CHAPITRE 4 METHODE D - INSA Lyon

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CHAPITRE 4

METHODE D’ANALYSE DU COMPORTEMENT DU BOGIE

L’objectif de ce chapitre est de définir les méthodes qui seront employées dans le chapitre 5 pour analyser l’impact des efforts de fonctionnement sur le chargement du bogie. Le modèle global permet d’obtenir les déplacements et les efforts ou contraintes sous charge en tous points du mécanisme. Pour limiter le champs d’investigation, seuls les efforts transmis par les composants de liaison seront étudiés car ils sont représentatifs des phénomènes qui entrent en jeu dans tout le mécanisme. Dans notre mécanisme, étudier le comportement des composants de liaison revient à analyser deux types de sous-systèmes hyperstatiques :

• les suspensions situées entre le châssis et les boîtes d’essieux, constituées par les ressorts et les articulations élastiques. Ces sous-systèmes sont pré-chargés. Les liaisons sont assurées par des zones de contact avec jeux. Par extension, les ressorts eux-mêmes peuvent être considérés comme des éléments de liaison non-linéaires,

• les liaisons pivot, constituées de paliers à roulements montés par paires. Ces sous-systèmes peuvent être pré-chargés ou non.

L’étude du chapitre 3 a apporté une compréhension du comportement d’ensemble des ressorts sous forme de torseurs d’efforts. Ces torseurs se sont révélés avoir une évolution fortement non linéaire avec les déplacements, en relation avec les zones de contact avec jeux.

Les liaisons pivot, beaucoup plus rigides, ont un comportement d’ensemble plus prévisible. En revanche, la répartition des efforts internes à la liaison est complexe. Elle est conditionnée par l’apparition des jeux entre les bagues et les corps roulants, les déformations de l’environnement et la géométrie. A cause de l’hyperstaticité, elle résulte aussi des rigidités relatives de tous les éléments de la liaison.

La première partie de ce chapitre résume les dénominations des éléments de liaison et la forme donnée aux résultats dans l’analyse : notation des torseurs, graphiques.

Dans la deuxième partie, les liaisons pivot sont étudiées en tant que composants isolés en environnement rigide. Dans un premier temps, leurs réponses à des sollicitations simples sont étudiées, puis des relations analytiques sont proposées pour en estimer le comportement sous un torseur d’efforts quelconque. Le but est de disposer d’un outil pour analyser le chargement des paliers dans le bogie, où ils sont soumis à des combinaisons d’efforts complexes.

La troisième partie défini un état de référence pour l’étude du bogie. L’état de référence est conçu pour quantifier les efforts internes du mécanisme, dus aux éléments pré-chargés dans une situation standard idéale. Au chapitre 5, le bogie sera étudié sous des sollicitations diverses dont les effets seront analysés. Chaque sollicitation sera étudiée indépendamment des autres, comme une perturbation de l’état de référence, afin de pouvoir lier les causes aux conséquences.

Chapitre 4 : Méthode d’analyse du comportement du bogie

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1. NOTATIONS ET FORME DES RESULTATS RECHERCHES

Dans ce chapitre et dans le chapitre 5, des résultats de simulation sont donnés. Ils concernent les ressorts et les paliers à roulement. La dénomination des composants étudiés et les notations utilisées sont résumées ici.

1.1 Dénomination des ressorts

Dans le bogie, les ressorts sont montés par groupes de trois sur les boîtes d’essieux. Au sein d’un groupe donné, la dénomination définie au chapitre 3 est conservée (cf. figure 4.1) :

• ressort n°1 : 3,8 spires utiles, monté à l’avant de la boîte d’essieux,

• ressort n°2 : 6,9 spires utiles, monté à l’intérieur du ressort n°1,

• ressort n°3 : 4,2 spires utiles, monté à l’arrière de la boîte d’essieux.

Ressort n°1

Ressort n°3

Boîte d’essieux

Ressort n°2

1α

2α

3α

Figure 4.1 : Repérage des ressorts et orientation sur les boîtes d’essieux (vue de dessus)

Dans la simulation, les quatre groupes de ressorts du bogie ont les mêmes caractéristiques. Les modèles décrits au chapitre 3 ont été établis d’après les caractéristiques mesurées sur des ressorts réels. En revanche, l’orientation α des ressorts varie d’un groupe à l’autre.

1.2 Dénomination des liaisons pivot et des paliers à roulements

Toutes les liaisons pivot du mécanisme sont assurées par des paires de paliers à roulements. Dans ce chapitre et dans le chapitre 5, les roulements sont identifiés par des numéros. Les quatre liaisons pivot entre les boîtes et les essieux sont assurées par des cartouches de deux roulements à rouleaux coniques, montés en « O ».


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Les noms des liaisons et les numéros des roulements sont les suivants (cf. figure 4.2) :

• liaison pivot de boîte avant gauche : roulements 11 et 12,

• liaison pivot de boîte avant droite : roulements 13 et 14,

• liaison pivot de boîte arrière gauche : roulements 21 et 22,

• liaison pivot de boîte avant droite : roulements 23 et 24.

1413

12 11

Pivot de boîte avant gauche

Pivot de boîte avant droite

x (Avant du bogie)

y (Axe de l’essieu)

z (Verticale ascendante)

Figure 4.2 : Localisation et numérotation des roulements des boîtes d’essieux avant

Les liaisons pivot entre les carters de réducteurs et les essieux sont assurées chacune par deux roulements à rouleaux coniques, montés en « X ». Les noms des liaisons et les numéros de roulements sont les suivants (cf. figure 4.3) :

• liaison pivot principale avant : roulements 101 (gauche) et 102 (droite),

• liaison pivot principale arrière : roulements 201(droite) et 202 (gauche).

Les deux liaisons pivot entre les carters de réducteurs et les arbres intermédiaires sont assurées par des cartouches de deux roulements à rouleaux cylindriques. Les noms des liaisons et les numéros de roulements sont les suivants (cf. figure 4.3) :

• liaison pivot intermédiaire avant : roulements 103 (gauche) et 104 (droite),

• liaison pivot intermédiaire arrière : roulements 203 (droite) et 204 (gauche).

Les roulements 103 et 203 ont deux épaulements sur leur bague extérieure, les roulements 104 et 204 ont quatre épaulements.


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Les deux liaisons pivot entre les carters de réducteurs et les arbres moteurs sont assurées chacune par deux roulements à rouleaux coniques, montés en « O ». Les noms des liaisons et les numéros de roulements sont les suivants (cf. figure 4.3) :

• liaison pivot moteur avant : roulements 105 (gauche) et 106 (droite),

• liaison pivot moteur arrière : roulements 205 (droite) et 206 (gauche).

101 102

103

104

105106

Pivot principale avant

Pivot intermédiaire avant

Pivot moteur avant

x (Avant du bogie)

y (Axe de l’essieu)

z (Verticale ascendante)

Figure 4.3 : Localisation et numérotation des roulements du réducteur avant

1.3 Notation des torseurs d’efforts

L’action d’un élément de structure sur un autre a pour modèle un torseur d’efforts. Elle est transmise par l’intermédiaire d’un composant de liaison ou d’une zone de contact. Les torseurs d’efforts étudiés pour interpréter le chargement du mécanisme sont les suivants :

• torseur d’efforts appliqué par un groupe de ressorts donné sur la boîte d’essieux qui le maintient. Ce torseur est transmis par des zones de contact avec jeux,

• torseur d’efforts d’une liaison pivot, appliqué par son arbre (essieu, arbre intermédiaire ou arbre moteur) sur son carter (boîte d’essieux ou carter de réducteur) et transmis par ses paliers,

• torseur d’efforts d’un palier, appliqué par sa bague intérieure sur sa bague extérieure et transmis par ses corps roulants.


