Chapitre_1_Corriges

UPMC et CNED– Licence mention Mathématiques – Maths 203 : Calcul Scientifique

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EXERCICES du CHAPITRE 1 – CORRIGES

On trouvera ici le corrigé des questions du chapitre 1. On montre en même temps ce que doit être la rédaction de devoirs portant sur l’utilisation du logiciel ; >la totalité des instructions utilisées doit être explicitée (on peut fournir éventuellement une version imprimée de la feuille de calcul réalisée), > une instruction n’étant que la réalisation, l’enchaînement des instructions doit être commentée en indiquant ce que l’on attend des calculs que l’on fait et comment on en exploitera les résultats. Autrement dit on reste dans la ligne d’une rédaction mathématique habituelle. A – Nombres complexes – Q1 – L’instruction sqrt(z) renvoie le nombre complexe a+bi tel que 0a > dont le carré est égal à b (si z b= − avec 0b > , on a ( )sqrt b bi− = )

Comme cos( ) 06π

> et cos( ) 012π

> , par les instructions

• z:=exp(PI*I/6) 1/2 3 ---- + 1/2 I 2 • z1:=rectform(sqrt(z)) / 1/2 \1/2 / 1/2 \1/2 | 3 | | 3 | | ---- + 1/2 | + I | - ---- + 1/2 | \ 4 / \ 4 / • z2:=rectform(sqrt(z1)) / / 1/2 \1/2 \1/2 / / 1/2 \1/2 \1/2 | | 3 | | | | 3 | | | | ---- + 1/2 | | | | ---- + 1/2 | | | \ 4 / | | \ 4 / | | ----------------- + 1/2 | + I | - ----------------- + 1/2 | \ 2 / \ 2 /

on obtient pour z2 le nombre complexe exp( )24

i π sous forme normalisée.

On a alors 32 exp( ) (cos sin ))

8 4 4z sqrt iπ π π

= = + - noter que cos8π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

On calcule algébriquement 33 2z z= par


2

• z3:=expand(z2^3) / / / 1/2 \1/2 \1/2 | | | 3 | | | | | ---- + 1/2 | | / / 1/2 \1/2 \3/2 | | \ 4 / | | | 3 | | | 3 | ----------------- + 1/2 | | | ---- + 1/2 | | | \ 2 / | \ 4 / | | - -------------------------------- + | ----------------- + 1/2 | + \ 2 \ 2 / / / 1/2 \1/2 \1/2 \ | | 3 | | | / 1/2 \1/2 | | ---- + 1/2 | | | | 3 | | \ 4 / | | 3 | ---- + 1/2 | | ----------------- + 1/2 | | \ 4 / \ 2 / | -------------------------------------------------- | + I 2 / / / / 1/2 \1/2 \1/2 | | | 3 | | | | | ---- + 1/2 | | | | \ 4 / | | 3 | - ----------------- + 1/2 | | \ 2 / | ---------------------------------- - \ 2 / / 1/2 \1/2 \3/2 | | 3 | | | | ---- + 1/2 | | | \ 4 / | | - ----------------- + 1/2 | + \ 2 / / / 1/2 \1/2 \1/2 \ | | 3 | | | / 1/2 \1/2 | | ---- + 1/2 | | | | 3 | | \ 4 / | | 3 | ---- + 1/2 | | - ----------------- + 1/2 | | \ 4 / \ 2 / | ---------------------------------------------------- | 2 /

ce qui est un résultat plutôt compliqué.

