Chapitre_4b

CTN-258 : Statique et dynamique

4-1

Chapitre 4 ÉQUILIBRE DES STRUCTURES

4.1 Introduction Dans ce chapitre nous allons parler des problèmes qui traitent de l'équilibre de structures formées de différentes parties. LA RÉSOLUTION DEMANDE :

1. La détermination des forces extérieures (réactions d'appuis) 2. La détermination des forces intérieures, forces qui maintiennent ensemble les

différentes parties de la structure. Afin de mettre en évidence les forces intérieures on doit couper la structure de façon à former des diagrammes de corps libres partiels représentant les divers éléments de la structure. Pour ce faire on utilise la 3ème LOI DE NEWTON :

L’ACTION d’une force et sa RÉACTION sur des corps en contact ont la MÊME INTENSITÉ selon la même LIGNE D’ACTION

mais de SENS OPPOSÉ Par exemple,

GRUE

DCL GLOBAL

DCL PARTIELS

Chapitre 4 : Équilibre des structures

4-2

REMARQUES :

Barre BE

Barre CF

4.2 TREILLIS ARTICULÉS

4.2.1 Définition Le treillis est formé par des barres articulées entre elles à leurs extrémités situées dans un seul plan appelé le plan de charpente. Il forme généralement une chaîne simple (plane ) de triangles juxtaposés. Le treillis est une des principales structures employées en ingénierie.

Figure 4.1 : Treillis de pont courants

Figure 4.2 : Fermes de toit courantes

L’action exercée par la barre BE sur le point B de la colonne AD est ÉGALE ET OPPOSÉE à l’action exercée par la colonne AD sur le même point B de la barre BE

La force exercée au point E de l’élément CF par la barre BE est ÉGALE ET OPPOSÉE à la force exercée par l’élément CF au même point E


4-3

Figure 4.3 : Autres types de treillis Plusieurs structures (ponts, grues, pylônes, certaines toitures) sont formées par l'assemblage de plusieurs treillis reliés de façon à former un ENSEMBLE RIGIDE DANS L’ESPACE.

Souvent, les membrures d'un treillis sont élancées et supportent très mal les charges latérales.

⇒ Les charges doivent être appliquées aux nœuds.

Lorsqu'une charge doit être appliquée entre deux nœuds (ou charge repartie). ⇒ Prévoir un plancher qui, par l'intermédiaire de ses éléments, transmet ces

charges directement aux nœuds de la structure (ex.: tablier de pont)

Figure 4.4

Le poids propre des membrures de treillis est aussi considéré comme appliquée AUX NOEUDS.

Assemblages des nœuds ⇒ soudés ou rivés


4-4

Les axes des membrures aboutissant au nœud doivent se couper en UN SEUL POINT :

⇒ NOEUD ≡ ARTICULATION

MEMBRURE

(+) TRACTION (-) COMPRESSION

4.3 Treillis simples Le treillis le plus simple est le triangle. Prenons, par exemple, la structure montrée à la figure 4.5. Si une charge est appliquée sur un des nœuds supérieurs, la structure va perdre sa configuration initiale. Figure 4.5 4.3.1 TREILLIS RIGIDE Les déformations du treillis sont petites et ne provoquent pas son effondrement.

Figure 4.6

MOMENT = 0

* TRACTION * COMPRESSION

Transmet des efforts axiaux seulement


4-5

On peut augmenter la dimension du treillis présenté en 4.6 en ajoutant chaque fois

2 barres et un nœud (isostatique). m + 3 = 2n Où : m : nombre de membrures n : nombre de nœuds

Le treillis peut être isostatique, instable, ou hyperstatique (interne et externe). Figure 4.7 Figure 4.8 Figure 4.9 Figure 4.10


4-6

4.4 Analyse des treillis articulés par la méthode des noeuds Théories des treillis (Culmann) Hypothèses :

1. Charges aux nœuds seulement 2. Efforts axiaux seulement (traction ou compression) 3. Ligne d'action d'une membrure passe par le nœud ⇒ 0 !!!noeud =∑M