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Dans toutes les liaisons pivot, un point P est défini, sur l’axe de la liaison, à équidistance des deux paliers (cf. figure 4.4). Toutes les liaisons pivot du mécanisme ont un axe parallèle à y.

P y

Figure 4.4 : Centre d’une liaison pivot

Pour les groupes de ressorts, le point P utilisé est le centre de la liaison pivot située dans la boîte d’essieux qui les maintient. La résultante et le moment au point P du torseur transmis par les zones de contact et appliqué par les ressorts sur la boite ont des composantes notées :

Résultante : ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZR

YR

XR

boîteressorts

FFF

F /

r, moment : ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZR

YR

XR

boîteressorts

CCC

PC /

r.

Pour une liaison pivot d’axe y la résultante et le moment au point P du torseur appliqué par son arbre sur son carter ont des composantes notées :


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

YL

XL

carterarbre

FFF

F /

r, moment : ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

XL

carterarbre

C0

CPC /

r.

Pour un palier d’axe y, la résultante et le moment au point P du torseur transmis par les corps roulants et appliqué par l’arbre sur le carter ont des composantes notées :


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

Z

Y

X

BEBI

FFF

F /

r, moment : ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

Z

X

BEBI

C0

CPC /

r.


1.4 Présentation du chargement des éléments de corps roulants

Pour analyser les chargements individuels des corps roulants dans les paliers, des représentations en diagrammes pseudo-polaires sont utilisées (cf. figure 4.5). Les angles sont les positions des corps roulants dans les roulements. Le zéro est situé sur un cercle et non au centre pour faciliter la visualisation. Il est possible, de cette manière-là, de représenter des grandeurs négatives.

Forces Bagues/Rouleaux. (N) : BE (o), BI (+)

1271

3449

4538

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0

Figure 4.5 : Exemple de

Tous les diagrammes so4.2 et 4.3.

x

z

- 98 -

diagramme des forces de contact (en N) entre pistes des bagues et corps roulants

nt ramenés dans le plan (x,z). Le système d’axe est donné sur les figures


- 99 -

2. MECANISME DE CHARGEMENT DES ROULEMENTS A ROULEAUX CONIQUES

2.1 But de l’étude

Les liaisons pivot par roulements à rouleaux coniques sont des sous-systèmes hyperstatiques. Ainsi, la détermination exacte des efforts transmis par les paliers ne peut se faire que par un modèle global prenant en compte la rigidité de chaque corps roulant, des bagues et de l’environnement. Cependant, si une simulation globale du bogie fournit les efforts exacts sur chaque palier, elle ne permet pas d’établir la relation entre les paramètres de chargement du système et les efforts qui en découlent sur les paliers.

Le but de cette étude est d’établir des relations analytiques approchées entre les torseurs d’efforts transmis par les paliers et ceux transmis par la liaison. Pour cela, des simulations des liaisons pivot isolées ont été faites en environnement rigide. Ainsi, les phénomènes inhérents à la constitution interne de la liaison sont pris en compte et l’influence de la déformation de l’environnement est négligée.

Par hypothèse, toutes les liaisons pivot par roulements à rouleaux coniques du bogie obéissent au même mécanisme de chargement : les relations analytiques approchées sont les mêmes aux constantes numériques près.

2.2 Modèle de comportement proposé

Dans le cas général, le système étudié est une liaison par paires de roulements à rouleaux coniques, montés en « O » (cf. figure 4.6) ou en « X » (cf. figure 4.7) sur un bâti encastré. L’arbre, infiniment rigide, est soumis au centre P de la liaison (défini au paragraphe 1.3) à un torseur d’efforts. Les bagues sont infiniment rigides.

y

ROULEMENT 2 ROULEMENT 1

ARBRP

Figure 4.6 : Liaison pivot par roulements à rouleaux coniques montés en « O »


- 100 -

y

ROULEMENT 2ROULEMENT 1

ARBRP

Figure 4.7 : Liaison pivot par roulements à rouleaux coniques montés en « X »

Le torseur des efforts en P transmis par la liaison pivot, appliqués par l’arbre sur le bâti, à travers les paliers, est noté :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

YL

XL

carterarbre

FFF

F /

r, ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

XL

carterarbre

C0

CPC /

r (4.1)

Le torseur des efforts en P transmis par le roulement 1, appliqués par sa bague intérieure sur sa bague extérieure à travers les corps roulants, est noté:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1Z

1Y

1X

1BE1BI

FFF

F /

r, ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1Z

1X

1BE1BI

C0

CPC /

r (4.2)

Le torseur des efforts en P transmis par le roulement 2, appliqués par sa bague intérieure sur sa bague extérieure à travers les corps roulants, est noté:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2Z

2Y

2X

2BE2BI

FFF

F /

r, ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2Z

2X

2BE2BI

C0

CPC /

r (4.3)

L’équilibre des efforts dans la liaison se traduit par les relations :

2BE2BI1BE1BIcarterarbre

2BE2BI1BE1BIcarterarbre

CCCFFF

///

/// rrr

rrr

+=+= (4.4)

A l’intérieur de la liaison et conformément aux relations (4.4) ci-dessus, chaque roulement est soumis à la somme d’une fraction de l’effort appliqué sur la liaison et d’un effort interne :


- 101 -

Roulement 1 Roulement 2

XiXLFX1X FFF −λ= ( ) XiXLFX2X FF1F +λ−=

YiYLFY1Y FFF −λ= ( ) YiYLFY2Y FF1F +λ−=

ZiZLFZ1Z FFF −λ= ( ) ZiZLFZ2Z FF1F +λ−= (4.5)

XiXLCX1X CCC −λ= ( ) XiXLCX2X CC1C +λ−=

ZiZLCZ1Z CCC −λ= ( ) ZiZLCZ2Z CC1C +λ−=

FXλ , FYλ , FZλ , CXλ et CZλ sont des coefficients de répartition compris entre 0 et 1. Ils définissent la proportion de l’effort appliqué sur la liaison qui est reprise par le roulement 1. Les grandeurs XiF , YiF , ZiF , XiC et ZiC sont des efforts internes à la liaison.

Le but de l’étude est d’exprimer analytiquement les coefficients de répartition et les efforts internes en fonction des composantes du torseur d’efforts appliqué sur la liaison.

La force axiale extérieure YLF a un effet fondamentalement différent des autres efforts. Son effet sur les roulements est dissymétrique : elle tend à charger l’un des roulements et à décharger l’autre. Pour cette raison, dans les études qui suivent, nous avons fait varier cette force. Les autres sollicitations, sources d’efforts internes, ont été conservées constantes dans la plupart des simulations.

Les sollicitations élémentaires suivantes sont clairement à la source d’efforts internes :

• déplacement axial de pré-charge ε ,

• force radiale extérieure ZLF ,

• couple extérieure XLC appliqué.

Nous étudierons leurs influences sur la liaison pivot de boîte dans les paragraphes 2.3 à 2.6. Une fois tous les mécanismes de chargement élémentaires élucidés, des relations analytiques générales, valables pour un torseur d’efforts quelconque, sont proposées au paragraphe 2.7 pour les liaisons pivot de boîtes, les liaisons pivot moteurs et les liaisons pivot principales.