On obtient la racine carrée de cos sin4 4

iπ π+ par

• z4:=rectform(sqrt(cos(PI/4)+I*sin(PI/4))) / 1/2 \1/2 / 1/2 \1/2 | 2 | | 2 | | ---- + 1/2 | + I | - ---- + 1/2 | \ 4 / \ 4 / En passant aux calculs avec 25 décimales on obtient pour différence en virgule flottante entre z3 et z4 • DIGITS:=25;float(z3-z4) 25


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3.786532345060856665976297e-29 I Q2 – L’instruction assume permet d’imposer que x et y soient des identificateurs de type réel : • assume(x,Type::Real);assume(y,Type::Real) • z:=x+y*I x + I y • w:=z+2+3*I x + I y + (2 + 3 I) On introduit ensuite • eq:=rectform(abs(w))^2-rectform(abs(z)+abs(2+3*I))^2 2 2 1/2 2 2 1/2 2 (x + 2) + (y + 3) - (13 + (x + y ) ) que l’on développe • eq1:=expand(eq) 1/2 2 2 1/2 4 x + 6 y - 2 13 (x + y ) Par solve on trouve • sol:=solve(eq1) { -- 1/2 1/2 -- } { | 2 D38 13 3 D38 13 | } { | x = -----------, y = ----------- | } { -- 13 13 -- } dans lequel D38 est un nouvel identificateur choisi par la machine. La solution est donc à chercher sous la forme 2 , 3x t y t= = avec t réel. • assume(t,Type::Real) Type::Real • x:=2*t;y:=3*t 2 t 3 t On a alors • eq1


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1/2 2 1/2 26 t - 2 13 (13 t ) ce qui montre que l’on doit avoir 0t ≥ . Finalement on obtient la solution sous la forme

(2 3 )z t i= + avec 0t ≥ . Les points correspondants sont ceux de la demi-droite [ )OA issue de O et passant par le point A d’affixe 2+3i. Q3 – Ce corrigé doit être étudié avec soin, en particulier pour les informations sur les ensembles et les listes – On introduit • p:=z^3-I*z+1 3 z - I z + 1 On a ensuite • sol:=solve(p,z) 3 RootOf(X1 - I X1 + 1, X1) Dans l’aide en ligne il est indiqué que RootOf est une représentation symbolique de l’ensemble des racines de l’équation p=0. L’important est évidemment de savoir ce que l’on peut faire de cette représentation symbolique . On peut d’abord obtenir l’expression en virgule flottante de toutes ces racines • DIGITS:=25;fsol:=float(sol) 25 {- 1.00469882209547161720113 - 0.3453793009246787005769968 I, 0.7801561373067550220091354 + 1.035693835483686686650364 I, 0.2245426847887165951919943 - 0.6903145345590079860733668 I} On peut également obtenir les fonctions symétriques de la forme ( )f i∑ où f est un polynôme à coefficients rationnels et où la somme est étendue à toutes les racines. Ainsi • s1:=sum(i,i=sol) 0


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• s2:=sum(i^2,i=sol) 2 I • s3:=sum(i^3,i=sol) -3 Introduisons alors les trois équations • eq1:=u+v+w=s1 u + v + w = 0 • eq2:=u^2+v^2+w^2=s2 2 2 2 u + v + w = 2 I • eq3:=u^3+v^3+w^3=s3 3 3 3 u + v + w = -3 Par solve on a alors • sols:=solve({eq1,eq2,eq3},{u,v,w}) { -- 2 1/2 2 1/2 { | w (4 I - 3 w ) (4 I - 3 w ) w { | u = - - - ---------------, v = --------------- - -, { -- 2 2 2 2 -- -- 2 1/2 3 | | (4 I - 3 w ) w w = RootOf(X2 - I X2 + 1, X2) |, | u = --------------- - -, -- -- 2 2 2 1/2 -- } w (4 I - 3 w ) 3 | } v = - - - ---------------, w = RootOf(X2 - I X2 + 1, X2) | } 2 2 -- } que l’on interprète de la façon suivante : si l’on connaît une solution w de l’équation p=0, les deux autres s’obtiennent à une permutation près par


