Choix Modeles L CHAMPANY

7/26/2019 Choix Modeles L CHAMPANY

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Paralllpipde 1

Etude dune pice paralllpipdique :

Comparaison de formulations et dlments

L. CHAMPANEY

Objectifs :

Choix dun modle mcanique,

Comparaison dlments,

Influence du raffinement.

Table des matires

1 Problme 2

2 Modle volumique 3

3 Modle Coque 4

4 Modle Poutre 5

5 Comparaison : flche 6

6 Comparaison : contraintes 8

7 Conclusions 10


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Paralllpipde 2

1 Problme

L

b

e F

L = 10cm, b = 4cm, e = 10mm F = 1000N

Matriau lastique : E= 210000M P aet = 0.3.

Lorsquil est confront au calcul dune structure, le mcanicien doit souvent choisir

entre la construction dun modle lments finis une dimension (formulation poutre), deux dimensions (formulation plaqueou coque) ou trois dimensions. Pour effectuer cechoix, une condition ncessaire est de bien connatre la gomtrie de la structure tudie.Mais ce nest pas une condition suffisante pour un choix judicieux. Afin de parvenir unmodle optimal est exploitable, il faut galement avoir une ide prcise du comportementet du type de rsultats attendus : dplacement, contraintes et dformations locales ouglobales, ...

Cet exemple illustre les diffrentes options possibles pour la modlisation dune struc-ture trs simple qui, dun point de vue gomtrique nest ni une poutre ni une plaque. Ilsagit dun paralllpidde rectangle en acier de longueurL = 10cmde largeur b = 4cmet dpaisseur e = 10mm. La pice est encastre lune de ses extrmits.

Un effort ponctuel de 1000Nest appliqu sur lun des coins de lextrmit libre duparalllpipde.


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Paralllpipde 3

2 Modle volumique

L

b

e F

lments utiliss :

Cubes 8 noeuds : linaires Cubes 20 noeuds : quadratiques

Le tableau ci-dessous rassemble les rsultats pour diffrents raffinements du maillage.

La rfrence utilise pour les calculs des carts est le calcul le plus fin en cubes quadra-tiques.

lments Nbre ddl Flche cart(%)Cube 8 nds 1 24 -0.03286 93.6Cube 8 nds 2 26 -0.07360 85.7Cube 8 nds 8 90 -0.16770 67.6Cube 8 nds 40 330 -0.34180 34.0Cube 8 nds 320 1701 -0.45134 12.9Cube 8 nds 1287 5712 -0.48786 5.8Cube 20 nds 1 60 -0.36819 28.9

Cube 20 nds 2 92 -0.44527 14.0Cube 20 nds 8 267 -0.48770 5.8Cube 20 nds 40 1158 -0.50423 2.7Cube 20 nds 330 6543 -0.51483 0.6Cube 20 nds 840 13875 -0.51805 0


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Paralllpipde 4

3 Modle Coque

L

b

F

lments utiliss :

Coques 4 noeuds : linaire avec cisaillement transverse,

Coques 8 noeuds : quadratique avec cisaillement transverse,

Le tableau ci-dessous rassemble les rsultats pour diffrents raffinements du maillage

et pour les deux types dlments coques.

lments Nbre ddl Flche cart(%)Coque 4 nds 1 24 -0.38850 25.0Coque 4 nds 2 78 -0.46897 9.4Coque 4 nds 8 90 -0.49455 4.5Coque 4 nds 40 330 -0.50658 2.2Coque 4 nds 250 1716 -0.51169 1.2Coque 4 nds 1000 6426 -0.51333 0.9Coque 8 nds 1 48 -0.46897 6.2Coque 8 nds 2 78 -0.48601 4.3

Coque 8 nds 8 222 -0.51059 1.4Coque 8 nds 40 894 -0.51263 1.0Coque 8 nds 250 4926 -0.51370 0.8Coque 8 nds 1000 18846 -0.51440 0.7


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Paralllpipde 5

4 Modle Poutre

L

b/2

F

poutre encastre-libre avec effort excentr,

un lment factice pour lexcentrement,

un seul lment fini poutre (cubique pour la flexion et

linaire en torsion).

(S = be, Iz = be

3

12,Iy =

eb3

12, Io =

be3 + eb3

12)

La faon la plus simple de modliser la structure en utilisant une formulation poutre

est de considrer une poutre encastre-libre avec un effort excentr. Le modle est consti-tu de deux lments finis poutre 2 noeuds (cubique pour la flexion et linaire entorsion). Llment 1 est affect des caractristiques gomtriques de la poutre tudie.Llment 2 est un lment factice uniquement destin la prise en compte de lexcen-trement de leffort. Sa longueur est donc (b/2) et sa section et ses moments quadratiquessont choisis de telle sorte que cet lment soit trs rigide en flexion par rapport ll-ment 1.

