Chapitre La droite et les systèmes d’équations 7€¦ · Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. Intersection SN Guide B Corrigé du manuel 49 La droite

Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. 49Intersection SN Guide B Corrigé du manuel

La droite et les systèmes d’équations

Chapitre

7Entrée en matièreEn contexte

Manuel • p. 94

1. a) 1) Perchaude 2) Doré jaune

b) 1) y = x13

- 10013

2) y = x8

- 25

c) 1) Le taux de mortalité est de 20 %.

2) La concentration d’aluminium est de 360 µg /L.

Manuel • p. 95

2. a) 1) 750 µg /L 2) 600 µg /L

b) Pour la perchaude, on remplace c(t) par 750: 750 = 4t2 +16t + 360

0 = 4t2 +16t - 390

En utilisant la formule t = -b ± b2 - 4ac

2a ,

on trouve t1 ≈ -12,07 ou t2 ≈ 8,07.

Pour le doré jaune, on remplace c(t) par 600: 600 = 4t2 + 16t + 360 0 = 4t2 + 16t – 240 0 = 4(t + 10)(t – 6) on a t1 = -10 ou t2 = 6.

Perchaude : 8 années (8,07 années)

Doré jaune : 6 années

3. Substance A : [0, 4[ années

Substance B : ]4, 9,5[ années

Substance C : ]9,5, 12] années

En brefManuel • p. 96

1. a) a = -13 c) x = 2 ou x = 4

b) b = 7 d) y = 1 ou y = -53

2. f(x) = -x2 + 6x - 12 ou f(x) = -(x - 3)2 - 3

3.

4. a) (9, 8) c) (6, 110)

b) (3, 12) d) (12,5, 225)

5. a) 1) 96 km/h 2) 90 km/h

b) (voir au bas de la page)

c) Au moment de leur rencontre, ils seront plus près de Mont-Laurier.

y

1

1

x

Réponse à la question 5 b), page 96

Heure 13 h 00 13 h 10 13 h 20 13 h 30 13 h 40 13 h 50

Distance séparant Carl de Val-d’Or (km) 96 112 128 144 160 176

Distance séparant Samuel de Val-d’Or (km) 240 225 210 195 180 165

En observant la table de valeurs, nous pouvons conclure que Carl et Samuel se croiseront entre 13 h 40 et 13 h 50.

SN_GE-B_Corrige_Man_Ch7.indd 49 2/3/10 3:50:44 PM

Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. 50 Corrigé du manuel Intersection SN Guide B

Section 1 La droite dans le plan cartésien

Voies parallèles

Manuel • p. 97

On suppose que l’origine du plan cartésien se nomme O. Pour étudier la perpendicularité entre la droite modélisant la nouvelle voie ferrée et celle modélisant la route 155, on vérifie si le triangle BGO est rectangle :

En utilisant la formule de la distance entre deux points

d(A, B) = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)

2 , on trouve que

m OG = 5 et m GB = 203

.

Étant donné que le segment OB est horizontal, on trouve sa mesure en effectuant le calcul suivant :253

– 0 = 253

On vérifie si le triangle BGO est rectangle en s’assurant que la relation de Pythagore est respectée. On peut affirmer

que ce triangle est rectangle, car 25 3

2 = 52 + 203

2.

La nouvelle voie ferrée passant par Bécancour sera perpendiculaire à la route 155.

Pour vérifier si la droite modélisant la nouvelle voie ferrée et celle modélisant la route 132 sont parallèles, on trouve la pente de la droite qui modélise la route 132 et celle de

la droite passant par B 25 3

, 0 et G(3, -4) qui modélise la voie ferrée :

Pour la droite passant par B 25 3

, 0 et G(3, -4), on a

a = y2 - y1

x2 - x1

= -4 - 0

3 - 25 3

= -4

-16 3

= 12 16

= 34

La pente de la droite passant par B et G est 34.

Pour la route 132, on transforme l’équation afin qu’elle soit exprimée sous la forme y = ax + b :

8x - 10y - 80 = 0

8x - 80 = 10y

4x5

- 8 = y

La pente de la droite modélisant la route 132 est 45.

Comme la pente de la droite modélisant la nouvelle voie ferrée est 3

4 et que celle modélisant la route 132 est 4

5 ,

la nouvelle voie ferrée ne sera pas parallèle à la route 132, car toutes deux n’ont pas la même pente. Par le fait même, la route 132 n’est pas perpendiculaire à la route 155.

Ainsi, contrairement à la route 132, la nouvelle voie ferrée passant par Bécancour sera perpendiculaire à la route 155.

1ActIvItéd’exploration Deux formes d’équation

Manuel • p. 98

A 1) La pente augmente et demeure positive.

2) La pente diminue et demeure positive ou devient nulle (∆y = 0) ou négative (∆y < 0).

3) La pente diminue et demeure positive.

B Calcul de la pente : a = y2 - y1

x2 - x1

= 11 - 48 - -6

= 1 2

Calcul de l’ordonnée à l’origine :

y = 1 2

x + b

11 = 1 2 • 8 + b

7 = b

L’équation de la droite sous la forme fonctionnelle est y = 1

2 x + 7.

C 1) Le point P n’appartient pas à la droite AB, alors que le point R semble y appartenir.

2) Pour le point P : y = 1 2 x + 7

y = 1 2 • (-1) + 7

y = 13 2

= 6,5

Étant donné que le point (-1, 6,5) appartient à la droite AB, le point P(-1, 5) n’appartient pas à cette droite.

Pour le point R : y = 1 2 x + 7

y = 1 2 • (-2) + 7

y = 6

Le point R(-2, 6) appartient à la droite AB, car les coordonnées vérifient son équation.

D On manipule l’équation x -14

+ y 7

= 1

pour l’exprimer sous la forme fonctionnelle :

x

-14 + y

7 = 1

-x 14

+ y 7

= 1

-x 14

+ 2y 14

= 14 14

-x + 2y = 14 2y = x + 14

y = 1 2 x + 7

Les équations exprimées sous les deux formes sont équivalentes.



Manuel • p. 99

E L’équation de droite A est associée à la droite 2 dessinée en rouge.

L’équation de droite B est associée à la droite 3 dessinée en bleu.

L’équation de la troisième droite est x -3

+ y 2

= 1.

F Le dénominateur du terme en x correspond à l’abscisse à l’origine de la droite tandis que le dénominateur du terme en y correspond à son ordonnée à l’origine.

G Si le dénominateur du terme en x et celui du terme en y sont du même signe, la pente est négative. En revanche, s’ils sont de signes contraires, la pente est positive.

H 1) y = -23 x + 4 2) y = 5 3) y = 2

3 x

I 1) Oui, son équation est x 6

+ y 4

= 1.

2) Non, car la droite ne possède pas d’abscisse à l’origine.

3) Non, car l’abscisse à l’origine de cette droite est 0. Il en est de même pour son ordonnée à l’origine. En substituant ces valeurs dans l’équation exprimée sous la forme symétrique, on obtiendrait x 0

+ y 0

= 1, ce qui est impossible.

Ai-je bien compris ?

1. a) 1) -1 2) 13 3) 0

b)

2. a) Le point A b) Le point C c) Le point B

2ActIvItéd’exploration Une autre forme d’équation

Manuel • p. 100

A 1) La droite 3

2) Les droites 2 et 3

Forme fonctionnelle Forme symétrique

1) y = -x + 2 x 2

+ y 2

= 1

2) y = x 3

- 2 x 6

+ y -2

= 1

3) y = 2 Impossible

B Sous la forme fonctionnelle, l’équation est y = -4 Sous la forme générale, l’équation est donc y + 4 = 0

C Les équations C et D

D 1) A = 1, B = 0 et C = -2

2) Pour l’équation C , on a A = 1, B = -2 et C = 6.

Pour l’équation D , on a A = -2, B = 4 et C = -12.

E Non, le paramètre A ne représente pas la pente de la droite. Si on isole la variable y de l’équation de forme générale pour l’exprimer sous la forme

fonctionnelle, on obtient y = -AB

x + -CB

. C’est donc -AB

qui représente la pente de la droite.

Manuel • p. 101

F L’ordonnée à l’origine de cette droite est 18.

G La pente de cette droite est -32

.

H 3x + 2y – 36 = 0

2y = -3x + 36

y = -32

x + 18

I 1) -AB

2) -CB

3) -CA

J L’abscisse à l’origine est -2 et l’ordonnée à l’origine est 4.


a) 1 Pente : -2 ; ordonnée à l’origine : 4 ; abscisse à l’origine : 2

2 Pente : 0,5 ; ordonnée à l’origine : 4 ; abscisse à l’origine : -8

3 Pente : 73

; ordonnée à l’origine : 7 ;

abscisse à l’origine : -3

4 Pente : -2 ; ordonnée à l’origine : -2,5 ; abscisse à l’origine : -1,25

y

2

2

x



b) 1 y = -2x + 4

2 y = 73x + 7

3 Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : x - 2y + 8 = 0

4 Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : 4x + 2y + 5 = 0

c) 1

1

1

y

x

2

3

1

1

y

x

4

3ActIvItéd’exploration Des rues à la carte

Manuel • p. 102

A 1 Av. Massachusetts 5 Av. Connecticut

2 Av. Pennsylvanie 6 Av. New Hampshire

3 Av. New York 7 Av. Rhode Island

4 Av. Vermont

B Elles ont la même pente.

C En comparant le paramètre a de la forme fonction-nelle de chacune des équations de droites.

Manuel • p. 103

D L’avenue Pennsylvanie est parallèle à l’avenue Massachusetts. Elle est donc nécessairement perpendiculaire à l’avenue Vermont.

E La pente de l’avenue Vermont est 2 et la pente des avenues Pennsylvanie et Massachusetts est -1

2. On

formule la conjecture suivante : le produit des pentes de deux droites perpendiculaires égale -1.

F Les paires d’avenues 2 et 3 sont perpendiculaires.

1

1

y

x

1

1

y

x

G L’avenue Massachusetts passe, entre autres, par (2000, 0) et (0, 1000). La pente de la droite qui modélise cette avenue est -1

2. La pente d’une

droite modélisant une rue perpendiculaire à l’avenue Massachusetts est donc 2.

L’équation d’une droite modélisant une rue perpendiculaire à l’avenue Massachusetts est donc y = 2x + 500.

H 3x + 6y – 6 000 = 0

6y = -3x + 6 000

y = -12

x + 1 000

La ligne de métro est située sous l’avenue Massachusetts.

I On suppose deux droites dont les équations sont A1x + B1 y + C1 = 0 et A2 x + B2 y + C2 = 0.

Si ces deux droites sont parallèles confondues, elles ont :

– la même pente. On a donc -A1

B1

= -A2

B2

,

c’est-à-dire A1

B1

= A2

B2

.

– la même ordonnée à l’origine. On a donc -C1

B1

= -C2

B2

, c’est-à-dire C1

B1

= C2

B2

.