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• solsa -- 2 1/2 2 1/2 -- | w (4 I - 3 w ) (4 I - 3 w ) w | | u = - - - ---------------, v = --------------- - - | -- 2 2 2 2 -- Pour afficher ce résultat on doit procéder à quelques manipulations sur les ensembles et listes : sols est un ensemble à deux éléments. D’une façon générale un ensemble est une suite de symboles enfermés entre deux parenthèses et séparés par des virgules • e1:={a,b,c,d} {a, b, c, d} De même une liste est une suite de symboles enfermés entre deux crochets et séparés par des virgules • L:=[a,b,c,d] [a, b, c, d] Dans la liste l’ordre joue un rôle essentiel, alors que l’ensemble il n’intervient pas • e2:={d,c,b,a} {a, b, c, d} • L2:=[d,c,b,a] [d, c, b, a] D’autre part dans un ensemble il n’y a pas d’élément répété • e3:={a,a,a,a} {a} • L3:=[a,a,a,a] [a, a, a, a] Pour en revenir à l’exemple en cours sols est un ensemble à deux éléments dont les éléments sont des listes à trois termes. Ensembles et listes apparaissent donc sous la forme d’expressions graphiques : e1:={a,b,c,d}


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est aussi le résultat du « combinateur » {} appliqué aux opérandes a,b,c,d, opérandes que l’on peut récupérer par l’instruction op • e11:=op(e1) d, c, b, a • L11:=op(L) a, b, c, d (on notera que dans e11 il y a eu une modification de l’ordre). Avec e11 et L11 on obtient des expressions (vérification par domtype) dont on peut isoler les composants • e11[1] d • L11[3] c Par en revenir à l’exemple en cours on a • sols2:=op(sols) -- 2 1/2 2 1/2 | w (4 I - 3 w ) (4 I - 3 w ) w | u = - - - ---------------, v = --------------- - -, -- 2 2 2 2 -- -- 2 1/2 3 | | (4 I - 3 w ) w w = RootOf(X2 - I X2 + 1, X2) |, | u = --------------- - -, -- -- 2 2 2 1/2 -- w (4 I - 3 w ) 3 | v = - - - ---------------, w = RootOf(X2 - I X2 + 1, X2) | 2 2 -- On note que la deuxième liste s’obtient à partir de la première en permutant u et v. On s’intéresse uniquement à la première • sols3:=sols2[1]


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-- 2 1/2 2 1/2 | w (4 I - 3 w ) (4 I - 3 w ) w | u = - - - ---------------, v = --------------- - -, -- 2 2 2 2 -- 3 | w = RootOf(X2 - I X2 + 1, X2) | -- • solsa:=[sols3[1],sols3[2]] -- 2 1/2 2 1/2 -- | w (4 I - 3 w ) (4 I - 3 w ) w | | u = - - - ---------------, v = --------------- - - | -- 2 2 2 2 -- On a ainsi une liste formée d’égalités dont les membres de gauche sont des identificateurs. L’instruction assign transforme ces égalités en assignations comme on le vérifie en appelant u et v • assign(solsa) -- 2 1/2 2 1/2 -- | w (4 I - 3 w ) (4 I - 3 w ) w | | u = - - - ---------------, v = --------------- - - | -- 2 2 2 2 --

• u;v 2 1/2 w (4 I - 3 w ) - - - --------------- 2 2 2 1/2 (4 I - 3 w ) w --------------- - - 2 2

Revenons aux solutions en virgule flottante de fsol et assignons à w la troisième de ces solutions • w:=fsol[3] 0.2245426847887165951919943 - 0.6903145345590079860733668 I

On obtient alors pour u • u - 1.00469882209547161720113 - 0.3453793009246787005769968 I


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et pour v • v 0.7801561373067550220091354 + 1.035693835483686686650364 I

On constate enfin que • u-fsol[1] 2.524354896707237777317531e-29 - 2.524354896707237777317531e-29 I • v-fsol[2] - 1.262177448353618888658766e-29 + 2.524354896707237777317531e-29 I Q4 – On introduit • p:=(x-r)*(x^2+a*x+b) 2 (x - r) (b + a x + x

et on obtient la décomposition de 1p

par

• aux:=partfrac(1/p,x) - a - r x --------------- - --------------- 1 b - r (- a - r) b - r (- a - r) ------------------------- + --------------------------------- (x - r) (b - r (- a - r)) 2 b + a x + x

