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HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Haute Ecole d’Ingéniérie et de Gestion ducanton de Vaud (HEIG-VD)
Département des TechnologiesIndustrielles (TIN)
Filière Microtechniques (MI)Filière Génie électrique (GE)
Filière Systèmes industriels (SI)
Régulation automatique (REG)Corrigé des exercices
Ai
iutomatisation
n s t i t u t d '
n d u s t r i e l l e
Prof. Michel ETIQUE, janvier 2012,Yverdon-les-Bains
Corrigé des exercices 1 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Table des matières
1 Régulateur de vitesse 5
2 Gain statique 6
3 Moteur DC en régime permanent constant 7
4 Système vicieux 10
5 Robustesse 10
6 Modélisation et schéma fonctionnel de l’amplificateur opération-nel en montage non-inverseur 12
7 Fonction de transfert 13
8 Caractéristiques dynamiques d’un système 14
9 Modélisation 15
10 Modélisation 16
11 Modélisation et schéma fonctionnel d’un amplificateur opéra-tionnel avec charge capacitive 17
12 Modélisation et schémas fonctionnels d’un capteur de courantde type LEM 21
13 Modélisation et schéma fonctionnel d’un entraînement avec trans-mission flexible 27
14 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode 36
15 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode d’un système asservi 41
16 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode d’un système asservi 42
17 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode de systèmes possédantun retard pur 47
18 Diagramme de Nyquist 48
19 Précision 49
20 Asservissement de vitesse 50
Corrigé des exercices 2 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
21 Asservissement de position angulaire par régulateurs P et PD 54
22 Asservissement de courant 59
23 L’intégrateur : ou, combien et . . . pourquoi ? 62
24 Une autre propriété intéressante de la contre-réaction 64
25 Précision et rapidité 65
26 Loi de commande d’un régulateur PID avec filtre 65
27 Choix du gain de boucle par la méthode de Bode 67
28 Critère de Nyquist et méthode de Bode 77
29 Identification de la réponse fréquentielle d’un système à régler 77
30 Synthèse fréquentielle d’un régulateur 78
31 Synthèse fréquentielle d’un régulateur 79
32 Synthèse fréquentielle d’un régulateur 81
33 Synthèse fréquentielle d’un régulateur 83
34 Synthèse d’un régulateur P 86
35 Tracé manuel du lieu des pôles 87
36 Tracé du lieu des pôles assisté par ordinateur 90
Corrigé des exercices 3 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Remarque préliminaireLes corrigés des exercices ci-après sont volontairement plus détaillés que ce que
l’on peut raisonnablement exiger de la part d’un étudiant fournissant un travailnormal. Le but est de compléter au mieux le cours, notamment en répétant ouen reformulant certaines explications. Faire les exercices par soi-même avant deconsulter ce corrigé constitue certainement un très bon moyen d’assimilation enmême temps qu’une excellente préparation aux travaux-écrits et examens.
Corrigé des exercices 4 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
1 Régulateur de vitesse
1.1
Le schéma-bloc du régulateur de vitesse (tempomat) est le suivant :
-
+w ( t )
v ( t )
x ( t )
y ( t )
u ( t )
S y s t è m e à r é g l e r
C a p t e u rd e
v i t e s s e
Comparateur
R é g u l a t e u r M o t e u rC a r b u r a t e u rS
e ( t )
c o m m a n d ee r r e u r p e r t u r b a t i o n s g r a n d e u r à r é g l e r
( b r u t e )
c o n s i g n e
g r a n d e u r à r é g l e r
( m e s u r é e )
m é l a n g ea i r - e s s e n c e c o u p l e
V é h i c u l e
v i t e s s e
f _ 0 1 _ 1 . e p s
1.2
En introduction du cours, deux types de régulateurs ont été présentés : lerégulateur à action à deux positions (ou régulateur tout ou rien) et le régu-lateur à action proportionnelle (régulateur P). Le régulateur à action à deuxpositions n’est guère approprié dans ce cas d’application, puisque la commandeu(t) qu’il formerait oscillerait continuellement entre deux valeurs extrêmes. Levéhicule avancerait donc par saccades. Le régulateur P fournit une commandeproportionnelle à l’erreur et constitue à l’évidence la meilleure des deux solutionsenvisagées.
1.3
Dès le moment ou le véhicule est en montée, le moteur doit fournir un coupleafin de compenser l’effet de la gravité. En conséquence, si un régulateur P est misen oeuvre, l’erreur e(t) doit être non-nulle pour que la commande u(t) fixe le do-sage air-essence (non-nul) permettant de produire le couple (non-nul) nécessaire.Le système présentera donc une erreur statique. Il en est d’ailleurs de même auplat, où le couple moteur doit être non-nul afin de compenser les frottements.
Corrigé des exercices 5 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
t0
w c o n s i g n e
y g r a n d e u r r é g l é e
v p e r t u r b a t i o n
E¥ÿ
f _ 0 1 _ 2 . e p s
2 Gain statique
2.1
Le gain statique K est donné par :
K =limt→∞ Tm(t)
limt→∞ u(t)
∣∣∣∣u(t)=const.
=3.4
2.5= 1.36
2.2
Le gain statique K est donné par :
K =limt→∞ y(t)
limt→∞ u(t)
∣∣∣∣u(t)=const.
=0.75
1.0= 0.75
2.3
Le gain statique K est donné par :
K =limt→∞ y(t)
limt→∞ u(t)
∣∣∣∣u(t)=const.
=3.4
5.0= 0.68
2.4
Le gain statique K est donné par :
K =limt→∞ ωm(t)
limt→∞ Tem(t)
∣∣∣∣u(t)=const.
=∞2.0
=∞
Corrigé des exercices 6 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
3 Moteur DC en régime permanent constant
3.1
Partant du système d’équations différentielles décrivant le moteur et sa charge,
ua(t) = Ra · ia(t) + La ·diadt
+ em(t)
em(t) = KE · ω(t)
Tem(t) = KT · ia(t)
Jt ·dω
dt= Tem(t)−Rft · ω(t)
on peut admettre que tous les signaux sont constants lorsque l’on travaille enrégime permanent constant. Par conséquent, les dérivées du courant d’induit ia(t)et de la vitesse ω(t) sont nulles et le système d’équations se réduit à, pour t→∞ :
ua(t) = Ra · ia(t) + em(t)
em(t) = KE · ω(t)
Tem(t) = KT · ia(t)0 = Tem(t)−Rft · ω(t)
On peut alors facilement en extraire le gain statique recherché :
Ka =ω
ua=
ω
Ra ·
Tem︷ ︸︸ ︷Rf · ωKT︸ ︷︷ ︸ia
+KE · ω
=1
KE
· 1
1 +Ra·RfKT ·KE
On voit que la relation dépend du couple de frottement visqueux et que le gainest égal à 1
KElorsqu’il n’y a en a pas, i.e. pour Rf = 0
[N·mrads
]. Le moteur tourne
à sa vitesse idéale à vide ω0i. C’est le seul cas où l’on peut contrôler directementla vitesse du moteur en régime permanent constant.
Il faut relever que le gain calculé ne dépend que des paramètres du systèmeet non pas des signaux.
3.2
Le schéma de l’installation est le suivant :
Corrigé des exercices 7 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
-
i a
S u a T
y ( t )
w ( t )
L aR a
J
K t
e ( t ) u ( t )w ( t )
R E G U L A T E U R M
R f
a mpl if ic at eur
de pui ss anc e
pa li er s
f _ 0 2 _ 2 . e p s
Les équations ci-dessus sont complétées comme suit :
ω = Ka · uay = Kmω · ωe = w − yu = Kp · eua = u
y = Kmω ·Ka · ua= Kmω ·Ka ·Kp · e= Kmω ·Ka ·Kp · (w − y)
d’où(1 +Kp ·Ka ·Kmω) · y = Kp ·Ka ·Kmω · w
On en extrait le gain Kw :
Kw =y
w=
Kp ·Ka ·Kmω
1 +Kp ·Ka ·Kmω
=
Kp · 1KE· 1
1+Ra·RfKT ·KE
·Kmω
1 +Kp · 1KE· 1
1+Ra·RfKT ·KE
·Kmω
=Ko
1 +Ko
On voit que ce gain se rapproche d’autant plus de l’unité que Kp est élevé.L’erreur statique vaut alors :
E∞ = w (∞)− y (∞)|w(t)=ε(t) = 1−Kw = 1− Ko
1 +Ko
=1
1 +Ko
=1
1 +Kp · 1KE· 1
1+Ra·RfKT ·KE
·Kmω
Corrigé des exercices 8 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
3.3
La dérivée de Ka par rapport à Rf est :
dKa
dRf
=
d
[1KE· 1
1+Ra·RfKT ·KE
]dRf
= − 1
KE
·Ra
KT ·KE(1 + Ra
KT ·KE ·Rf
)2
La variation de dKa a donc pour expression :
dKa = − 1
KE
·Ra
KT ·KE(1 + Ra
KT ·KE ·Rf
)2 · dRf
La variation relative Ka par rapport au coefficient de frottement visqueux Rf estalors
dKa
Ka
=
− 1KE·
RaKT ·KE(
1+ RaKT ·KE
·Rf)2 · dRf
1KE· 1
1+Ra·RfKT ·KE
= −Ra
KT ·KE1 + Ra
KT ·KE ·Rf
· dRf
La dérivée Kw par rapport à Rf est :
dKw
dRf
=dKw
dKo
· dKo
dKa
· dKa
dRf
=1 · (1 +Ko)−Ko · 1
(1 +Ko)2 ·Kp ·Kmω ·
dKa
dRf
= − 1
(1 +Ko)2 ·Kp ·Kmω ·
dKa
dRf
dKw
Kw
=− 1
(1+Ko)2 ·Kp ·Kmω · dKa
Ko1+Ko
=− 1
(1+Ko)2 ·Kp ·Ka ·Kmω · dKaKa
Ko1+Ko
= − 1
1 +Ko
· dKa
Ka
La sensibilité du gain en boucle fermée Kw aux variations de Rf est ainsinettement plus faible que celle du gain Ka, le gain Ko pouvant être rendu élevéen augmentant le gain Kp du régulateur de vitesse.
Corrigé des exercices 9 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
4 Système vicieux
1. A basse fréquence, les capacités se comportent comme des impédances in-finies ; les courants sont alors nuls dans les 2 branches du circuit et l’ona
us(t) = ue(t)− 0 [V] = ue(t)
d’où le gain statique
K =limt→∞ us(t)
limt→∞ ue(t)
∣∣∣∣ue(t)=const.
= 1.0
2. A haute fréquence, les capacités se comportent comme court-circuits ; on aalors
limt→0 [s]
us(t) = 0 [V]− limt→0 [s]
ue(t) = − limt→0 [s]
ue(t)
d’où l’inversion de polarité.
5 Robustesse
La principale hypothèse simplificatrice est la suivante :– tous les éléments du schéma fonctionnel sont statiques. On note tout d’abord
que l’un des éléments du système est non linéaire, puisque le principe desuperposition ne s’applique pas.
Il est donc exclu de calculer la fonction de transfert en boucle fermée, celle-cin’ayant de sens que pour des systèmes dynamiques linéaires.
La mise en équations donne simplement, en extrayant la relation u1 = g−1(u2)afin de faciliter les calculs :
u2 = [KA · (u1 − u2)]3
puis
u132 = KA · (u1 − u2)
u1 = u2 +u
132
KA
On constate alors que si KA est suffisamment grand, u2 → u1, si bien que l’on aapproximativement u2 ≈ u1 : Le gain (statique) en boucle fermée est donc voisinde 1. La figure suivante montre comment la caractéristique u2 = g(u1) se linéarisepour KA variant de 1 à 100 :
Corrigé des exercices 10 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
−6 −4 −2 0 2 4 6−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
u1
u 2
u2=f(u
1,K
A)
f_ra_03_1c.eps
Le même graphique en vue 3D,
−6 −4 −2 0 2 4 60
50
100
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
u2=f(u
1,K
A)
u1
KA
u 2
f_ra_03_2c.eps
tracé en exécutant la fonction MATLAB :
u2 = linspace (−4 ,4 ,100) ;KA = logspace ( 0 , 2 , 1 0 ) ;
% Formation de deux matr ices nece s sa i r e s au t race 3D[ u2 ,KA] = meshgrid (u2 ,KA) ;u1 = u2 + sign ( u2 ) . ∗ abs ( u2 ) . ^ ( 1 / 3 ) . /KA;figure ( 2 ) ,mesh(u1 ,KA, u2 )
% Documentation du graphique
Corrigé des exercices 11 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
xlabel ( ’u_1 ’ )ylabel ( ’K_A’ )zlabel ( ’u_2 ’ )%gca e s t un po in teur sur l e systeme d ’ axe courantset (gca , ’ xgr id ’ , ’ on ’ , ’ ygr id ’ , ’ on ’ , ’ z g r i d ’ , ’ on ’ )t i t l e ( ’u_2=f (u_1 ,K_A) ’ )
On peut en conclure que grâce à la contre-réaction de haut gain, on a linéariséla caractéristique entrée-sortie. On s’est du même coup rendu quasi-insensible auxvariations temporelles (vieillissement, etc) de l’élément non linéaire.