On peut donc couper un treillis en différents éléments et pour lesquels chaque membrure (barres) est alors soumise à deux forces à chaque extrémité :

même grandeur (même intensité) même ligne d'action sens opposé

Comme le treillis est à l'équilibre

Chaque nœud doit aussi se trouver parfaitement à l'équilibre selon les équations d’équilibre disponibles :

0 et 0x y= =∑ ∑F F

Les forces exercées par la barre sur les 2 nœuds d'extrémité doivent être égales

et opposées. La grandeur commune de ces 2 forces est appelée «force dans la barre» (même

s'il s'agit en réalité d'une grandeur scalaire).

Calcul des efforts dans les barres : Méthode des nœuds.

1. Isoler un nœud où il n’y a que deux inconnues

2. Déterminer les forces dans les barres se joignant aux nœuds en question en utilisant les deux équations d’équilibre

0 et 0x y= =∑ ∑F F 3. Passer au nœud suivant n’ayant que deux inconnues au maximum en

appliquant le principe d’action-réaction

4. L’équilibre de l’avant dernier nœud permet d’obtenir les forces internes de toutes les barres se rencontrant au dernier nœud

5. L’équilibre du dernier nœud permet de vérifier si le calcul a été fait

correctement


4-7

Si le treillis contient "n" nœuds Il y aura "2n" équations analytiques permettant de déterminer "2n" inconnues.

Le fait que le treillis tout entier est un corps rigide en équilibre

⇒ On peut écrire 3 autres équations sur le DCL global permettant de déterminer rapidement les réactions d'appuis.

Exemple 4.1 Pour chaque élément du treillis illustré, évaluez la force interne et précisez si l’élément est en tension ou en compression. Solution DCL

Premièrement, il faut trouver les réactions aux appuis

A C

B

x

y

Ax

Ay

2m

Cy

500 N

2m


4-8

Nœud B

0 500 cos 45 0 707

0 707 sin 45 0 500 Nœud C

0 707 cos 45 0 500

0 707 sin 45 500 0 Nœud A Exercice 4.1

500 N

BA

BC

B

500 N

AC

707 N

C

500 N

500 N 500 N

A

500 N

100N

A

E

D

C B

2m

4m

2m


4-9

4.5 Analyse des treillis par la méthode des sections

Calculs des efforts dans les barres : Méthode des sections (ou des moments) de Ritter. "La méthode des moments de Ritter consiste à étudier l'équilibre rotationnel d'une fraction de treillis isolée au moyen d'une section menée imaginairement à travers le treillis de façon à mettre à nu l'effort (ou les efforts) dans la barre (ou les barres) qui nous intéresse (ent)".

1. Déterminer les réactions à partir de l’équilibre du DCL global du treillis (si nécessaire !)

2. Faire une coupe (coupe « n-n ») à travers 3 membrures ou

moins (3 forces inconnues)

3. Tracer le DCL partiel de la fraction de treillis citée d'un côté ou de l'autre de la coupe transversale « n-n »

4. Écrire les 3 équations d’équilibre pour la partie isolée du

treillis ne contenant qu’une seule inconnue :

(+) 0xF =∑ (+) 0yF =∑ (+) 0CM =∑

ou

(+) 0AM =∑ (+) 0BM =∑ (+) 0CM =∑ A, B et C ne doivent pas être sur la même droite ! Ou toute combinaison de trois équations ne contenant qu’une seule inconnue

Cette méthode permet de déterminer l'effort dans une barre d'un treillis sans avoir

à déterminer les efforts dans toutes les barres.

La technique consiste à isoler une partie du treillis sous la forme d'un DCL en coupant le treillis à l'endroit où l'on souhaite connaître l'effort dans les barres.