On passe ensuite à • p1:=x^3+2*x^2-x+1 2 3 2 x - x + x + 1 • DIGITS:=25 • r:=numeric::realroot(p1,x=-5..5) -2.546818276884082079135998 On factorise le polynôme 1p en 1 1( )p x r q= − par • q1:=divide(p1,x-r,[x],Quo) 2 x - 0.5468182768840820791359975 x + 0.3926467817026408117648796


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On note que le polynôme q1 est sans racine réelle • solve(q1) {[x = 0.2734091384420410395679988 - 0.5638210928291186663377083 I], [x = 0.2734091384420410395679988 + 0.5638210928291186663377083 I]} On fait le lien avec p en posant • a:=coeff(q1,x,1) -0.5468182768840820791359975 • b:=coeff(q1,x,0) 0.3926467817026408117648796 ce qui conduit à la décomposition en éléments simples • aux 0.3740080750731480049422067 - 0.1208959322056084081125018 x ---------------------------------------------------------------- + 2 x - 0.5468182768840820791359975 x + 0.3926467817026408117648796 0.1208959322056084081125018 ------------------------------ x + 2.546818276884082079135998 Q5 –1. On introduit • f:=2*x*tan(PI*x/2)/PI / x PI \ 2 x tan| ---- | \ 2 / --------------- PI

Le tracé s’obtient avec l’instruction plot ::Function2d dans laquelle on spécifie la fenêtre de tracé et on bloque la recherche de discontinuité • g:=plot::Function2d(f,x=-1..1,y=-1..1,Color=RGB::Red,Discont=FALSE) / / x PI \ \ | 2 x tan| ---- | | | \ 2 / | plot::Function2d| ---------------, x = -1..1 | \ PI /


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On obtient le graphique sur écran indépendant VCam par • plot(g)

La fonction f est strictement croissante dans [0,1[ comme produit de fonctions strictement croissantes à valeurs positives. Le développement limité s’obtient par l’instruction series (pour avoir les termes jusqu’à l’ordre 6 on veut un reste en 7( )O x ) • sf:=series(f,x=0,7) 4 2 6 4 8 6 2 x PI x PI 17 x PI 9 x + ------ + ------ + --------- + O(x ) 12 120 20160 La fonction cherchée h est définie par

( ) si 0( )

( ) si 0

f x xh x

f x x

⎧ ⎫≥⎪ ⎪= ⎨ ⎬− <⎪ ⎪⎩ ⎭

Des propriétés annoncées pour h seule la dérivabilité en 0 n’est pas immédiate. On vérifie que la fonction : ( )x f xϕ admet en 0 un développement limité à droite et un développement limité à gauche • phi:=sqrt(f)


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1/2 / / x PI \ \1/2 2 | x tan| ---- | | \ \ 2 / / ------------------------- 1/2 PI • sphid:=series(phi,x=0,3,Right) • sphig:=series(phi,x=0,3,Left) 1/2 / PI \1/2 3 3/2 1/2 / PI \1/2 x 2 | -- | x PI 2 | -- | \ 2 / \ 2 / 4 - ---------------- - ----------------------- + O(x ) 1/2 24 PI Ces développements sont formellement identiques au signe près. Il en résulte en particulier que l’on a 1/2 / PI \1/2 3 3/2 1/2 / PI \1/2 x 2 | -- | x PI 2 | -- | \ 2 / \ 2 / 4 h(x)= ---------------- + ----------------------- + O(x ) 1/2 24 PI pour tout x (positif ou négatif) assez voisin de 0,ce que l’on simplifie évidemment en

23 3( )

24x x O xπ+ + . Ce qui entraîne que h est dérivable en 0

2. La fonction f définit une bijection de [0,1[ sur [0, [+∞ ; il existe en particulier un [0,1[nx ∈

unique tel que 1( )nf xn

= soit tan2 2

n

n

xnx

π π= .