Application Qu’en est-il de la caractéristique usue
si le gain KA de l’AO del’exercice 6 varie substantiellement au cours du temps, par exemple si l’on aKA = 105 ± 10 % ?
6 Modélisation et schéma fonctionnel de l’ampli-ficateur opérationnel en montage non-inverseur
Les hypothèses simplificatrices sont les suivantes :– l’amplificateur opérationnel est idéal, hormis son gain différentiel qui est de
valeur finie ;– tous les éléments sont statique, i.e. leur comportement ne dépend que de
l’entrée présente (système sans mémoire).Le schéma fonctionnel détaillé est ci-dessous :
u e ( t ) K AS
1
1 2R R+
R 2
u s ( t )
i ( t )
-
f _ 0 4 _ 2 . e p s
Le taux de contre-réaction est ici R2
R1+R2
6.1
Le schéma fonctionnel canonique (retour unitaire) est le suivant :
u e ( t ) K ASR
R R
2
1 2+
-
R R
R
1 2
2
+ u s ( t )
f _ 0 4 _ 3 . e p s
Corrigé des exercices 12 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
6.2
Dans ce cas le schéma fonctionnel se réduit à
u e ( t ) K AS
-
u s ( t )
f _ 0 4 _ 4 . e p s
et la fonction de transfert en boucle fermée a pour expression :
Gyw(s) =Us(s)
Ue(s)=
KA
1 +KA
Le système étant par hypothèse purement statique, la fonction de transfert et legain statique se confondent :
Kw =KA
1 +KA
Pour l’erreur statique, on a, dans ce cas particulier :
E∞w = w (∞)− y (∞) = 1− KA
1 +KA
=1
1 +KA
7 Fonction de transfert
Il suffit d’effectuer la transformée de Laplace des 2membres de l’équationdifférentielle :
J · s2Θ(s) = Tem(s)−Rf · s ·Θ(s)
On en déduit :
G(s) =Θ(s)
Tem(s)
=1
J · s2 +Rf · s
=
1Rf
s· 1
1 + s · JRf
Corrigé des exercices 13 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
8 Caractéristiques dynamiques d’un système– Le gain statique s’obtient en remplaçant s par j · ω et en faisant tendre ωvers 0
[ rads
]; on a ainsi :
Ka = limω→0 [ rads ]
2.5 · (1 + j · ω)
(20 · j · ω + 5) · (j · ω2 + 20 · j · ω + 10 · 103)=
2.5 · (1)
(5) · (10 · 103)= 0.05·10−3
– Il y a d’abord 1 pôle réel :
s1 = − 5
20= −0.25
[rads
]
Pour l’élément d’ordre 2, on doit vérifier si ses racines (pôles de G(s)) sontréelles ou complexes ; le déterminant de s2 + 20 · s+ 10000 est
∆ = 202 − 4 · 10′000 < 0
Les pôles correspondant à l’élément d’ordre 2 sont donc complexes et l’onpeut rechercher les paramètres (ζ et ωn, δ et ω0) d’un système fondamentald’ordre 2 :
s2 + 20 · s+ 10000 = (s+ δ)2 + ω20
= 10′000 ·(
1
10000· s2 +
20
10′000· s+ 1
)= 10′000 ·
(1 + 0.002 · s+
1
10000· s2
)= 10′000 ·
(1 +
2 · ζωn· s+
1
ω2n
· s2
)︸ ︷︷ ︸
forme de Bode d’un système fondamental d’ordre 2
On en déduit :
ωn =√
10000 = 100
[rads
]ζ =
1
2· ωn · 0.002 =
1
2· 100
[rads
]· 0.002 = 0.1
δ = ζ · ωn = 0.1 · 100
[rads
]= 10
[rads
]ω0 = ωn ·
√1− ζ2 = 10
[rads
]·√
1− 0.12 = 99.987
[rads
]s2,3 = −δ ± j · ω0 = −10
[rads
]± j · 99.987
[rads
]Le zéro de Ga(s) est en z1 = −1
[ rads
]Corrigé des exercices 14 MEE \co_ra.tex
29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
9 Modélisation
9.1
1. Comme l’arbre est infiniment rigide, il n’y a pas de torsion et les inertiesdu moteur (J1) et de la charge (J2) peuvent être considérées comme uneseule de valeur J1 + J2. Se basant sur l’équation de Newton, les équationsdiférentielles régissant le système s’écrivent alors :
(J1 + J2)· dω2
dt= ΣText = Tem(t)− 2 ·Rf · ω2(t)
dϑ2dt
= ω2
2. Le schéma fonctionnel détaillé prend la forme suivante :
Σ-
Tem(t)1
J1+J2
∫dω2
dt∫
ϑ2(t)ω2(t)
2 ·Rf
9.2
Lorsque le frottement visqueux est nul, le schéma fonctionnel se réduit auschéma suivant :
Tem(t)1
J1+J2
∫dω2
dt∫
ϑ2(t)ω2(t)
La vitesse angulaire ω2(t) est donc proportionnelle à l’intégrale du couple électro-magnétique Tem(t) ; ce dernier ayant la forme d’un saut, ω2(t) aura l’allure d’unerampe et ϑ2(t), comme intégrale de ω2(t), sera une parabole :
θ2(t)
ω2(t)
Tem(t)
−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
50
100
150
t [s]
Tem(t), ω2(t), θ2(t)
Corrigé des exercices 15 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
9.3
Le couple électromagnétique instantané Tem(t) d’un moteur à courant continuà excitation séparée constante est proportionnel au courant d’induit ia(t) :
Tem(t) = KT · ia(t)
Le courant d’induit ia(t) a donc la forme lui aussi d’un saut :
ia(t)
Tem(t)
−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t [s]
Tem(t), ia(t)
10 Modélisation
10.1
L’équation de Newton s’écrit :
m · d2x
dt2=∑i
Fexti = F (t)−Rf ·dx
dt− k · x(t)
On peut la présenter sous la forme
m · d2x
dt2+Rf ·
dx
dt+ k · x(t) = F (t)
La transformée de Laplace de 2membres de cette égalité donne (conditions ini-tiales nulles)
m · s2 ·X(s) = F (s)−Rf · s ·X(s)− k ·X(s)
Corrigé des exercices 16 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
On en déduit la fonction de transfert :
G(s) =X(s)
F (s)
=1
m · s2 +Rf · s+ k
=1k
1 +Rfk· s+ m
k· s2
la dernière correspondant à la forme de Bode.
10.2
Les paramètres ζ et ωn n’existent que si les pôles de G(s) sont complexes.Cette condition est respectée si le déterminant ∆ de l’équation caractéristiquedc(s) = 1 +
Rfk· s+ m
k· s2 est inférieur ou égal à 0 :
∆ =
(Rf
k
)2
− 4 · mk≤ 0
Si tel est le cas, la comparaison terme à terme de G(s) avec la fonction de transfertd’un système fondamental d’ordre 2 permet de trouver les paramètres ζ et ωn :
G(s) =X(s)
F (s)=
1k
1 +Rfk· s+ m
k· s2
=K
1 + 2·ζωn· s+ s
ω2n
m
k=
1
ω2n
=⇒ ωn =
√k
m
Rf
k=
2 · ζωn
=⇒ ζ =1
2· Rf
k· ωn =
1
2· Rf
k·√k
m=
1
2· Rf√
k ·m
11 Modélisation et schéma fonctionnel d’un am-plificateur opérationnel avec charge capacitive
11.1
Les hypothèses simplificatrices sont les suivantes :– l’amplificateur opérationnel est idéal, hormis son gain différentiel qui est de
valeur finie fonction de la fréquence ;– les conditions initiales (c.i.) sont nulles.
Le gain différentiel (dynamique) de l’AO peut être approximé par la fonction detransfert :
GA (s) =KA
1 + s · τA
Corrigé des exercices 17 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
11.2
Le schéma fonctionnel détaillé est :
S
-S
-u e ( t )
K A
f _ 0 5 _ 2 . e p s
1 + s T A
1
R s
1
s C L
u s ( t )
11.3
La fonction de transfert en boucle ouverte vaut :
Go (s) = GA (s) ·1Rs· 1s·CL
1 + 1Rs· 1s·CL
=KA
(1 + s · τA) · (1 + s ·Rs · CL)
et celle en boucle fermée est :
Gyw (s) =Us(s)
Ue(s)=
Go (s)
1 +Go (s)=
KA
1 +KA
· 1
1 + s · τA+Rs·CL1+KA
+ s2 · τA·Rs·CL1+KA
11.4
Par comparaison avec la fonction de transfert du système fondamental dusecond ordre
G (s) =Y (s)
U (s)=
K
1 + 2·ζωn· s+ 1
ω2n· s2
=k
(s+ δ)2 + ω20
=k
(s− s1) · (s− s2)=
ks− (−δ + j · ω0)︸ ︷︷ ︸s1
·s− (−δ − j · ω0)︸ ︷︷ ︸
s2
on a :
ωn =
√1 +KA
τA ·Rs · CL=
√1 + 105
12·π·10 [kHz]
· 100 [Ω] · 10 [µF ]= 2.5066 · 106
[rads
]
ζ =1
2· τA +Rs · CL
1 +KA
·√
1 +KA
τA ·Rs · CL=
1
2· τA +Rs · CL√
(1 +KA) · τA ·Rs · CL
=1
2·
12·π·10[kHz]
+ 100 [Ω] · 10 [µF ]√(1 + 105) · 1
2·π·10[kHz]· 100 [Ω] · 10 [µF ]
= 0.0127
Corrigé des exercices 18 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
K2 =KA
1 +KA
=105
1 + 105≈ 1
δ = ζ · ωn =1
2· τA +Rs · CL√
(1 +KA) · τA ·Rs · CL·√
1 +KA
τA ·Rs · CL=
1
2· τA +Rs · CLτA ·Rs · CL
=1
2·
12·π·10[kHz]
+ 100 [Ω] · 10 [µF ]1
2·π·10[kHz]· 100 [Ω] · 10 [µF ]
= 31916[s−1]
ω0 = ωn ·√
1− ζ2 =
√1 +KA
τA ·Rs · CL·
√√√√1−(
1
2· τA +Rs · CL√
(1 +KA) · τA ·Rs · CL
)2
=1
τA ·Rs · CL·√
(1 +KA) · τA ·Rs · CL −1
4· (τA +Rs · CL)2 = 2.5064 · 106
[rads
]
sf1,2 = −δ ± j · ω0 = −31916[s−1]± j · 2.5064 · 106
[s−1]
11.5
Le fichier de commandes MATLAB suivant calcule et trace les réponses indi-cielle et harmonique, de même que la configuration pôle-zéro.
