Chapitre 10 Filtrage lin eaire d’un signal p eriodique ...benjamin.mollier.free.fr/Documents/upload/Chapitre-10-Filtrage.pdf · D e nition : On appelle fonction de transfert ou

Chapitre 10

Filtrage lineaire d’un signal periodique

Table des matieres

1 Principe du filtrage : modifier l’amplitude des harmoniques 31.1 Tout signal peut se decomposer en une somme discrete ou continue de sinusoıdes . . . . . 31.2 Le filtrage : modifier un signal en modifiant son spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Les principaux filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Definition d’un quadripole, d’une fonction de transfert, du diagramme de Bode a partird’un exemple : le circuit RC serie 52.1 La reponse en frequence d’un filtre : la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Utilisation de la fonction de transfert pour determiner le signal de sortie . . . . . . . . . . 82.3 Recherche d’une representation graphique : le diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . 82.4 Trace (ou justifier le trace) du diagramme de Bode du filtre RC . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Utilisation du diagramme de Bode pour determiner le signal de sortie . . . . . . . . . . . 11

3 Les filtres usuels du 1er et 2nd ordre 113.1 Etude general d’un filtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Filtre passe-bas du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Filtre passe-haut du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Filtre integrateur et comportement asymptotique des filtres passe-bas . . . . . . . . . . . 153.5 Filtre derivateur (Travaux diriges) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6 Filtre passe-bas du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.7 Filtre passe-haut du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.8 Filtre passe-bande du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.9 Filtre coupe-bande du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.10 Resume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Introduction a la synthese de filtre (travaux diriges) 244.1 Notion de gabarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Ordre du filtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3 Mise en cascade de filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Approche documentaire : Le filtrage mecanique, exemple de l’accelerometre 27

PTSI Chapitre 10 - Filtrage lineaire d’un signal periodique 2014-2015

Les prerequis du lycee

• Fonction exponentielle, fonctions trigonometriques• Derivees, primitives et integrales• Mecanique (systeme, referentiel, bilan des forces, lois de Newton)• Nombres complexes

Les prerequis de la prepa

• Signaux sinusoıdaux, periode, frequence, pulsation, valeur moyenne, valeur efficace• Lois de Kirchhoff• Loi d’Ohm, courant a travers un condensateur, tension aux bornes d’une bobine• Puissance et energie consommees par un dipole• Equations differentielles• Circuits du premier et du second ordre• Parties reelle et imaginaire, module et argument d’un nombre complexe• Notation complexe• Impedances complexes• Lois de l’electrocinetique en RSF.

2/40 27 novembre 2014


Autour de nous, beaucoup de systemes physiques repondent differemment en fonction de la frequenced’excitation qu’ils recoivent :

— Un mur ne laissant passer que les sons graves ;— Un filtre optique ne laissant passer que le rouge...

En electronique, de tels systemes existent. Ils sont appeles filtres.Leurs utilites sont multiples :— Separer un signal basse frequence (information) d’un signal haute frequence (porteuse) ;— separer plusieurs informations passant par un meme canal ;— enlever du bruit ;— modifier la forme d’un signal (passer d’un carre a un triangle)— realiser un oscillateur, une horloge tres precise...

Dans ce chapitre, nous allons etudier une classe particuliere de filtres : les filtres analogiques lineaires.

L’etude d’un filtre passera necessairement pas son analyse harmonique. Ai-je besoin de rappele pour-quoi ? cf. chapitre precedent.

1 Principe du filtrage : modifier l’amplitude des harmo-

niques

1.1 Tout signal peut se decomposer en une somme discrete ou continuede sinusoıdes

Decomposition en serie de Fourier d’un signal periodique

On admet qu’il est possible de decomposer tout signal T-periodique en une somme de termessinusoıdaux du temps, de pulsation ωk, multiple de ω0 = 2π

T, ce qui revient a ecrire

s(t) = S0 +∞∑k=1

Smk cos(kω0t+ φk)

Mathematiquement, cette somme est appelee decomposition en serie de Fourier.

3/40 27 novembre 2014


Decomposition en serie de Fourier (hors programme de premiere annee)Soit un signal periodique s(t)

s(t) = S0 +∞∑k=1

Smk cos(kω0t+ φk) = S0 +∞∑k=1

(ak cos(kω0t) + bk sin(kω0t))

ou S0 est la valeur moyenne du signal periodique s

S0 =1

T

w T2

−T2

dt

et les coefficients ak et bk

ak =2

T

w T2

−T2

s(t)× cos

(2kπ

Tt

)dt

bk =2

T

w T2

−T2

s(t)× sin

(2kπ

Tt

)dt

Transformee de Fourier d’un signal continu

Transformee de Fourier (hors programme)

La transformee de Fourier F est une operation qui transforme une fonction integrable sur Ren une autre fonction, decrivant le spectre frequentiel de cette derniere. Si f est une fonctionintegrable sur R, sa transformee de Fourier est la fonction F(f) = f donnee par la formule :

F(f) : ξ → f(ξ) =w +∞

−∞f(t)e−iξtdt

1.2 Le filtrage : modifier un signal en modifiant son spectre

A chaque signal correspond un unique spectre. Il est donc possible de modifier un signal en modifiantson spectre. C’est le principe du filtrage.Exemple

(Prise de notes)

1.3 Les principaux filtres

En fonction de leurs effets sur le spectre d’un signal, on classe les filtres en 4 categories

Type de filtre Effets souhaites Allure de la reponse frequentielle

4/40 27 novembre 2014


Filtre passe-bas Laisse passer les bassesfrequences et attenuevoire supprime/coupeles hautes frequences.

