de filtrage

• Fonction de transfert

• Diagramme de Bode

• Filtres de premier et second ordre

• Analyse spectrale

67

Fin du Chapitre 4

Documents

Chapitre 4 Introduction au filtrage