% ParametresKA = 1e5 ;Ta = 1/(2∗pi ∗10 e3 ) ;Rs = 100 ;Cl = 10e−6;
% Fonction de t r a n s f e r t en bouc l e fermeenumGw = KA/(1+KA) ;denGw = [Ta∗Rs∗Cl/(1+KA) , (Ta+Rs∗Cl )/(1+KA) , 1 ] ;
% Af f i chage de zeta , omega_n[ omega_n , zeta ] = damp(denGw)
% Calcu l s manuels de d e l t a e t omega_0% ( f a i s a b l e en pr inc ipe avec roo t s (denGw))
s f = roots (denGw ) ;d e l t a = abs ( real ( s f ) ) ;omega_0 = imag( s f ) ;
% Trace des reponses t empore l l e e t f r e q u e n t i e l l et = linspace (0 ,1 e−4 ,1000);figure ( 1 ) , s tep (numGw,denGw, t )gridsetwidth (1 ) %rout ine s p e c i a l e eivd−MEEomega = logspace ( 5 , 8 , 1 000 ) ;figure ( 2 ) , bode_me(numGw,denGw, omega , ’ ’ , 45)
%rout ine s p e c i a l e eivd−MEE% Conf igurat ion pole−zero
figure ( 3 ) , pzmap(numGw,denGw)
Corrigé des exercices 19 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x 10−4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
f_ra_05_1c.eps
Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
100000 1000000 2543345.7613 10000000 100000000−80
−60
−40
−20
0
20
40Diagramme de Bode
gain
[dB
]
100000 1000000 2543345.7613 10000000 100000000−180
−135
−90
−45
0
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
f_ra_05_2c.eps
−3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0
x 104
−3
−2
−1
0
1
2
3x 10
6
f_ra_05_3c.eps
Pole−Zero Map
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Corrigé des exercices 20 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
12 Modélisation et schémas fonctionnels d’un cap-teur de courant de type LEM
12.1
On émet tout d’abord les hypothèses simplificatrices suivantes :– le noyau magnétique n’est pas saturable (la perméabilité relative du noyau
est constante) et ne présente aucun effet d’hystérèse ;– les flux de fuite sont négligeables ;– les effets de frange sont négligés ;– la section du noyau est constante et vaut A ;– les conditions initiales sont nulles.
La figure ci-dessous définit les sens de référence positif des courants primaire i1et secondaire i2 ainsi que les sens des enroulements.
E n r o u l e m e n t p r i m a i r e
E n r o u l e m e n t s e c o n d a i r eR 2 , N 2
i 1
i 2
u 2
Rmes
+ F 1
+ F 2
f _ 0 6 _ 5 . e p s
On observe qu’avec les références choisies, des courants positifs créent des fluxde mêmes signes (il ne s’agit pas des mêmes conventions que celles prises dansle cours du Prof. C.Richard). Ceci implique que l’inductance mutuelle L12 est icipositive.
Le flux totalisé secondaire est donc :
ψ2 = L22 · i2 + L21 · i1où L2 est l’inductance propre du circuit secondaire et L12 l’inductance mutuelle.
Par suite des hypothèses, on a :L22 = constL21 = const
L’inductance de fuite étant de surcroît négligeable, l’inductance propre L2 seréduit à l’inductance principale L2h :
L22 = Lh2 + Lσ2︸︷︷︸0[H]
= Lh2
Corrigé des exercices 21 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
La résistance secondaire R2 inclut tout ce qui est ohmique dans le secondaire,c’est-à-dire les résistances de l’enroulement, des câbles et connexions ainsi quecelle de mesure (shunt Rmes).
L’équation de la tension induite au secondaire s’écrit :
u2 = R2 · i2 +dψ2
dt
et devient :
u2 = R2 · i2 + L22 ·di2dt
+ L21 ·di1dt
Le flux traversant le noyau magnétique est donné par :
φ2 =ψ2
N2
En se souvenant que le courant secondaire i2 tend à compenser l’effet du courantprimaire i1, on en conclut que Φ doit être en principe proche de zéro et que lesflux Φ1 et Φ2 sont de signes opposés. Un avantage en est qu’il est peu probableque le noyau sature.
De plus, les courants i1 et i2 doivent être de signes opposés. Pour remplircette condition, il faut qu’à l’existence d’un flux Φ non-nul le système réagisse enprovoquant une tension u2 de signe contraire à Φ : il doit y avoir contre-réaction(opposition à la cause) :
u2 ∝ Φ ⇒ u2 = −KA ·B
Les modèles en t et en s complets s’écrivent donc :
u2 = KA · (Bc −B)u2 = R2 · i2 + L22 · di2dt + L21 · di1dtψ2 = L22 · i2 + L21 · i1φ2 = ψ2
N2
B = φ2A
U2 (s) = KA · (Bc (s)−B (s))U2 (s) = R2 · I2 (s) + s · L22 · I2 (s) + s · L21 · I1 (s)Ψ2 (s) = L22 · I2 (s) + L21 · I1 (s)
Φ2 (s) = Ψ2(s)N2
B (s) = Φ2(s)A
12.2
Le schéma fonctionnel détaillé correspondant aux équations est le suivant. Onl’a disposé de façon à mettre en évidence les signaux d’entrée et de sortie. Lesignal d’entrée est le courant primaire i1, alors que celui de sortie est le courantsecondaire i2.
Corrigé des exercices 22 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
-
S
-S
1
2L
- K A1
A
1
2N
i 1
Y 2u 2i 2
L 1 2
f _ 0 6 _ 1 . e p s
R 2
12.3
Pour obtenir un schéma fonctionnel s’apparentant au schéma fonctionnel uni-versel d’un système de régulation automatique, on transforme le schéma obtenuau § 12.2 page précédente comme suit,
-
S
-
S
v ( t ) = i 1
Y 2
B
i 2
L 1 2
S
-
u( t) =u2( t)
w ( t ) = B c = 0 [ T ]y ( t ) = B ( t )K A
R 2 1 / L 2
1 / N 2 1 / A1 / s
d
d t
Y2
f _ 0 6 _ 2 . e p s
où l’on a gardé à l’esprit les équations obtenues au § 12.1 page ci-contre. Il s’agitplutôt d’une régulation de maintien : la consigne est un champ d’induction Bc
constamment égal à 0 [T ], la grandeur réglée étant le champ d’induction B dansle noyau. Les perturbations sont représentées par le courant primaire i1.
Corrigé des exercices 23 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
12.4
La fonction de transfert en boucle ouverte a pour expression (boucle ouverte,v(t) = i1 = 0 [A]), en se basant sur le schéma fonctionnel ci-dessus :
Go (s) = KA ·1s
1 + 1s· R2
L2
· 1
N2 · A
= KA ·L2
R2
1 + s · L2
R2
· 1
N2 · A
=KA · L2
R2 ·N2 · A· 1
1 + s · L2
R2
= Ko ·1
1 + s · To
Celle en boucle fermée vaut :
Gyw (s) =B (s)
Bc (s)=
Go (s)
1 +Go (s)
=Ko · 1
1+s·To1 +Ko · 1
1+s·To=
Ko
1 + s · To +Ko
=Ko
1 +Ko
· 1
1 + s · To1+Ko
= Kw ·1
1 + s · Tw
12.5
Partant du schéma fonctionnel de l’exercice 12.2 page 22, on procède à lamodification ci-dessous
Y 2
S1
2L
i 2-
S1
s
- K A1
A
1
2Nu 2
i 1L 1 2
- R 2
f _ 0 6 _ 4 . e p s
Corrigé des exercices 24 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
afin d’obtenir un schéma se présentant sous une forme connue. La fonction detransfert du sous-système mis en évidence apour expression :
I2 (s) = −L12 ·1L2
1 + 1s· R2
L2
· I1 (s) +1s· 1L2
1 + 1s· R2
L2
· U2 (s)
= −L12 ·1R2· s
1 + s · L2
R2
· I1 (s) +1R2
1 + s · L2
R2
·(−KA ·
1
A· 1
N2
· (L12 · I1 (s) + L2 · I2 (s))
)I2 (s) =
1
1 + s · L2
R2
·(−L12
R2
· s− KA · L12
R2 · A ·N2
)· I1 (s)−
KA·L2
R2·A·N2
1 + s · L2
R2
· I2 (s)
I2 (s) ·(
1 +KA·L2
R2·A·N2
1 + s · L2
R2
)=
1
1 + s · L2
R2
·(−L12
R2
· s− KA · L12
R2 · A ·N2
)· I1 (s)
I2 (s) ·(
1 + s · L2
R2
+KA · L2
R2 · A ·N2
)=
(−L12
R2
· s− KA · L12
R2 · A ·N2
)· I1 (s)
Gwi (s) =I2 (s)
I1 (s)=
(−L12
R2· s− KA·L12
R2·A·N2
)(
1 + s · L2
R2+ KA·L2
R2·A·N2
) = −KA·L12
R2·A·N2
1 + KA·L2
R2·A·N2
·
(1 + s ·
L12R2
KA·L12R2·A·N2
)(
1 + s ·L2R2
1+KA·L2R2·A·N2
)
= −KA·L12
R2·A·N2
1 + KA·L2
R2·A·N2
·
(1 + s · A·N2
KA
)(
1 + s ·L2R2
1+KA·L2R2·A·N2
)Gwi (s) =
I2 (s)
I1 (s)=
−L12 ·KA
L2 ·KA +R2 ·N2 · A·
1 + s · N2·AKA
1 + s · N2·A·L2
L2·KA+R2·N2·A= Kwi ·
1 + s · Toi1 + s · Tfi
La configuration pôle-zéro est représentée ci-dessous.
Corrigé des exercices 25 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
0R e
I m
s
s f i = - 1 / T f i
f _ 0 6 _ 8 . e p s
z i = - 1 / T o i
Le gain statique de la fonction de transfert est obtenu en posant s = j · ω,pour ω → 0
[ rads
]:
Kwi =i2 (∞)
i1 (∞)=
−L12 ·KA
L2 ·KA +R2 ·N2 · A
12.6
La réponse à un saut de courant primaire s’obtient par transformation deLaplace inverse. On a :
I2 (s) = Gwi(s)·I1 (s) = Kwi·1 + s · Toi1 + s · Tfi
·1s
= Kwi·[
1
1 + s · Tfi· 1
s+
Toi1 + s · Tfi
]·I1 (s)
i2(t) = L−1 (I2(s)) = Kwi ·[(
1− e−tTfi
)+ Toi ·
1
Tfi· e−
tTfi
]· ε(t)
= Kwi ·[1− e−
tTfi ·
(1− Toi
Tfi
)]· ε(t)
On remarque que lorsque la résistance secondaire R2 est nulle, on a :
Gwi (s) =I2 (s)
I1 (s)=−L12 ·KA
L2 ·KA
·1 + s · N2·A
KA
1 + s · N2·A·L2
L2·KA=−L12
L2
= −N1
N2
Le courant secondaire est lié statiquement au courant primaire ! Les deux courantssont alors simplement dans le rapport des nombres de spires.
Corrigé des exercices 26 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
13 Modélisation et schéma fonctionnel d’un en-traînement avec transmission flexible
13.1
Les hypothèses simplificatrices sont les suivantes :– les coefficients de frottement visqueux sont supposés constants et connus ;– les conditions initiales sont nulles.
y
0
q 1
x
y
0
q 2
x
f _ 0 7 _ 0 3 . e p s
Les positions angulaires des deux inerties sont repérées par les angles θ1 et θ2, lesconventions de signes étant celle du cercle trigonométrique.
On suppose que le frottement est purement visqueux et qu’il est parfaitementlinéaire avec la vitesse. Pour la résolution qui suit, on prend en compte le cas oùles coefficients de frottement visqueux des deux paliers sont différents.
Les équations de la dynamique s’écrivent, appliquées aux inerties 1 et 2 :
J1 · α1(t) = Tem(t)−Rf1 · ω(t)1 + T12(t)
J2 · α2(t) = −Rf2 · ω2(t) + T21(t)
où– T12 traduit l’effet de J2 sur J1 ;– T21 traduit l’effet de J1 sur J2.
Corrigé des exercices 27 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Les couples T12 et T21 ont pour expressions :
T12(t) = k · (θ2(t)− θ1(t))
T21(t) = k · (θ1(t)− θ2(t)) = −T12(t)
On vérifie que si par exemple J2 est est avance sur J1,i.e. θ2 > θ1, J2 a tendance aattirer J1, lui appliquant un couple T12 positif, alors qu’inversément, J1 "retient"J2 avec le couple T12 négatif.