2.3 Réponse à un déplacement axial de pré-charge

2.3.1 Sollicitations étudiées

La liaison pivot de boîte est considérée ici. Un déplacement axial de pré-charge ε est imposé à l’arbre, relativement à l’une des bagues intérieures, de telle façon que la portion d’arbre entre les deux bagues soit raccourcie d’une longueur ε . Ce déplacement provoque une charge uniforme des corps roulants. Une force purement axiale YLF est appliquée sur l’arbre au point P (cf. figure 4.7) :


- 102 -

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0F0

F YLcarterarbre /

r, ( ) 0PC carterarbre

rr=/ (4.6)

Quelle que soit la valeur de YLF , le chargement des roulements est de la forme :

• roulement 1 : ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0F0

F 1Y1BE1BI /

r et ( ) 0PC 1BE1BI

rr=/


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0F0

F 2Y2BE2BI /

r et ( ) 0PC 2BE2BI

rr=/

Les forces axiales reprises par les roulements s’écrivent, conformément aux relations (4.5) :

( ) ( ) ( )YLYiYLYLFYYLY FFFFFF ,,,1 εελε −=

( ) ( )[ ] ( )YLYiYLYLFYYLY FFFFFF ,,1,2 εελε +−=

La géométrie du système et les sollicitations autres que YLF sont symétriques par rapport au plan normal à y passant par P (cf. repère de la figure 4.6). Les différentes grandeurs représentées en fonction YLF présentent donc des symétries centrales.

2.3.2 Répartition de la force axiale sur les roulements

Le déplacement de pré-charge ε est fixé à 20 µm et la force axiale YLF appliquée sur la liaison est variable. Le but est de comprendre comment la force axiale YLF se répartit sur les deux roulements (coefficient de répartition FYλ ) et comment la force axiale interne YiF agit.

Les évolutions simulées de 1YF et 2YF en fonction de YLF (cf. figure 4.8) font apparaître trois domaines :

• pour N12384FYL −< , il y a un jeu axial entre les deux bagues du roulement 2 : il ne reprend aucune charge. Le roulement 1 reprend la totalité de la force : YL1Y FF = ,

• pour N12384FN12384 YL >>− , les deux roulements sont chargés. Ils sont tous les deux soumis à la somme d’une fraction de la force YLF et de la force axiale interne,

• pour N12384FYL > , il y a un jeu axial entre les deux bagues du roulement 1 : il ne reprend aucune charge. Le roulement 2 reprend la totalité de la force : YL2Y FF = .


- 103 -

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000

)(NFYL

1YF

2YF

( ) )(, NFm20F YLY µ=ε

Figure 4.8 : Evolution des forces axiales transmises par les roulements

Dans les relations (4.5) il y a interdépendance des fonctions ( )YFY F,ελ et ( )YYi FF ,ε . Il faut donc faire des hypothèses sur l’une des fonctions pour déterminer l’autre.

Dans les domaines où la force axiale YLF est telle qu’un jeu axial apparaît entre les deux bagues d’un roulement, la force axiale interne YiF peut être fixée à 0 car 1YF et 2YF ne sont plus influencés que par la force axiale YLF . Le paramètre ε joue sur les limites de ces domaines mais pas sur les chargements dans ces domaines. En l’absence de jeu axial la force interne axiale YiF est par hypothèse constante et égale à ( )0FYi ,ε .

Pour m20 µ=ε et pour les paliers de boîtes, ( ) N5,57720ε,FYi = .

Dans tous les cas, le coefficient de répartition (cf. figure 4.9) est donné par la relation :

( ) ( ) ( )YL

YLYiYLYYLFY F

FFFFF ,,, 1 εεελ += (4.7)

L’hypothèse que la charge axiale interne est constante dans le domaine central conduit à un coefficient de répartition très proche de 0,5 sur tout ce domaine, comme l’indique la figure 4.9. En effet, comme tous les corps roulants sont chargés uniformément, la charge axiale YLF appliquée sur la liaison pivot a une action directe sur le chargement ou le déchargement des deux roulements. La répartition des forces dépend alors des rigidités axiales respectives des roulements. Les deux roulements n’étant pas soumis à la même charge, leurs rigidités sont légèrement différentes. Le paragraphe suivant le montre en faisant évoluer le déplacement axial de pré-charge ε .


- 104 -

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000

)(NFYL

( )YLFY Fλ

Figure 4.9 : Evolution du coefficient de répartition avec la force axiale

2.3.3 Evolution de la force axiale interne avec le déplacement de pré-charge

Lorsqu’aucune force axiale YLF n’est appliquée sur la liaison pivot, les roulements ne sont soumis qu’à la force axiale interne YiF induite par ε :

( ) ( ) ( )0F0F0F 2Y1YYi ,,, ε=ε−=ε (4.8)

La figure 4.10 présente les variations simulées de la charge axiale interne YiF en fonction du déplacement axial de pré-charge ε pour 0FYL = .

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

ε (µm)

FYi (ε,0) (N)

Figure 4.10 : Evolution de la force axiale interne avec le déplacement de pré-charge


- 105 -

Cette loi de variation, qui dépend de la rigidité axiale des roulements, montre que la relation entre YiF et ε est légèrement non linéaire. La relation suivante, valable pour les paliers de boîtes uniquement, est une approximation parabolique de cette loi (la force est en N et le déplacement de pré-charge en mµ ) :

ε+ε≈ 294,10200,5191 2YiF (4.9)

2.4 Réponse à une force radiale extérieure


La liaison pivot de boîte est considérée ici. Une force radiale extérieure ZLF appliquée sur l’arbre est source d’efforts internes dans la liaison pivot. L’effet d’une force radiale constante combinée à une force axiale YLF est étudié.

Le torseur des efforts appliqués par l’arbre sur le carter, au centre P de la liaison pivot est noté :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

YLcarterarbre

FF0

F /


rr=/ (4.10)

Quelle que soit la valeur de YLF et ZLF , le chargement des roulements est de la forme :


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1Z

1Y1BE1BI

FF0

F /

r et ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00

CPC

1X

1BE1BI /

r


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2Z

2Y2BE2BI

FF0

F /

r et ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00

CPC

2X

2BE2BI /

r



- 106 -

Corps roulants chargés

Corps roulants déchargés

z

y ARBRE

x

FBI/C

FBE/CR

FEp/CR


FZL

P

Figure 4.11 : Chargement de la liaison sous l’action d’une force radiale

La force radiale extérieure ZLF provoque le chargement des corps roulants situés dans la partie supérieure, au niveau des pistes et des épaulements des bagues (cf. figure 4.11). Les corps roulants de la partie basse sont déchargés. Les fractions de la force transmise de la bague intérieure sur la bague extérieure, à travers les corps roulants chargés ont :

• des composantes axiale dirigées vers l’intérieur de la liaison,

• des composantes radiales.

La somme des composantes axiales crée sur chaque roulement une force axiale induite dirigée vers l’intérieur de la liaison. Un couple en P, selon x, est induit sur chaque roulement par les deux types de composantes : les composantes axiales sont localisées sur la partie supérieure du roulement et la somme des composantes radiales est une force, dirigée selon z, qui s’applique dans le plan moyen du roulement.


La figure 4.12 présente les variations simulées de 1YF et 2YF en fonction de YLF pour une force radiale constante N50000FZL = .

La force radiale assure que les corps roulants du haut sont toujours en contact, quelle que soit la charge axiale YLF appliquée. Ainsi, une force axiale interne existe toujours entre les deux roulements.


- 107 -

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000

( ) ( )NN50000FFF ZLYLY =,

( )NFYL

1YF

2YF

Figure 4.12 Evolution des forces axiales reprises par les roulements

On peut faire l’hypothèse que la composante interne YiF des forces axiales reprises par les roulements ne dépend que de la force radiale ZLF et de la géométrie des corps roulants. Les relations (4.5) s’écrivent alors :

( ) ( ) ( )ZLYiYLZLYLFYZLYL1Y FFFFFFFF −λ= ,,

( ) ( )[ ] ( )ZLYiYLZLYLFYZLYL2Y FFFFF1FFF +λ−= ,,

Les résultats de la simulation permettent d’obtenir la charge interne par la relation :

( ) ( ) ( )ZL2YZL1YZYi F0FF0FFF ,, =−= (4.11)

Ainsi, pour N50000FZL = et pour les paliers de boîtes, on obtient : ( ) N36631FF ZLYi ,= .