Lorsque deux droites ont leurs équations exprimées sous la forme générale, on peut déterminer si elles sont parallèles confondues en vérifiant

si A1

B1

= A2

B2

et si C1

B1

= C2

B2

. Plus simplement, on

peut affirmer qu’elles sont parallèles confondues

si on a A1

A2

= B1

B2

= C1

C2

.


1. a) Les droites 2 et 3 sont parallèles.

b) Les droites 1 et 5 sont perpendiculaires.

Les droites 2 et 4 sont perpendiculaires.

Les droites 3 et 4 sont perpendiculaires.

2. Plusieurs réponses sont possibles pour a et b. Exemple :

a) La pente doit être 35 . L’équation de droite

est y = 3x5

.

b) La pente doit être 12 . L’équation de droite

est y = x2.

c) La pente doit être -13 et l’ordonnée à l’origine 2.

L’équation de droite est y = - x3 + 2.



Mise en pratiqueManuel • p. 107

1. Niveau de difficulté : faible

Droite a) Pente b) Forme fonctionnelle

1 1 y = x - 1

2-45

y = -45

x - 25

3 0 y = 5

4 0 y = 2

523

y = 23 x - 5

3

6 1 y = x

c) a = x2 - x1

y2 - y1

ou a =

y2 - y1

x1 - x2



a) 1) Ordonnée à l’origine : 3 ; abscisse à l’origine : -4

2) Ordonnée à l’origine : -3 ; abscisse à l’origine : 12

3) Ordonnée à l’origine : 1 ;

abscisse à l’origine : 52

b) (voir au bas de la page)

y

x

M(0, 9)

N(0, 18)

3

3

c) Si le dénominateur du terme en x et celui du terme en y sont du même signe, la pente est négative. En revanche, s’ils sont de signes contraires, la pente est positive.

Manuel • p. 108


Oui, le point H appartient à la droite.


(voir au haut de la page suivante)

6. Niveau de difficulté : moyen

a) 1) 7x - 6y - 2 = 0 3) x - 9y + 12 = 0

2) 2x + 3y + 4 = 0 4) 11x + 2y - 14 = 0

b) 1) 1) 627 , 10

2) (-17, 10)

3) (78, 10)

4) -611

, 10

2) 1) (-10, -12) 3) -10, 29

2) -10, 163

4) (-10, 62)


a) Forme fonctionnelle

b) Forme symétrique

c) Formes fonctionnelle et symétrique


a) La pente du Piccolo est 14

.

b) y = x4

+ 1 525

Réponse à la question 3b, page 107

b) 1) 2) 3) y

1

1

x

y

1

1

x

y

1

1

x



Manuel • p. 109


Plusieurs réponses sont possibles.

a) a = 6 et b = -5 b) A = 3 et B = 4


L’ordonnée à l’origine est -5. Émile a représenté la droite dont la forme symétrique est x

-2 + y

-5 = 1.


a) x 4 3

+ y-2

= 1 b) x 10 3

+ y 5 2

= 1


Pour calculer la pente de la rampe d’accès 1 , on doit considérer 218 cm comme étant l’accroissement des abscisses et 33 cm comme étant l’accroissement des ordonnées.33218

≈ 0,1514

La pente de la rampe d’accès 1 est d’environ 0,1514. On procède de la même façon pour calculer la pente

de la rampe d’accès 2 . Cependant, il faut d’abord déterminer le côté qui correspond à l’accroissement des abscisses à l’aide de la relation de Pythagore.

2402 - 362 ≈ 237,28

36237,28

≈ 0,1517

La pente de la rampe d’accès 2 est d’environ 0,1517.

La pente de la rampe d’accès 1 est légèrement plus petite que celle de la rampe d’accès 2 .


Plusieurs réponses sont possibles en a et en b. Exemple :

a) y

x

Alex(0, 1000)

200

400

600

800

1 000

1 200

1 400

0 200 400 600 800 1 000

Marie(x, 200)

b) On calcule la distance horizontale entre Alex et Marie à l’aide de la relation de Pythagore :

10002 - (1000 - 200)2 = 600

La distance horizontale entre Alex et Marie est de 600 m.

c) On détermine la valeur de la pente :

∆ x = 600 - 0 = 600

∆ y = 200 - 1 000 = -800

∆ y∆ x

= -800600

= -43

La pente est -43

.

L’ordonnée à l’origine correspond à la position d’Alex. Donc, l’équation de la droite qui décrit la visée des jumelles d’Alex lorsqu’il regarde Marie

est y = -43

x + 1 000.

Réponse à la question 5, page 108

Droite Forme fonctionnelle Forme symétrique

a) x - 8y - 6 = 0 y = 18 x - 3

4x6

+

y - 3 4

= 1

b) 11x + 3y - 33 = 0 y = -11x

3 + 11

x3

+ y11

= 1

c) 4x - 6y + 9 = 0 y = 2x3

+ 32

x - 9 4

+

y 3 2

= 1

d) -0,5x + 9,7y + 19,4 = 0 y = 5x97

- 2x

194 5

+

y-2

= 1



Manuel • p. 110


a) 13

c) -43

e) -56

g) -2119

b) -14

d) 32 f)

-516

h) 2


Il faut commencer par trouver la pente de chacune des droites. Lorsque les pentes sont identiques, les droites sont parallèles, et lorsque le produit des pentes est -1, elles sont perpendiculaires.

Droite Pente Droite Pente Droite Pente

1 -3 4-12

7 2

2 2 5 -3 8 43

3 34

6 12

9-43

a) Les droites 1 et 5 ainsi que les droites 2 et 7 sont parallèles.

b) Les droites 2 et 4 , les droites 3 et 9 , ainsi que les droites 4 et 7 sont perpendiculaires.


a) 6x - 12y - 4 = 0 et 4x - 8y + 8 = 0

b) 6x - 12y - 4 = 0 et 8x + 4y - 8 = 0

Manuel • p. 111


a) Vrai. Une droite passant par les points (0, 3) et

(10, 12) a une pente de 910

et une ordonnée à l’origine de 3. Une droite passant par les points

(-20, -15) et (-10, -6) a aussi une pente de 910

et une ordonnée à l’origine de 3. Les deux droites sont donc parallèles confondues.

b) Vrai. La droite d’équation x3 + y

4 = 1 possède une

pente de -43

, et la droite d’équation y = -43

x

possède aussi une pente de -43

. Les deux droites

sont donc parallèles et ne peuvent se croiser.

c) Vrai. La droite d’équation y = mn

x + m possède

une pente de mn

, et la droite d’équation

nx + my = 0 possède une pente de -nm

.

Les deux droites sont donc perpendiculaires puisque

le produit des pentes est égal à -1 : mn •

-nm

= -1.


a) Oui

b) Non, puisque dans ces formes d’équation, les paramètres a et b correspondent à des éléments de la droite.


Forme fonctionnelle Forme générale

a) y = 4x - 17 4x - y - 17 = 0

b) y = -2x - 1 2x + y + 1 = 0

c) y = -x2

+ 4 x + 2y - 8 = 0


Les équations des droites sont

Bleue : y = 2x + 3 Rouge : y = 3x + 3

Verte : y = 4x - 3

a) La rouge

b) La verte

c) La bleue

Manuel • p. 112


Dans le cas de la droite 4x + 9y = 0, le paramètre C dans la forme générale vaut 0. Il est donc impos sible de retrouver le 1 de la forme symétrique. De plus, comme cette droite passe par l’origine (0, 0), les paramètres a et b de la forme symétrique valent 0, ce qui donnerait une division par 0, donc impossible.

22. Niveau de difficulté : élevé

a) La pente de la droite AD est de -52

. La pente de la

droite BC sera de -134

x - 40.

-134

x - 40 =

-52

En isolant x, on obtient x = 93,6.

b) La pente de la droite AB est de 25

et la pente

de la droite AD est de -52

. Le produit des pentes

étant de -1, il s’agit bien d’un trapèze rectangle.

c) L’équation de la droite BC est y = -52

x + 174.

Dans cette droite, lorsque x vaut 65, y vaut 11,5. Le centre d’interprétation est donc à l’extérieur de la zone à protéger.



Les inéquations et les systèmesSection 2 d’équations du premier degré

Manger bio

Manuel • p. 113

Étant donné que le concentré protéiné biologique doit représenter exactement 10 % de la masse du mélange, il faut utiliser 10 kg de ce concentré dans la recette de 100 kg de moulée.

Pour respecter les besoins quotidiens en protéines des chèvres, soit 250 g pour 1 kg de moulée, le mélange doit contenir 25 % de protéines. On pose un système d’équa-tions en se basant sur les informations suivantes :

– La masse de maïs et celle de soya doivent totaliser 90 kg ;

– Le pourcentage de protéine doit être de 25 %.

Soit x : le nombre de kg de maïs contenu dans le mélange

y : le nombre de kg de soya contenu dans le mélange

x + y = 90

0,09x + 0,44y + 0,5(10) = 25

y = 90 - x

y = 20 - 0,09x0,44

En comparant les deux expressions algébriques, on obtient l’équation suivante :

90 - x = 20 - 0,09x0,44

On détermine la valeur de la variable x :

39,6 - 0,44x = 20 - 0,09x

19,6 = 0,35x

56 = x

On détermine la valeur de la variable y :

y = 90 – x

y = 90 – 56

y = 34

Pour obtenir un mélange de 100 kg de moulée, monsieur Bisson doit utiliser la recette suivante : 56 kg de maïs, 34 kg de soya et 10 kg de concentré protéiné biologique.

1ActIvItéd’exploration C’est payant de récupérer

Manuel • p. 114

A 3x + 2y = 36

B

C 1) Oui, la droite passe par le point (8, 6).

2) Non, Louis-Thomas aurait alors obtenu 35 $.

D Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Le couple (6, 8)

E 3x + 2y < 36

F

G Non, les points situés sur la droite tracée en B ne font pas partie de l’ensemble-solution de l’inéquation 3x + 2y < 36. Afin que la représentation graphique soit celle de l’ensemble-solution de cette inéquation, il faudrait que la droite soit tracée en tirets.

Manuel • p. 115

H 3x + 2y > 54

I Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Le couple (12, 10)

J Le graphique 1

K On choisit un point-test et on remplace ses coordon-nées dans l’inéquation. Si l’inéquation obtenue est vraie, la région du plan contenant ce point est l’ensemble- solution. Si l’inéquation obtenue est fausse, la région du plan ne contenant pas ce point est l’ensemble-solution.

Masse d’aluminium dequalité supérieure (kg)

Mas

se d

e re

taill

esd’

alum

iniu

m (

kg)

12 15 18 210 3 6 9

12

6

9

3

15

18

21

La vente d’aluminiumpar Louis-Thomas

Masse d’aluminium dequalité supérieure (kg)

Mas

se d

e re

taill

esd’

alum

iniu

m (

kg)

12 15 18 210 3 6 9

12

6

9

3

15

18

21

La vente d’aluminiumpar Louis-Thomas



L Le graphique 2 : 3x + 2y < 54

Le graphique 3 : 3x + 2y ≥ 54


1. a) x : le résultat de Vincent b) x : l’âge de Martine y : le résultat de Bruno y : l’âge de Marianne x ≥ y x ≤ 3y

2. L’inéquation 3

2ActIvItéd’exploration La pesée

Manuel • p. 116

A L’équation est 5b + 5v = 100.