Les équations dynamiques (modèles en t et en s) deviennent :
J1 · α1(t) = Tem(t)−Rf1 · ω1(t) + k · (θ2(t)− θ1(t))
J2 · α2(t) = −Rf2 · ω2(t) + k · (θ1(t)− θ2(t))
(J1 · s2 +Rf1 · s+ k
)·Θ1 (s) = Tem (s) + k ·Θ2 (s) (1)(
J2 · s2 +Rf2 · s+ k)·Θ2 (s) = k ·Θ1 (s) (2)
Les équations d’états peuvent se déduire presque directement du modèleen t ci-dessus. On a tout d’abord :
J1 ·dω1
dt= Tem(t)−Rf1 · ω1(t) + k · (θ2(t)− θ1(t))
J2 ·dω2
dt= −Rf2 · ω2(t) + k · (θ1(t)− θ2(t))
Les variables θ1(t) et θ2(t) n’étant pas déterminées, cela démontre que le modèleest incomplet et qu’il faut lui adjoindre les deux équations :
dθ1
dt= ω1(t)
dθ2
dt= ω2(t)
Le comportement dynamique du système est donc entièrement décrit pas lesquatre équations différentielles d’ordre 1
dω1
dt= −Rf1
J1
· ω1(t)− k
J1
· θ1(t) +k
J1
· θ2(t) +1
J1
· Tem(t)
dω2
dt= −Rf2
J2
· ω2(t) +k
J2
· θ1(t)− k
J2
· θ2(t)
dθ1
dt= ω1(t)
dθ2
dt= ω2(t)
Corrigé des exercices 28 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
et l’on vérifie que le modèle est cette fois complet puisque le membre de gauche(les dérivées des variables d’état par rapport au temps) s’exprime en utilisantexclusivement les variables d’état et l’entrée ([20, §4.5]). Sous forme matricielle,on a encore :
d
dt
ω1
ω2
θ1
θ2
︸ ︷︷ ︸
~x
=
−Rf1
J10 − k
J1+ kJ1
0 −Rf2J2
+ kJ2− kJ2
1 0 0 00 1 0 0
︸ ︷︷ ︸
A
·
ω1
ω2
θ1
θ2
︸ ︷︷ ︸
~x
+
1J1
000
︸ ︷︷ ︸B
· Tem︸︷︷︸u
Le système différentiel ci-dessus définit l’évolution au cours du temps des gran-deurs internes du système, i.e. les variables d’état. La sortie du système s’exprimecomme une combinaison linéaire de ceux-ci. La sortie sélectionnée pourrait dansun premier temps être la position angulaire en bout d’arbre, i.e. θ2 ce que l’onécrit y = θ2. L’équation d’état différentielle ci-dessus doit donc être complétéepar l’équation de sortie :
θ2︸︷︷︸y
=[0 0 0 1
]︸ ︷︷ ︸C
·
ω1
ω2
θ1
θ2
︸ ︷︷ ︸
~x
+[0]︸︷︷︸
D
· Tem︸︷︷︸u
Notons que le formalisme de la représentation d’état permet facilement de traiterle cas où le système a plusieurs sorties, par exemple θ2 et θ1 : il suffit d’adapterles matrices C et D, comme on le montre ci-dessous.
[θ2
θ1
]︸︷︷︸~y
=
[0 0 0 10 0 1 0
]︸ ︷︷ ︸
C
·
ω1
ω2
θ1
θ2
︸ ︷︷ ︸
~x
+
[00
]︸︷︷︸D
· Tem︸︷︷︸u
13.2
En notant que
G3α (s) =α2(s)
α1(s)=
1s· α2(s)
1s· α1(s)
=Ω2(s)
Ω1(s)=
1s· Ω2(s)
1s· Ω1(s)
=Θ2(s)
Θ1(s)= G3(s)
la seconde équation (2) du modèle en s permet de calculer tout d’abord la fonctionde transfert G3α (s) :
G3α (s) =α2 (s)
α1 (s)= G3 (s) =
Θ2(s)
Θ1(s)=
k
J2 · s2 +Rf2 · s+ k=
1
1 +Rf2k· s+ J2
k· s2
Corrigé des exercices 29 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
On en déduit, dans le cas où les coefficients de frottement visqueux Rf1 et Rf2
sont identiques :
G3 (s) =Θ2 (s)
Θ1 (s)=
1
1 +Rf2k· s+ J2
k· s2
∣∣∣∣∣Rf1=Rf2=Rf
=1
1 +Rfk· s+ J2
k· s2
Pour G1α (s), on note tout d’abord que
G1(s) =Θ1(s)
Tem(s)=
α1(s)s2
Tem(s)=
1
s2· α1(s)
Tem(s)=
1
s2·G1α (s)
puis on a successivement :
G1α (s) =α1 (s)
Tem (s)
=s2(
(J1 · s2 +Rf1 · s+ k)− k(1+
Rf2k·s+J2
k·s2))
=s2 ·(
1 +Rf2k· s+ J2
k· s2)
(J1 · s2 +Rf1 · s+ k) ·(
1 +Rf2k· s+ J2
k· s2)− k
=1
k·
s2 ·(
1 +Rf2k· s+ J2
k· s2)
(1 +
Rf1k· s+ J1
k· s2)·(
1 +Rf2k· s+ J2
k· s2)− 1
=1
k·
s2 ·(
1 +Rf2k· s+ J2
k· s2)
(1 +
Rf1k· s+ J1
k· s2)·(
1 +Rf2k· s+ J2
k· s2)− 1
=1
k·
s2 ·(
1 +Rf2k· s+ J2
k· s2)
(s ·(Rf1k
+Rf2k
)+ s2 ·
(J1k
+ J2k
+Rf1·Rf2
k2
)+ s3 ·
(J1·Rf2k2
+J2·Rf1k2
)+ J1·J2
k2· s4)
=1
(Rf1 +Rf2)·
s ·(
1 +Rf2k· s+ J2
k· s2)
(1 + s ·
(J1k
+J2k
+Rf1·Rf2
k2
)(Rf1k
+Rf2k
) + s2 ·(J1·Rf2k2
+J2·Rf1k2
)(Rf1k
+Rf2k
) +J1·J2k2(
Rf1k
+Rf2k
) · s3
)
=1
k·
s2 ·(
1 +Rf2k· s+ J2
k· s2)
(s ·(Rf1k
+Rf2k
)+ s2 ·
(J1k
+ J2k
+Rf1·Rf2
k2
)+ s3 ·
(J1·Rf2k2
+J2·Rf1k2
)+ s4 · J1·J2
k2
)=
1
(Rf1 +Rf2)·
s ·(
1 +Rf2k· s+ J2
k· s2)
(1 + s ·
(J1k
+J2k
+Rf1·Rf2
k2
)(Rf1k
+Rf2k
) + s2 ·(J1·Rf2k2
+J2·Rf1k2
)(Rf1k
+Rf2k
) + s3 ·J1·J2k2(
Rf1k
+Rf2k
))
Corrigé des exercices 30 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
On obtient après une dernière mise en forme :
G1α (s) =1
(Rf1 +Rf2)·
s ·(
1 +Rf2k· s+ J2
k· s2)
(1 + s · ((J1+J2)·k+Rf1·Rf2)
k·(Rf1+Rf2)+ s2 · (J1·Rf2+J2·Rf1)
k·(Rf1+Rf2)+ J1·J2
k·(Rf1+Rf2)· s3
)Comme
G1(s) =Θ1(s)
Tem(s)=
1
s2·G1α(s)
on a
G1 (s) =Θ1(s)
Tem(s)
=
1
(Rf1+Rf2)
s·
(1 +
Rf2k· s+ J2
k· s2)
(1 + s · ((J1+J2)·k+Rf1·Rf2)
k·(Rf1+Rf2)+ s2 · (J1·Rf2+J2·Rf1)
k·(Rf1+Rf2)+ J1·J2
k·(Rf1+Rf2)· s3
)∣∣∣∣∣∣∣∣Rf1=Rf2=Rf
=
12·Rfs· 1 +
Rfk· s+ J2
k· s2
1 + s · (J1+J2)·k+R2f
k·2·Rf + s2 · J1+J22·k + J1·J2
k·2·Rf · s3
Pour G2α (s), on a simplement :
G2α (s) =α2 (s)
Tem (s)=G3α · α1 (s)
Tem (s)= G3α ·
α1 (s)
Tem (s)︸ ︷︷ ︸G1(s)
= G1 (s) ·G3α (s)
=1
(Rf1 +Rf2)· s(
1 + s · ((J1+J2)·k+Rf1·Rf2)k·(Rf1+Rf2)
+ s2 · (J1·Rf2+J2·Rf1)k·(Rf1+Rf2)
+ J1·J2k·(Rf1+Rf2)
· s3
)
Comme
G2(s) =Θ2(s)
Tem(s)=
1s2· α2(s)
Tem(s)=
1
s2·G2α(s)
on a
G2 (s) =Θ1(s)
Tem(s)
=
1
(Rf1+Rf2)
s· 1(
1 + s · ((J1+J2)·k+Rf1·Rf2)k·(Rf1+Rf2)
+ s2 · (J1·Rf2+J2·Rf1)k·(Rf1+Rf2)
+ J1·J2k·(Rf1+Rf2)
· s3
)∣∣∣∣∣∣∣∣Rf1=Rf2=Rf
=
12·Rfs· 1
1 + s · (J1+J2)·k+R2f
k·2·Rf + s2 · J1+J22·k + J1·J2
k·2·Rf · s3
Corrigé des exercices 31 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
13.3
Les pôles de G1α (s) et G2α (s) sont donnés par la résolution de l’équationcaractéristique :
dc (s) = 1+s·((J1 + J2) · k +Rf1 ·Rf2)
k · (Rf1 +Rf2)+s2·(J1 ·Rf2 + J2 ·Rf1)
k · (Rf1 +Rf2)+
J1 · J2
k · (Rf1 +Rf2)·s3 = 0
Une solution numérique s’impose dans le cas général. PourRf1 = Rf2 = 0 [N ·m · s],on a :
dc (s) = s · (J1 + J2) · k + J1 · J2 · s3 = s ·((J1 + J2) · k + J1 · J2 · s2
)= 0
s1,2 = ±j ·√k · (J1 + J2)
J1 · J2
s3 = 0
[rads
]
Pour les pôles de G3α (s), on a plus simplement :
dc (s) = 1 +Rf2
k· s+
J2
k· s2 = 0
On obtient :
s1,2 =−Rf2
k±√(
Rf2k
)2
− 4 · J2k
2 · J2k
=−Rf2 ±
√R2f2 − 4 · J2 · k
2 · J2
= ±j ·√
k
J2
R e0
s
I m
f _ 0 7 _ 0 6 . e p s
Dans les trois cas, les fonctions de transfert exhibent une paire de pôles imagi-naires purs lorsque le frottement visqueux est nul, ce qui démontre par ailleursl’effet stabilisant de celui-ci. On est alors en présence d’oscillateurs mécaniques.Même en présence de frottement visqueux, ce genre de système à régler s’avèreparticulièrement ardu à asservir s’il est nécessaire, tout en garantissant la stabi-lité, de maintenir les exigences de rapidité et de précision imposées par le cahierdes charges.
Corrigé des exercices 32 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
13.4
Le schéma fonctionnel détaillé se présente comme suit. On remarque qu’ilapparaît comme demandé sous une forme où les seuls éléments dynamiques sontdes intégrateurs.
T e m ( t )
-
- q1( t )
q2( t )
w1( t )
w2( t )a
2( t )
a1( t )
q1( t )
S
R f 1
S k S
R f 2
1J 1
1J 1
1s
1s
1J 2
1s
1s
f _ 0 7 _ 0 4 . e p s
13.5
Le fichier de commandes MATLAB suivant permet de tracer les réponses im-pulsionnelle et fréquentielle.
%/∗%∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗%Version Date Auteur Motif%0 23/12/96 MEE Creation% . . . . . . . . . ( Mod i f i ca t ions )%∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗%∗/% Parametres
J1 = 0.45 e−3;J2 = 20e−3;Rf = 20e−3;k = 1740 ;
% Modele d ’ e t a tA = [
−Rf/J1 0 −k/J1 +k/J10 −Rf/J2 +k/J2 −k/J21 0 0 00 1 0 0
] ;B = [1/ J1 , 0 , 0 , 0 ] ’ ;C = [
0 0 0 10 0 1 0
] ;D = zeros ( 2 , 1 ) ;
% Reponse impu l s i onne l l et = linspace ( 0 , 0 . 1 , 5 0 0 ) ;figure ( 1 ) , impulse (A,B,C,D, 1 , t ) ;grid
% Reponse f r e q u e n t i e l l efigure ( 2 ) , bode (A,B,C,D, 1 ) ;
Corrigé des exercices 33 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
% Conf igurat ion pole−zerofigure ( 3 ) , pzmap(A,B,C,D) ;damp(A)
Le tracé des réponses impulsionnelles g1(t) et g2(t) ne reflétant a priori quepeut le caractère oscillatoire du système,
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−5
0
5
10
15
20
25Réponse impulsionnelle
t [s]
g(t)
Ga1
(s)G
a2(s)
f_ra_07_1c.eps
il faut examiner plus en détails les premiers instants de cette réponse pour mettreclairement en évidence le comportement oscillatoire attendu.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−1
0
1
2
3
4
5Réponse impulsionnelle
t [s]
g(t)
Ga1
(s)G
a2(s)
f_ra_07_2c.eps
La réponse fréquentielle met quant à elle clairement en évidence le phénomène.