Filtre passe-haut Laisse passer les hautesfrequences et attenuevoire supprime/coupeles basses frequences

Filtre passe-bande Laisse passer les unegamme de moyennesfrequences et attenuevoire supprime/coupeles autres frequences

Filtre coupe-bande Coupe une gamme demoyennes frequences etlaisse passer les autresfrequences

2 Definition d’un quadripole, d’une fonction de transfert,

du diagramme de Bode a partir d’un exemple : le circuit

RC serie

2.1 La reponse en frequence d’un filtre : la fonction de transfert

Position du probleme

Soit un circuit RC serie soumis a une tension ue(t) = Uem cosωt de signaux sinusoıdaux de pulsationω.

5/40 27 novembre 2014


R

C U sU e

Ie Is

On cherche a determiner la tension de sortie us(t), ici prise aux bornes du condensateur. Le circuitetant lineaire, cela revient a determiner le module et la phase de chacune des harmoniques du signal desortie. En d’autres termes, on va chercher l’evolution de l’amplitude complexe U s(jω) en fonction de lapulsation ω.

Determination de la tension de sortie en fonction de la tension d’entree : la fonction detransfert

Nous allons realiser l’etude a vide de ce filtre. Nous considererons donc que le courant de sortie Isest nul.

(Demo a savoir refaire par coeur)

♦ Definition : On appelle fonction de transfert ou transmittance du circuit RC la fonctioncomplexe de ω, notee H(jω), le rapport de l’amplitude complexe U s de la tension de sortie surl’amplitude complexe U e de la tension d’entree

H(jω)=U s

U e

=1

1 + jτω

De l’interet de la fonction de transfert

(Prise de notes)

Generalisation des notions de filtre, quadripole et fonction de transfert

6/40 27 novembre 2014


♦ Definition :Un quadripole est une portion de circuit comportant quatre bornes, deux d’entre elles per-mettant de lui appliquer une tension d’entree ue, les deux autres delivrant une tension desortie us. Une borne peut-etre commune a l’entree et a la sortie, constituant generalement lamasse.

Exemple

♦ Definition :La fonction de transfert complexe H d’un quadripole est definie a vide par le rapport desamplitudes complexes de la tension de sortie U s et de la tension d’entree U e

H(jω)=U s(jω)

U e(jω)

♦ Definition :• Un quadripole lineaire, constitue donc de dipoles lineaires, sera appele un filtre.

• Sa fonction de transfert peut toujours s’ecrire comme le rapport de deux polynomes enjω

H(jω) =N(jω)

D(jω)

N et D etant deux polynomes de degre resp. n et d, a coefficients reels.• L’ordre du filtre est par definition le plus haut des degres n et d.

7/40 27 novembre 2014


2.2 Utilisation de la fonction de transfert pour determiner le signal desortie

Soit un filtre lineaire de fonction de transfert complexe H(jω). On applique en entree unetension periodique

e(t) =∞∑k=0

UEk cos(kωt+ ϕEk)

La tension de sortie est la somme

s(t) =∞∑k=0

|Hjkω|.UEk cos (kωt+ ϕEk + arg (H(jkω)))

Exemple

(A savoir refaire au cas par cas)

On applique en entree du filtre RC defini precedemment la tension d’entree triangle sedecomposant

e(t) =8

π2

∞∑k=0

(−1)ksin ((2k + 1)ωt)

(2k + 1)2

2.3 Recherche d’une representation graphique : le diagramme de Bode

(Prise de notes)

Le gain en decibels

♦ Definition : Le gain en decibels est, par definition, egal a 20 fois le logarithme a base 10du module de la fonction de transfert

GdB = 20 log (|H(jω)|) .

Le diagramme de Bode : la donnee de 2 courbes

♦ Definition : Un diagramme de Bode est la representation graphique de la fonction de

transfert H(jω) =U s

U e

a l’aide de deux courbes :

• La courbe de gain donnant le gain en decibels en fonction de la pulsation ω.- La pulsation ω est reporte sur l’axe des abscisses en echelle logarithmique ;- le gain en decibels est reporte sur l’axe des ordonnees en echelle lineaire.

• La courbe de phase donnant la phase ϕ = arg(H(jω)) en radian ou en degre enfonction de la pulsation ω.

- La pulsation ω est reporte sur l’axe des abscisses en echelle logarithmique ;- le phase est reportee sur l’axe des ordonnees en echelle lineaire.

8/40 27 novembre 2014


♦ Definition : Deux grandeurs sont separees d’une decade si leur rapport vaut 10.Deux grandeurs sont separees d’une octave si leur rapport vaut 2.

2.4 Trace (ou justifier le trace) du diagramme de Bode du filtre RC

Les applications numeriques seront faites avec RC = 10−3 s.

