Transfert de Chaleur et de Masse - A. H. Ridha … Contenu du cours 1.Rappel de notions de base de transferts thermiques 2.Convection thermique : g en eralit es et equations 3.Convection

Objectifs

Transferts de chaleur et de masse

Objectifs

I Introduire les notions theoriques a la base de transferts thermiques et de masse

I Etablir leurs liens aux comportements de systemes thermiquesI Arriver a une appreciation pratique d’origines physiques de transferts a travers

I des exemples concrets,I des methodologies generales,I mise en ouvre de l’analyse de l’ingenieur qui, meme s’il n’est pas exacte, fournit

neanmoins des informations utiles en ce qui concerne la conception et/ou laperformance d’un systeme ou un procede particulier

I Une soucie majeure de cet enseignement est de s’amener aI discerner les processus de transferts et des hypotheses simplificatrices,I identifier des variables independantes et dependantes,I developper des expression appropriees a partir des premiers principes,I et introduire des elements necessaire a partir d’une base de connaissance de transferts

thermiques.

Adil Ridha (Universite de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 1 / 21

Objectifs

Contenu du cours

1. Rappel de notions de base de transferts thermiques

2. Convection thermique : generalites et equations

3. Convection thermique forcee en ecoulements externes

4. Convection thermique forcee en ecoulements internes

5. Convection libre

6. Echangeurs thermiques

7. Transfert thermique par rayonnement

Le controle continu prendra la forme d’un projet personnalise


Prembule

Preambule

Les sciences thermiques font intervenir :le stockage , le transfert et la conversion d’energie.Trois disciplines y “interlacent” :

I la thermodynamique,

I le transfert thermique

I et la mecanique des fluides.


Prembule

Preambule

En thermodynamique, on aprend que l’energie est transmise/echangee lors del’interaction de tout systeme avec son milieu exterieur a travars de ses frontieres.Un tel echange d’energie prend la forme de :

I chaleur ( 1 J = 1 kg.m2/s2),

I ou travail (J).

Le systeme passe alors d’un etat d’equilibre (etat initial avant l’echange) a un autre etatd’equilibre (a la fin de l’echange).


Prembule

Rappel : Thermodynamique

Premier principe de la thermodynamique :

Pour un systeme ferme : 4U︸︷︷︸Changement

de l’energie interne

= Q1→2︸︷︷︸Chaleur

echangee

+ W1→2︸︷︷︸Travail

fait ou recu

Si le systeme est en mouvement :

4U︸︷︷︸Changement del’energie interne

+ 4Ec︸︷︷︸Changement de

l’energie cinetique

+ 4Ep︸︷︷︸Changement de

l’energie potentielle

= Q1→2︸︷︷︸Chaleur

echangee

+ W1→2︸︷︷︸Travail

fait ou recu

Deuxieme principe. Pour tout systeme isole :

dS =

(d′Q

T

)reversible

, dS >

(d′Q

T

)irreversible∮

reversible

d′Q

T= 0,

∮irreversible

d′Q

T< 0.


Prembule

Rappel : Transfert de chaleur

Definitions

I A (m2) : aire de la surface (paroi) del’echange thermique

I −→n : vecteur normal exterieur a A, (.)p

I Flux thermique : Φ =dQ

dt(W= J/s)

I Intensite de flux thermique : ϕ = Φ/A(W/m2= J/s.m2)

I Conductivite thermique : λ (W/K.m)

I Masse volumique ρ (kg/m3),

I Chaleur volumique γ (J/m3.K)

I Chaleur specifique c (J/kg.K)

I h (W/m2.K) coefficient de transfertthermique par convection

Mode de transfert thermique

I Conduction thermique, lois de Fourier :−→ϕ = −λ

−→∇T ,

I Convection thermique, loi de Newton :

−λ−→n · (−→∇T )p = −→n · −→ϕ = h(Tp − T∞)

I loi de Stefan-Boltzman d’echange thermiquepar rayonnement :

Φr = εpσA(T 4

p − T 4env

)I εp ≤ 1 emissivite, facteur d’emission de la

surface

I Constante de Stefan-Boltzman,σ = 5, 67× 10−8 W/m2K4


Prembule

Rappel : Transfert de chaleur

Equation de la conduction

I Materiaux homogenes et isotropes.

I Puissance generee par unite de volume : p (W/m3)

I Equation, avec λ = Cte. :

∆T − 1

α

∂T

∂t+

p

λ= 0.

I Diffusivite thermique α = λ/ρc (m2/s)


Exemples Exemple 1

Exemple - 1

Un long fil electrique de diametre d = 1 mm est submerge dans un bain a l’huile dont latemperature est de T∞ = 25 C avec h = 10 W/m2K ; la resistance electrique du fil parunite de longueur est R ′e = 0.01 Ω/m.A l’instant t = 0, un courant electrique de I = 20 A traverse le fil.