Corrigé des exercices 34 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
100
101
102
103
104
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
Diagrammes de Bode de Ga1
(s) et Ga2
(s)ga
in [d
B]
100
101
102
103
104
−180
−135
−90
−45
0
45
90
180
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
Ga1
(jω)G
a2(jω)
f_ra_07_3c.eps
La configuration pôle-zéro montre dans chaque cas une paire pôles complexesconjugués. Leur taux d’amortissement s’obtient facilement par la commandedamp.
−25 −20 −15 −10 −5 0−2500
−2000
−1500
−1000
−500
0
500
1000
1500
2000
2500
f_ra_07_4c.eps
Pole−Zero Map
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Corrigé des exercices 35 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
14 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode
14.1
Diagrammes de Bode exact et asymptotique de
G (s) =Y (s)
U(s)=
K
s · (1 + s · τ)
pour K = 10 et τ = 1 [s] :
10−2
10−1
100
101
102
−60
−40
−20
0
20
40
60Diagramme de Bode (exact et asymptotique)
gain
[dB
]
10−2
10−1
100
101
102
−180
−135
−90
−45
0
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
f_ra_14_1_1.eps
Lieu de Nyquist :
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0−1000
−900
−800
−700
−600
−500
−400
−300
−200
−100
0
Re
Im
Diagramme de Nyquist
f_ra_14_1_2.eps
Corrigé des exercices 36 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
14.2
Diagrammes de Bode exact et asymptotique de
G (s) =Y (s)
U(s)=
(1 + 10 · s)(1 + s) · (1 + 3 · s)
10−2
10−1
100
101
102
−40
−20
0
20Diagramme de Bode (exact et asymptotique)
gain
[dB
]
10−2
10−1
100
101
102
−90
−45
0
45
90
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
f_ra_14_2_1.eps
Lieu de Nyquist :
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
Re
Im
Diagramme de Nyquist
f_ra_14_2_2.eps
14.3
Diagrammes de Bode exact et asymptotique de
G (s) =Y (s)
U(s)= 10 · (1 + 10 · s)
s · 10
Corrigé des exercices 37 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
10−3
10−2
10−1
100
101
0
20
40
60Diagramme de Bode (exact et asymptotique)
gain
[dB
]
10−3
10−2
10−1
100
101
−90
−45
0
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
f_ra_14_3_1.eps
14.4
Diagrammes de Bode exact et asymptotique de
G (s) =Y (s)
U(s)= 10 · (1 + s)
10−2
10−1
100
101
102
0
20
40
60Diagramme de Bode (exact et asymptotique)
gain
[dB
]
10−2
10−1
100
101
102
0
45
90
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
f_ra_14_4_1.eps
Corrigé des exercices 38 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
14.5
Diagrammes de Bode exact et asymptotique de
N1 (s) = 1− s
etN2 (s) = 1 + s
10−2
10−1
100
101
102
0
20
40Diagramme de Bode (exact et asymptotique)
gain
[dB
]
10−2
10−1
100
101
102
−90
−45
0
45
90
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
f_ra_14_5_1.eps
Corrigé des exercices 39 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
14.6
Diagrammes de Bode exact et asymptotique de
G (s) =100
s2· (1 + s · 0.3333)
(1 + s · 0.01) · (1 + s · 0.003333)
0.1 1 10 59.6418100 1000 10000−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80Diagrammes de Bode exact et asymptotique (exact et asymptotique)
gain
[dB
]
0.1 1 10 59.6418100 1000 10000−180
−135
−90
−45
0
45
90
180
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
f_ra_14_6_1.eps
Corrigé des exercices 40 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
15 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode d’unsystème asservi
On commence par mettre la fonction de transfert en boucle ouverte Go(s)sous forme de Bode :
Go (s) = 10 · 100
s+ 10=
100
1 + s · 0.1 =Ko
1 + s · τoOn en déduit l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée, régulationde correspondance :
Gyw (s) =W (s)
Y (s)=
Go (s)
1 +Go (s)=
Ko1+s·τo
1 + Ko1+s·τo
=Ko
1 + s · τo +Ko
=Ko
1 +Ko
· 1
1 + s · τo1+Ko
=Kw
1 + s · τwLe tracé des diagrammes de Bode exact et asymptotique est le suivant :
10−1
100
101
102
103
104
105
−40
−20
0
20
40
Diagrammes de Bode de Go(s) et G
yw(s) (exact et asymptotique)
gain
[dB
]
Go
Gyw
10−1
100
101
102
103
104
105
−90
−45
0
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
Go
Gyw
f_ra_17_1.eps
Ces diagrammes confirment que :1. Tout pendant que le gain de boucle |Go (j · ω)| est élevé, la précision en
boucle fermée est bonne puisque |Gyw (j · ω)| → 1 ;
Corrigé des exercices 41 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
2. Le système est généralement plus dynamique en boucle fermée qu’en boucleouverte ;
3. A partir d’une certaine pulsation, de l’ordre de grandeur de la pulsation decoupure à 0 [dB] en boucle ouverte ωco , le gain en boucle fermée chute etrejoint celui en boucle ouverte.
Les lieux de Nyquist correspondants sont tracés ci-dessous et ne font que corro-borer ces dires.
0 20 40 60 80 100−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
Re(Go(jω))
Im(G
o(jω))
Lieu de Nyquist de Go(s)
f_ra_17_2.eps
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1
−0.9
−0.8
−0.7
−0.6
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
Re(Gyw
(jω))
Im(G
yw(jω
))
Lieu de Nyquist de Gyw
(s)
f_ra_17_3.eps
16 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode d’unsystème asservi
16.1
Les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée Gw(s) ou Gyv(s) sontles valeurs annulant leur dénominateur ; écrire que celui-ci est égal à zéro revientà résoudre l’équation caractéristique dc(s) :
dc (s) = 1 +Go (s) = 0
La fonction de transfert en boucle ouvert Go(s) a pour expression :
Go (s) = Kp · (1 + s · Td) ·Ka2
(1 + s · τ)· Ke
s=Ko
s· (1 + s · Td)
(1 + s · τ)
avec Ko = Kp ·Ka1 ·Ke
On peut en déduire soit directement l’équation caractéristique, soit tout d’abordla fonction de transfert en boucle fermée, régulation de correspondance, Gw(s) :
Gyw (s) =Y (s)
W (s)=
Go (s)
1 +Go (s)=
Kos· (1+s·Td)
(1+s·τ)
1 + Kos· (1+s·Td)
(1+s·τ)
=Ko · (1 + s · Td)
s · (1 + s · τ) +Ko · (1 + s · Td)
=(1 + s · Td)
1 + s ·(Td + 1
Ko
)+ s2 · τ
Ko
Corrigé des exercices 42 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Le dénominateur obtenu est à identifier terme à terme au dénominateur de lafonction de transfert d’un système fondamental d’ordre 2 :
G2(s) =K2
1 + 2·ζωn· s+ 1
ω2n· s2
On a :ωn =
√Koτ
ζ = 12·(Td + 1
Ko
)· ωn = 1
2·(Td + 1
Ko
)·√
Koτ
On en extrait l’expression de Ko en fonction de ζ :
ζ2 = 14·(Td + 1
Ko
)2
· Koτ
4 · ζ2 · τ ·Ko = K2o · T 2
d + 2 · Td ·Ko + 1K2o · T 2
d +Ko · 2 · (Td − 2 · ζ2 · τ) + 1 = 0
Finalement :K2o · T 2
d +Ko · 2 · (Td − 2 · ζ2 · τ) + 1 = 0
Ko1,2 =−2·(Td−2·ζ2·τ)±
√4·(Td−2·ζ2·τ)2−4·T 2
d
2·T 2d
=−(Td−2·ζ2·τ)±
√(Td−2·ζ2·τ)2−T 2
d
T 2d
=−(Td−2·ζ2·τ)±
√−4·Td·ζ2·τ+4·ζ4·τ2T 2d
=−(Td−2·ζ2·τ)±2·ζ·
√τ ·(−Td+ζ2·τ)
T 2d
Pour que ζ = 0.5, il faut donc que :
Ko1,2 =− (1− 2 · 0.25 · 10)± 2 · 0.5 ·
√10 · (−1 + 0.25 · 10)
1=
7.8730.127
On choisit ici de manière arbitraire la solution assurant le comportement le plusrapide en boucle fermée. Sachant que la durée de réglage Treg est donnée, pourun système à deux pôles dominants, de manière relativement précise par
Treg =3
δ=
3
ζ · ωnet que selon la relation obtenue précédemment
ωn =
√Ko
τ
il est évident que c’est la valeur la plus élevée de Ko qui doit être choisie. On endéduit le gain Kp du régulateur :
Kp =Ko
Ka1 ·Ke
=7.873
10 · 1 = 0.7873
Le programme MATLAB suivant permet de vérifier qu’avec cette valeur de Kp, letaux d’amortissement ζ est bien égal à 0.5.
Corrigé des exercices 43 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
% In i t i a l i s a t i on des parametresT = 10 ;Ka2 = 10Ke = 1 ;
Kp = 0 . 7873 ;Td = 1 ;a = 1e−3;
% Fonctions de trans fer t% Regulateur
[ numGc, denGc ] = p a r a l l e l ( [Kp ] , [ 1 ] ,Kp∗ [Td , 0 ] , [ a∗Td , 1 ] ) ;% Systeme a reg ler
numGa = Ka2∗Ke ;denGa = [T, 1 , 0 ] ;
% Fonctions de trans fer t en boucle ouverte[ numGo, denGo ] = s e r i e s (numGc, denGc ,numGa, denGa ) ;
% Fonctions de trans fer t en boucle fermee regulat ion de correspondance[numGw,denGw ] = cloop (numGo, denGo ) ;
% Calcul du taux d ’ amortissement zeta a l ’ aide de la fonction dampdamp(denGw)
% Affichage de poles et des courbes equi amortissement avec mise en formef igure (1 )pzmap(numGw,denGw)sg r i d ( [ 0 . 1 : 0 . 1 : 0 . 9 ] , [ ] )axis ( [−2 ,0 ,−1 ,1])axis ( ’ square ’ )t i t l e ( ’ Conf igurat ion pole−zéro en boucle fermée ’ )
% Trace de la reponse i n d i c i e l l ef igure (2 )step_me (numGw,denGw)
Le tracé de la configuration pôle-zéro en boucle fermée confirme que ζ = 0.5
−2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.8 0.7 0.20.6
0.70.9
0.40.9
0.8 0.1
0.1
0.2
0.3
0.3
0.5
0.40.50.6
f_ra_18_1.eps
Configuration pole−zéro en boucle fermée
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
alors que la réponse indicielle de Gyw(s) montre un comportement bien amorti.
Corrigé des exercices 44 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
0 2 4 6 8 10 12 140
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t [s]
y(t)
Réponse indicielle
Treg
+/−5%=5[s]
TdepT10%
T90%
Tm
=1.2[s]
D=26.6875%
yInf
=1
f_ra_18_2.eps
16.2
Les fonctions de transfert en boucle ouverte Go(s) ainsi qu’en boucle ferméeGw(s), régulation de correspondance, ont déjà été calculées au point précédent.La fonction de transfert en boucle fermée Gyv(s), régulation de maintien, a quantà elle pour expression :
Gyv (s) =Y (s)
V (s)=
Ga2 (s)
1 +Go (s)=
Ka2·Kes· 1
(1+s·τ)
1 + Kos· (1+s·Td)
(1+s·τ)
=Ka2 ·Ke
s · (1 + s · τ) +Ko · (1 + s · Td)
=1
Kp
· 1
1 + s ·(Td + 1
Ko
)+ s2 · τ
Ko
Les diagrammes de Bode des trois fonctions de transfert sont donnés ci-dessous.