On a vu plus haut que • sf:=series(f,x=0,7) 4 2 6 4 8 6 2 x PI x PI 17 x PI 9 x + ------ + ------ + --------- + O(x ) 12 120 20160 On applique l’instruction revert • sfr:=revert(sf) 3/2 2 5/2 4 7/2 6 1/2 x PI 11 x PI 17 x PI 4 x - -------- + ----------- - ----------- + O(x ) 24 5760 322560


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Attention – Ce développement limité en x est le développement de la solution X de l’équation ( )f X x= .

Nous cherchons le développement de nX tel que 1( )nf Xn

= . Dans sfr on substitue 1n

à x soit

• X:=subs(sfr,x=1/n) 2 / 1 \3/2 4 / 1 \5/2 6 / 1 \7/2 PI | - | 11 PI | - | 17 PI | - | / 1 \1/2 \ n / \ n / \ n / / 1 \ | - | - ------------ + --------------- - --------------- + O| -- | \ n / 24 5760 322560 | 4 | \ n /

Q6 – On entre l’expression qui définit la fonction f : • f:=x*(1+2*x)/(1+3*x) x (2 x + 1) ----------- 3 x + 1 On calcule successivement u0,u1,u2,u3. • u0:=1;u1:=subs(f,x=u0);u2:=subs(f,x=u1);u3:=subs(f,x=u2) 1 3/4 15/26 420/923 Si l’on suit les indications on obtient une écriture sous forme de boucle for par • u:=1;for i from 1 to 3 do u:=subs(f,x=u) end_for;return(u); 1 420/923 On passe alors à la fonction MUPAD par • cal:=n->(u:=1;for i from 1 to n do u:=float(subs(f,x=u))

end_for;return(u)); n -> (u := 1; for i from 1 to n do u := float(subs(f, x = u))


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end_for; return(u)) • u500:=cal(500); 0.0020489145321281427925 • u100:=cal(1000); 0.0010135259872814900852 • u1000:=cal(10000); 0.00010018007199312334399 On a alors • u500:=cal(500) 0.002048914532 • u1000:=cal(1000) 0.001013525987 • u10000:=cal(10000) 0.000100180072 ce qui suggère que la suite ( )nu tend vers 0. Soit maintenant n nU nu= . On a • U1000:=1000*cal(1000) 1.013525987 • U10000:=10000*cal(10000) 1.00180072 • U100000:=100000*cal(100000) 1.000225883


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Ce qui conduit à conjecturer que la suite ( )nU est convergente de limite 1.

On introduit maintenant la suite( )

2

21( )

lnn nnw u

nn= − que l’on calcule en virgule flottante à

l’aide de la fonction MUPAD • calw:=n->float(n^2*(cal(n)-1/n)/ln(n)^2); n -> float((n^2*(cal(n) - 1/n))/ln(n)^2) On a alors • calw(1000);calw(2000);calw(10000); 0.28346215721326128051 0.25710405112206652559 0.21227302629535989201 • calw(50000);calw(100000);calw(200000); 0.181139163300464094 0.17041700329597678824 0.16090281951260362912 ce qui suggère que la suite ( )nw est décroissante. Q7 – La fonction f associée à

1: *exp( /( ^ 2 1))E x x x= − est définie dans \{ 1,1}−R . Les limites à gauche et à droite de f en -1 et en 1 se calcule à l’aide de l’instruction limit • L1g:=limit(E1,x=-1,Left) 0 • L1d:=limit(E1,x=-1,Right) -infinity • L2g:=limit(E1,x=1,Left)