Le coefficient de répartition de la force axiale (cf. figure 4.13) est obtenu à partir des simulations par la relation :

( ) ( ) ( )YL

ZLYiZLYL1YZLYLFY F

FFFFFFF +=λ

,, (4.12)


- 108 -

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000

( )NFYL

( )N50000FF ZLYLFY =λ ,

Figure 4.13 : Coefficient de répartition de la force axiale

Les variations du coefficient de répartition avec la charge axiale extérieure YLF s’expliquent par l’analyse du chargement des corps roulants dans les paliers. Ainsi, pour 0FYL = , les deux roulements ont un chargement identique (cf. figure 4.14), d’où un coefficient de répartition de 0,5. Les corps roulants du haut sont chargés tandis que ceux du bas sont totalement déchargés.


ROULEMENT n°1

1271

3449

4538

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0

1271

3449

4538

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°2

Figure 4.14 : Forces de contact (en N) entre pistes de bagues et corps roulants pour 0=YLF et N50000FZL =

Pour une charge axiale NFYL 10000= , le nombre de corps roulants chargés du roulement 1 diminue. Par contre, dans le roulement 2, tous les corps roulants sont chargés et aucun jeu ne persiste entre les corps roulants et les bagues (cf. figure 4.15). La rigidité axiale du roulement 2 est alors nettement plus élevée que celle du roulement 1. En conséquence, le coefficient de répartition est proche de 0.


- 109 -

1010

3030

5051

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°1

1142

3426

5710

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°2

Figure 4.15 : Forces de contact (en N) entre pistes de bagues et corps roulants pour N10000FYL = et N50000FZL =

2.4.3 Couple induit par la force radiale

La force radiale induit, en P (centre de la liaison), un couple dans la direction x car elle provoque des forces axiales internes localisées sur les corps roulants du haut et des forces radiales appliquées dans les plans moyens des roulements. Comme aucun couple extérieur n’est appliqué sur l’arbre, les relations (4.5) appliquées à ce couple ne font intervenir que le couple interne :

( ) ( )ZLYLXiZLYLX FFCFFC ,,1 −=

( ) ( )ZLYLXiZLYLX FFCFFC ,,2 =

Les simulations (cf. figure 4.16) indiquent que le couple interne induit est quasiment indépendant de la force axiale YLF appliquée sur l’arbre : ( ) ( )ZLXiZLYLXi F0CFFC ,, ≈ .

Pour N50000FZL = et pour les paliers de boîtes, on obtient : ( ) mN61452F0C ZLXi .,, −= .

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000

( )NFYL

( )N50000FFC ZLYLx =,

1XC

2XC

Figure 4.16 : Couple induit par la force axiale


- 110 -

2.4.4 Répartition de la force radiale entre les roulements

Les forces radiales reprises par les roulements s’écrivent :

( ) ( ) ( )ZLYLZiZLZLYLFZZLYL1Z FFFFFFFFF ,,, −λ=

( ) ( )[ ] ( )ZLYLZiZLZLYLFZZLYL2Z FFFFFF1FFF ,,, +λ−=

En supposant qu’il n’y a pas de force radiale interne ( 0FZi = ), le coefficient de répartition est donné par la relation :

( ) ( )ZL

ZLYL1ZZLYLFZ F

FFFFF ,, =λ (4.13)

Pour N50000FZL = , les simulations donnent un coefficient de répartition radial FZλ qui varie légèrement avec YLF mais reste proche de 0,5 (cf. figure 4.17).

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000

( )NFYL

( )N50000FF ZLYLFZ =λ ,

Figure 4.17 : Coefficient de répartition de la force radiale


- 111 -

2.4.5 Evolution des efforts internes avec la force radiale

Aux paragraphes 2.4.2 et 2.4.3, il apparaît que la force axiale interne YiF et le couple interne induit XiC ne dépendent que de la force radiale extérieure ZLF . Des simulations, sous une force axiale extérieure YLF nulle et sous une force radiale ZLF variable, révèlent que :

• la relation entre YiF et ZLF est linéaire. Pour les paliers de boîtes : ZLYi F1320F ,= ,

• la relation entre XiC et ZLF est linéaire. Pour les paliers de boîtes : ZLXi F02900C ,−= . (La force est en N et le couple en N.m).

Remarque : si, en plus de la force radiale ZLF appliquée dans la direction z, une force radiale XLF est appliquée dans la direction x (changement de repère), les effort internes induits sont :

• force axiale interne : 2ZL

2XLYi FF1320F += , ,

• couple interne dans la direction x : ZLXi F02900C ,−= ,

• couple interne dans la direction z : XLZi F02900C ,= .

2.5 Combinaison d’une pré-charge axiale et d’une force radiale


La liaison pivot de boîte est considérée ici. Les paragraphes 2.3 et 2.4 ont montré qu’un déplacement axial de pré-charge ε et une force radiale extérieure ZLF étaient des sources de forces axiales internes. Cependant, elles agissent selon des principes différents :

• un déplacement axial de pré-charge ε appliqué seul entraîne un coefficient de répartition FYλ proche de 0,5 dû à une répartition homogène de la charge sur tous les corps roulants.

De plus, si un des roulements se décharge complètement sous l’action de la charge axiale extérieure YLF , la pré-charge ε n’influence plus le chargement,

• la force radiale appliquée seule assure qu’une partie, au moins, des corps roulants soit sous charge dans les deux roulements. Lorsque la force axiale YLF varie, la force axiale interne YiF reste constante et le coefficient de répartition FYλ varie entre 0 et 1.

Des simulations ont été faites pour comprendre comment ces deux sources de force axiale interne se combinent. Le torseur d’effort suivant est appliqué sur la liaison pivot :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0FF

F YL

ZL

carterarbre /


rr=/ (4.14)


- 112 -

La force radiale appliquée est constante : N15000FZL = . Un déplacement de pré-charge constant est appliqué : m20 µ=ε .

Quelle que soit la valeur de YLF , le chargement des roulements est de la forme :


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1Z

1Y1BE1BI

FF0

F /

r et ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00

CPC

1X

1BE1BI /

r


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2Z

2Y2BE2BI

FF0

F /

r et ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00

CPC

2X

2BE2BI /

r



La répartition de la force axiale entre les deux roulements (cf. figure 4.18) indique que :

• pour N7000FN7000 YL <<− , les forces axiales 1YF et 2YF transmises par les roulements suivent le schéma obtenu avec un déplacement de pré-charge seul,

• en dehors de cette plage, 1YF et 2YF suivent le schéma obtenu avec une force radiale seule.