B

Tous les points appartenant à la droite sont des solu-tions possibles pour l’équation déterminée en A.

C Afin de déterminer l’équation d’une deuxième droite et de pouvoir ainsi déterminer les coordonnées du point de rencontre des deux droites.

D L'équation décrivant la deuxième pesée est 7b + 3v = 108.

E Sur le graphique, on observe que (12, 8) est le point de rencontre des deux droites. On substitue b par 12 et v par 8 dans les deux équations et on vérifie si les égalités sont respectées.

Mas

se d

’un

cube

ver

t (g

)

Masse d’un cube bleu (g)

16 20 24 280 4 8 12

32

16

24

8

40

48

La pesée

Mas

se d

’un

cube

ver

t (g

)

Masse d’un cube bleu (g)

16 20 24 280 4 8 12

32

16

24

8

40

48

La pesée

Première pesée Deuxième pesée

5b + 5v = 100

5(12) + 5(8) = 100

60 + 40 = 100

100 = 100

7b + 3v = 108

7(12) + 3(8) = 108

84 + 24 = 108

108 = 108

F Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Montage 1 : 4 cubes bleus et 3 cubes verts ;

Montage 2 : 8 cubes bleus et 6 cubes verts.

Manuel • p. 117

G La première équation est incorrecte. En supposant que la masse du cube noir soit de 12 g, la substitu-tion de cette valeur dans la première équation permet de déterminer que la masse du cube rouge serait alors de 36 g (r = 3n = 3 • 12 = 36). Or, ceci serait en contradiction avec l’énoncé du problème. La bonne équation est donc n = 3r.

H Le montage de cubes reçu par Renaud contient six cubes rouges et deux cubes noirs. La masse totale de ce montage est de 78 g.

I Voici la représentation graphique des équations du système qui modélise la situation :

À partir de cette représentation graphique, il est impos-sible de déterminer la masse exacte d’un cube rouge, car il est impossible de déterminer avec précision les coordonnées du point de rencontre des deux droites.

J 1) On isole n dans les deux équations :

n = 3r n = -3r + 39

On compare les deux expressions afin de former une seule équation à une variable :

3r = -3r + 39

On résout cette équation et on obtient r = 6,5.

La masse d’un cube rouge est de 6,5 g.

Mas

se d

’un

cube

noi

r (g

)

Masse d’un cube rouge (g)

8 10 12 140 2 4 6

32

16

24

8

40

48

La pesée



2) On remplace la valeur du r trouvée en J1 dans les deux équations initiales du système :

Première équation Deuxième équation

n = 3r

n = 3(6,5)

n = 19,5

6r + 2n = 78

6(6,5) + 2n = 78

2n = 39

n = 19,5

La masse d’un cube noir est de 19,5 g.


1. a) (10, 7)

b) (-45, -30)

2. a) x = 7 et y = 8

b) x = 172

et y = 32

c) Le système possède une infinité de solutions, car 0x = 0.

3ActIvItéd’exploration Espace réservé aux sportifs

Manuel • p. 118

A Dans la 2e modélisation, si on substitue l’expression correspondant au y de la seconde équation dans la pre-mière équation, on obtient une seule équation équiva-lente à celle de la 1re modélisation : 2x + 2(2x) = 48.

Pour passer du système d’équations à deux variables à l’équation à une variable, il faut isoler l’une des variables dans une des deux équations et substituer l’expression correspondant à cette variable dans l’autre équation.

B 2x + 2(2x) = 48

2x + 4x = 48

6x = 48

x = 8

Si x = 8, y = 2x = 2(8) = 16.

Vérification dans le contexte :

Texte dans l’énoncé du problème

La largeur est de 8 m La longueur est de 16 m.

Le périmètre d’un terrain réglementaire de volley-ball de plage est de 48 m.

Oui, car

8 + 16 + 8 + 16 = 48.

Le terrain est deux fois plus long que large Oui, car 16 = 2(8).

Les dimensions du terrain sont 8 m sur 16 m.

C On substitue l’expression correspondant au x de la seconde équation dans la première équation et on obtient une seule équation :

2 y2

+ 2y = 48

y + 2y = 48

3y = 48

y = 16

Si y = 16, on a x = y2

= 162

= 8.

Les dimensions du terrain sont 8 m sur 16 m, ce qui est exactement ce qui a été trouvé en B .

D x : le nombre de points marqués par l’équipe qui a obtenu le plus de points

y : le nombre de points marqués par l’équipe qui a obtenu le moins de points

x + y = 48

x = y + 2

E On substitue l’expression correspondant au x de la seconde équation dans la première équation et on obtient une seule équation :

x + y = 48

y + 2 + y = 48

2y = 46

y = 23

Si y = 23, alors x = y + 2 = 23 + 2 = 25.

Lors de la finale féminine, le pointage final de la première manche est le suivant : l’une des équipes a compté 23 points alors que l’autre en a compté 25.

Manuel • p. 119

F Le système est le suivant :

x + y + z = 70

x + y = 45

y + z = 43

G On isole z dans la troisième équation : z = -y + 43.

On substitue l’expression algébrique qui correspond à z dans la première équation :

x + y + z = 70

x + y + -y + 43 = 70

x = 27

Si x = 27, on remplace cette valeur dans la deuxième équation :

x + y = 45

27 + y = 45

y = 18



Si y = 18, on remplace cette valeur dans la troisième équation dans laquelle on a isolé z :

z = -y + 43 z = -18 + 43 z = 25

Lors de la finale masculine, le pointage final de l’équipe gagnante pour chacune des trois manches est le suivant : pour la première manche, 27 points, pour la deuxième manche, 18 points et pour la troisième manche, 25 points.


1. a) x : la largeur du filet de volley-ball y : la longueur du filet de volley-ball

y = 9,5x y - x = 8,5

b) y - x = 8,5

9,5x - x = 8,5

8,5x = 8,5

x = 1

y = 9,5x

y = 9,5(1)

y = 9,5

Le filet mesure 1 m sur 9,5 m.

2. a) x = –4 c) x = 13

y = –12 y = –8

b) x = 0 d) x = 20

y = 2 y = 203

4ActIvItéd’exploration À contre-courant

Manuel • p. 120

A 1) 2 km 40 min

= 3 km 60 min

= 3 kmh

2) 2 km 6 min

= 20 km 60 min

= 20 kmh

B Le système 1 . En effet, dans la première équation, le bateau-dragon se déplaçant dans le sens du courant, on doit additionner les vitesses. Dans la seconde équation, le bateau-dragon se déplaçant à contre- courant, on doit soustraire la vitesse du courant à celle du bateau dragon.

C b + c = 20 + b - c = 3 2b = 23

D 2b = 23 b = 11,5

Si b = 11,5, alors on peut trouver la valeur de c en substituant la valeur de b dans l’équation.

b + c = 20

11,5 + c = 20

c = 8,5

La valeur de b est 11,5 et celle de c est 8,5. Dans la situation, cela veut dire que la vitesse à laquelle l’équipage propulse le bateau-dragon est de 11,5 km/h, alors que la vitesse du courant est de 8,5 km/h.

E b + c = 20 - (b - c = 3) 2c = 17 c = 8,5

Si c = 8,5, alors on peut trouver la valeur de b en substituant la valeur de c dans l’équation.

b + c = 20 b + 8,5 = 20 b = 11,5

La vitesse à laquelle l’équipage propulse le bateau-dragon est de 11,5 km/h et la vitesse du courant est de 8,5 km/h, ce qui correspond aux valeurs trouvées en D.

Manuel • p. 121

F Non, si on additionne ou si on soustrait les deux équations de ce système membre à membre, on formera une équation à deux variables.

G 1) Le système 1 : Seule la première équation a été multipliée par un facteur, et ce facteur est -2.

Le système 2 : Seule la première équation a été multipliée par un facteur, et ce facteur est 3.

Le système 3 : Seule la deuxième équation a été multipliée par un facteur, et ce facteur est -2.

Le système 4 : Seule la deuxième équation a été multipliée par un facteur, et ce facteur est 1

2.

2) Le système 1 : Oui, si on additionne les équations membre à membre, on obtient y = 6.

Le système 2 : Oui, si on soustrait les équations membre à membre, on obtient x = 16.

Le système 3 : Non, si on additionne ou soustrait les équations membre à membre, on obtient respectivement -3x - 5y = -88 ou 5x + 7y = 122.

Le système 4 : Oui, si on soustrait les équations membre à membre, on obtient -0,5y = -3.



Manuel • p. 122

H Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

2x + 2y = 44 2x + 3y = 50

I Oui, c’est possible, car l’une ou l’autre de ces trois méthodes permet toujours de transformer le système pour obtenir une équation à une variable.


1. a) x = 9 c) x = 13

y = –3 y = –8

b) x = 74

d) x = 11

y = 1 y = 203

2. a) x : le prix d’un billet pour adulte y : le prix d’un billet pour enfant

x + y = 14,50 2x + 3y = 34

b) En multipliant tous les membres de la première équation par le facteur -2, on obtient le système équivalent suivant, que l’on peut ensuite résoudre en commençant par additionner chaque équation membre à membre :

–2x - 2y = –29 2x + 3y = 34 y = 5

x + 5 = 14,50 x = 9,50

c) Le prix d’un billet pour adulte est de 9,50 $ et le prix d’un billet pour enfant, de 5 $.



a) 1 x : le prix d’une chemise y : le prix d’un pantalon 2x + 3y ≥ 200

2 x : le pointage de Claude y : le pointage de Louise x ≤ y + 8

3 x : le nombre de paragraphes écrits par Lynn y : le nombre de paragraphes écrits par Frank x ≥ y + 20

4 x : le nombre d’heures consacrées aux devoirs de français

y : le nombre d’heures consacrées aux devoirs de mathématique

x + y ≤ 10

b) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

1 Prix d'une chemise = 25 $ et prix d'un pantalon = 50 $, ou prix d'une chemise = 70 $ et prix d'un pantalon = 30 $

2 Pointage de Claude = 68 et pointage de Louise = 60, ou pointage de Claude = 75 et pointage de Louise = 70

3 Nombre de paragraphes écrits par Frank = 10 et nombre de paragraphes écrits par Lynn = 30, ou nombre de paragraphes écrits par Frank = 5 et nombre de paragraphes écrits par Lynn = 30

4 Nombre d’heures consacrées aux devoirs de mathématique = 5 et nombre d’heures consacrées aux devoirs de français = 5, ou nombre d’heures consacrées aux devoirs de mathématique = 6 et nombre d’heures consacrées aux devoirs de français = 3


a) y ≤ -4x - 5

b) x-4

+ y4

> 1

c) 2x + 5y + 20 ≥ 0

1

y

1 x

1

1 x

y

1

1 x

y



d) y > 0,2x + 1,2


Le point (-1, 1) est la solution du système en b. En effet, en a, le couple (–1, 1) n’est pas une solution, car 5(–1) + 6(1) = 1 6(–1) + 2(1) ≠ –3.