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0 • L2d:=limit(E1,x=1,Right) infinity On peut également obtenir les limites à l’infini • Li:=limit(E1,x=-infinity) -infinity • LI:=limit(E1,x=infinity) infinity On calcule ensuite E1d := ( 1, ) / exp( /( ^ 2 1))diff E x x x − dont on demandera une expression simplifiée • E1d:=diff(E1,x)/exp(x/(x^2-1)) / 2 \ / x \ / x \ | 1 2 x | exp| ------ | + x exp| ------ | | ------ - --------- | | 2 | | 2 | | 2 2 2 | \ x - 1 / \ x - 1 / \ x - 1 (x - 1) / ------------------------------------------------------ / x \ exp| ------ | | 2 | \ x - 1 / • E1d:=simplify(E1d) 4 2 3 x - 2 x - x - x + 1 ---------------------- 4 2 x - 2 x + 1 On notera que dans la dernière instruction on assigne à E1d le résultat de la simplification de … E1d ! Une telle assignation (dite récursive) est possible car on ne peut pas répéter une instruction déjà exécutée. Elle permet de ne pas multiplier les identificateurs mais elle a l’inconvénient d’écraser les résultats intermédiaires ; elle doit donc être utilisée avec précaution.

Comme 2exp( ) 01

xx

>−

, la dérivée de f a le signe de E1d. Or E1d est une fraction rationnelle

dont le dénominateur est 2 2( 1)x − . La dérivée f a le signe du numérateur de E1d • E1dn:=numer(E1d)


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4 2 3 x - 2 x - x - x + 1 On cherche les solutions de E1d=0 par solve suivi de float (on peut aussi utiliser numeric ::solve) • sol:=solve(E1dn,x) 4 2 3 RootOf(X10 - 2 X10 - X10 - X10 + 1, X10) • solf:=float(sol) {2.081018997, 0.4805338162, - 0.7807764064 + 0.6248105338 I, - 0.7807764064 - 0.6248105338 I} Posons a=0.4805338162 et b=2.081018997 On obtient le tableau de variation −∞ -1 a 1 b +∞

'f + + - - + f −∞ 0|−∞ f(a) 0|+∞ f(b) +∞ Les développements limités demandés s’obtiennent par • E1i:=series(E1,x=-infinity,4) 1 7 / 1 \ x + 1 + --- + ---- + O| -- | 2 x 2 | 3 | 6 x \ x / • E1i:=series(E1,x=infinity,4) 1 7 / 1 \ x + 1 + --- + ---- + O| -- | 2 x 2 | 3 | 6 x \ x / On en déduit que la droite d’équation 1y x= + est asymptote en −∞ et en +∞ à la courbe représentative de f, ce que l’on confirme par un tracé graphique


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Q8 – a. On exécute les instructions suivantes : • f1:=(1/(sin(x))^2-2*tan(x))/(1+cos(4*x)) • f1s:=series(f1,x=PI/4,3) / PI \ 11 | x - -- | 1 \ 4 / / / PI \2 \ - ------ + 1/2 - ------------- + O| | x - -- | | PI 3 \ \ 4 / / x - -- 4

ce qui montre que la fonction n’a pas de limite en 4π (la fonction admet-elle une limite ?)

b. On a • f2:=1/(2*(1-sqrt(x)))-1/(3*(1-x^(1/3))) 1 1 ---------- - ---------- 1/2 1/3 2 - 2 x 3 - 3 x

• f2s:=series(f2,x=1,3) 2 5 (x - 1) 5 (x - 1) 3 1/12 - --------- + ---------- + O((x - 1) ) 432 864


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La fonction a pour limite 1/12 en 1. c. On introduit • f3:=(1-x)^cos(PI*x/2) / x PI \ cos| ---- | \ 2 / (1 - x) et on cherche le développement pour x tendant vers 1 par valeurs inférieures. • f3s:=series(f3,x=1,3,Left) 2 2 2 PI (x - 1) ln(- x + 1) PI (x - 1) ln(- x + 1) 3 1 - ---------------------- + ------------------------- + O((x - 1) ) 2 8 d’où l’on déduit que la fonction a pour limite 1 en 1. d. On procède de même • f4:=tan(x/2)^tan(x) / x \tan(x) tan| - | \ 2 /

• f4s:=series(f4,x=PI/2,3) / PI \2 exp(-1) | x - -- | \ 2 / / / PI \3 \ exp(-1) + ------------------- + O| | x - -- | | 6 \ \ 2 / /

La limite est 1e

.

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