(A savoir refaire)

Expression du gain en decibel

Expression de la phase

Les betises a eviter

Cela n’a aucun sens d’ecrire arg(|H(jω)|). On cherche l’argument d’un nombre complexe, pascelui de son module.

Diagramme asymptotique

9/40 27 novembre 2014


Frequence de coupure

♦ Definition : On appelle pulsation de coupure (resp. frequence de coupure) a -3 dB, lapulsation ωc (resp. frequence fc) a partir de laquelle le gain en dB est inferieur de 3 dB au gainmaximal, ou, de maniere equivalente, le module est

√2 fois plus petit que le module maximal :

GdB(ωc) =Gmax − 3

H(ωc) =Hmax√

2

Application 1 : pulsation de coupure du filtre RC

Determiner la pulsation de coupure du filtre RC

10/40 27 novembre 2014


2.5 Utilisation du diagramme de Bode pour determiner le signal desortie

Application 2 : Tension creneau en entree d’un circuit RC

On applique en entree d’un filtre RC un signal triangle d’expression

e(t) =8

π2

∞∑k=0

(−1)ksin ((2k + 1)ωt)

(2k + 1)2

avec ω = 100 rad.s−1 et RC = 10−3 s1 Par lecture graphique, determiner le gain en dB et la phase de la fonction de tranfert pour les 3

premieres harmoniques.

2 En deduire les amplitudes et les phases a l’origine des 3 premieres harmoniques du signal de sortie.

R

C U sU e

Ie Is

3 Les filtres usuels du 1er et 2nd ordre

3.1 Etude general d’un filtre

1. Comportement asymptotique du filtre— On cherche le modele equivalent du filtre en basse-frequence ;

1

jCω

⇔B.F.

jLω

⇔B.F.

— puis on cherche le modele equivalent du filtre en haute-frequence ;1

jCω

⇔H.F.

jLω

⇔H.F.

— on exprime U s dans chacun des cas ;

11/40 27 novembre 2014


— on conclut quant a la nature du filtre.

2. On calcule la fonction de transfert a l’aide des lois de l’electrocinetique (diviseur de tension,theoreme de Millmann...)

3. On en deduit l’expression du gain et de la phase.

4. On en deduit le diagramme de Bode asymptotique (gain et phase en 0, en ω0, en l’infini).

5. On cherche les eventuelles resonances, les frequences de coupure.

6. On trace le diagramme reel (a l’aide d’un tableur, d’une calculatrice, de python...).

7. On utilise le diagramme de Bode pour en deduire la sortie du filtre en fonction de l’entree.

Application 3 : Nature d’un filtre CR

Determiner, sans calcul, la nature du filtre suivant

C

R U sU e

Ie Is

3.2 Filtre passe-bas du premier ordre

♦ Definition : Un filtre passe-bas du premier ordre possede une fonction de transfert deforme canonique

H(jω)PBo1=H0

1 + jτω=

H0

1 + j ωω0

ou H0 est le gain statique du filtre, τ la constante de temps caracteristique du filtre, ω0 lapulsation de coupure du filtre.

12/40 27 novembre 2014


(Prise de notes)

Application 4 : Filtre moyenneur

Soit e(t) = E0 + E1 cosωt un signal dont on souhaite recuperer la valeur moyenne. On donne ω =100 rad.s−1.

1 Quelle est la nature du filtre permettant cette operation ? Donner un encadrement de sa pulsationde coupure.

2 Montrer, sans calcul, que le filtre ci-dessous realise la fonction demandee

L

R

i

usue

3 Determiner l’expression de sa fonction de transfert ainsi que sa pulsation de coupure.

4 En deduire son diagramme asymptotique.

5 On considerera que la fonction est realisee si l’amplitude de la premiere harmonique est divisee par100. Traduire cette contrainte en terme de gain en dB pour la fonction de transfert.

6 En deduire la valeur de la pulsation de coupure du filtre.

7 On donne R = 1 kΩ, quelle valeur doit-on choisir pour l’inductance de la bobine ? Est-ce envisa-geable ? Si non, proposer alors un autre filtre realisant cette fonction.

13/40 27 novembre 2014


3.3 Filtre passe-haut du premier ordre

♦ Definition : Un filtre passe-haut du premier ordre possede une fonction de transfert deforme canonique

H(jω)PHo1=H0jτω

1 + jτω= H0

j ωω0

1 + j ωω0

ou H0 est le gain du filtre, τ la constante de temps caracteristique du filtre, ω0 la pulsation decoupure du filtre.

(Prise de notes)

Application 5 : Filtre RL

R

L

i

usue

1 Determiner la nature de ce filtre sans calcul.

2 Etablir la fonction de transfert de ce filtre.

3 Tracer son diagramme de Bode.

4 Determiner sa pulsation de coupure et son gain.

14/40 27 novembre 2014


3.4 Filtre integrateur et comportement asymptotique des filtres passe-bas

♦ Definition : Un filtre integrateur pur est un filtre dont la relation entree sortie est de laforme

τds(t)

dt= e(t).

Il realise donc l’integral du signal d’entree.

Cette fonction est realisee par un filtre integrateur pur du premier ordre possedant unefonction de transfert de forme canonique

H(jω)I=1

jτω

ou τ la constante de temps caracteristique du filtre.