En b, le couple (–1, 1) est une solution, car 3(–1) + 4(1) = 1 5(–1) - 3(1) = –8.

En c, le couple (–1, 1) n’est pas une solution, car 7(–1) - 3(1) ≠ 10 6(–1) - 5(1) ≠ –1.


a) Solution : (3, –1)

y

1

1

x

b) Solution : (–1, 6)

y

1

1

x

1

1

y

x

c) Solution : (4, –1)

y

1

1

x

d) Solution : (23, 13)

y

1

1

x

e) Une infinité de solutions puisque ce sont des équations équivalentes.

y

1

1

x



f) Solution : (–2, –1)

y

1

1

x


y

Temps écoulé depuis ledépart du premier train (h)

Dis

tan

ce p

arco

uru

e (k

m)

2 4 6 8 10 12 14 16

100

200

300

400

500

0 x

Les trains

Le dépassement se fera lorsqu’il se sera écoulé 5 heures.

Manuel • p. 128


a) x = 42 d) x = 1 g) x = 31 y = 57 y = 3 y = 21

b) x = 2 e) x = 0 h) x = 0 y = 8 y = –8 y = 5

3

c) x = 1,5 f) x = 14,5 i) x = 6 y = 3,5 y = 8 y = –1


a) On détermine la valeur de la variable z en l’isolant dans la troisième équation.

2z + 1 = 7 2z = 6 z = 3

On remplace la variable z par sa valeur dans la première équation et on forme un système d’équations à deux variables.

x - y + z = 5 x - y + 3 = 5 x - y = 2

x - y = 2

x - 2y = 2

On résout le système d’équations du premier degré à deux variables. x = 2 y = 0 z = 3

b) On isole la variable p dans la première équation. p = –q - 2r + 1

On remplace la variable p par l’équation trouvée dans la deuxième et la troisième équation.

2p - q + r = –1

3p + q + r = 4

2(–q - 2r + 1) - q + r = –1

3(–q - 2r + 1) + q + r = 4

–3q - 3r = –3

–2q - 5r = 1

On résout le système d’équations du premier degré à deux variables.

q = 2 r = –1

Afin de déterminer la valeur de p, on remplace les valeurs des variables q et r dans l’équation suivante :

p = –q - 2r + 1 p = –2 - 2(–1) + 1 p = 1

p = 1 q = 2 r = –1


a) x = 4 y = –3

b) x = –10 y = 6

c) x = –53

y = 22

3

d) x = 10 y = 2

e) x = 7 y = –1


a) 1 Réduction 3 Substitution

2 Réduction 4 Réduction

b) 1 x = 2 et y = –3 3 x = 12

et y = –3

2 x = 4017

et y = 2517

4 x = –6 et y = 4

f) x = –43

y = 12

g) x = 34 y = 3

h) x = –0,25 y = 2,75

i) Ce sont deux équations équivalentes. Il existe donc un nombre infini de solutions.



Manuel • p. 129


Situation 1 2 3

a) Variables a: le nombre de billets pour adultes vendus

e : le nombre de billets pour enfants vendus

x : le prix d’une chemise avant taxes

y : le prix d’un chandail avant taxes

x = le nombre de pièces de 25 ¢

y = le nombre de pièces de 1$

b) Système d’équations

a + e = 256

5a + 2e = 767

2x + 4y = 98

x + 3y = 69

x + y = 68

x4

+ y = 28,25

c) Solution On a vendu 85 billets pour adultes et 171 billets pour enfants.

Le prix d’une chemise est de 9 $ et celui d’un chandail, de 20 $.

La tirelire contenait 53 pièces de 25 ¢ et 15 pièces de 1 $.


Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

a) y

x

1

1

c) y

x

1

1

b) y

x

1

1


a) Pour que le système n’ait aucune solution, les deux équations doivent avoir la même pente, mais une ordonnée à l’origine différente. Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

Les équations 1 et 2 , les équations 2 et 3 , les équations 4 et 5 ainsi que les équations 4 et 6 n'ont aucune solution.

b) Pour que le système ait une infinité de solutions, les deux équations doivent avoir la même pente et la même ordonnée à l’origine.

Les équations 1 et 3 ainsi que les équations 5 et 6 ont une infinité de solutions.


a) On détermine la première équation : (3x + 2y) + (2x - y) = 180 5x + y = 180

On détermine la deuxième équation : L’angle de (2x - y)º vaut 58º, car ce sont deux

angles alternes-externes isométriques. 2x - y = 58

On modélise la situation à l’aide d’un système d’équations :

5x + y = 180

2x - y = 58

On résout le système d’équations :x = 34 y = 10

b) On détermine la première équation : 4x + y = 75, puisqu’il s’agit d’un triangle isocèle.

On détermine la deuxième équation :

La somme de la mesure des angles intérieurs d’un triangle est 180º. Puisqu’il y a deux angles mesurant 75º, le troisième angle mesure 30º.

x - y = 30

On modélise la situation à l’aide d’un système d’équations :

4x + y = 75

x - y = 30

On résout le système d’équations :x = 21 y = –9



Manuel • p. 130


La solution des équations de Nicolas est x = 275 et y = 85. La solution des équations de Jasmine est x = 312,5 et y = –27,5. Comme il est impossible que la masse d’un objet soit négative, Jasmine a commis une erreur.


a) –2 • (3x + y = 4) –6x - 2y = –8 6x + 2y = 8 0x + 0y = 0

6x + 2y = 8

Le système possède une infinité de solutions. Tous les nombres réels rendent l’égalité vraie, car le produit de n’importe quel nombre et de 0 donne 0.

b) 4x - 2y = 0 4x - 2y = 0 –4x + 2y = –6 0x + 0y = –6

–2 • (2x - y = 3)

Le système n’a aucune solution. Aucun nombre réel ne rend l’égalité vraie, car il est impossible que le produit d’un nombre et de 0 donne –6.

c) x + 5y = 9 x + 5y = 9 x + y = 3

6y6

= 66

y = 1

– – –1 • (x - y = 3)

Le système a une solution unique.

d) –3 • (x + 2y = 7) –3x - 6y = –21 3x + 6y = 14 0x + 0y = –7

3x + 6y = 14

Le système n’a aucune solution. Aucun nombre réel ne rend l’égalité vraie, car il est impossible que le produit d’un nombre et de 0 donne –7.

e) Le système n’a aucune solution.

f) –2 • (3x + 5y = 9) –6x - 10y = –18 6x + 10y = 18 0x + 0y = 0

6x + 10y = 18

Le système possède une infinité de solutions. Tous les nombres réels rendent l’égalité vraie, car le produit de n’importe quel nombre et de 0 donne 0.


Un système d’équations du premier degré à deux variables possède soit aucune solution, soit une solution unique ou bien une infinité de solutions. Comme, dans ce cas, il existe plus d’une solution, il y en a nécessairement une infinité.


a) Les données indiquées ne sont pas suffisantes. Les données ne permettent pas de former un système d’équations possédant une solution unique.

b) Les données indiquées sont suffisantes. Elles permettent de former un système d’équations qui a une solution unique.

Manuel • p. 131


a) Main b) Flèche c) Main


a) v : la vitesse de l’avion d : la distance entre Québec et Gaspé

v = dt

On détermine l’équation représentant le voyage en avion de Québec à Gaspé :

v + 20 = d2,5

On détermine l’équation représentant le voyage en avion de Gaspé à Québec :

v - 20 = d3

En isolant la variable d dans chaque équation, on obtient le système d’équations suivant :

2,5(v + 20) = d 3(v - 20) = d

b) Il faut calculer la distance entre Gaspé et Québec ainsi que la vitesse de l’avion sans le vent.

d = d 2,5(v + 20) = 3(v - 20) 2,5v + 50 = 3v - 60 110 = 05v 220 = v

2,5(v + 20) = d 2,5(220 + 20) = d 600 = d

Puisque v = dt :

220 = 600

t

t = 30

11

Il faut environ 2 heures et 44 minutes pour effectuer le voyage entre Québec et Gaspé lorsqu’il ne vente pas.


a) 1) Deux bacs identiques contenant 24 balles pèsent 8 kg.



2) Lorsqu’on enlève 7 balles une première fois, la masse totale du bac et des 17 balles restantes est diminuée de 1 kg. Si on enlève 7 autres balles, la masse totale du bac et des 10 balles restantes sera encore diminuée de 1 kg. La masse recherchée est donc 2 kg.

b) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Détermine la masse d’un bac contenant 3 balles.

c) c + 24b = 4 c + 17b = 3

d) c = 47

b = 17

La masse du bac est d’environ 0,57 kg et la masse d’une balle, d’environ 0,14 kg.


m : la masse à suspendre sur chaque ressort L1 : la longueur du ressort A L2 : la longueur du ressort B

On pose le système d’équations suivant :

L1 = m100

+ 8

L2 = m75

+ 5

Lorsque les ressorts ont la même longueur,

m100

+ 8 = m75

+ 5.

Les ressorts ont la même longueur lorsque m = 900 g.

Manuel • p. 132


Lorsqu’on arrive à une seule équation en ayant comparé une même variable, c’est comme si l’on avait substitué la valeur de la variable de la première équation à celle de la seconde équation.


x : le nombre de kg de grains Java dans 50 kg du mélange maison

y : le nombre de kg de grains Sumatra dans 50 kg du mélange maison

On pose le système d’équations suivant : x + y = 50

14,89x + 12,25y = 699,50

La solution du système est x = 72522

et y = 37522

.

On utilise environ 32,95 kg de grains Java et environ 17,05 kg de grains Sumatra.

On ramène en pourcentage, ce qui donne : Grains Java = 66 % et Grains Sumatra = 34 %.

D'autres systèmesSection 3 d'équations

La solubilité

Manuel • p. 133

On trace dans un même graphique la solubilité des trois types de sels en fonction de la température de l’eau comprise entre 0 °C et 100 °C.

Pour tracer la parabole modélisant la solubilité du nitrate de potassium (KNO3), on sait que son ordonnée à l’origine est 13,6. On peut calculer les coordonnées de son sommet (h, k) :

s2 = 0,0175T2 + 0,55T + 13,6

h = -b 2a

= -0,55

2(0,0175) =

-0,550,035

= -110

7 ≈ -15,71

k = 4 ac - b2

4a = 4 • 0,0175 • 13,6 - 0,552

4(0,0175)

= 0,64950,07

= 1 299140

≈ 9,28

Les coordonnées du sommet sont environ (-15,71, 9,28).

En analysant ce graphique, on remarque que les deux droites ne se croisent pas dans l’intervalle qui nous intéresse. En revanche, la parabole croise chacune des droites sur cet intervalle. Il faut donc déterminer l’abscisse de leurs points de rencontre, car on ne s’intéresse qu’aux intervalles de température.