Corrigé des exercices 45 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
10−
210
−1
100
101
102
−80
−60
−40
−200204060
Dia
gram
me
de B
ode
(exa
ct e
t asy
mpt
otiq
ue)
gain [dB]
10−
210
−1
100
101
102
−18
0
−13
5
−90
−450
ω [r
ad/s
]
phase [degré]
f_ra
_18_
3.ep
s
Corrigé des exercices 46 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
17 Lieu de Nyquist et diagramme de Bode de sys-tèmes possédant un retard pur
17.1
Diagramme de Nyquist de G(s) = e−s·Tr , avec Tr = 2 [s] :
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Re(G(jω))
Im(G
(jω))
Lieu de Nyquist de G(s)
f_ra_15_1.eps
Diagramme de Bode :
10−1
100
101
−20
0
20Diagramme de Bode
gain
[dB
]
10−1
100
101
−630
−540
−450
−360
−270−225−180−135
−90−45
0
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
f_ra_15_2.eps
La représentation de la phase de l’élément retard pur en échelles linéaires pourla pulsation est la suivante :
Corrigé des exercices 47 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−600
−500
−400
−300
−200
−100
0
ω [rad/s] (lin.)
arg(
G(jω
)) [d
eg.]
Phase de G(s)
f_ra_15_3.eps
18 Diagramme de NyquistL’examen du diagramme de Bode met en évidence les comportement suivants :– Pour les basses fréquences, la phase tend vers −180 [] et le gain vers l’infini.– A hautes fréquences, le gain tend naturellement vers zéro et la phase vers−180 [].
– Dans une zone de fréquences intermédiaires, la phase remonte provisoire-ment, avant de chuter vers −180 [].
0
G ( j w )I m
R e- 1w = 0 [ r a d / s ]
w = [ r a d / s ]¥
f _ 2 0 _ 1 . e p s
Corrigé des exercices 48 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
19 Précision
Il est tout d’abord nécessaire de présenter le schéma sous forme de schémafonctionnel universel
Gc(s)e(t) y(t)
Ga1(s) Ga2(s)
y(t)
u(t)Σ Σ
-
w(t)
v(t)Régulateur
Partie du système àrégler située avant
l’introduction desperturbations v(t)(amplificateur de
puissance, actionneur,etc)
Partie du système àrégler située après
l’introduction desperturbations v(t)
(processus, capteur,etc)
Retour unitaire
ce qui donne :
Σ-
Kp · (1 + s · Td) Kcm Σ Kmω
w(t) y(t)Tem(t)
Trés(t)
ω(t)u(t) 1
s·
1
Rf+s·J
Puis il faut que toutes les fonctions de transfert soient sous forme de Bode. Ona :
Ga2(s) =1
s· 1
Rf + s · J ·Kmω =
1Rf
s· 1
1 + s · JRf
·Kmω =Ka2
s· 1
1 + s · JRf
Go(s) = Gc(s) ·Ga(s) = Kp · (1 + s · Td) ·Kcm ·1Rf
s· 1
1 + s · JRf
·Kmω =Ko
s· 1 + s · Td
1 + s · JRf
Le schéma fonctionnel devient :
Σ-
Kp · (1 + s · Td) Kcm Σ Kmω
w(t) y(t)Tem(t)
Trés(t)
ω(t)u(t)1
s·
1
Rf
1+s· JRf
Corrigé des exercices 49 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Le décompte des intégrateurs situés avant l’introduction des perturbations, aprèset dans la boucle Go(s), respectivement α1 = 0, α2 = 1, α = α1 +α2 = 0 + 1 = 1,amène, en se référant au tableau des erreurs permanentes :
E∞w = 0
E∞v =Ka2
Ko
=
KmωRf
Kp ·Kcm · KmωRf
=1
Kp ·Kcm
20 Asservissement de vitesse
20.1
Les hypothèses simplificatrices sont les suivantes :– le moteur travaille en zone non saturée ;– l’effet de réaction d’induit est négligeable car le moteur est compensé ;– la constante de couple KT du moteur est invariable et connue ;– la charge est supposée n’être qu’une inertie J ; en particulier le frottementvisqueux est supposé négligeable ;
– les conditions initiales sont nulles.Le moteur est commandé en courant, ce qui signifie qu’un dispositif (i.e. une
source de courant) permet de l’imposer. Si l’on considère que la source de courantest idéale, on peut la modéliser par un simple gain statique Kwi = 1
K′T
[AV
]et de
ce fait les équations se simplifient notablement par rapport à la commande entension :
e(t) = w(t)− y(t)
u = Kp · e(t)ia(t) = Kwi · u(t)
Tem(t) = KT · ia(t)
J · dωdt
= Tem(t)− Tres(t)y(t) = Kmω · ω(t)
De manière équivalente, le système peut être représenté par le schéma fonctionnel :
Σ-
Kp Kwi KT Σ
+
Kmωw(t) y(t)u(t) ia(t) Tem(t) ω(t)
v(t)
1
J·
∫
Dans l’esprit du concepteur de ce système asservi, le régulateur de vitesse, detype P, fournit un signal électrique Temc(t) [V] (très probablement en [V] puisque
Corrigé des exercices 50 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
le régulateur P est certainement réalisé avec une électronique à amplificateursopérationnels) portant l’information "couple à appliquer à la charge J en vued’annuler l’erreur e(t)". Aux unités près, il faudrait idéalement (mais ce n’estpas indispensable) que la valeur numérique du signal "couple électro-magnétique"Tem(t) coïncide avec celle du signal électrique Temc(t). Pour que le moteur produisele couple Tem(t), l’induit devrait donc être traversé par le courant
ia =TemKT
= Kwi · Temc =TemcK ′T
opération réalisée par une source de courant de fonction de transfert
Kwi =1
K ′T≈ 1
KT · 1[V
N·m]
On admet ici qu’un modèle purement statique de la source de courant est réaliste.On remarque que la mise en série des deux blocs
i aK T
T e m c
T e m c
T e m
T e m1 [ N m / V ]
1 / K T '
f _ 1 2 _ 6 . e p s
revient à faire une simple conversion d’unités. Ceci n’est bien sûr valable que sila valeur de KT est suffisamment bien connue pour que l’on puisse construire legain inverse Kwi = 1
K′Tet, comme dit plus haut, que la modélisation de la source
de courant pas un gain statique pur soit acceptable.L’unité physique du gain Kp du régulateur est ici le
[VV
]= [−]. Derrière cette
unité se cachent cependant des[
N·mrads
]. Le concepteur du système de régulation a
donc proposé une solution consistant à imposer un couple proportionnel à l’erreurde vitesse.
20.2
La fonction de transfert en boucle ouverte s’écrit :
Go (s) =Kp·Kmω
J
s=Ko
s
Corrigé des exercices 51 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Elle est de type α = 1. En boucle fermée (régulation de correspondance), le retourétant unitaire, on a :
Gyw (s) =Y (s)
W (s)=
Go (s)
1 +Go (s)=
Kp·KmωJ
s=
Ko
s+Ko
=1
1 + s · τf︸︷︷︸1Ko
où
Ko =Kp ·Kmω
J
Remarque Le gain statique en boucle fermée vaut 1 (régulation de corres-pondance). L’erreur statique en régulation de correspondance est par conséquentnulle.
Pour la fonction de transfert en régulation de maintien, on a :
Gyv (s) =Y (s)
V (s)=
Ga2 (s)
1 +Go (s)=
KmωJ ·s
1 + Kp·KmωJ ·s
=Kmω
J · s+Kp ·Kmω
=1
Kp
· 1
1 + s · JKp·Kmω
=1
Kp
· 1
1 + s · τf
Le gain statique est ici non-nul, cependant inversément proportionnel à Kp . Ona donc intérêt, comme en régulation de correspondance, à ce que ce dernier soitle plus élevé possible.
20.3
Il serait idéalement nécessaire d’asservir également le couple moteur Tem(t)à la consigne de couple Temc(t). Pratiquement, le couple étant directement pro-portionnel au courant d’induit ia(t), et moins facilement mesurable que ce mêmecourant, c’est un asservissement de courant qui devrait être réalisé. Le schémafonctionnel d’un tel asservissement serait le suivant :
S
R E G U L A T E U R
D E C O U R A N T
A M P L I F I C A T E U R
D E P U I S S A N C EC H A R G E
E L E C T R I Q U E
C A P T E U R D E
C O U R A N T
-
e ii a
i a m
u u ai a c G a i 2 ( s )G a i 1 ( s )G c i ( s )
G m i ( s )
f _ 1 2 _ 3 . e p s
Corrigé des exercices 52 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Le régulateur de courant forme, à partir de l’erreur en courant, un signal re-présentant la tension à appliquer au moteur afin d’annuler l’erreur. Cette ten-sion est produite par un amplificateur de puissance (par exemple un variateurou un convertisseur de courant) et alimente le moteur. Il faut tenir compte del’existence de perturbations de tension (FEM du moteur, variation de la tensiond’alimentation de l’amplificateur de puissance, etc). L’investissement d’un cap-teur de courant est nécessaire, celui-ci produisant un signal portant l’information"valeur actuelle du courant". Un capteur de courant approprié serait un "LEM"(cf exercice 12 page 21)
La partie située entre les signaux iac(t) "consigne de courant" et iam(t) "cou-rant réglé" est à insérer dans le schéma fonctionnel de la régulation de vitesse,comme suit :
M O T E U R + C H A R G E + C A P T E U R
wS S
-
+
+y
K m wK TK p
T e m ce i a T e m
vR E G U L A T E U RP D E V I T E S S E
i a c
A S S E R V I S S E M E N TD E C O U R A N T
G w i ( s )1 / K T ' 1 / ( J s )
f _ 1 2 _ 4 . e p s
20.4
La fonction de transfert en boucle ouverte Go(s) a été obtenue au point 20.2page 51. Le système en boucle ouverte est donc de type α = 1. L’intégrationétant située après l’introduction des perturbations, on a :
α1 = 0 α2 = 1
Les valeurs des erreurs permanentes se déduisent alors immédiatement du tableaudesdites erreurs.
Erreur statique Erreur en vitesseRégulationde corres-pondance
E∞w = 0 Evw = 1Ko
= 1Kp·KT ·Kmω
K′T·J
6= 0
Régulationde main-tien
E∞v = Ka2Ko
=KmωJ
Kp·KT ·KmωK′T·J
=
K′TKT ·Kp 6= 0
Evw =∞
Corrigé des exercices 53 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
21 Asservissement de position angulaire par ré-gulateurs P et PD
21.1
La consigne w(t) est maintenant une consigne de position puisque la grandeurcontre-réactionnée avec laquelle elle est comparée est une mesure de position. Laposition étant asservie, il est impératif de la mesurer, au moyen d’un capteur deposition (encodeur incrémental, resolver). La dynamo tachymétrique n’est désor-mais plus nécessaire.
Σ-
Kp Kwi KT Σ
+
Kmθw(t) y(t)u(t) ia(t) Tem(t) ω(t) θ(t)
Tres(t)
1
J·
∫ ∫
L’unité physique du gain Kp du régulateur est au vu de son implantation le[VV
]= [−]. Derrière cette unité se cachent maintenant des
[N·mrad
], que l’on pourrait
décrire comme une rigidité en torsion.
21.2
La préoccuption principale de l’automaticien est la stabilité en boucle fermée,condition impérative pour rendre le système asservi utilisable. On teste donc lastabilité en boucle fermée en recherchant les pôles de la fonction de transfertcorrespondante.
Afin de vérifier si le système est stable ou instable en boucle fermée, on formel’équation caractéristique (dénominateur des fonctions de transfert en boucle fer-mée), dont les solutions fournissent les pôles en boucle fermée. On a tout d’abord
1 +Go (s) = 0
1 +Ko · No(s)Do(s)= 0
puis pour l’équation caractéristique proprement dite
dc (s) = Do (s) +Ko ·No (s) = 0
où les polynômes No(s) et Do(s) ainsi que le gain Ko entrant en jeu sont définispar la fonction de transfert en boucle ouverte :
Go (s) = Ko ·No (s)
Do (s)=Kp ·Kmθ
J · s2=Ko
s2
On a donc :
dc (s) = s2 +Ko = 0 =⇒ sf1,2 = ±j ·√Ko = ±j ·
√Kp ·Kmθ
J
Corrigé des exercices 54 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Les pôles sont imaginaires purs et se situent exactement sur la limite de stabilité.Le système est donc, au sens de l’utilisateur, instable et donc inutilisable.