(Prise de notes)

On deduit de son diagramme de Bode les proprietes de ce filtre

15/40 27 novembre 2014


3.5 Filtre derivateur (Travaux diriges)

Application 6 : Filtre derivateur pur et derivateur approche

1 Definir un derivateur pur par sa relation entree-sortie.

2 En deduire sa fonction de transfert.

3 Puis en deduire son diagramme de Bode.

4 Quel probleme pose l’utilisation d’un derivateur pur ? Comment y remedier ?

5 Quel filtre parmi ceux etudie precedemment, peut simuler un derivateur dans un domaine defrequence limite ?

16/40 27 novembre 2014


17/40 27 novembre 2014


3.6 Filtre passe-bas du second ordre

♦ Definition : Un filtre passe-bas du second ordre possede une fonction de transfert deforme canonique

H(jω)PB=H0

1 + j ωQω0− ω2

ω20

=H0

1 + j 2ξωω0− ω2

ω20

ou H0 est le gain statique, Q le facteur de qualite, ξ le coefficient d’amortissement (quevous notez z en S.I.), ω0 la pulsation propre.

(Prise de notes)

Application 7 : Filtre RLC

On propose le filtre suivant.

18/40 27 novembre 2014


R

C

L

U sU e

1 Realiser l’etude de ce filtre (nature, fonction de transfert, diagramme asymptotique, resonance,diagramme reel).A.N. : R = 10 Ω, L = 1, 0 mH, C = 1, 0 nF.

2 Le signal e(t) est la somme de trois signaux sinusoıdaux :

e(t) = Sm1 cos(ω1t) + Sm2 cos(ω2t) + Sm3 cos(ω3t)

avec S1 = S2 = S3 = 5 V, ω1 = 100 rad.s−1, ω2 = 1000 rad.s−1 et ω3 = 10000 rad.s−1.Determiner, a l’aide du diagramme de Bode, le signal de sortie.

3.7 Filtre passe-haut du second ordre

♦ Definition : Un filtre passe-haut du second ordre possede une fonction de transfert deforme canonique

H(jω)PH=H0

−ω2

ω20

1 + j ωQω0− ω2

ω20

= H0

−ω2

ω20

1 + j 2ξωω0− ω2

ω20


(Prise de notes)

19/40 27 novembre 2014


3.8 Filtre passe-bande du second ordre

♦ Definition : Un filtre passe-bande du second ordre possede une fonction de transfertde forme canonique

H(jω)PH=H0

j ωQω0

1 + j ωQω0− ω2

ω20

= H0

j 2ξωω0

1 + j 2ξωω0− ω2

ω20


(Prise de notes)

20/40 27 novembre 2014


3.9 Filtre coupe-bande du second ordre

♦ Definition : Un filtre coupe-bande ou filtre rejecteur du second ordre possede unefonction de transfert de forme canonique

H(jω)PH=H0

1− ω2

ω20

1 + j ωQω0− ω2

ω20

= H0

1− ω2

ω20

1 + j 2ξωω0− ω2

ω20


On deduit de son diagramme de Bode les proprietes de ce filtre— La pulsation propre ω0 = 1

τest la pulsation coupe

— La bande attenuee vaut[− ω0

2Q+ ω0

√1

4Q2 + 1, ω0

2Q+ ω0

√1

4Q2 + 1]

et sa largeur ∆ω = ω0

Q.

— Le filtre est d’autant plus selectif que le facteur de qualite est eleve.

21/40 27 novembre 2014


3.10 Resume

Nature Fonction de transfert Allure du diagramme(sous forme canonique) de BodeH =

Passe-bas |H| =d’ordre 1

arg(H) =

H =

Passe-haut |H| =d’ordre 1

arg(H) =

H =

Integrateur |H| =d’ordre 1

arg(H) =

H =

Derivateur |H| =d’ordre 1

arg(H) =

H =

Passe-bas |H| =d’ordre 2Q ≤ 1

2

arg(H) =

H =

22/40 27 novembre 2014


Passe-bas |H| =d’ordre 2Q ≥ 1

2

arg(H) =

H =

Passe-haut |H| =d’ordre 2Q ≤ 1

2

arg(H) =

H =

Passe-haut |H| =d’ordre 2Q ≥ 1

2

arg(H) =

H =

Passe-bande |H| =d’ordre 2Q ≤ 1

2

arg(H) =

Bande passante :H =

Passe-bande |H| =d’ordre 2Q ≥ 1

2

arg(H) =

Bande passante :H =

Coupe-bande |H| =d’ordre 2

arg(H) =

23/40 27 novembre 2014


4 Introduction a la synthese de filtre (travaux diriges)

En pratique, la realisation d’un filtre s’effectue en quelques etapes que nous allons detailler. Pour cela,on s’appuiera sur la synthese d’un filtre ADSL :

Le terme ADSL signifie Asymmetric Digital Subscriber Line (dans les pays francophones ce termeest parfois remplace par LNPA qui signifie Ligne Numerique a Paire Asymetrique).

Il est necessaire d’utiliser un filtre ADSL afin de separer la voix et les donnees numeriques. Ces filtresvous permettent de telephoner pendant que vous etes connectes a Internet.