On détermine le point de rencontre de la droite modélisant la solubilité du nitrate de sodium (NaNO3) et de la parabole modélisant la solubilité du nitrate de potassium (KNO3) :

Les équations sont s1 = 0,83T + 73 et s2 = 0,0175T2 + 0,55T +13,6.

Solu

bil

ité

(g/1

00

mL)

La solubilité du sel

Température (°C)0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

NaNO3

KNO3

NaCl



1ActIvItéd’exploration La rencontre d’une parabole

et d’une droite

Manuel • p. 134

A Les solutions sont (1, 1) et (4, 7).

B 1) Oui. Exemple :

y

1

1

x

2) Oui. Exemple :

y

1

1

x

3) Non, c’est impossible. Si on trace une droite et une parabole dans un même plan cartésien, il n'y a que trois solutions possibles :

– La droite peut ne pas croiser la parabole ; il n'y a donc aucune solution.

– La droite peut croiser la parabole en un seul point : il n'y a alors qu'une solution.

– La droite peut croiser la parabole en deux points au maximum ; il y a alors deux solutions.

C La représentation graphique est la suivante :y

1

1

x

Par la méthode de comparaison, on a0,83T + 73 = 0,0175T2 + 0,55T + 13,6 0 = 0,0175T2 – 0,28T – 59,4.

En utilisant la formule T = -b ± b2 - 4 ac

2 a , on trouve

T1 ≈ -50,81 et T2 ≈ 66,8.

Dans cette situation, on rejette T1 ≈ -50,81 et on conserve T2 ≈ 66,8.

On détermine le point de rencontre de la parabole modélisant la solubilité du nitrate de potassium (KNO3) et de la droite modélisant la solubilité du chlorure de sodium (NaCl) :

Les équations sont s2 = 0,0175T2 + 0,55T + 13,6 et s3 = 0,02T + 36.

Par la méthode de comparaison, on a

0,0175T2 + 0,55T + 13,6 = 0,02T + 36

0,0175T2 + 0,53T – 22,4 = 0

En utilisant la formule T = -b ± b2 - 4ac

2a , on trouve

T1 ≈ -53,99 et T2 ≈ 23,7.

Dans cette situation, on rejette T1 ≈ -53,99 et on conserve T2 ≈ 23,7.

Voici l’affiche destinée aux techniciens. Celle-ci indique le sel qui a la plus grande solubilité et celui dont la solubilité est la plus faible pour des températures variant entre 0 °C et 100 °C. À 23,7 °C et à 66,8 °C, on remarque que deux sels ont la même solubilité. En effet, ces deux tempéra-tures correspondent aux abscisses des points de rencontre de la parabole avec chacune des droites.

Aux techniciennes et aux techniciens de ce laboratoire

Lorsque vous aurez à préparer des solutions d’eau et de sel contenant du NaNO3, du KNO3 ou du

NaCl, veuillez sélectionner le sel à dissoudre selon la température désirée de la solution en faisant

référence au tableau suivant :

Température (°C)

Sel le plus soluble

Sel le moins soluble

De 0 à 23,6 NaNO3 KNO3

23,7 NaNO3 KNO3 et NaCl

De 23,8 à 66,7 NaNO3 NaCl

66,8 NaNO3 et KNO3 NaCl

De 66,9 à 100 KNO3 NaCl

Paul Bariel, chimiste responsable des laboratoires



Les coordonnées des points de rencontre des deux courbes sont (1, 2) et (7, 5).

D Aux points de rencontre, y1 et y2 ont la même valeur.

E 1) ]-∞, 1] ∪ [7, +∞[

2) ]1, 7[

Manuel • p. 135

F

G 1)

Il y a deux solutions à ce système.

2)

Il y a deux solutions à ce système.

y

1

1

x

y

1

1

x

y

1

1

x

3)

Ce système ne comporte aucune solution.

H Pour résoudre un système d’équations, il faut déterminer les coordonnées du ou des points de rencontre des deux courbes. Or, il arrive que ces coordonnées sont impossibles à déterminer avec précision à cause de la graduation des deux axes qui ne permet pas de trouver ces valeurs.


1. a) 1)

2)

y

1

1

x

y

1

1

x

y

1

1

x x



3)

b) 1) Aucune solution

2) (2, 1) et (6, 9)

3) (4, 1)

2. x ∈ [1, 6]

2ActIvItéd’exploration Quand l’appétit va, tout va !

Manuel • p. 136

A

B Roberto et ses associés ont dû emprunter 50 000 $ pour ouvrir le restaurant L’éclaté et 30 000 $ pour ouvrir le restaurant Le gourmand.

C 1) Un peu plus de 17 mois

2) 12 mois

D Par la méthode de comparaison, on obtient

0,4(x – 5)2 – 60 = 2,5x – 30

0,4(x2 – 10x + 25) – 60 = 2,5x – 30

0,4x2 – 4x + 10 – 60 = 2,5x – 30

0,4x2 – 4x – 50 = 2,5x – 30

0,4x2 – 6,5x – 20 = 0.

y

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 x

Sold

es d

es c

om

pte

s(m

illie

rs $

)

Le solde des comptesde deux restaurants

50

10

Nombre de mois écoulésdepuisl’ouverture

Le gourmand

L’éclaté

En utilisant la formule x = -b ± b2 - 4 ac

2a, on trouve

x1 ≈ -2,6 et x2 ≈ 18,9.

Dans cette situation, on rejette x1 ≈ -2,6 et on conserve x2 ≈ 18,9.

Si la tendance se maintient, les deux comptes bancaires afficheront le même solde environ 18,9 mois après l’ouverture.

E Dans ce contexte, on observe le temps écoulé depuis l’ouverture des restaurants. Or, ici on doit rejeter la solution x1 ≈ -2,6, car elle correspond à la période de temps précédant l’ouverture.

F Ils devraient considérer un modèle ressemblant à celui de L’éclaté, car, à partir du moment où les deux comptes bancaires affichent le même solde, le solde du compte de L’éclaté croît plus rapidement que celui du restaurant Le gourmand.

G Non, ils auraient probablement privilégié un modèle ressemblant au restaurant Le gourmand. En effet, quatre mois après l’ouverture des deux restaurants, le solde du compte de L’éclaté était en décroissance, tandis que celui du Gourmand était en croissance.

Manuel • p. 137

H Le nombre de clients servis à L’éclaté se modélise par une fonction quadratique dont les coordonnées du sommet sont (10, 22).

f(x) = a(x – h)2 + k

f(x) = a(x – 10)2 + 22

En substituant à x et à f(x) les valeurs du couple (14, 30), on obtient

30 = a(14 – 10)2 + 22

30 = 16 a + 22

0,5 = a.

La règle de la fonction quadratique est f(x) = 0,5(x – 10)2 + 22.

Le nombre de clients servis au restaurant Le gourmand se modélise par une fonction du premier degré. En utilisant les couples (2, 30) et (6, 50), on obtient

∆y∆x

= 50 - 306 - 2

= 204

= 5

Le taux de variation est 5.

f(x) = 5x + b


30 = 5 • 2 + b

20 = b.

La règle de la fonction du premier degré est f(x) = 5x + 20.



I On vérifie en résolvant ce système par la méthode de comparaison :

0,5(x – 10)2 + 22 = 5x + 20

0,5(x2 – 20x + 100) + 22 = 5x + 20

0,5x2 – 10x + 50 + 22 = 5x + 20

0,5x2 – 10x + 72 = 5x + 20

0,5x2 – 15x + 52 = 0

(0,5x – 2)(x – 26) = 0

On a x = 4 et x = 26.

Il y a donc deux moments durant cette période où les deux restaurants ont servi le même nombre de clients. Cela s’est produit le 4e jour et le 26e jour après leur ouverture.

J On représente graphiquement les deux fonctions dans le même plan cartésien.

Au cours de ce mois, Le gourmand a servi quoti-diennement plus de clients que L’éclaté pendant 21 jours, soit du 5e au 25e jour inclusivement.


1. a) (-5, 13) et (2, -1)

b) Aucune solution

c) (12, 5)d) ≈ (1,73, 6,20) et ≈ (-1,73, -4,2)

2. a) x = 52 et x = 6

b) x ∈ ] 52, 6[

c) x ∈ ]-∞, 52

] ∪ [6, +∞[

No

mb

re d

e cl

ien

ts s

ervi

s

Le nombre de clients servisdans chaque restaurant

5 10 15 20 25 30 35

20

0

40

60

80

100

120

140

160

180

Nombre de jours écoulésdepuis l’ouverture

Le gourmand

L’éclaté

3ActIvItéd’exploration Circulation aérienne

Manuel • p. 138

A Non, car le point (-50, 15) est situé à l’extérieur de la limite de la zone balayée par le radar.

B On ne peut pas utiliser la méthode de comparaison, car, dans l’équation x2 + y2 = 2 500, les deux varia-bles sont affectées de l’exposant 2. Il n’est donc pas pos sible d’isoler l’une de ces deux variables.

C Par la méthode de substitution

D On substitue dans l’équation du second degré l’expression algébrique correspondant au y qui a été isolé dans l’équation du premier degré :

x2 + y2 = 2 500

x2 + (-0,5x – 10)2 = 2 500

x2 + 0,25x2 + 10x + 100 = 2 500

1,25x2 + 10x – 2 400 = 0

1,25(x2 + 8x – 1 920) = 0

1,25(x + 48)(x – 40) = 0

x = -48 et x = 40

Si x = -48, alors y = 14.

Si x = 40, alors y = -30.

Les coordonnées des points de rencontre sont (-48, 14) et (40, -30).

Dans ce contexte, l’avion entre dans la zone balayée par le radar lorsqu’il se situe 48 km à l’ouest et 14 km au nord de la tour de contrôle. De plus, il sort de la zone balayée par le radar lorsqu’il se situe 40 km à l’est et 30 km au sud de la tour de contrôle.

E Par la formule de la distance entre deux points d(A, B) = (x2 - x1)

2 + (y2 - y1)2, on calcule la

distance entre les points A(-48, 14) et B(40, -30) :

d(A, B) = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)

2

d(A, B) = (40 - -48)2 + (-30 - 14)2

= 9680 ≈ 98,39

Sachant que le temps est égal à la distance divisée

par la vitesse, on a t = dv

= 9680180

≈ 0,55.

L’avion sera dans cette zone pendant environ 0,55 h, soit environ 32,8 min.



Manuel • p. 139

F On détermine l’équation modélisant la trajectoire du second avion :

La pente de la droite modélisant la trajectoire de l’avion qui vole en direction nord-est est 1.

y = ax + b

y = x + b

En substituant à x et à y les valeurs du couple (-50, -30), on obtient

-30 = -50 + b

20 = b

L’équation qui modélise la trajectoire du second avion est y = x + 20.