(a) determiner la temperature du fil quand le regime permanent est atteint.

(b) Determiner le temps pris, a compter de l’application de courant electrique, pour quela temperature du fil atteigne sa valeur a l’etat du regime permanent a 1 C pres.

On se donne pour les proprietes du fil : la densite ρ = 8000 kg/m3, la chaleur specifiquec = 500 J/kg.K, et la conductivite thermique λ = 20 W/m.K.


Exemples Exemple 1

Solution

1. Le diametre du fil est suffisamment petit ce qui rend la variation de la temperature al’interieur du fil negligeable.

2. Dans un tel probleme, on commence par le calcul de nombre de Biot, Bi

Bi =h(d/2)

λ=

10× 4× 10−3

20= 0, 002 1

3. Puisque Bi 1, on peut utiliser la methode de la capacite globale.

4. Le fil recoit une puissance generee par le courant electrique donnee par

Pgeneree = 1× I 2R ′e , par metre de longueur,

5. Et cede, a tout instant, un flux thermique par convection donnee par

Φcede = 1× πdh(T (t)− T∞), par metre de longueur,

6. La difference entre ces deux grandeur fait augmenter la temperature du fil au coursdu temps jusqu’a l’etablissement de regime permanent.

7. Ainsi, on a suivant le premier principe de la thermodynamique

1× 1

4πd2 × ρ× c

dT

dt︸︷︷︸changement de l’energie interne

par unite du temps

= Pgeneree − Φcede = I 2R ′e − πdh(T (t)− T∞)


Exemples Exemple 1

Exemple - 1, continue ...

1. D’ou

dT

dt= A− B(T (t)− T∞), ou A =

I 2R ′e14πd2ρc

, B =πdh

14πd2ρc

2. En posant θ = (T (t)− T∞), cet equation se transforme en

dθ

dt+ Bθ = A

3. La solution de cette equation est donnee par :

θ = (A/B) + C0e−Bt

4. C0 est une constante de l’integration.


Exemples Exemple 1


(a) Le regime permanent est atteint quand t →∞ ce qui conduit a :

θ = A/B

Selon les donnees du probleme on trouve :

A =I 2R ′e

14πd2ρc

=202 × 0, 01

0, 25× π × 10−6 × 8000× 500= 1, 273 K/s,

B =πdh

14πd2ρc

=10−3 × 10

0, 25× 10−6 × 8000× 500= 0, 01 s−1,

et A/B = 127, 3 K.D’ou, la temperature du fil a l’etat du regime permanent est :

T (t →∞) = (A/B) + T∞ = 152, 3 C.

Remarques : On aurait peut determiner T (t →∞) en considerant l’etat permanentou

I 2R ′e × 1 = (πd × 1)h(T (t →∞)− T∞)

ce qui conduit au meme resultat.


Exemples Exemple 1


(b) Commencons par determiner C0. A l’etat initiale T (0) = T∞ = 25 C. Donc,

0 = (A/B) + C0 =⇒ C0 = −(A/B).

La solution est doncθ = (A/B)(1− e−Bt)

Nous cherchons t tel que θ(∞)− θ(t) = 1 C. Ainsi,

1 = (A/B)− (A/B)(1− e−Bt) = (A/B)e−Bt ,

d’ou

t = − 1

Bln(B/A) =

1

0, 01ln 127, 3 = 484, 4 s ≈ 8 min.


Exemples Exemple 2

Exemple - 2

Probleme

I On considere une barre cylindrique, de diametre D, resistivite electrique par unite delongueur % et de longueur L.

I La barre est en equilibre thermique avec le fluide environnant, T∞.

I Un courant electrique I perturbe cet equlibre a l’instant t > 0.

I Determiner l’equation regissant l’evolution de la temperature au cours de temps.


Exemples Exemple 2

Solution

I Application de premier principe :

dU

dt=

dQ

dt+

dW

dt

I Puissance generee (recue) : Φg = +%LI 2.

I Puissance cedee par convection Φc = −(πDL)× h(T − T∞)

I Puissance cedee par rayonnement Φr = −εσ(πDL)(T 4 − T 4

env

)I Changement de puissance en stockage :

dU

dt= Φint =

d

dt(ρVcT ) = ρπ(D2/4)Lc

dT

dtI Bilan de l’energie, travail nul :

1

4ρcπD2L

dT

dt= %LI 2 − (πDL)× h(T − T∞)− εσ(πDL)

(T 4 − T 4

env

)


Conduction en regime variable revisite Milieu semi-inifini

Conduction en regime transient

Conduction en milieu semi-infini

I On considere un milieu solide soumis subitement a un changement de temperaure aune partie de ses frontieres.

I Un tel milieu se comporte comme un milieu infini en comparaison avec la region dechangement de temperature initiale.