Un filtre sera installe sur chaque prise telephonique du logement sur lesquelles sont branches desappareils. Une des prises servira au raccordement du modem.

Filtre ADSL gigogne Filtre ADSL sur prise

Avec la technologie ADSL, votre ligne classique analogique (cuivre) sera divisee en 3 bandes defrequence comme suit :• 0 a 4 kHz : frequence voix• 4 a 200 kHz : frequence du trafic montant• 200 kHz a 2.2MHz : frequence du trafic descendant

Ces deux derniers signaux (hautes frequences) sont incompatibles avec la voix. C’est pourquoi un filtreADSL est utilise pour separer les signaux ADSL et vocaux.

Le filtre ADSL permet entre autre de parer aux problemes suivants :• Communications telephoniques qui gresillent ou inaudibles.• Connexion ADSL coupee a chaque appel telephonique (entrant ou sortant).

24/40 27 novembre 2014


4.1 Notion de gabarit

♦ Definition :On appelle gabarit un ensemble de conditions definissant le cahier des charges d’un filtre. Ils’agit d’un ensemble de points dont les coordonnees (log(ω), GdB(ω)) definissent :

— des zones conservees dans lesquelles le gain doit etre superieur a une valeur GdBp ;— des zones rejetees ou attenuees dans lesquelles le gain doit etre inferieur a une valeur

GdBa.

Application 8 : Gabarit d’un filtre ADSLOn desire

— un gain en dB superieur a -3 dB de la frequence nulle a la frequence f = 4, 0 kHz ;— un gain inferieur a -10 dB a partir de la frequence f = 8 kHz ;

1 Representer le gabarit de ce filtre.

4.2 Ordre du filtre

Application 9 : Choix de la nature et de l’ordre du filtre ADSL

1 Quel doit etre la nature de ce filtre ?

25/40 27 novembre 2014


2 Un filtre du premier ordre, de frequence de coupure fc = 4 kHz convient-il ?

3 Meme question avec un filtre de fonction de transfert

H(jω)1

1 + j√

2 ωωc− ω2

ω2c

avec ωc = 2πfc et fc = 4 kHz.

4.3 Mise en cascade de filtres

Mise en cascade directe de filtres

Le moyen le plus simple d’obtenir des filtres d’ordre plus eleve est de mettre en cascade plusieurs filtres.

U e1 U s1H1(jω) U e2 U s2H2(jω)

On serait tenter de dire que la fonction de transfert de l’ensemble est le produit des fonctions detransfert. C’est oublie que les fonctions de transfert sont obtenues a vide ! Sans precaution, il faudra tenircompte des impedances d’entree Ze et de sortie Zs des filtres

H =Ze2

Ze2 + Zs1

H1H2 .

Mise en cascade directe par l’intermediaire d’un montage suiveur

Il existe un montage, appele suiveur, permettant de presenter une impedance d’entree infinie au premierfiltre, et une impedance de sortie nulle au second.

U e1 U s1H1(jω)

−

+

∞B

U e2 U s2H2(jω)

Dans ce cas

Havec suiveur = H1 ×H2 .

26/40 27 novembre 2014


5 Approche documentaire : Le filtrage mecanique, exemple

de l’accelerometre

La notion de filtrage n’est pas reservee aux circuits electriques, elle concerne tout type de systeme :electrique, mecanique... Les sismometres, les amortisseurs, les accelerometres sont autant de filtres mecaniques.

De plus en plus d’appareils grand public utilisent des accelerometres : manettes de jeu video, smart-phones, tablettes, PC portables...).

Nous allons etudier l’un de ces accelerometres. Il s’agit d’une puce qui transforme une accelerationmecanique en un signal electrique, qui pourra ensuite etre exploite electroniquement par l’appareil danslequel elle est integree. Le modele presente est l’accelerometre ADXL330. Les deux premieres lettres decette denomination designent le fabricant, ici Analog Device. Les chiffres et lettres suivant precise le typede circuit dont il s’agit. L’ensemble des parametres de fonctionnement est decrit dans un document publicaccessible par internet (sur le site alldatasheet.com par exemple), nomme datasheet du composant.

1 Le composant ADXL330 mesure-t-il l’acceleration suivant un seul axe ou selon les trois coordonneesd’espace ?role du bloc note DEMOD sur le datasheet ?

2 Quelles sont les bandes passantes indiquees sur la notice constructeur ? Proposer un graphe rendantcompte de la reponse frequentielle du capteur.

3 L’utilisateur peut-il diminuer ces bandes passantes ? les augmenter ?

4 Qu’arrive-t-il aux signaux dont la frequence est situee en dehors de cette bande passante ?

5 Quel ordre de grandeur en terme de frequence d’excitation un utilisateur de jeu video peut-ilatteindre ? Les caracteristiques du capteur sont-elles compatibles avec cette valeur ? Pourquoi labande passante doit-elle etre superieure a la frequence maximale d’utilisation ?

27/40 27 novembre 2014


Le programme : ce qu’il faut savoir faire

Notions et contenus Capacites exigibles8. Filtrage lineaireSignaux periodiques. Savoir que l’on peut decomposer un signal

periodique en une somme de fonctions si-nusoıdales. (Chapitre 2)

Definir la valeur moyenne et la valeur efficace.(Chapitre 2)

Fonction de transfert harmonique. Diagramme deBode.

