C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, Skrie I, p. 1137-l 142, 1997

Probabilit&/frobability

Comment dhtecter le d&t d’initi& ?

Axe1 GRORUD et Monique PONTIER

A. G. : U.R.A. CNRS 225, C.M.I., Universit6 de Provence, 39, rue Joliot-Curie, 13453 Marseille CEDEX 13, France ;

E-mail: agrorud@abel.univ-mrs.fr

M. P. : U.R.A. CNRS 1803, Bitiment de MatbCmatiques, UniversitC d’orlkans, BP 6759, 45067 OrlCans CEDEX 02, France. E-mail: pontier@labomath.univ-orleans.fr

R&sum& Cette Note utilise la technique de grossissement de filtrations browniennes pour modCliser l’observation obtenue par un agent Cconomique G initie >>. Les politiques admissibles optimales sont caract&isCes et, sous des hypothkses gaussiennes, un test statistique est proposC pour dCtecter si l’agent a effectivement b&CficiC d’informations anticipant le march&

How to detect insider trading?

Abstract. This Note uses the enlargement of$ltrations for model& the observation of a financial market by an insider trader. A characterization of admissible strategies and a criterium for optimization are given. Then a statistical test is proposed to test the unknown of the future against its knowledge.

A bridged English Version

This work is motivated by the question of modelling the fact that some people are informed before others about the state of the financial market. A financial market model can be considered on a filtered probability space (52, (3*, t E [0, T]), p) ; the prices evolve according to the linear stochastic differential equation:

S,=So+~S&,ds+~ S,a,dW,,O 5 t I T, So E Rd,

the process W is a d-dimensional Brownian motion. One of the investors trading on the market knows the information normaly available at time t, 3t, and also a random variable L in L’(3T). Using the method of the enlargement of a Brownian filtration (see Yor [9], and Chaleyat-Maurel and Jeulin [2]), with some convenient hypotheses, a y-Brownian motion exists, where y is the filtration defined as Y, = 3t V a(L).

Note p&entCe par Paul MALLLNIN.

0764~4442/97/03241137 Q Acadtmie des Sciences/Elsevier, Paris 1137

A. Grorud et M. Pontier

Then, on the probabilisable space (n,Y), there exists an equilibrium price measure Q (i.e. all the prices are (Q, y)-local martingales). On the space (0, y, Q), the admissible pair portfolio-consumption processes can be characterized using standard martingale methods.

Finally, a statistical inference test is given for the hypothesis Ha, “the investor knows only 3t”, against Hi, “the investor knows Y,“.

1. Introduction

On suppose qu’un investisseur a acces des le debut de son investissement a des informations sur le futur : sur un espace de probabilite filtrt (a, 3t ; t E [0, T]; P), ‘1 1 connait une variable aleatoire L E L1 (0, 3T). Par exemple, pour deux actifs de prix 5” et S2, il connait leur rapport au temps T : L = lnS$ -1nSG.

On note alors y la filtration << naturelle N de l’initie obtenue par grossissement initial de 3: lui adjoignant la variable aleatoire L : J’, = 3t V a(L), t E [0, T]. En utilisant le calcul stochastique des variations, nous Ctendons les resultats de I. Karatzas et I. Pikovsky (v&r [6] et [7]) au cas ou L est une integrale stochastique de processus non deterministes.

L’initie optimise sa strategic sur l’intervalle de temps [0, A], A 5 T. Si A < T, on montre, sous certaines hypotheses, l’existence d’une probabilite Q cq neutre au risque B sur (n: Y, ; t E [0, A], P), puis on donne un theoreme de representation des (Y, Q)- martingales, ce qui permet de caracteriser les strategies admissibles pour I’initie et d’exhiber une politique optimale sur [0, A]. I1 reste alors a l’initit une incertitude sur le tours des actifs sur l’intervalle de temps ]A, T]. Si A = T, on peut exhiber une strategic d’arbitrage.

Considerons un march6 oti les prix des d actions sont donnts par :

et oti le placement saris risque suit la dynamique : Sy = 1 + f Sgr,sds. Le processus W est un mouvement brownien de dimension d sur (a, 3t ; 1; E [0, T], P) et 3 est la

filtration naturelle qu’il engendre. On suppose les parametres b, (T et r 3-adapt& et born& sur [0, T], a valeurs respectivement dans Wd, Rdxd et R. On note HI les hypotheses :

HI : La matrice u est inversible, dt @ dF’-presque surement,

qt = a;‘(bt - ~~1) vCrifie 3C,3k > 0,Y.s E [0,A],E[e~pkII~,/1~] 5 C.