I Exemples :I une paroi d’epaisseur suffisamment grande tel que le changement de temperature

appliquee sur une face ne soit pas ressentie par l’autre surface.I exemple : la terre !I Une “barre” solide pointue a une extremite et de section constante a l’autre, la lame

d’une epee par exemple .

I La distribution de la temperature peut se presenter comme de surfaces parallele ades temperature constantes. La temperature ne varie ainsi que dans la directionnormale a ces surfaces.


Conduction en regime variable revisite Formulation mathematique

Probleme mathematique

L’equation E.D.P. + Conditions initiale et aux limites

I L’equation :∂2T

∂x2=

1

α

∂T

∂tI Temperature initiale Ti

I Le milieu est refroidi/chauffe a la temperature T∞

I Difference caracteristique de temperature : 4T = Ti − T∞I Analyse dimensionnelle et similitude :

I La temperature depend de t, 4T , α et x car il n’y a pas de longueur caracteristique :(T − T∞) = F (t, x , α,4T )

I On trouve (T − T∞) = F (x/√αt)

I SoitT − T∞

Ti − T∞= Θ = F (x/

√αt) = F (ζ)


Conduction en regime variable revisite Solution autosemblable

Solution autosemblable

I En posant Θ = (T − T∞)/(Ti − T∞), ζ = x/√αt, il vient :

I∂T

∂t= 4T

∂Θ

∂t= 4T

∂Θ

∂ζ

∂ζ

∂t= 4T

(− x

2t√αt

)∂Θ

∂ζ= −4T

2tζ∂Θ

∂ζ;

II∂T

∂x= 4T

∂Θ

∂ζ

∂ζ

∂x=4T√αt

∂Θ

∂ζ;

I∂2Θ

∂x2=4T√αt

∂2Θ

∂ζ2

∂Θ

∂x=4T

αt

∂2Θ

∂ζ2.

I Alors, l’equation regissant Θ est :

d2Θ

dζ2= −1

2ζ

dΘ

dζ

I Condition initiale : T (x , t = 0) = Ti =⇒ Θ(ζ →∞) = 1


Conduction en regime variable revisite Solution autosemblable

Differentes conditions aux limites =⇒ Differentes solutions

I Conditions aux limites,I Temperature imposee a la surface : T (x = 0, t) = T∞ =⇒ Θ(ζ = 0) = 0I Temperature suffisamment loin de la surface :

T (x →∞, t) = Ti =⇒ Θ(ζ →∞) = 1

I Solution- premiere integration :

dΘ

dζ= C1 e

−ζ2/4, C1 = Cte.

I Deuxieme integration :

Θ = C1

∫ ζ

0

e−ζ2/4 dζ +

Condition aux limitesΘ=0︷︸︸︷

Θ(0)

I Condition Θ(ζ →∞) = 1 conduit a :

1 = C1

∫ ∞0

e−ζ2/4 dζ =⇒ C1 =

1√π.


Conduction en regime variable revisite Solution : T imposee

Solution - continue

I Finalement :

Θ =1√π

∫ ζ

0

e−ζ2/4 dζ =

2√π

∫ ζ/2

0

e−r2

dr ≡ erf(ζ/2)

I Remarques :

I erfc(η) =

∫ ∞0

e−η2dη = 1−

∫ η

0e−η

2dη = 1− erf(η).

I Θ→ 0, 99 quand ζ/2→ 1, 8214I D’ou :

ζ

2=

x

2√αt∼ 1, 8214 ou x ∼ δ99 = 3, 64

√αt.


Conduction en regime variable revisite Exercices

Exercices

I Flux imposee a la surface :

−λ∂T (x = 0, t)

∂t= ϕ0 = Cte.

I Transfert thermique par convection impose a la surface :

−λ∂T (x = 0, t)

∂t= h(T (x = 0, t)− T∞)

I Contact brusque entre deux milieux semi-infinis :

λ1∂T1(x = 0, t)

∂x= λ2

∂T2(x = 0, t)

∂x


Conduction en regime variable revisite Exercices

Probleme I : Temperature sinusoıdale imposee en surface

I On cherche a determiner la temperature au-dessous de la surface de la terre qui estsoumise a une variation sinusoıdale annuelle de temperature ambiante.

I Temperature a la surface T0 cosωt

I ω : frequence d’oscillation annuelle.

Probleme II : Barre d’epaisseur finie en regime transient

II On considere une longue barre rectangulaire d’epaisseur d , de largeur tres grande parrapport a d .

I La barre est a une temperature uniforme T0 a t ≤ 0.

I A l’instant t > 0, la surface y = d est mise en contacte avec une source thermique aTs > T0 tandis que la surface y = 0 est mise en contacte avec une source thermiquea T0.

I Determiner l’evolution de la temperature T (y , t), 0 ≤ y ≤ d , t > 0.


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