Prevoir le comportement d’un filtre a frequencenulle ou infinie en remplacant les bobines et lescondensateurs par des interrupteurs fermes ououverts. (Paragraphe 3.1, applications 3, 4, 5,7 ; exercices 1 a 3, 5 a 10 et exercices 1, 3, 4, 8et du TD 9)

Utiliser une fonction de transfert donnee d’ordre1 ou 2 et ses representations graphiques pourconduire l’etude de la reponse d’un systemelineaire a une excitation sinusoıdale, a une sommefinie d’excitations sinusoıdales (Paragraphe 2.2,applications 2, 4 ; exercices 1, 2, 3, 4, et 6).

Mettre en œuvre un dispositif experimentalillustrant l’utilite des fonctions de transfertpour un systeme lineaire a un ou plusieursetages (TP 12 et 13).

Utiliser les echelles logarithmiques et interpreterles zones rectilignes des diagrammes de Boded’apres l’expression de la fonction de transfert(Paragraphe 2.5, applications 2, 4, 7 ; exercices1 a 10).

Notion de gabarit. Etablir le gabarit d’un filtre en fonction du cahierdes charges (Paragraphe ??, applications 8 et 9 ;exercice 3 et 6).

Modeles simples de filtres passifs : passe-bas etpasse-haut d’ordre 1, passe-bas et passe-banded’ordre 2 (Paragraphe 3).

Expliciter les conditions d’utilisation d’un filtreafin de l’utiliser comme moyenneur, integrateur,ou derivateur (Paragraphes 3.4, 3.5, 3.2, appli-cations 6 ; exercices 1, 2, 5 et 6).

Approche documentaire : expliquer la naturedu filtrage introduit par un dispositif mecanique(sismometre, amortisseur, accelerometre...).

28/40 27 novembre 2014


29/40 27 novembre 2014

TD n10 - Filtrage lineaire

Exercice 1 : Etude de filtres du 1er ordre (exercice old school)

R

L

i

usue

R1

C R2

i

usue

Repondre aux questions suivantes pour les montages A et B :

1 Determiner sans calculs la nature du filtre.

2 Determiner la fonction de transfert du circuit.

3 Tracer son diagramme de Bode.

4 Determiner la(les) frequence(s) de coupure et la bande passante.

5 ue(t) est une tension constante. Determiner us(t).

6 Soit ue(t) = U0(1 + cos(2πft)) ou U0 est une constante homogene a une tension et f = 20 kHz.Determiner us(t)

Donnees : On a : R = 100 Ω ; L = 200 mH ; R1 = 2 kΩ ; R2 = 1 kΩ ; C = 1µF.

Solutions :

1) Filtre 1 : Passe-haut, filtre 2 : passe-bas ; 2) H1(jω) =jL

Rω

1 + jL

Rω

, H2(jω) =

R2

R1 +R2

1 + jR1R2

R1 +R2

Cω;

4) fc1 =R

2πL= 80 Hz, fc2 =

R1 +R2

2πR1R2C= 240 Hz ; 5) Us1 = 0, Us2 =

R2

R1 +R2

E ;

6) us1(t) ≈ E cos(2πft), us2(t) ≈R2

R1 +R2

E.

Exercice 2 : Realisation d’un tripleur de frequence a l’aide d’un filtre de Hart-ley

On etudie le montage ci-dessous (en sortie ouverte).


Dans tout l’exercice, on prendra : L = 1, 0 mH, C = 0, 10µF et R = 10 kΩ.

1 Determiner sans calculs la nature du filtre.

2 Montrer que sa fonction de transfert se met sous la forme : H(jω) =s

e=

jL

Rω

1 + 2jL

Rω + 2LC(jω)2

.

3 La mettre sous forme canonique : H(jx) = H0

jx

Q

1− x2 + jx

Q

en notant x = ωω0

la pulsation reduite.

Donner la valeur de H0.

On exprimera la pulsation propre ω0 et le facteur de qualite Q en fonction de R, L et C, puis ondonnera leurs valeurs numeriques.

Le diagramme de Bode en amplitude est donne ci-dessous :

4 Mesurer la pente des asymptotes. Retrouver leur valeur a partir de l’etude de la fonction de transfert.

5 Tracer le diagramme de Bode asymptotique pour la phase. Pour cela, on determinera la valeur decette derniere pour x 1 (BF), x = 1 et x 1 (HF).

6 Determiner les valeurs numeriques de a et b definis sur le diagramme a partir de l’expression de lafonction de transfert. Verifier la coherence avec les valeurs du graphe.

7 Ce quadripole peut-il servir d’integrateur ou de derivateur ? Si oui, dans quelle bande de frequence ?Justifier. Quel inconvenient presente neanmoins ce montage utilise pour realiser ces operations ?

On etudie la sortie s1(t) lorsqu’on applique a l’entree le signal e1(t) = E0 + E1mcos(ω1t) avecω1 = ω0.

8 Comment realiser experimentalement ce signal au laboratoire d’electronique ?

9 Determiner l’expression litterale du signal de sortie s1(t).

On applique maintenant un signal creneau e2(t), de pulsation ω2 = ω0

3et d’amplitude E2m = 1 V

(figure ci-dessous).