L’initie dispose d’un capital h(L) B l’instant t = 0, h Ctant une fonction integrable par la loi de L, il veut optimiser sa strategic de consommation et de placement sur le marche. 11 consomme a une vitesse

c qui est un processus positif adapt6 a la filtration y: verifiant JcT c,ds < <cc p.s. I1 place par ailleurs sur

l’actif i la quantite Bi. Sa richesse au temps t s’exprime par Xt = Cf=, @(t)Sf et sa consommation

est Ji c,ds. On note $ = @S,” la somme investie sur la Gieme action pour i = 1,. . . ! d. Une stratkgie de consommation-placement (.ir, c) Y-admissible est un couple de processus Y-adapt&s

tels que c > 0, .[OT c,9ds < CCC p.s., (T*X appartient presque sfirement 2 L2[O; T], et la richesse X”J obtenue par cette stratkgie est ir valeurs positives ou nulles dt @ dP-presque slirement.

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Comment dbtecter le dClit d’initiks ?

Par la technique du grossissement de filtration (voir section 2), on donnera un sens a l’hypothese d’cc autofinancement D et a l’equation (2)

Hz : dXt = f: ,9;dS,” - ctdt. i=o

Notant Rt = (Sf)-’ le facteur d’actualisation, la richesse X actualisee verifie, sous la probabilite P, l’equation :

t

(2) X&t + I

R,yc,d.s = h(L) + t(nsas, b, - rs1)d.y + *(R.r., osdMrs). . 0 s 0 / 0

2. Grossissement de filtration et strategies optimales

Nous construisons sur la filtration y un (y, P)-mouvement brownien en utilisant une extension des resultats de Chaleyat-Jeulin (voir [2]) : notons D le gradient stochastique usuel associt a W et, pour p > 1 et 4 E N, Dp,4 l’espace de Sobolev construit a l’aide de D (voir [S]). Soit Hc l’hypothese :

T

(3) L E D2J est tel que s

](D,L1]‘du > 0, P’-p.s. pour tout t E [O,T[. t

PROPOSITION 2.1. - Sous Hc, la loi conditionnelle de L sachant 3t est absolument continue et il existe une version mesurable de la densite’ conditionnelle (w, t, x) H p(w, t, x) qui est une 3- martingale et se represente par p(w, t! zr) = ~(0, x) + Ji Q: w, s, x)dW, . Si M est une 3-martingale (

locale continue @ale a MO + s,” ,B,id147s, alors le crochet d( M, p) t est &al a (a: ,!Qtdt et le processus h/r, = Mt _ f ‘“‘d{;~;Ir=L du est une y-martingale locale continue.

Demonstration. - L’hypothese ,\tT IID,L]12du > 0, IP, p.s. et le theoreme 5.2.7 a) de Bouleau-Hirsch (voir [l]) montrent que la loi conditionnelle de L sachant 3t est absolument continue par rapport a la mesure de Lebesgue. Puis, on utilise l’article de Jacod (voir [4]) dont les resultats ne dependent pas de la dimension du mouvement brownien consider6 et donnent les proprietes requises sur p. En particulier, en notant T, T = inf{l: > 0 : p(., t, z) < a}, on obtient Tt = +oc p.s. et par consequent, pour tout t, p(., t, L) > 0 p.s.

On obtient en corollaire que le processus vectoriel (Bt = W, - s,’ $#da, t E [O; T[) est un

mouvement brownien sur l’espace de probabilite filtre (0, Y, P). L’exemple propose en introduction, L = In S$ - In S$, verifie cet ensemble d’hypotheses dans le

cas d’un marche a coefficients continus et deterministes. On retrouve dans ce cas le (y, 5’)-mouvement brownien explicit6 par Chaleyat-Maurel et Jeulin (voir [2]).