21.3
Les pôles sont sur l’axe imaginaire ; on peut en déduire que le système oscilleà la pulsation (propre du régime libre)
ω0 =
√Kp ·Kmθ
J
ce qui est confirmé par l’examen de la réponse impulsionnelle en boucle fermée :
Configuration pôle-zéro Réponse impulsionnelle
s
R e
I m
0
s
'T
mTp
KJ
KKKj
×
×××+
q
'T
mTp
KJ
KKKj
×
×××-
q
f _ 1 3 _ 3 . e p s
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
t [s]
g(t)
Réponse impulsionnelle en boucle fermée
f_ra_13_1c.eps
21.4
La fonction de transfert du régulateur PD est :
Gc (s) = Kp · (1 + s · Td)
La fonction de transfert en boucle ouverte est ainsi
Go(s) = Gc(s) ·Ga(s) =Kp · (1 + s · Td) ·KT ·Kmθ
K ′T · J · s2=Ko · (1 + s · Td)
s2
et celle en boucle fermée est :
Gyw (s) =Y (s)
W (s)=
Go(s)
1 +Go(s)
=Ko·(1+s·Td)
s2
1 + Ko·(1+s·Td)s2
=Ko · (1 + s · Td)
s2 +Ko · (1 + s · Td)=
1 + s · Td1 + s · Td + s2
Ko
Corrigé des exercices 55 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
La valeur limite du gain Ko est obtenue en appliquant le critère de Routh 1,donnant pour résultat :
Ko = Kp ·Kmθ > 0
Il n’y a donc pas de limite supérieure à la valeur de Ko, qui peut ainsi êtrethéoriquement infini tout en maintenant la stabilité en boucle fermée.
Cela se confirme su l’on calcule explicitement les pôles en boucle fermée :
sf1,2 =−Td ±
√T 2d − 4
Ko
2Ko
=−Td ·Ko
2±Ko ·
√T 2d − 4
Ko
2
Selon les valeurs des coefficients, les pôles peuvent être réels ou complexes, maisle fait essentiel est qu’ils sont maintenant à partie réelle négative. Le système enboucle fermée est ainsi stabilisé par la contribution dérivée du régulateur PD.
On a tracé ci-dessous ce qu’on appelle le lieu des pôles (ou lieu des d’Evans)en boucle fermée, pour 0 < Kp <∞, indiquant l’évolution de la position des pôlesen boucle fermée en fonction de Kp. L’opération revient à résoudre une infinité defois (i.e. pour chaque valeur de Kp) de l’équation caractéristique (ou directementla relation donnant les pôles) et à reporter chaque fois dans le plan complexe lespôles obtenus. Le lieu des pôles est étudié en détail ultérieurement. Ce lieu esten partie un cercle : pour des faibles valeurs de Kp, les pôles sont complexes ets’éloignent progressivement de l’axe imaginaire. Pour Kp suffisamment élevé, lespôles rejoignent l’axe réel, l’un partant en direction de l’infini négatif et l’autres’approchant du zéro.
R e
I m
K p = 0K p¥ K p ® ¥
0
s S
-
1
Td
2 p ô l e se n b o u c l eo u v e r t e
1 z é r oe n b o u c l eo u v e r t e
f _ 1 3 _ 2 . e p s
Le schéma de principe de la réalisation électronique d’un régulateur PD est lesuivant :
1. Le critère de Routh n’est pas systématiquement présenté au cours.
Corrigé des exercices 56 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
+
-e ( t )
u ( t )
R d
R p
C d
f _ 1 3 _ 4 . e p s
La fonction de transfert du régulateur PD réalisable est :
Gc (s) =U (s)
E (s)= Kp ·
(1 +
s · Td1 + s · a · Td
)La transformée de Laplace de la réponse indicielle est ainsi :
U (s) = Kp ·(
1 +s · Td
1 + s · a · Td
)· E (s) = Kp ·
(1 +
s · Td1 + s · a · Td
)· 1
s
= Kp ·(
1
s+
Td1 + s · a · Td
)
Par inversion, on trouve :
u (t) = Kp ·(ε (t) + ε (t) · 1
a· e−
ta·Td
)Graphiquement, le résultat est le suivant :
0t
K p
K p ( 1 + 1 / a )
a T d
K p / a
K p
f _ 1 3 _ 5 . e p s
21.5
Si l’on impose un comportement optimal en boucle fermée, cela signifie, avecles conventions prises dans le cadre du cours, que l’on souhaite avoir un systèmeasservi à pôles dominants caractérisés par un taux d’amortissement ζ de 0.5.Selon l’exercice 21.4, on a en boucle fermée :
Gyw (s) =Y (s)
W (s)=
Go(s)
1 +Go(s)=
1 + s · Td1 + s · Td + s2
Ko
Corrigé des exercices 57 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
La comparaison avec le dénominateur de la fonction de transfert d’un systèmefondamental d’ordre 2 (mis également sous forme de Bode !) amène :
Td =2 · ζωn
1
Ko
=1
ω2n
On en déduit :Td =
2 · ζωn
=2 · ζ√Ko
=2 · ζ√
Kp·KT ·KmθK′T ·J
La valeur de Kp peut elle être par exemple fixée en imposant, lorsque c’estpossible, la durée de réglage Treg. Celle-ci est liée à la partie réelle des pôles enboucle fermée :
Treg =3
δ
Orδ = ζ · ωn
et ainsi
ζ · ωn =3
Treg
ζ ·√Ko =
3
Treg
ζ2 ·Ko =9
T2reg
ζ2 · Kp ·KT ·Kmθ
K ′T · J=
9
T2reg
d’oùKp =
9
T2reg · ζ2 · KT ·Kmθ
K′T ·J
21.6
Si l’on tient compte de l’existence de frottement visqueux sur l’arbre, le schémafonctionnel est modifié comme suit :
w
K m q
1
s
wS S
-
+
+
1
J s×K TK p
T e m ce i a T e m
v
i a cG w i ( s )1 / K T '
f _ 1 3 _ 7 . e p s
R f
-
Corrigé des exercices 58 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
On a pour la fonction de transfert en boucle ouverte
Go(s) = Gc(s) ·Ga(s) =Kp ·KT
K ′T·
1Rf
1 + s · JRf
· Kmθ
s=Ko
s· 1
1 + s · JRf
et pour celle en boucle fermée :
Gyw (s) =Y (s)
W (s)=
Go(s)
1 +Go(s)
=
Kos· 1
1+s· JRf
1 + Kos· 1
1+s· JRf
=Ko
s ·(
1 + s · JRf
)+Ko
=1
1 + s · 1Ko
+ s2 · JKo·Rf
=1
1 + s · Rf ·K ′TKp ·KT ·Kmθ︸ ︷︷ ︸
2·ζωn
+s2 · J ·K ′TKp ·KT ·Kmθ︸ ︷︷ ︸
1
ω2n
On voit que l’effet du frottement visqueux, du point de vue de la stabilité enboucle fermée, est équivalent à celui de l’action dérivée.
22 Asservissement de courant
22.1 Fonctions de transfert
La fonction de transfert d’un régulateur PI est donnée par (cf cours, chap.4)Gc(s) = U(s)
E(s)= Kp · 1+s·Ti
s·Ti .
Le circuit électrique correspond à la fonction de transfert Ia(s)Ua(s)
= 1Ra+s·La =
1Ra
1+s·LaRa
. La fonction de transfert du système à régler est ainsi, en posant upert =
0 [V] :
Ga(s) =Iam(s)
U(s)= KA ·
1Ra
1 + s · LaRa
·Kmi =Ka
1 + s · τa
La fonction de transfert en boucle ouverte est alors :
Go(s) = Gc(s) ·Ga(s) = Kp ·1 + s · Tis · Ti
· Ka
1 + s · τa=Ko
s· 1 + s · Ti
1 + s · τa
Corrigé des exercices 59 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Pour la fonction de transfert en régulation de correspondance, on a :
Gyw(s) =Iam(s)
Iac(s)=
Go(s)
1 +Go(s)
=Kos· 1+s·Ti
1+s·τa1 + Ko
s· 1+s·Ti
1+s·τa
=Ko · (1 + s · Ti)
s · (1 + s · τa) +Ko · (1 + s · Ti)
=Ko · (1 + s · Ti)
s2 · τa + s · (1 +Ko · Ti) +Ko
=1 + s · Ti
1 + s ·(
1Ko
+ Ti
)+ s2 · τa
Ko
Pour la fonction de transfert en régulation de maintien, on a :
Gyv(s) =Iam(s)
Upert(s)=
Ga2(s)
1 +Go(s)
=
KaKA
1+s·τa1 + Ko
s· 1+s·Ti
1+s·τa
=KaKA· s
s · (1 + s · τa) +Ko · (1 + s · Ti)
=KaKA· s
s+ s2 · τa +Ko + s ·Ko · Ti
=Ka
KA·Ko · s1 + s ·
(1Ko
+ Ti
)+ s2 · τa
Ko
=
TiKA·Kp · s
1 + s ·(
1Ko
+ Ti
)+ s2 · τa
Ko
22.2 Caractéristiques dynamiques en boucle fermée
Il faut identifier355305.7584
s2 + 888.6 · s+ 3.948 · 105
avec la forme de Bode de la fonction de transfert d’un système fondamentald’ordre 2
Kyw
1 + 2·ζωn· s+ 1
ω2n· s2
Corrigé des exercices 60 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
On a :
355305.7584
s2 + 888.6 · s+ 3.948 · 105=
1
3.948 · 105· 355305.7584
13.948·105
· s2 + 888.63.948·105
· s+ 1=
Kyw
1 + 2·ζωn· s+ 1
ω2n· s2
On en déduit :– le gain statique de Gyw(s) vaut Kwy = 355305.7584
3.948·105= 0.9
– la pulsation propre non-amortie de Gyw(s) :
ωn =√
3.948 · 105 = 628
[rads
]= 2 · π · 100
[rads
]– le taux d’amortissement de Gyw(s) :
2 · ζωn
=888.6
3.948 · 105
ζ =1
2· 888.6
628= 0.7075 ≈
√2
2
22.3 Réponse indicielle en boucle fermée
On a avec Gyw(s) un système fondamental d’ordre 2, de gain statique Kyw =0.75 et de taux d’amortissement ζ = 0.5. La valeur finale de la réponse indiciellesera donc à 0.75 · iac∞ = 0.75 et environ une oscillation complète sera observableavant stabilisation, comme le montre la figure ci-dessous.
iac(t)
Kw · iac∞
iam(t)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
0
0.5
1
1.5
t [s]
iac(t), iam(t)Corrigé des exercices 61 MEE \co_ra.tex
29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
23 L’intégrateur : ou, combien et . . . pourquoi ?Comme on se contente d’étudier la précision en régime permanent, les diffé-
rentes fonctions de transfert peuvent être simplifiées en négligeant leurs zéros etleurs pôles, exception faite de ceux correspondant à un comportement intégrateur.On a donc :
Gc (s) ·Ga1 (s) =Ka1
sα1·Ra1 (s) ≈ Ka1
sα1
Ga2 (s) =Ka2
sα2·Ra2 (s) ≈ Ka2
sα2
Corrigé des exercices 62 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
23.1
e SK
s
a 2× KK
a 1 × K
+
-
v
y
u
0 t
v ( t )
0 t
u ( t )
0
u ( t ) - v ( t )
t0 t
e ( t )
0 t
y ( t )
f _ 1 4 _ 2 . e p s
En régime permanent constant, la grandeur réglée y(t) doit forcément atteindreune valeur constante (la consigne est constante). Si la fonction de transfert Ga2(s)délivrant y(t) a un comportement intégrateur, le signal d’entrée de cette fonctionde transfert doit alors être nul. Dans ce cas (l’intégrateur est situé après l’intro-duction des perturbations, i.e. dans Ga2(s)), on a, en régime permanent :
u(t)− v(t) = 0⇒ u(t) = v(t) 6= 0⇒ e(t) =u(t)
Ka1
6= 0
23.2
0
w ( t )
t
e K
s
o× K
y
0 t
y ( t )
0
e ( t )
t
Sw
f _ 1 4 _ 1 . e p s
Pour l’erreur statique : en régime permanent, la grandeur réglée y(t) est uneconstante se confondant avec la consigne si l’erreur e(t) est nulle. Si cette der-nière hypothèse se confirme, il est impératif qu’il y ait au moins une intégrationdans Go(s). Cette intégration fournit y(t) et son signal d’entrée e(t) est donc nul(puisque y(t) est une constante).