Avec une force radiale seule ou un déplacement axial de pré-charge seul, la force axiale interne YiF était supposée ne pas dépendre de la charge axiale extérieure YLF tant que les roulements

restaient partiellement chargés. Avec une combinaison des deux, les roulements sont toujours chargés, donc la force axiale interne est indépendante de YLF :

( ) ( ) ( )ZL2YZL1YZLYi F0FF0FFF ,,,,, ε=ε−=ε (4.15)


- 113 -

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000

( ) ( )NFF YLY

1YF

2YF

m20N50000FZL µ=ε= et

( )NFYL

Figure 4.18 : Forces axiales reprises par les roulements

Dans cette étude, les forces axiales s’expriment donc de la manière suivante :

( ) ( ) ( )ZLYiYLZLYLFYZLYLY FFFFFFFF ,,,,,1 εελε −=

( ) ( )[ ] ( )ZLYiYLZLYLFYZLYLY FFFFFFFF ,,,1,,2 εελε +−=

Le coefficient de répartition s’obtient à partir des simulations (cf. figure 4.19) par la relation :

( ) ( ) ( )YL

ZLYiZLYL1YZLYLFY F

FFFFFFF ,,,,, ε+ε=ελ (4.16)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000

( )NFYL

( )YLFY Fλm20N50000FZL µ=ε= et

Figure 4.19 : Coefficient de répartition de la force axiale


- 114 -

Le déplacement de pré-charge ε permet de maintenir le coefficient de répartition FYλ proche de 0,5 sur la plage de valeurs N7000FN7000 YL <<− . En dehors de cette plage, la force axiale extérieure se reporte sur l’un des roulements.

L’explication de ce phénomène est donnée par l’analyse de la répartition de la charge sur les corps roulants : lorsque la force axiale extérieure YLF est nulle, le déplacement de pré-charge ε est tel que tous les corps roulants sont chargés (cf. figure 4.20).

760.88

1331.5

1902.2

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°1

760.88

1331.5

1902.2

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°2

Figure 4.20 : Forces de contact (en N) entre pistes de bagues et corps roulants pour 0FYL =

Pour N5000FYL = , la partie inférieure du roulement 1 est pratiquement déchargée (cf. figure 4.21).

279.1

837.3

1395.5

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°1

684.21

1270.7

1857.1

2443.6

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°2

Figure 4.21 : Forces de contact (en N) entre pistes de bagues et corps roulants pour N5000FYL =

Pour des forces axiales YLF extérieures plus élevées, les corps roulants du bas du roulement 1 sont totalement déchargés (cf. figure 4.22, pour N10000FYL = ) et le coefficient de répartition axial

FYλ chute.


- 115 -

En conclusion :

• la charge radiale ZLF tend à déséquilibrer la charge entre les corps roulants du haut et ceux du bas,

• le déplacement axial de pré-charge ε tend au contraire à l’homogénéiser,

• le nombre de corps roulants chargés détermine la capacité d’un roulement à encaisser une charge axiale et influence donc le coefficient de répartition FYλ .

259.76

779.28

1298.8

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°1

642.58

1927.7

3212.9

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°2

Figure 4.22 : Forces de contact (en N) entre pistes de bagues et corps roulants pour N10000FYL =

2.6 Réponse à un couple extérieur


La liaison pivot de boîte est considérée ici. Le torseur d’efforts suivant est appliqué entre l’arbre et le carter au centre P de la liaison pivot :

0F carterarbre

rr=/ , ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00

CPC

XL

carterarbre /

r (4.17)

Quelle que soit la valeur de XLC , le chargement des roulements est de la forme :


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1Z

1Y1BE1BI

FF0

F /

r et ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00

CPC

1X

1BE1BI /

r


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2Z

2Y2BE2BI

FF0

F /

r et ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00

CPC

2X

2BE2BI /

r


- 116 -

Le mécanisme de chargement possède des analogies avec celui provoqué par une force radiale : sur le roulement 1, les corps roulants ne sont chargés que dans la partie supérieure et sur le roulement 2, les corps roulants ne sont chargés que dans la partie basse. De ce fait, des forces axiales et des couples apparaissent sur les roulements.

Corps roulants chargés

Corps roulants déchargés

z

y ARBRE

x

FBI/C

FBE/CR

FEp/CR


P

CXL

Figure 4.23 : Chargement de la liaison sous l’action du couple XLC

2.6.2 Réponse des roulements à un couple extérieur

Des simulations ont été faites en faisant évoluer le couple XLC entre 0 et 10000 N.m. La réponse du système est rigoureusement linéaire. Le couple XLC appliqué sur la liaison pivot induit une force axiale interne YiF et une force radiale interne ZiF . Les forces sont exprimées en N et les couples en N.m :

XLYi C132F ,=

XLZi C048F ,−=

Les roulements étant soumis à :

Yi1Y FF −=

Yi2Y FF =

Zi1Z FF −=

Zi2Z FF =

Le couple XLC appliqué sur la liaison pivot se répartit de manière égale entre les deux roulements :

XL1X C50C ,=

XL2X C50C ,=


- 117 -

Par conséquent, il n’y a pas de couple interne induit ( 0CXi = ) et le coefficient de répartition est 50CX ,=λ .

Remarque : si en plus du couple XLC appliqué dans la direction x un couple ZLC est appliqué dans la direction z (changement de repère) les efforts internes induits sont :

• force axiale interne : 2ZL

2XLYi CC132F += , ,

• force radiale interne dans la direction x : ZLXi C048F ,= ,

• force radiale interne dans la direction z : XLZi C048F ,−= .

Les couples XLC et ZLC se répartissent de manière égale entre les deux roulements ( 50CZCX ,=λ=λ ).

2.7 Relations analytiques générales

Les caractéristiques de toutes les liaisons pivot du bogie sont données dans l’annexe E.

2.7.1 Liaison pivot de boîte d’essieux

Dans le cas général, une liaison pivot d’axe y et de centre P est soumise au torseur d’effort quelconque suivant :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

YL

XL

carterarbre

FFF

F /

r, ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

XL

carterarbre

C0

CPC /

r.

Les paragraphes précédents ont permis de comprendre les mécanismes qui gouvernent les coefficients de répartition et les efforts internes.

Les coefficients de répartition FXλ , FZλ , CXλ et CZλ sont très proches de 0,5. De légères fluctuations (de l’ordre de 0,05) sont provoquées par la force axiale YLF et éventuellement par les autres composantes du torseur.

Le coefficient de répartition axial FYλ dépend du chargement des deux roulements :

• Si tous les corps roulants d’un des roulements sont chargés et que l’autre roulement n’est que partiellement chargé, la force axiale extérieure YLF se répartit sur le roulement le plus chargé ( FYλ est proche de 0 ou de 1),

• si les deux roulements sont, soit tous les deux partiellement chargés, soit tous les deux entièrement chargés, le coefficient FYλ est compris entre 0 et 1. Il est d’autant plus proche de 0,5 que les états de chargement des roulements sont similaires.


- 118 -

Les efforts internes de la liaison pivot de boîte obéissent aux lois suivantes :

• ZLXi C048F ,= ,

• XLZi C048F ,−= ,

• ZLXi F02900C ,−= ,

• XLZi F02900C ,= .

Il y a trois sources de forces internes axiales : le déplacement axial de pré-charge ε , les forces radiales extérieures XLF et ZLF et les couples extérieurs XLC et ZLC . Ces trois sources modifient la répartition de la charge sur les corps roulants mais d’après des principes incompatibles entre eux : le déplacement de pré-charge tend à homogénéiser la charge, les forces radiales augmentent la charge des corps roulants sur un côté de la liaison pivot et la diminue sur l’autre. Enfin, les couples chargent ou déchargent les roulements sur des côtés opposés.

Si ces sollicitations sont appliquées seules, les forces axiales internes induites sont, pour la liaison pivot de boîte :

• pour une force radiale : 2ZL

2XLYi FF1320F += , ,

• pour un couple extérieur : 2ZL

2XLYi CC132F += , ,

• pour un déplacement de pré-charge : ε+ε≈ 294,10200,5191F 2Yi

( YiF est en N et ε en mµ ).

Si plusieurs sollicitations sont appliquées simultanément, la force axiale interne n’est pas la somme des contributions ci-dessus. Seul un calcul global permet d’obtenir la valeur de YiF .