Pour l’initie, la consommation et le portefeuille admissibles sont Y-previsibles, ce qui doit ameliorer son gain dans la mesure oti il peut l’optimiser sur un ensemble a priori plus grand (3 c y). On doit done r&ire le modele relativement a ce nouveau mouvement brownien et a cette nouvelle filtration. Ayant note 1, = #, le march6 actualise S = RS s’hit :

dS, = S&b, - rtl + o&)dt + ordBt],O 5 t < T. ’ On effectue alors un changement de probabilite pour se ramener a une mesure << neutre au risque >x.

Mais la forme du processus 1 ne permet cette transformation que sur [0, A], A < T, car au de& il n’est pas sQr que la martingale locale de changement de probabilite soit une vraie martingale jusqu’en T :

PROPOSITION 2.2. - Soit A < T, yt = atV1(bt - rtl) et Et = -It - rn vkrijiant l’une des conditions suivantes :

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A. Grorud et M. Pontier

On pose I& = exp[JtQdB, - i s,’ ]]<s]]2ds], t E [O,A]. Alors, J4 est une (Y, $)-martingale uniformement integrable et, sous Q = iVl.$, le processus

I!$ = Bt-Ji [,ds est un (Y, Q)- mouvement brownien et lesprix actualises sent des (y, Q)-martingales locales.

HN est l’hypothese classique de Novikov. L’hypothese Hp figure dans le tours de E. Pardoux (voir [S]). L’une et l’autre sont Cvidemment vraies dans le cas simple oti le vecteur < est d$ @ dt- presque stirement borne. La seconde est plus facile a verifier, comme dans I’exemple don& lorsque les coefficients sont dtterministes et born&, puisqu’alors le vecteur & suit une loi gaussienne de

moyenne -vu et de variance /Ius II2

.LT Ilaul12du ’

PROPOSITION 2.3. - On suppose Hc, et HN ou Hp. Soient A < T et une variable aleatoire

Z E L’(Q,Y,, Q) ; 1 a ors il existe un unique vecteur y-pre’visible $I tel que

2 = EQ[Z/YO] + .I

"i $Wd&.

Demonstration. - Puisque fi est un (Y, Q)-mouvement brownien, sous la probabilite Q, il y a independance entre fit, pour tout t E [0, A], et Ye = a(L). On peut suivre le raisonnement de [6] et &ire 2 = CiEN fi(L)~Vi avec Ni E Lr(R,F.A, Q).

Par ailleurs, la definition de fi et celle de B montrent que B = IV+ & qsds. 8 est done un (Y, Q)- mouvement brownien qui est de plus F-adapt& or 3 c y, done c’est aussi un (3, Q)-mouvement brownien.

Soit Y la densite de Girsanov telle que W = 8 - Jd qyds soit un (F, Y.Q)-mouvement brownien ; son existence est assume par l’hypothese H 1. De plus, 3 &ant la filtration naturelle de IV, on a la propritte de representation prtvisible pour W sous (3, Y.Q), en particulier Ni verifie :

J’ A

Ni = Ez.Q(N,) + h(s)dWs. 0

Une simple manipulation entre les (.F: Q) et les (.F! Y.Q)-martingales, comme cela est fait dans [5],

amene A : IVi = EI~.Q(N~) + &” &(s)dB,. L’independance, sous Q, de .Ft et a(L) permet d’ecrire

fi(L)Ni = fi(L)EY.Q(Ni) + J; fi(L)$i(s)d&. 11 reste ensuite a justifier la permutation entre la somme infinie et l’integrale stochastique, comme cela est fait dans [7], pour obtenir le resultat avec

44s) = LEN fi(LM(s> et CiEN ~~(L)EY.Q(N~) F EQ[ZILI, en conditionnant les deux membres de l’egalite par a(L) = Ya.

REMARQUE 2.4. - Selon une observation du lecteur de cette Note, on pourrait proceder autrement et remplacer les hypotheses Hc, et HN ou Hp par l’unique hypothese un peu moins forte (mais de faGon getterale plus dificile a verifier) : sous P, la loi conditionnelle de L sachant .FA est Cquivalente 5 la loi de L : E[f( L)/.TA] = JR f(z)q(w, IC)QL(&), q(w, X) > 0 $ @ qL-presque stirement. Ceci est le cas, par exemple, quand L est gaussienne. La demarche consiste alors a suivre le schema de [3] : on introduit la probabilite’ Q = &.P sous laquelle 1%’ devient un (J’, Q)-mouvement

brownien, ce qui donne un sens a l’equation (2). Comme ce processus est 3-adapt& c’est aussi un (3’: Q)-mouvement brownien, ce qui per-met d’ope’rer la representation pre’visible comme ci-dessus. Sous les hypotheses HI, Ha, Hc, et HN ou Hp on obtient comme corollaire la caracterisation suivante des politiques admissibles que l’on a definies ci-dessus.