4-10

Exemple 4.2 Calculez la force dans la barre DJ de la ferme de toit illustrés. Solution Dans ce cas si, il est impossible de tracer une section à travers DJ sans devoir couper quatre éléments dont les efforts sont inconnus. Il faut donc faire une première coupe (barres CD, CJ et KJ) avant d’analyser une deuxième section contenant la barre DJ. Avant de faire une coupe, il faut faire le DCL global pour trouver les réactions aux appuis.

0 0

0 10 4 10 8 10 16 24 0 11,67

0 10 10 10 0 18,3 Traçons un premier DCL partiel.

K J I H G

F

E D

C

B

A L

6 * 4m

6m

10 kN

10 kN10 kN

K J I H G

F

E D

C

B

A L

6 * 4m

6m

10 kN

10 kN10 kN

Gy

Ax

Ay

y

x


4-11

Les barres coupées deviennent des forces inconnues; il est donc possible de résoudre ce système à trois inconnues.

0 4

5,65 12 10 4 10 8 0 14,1

0 4

4,47 6 18,3 12 10 4 10 8 0 18,6

CD = 18,6 kN C On peut calculer la barre JK, mais ce n’est pas nécessaire pour solutionner le problème. On trace maintenant le deuxième DCL.

0 12 10 16 10 20 18,3 24 14,1 4

5,65 12 0

16,6

18,3 kN

CJ

CD 10 kN

10 kN

JK

D

C 4m

2m 4,47m 4m

K

C

J 4m

5,65

Ax

Ay K J

JK G 14,1 kN

D

C

B

A L

6 * 4m

6m DJ

10 kN10 kN


4-12

Exercice 4.2 En reprenant l’exercice 4.1, on aurait pu évaluer les efforts dans les barres BC, BE et DE sans calculer les efforts dans les autres barres.

4.7 STRUCTURES ET MECANISMES

4.7.1 Structures avec des membrures à efforts multiples Dans la section précédente, nous avons considéré des structures formées entièrement de nœuds et de barres soumises seulement à des efforts axiaux : Dans les structures et les mécanismes de certaines barres (ou membrures) sont soumises à des forces qui ne sont pas dirigées suivant l'axe de la barre. Ce sont des membrures soumises à au moins 3 efforts internes Notes:

Les STRUCTURES (ossatures, métallique, bâtis de machines) conçues pour SUPPORTER LES CHARGES sont généralement immobiles et complètement liées.

Les MÉCANISMES sont conçus pour TRANSMETTRE DES FORCES (en mouvement ou non ; un mécanisme contiendra toujours des pièces mobiles). Ex. : paire de pinces, piston d’autos, plate-forme de travail, pelle hydraulique…

La manière d’aborder un problème de charpente ou de mécanisme dépend de la stabilité de l’ensemble. Si la charpente ou le mécanisme demeure rigide une fois enlevé de ses appuis, la meilleure façon d’aborder l’analyse est d’établir les réactions aux appuis en considérant la structure comme un corp rigide.

100N

A

E

D

C B

2m

4m

2m


4-13

Figure 4.11 Exemple 4.3 Deux barres uniformes sont retenues dans un plan vertical. Si la masse de AC est de 60 kg et celle de BD est de 30 kg, et que les deux barres ont leur centre de masse au milieu de leur longueur, calculez la force supportée par l’axe en A. Solution Est-ce que le système demeure rigide si on enlève les appuis? Non, donc on doit faire des DCL partiels.

D

B C

1 m 0,5m

0,5m

0,5m

A

C

30*9,81

0,75

0,5m

0,25

Ax

0,25

0,75

Ay

Dx

Dy

60*9,81

Bx

Bx

x

By

By

y


4-14

Barre AB

0 1 60 9,81 0,75 0 441,5

0 60 9,81 441,5 0 147,2

0 0 Barre BD

0 30 9,81 0,25 441,5 0,5 0,5 0 588,6 Ax = 588,6 N

147,2 588,6 606,7

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