2.7.2 Liaison pivot principale

La liaison pivot principale est constituée de deux roulements à rouleaux coniques montés en « X » (cf. figure 4.3). Les relations analytiques qui caractérisent son comportement sont analogues à celles de la liaison de boîte, mais les valeurs numériques qu’elles contiennent sont différentes. Des simulations sont été faites pour les déterminer.

Les efforts internes obéissent aux lois suivantes :

• ZLXi C5911F ,= ,

• XLZi C5911F ,−= ,

• ZLXi F02010C ,−= ,

• XLZi F02010C ,= .


- 119 -

Les forces axiales internes dépendent du déplacement axial de pré-charge ε , des efforts radiaux extérieurs XLF et ZLF et des couples extérieurs XLC et ZLC . Si ces sollicitations sont appliquées seules, les forces axiales internes induites sont :

• pour une force radiale : 22210,0 ZLXLYi FFF +−= ,


2XLYi CC874F +−= , ,



La force axiale interne YiF est négative à cause du montage en « X ».

2.7.3 Liaison pivot moteur

La liaison pivot moteur est constituée de deux roulements à rouleaux coniques montés en « O » (cf. figure 4.3). Les relations analytiques qui caractérisent son comportement sont analogues à celles de la liaison de boîte, mais les valeurs numériques qu’elles contiennent sont différentes. Des simulations sont été faites pour les déterminer.

Les efforts internes de la liaison pivot moteur obéissent aux lois suivantes :

• ZLXi C994F ,= ,

• XLZi C994F ,−= ,

• ZLXi F04950C ,−= ,

• XLZi F04950C ,= .

Les forces axiales internes dépendent du déplacement axial de pré-charge ε , des forces radiales extérieures XLF et ZLF et des couples extérieurs XLC et ZLC . Si ces sollicitations sont appliquées seules, les forces axiales internes induites sont :

• pour une force radiale : 2ZL

2XLYi FF1750F += , ,


2XLYi CC751F += , ,




- 120 -

2.7.4 Liaison pivot intermédiaire

Les liaisons intermédiaires du réducteur sont constituées de roulements à rouleaux cylindriques (cf. figure 4.24). Le roulement 1 possède quatre épaulements. Le roulement 2 possède deux épaulements sur la bague extérieure et aucun sur la bague intérieure.

y


ARBRP

Figure 4.24 : Liaison pivot par roulements à rouleaux cylindriques

Les similitudes géométriques avec les roulements à rouleaux coniques (un cylindre est un cône dont l’angle tend vers 0) suggèrent que le comportement obéit à des lois de même forme. Cependant, les différences sont les suivantes :

• le déplacement de pré-charge ε n’a pas d’effet,

• la force axiale est entièrement reprise par le roulement 1,

• les forces radiales et les couples extérieurs n’induisent aucune force axiale.

Le comportement des paliers de cette liaison est donc décrit par les relations analytiques (4.5), dans lesquelles les coefficients de répartition sont approchés par :

• 50CZCXFZFX ,=λ=λ=λ=λ

• 1FY =λ

Les approximations des efforts internes ont été déterminées par des simulations sur une liaison pivot en environnement rigide :

• ZLXi C56F ,≈

• 0FYi =

• XLZi C56F ,−≈

• ZLXi F034750C ,−=

• XLZi F034750C ,=

Les couples induits en P sur les roulements par les forces radiales extérieures sont dus exclusivement au fait que les forces radiales 1ZF et 2ZF s’appliquent dans le plan moyen du roulement qui est distant de P.


- 121 -

3. DEFINITION D’UN ETAT DE REFERENCE POUR L’ETUDE DU BOGIE

3.1 Problématique

Le comportement du bogie est étudié au chapitre 5 sous diverses sollicitations et conditions de fonctionnement :

• configuration interne du bogie : orientation des ressorts,

• force verticale appliquée sur le châssis (poids de la caisse),

• force latérale appliquée sur le châssis (inertie de la caisse en courbe),

• couples moteurs.

Afin de différencier l’effet de chaque paramètre sur le comportement du bogie, un état de référence est établi. Les paramètres étudiées sont appliqués un par un sur l’état de référence afin de juger des perturbations qu’ils y apportent. Certaines sollicitations (force latérale, couples moteurs) ou conditions de fonctionnement (orientation des ressorts) ont un effet dissymétrique sur le chargement du bogie. L’état de référence est choisi de manière à minimiser toute contribution dissymétrique : la force latérale et le couple moteur appliqués sont nuls. La force verticale à appliquer sur le bogie et l’orientation des ressorts sont plus difficiles à choisir car ils déterminent les efforts internes introduits par les ressorts.

L’étude menée au chapitre 3 a montré que les ressorts de boîtes d’essieux, lorsqu’ils sont comprimés verticalement tout en étant maintenus latéralement à leurs extrémités, transmettent au niveau de leurs zones de contact avec le reste du bogie, un effort vertical et un effort latéral. L’effort latéral, nommé effort de chasse, peut atteindre jusqu’à 10 % de la valeur de l’effort vertical. Sa répercussion sur le chargement du mécanisme dépend de sa direction.

Dans la pratique, la direction de l’effort de chasse est mesurée individuellement pour chaque ressort sous une charge de référence. Sur la chaîne de montage, les ressorts sont orientés dans les boîtes d’essieux de manière à ce que leurs efforts de chasse soient dirigés dans la direction longitudinale du bogie et vers l’intérieur des boîtes d’essieux. Au cours du fonctionnement du train, aucun dispositif n’empêche les ressorts de tourner sur eux-mêmes.

Dans un premier temps, nous conduirons dans cette partie une analyse d’un état idéal de chargement. Les résultats obtenus ici serviront de référence pour les situations étudiées au chapitre 5.


- 122 -

3.2 Contrôle de la direction des efforts de chasse

3.2.1 Définition de l’effort de chasse

Dans le bogie, les ressorts sont en contact avec jeux avec les boîtes d’essieux (extrémité inférieure) et le châssis (extrémité supérieure). La force exercée par un ressort donné sur la boîte d’essieux qui le maintient est de la forme :

( )( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−θθ

=

V

CC

CC

essieuxdBoîteressort

FFF

F sincos

'/

r

Le ressort est en équilibre statique. La force qu’il exerce sur le châssis est donc exactement opposé :

essieuxdBoîteressortChâssisressort FF '//

rr−=

VF est l’effort de compression vertical.

CF et Cθ sont respectivement la norme et la direction de l’effort de chasse, repérée par rapport à l’axe x du repère associé au bogie (cf. figure 4.25).

3.2.2 Charge verticale à appliquer sur le châssis

Dans le chapitre 3, l’évolution de la direction Cθ de l’effort de chasse d’un ressort avec sa hauteur de compression a été étudiée dans des conditions particulières : le ressort était soumis à sa seule pré-charge et maintenu entre deux plans parallèles, les déplacements latéraux de ses extrémités étant bloqués. Dans le bogie sous charge, les boîtes d’essieux basculent autour de l’essieu de sorte que les surfaces d’appui ne sont plus parallèles et que le déplacement latéral relatif des extrémités n’est plus nul.