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Comment dbtecter le debt d’initibs ?

PROPOSITION 2.5. - Soient (‘rr, c) un couple CC admissible

EQ[X.:‘“RA + .Ib;’ &ctdt/YO] < h(L),

>j et la richesse jinale associee Xi’C. Alors,

ou h est une fonction positive telle que Xt” = h(L). Reciproquement, pour une richesse initiale strictement positive h(L) donne’e, une consommation c,

un processus y-adapt6 positif tel que s,4 c,ds < wQ-p.s., et une variable ale’atoire Z E L1(yi4: Q)

telles que : EQ[ZR, + &‘R,c,dt/Yo] = h(L), ‘1 I existe alors un portefeuille TT y-pre’visible tel que (.rr, c) est admissible et Xi” = 2.

Demonstration. - La premiere partie est usuelle ; la reciproque utilise la proposition preddente, le theoreme de representation donnant l’existence de fonctions k et 4 telles que

d R,c,ds,Yi] = k(L) + 1’ @(s)d&.

Pour t = 0, on obtient k = h, et TV = a; 1 R-14L est une solution du probleme de couverture. On choisit comme crithre d’optimisation sde 1: strategic un couple de fonctions d’utilite (Ur, UZ)

croissantes, concaves et positives. 11 s’agit done de realiser le maximum de (.rr, c) H J(TT, c) =

EP[~; Ul(ct)dt + G(X;,“)/Yo] d ans l’ensemble des strategies admissibles sous la contrainte

EQ[X~;"R, + J;;’ Rtc&/Yo] I h(L). Ce probleme se r&out classiquement par la mtthode des multiplicateurs de Lagrange. Notant

I, = (U,l)-l et X(y) = EP[Jt RtMtIl(yRtMt)dt + R.~~I,~II,(yR.~M~)/Yo]; on obtient le resultat suivant : Sous les hypotheses HI, Ha, Hc, et HN ou Hp, il existe une strategic optimale (sr*, c*) telle que J(T*, c*) = sup{J(~,c): (K! c) admissibles} de la forme :

c; = I1(X*MtRt), X-i ,’ = I~(X*MAR.~), ou X* estsolution de l’e’quation implicite : X(A*) = h(L).

On obtient la valeur optimale du probleme Ep[Uz 0 I~(X*M.~R.A) + &” Ul 0 II (X*MtRi)dt/&].

3. Test statistique

On construit un test dans le cas oti les fonctions d’utilitt sont U;(z) = log(z), i = 1,2. On trouve A* = $$ et la politique optimale : RAXA; = !$+;I, Ric; = EMt-‘.

Le test se presente de la maniere suivante : l’hypothese Ha est L = 0, ce qui revient a (puisque I, = $$j, Ho = (1 = 0) contre Hr = (1 # 0).

On compare les politiques optimales obtenues dans les deux cas. Pour un non initie, la strategic obtenue est : R*X-> = yN,l, Rtcr = yN;l, oti y = & avec Nt = expJ~(-qsdWs - i11rlS1)2ds). Sont done a comparer les consommations optimales :

log Ric; = log y + 1l~$d.s, sous H,

et

log Rtc; = logy + J’

i + vs),dB, + A 0

2 o* IlL + rlsl12d+ sous HI. s

SOUS l’hypothese nulle, la forme des politiques optimales est la premiere. On pose : Y, = log Rt,+l~t,+l - log Rt,ctk = St:,+1 v,dW, + $ J::‘l IlvSj(2ds. Si 1 ‘on suppose les coefficients b, 7 et 0 deterministes, Y est une suite de variables aleatoires independantes, gaussiennes d’esperance $ sttz+l \j~S112ds et de variance J:‘l IlrtSl12ds. Sous l’hypothese alternative H1:l # 0, on a 1 + n a la place de Q et B a la place de IV.

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A. Grorud et M. Pontier

On peut done construire un test raisonnable de rkgion critique au niveau O? 05 :

Note remise le 2 octobre 1996, acceptke aprks rkvision le 10 fh-ier 1997.

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