31/40 27 novembre 2014


10 Calculer la valeur efficace E2 de e2(t).

11 Le signal e2(t) est decomposable en serie de Fourier :

e2(t) =4E2m

π

[sin(ω2t)−

1

3sin(3ω2t) +

1

5sin(5ω2t)−

1

7sin(7ω2t) + ...

]12 Tracer l’allure du spectre d’amplitude de e2(t). Preciser les valeurs numeriques des pulsations des

trois premiers pics d’amplitudes non nulles.

13 En utilisant la courbe de gain en diagramme de Bode fournie, calculer les valeurs numeriques desamplitudes de ces pics dans le signal de sortie s2(t).

En deduire l’expression numerique approchee du signal de sortie s2(t). Justifier alors le nom de tripleur de frequence donne a ce filtre.

Solutions :1) .

Exercice 3 : Conception d’un filtre

On souhaite nettoyer l’enregistrement d’une conversation, rendu difficilement audible par des bruitsdivers. On considere que le spectre de l’audition humaine s’etend de 20 Hz a 20 kHz, tandis que celui dela voix couvre un intervalle allant de 100 Hz a 2 kHz.

On desire concevoir un filtre permettant de ne conserver que le spectre couvert par la voie. Pour cela,on s’impose de conserver une attenuation inferieur a 10 dB pour la voie humaine, tout en reduisant, a lalimite du spectre audible, le niveau du signal de 40 dB.

1 Tracer, sur l’annexe 1 fournie, le gabarit de ce filtre. Quelle est la nature du filtre correspondant ace gabarit ?

On a a notre disposition le filtre RLC suivant

R

CL

U sU e

2 Verifier, sans calcul, que la nature du filtre est la meme que celle imposee par le gabarit.

3 Calculer sa fonction de transfert H(jω) =Us

Ue. La mettre sous forme canonique.

4 En deduire son gain en dB et sa phase.

32/40 27 novembre 2014


5 Montrer, a partir de l’expression du gain, que la bande passante a -3 dB du filtre est[ω0

2Q

(−1 +

√1 + 4Q2

);ω0

2Q

(1 +

√1 + 4Q2

)]et que sa largeur vaut

∆ω =ω0

Q

6 Que doit valoir la pulsation propre ω0 pour centrer la bande passante conformement au gabarit ?(ATTENTION : Centrer sur une echelle log !)

7 Faut-il choisir un facteur de qualite faible ou eleve ? Determiner la valeur a donner a Q pour ajusterla bande passante a -3 dB de ce filtre au spectre de la voix humaine.

8 Quelles devraient etre les pentes des asymptotes a hautes et basses frequences pour respecter lecahier des charges traduit par le gabarit ? Est-ce le cas pour ce filtre RLC ?

On dispose de plusieurs filtres RLC identiques a celui de la partie ??.

9 Combien de filtres faut-il mettre en cascade pour obtenir un filtre conforme au gabarit ? Commentprocede-t-on en pratique ? Quel sera alors l’ordre du filtre ?

10 Le filtre 2 presente en annexe 2 respecte-t-il le gabarit ?

Le bruit d’une perceuse se superpose a la conversion. On enregistre son signal

s(t) = S0 cos(2πf)

avec S0 = 10 V et f = 8 kHz.

11 Quelle est l’amplitude du signal en sortie du filtre 2 ? Vous expliquerez votre demarche.

Solutions :1) .

Exercice 4 : Egalisation RIAA

L’egalisation RIAA (Recording Industry Association of America) est un standard pour l’enregistrementet la restitution des disques vinyles.

Lors de la lecture du disque, le signal electrique est envoye dans un filtre dont la fonction de transfertcomplexe (normalisee) est

H(jω) =1 + jτ1ω

(1 + jτ2ω)(1 + jτ3ω).

1 Le diagramme de Bode en gain du filtre RIAA est represente sur la figure ci-apres, parmi d’autresgains. Determiner, en le justifiant, laquelle des quatres courbes correspond au gain du filtre etudie.

2 Les trois constantes de temps intervenant dans la fonction de transfert sont 75µs, 318µs et3180µs. On suppose que τ2 > τ3. Attribuer sans calcul, mais en le justifiant, chaque valeur auxconstantes de temps τ1, τ2 et τ3.

33/40 27 novembre 2014


3 Mesurer sur la figure le gain a la frequence f = 50 Hz, justifier le resultat obtenu.

4 A quelle frequence le gain normalise est-il egal a −32 dB.

34/40 27 novembre 2014


35/40 27 novembre 2014


Solutions :1) .

36/40 27 novembre 2014

Pour s’entraıner seul(e) - 10. Filtrage lineaire

Exercice 5 : Question de cours

1 Rappeler la definition de la fonction de transfert d’un quadripole. Rappeler la definition du gainlineaire, du gain de dB, de la phase de la fonction de transfert. Que representent-ils physiquement ?

2 Donner la definition, la fonction de transfert canonique, le diagramme de Bode asymptotique desfiltres du premier et du second ordre.