On substitue dans l’équation du second degré l’expression algébrique correspondant au y qu’on a isolé dans l’équation du premier degré :

x2 + y2 = 2 500

x2 + (x + 20)2 = 2 500

x2 + x2 + 40x + 400 = 2 500

2x2 + 40x – 2 100 = 0

En utilisant la formule x = -b ± b2 - 4ac

2a , on trouve

x1 ≈ -43,91 et x2 ≈ 23,91.

Si x1 ≈ -43,91, alors y1 ≈ -23,91.

Si x1 ≈ 23,91, alors y2 ≈ 43,91.

Par la formule de la distance entre deux points d(C, D) = (x2 - x1)

2 + (y2 - y1)2,

on calcule la distance entre les points C(≈ -43,91, ≈ -23,91) et D(≈ 23,91, ≈ 43,91) :

d(C, D) = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)

2

d(C, D) ≈ (23,91 - -43,91)2 + (43,91 - -23,91)2

≈ 9200 ≈ 95,92

Sachant que le temps est égal à la distance divisée

par la vitesse, on a t = dv

= 9200200

≈ 0,48.

Le second avion sera dans cette zone pendant environ 0,48 heure, soit environ 28,8 min.

G Par la méthode de comparaison, on obtient

-0,5x – 10 = x + 20

-30 = 1,5x

-20 = x

Si x = -20, alors y = 0.

Les coordonnées du point de rencontre de leur trajectoire sont (-20, 0).

H Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : y = x + 80


1. a) (185

, 245 ) et (6, 0)

b) Aucune solution

c) (-4, 3) et (0, -5)

2. Oui, il sera détecté, car le système d’équations possède deux solutions. Il sera donc détecté entre x = -0,22 et x = 2,22.



a)

Solutions : (-2, 12) et (2, 12)

b)

Solution : (0, 5)

y

1

1

x

y

1

1

x



c)

Solutions : (-6, 1) et (-2, 1)

d)

Solution : (-2, 3)

e)

Solution : (2, 2)

f)

Aucune solution

y

1

1

x

y

1

1

x

y

1

1

x

y

x1

5


a)

Il peut y avoir 2, 1 ou 0 points de rencontre.

b)

Il peut y avoir 2, 1 ou 0 points de rencontre.

c)

Il y aura un seul point de rencontre.



a) y = x b) y = x - 10


a) Par la méthode de substitution, on obtient

4x - 4x2 = 1

-4x2 + 4x - 1 = 0

Le discriminant est 0.

x = -b2a

x = 12

y

1

1

x

y

1

1

x

y

1

1

x



Si x = 12, alors y = 1.

Les coordonnées du point de rencontre sont (12, 1).b) Par la méthode de comparaison, on obtient

-4x + 4 = -(x + 1)2 - 4

x2 - 2x + 9 = 0

Le discriminant est négatif. Il n’y a donc aucune solution.

c) Par la méthode de comparaison, on obtient

x2 - 3 = 2x - 3

x2 - 2x = 0

(x)(x - 2) = 0

x = 0 et x = 2

Si x = 0, alors y = -3.

Si x = 2, alors y = 1.

Les coordonnées des points de rencontre sont (0, -3) et (2, 1).

d) Par la méthode de substitution, on obtient

2x + x2 - 17 = -17

x2 + 2x = 0

(x)(x + 2) = 0

x = 0 et x = -2

Si x = -2, alors y = -13.

Si x = 0, alors y = -17.

Les coordonnées des points de rencontre sont (-2, -13) et (0, -17).

e) Par la méthode de comparaison, on obtient

43(x - 2)2 - 3 = 2x

3 + 5

4x2 - 18x - 8 = 0

x = 4,91 et x = -0,41

Si x = -0,41, alors y = 4,74.

Si x = 4,91, alors y = 8,27.

Les coordonnées des points de rencontre sont (-0,41, 4,74) et (4,91, 8,27).

f) Par la méthode de substitution, on obtient

2x - 9x2 - 12x + 15 = 4

-9x2 - 10x + 11 = 0

x = 0,68 et x = -1,79

Si x = 0,68, alors y = -0,89.

Si x = -1,79, alors y = -2,55.

Les coordonnées des points de rencontre sont (-1,79, -2,55) et (0,68, -0,89).


a) L’équation de la parabole:

y = a(x – 2)2 + 1

En substituant à x et à f(x) les valeurs du couple (-1, 0), on obtient

0 = a(-1 – 2)2 + 1

-1 = 9 a

-19

= a

L’équation de la parabole est y = -19

(x – 2) 2 + 1.

L’équation de la droite :

La pente est a = -4 - -110 - 6

= -34

y = ax + b

y = -34

x + b

En substituant à x et à f(x) les valeurs du couple (10, -4), on obtient

-4 = -34

• 10 + b

72

= b

L’équation de la droite est y = -34

x + 72

.


-19

(x - 2)2 + 1 = -34

x + 72

-436

(x - 2)2 + 3636

= -2736

x + 12636

-4x2 + 16x - 16 + 36 = -27x + 126

0 = 4x2 - 43x + 106

0,5x2 - 15x + 52 = 0


2a ,

on trouve x1 ≈ 3,83 et x2 ≈ 6,92.

Si x ≈ 3,83, alors y ≈ 0,63.

Si x ≈ 6,92, alors y ≈ -1,69.

b) L’équation de la droite :

y = ax + b

y = -12x + b


0 = -12 • 10 + b

120 = b

L’équation de la droite est y = -12x + 120.

L’équation de la parabole:

y = a(x - x1)(x - x2)

y = a(x - 2)(x - 10)



En substituant à x et à f(x) les valeurs du couple (0, -60), on obtient

-60 = a(0 - 2)(0 - 10)

-60 = 20 a

-3 = a

L’équation de la parabole est y = -3(x - 2)(x - 10).


-3(x - 2)(x - 10) = -12x + 120

-3x2 + 36x - 60 = -12x + 120

0 = 3x2 - 48x + 180

0 = 3(x - 6)(x - 10)

x1 = 6 et x2 = 10

Si x = 6, alors y = 48.

Si x = 10, alors y = 0.


a) Une solution c) Aucune solution

b) Deux solutions d) Une solution

Manuel • p. 144


L’équation qui modélise la vitesse de l’automobile en fonction du temps est une parabole dont les coordonnées du sommet sont (16, 15).

y = a(x - h)2 + k

y = a(x - 16)2 + 15


0 = a(4 - 16)2 + 15 -15 = 144 a

-15144

= a

L’équation qui modélise la vitesse de l’automobile

en fonction du temps est y = -15144

(x - 16)2 + 15.

L’équation qui modélise la vitesse du train en fonction du temps est une droite.

La pente est a = 12 - 1416 - 12

= 24

= -12

.

y = ax + b

y = -12

x + b


10 = -12

• 20 + b

20 = b

L’équation qui modélise la vitesse du train en fonction

du temps est y = -12

x + 20.


-15144

(x - 16)2 + 15 = -12

x + 20

-15144

(x - 16)2 + 2 160144

= -72144

x + 2 880144

-15x2 + 480x - 3 840 + 2 160 = -72x + 2 880

0 = 15x2 - 552x + 4 560


2a , on trouve

x1 ≈ 12,52 et x2 ≈ 24,28.

L’automobile et le train auront la même vitesse à environ 12,52 s, environ 24,28 s et à partir de 40 s.


a) Le domaine représente les valeurs possibles du coût du billet.

b) 1) Pour 0 ≤ x ≤ 70 :

-0,0075x2 + 0,6x = 0,15x

-x2 + 60x = 0

(x)(-x + 60) = 0

x = 0 et x = 60

Les revenus des deux théâtres sont les mêmes lorsque le prix des billets est de 0 $ et de 60 $.

Pour 70 < x ≤ 91 :

-0,0075x2 + 0,6x = -0,5x + 45,5

-0,0075x2 + 1,1x - 45,5 = 0

Le discriminant est négatif, il n’y a donc aucune solution possible pour la partie 70 < x ≤ 91.

Les revenus des théâtres sont les mêmes lorsque les billets se vendent 0 $ et 60 $. Comme les revenus des théâtres seraient nuls s’ils vendaient leurs billets 0 $, ils doivent vendre leurs billets 60 $ pour que leurs revenus soient les mêmes.



2) Lorsque 60 $ < x < 91 $.

20 40 60 80 100 120

1

0

2

3

4

5

6

7

8

910

11

1213

14

Théâtre Côté Cour

Prix du billet

La vente de billetspour une soirée au théâtre

Rev

enu

s (m

illie

rs d

e $)

Théâtre Côté Jardin

c) Le revenu maximal du théâtre Côté Jardin, soit 10 500 $, est atteint lorsque le prix du billet est de 70 $.

Le revenu maximal du théâtre Côté Cour correspond au sommet de la parabole, soit

h = -b 2 a

= -0,6

-0,015 = 40 et k = 4 ac - b2

4 a =

-0,36-0,03

= 12.

La salle du théâtre Côté Cour est susceptible de rapporter les revenus les plus élevés, soit 12 000 $, lorsque le prix du billet est de 40 $.

Manuel • p. 145



x2 + (x - 1)2 = 25

x2 - x - 12 = 0

x = -3 et x = 4

Si x = -3, alors y = -4.


Les coordonnées des points de rencontre sont (-3, -4) et (4, 3).

b) Par la méthode de substitution, on obtient

4x2 + (-2x + 1)2 = 25

2x2 - x - 6 = 0

x = -32

et x = 2

Si x = -32

, alors y = 4.

Si x = 2, alors y = -3.

Les coordonnées des points de rencontre

sont (-32

, 4) et (2, -3).

c) Par la méthode de substitution, on obtient

x2 + (-3x)2 = 10

x2 = 1

Si x = -1, alors y = 3.

Si x = 1, alors y = -3.

Les coordonnées des points de rencontre sont (-1, 3) et (1, -3).

d) Par la méthode de comparaison, on obtient

(x - 3 - 5)2 = x + 4

x2 - 17x + 60 = 0

x = 5 et x = 12


Si x = 12, alors y = 9.

Les coordonnées des points de rencontre sont (5, 2) et (12, 9).

e) Par la méthode de substitution, on obtient

(-8y)2 - 64y2 = 1

64y2 - 64y2 = 1

Cette équation est impossible, il n’y a donc aucune solution.


9 = (x + 1)2 + (0,5x + 3)2

5x2 + 20x + 4 = 0

x = -3,79 et x = -0,21

Si x = -3,79, alors y = 0,11.

Si x = -0,21, alors y = 1,89.

Les coordonnées des points de rencontre sont (-3,79, 0,11) et (-0,21, 1,89).


a) Le sommet de f(x) est (5, -2) et le sommet de g(x) est (-1, 4).

Ainsi la pente de la droite h est de 4 - -2-1 - 5

= -1.

y = -x + b

-2 = -1 • 5 + b

3 = b

L’équation de la droite est h(x) = -x + 3.



b) 1) -x + 3 = 14

(x - 5)2 - 2

x2 - 6x + 5 = 0

x = 1 et x = 5

Donc, h(x) < f(x) lorsque x ∈ ]-∞, 1[ ∪ ]5, +∞[.