Le comportement des ressorts dans le mécanisme sous charge est d’autant plus difficile à maîtriser qu’il est fortement non linéaire. Cette non linéarité de comportement a deux causes : la première est la présence de contacts avec jeux entre les spires des ressorts et aux interfaces entre les ressorts et les pièces qui les maintiennent. La fermeture des jeux modifie brutalement l’équilibre des efforts dans le système, particulièrement lorsque des spires deviennent jointives, et introduit des discontinuités dans son comportement. La deuxième cause de non linéarité est purement géométrique : le corps d’un ressort subit une modification de géométrie importante entre son état à vide et son état sous charge. Cet aspect est pris en compte par la méthode de pré-charge décrite dans le paragraphe 3.3 du chapitre 1. Le principe est de linéariser la rigidité de la structure au voisinage d’un état déformé donné. Dans la simulation du bogie complet, la non linéarité géométrique est prise en compte une fois pour toutes car l’état déformé de pré-charge est le même pour tous les cas de chargements étudiés.

Afin de rendre prévisibles les directions Cθ des efforts de chasse dans le bogie sous charge, la charge verticale appliquée sur le châssis dans cette étude est calculée pour contrebalancer exactement les efforts internes de pré-charge des ressorts. Ainsi, leurs faces d’appui sont maintenues pratiquement parallèles et distantes de 262 mm. Malgré ces précautions, les directions et


- 123 -

normes des efforts de chasse des ressorts dans le bogie sous charge seront légèrement différentes de celles des mêmes ressorts soumis à leurs seules pré-charges et maintenus entre deux plans parallèles. Les différences sont dues au fait que les interactions des ressorts avec leur environnement extérieur sont différentes.

Le tableau suivant résume les déplacements de pré-charge appliqués aux ressorts depuis leurs hauteurs à vide pour qu’ils atteignent une hauteur de 262 mm. L’effort vertical de compression correspondant est donné (il a été calculé lors de l’étude du chapitre 3) :

Déplacement vertical de pré-charge

Effort vertical de compression VF

Ressort n°1 80 mm N6,22154F 1V =



Comme il y a quatre groupes de trois ressorts dans le bogie, la charge verticale à appliquer sur le châssis est de :

( ) N218737FFF4F 3V2V1VChassis =++=

3.2.3 Orientation des ressorts

Les ressorts sont orientés conformément à la configuration de montage dans la pratique : les efforts de chasse estimés sont dirigés dans la direction longitudinale du bogie, vers l’intérieur des boîtes d’essieux (cf. figure 4.25). Cette configuration équilibre au maximum les efforts internes du mécanisme.

y

x Ressort n°1

Ressort n°3

AVANT ARRIERE

GAUCHE

DROITE

Boîte d’essieux

Ressort n°2

Figure 4.25 : Efforts de chasse dirigés vers l’intérieur des boîtes d’essieux


- 124 -

Les résultats de l’étude du chapitre 3 ont donné les directions d’efforts de chasse Cθ des ressorts soumis à leur seule pré-charge. Les modèles des ressorts ont été ré-orientés pour donner aux angles

Cθ les valeurs désirées. Ces valeurs sont données dans le tableau suivant (de faibles erreurs de positionnement ont été commises). Les groupes de ressorts utilisés à gauche et à droite du bogie sont positionnés de manière identique.

Avant du bogie Arrière du bogie

Ressort n°1 178,9° -1,1°

Ressort n°2 180,0° 0,0°

Ressort n°3 -0,2° 179,8°

3.2.4 Efforts de chasse sous charge

Dans la simulation du bogie complet sous charge, les ressorts interagissent avec les composants du mécanisme et les directions des efforts de chasse Cθ évoluent légèrement. Elles sont résumées dans le tableau ci-dessous pour les quatre groupes de ressorts. Les différences avec les simulations des ressorts seuls n’excèdent pas 8°.


Boîte gauche Boîte droite Boîte gauche Boîte droite

Ressort n°1 182,1° 176,0° -4,0° 2,1°

Ressort n°2 185,9° 177,3° -2,7° 5,9°

Ressort n°3 -7,9° 5,9° 185,9° 172,1°

Le tableau suivant résume les composantes des torseurs d’efforts appliqués par les groupes de ressorts sur leurs boîtes d’essieux respectives. Les moments sont évalués au centre des liaisons pivot situées sous les boîtes concernées (cf. paragraphe 1.3).

Du point de vue géométrique, le modèle du bogie présente une symétrie axiale parfaite par rapport à l’axe vertical qui passe au centre du bogie (cf. figure 2.1 du chapitre 2). Les positions des ressorts et le chargement appliqué respectent cette symétrie (ce qui serait faux en présence de couples moteurs). Les torseurs calculés reflètent donc rigoureusement cette symétrie axiale.


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Boîte gauche Boîte droite Boîte gauche Boîte droite ( )NFXR -1059,7 -1021,5 1021,5 1059,7

( )NFYR -358,0 361,6 -361,6 358,0

( )NFZR -54044,1 -54060,0 -54060,0 -54044,1

( )mNCXR . 99,8 -137,2 137,2 -99,8

( )mNCYR . 266,2 282,0 -282,0 -266,2

( )mNCZR . 14,9 -3,1 -3,1 14,9

En revanche, les composantes des torseurs ne sont pas symétriques par rapport au plan normal à y passant par le centre du bogie pour deux raisons :

• le réducteur est monté sur un côté de l’essieu. Bien que le moteur n’applique pas d’effort, le réducteur a une contribution en terme de rigidité,

• tous les ressorts d’un même type ont une hélice orientée dans le même sens, de sorte que les ressorts situés à gauche ne sont pas symétriques de ceux positionnés à droite.

Dans la direction x, l’effort de chasse du ressort n°3 compense une partie des efforts de chasse des ressorts n°1 et n°2. L’ensemble engendre une composante XRF de l’ordre de 1000 N qui est reprise par les articulations élastiques car l’essieu est libre de tourner. Ce point est détaillé plus loin. Les composantes YRF , XRC et ZRC traduisent les composantes latérales résiduelles des ressorts sous charge. Les composantes YRC sont reprises entièrement par les articulations élastiques.

3.3 Analyse des efforts transmis par les paliers

3.3.1 Chargement des liaisons pivot

Le chargement des liaisons pivot du bogie sera étudié dans le chapitre 5 sous différentes sollicitations. Ce chargement est étudié dans ce paragraphe sur l’état de référence afin de pouvoir établir des comparaisons.

Les liaisons pivot des réducteurs ne sont soumises à aucun effort notable car les couples moteurs sont nuls dans l’état de référence.

Les quatre liaisons pivot des boîtes d’essieux sont étudiées. Les torseurs des efforts en P transmis par les liaisons et appliqués par les essieux sur les boîtes à travers les paliers sont notés :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

YL

XL

boîteessieu

FFF

F /

r, ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

XL

boîteessieu

C

CPC 0/

r


- 126 -

Le point P est le centre de la liaison pivot étudiée. La numérotation des roulements et le système d’axes sont donnés au paragraphe 1.2.

Liaison pivot avant gauche

(Roulements 11 et 12)

Liaison pivot avant droite

(Roulements 13 et 14) ( )NFXL -4,8 8,2

( )NFYL 574,3 -568,5

( )NFZL 54658,8 54708,1

( )mNCXL . -171,1 198,1

( )mNCZL . -111,1 96,1

Liaison pivot arrière gauche

(Roulements 21 et 22)

Liaison pivot arrière droite

(Roulements 23 et 24) ( )NFXL -8,2 4,8

( )NFYL 569,0 -573,8

( )NFZL 54708,5 54658,3

( )mNCXL . -198,1 171,2

( )mNCZL . 96,1 -111,1

Dans la direction x, les essieux sont en équilibre sous l’action des réducteurs et des liaisons pivot (les roues sont libres de tourner). Or les réducteurs n’appliquent qu’un effort très faible car les bielles qui les relient au châssis assurent des liaisons très souples dans cette direction. Les composantes XLF sont donc presque nulles.