La solution analytique de ce problme poutreest cubique en flexion et linaire entorsion. Cette solution est donc exactement reprsente par un seul lment. Il nest pasncessaire de raffiner le mailllage : aucune amlioration ne pourra tre apporte lasolution.


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Paralllpipde 6

5 Comparaison : flche

lments Nbre ddl Flche cart(%)

Poutre 2 18 -0.48493 6.4

Cube 8 nds 1 8 -0.03286 93.6

Cube 8 nds 1287 5712 -0.48786 5.8

Cube 20 nds 1 60 -0.36819 28.9

Cube 20 nds 840 13875 -0.51805 0.

Coque 4 nds 1 24 -0.38850 25.0

Coque 4 nds 1000 6426 -0.51333 0.9

Coque 8 nds 1 48 -0.48601 6.2

Coque 8 nds 1000 18846 -0.51440 0.7

On peut constater des carts significatifs entre les diffrentes solutions obtenues. Ces

carts appellent un certain nombre de commentaires et demandent quelques explications.


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Paralllpipde 7

Poutre : sections rigides flexion

torsion

Plaque : flexion

torsion

gauchissement

Volumique : flexion

torsion

gauchissement

crasement

Les diffrences observes sur la flche ont aussi pour origine les diffrences entre les

hypothses cinmatiques des modles utiliss : dans le modle poutre, les sections sont supposes rigides, le gauchissement des

sections et lcrasement de paralllpipde selon son paisseur ne pouront treobservs.

dans le modle plaque, les segments perpendiculaires la ligne moyenne ne peuventse dformer. Lcrasement ne pourra donc pas tre modlis.

avec un modle volumique suffisamment fin, on pourra modliser la fois le gau-chissement des sections et lcrasement de lpaisseur.


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Paralllpipde 8

6 Comparaison : contraintes

Volumique : Tenseur 3D

(xx, yy , zz , xy, xz ,yz )dans chaque lment.

1.97E+02

1.79E+02

1.60E+02

1.42E+02

1.23E+02

1.05E+02

86.

68.

50.

31.

13.

5.8

24.

43.

61.

80.

98.

1.16E+02

1.35E+02

1.53E+02

1.72E+02

1.90E+02

Plaque : Efforts et moments intrieurs.

Calcul des composantes (xx, yy , xy)

du tenseur 3D en peau.

2.5

10.

18.

26.

34.

43.

51.

59.

67.

75.

83.

91.

99.

1.07E+02

1.15E+02

1.23E+02

1.31E+02

1.39E+02

1.47E+02

1.55E+02

1.63E+02

1.71E+02

Poutre : Efforts intrieurs.

Calcul de xx en peau.

x

yz

N

MfzMfy

xx

Dans le modle volumique, toutes les composantes du tenseur des contraintes sont

calcules lment par lment. Leffort ponctuel appliqu nest pas compatible avecune modlisation tridimensionnelle (dans laquelle seuls des efforts surfaciques peuventtre appliqus). Cela gnre une concentration de contraintes laquelle nous ne nousintressons pas ici.

Dans le modle plaque, les contraintes planes (xx, yy , xy) sont calcules par-tir des tenseurs des efforts et moments gnraliss. Ces contraintes sont calcules surles peaux (suprieure, infrieure ou en surface moyenne) laide dune hypothse devariation linaire dans lpaisseur.

Dans le modle poutre, seule la contrainte normale (axiale) xx est calcule partirdu torseur des efforts intrieurs (effort normal et moments flchissants). Cette contrainteest calcule sur les peaux (ou en tout point dune section) laide dune hypothse devariation linaire dans lpaisseur.


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Paralllpipde 9

ABS

SMXX

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

X1.E2

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00X1.E2

Volumique

Poutre

Plaque

L 1

ABS

SMXX

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

X1.E2

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

X1.E2

Volumique

Poutre

Plaque

L 2

ABS

SMXX

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

X1.E2

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

X1.E2

Volumique

Poutre

Plaque

L 3

F

L2

L1L3

Sur la figure ci-dessus, on trace lvolution de la contrainte axiale xx le long de

trois lignes (L1, L2 et L3) de la peau suprieure du paralllpipde. La torsion nayantaucun effet sur la contrainte axiale dans le modle poutre, les rpartions de contrainteaxiale sont les mmes sur les trois lignes. Ces effets de torsion sont par contre bien prisen compte par les modles volumiques et plaques.

Les concentrations de contraintes ( lencastrement et sur leffort ponctuel) ne sontpris en compte que par le modle volumique.

Dans la zone situe loin des extrmits (encastrement et point dapplication de lef-fort) les trois modles concordent parfaitement.


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Paralllpipde 10

7 Conclusions

Les modles mcaniques simples (poutre ou plaques)sont aptes fournir des solutions trs correctes.

Choix du modle mcanique pas seulement li aux

considrations gomtriques : se souvenir des

hypothses cinmatiques.

Les modles ne donnent pas tous toutes les

composantes de contrainte. Attention la faon dont est pris en compte le

cisaillement.

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