2) -x + 3 = -3x2 - 6x + 1

3x2 + 5x + 2 = 0

x = -1 et x = -23

Donc, h(x) ≥ g(x) lorsque x ∈ ]-∞, -1] ∪ [ -23 , +∞[.


a) Oui, les solutions d’Emilio concordent avec les équations du système d’équations.

b) Non, par exemple, le système y = 3x + 1 et 2y - 1 = 4x2 + 6x - 11 ne peut pas être réduit simplement en additionnant les deux équations.


Non, car la droite ne touche jamais le cercle.

x2 + (2x - 12)2 = 20

5x2 - 48x + 124 = 0

Cette équation du second degré ne possède aucune solution. Le fait qu’il n’y a pas de solution possible implique que le sentier ne se situe pas dans la surface circulaire qu’on arrose.

ConsolidationManuel • p. 146

1. Équation d’une droite sous la forme générale,

équation d’une droite sous la forme fonctionnelle

Niveau de difficulté : faible

a) Faux, car il s’agit plutôt d’une droite verticale pour laquelle l’abscisse de tous les couples

est toujours 52.

b) Faux, car il s’agit plutôt d’une droite oblique (bissectrice des quadrants 1 et 3).

c) Vrai, car c’est la forme y = 0x + b.

d) Vrai, car l’accroissement des abscisses est nul et, dans le calcul de la pente, on aura une division par zéro, ce qui donne un résultat indéterminé.

e) Vrai, car l’équation d’une droite verticale ne peut être exprimée sous la forme y = ax + b.

2. Droites parallèles, droites perpendiculaires


a) y = 2x3

- 83

b) y = x6 - 3

c) 7x – 28y – 26 = 0

d) y = -x

3. Droites parallèles, droites perpendiculaires


a) k = 9 b) k = -4

4. Inéquation du premier degré à deux variables


a) m : nombre de motocyclettes fabriquées

s : nombre de scooters fabriqués

m + s ≤ 400

b)

c) Non. Puisqu’il est impossible de construire un nombre négatif de véhicules, seuls les points situés dans le premier quadrant sont des solutions. Ainsi, le point (-100, 500), par exemple, n’est pas une solution.

5. Résolution algébrique d’un système d’équations

du premier degré à deux variables


Le système 1




a) x = -2 et y = -3

b) x = 15 et y = 9

c) x = 7 et y = 17

d) x = 17 et y = 16

e) x = 3 et y = 92

f) x = 112

et y = 3

(0, 400)

(400, 0)

y

x



Manuel • p. 147




Plusieurs réponses sont possibles en a1, a3, b1 et b3. Exemple :

a) 1) 2x + 2y = 4

2) 2x + 2y = 8

3) 1x + 2y = 8

b) 1)

2)

3)




(3, -1), (5, -13 ) et (4, 0)

y

1

1

x

y

1

1

x

y

1

1x

9. Résolution algébrique d’un système composé d’une

équation du premier degré et d’une équation du

second degré

Niveau de difficulté : moyen


x2 - 4x + 4 = 0

(x - 2)(x - 2) = 0

x = 2



x2 + x2 = 32

x2 = 16

x = -4 et x = 4

Si x = -4, alors y = -4.


c) Par la méthode de substitution, on obtient

3x + x2 + x + 3 = 1

x2 + 4x + 2 = 0

x ≈ -3,41 et x ≈ -0,59

Si x ≈ -3,41, alors y ≈ 11,24.

Si x ≈ -0,59, alors y ≈ 2,76.

d) Par la méthode de substitution, on obtient

x2 + x2 + 2x + 52 = 1

2x2 + 5x + 3 = 0

(2x + 3)(x + 1) = 0

x = -1 et x = -32

Si x = -1, alors y = 3.

Si x = -32 , alors y = 72.

e) Par la méthode de substitution, on obtient

(2y + 7)2 + y2 = 16

5y2 + 28y + 33 = 0

y ≈ -3,91 et y ≈ -1,69

Si y ≈ -1,69, alors x ≈ 3,63.

Si y ≈ -3,91, alors x ≈ -0,83.


x2 + (2x - 7)2 = 13

5x2 - 28x + 36 = 0



x = 2 et x = 3,6

Si x = 2, alors y = -3.

Si x = 3,6, alors y = 0,2.

10. Résolution algébrique d’un système composé d’une


second degré


Les coordonnées du point A sont (6, 5), donc la

droite doit passer par les points (3, 0) et (6, 5).

L’équation de la droite est y = 5x3

- 5.

Par la méthode de comparaison, on obtient

518 (x - 6)2 + 5 = 5x

3 - 5

x2 - 18x + 72 = 0

(x - 6)(x - 12) = 0

x = 6 et x = 12


Si x = 12, alors y = 15.

Les coordonnées du point B sont (12, 15).

Manuel • p. 148

11. Une question de signe

Pente


La pente d’une droite est positive si les paramètres A et B de la forme générale ont des signes différents ; si les signes sont identiques, la pente est négative.

12. Quatre droites, quatre côtés

Pente, droites parallèles, droites perpendiculaires


La pente de chaque équation est -12

, 1, 1 et -12

.

Les droites sont donc parallèles deux à deux. Cependant, il n’y a pas de droites perpendiculaires ; il s’agit donc d’un parallélogramme.

13. Décision de placement

Résolution algébrique d’un système d’équations



On modélise la situation par un système d’équations.

x : le montant placé dans les obligations d’épargne

y : le montant placé dans un fonds de placement à rendement indéterminé

Étant donné que les obligations d’épargne rapportent 3 % par année, après un an, la somme placée vaut 1,03 fois le montant initial.

Étant donné que le fonds de placement rapporte 5 % par année, après un an, la somme placée vaut 1,05 fois le montant initial.

x + y = 1 500

1,03x + 1,05y = 1 562

On résout le système d’équations par une méthode algébrique et on obtient x = 650 et y = 850.

Rosalie a placé 650 $ dans les obligations d’épargne et 850 $ dans un fonds de placement à rendement indéterminé.

On calcule la valeur de 1,03x + 1,05y en remplaçant le x par 850 et le y par 650 : 1,03 • 850 + 1,05 • 650 = 1 558

Rosalie n’aurait pas plus d’argent aujourd’hui. Elle aurait 1 558 $ au lieu de 1 562 $.

14. Pression sous l’eau

Résolution algébrique et graphique d’un système

d’équations du premier degré à deux variables


Résolution algébrique :

L’équation sous le niveau de la mer est P = x10

+ 1.

L’équation en altitude est P = x10

+ 0,6.

Par comparaison, on ax

10 + 1 = x

10 + 0,6

0x = -0,4.

Le système n’a donc aucune solution.

Résolution graphique :

Ce sont deux droites parallèles distinctes ; il n’y a donc aucun point de rencontre.

Ce système ne possède aucune solution.

y

1

1

x



Manuel • p. 149

15. Faire autrement


du premier degré à deux variables (méthode

de comparaison)


On prend l’équation sous la forme fonctionnelle y = ax + b, et on y substitut les coordonnées des deux points, ce qui donne les deux équations suivantes 4 = 3 a + b et 6 = 6 a + b.

On isole le paramètre b dans chaque équation et, en comparant, on obtient

4 - 3 a = 6 - 6 a

a = 23

.

En remplaçant dans l’une ou l’autre des équations

initiales le a par 23 , on obtient b = 2, ce qui

donne l’équation y = 23 x + 2.

16. Zone sinistrée

Résolution algébrique d’un système composé d’une


second degré, distance entre deux points


Par la méthode de substitution, on obtient

(x - 20)2 + (0,2x - 10)2 = 49

1,04 - 44x + 451 = 0

x ≈ 17,43 et x ≈ 24,88

En remplaçant dans l’équation initiale le x par les deux valeurs de x, on obtient les points ≈ (17,43, 3,49) et ≈ (24,88, 4,97).

En utilisant la formule de la distance entre deux points, on trouve que la distance séparant ces deux points est d’environ 7,59 km.

17. Croissance d’un arbre




a) A : le nombre d’années depuis 2009

D : le diamètre de l’arbre

Dthuya = A2,5

+ 40

Dpeuplier = A1,5

+ 20

b) Non, on pose A2,5 + 40 = A

1,5 + 20.

Donc, A = 75.

Les deux arbres auront le même diamètre dans 75 ans. Il est donc impossible que Sandrine observe à un certain moment au cours des trente prochaines années que les deux arbres ont le même diamètre.

Manuel • p. 150

18. La grande évasion

Pente, droites perpendiculaires, droites parallèles


Pente de la clôture principale : -15

Pente de la clôture mitoyenne : 5

Le produit des pentes est -1 ; les clôtures principale et mitoyenne sont donc perpendiculaires.

Pente du tunnel : 194

La pente du tunnel n’est pas égale à la pente de la clôture mitoyenne ; le tunnel et la clôture mitoyenne ne sont donc pas parallèles.

Les prisonniers avaient raison de supposer que la clôture principale et la clôture mitoyenne étaient perpendiculaires, mais le tunnel qu’ils ont creusé n’était pas parallèle à la clôture mitoyenne.

19. Rattrapage



second degré


d1 = 4t et d2 = t2, on pose 4t = t2, ce qui est vrai lorsque t = 0 et t = 4 ; dans le présent contexte, on peut rejeter t = 0.

Après 4 s, le bolide bleu sera à 16 m, il faudrait donc positionner le fil d’arrivée à 16 m devant la position de départ du bolide bleu.

Manuel • p. 151

20. Le code ASCII

Modélisation algébrique, résolution algébrique

d’un système d’équations du premier degré à deux

variables (méthode de substitution)




a) x : le premier code y : le deuxième code

Le système d’équations est le suivant :

x + y = 225

y = x + 3

Par la méthode de substitution, on obtient

x + x + 3 = 225

2x = 222

x = 111

En substituant la valeur de x dans l’une ou l’autre des équations initiales, on trouve y = 114.

Le mot est or.

b) x : le premier code y : le deuxième code z : le troisième code

Le système d’équation est le suivant

x + y + z = 208 x + y = 141

y + z = 132

On isole la variable z dans la troisième équation :

z = -y + 132

En substituant la valeur de cette variable dans la première équation, on obtient

x + y + -y + 132 = 208

x = 76

En substituant la valeur de x dans la seconde équation du système, on trouve y = 65.

En substituant la valeur de y dans la troisième équation du système, on trouve z = 67.

Le mot est LAC.

21. Deux couleurs

Inéquation du premier degré à deux variables,

droites perpendiculaires, pente


Pente de la route principale : 23

La pente du sentier bleu doit être -32

pour que celui-ci

soit perpendiculaire à la route principale. Avec le point

(-150, 150), on obtient l’équation y = -32 x - 75 pour

le sentier bleu. L’inéquation est y < -32 x - 75, car

le point (-150, 0) situé dans la zone bleue

vérifie cette inéquation.