Les composantes YLF , XLC et ZLC s’opposent à l’action des articulations élastiques et des composantes latérales résiduelles des ressorts sous charge sur les boîtes d’essieux.

Les efforts transmis par une liaison pivot dans son ensemble dépendent avant tout de sa fonction : assurer une transmission rigide des efforts selon tous les DDL sauf la rotation selon y. En revanche une liaison pivot est un sous-système hyperstatique dans lequel les efforts sont couplés aux déformations. La relation entre le chargement de chacun des roulements et celui de la liaison pivot est donc complexe. Dans la partie 2, il a été mis en évidence que les torseurs d’efforts transmis par les roulements sont la somme de deux contributions :

• une contribution « directe » des efforts appliqués sur la liaison pivot : ceux-ci se répartissent DDL par DDL sur les deux roulements dans des proportions définies par des coefficients de répartition,


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• une contribution « indirecte » des efforts appliqués sur la liaison pivot : des efforts internes induits par des DDL différents apparaissent sur les roulements. Cette contribution a une valeur exactement opposée sur chacun des deux roulements.

Au paragraphe 2.7, des relations analytiques approchées sont proposées pour estimer la valeur et la provenance de ces contributions. Ces relations sont approchées car elles supposent un environnement idéalisé parfaitement rigide et supposent que les effet des composantes des torseurs appliqués n’interfèrent pas entre eux.

Dans la suite, les résultats suivants sont donnés pour chacun des roulements :

• contributions estimées, directes (efforts transmis) et indirectes (efforts internes induits),

• efforts estimés (somme de ces contributions),

• efforts calculés par la simulation globale.

3.3.2 Analyse du chargement des paliers d’une des liaisons pivot de boîte

Comme toutes les liaisons pivot de boîtes sont soumises à des torseurs d’efforts similaires, seuls les paliers de la liaison avant gauche sont étudiés dans ce paragraphe. Les résultats concernant les autres liaisons de boîtes sont donnés en annexe F1.

Les paliers du réducteurs ne transmettent que des efforts négligeables dus aux déformations du carter, entraînées par le déplacement résiduel du châssis sous charge. Leurs chargements ne sont par analysés ici.

Le coefficient de répartition de la force axiale FYλ dépend du nombre respectif de corps roulants chargés dans les roulements. Les diagrammes de chargement des corps roulants (cf. figure 4.26) indiquent que les deux roulements ont des chargements partiels et très similaires. Le coefficient de répartition axial est donc estimé à 5,0FY =λ .

Les forces axiales internes YiF calculées par les relations analytiques approchées à partir des composantes du torseur appliquées séparément sont :

• forces radiales seules : N9,7214FF132,0F 2ZL

2XLYi =+= ,

• couples seuls : N5,434CC13,2F 2ZL

2XLYi =+= .

Une simulation sur une liaison pivot identique, isolée et en environnement rigide, indique que la force axiale interne induite par les couples et les forces radiales est N7320FYi = . Elle est due majoritairement aux forces radiales.


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Le tableau suivant résume les contributions estimées relatives à la liaison pivot.

Composantes transmises Composantes internes induites )(, NF50 XL -2,4 )(, NC048F ZLXi = -893,2

)(NFYLFYλ 287,2

( ) )(NF1 YLFYλ− 287,2 )(NFYi 7320,0

)(, NF50 ZL 27329,4 )(, NC048F XLZi −= 1375,6

).(, mNC50 XL -85,5 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1585,1

).(, mNC50 ZL -55,5 ).(, mNF02900C XLZi = -0,1

Le tableau suivant donne les composantes obtenues par les relations analytiques (estimations) et les valeurs calculées par la simulation globale du bogie. La corrélation est bonne (écart de 4,6 % au maximum).

Roulement 11 Roulement 12

Simulation Estimation Ecart Simulation Estimation Ecart

( )NFX 934,0 890,8 4,6 % -938,8 -895,6 4,6 %

( )NFY -7101,0 -7032,9 1,0 % 7675,3 7607,2 0,9 %

( )NFZ 26671,6 25953,8 2,7 % 27987,2 28705,0 2,6 %

( )mNCX . 1521,8 1499,6 1,5 % -1693,0 -1670,7 1,3 %

( )mNCZ . -56,5 -55,4 1,9 % -54,6 -55,7 2,0 %

Dans cette simulation, les efforts YF et XC sont dus presque exclusivement à leurs composantes

internes YiF et XiC . Celles-ci sont induites par la force radiale ZLF .

Des différences de forces radiales XF et ZF sont observées entre les deux roulements. Elles sont induites par les couples XLC et ZLC qui sont des effets indirects des forces latérales résiduelles des ressorts. Dans les simulations du chapitre 5, ces différences seront plus marquées.


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ROULEMENT n°11

1369

2542

3716

4889

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0

1364

2533

3702

4871

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°12

Figure 4.26 : Forces de contact (en N) entre pistes de bagues et corps roulants dans les roulements 11 et 12

4. CONCLUSION

Les liaisons pivots par paires de roulements à rouleaux coniques ou cylindriques sont des sous-systèmes hyperstatiques rigides dont le chargement interne dépend du torseur d’efforts transmis par la liaison, de sa constitution interne et de ses interactions avec les déformations de l’environnement. L’environnement a un effet perturbateur qui modifie la distribution des efforts mais ne change pas fondamentalement le mécanisme de chargement. Celui-ci est essentiellement lié à la géométrie des bagues et des corps roulants.

Une série de simulations numériques de tous les types de liaisons pivot du bogie a été effectuée dans un environnement infiniment rigide. Le but était de quantifier les torseurs d’efforts repris par les paliers. Le modèle établi postule que les composantes du torseur d’efforts appliqué sur la liaison se répartissent sur les paliers dans des proportions variables, définies par des coefficients de répartition. En plus des composantes transmises, des composantes internes induites apparaissent. Elles s’appliquent de manière réciproque sur les deux paliers.

Il a été mis en évidence que :

• une force radiale extérieure à la liaison induit une force axiale et un couple interne,

• un couple extérieur à la liaison induit une force axiale et radiale interne,

• un déplacement de pré-charge induit une force axiale interne,

• les coefficients de répartition autres que le coefficient axial sont proches de 0,5.

Des relations analytiques approchées sont proposées pour quantifier les efforts internes induits par un torseur d’efforts quelconque appliqué sur la liaison. Le coefficient de répartition axial et la force interne axiale sont particuliers : ils dépendent de la répartition des efforts sur les corps roulants. Or, une force radiale extérieure, un couple extérieur et un déplacement axial de pré-charge

x

z


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modifient le chargement des corps roulants selon des principes qui sont incompatibles. Les relations analytiques n’existent donc que pour des chargement simples.

Le mécanisme de chargement des paliers dans les liaisons pivot est cependant élucidé et en grande partie quantifié. Il sert d’outil d’analyse dans le chapitre 5.

Un état de référence a été défini pour l’étude du bogie. Il est conçu comme un état standard idéal qui minimise les perturbations apportées par les conditions de fonctionnement. Par conséquent, le seul chargement conservé est une force verticale appliquée sur le châssis. Le chapitre 3 avait montré que la pré-charge des ressorts induisait des efforts internes de chasse dont les directions ne sont connues que lorsque leurs faces d’appui sont parallèles. La force appliquées a donc été calculée pour respecter cette condition le mieux possible et les ressorts ont été orientés afin que leurs efforts de chasse se compensent le plus possible et qu’ils ne génèrent pas de force latérale. Dans le bogie sous charge, des forces latérales résiduelles apparaissent mais leur impact sur les roulements de boîtes d’essieux sont négligeables.

Documents

CHAPITRE 4 METHODE D - INSA Lyon