3 Dans quelle gamme de frequence un filtre passe-bas et/ou passe-haut se comporte en integrateur ?en derivateur ?

4 Justifier les pentes du diagramme asymptotique d’un filtre passe-bande du second ordre.

5 Donner le modele hautes et basses frequences d’un condensateur et d’une bobine.

Exercice 6 : Synthese d’un filtre moyenneur

On desire realiser un filtre moyenneur avec un circuit RC, de fonction de transfert H = 11+jRCω

.Pour cela, la composante continue du signal qui correspond a la valeur moyenne doit etre transmise et lescomposantes alternatives ”eliminees”.

1 Quelle est la nature de ce filtre ?

2 On considere la condition d’elimination realisee si la composante alternative est attenuee de 40 dBen sortie du filtre. Les signaux a traiter avec ce filtre ont des frequences superieures a 1 kHz.Etablir le gabarit de ce filtre.

3 Deduire de ce gabarit la frequence de coupure du filtre.

4 Le condensateur possede une capacite C = 1µF. Determiner la valeur de la resistance.

5 Le filtre precedent est maintenant realise, et fonctionne parfaitement. Pour le tester, on l’alimenteavec le signal

ue(t) = 2 + cos(

2π.1000t+π

3

)+ 5 cos (2π.2000t)

avec t en seconde et ue en volt.Qu’observe-t-on en sortie ? (On pourra s’aider du diagramme de Bode en pulsation reduite).

6 A quelle condition ce filtre se comporte-t-il comme un integrateur ?

7 On alimente le filtre avec un signal creneau, de frequence 1 kHz, evoluant entre 0 et 4 V. Qu’observe-t-on en sortie ?

8 Un eleve n’ayant pas ecoute les consignes fait l’observation du signal de sortie avec un oscilloscopeen mode AC. Il n’observe rien. Expliquer.Il modifie le calibre de l’oscilloscope, et observe un signal triangle de frequence 1 kHz : expliquer.


Solutions :3) f0 = 10 Hz ; 4) R = 16 kΩ ; 5) ue = 2+1.10−2 cos

(π.1000t+ 5π

6

)+2.10−2 cos

(2π.1000t+ π

2

).

Exercice 7 : : Filtre passe-bas amplificateur ou attenuateur ?

On propose le filtre suivant.

R1

C R2

i

usue

1 Determiner la nature de ce filtre sans calcul.

2 Etablir la fonction de transfert de ce filtre.

3 Tracer son diagramme de Bode asymptotique.

4 Quelle est la pulsation de coupure ce filtre ? Son gain statique ? S’agit-il d’un filtre amplificateurou attenuateur ?

5 A.N. : R1 = R2 = 2, 0 kΩ, C = 6, 3µF.

38/40 27 novembre 2014


6 Le signal e(t) est la somme de deux signaux sinusoıdaux :

e(t) = Sm1 cos(2πf1t) + Sm2 cos(2πf2t)

avec S1 = S2 = 5 V, f1 = 100 Hz, f2 = 10 kHz. Determiner, a l’aide du diagramme de Bode, lesignal de sortie.

Exercice 8 : Filtres en cascade avec et sans suiveur

On considere le quadripole ci-dessous.

C

R

R

Cue us

1 Prevoir le comportement asymptotique de ce filtre.

2 Calculer la fonction de transfert H(jω) =UE

US

en fonction de ω et ω0 avec ω0 =1

RC.

3 Montrer que le denominateur peut se mettre sous la forme d’un produit de fonctions du premierordre : (1 + j ω

ω1)(1 + j ω

ω2), ω1 et ω2 s’exprimant en fonction de ω0.

4 Etablir le diagramme de Bode.

5 On separe les deux filtres pas un montage suiveur. Donner la nouvelle fonction de transfert del’ensemble.

Solutions :

1) Filtre passe-bande ; 2) H(jω) =j ωω0

1 + 3j ωω0

+ (j ωω0

)2; 3) H =

j ωω0(

1 + j ωω1

)(1 + j ω

ω2

) avec

ω1 =3−√

5

2et ω2 =

3 +√

5

2; 5) H =

j ωω0

(1 + j ωω0

)2

Exercice 9 : Suppression de la derive du signal delivre par un capteur

A partir des documents presentes et du questionnaire l’accompagnant, resoudre la problematique ci-dessous :

Un capteur delivre une tension subissant une derive, du fait d’un parasitage par l’alimentation dusecteur a 50 Hz.On cherche a concevoir un filtre adapte permettant d’obtenir le signal souhaite, c’est-a-dire deparasite.

39/40 27 novembre 2014


1 Quel est le type de filtrage a realiser ?

2 On dispose d’un resistor et d’un condensateur. Proposer une structure de filtre simple et des valeurspour les grandeurs caracteristiques R et C permettant la realisation du filtrage. On pensera a ceque le filtre ne charge pas trop la sortie du capteur, c’est-a-dire que le filtre ne preleve pas trop decourant en sortie du capteur.

3 Le filtrage obtenu s’avere peu satisfaisant avec la cellule RC envisagee initialement. Pourquoi ?Comment ameliorer la performance du filtre avec des resistors et des condensateurs supplementaires ?

Solutions :1) : filtre passe-haut 2) RC serie en sortie sur R avec frequence de coupure vers 250 Hz 3)R = 100 kΩ et C = 6 nF ; cascade.

40/40 27 novembre 2014