Manuel • p. 152

22. Reproduction

Résolution algébrique d’un système composé de

deux équations du second degré


a) Sommet situé dans le 1er quadrant :

h1 = -b2 a

= -4-2

= 2 et

k1 = 4 ac - b2

4 a = 4 - 16

-4 = 3

donc, le point (2, 3).

Sommet situés dans le 4e quadrant :

h2 = -b2 a

= 84

= 2 et

k2 = 4 ac - b2

4 a = 56 - 64

8 = -1

donc, le point (2, -1).

On détermine la hauteur du masque :

3 - -1 = 4

La hauteur est d’environ 4 dm.

On détermine la largeur du masque :


-x2 + 4x - 1 = 2x2 - 8x + 7

3x2 - 12x + 8 = 0

x ≈ 0,85 et x ≈ 3,16

3,16 - 0,85 ≈ 2,31

La largeur est d’environ 2,31 dm.

b) y ≥ 2x2 - 8x + 7

y ≤ -x2 + 4x - 1

23. Une solution en or

Modélisation algébrique et résolution algébrique d’un

système d’équations du premier degré à deux variables



Avec un alliage 14 ct, on sait que 1424

de la masse doit être composée d’or pur.

Pour une bague de 180 g, il faut 105 g d’or pur, car 14

24 • 180 = 105.



Première proposition :

Pour fabriquer sa bague, Juanita peut utiliser les 100 g d’alliage 18 ct et les 30 g d’alliage 14 ct.

Jusqu’ici, Juanita aura utilisé 130 g (100 + 30 = 130) sur les 180 nécessaires pour produire cette bague. De plus, elle aura 92,5 g d’or pur sur les 105 g d’or pur nécessaires pour obtenir une bague d’un alliage d’or 14 ct.

Les 92,5 g viennent du calcul suivant :1824 • 100 + 14

24 • 30 = 75 + 17,5 = 92,5

x : la masse d’alliage 10 ct y : la masse d’alliage métallique sans or


130 + x + y = 180

92,5 + 1024

x + 024

y = 105

x + y = 50

512 x = 12,5

En résolvant la deuxième équation, on trouve que x = 30.

Il faut donc 30 g d’alliage 10 ct.

En remplaçant la valeur de x dans la première équation, on obtient

x + y = 50

30 + y = 50

y = 20

Il faut 20 g d’alliage métallique sans or.

Dans un premier temps, on proposera à Juanita d’utiliser 100 g d’alliage 18 ct, 30 g d’alliage 14 ct, 30 g d’alliage 10 ct et 20 g d’alliage métallique sans or.

Deuxième proposition :

Pour fabriquer sa bague, Juanita peut utiliser les 100 g d’alliage 18 ct et 12 g d’alliage 14 ct.

Jusqu’ici elle aura utilisé 112 g (100 + 12 = 112) sur les 180 g nécessaires pour produire cette bague. De plus, elle aura 82 g d’or pur sur les 105 g d’or pur nécessaires pour obtenir une bague d’un alliage d’or 14 ct.

Les 82 g viennent du calcul suivant :

1824

• 100 + 1424 • 12 = 75 + 7 = 82

x : la masse d’alliage 10 ct y : la masse d’alliage métallique sans or


112 + x + y = 180

82 + 1024

x + 024

y = 105

x + y = 68

512

x = 23

En résolvant la deuxième équation, on trouve que x = 55,2.

Il faut donc 55,2 g d’alliage 10 ct.

En remplaçant la valeur de x dans la première équation, on trouve la valeur de y :

x + y = 68

55,2 + y = 68

y = 12,8

Il faut 12,8 g d’alliage métallique sans or.

Dans un deuxième temps, on proposera à Juanita d’utiliser 100 g d’alliage 18 ct, 12 g d’alliage 14 ct, 55,2 g d’alliage 10 ct et 12,8 g d’alliage métallique sans or.

Manuel • p. 153

24. Improvisation mixte

Résolution algébrique d’un système d’inéquations du

premier degré à deux variables


a) x : le nombre d’élèves y : le nombre d’invités

x + y = 400

5x + 8y = 2 258


5(400 - y) + 8y = 2 258

x = 314 et y = 86

Il y avait 314 élèves et 86 invités présents à cette soirée.

c) x : le nombre d’élèves y : le nombre d’invités

x + y > 400

5x + 8y > 2 258



d)

e) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Élèves Invités

200 240

240 180

300 120

300 140

320 100

25. Indice UV



second degré


a)

b) Toronto présente un indice UV supérieur à celui de Sydney durant les mois de mars à septembre. Toronto et Sydney ne sont pas dans le même hémisphère. Lorsque c’est l’été à Toronto, c’est l’hiver à Sydney et réciproquement.

160 200 2400 40 80 120 280 320 360 400

120

60

90

30

150

180

210

240

270

300

y

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112130

123456789

101112

xe mois de l’année

SydneyToronto

L’indice UV moyenpour Toronto et Sydney

Ind

ice

UV

Manuel • p. 154

26. Choisir son moment



second degré


160 200 2400 4012 80 120 280 320

2 000

1 000

1 500

500

2 500

3 000

3 500

4 000

alti

tud

e (m

)

temps (s)

Le saut en parachute

Par la méthode de comparaison, on trouve la valeur de l’abscisse du point de rencontre entre la parabole et la droite :-4,9t2 + 3 500 = -53t + 3 430

0 = 4,9t2 - 53t - 70

t ≈ -1,91 et t ≈ 12

Ici, on ne conserve que la valeur de t d’environ 12.

Dans la seconde phase du saut, on doit trouver la valeur de t lorsque l’altitude est de 1 000 m :

a(t) = -53t + 3 430

1 000 = -53t + 3 430

53t = 2 430

t ≈ 45,85

On calcule l’intervalle de temps que dure la deuxième phase du saut :

t ≈ 45,85 - 12 ≈ 33,85

La deuxième phase du saut est d’environ 33,85 s.

Dans la dernière phase du saut, on doit trouver la valeur de t lorsque le parachutiste atterrit, c’est-à-dire lorsque a(t) = 0. On détermine d’abord la règle de la fonction modélisant l’altitude du parachutiste lors de la dernière phase du saut. On a a(t) = -4t + b, car la vitesse est de 4 m/s. On détermine la valeur de b en remplaçant t par 45,85 et a(t) par 1 000.



1 000 = -4 • 45,85 + b

1 183,4 = b

a(t) = -4t + 1 183,4

La valeur de t lorsque l’altitude est de 0 m est

0 = -4t + 1 183,4

295,85 = t.

On calcule l’intervalle de temps que dure la dernière phase du saut:

t = 295,85 - 45,85 = 250

La dernière phase du saut dure 250 s.

Au début, le parachutiste chute lentement et accélère sa chute pendant environ 12 s. Ensuite, il chute à une vitesse constante de 53 m/s pendant environ 33,85 s. Finalement, il ralentit de 4 m/s pendant 250 s et atterrit.

27. À pied dans le quartier


du premier degré à deux variables (méthode de

comparaison), distance entre deux points


La pente de la rue Montmartre est 250 - 0300 - 100

= 54,

et celle-ci passe par le point (100, 0). Donc, l’équation représentant la rue Montmartre est

y = 54 x - 125. La pente de l’accès piétonnier est

donc -45

, et celui-ci doit passer par le point (300, 40).

L’équation de l’emplacement de l’accès piétonnier est y =

-45 x + 280.

En utilisant la méthode de comparaison, on obtient54 x - 125 =

-45 x + 280.

x ≈ 197,56 et y ≈ 121,95

Le point E correspond à l’abscisse à l’origine (350, 0).

En utilisant la formule de la distance entre deux points, on trouve que la distance à parcourir est d’environ 195,22 m.

Manuel • p. 155

28. Le rideau d’eau



second degré (méthode de comparaison)


L’équation de la parabole est y = a(x - 3)2.

Avec le point (0, 2), on obtient y = -13 (x - 3)2 + k.

Pour trouver les coordonnées du point C, il faut d’abord calculer les abscisses à l’origine de la parabole :

0 = -13 (x - 3)2 + 5

x2 - 6x - 6 = 0

x ≈ -0,87 et x ≈ 6,87

On peut rejeter la solution négative.


25 x -

115 =

-13 (x - 3)2 + 5

-5x2 + 24x + 63 = 0

x ≈ -1,89 et x ≈ 6,68.

On peut rejeter la solution négative. Le point D est donc à 6,68 m et le point C, à 6,87 m.

6,87 - 6,68 = 0,19

La distance recherchée est d’environ 0,19 m.

29. Seuil de rentabilité

Résolution algébrique d’un système d’équations du

premier degré à deux variables, interprétation de

la ou des solutions, selon le contexte


a) yc = 8x + 10 000

yr = 10x

On cherche à déterminer le nombre de chandails que doit vendre l’entreprise afin que les revenus et les coûts soient égaux :

yr = yc

10x = 8x + 10 000

2x = 10 000

x = 5 000

L’entreprise doit vendre 5 000 chandails chaque mois.

b) yc = 8x + 10 000

yc = 8 • 5 000 + 10 000

yc = 40 000 + 10 000

yc = 50 000

Les coûts de production et les revenus sont alors de 50 000 $.

c) On calcule les profits nets mensuels pour la vente de 15 000 chandails sans acheter la nouvelle machine :



yr = 10x = 10 • 15 000 = 150 000

yc = 8x + 10 000 = 8 • 15 000 + 10 000 = 130 000

Les profits nets sont de 20 000 $ par mois si la nouvelle machine n’est pas achetée.

On calcule les profits nets mensuels pour la vente de 15 000 chandails si l’entreprise décide d’acheter la nouvelle machine :

yr = 10x = 10 • 15 000 = 150 000

yc = 5x + 50 000 = 5 • 15 000 + 50 000 = 125 000

Les profits nets sont de 25 000 $ par mois si la nouvelle machine est achetée.

L’entreprise devrait acheter la nouvelle machine, car cet achat fait augmenter ses profits nets mensuels de 5 000 $ lorsqu’elle vend 15 000 chandails par mois.

Manuel • p. 156

30. Format idéal

Résolution algébrique d’un système d’équations du

premier degré à deux variables


On modélise la situation par un système d’équations.

A : la quantité de comprimé A B : la quantité de comprimé B

120A + 300B = 960

25A + 80B = 235

En isolant la variable A dans la deuxième équation et en substituant cette valeur dans la première équation, on obtient :

120 • (-165 B + 47

5 ) + 300B = 960

On résout le système d’équations et on obtient :

B = 2 et A = 3

Ceci vaut pour une dose. Pour 20 doses, il faudrait donc 60 comprimés du médicament A et 40 comprimés du médicament B.

Afin de faire en sorte que les deux bouteilles de médicaments soient vides en même temps, on recommande de mettre 60 comprimés du médi-cament A dans une bouteille et 40 comprimés du médicament B dans une autre.


Documents

Chapitre La droite et les systèmes d’équations 7€¦ · Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. Intersection SN Guide B Corrigé du manuel 49 La droite