Corrigé des exercices 63 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
0
w ( t )
t
e K
s
o× K
y1
s× K
0
e ( t )
t
S
0 t
y ( t )
w
G o ( s )
0 t
f _ 1 4 _ 3 . e p s
Pour l’erreur en vitesse : en régime permanent, la grandeur réglée y(t) est unerampe se confondant avec la consigne si l’erreur e(t) est nulle. Si cette dernièrehypothèse se confirme, il est impératif qu’il y ait au moins deux intégrations dansGo(s). La dernière d’entre-elles fournit y(t) et son signal d’entrée est donc uneconstante non-nulle (puisque y(t) est une rampe). La première intégration fournitladite constante non-nulle, ce qui implique que son signal d’entrée e(t) est nul.
24 Une autre propriété intéressante de la contre-réaction
La fonction de transfert en boucle fermée est :
Gyw (s) =Y (s)
W (s)=
Go(s)
1 +Go(s)
=Kp · Ka
1+s·τa1 +Kp · Ka
1+s·τa=
Ko
1 + s · τa +Ko
=Ko
1 +Ko
· 1
1 + s · τa1+Ko
=Ko
1 +Ko
· 1
1 + s · τfCette fonction de transfert est du premier ordre. On constate que la constante
de temps en boucle fermée est "paramétrable" par action sur le gain de boucleKo. On peut ainsi fixer la valeur de la durée de réglage, notamment de sorte quele système en boucle fermée soit beaucoup plus rapide qu’en boucle ouverte :
Treg = 3 · τf = 3 · τa1 +Ko
= 3 · τa1 +Kp ·Ka
Il s’agit là d’une des propriétés fondamentales de la contre-réaction. Sous réservedu respect de la condition fondamentale de stabilité pour la fonction de transferten boucle fermée, régulation de correspondance, Gyw(s), un système à régler lentGa(s) peut être rendu aussi rapide que l’on veut en boucle fermée pour autant bien
Corrigé des exercices 64 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
sûr que la puissance nécessaire soit disponible et que les organes de commandessoient adaptés.
Pour la détermination des erreurs permanentes, on fait usage du tableau deserreurs permanentes, qui se base sur les paramètres et propriétés de la fonctionde transfert en boucle ouverte. On a :
Go (s) =Ko
1 + s · τaα = 0
Erreur statique Erreur en vitesseRégulation de correspondance E∞w = 1
1+KoEvw =∞
Régulation de maintien E∞v = Ka21+Ko
Evw =∞
25 Précision et rapidité
1. ew,∞ = 1−Gyw(0) = 1− 4′000(0+100) (02+22·0+40)
= 1− 1 = 0
2. ev,∞ = Gyv(0) = 1′000(0+100) (02+22·0+40)
= 0.25
3. Pôles en BF : s1 = −100[ rad
s
], s2 = −20
[ rads
], s3 = −2
[ rads
]. Pôle domi-
nant : s3. Treg ≈ 32
= 1.5 [s]
4.
5.Treg = 3 · τf =⇒ τf = 33 [ms]
1− e−Tregτf = 0.98 = 1− e−
Treg33 [ms] = 0.98
Treg = −τ · log(0.02) = 0.13 [s]
26 Loi de commande d’un régulateur PID avecfiltre
En commençant par établir la fonction de transfert du régulateur, on a :
U(s) = Kp ·(E(s) +
1
s · Ti· E(s) + UD(s)
)= Kp ·
(E(s) +
1
s · Ti· E(s) +
Td · s1 + s · a · Td
· E(s)
)= Kp ·
(1 +
1
s · Ti+
Td · s1 + s · a · Td
)· E(s)
Corrigé des exercices 65 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
On a donc :
Gc(s) =U(s)
E(s)= Kp ·
(1 +
1
s · Ti+
Td · s1 + s · a · Td
)= Kp ·
s · Ti · (1 + s · a · Td) + (1 + s · a · Td) + Td · s2 · Tis · Ti · (1 + s · a · Td)
= Kp ·1 + s · (Ti + a · Td) + s2 · (a+ 1) · Ti · Td
s · Ti · (1 + s · a · Td)
On peut alors en déduire la loi de commande en revenant dans le domaine tem-porel :
[s · Ti · (1 + s · a · Td)] · U(s)
=[Kp ·
(1 + s · (Ti + a · Td) + s2 · (a · Ti · Td + Ti · Td)
)]· E(s)
Ti ·du
dt+ a · Ti · Td ·
d2u
dt2
= Kp ·(e(t) + (Ti + a · Td) ·
de
dt+ (a · Ti · Td + Ti · Td) ·
d2e
dt2
)En intégrant chaque membre on peut encore obtenir la loi de commande sous uneforme plus utilisable :
Ti · u(t) + a · Ti · Td ·du
dt
= Kp ·[∫ t
−∞e(τ) · dτ + (Ti + a · Td) · e(t) + (a · Ti · Td + Ti · Td) ·
de
dt
]On a finalement
u(t) = −a · Td ·du
dt+Kp ·
(1
Ti·∫ t
−∞e(τ) · dτ +
(1 + a · Td
Ti
)· e(t) + (a+ 1) · Td ·
de
dt
)= Kp ·
[(1 + a · Td
Ti
)· e(t) +
1
Ti·∫ t
−∞e(τ) · dτ + (a+ 1) · Td ·
de
dt
]− a · Td ·
du
dt
On vérifie que pour a→ 0, on retrouve la loi de commande du PID standard :
u(t) = Kp ·(e(t) +
1
Ti·∫ t
−∞e(τ) · dτ + Td ·
de
dt
)
Corrigé des exercices 66 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
27 Choix du gain de boucle par la méthode deBode
La situation est la suivante : on dispose d’un système à régler de fonction detransfert Ga(s) que l’on asservit au moyen d’un régulateur P de gain Kp.
S
-S
v
w K p G a ( s )S
-S y
e u
f _ 2 1 _ 1 . e p s
On définit les fonctions de transfert :
Go (s) = Kp ·Ga (s)|Kp=1 =Ka
sα·Ra (s) =
Ko
sα·Ro (s)
Goc (s) = Kpop ·Ga (s) =Kpop ·Ka
sα·Ra (s) =
Koop
sα·Ro (s)
qui représentent respectivement les fonctions de transfert en boucle ouverte avant(Kp = 1) et après (Kp = Kpop) correction.
Il s’agit de déterminer le gain de boucle optimal Koop = Kpop ·Ka, et finale-ment la valeur optimale de Kp, Kpop de sorte que le comportement soit optimalen boucle fermée, i.e. que la réponse indicielle en régulation de correspondanceprésente une oscillation complète avant stabilisation. Dans ce but, on choisit enrègle générale Koop tel que :
– la marge de phase ϕm ≈ 45 [] ;– la marge de gain Am ≥ 8− 15 [dB].
Corrigé des exercices 67 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
27.1
Intégrateur et constante de temps :
Ga (s) =Y (s)
U(s)=
0.1
s · (1 + s)
Diagrammes de Bode non-corrigé et corrigé :
10−2
10−1
100
101
102
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
Diagrammes de Bode de Go(s) et G
oc(s) (exact et asymptotique)
gain
[dB
]
Go
Goc
10−2
10−1
100
101
102
−180
−135
−90
−45
0
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
f_ra_20_1_1.eps
Avant correction (Ko = 1), on a :
ϕm Am[] [dB]
52 ∞
Après correction (Ko = Koop), on a :
Koop Kpop ϕm Am ωco Treg
[] [dB][ rad
s
][s]
1.4 14 45 ∞ 1 3.15
Corrigé des exercices 68 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Réponse indicielle en boucle fermée, pour Ko = Koop :
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t [s]
y(t)
Réponse indicielle
Treg
+/−5%=6.2[s]
TdepT10%
T90%
Tm
=1.3[s]
D=23.1788%
yInf
=1
f_ra_20_1_2.eps
27.2
Intégrateur et deux constantes de temps :
Ga (s) =Y (s)
U(s)=
1
s · (1 + s · τ1) · (1 + s · τ2)où τ1 = 1 [s] τ2 = 10 [s]
Diagrammes de Bode non-corrigé et corrigé :
10−3
10−2
10−1
100
101
102
−160−140−120−100
−80−60−40−20
0204060
Diagrammes de Bode de Go(s) et G
oc(s) (exact et asymptotique)
gain
[dB
]
Go
Goc
10−3
10−2
10−1
100
101
102
−270
−225
−180
−135
−90
−45
0
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
f_ra_20_2_1.eps
Corrigé des exercices 69 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Avant correction (Ko = 1), on a :
ϕm Am[] [dB]
1.57 ≈ 0.8 [dB]
Après correction (Ko = Koop), on a :
Koop Kpop ϕm Am ωco Treg
[] [dB][ rad
s
][s]
0.11 0.11 45 ≈ 20 0.08 37
Réponse indicielle en boucle fermée, pour Ko = Koop :
0 20 40 60 80 100 120 1400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t [s]
y(t)
Réponse indicielle
Treg
+/−5%=71[s]
TdepT10%
T90%
Tm
=15[s]
D=23.0752%
yInf
=1
f_ra_20_2_2.eps
Corrigé des exercices 70 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
27.3
Système fondamental d’ordre 2 mal amorti ( ζ = 0.05 !) :
Ga (s) =Y (s)
U(s)=
10
1 + s · 2·ζωn
+ s2 · 1ω2n
où ζ = 0.01 ωn = 1
[rads
]Diagrammes de Bode non-corrigé et corrigé :
10−1
100
101
−60
−40
−20
0
20
Diagrammes de Bode de Go(s) et G
oc(s) (exact et asymptotique)
gain
[dB
]
Go
Goc
10−1
100
101
−180
−135
−90
−45
0
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
f_ra_20_3_1.eps
Avant correction (Ko = 1), on a :
ϕm Am[] [dB]
8.1 ∞
Après correction (Ko = Koop), on a :
Koop Kpop ϕm Am ωco Treg
[] [dB][ rad
s
][s]
0.15 0.015 45 ∞ 1.05 3
Corrigé des exercices 71 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Réponse indicielle en boucle fermée, pour Ko = Koop :
0 20 40 60 80 100 1200
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
t [s]
y(t)
Réponse indicielle
Treg
+/−5%=59[s]
TdepT10%
T90%
Tm
=1.1[s]
D=86.2286%
yInf
=0.13
f_ra_20_3_2.eps
Bien que le système soit (mathématiquement) stable en boucle fermée, il estclair qu’une telle réponse n’est pas satisfaisante ; elle est évidemment tout à faitinacceptable d’un point de vue pratique. La configuration pôle-zéro de Gyw(s),représentée dans le plan de s avec la droite équi-amortissement correspondant àζ = 0.5, confirme la présence d’une paire de pôles complexes conjugués très malamortis.
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
Re
Im
Diagramme de Nyquist
f_ra_20_3_3.eps
L’examen du lieu de Nyquist du système en boucle ouverte corrigé (voir figureci-dessous) n’apporte aucune information supplémentaire par rapport au lieu deBode. On y voit clairement que la marge de phase ϕm est suffisante (45 []) etque la marge de gain Am est infinie. Il faut se rappeler que de telles valeurs negarantissent un comportement suffisamment stable en boucle fermée que pourdes systèmes réguliers.
Corrigé des exercices 72 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
0.5
0.5
1
f_ra_20_3_4.eps
Configuration pole−zéro en boucle fermée
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Dans le cas de figure qui nous occupe, le gain permanent de boucle a dû être ajustéà une valeur si faible que le système est quasiment en boucle ouverte (la contre-réaction est presque nulle, comme en témoigne la faiblesse du gain en bouclefermée en basse fréquence). Or, il est justement très peu stable en boucle ouverte(ζ = 0.05), ce qui explique le comportement observé. En se rappelant que le gainpermanent de boucle Ko, appliqué sur le signal d’erreur e(t), s’applique en faità la consigne w(t) et à la grandeur réglée y(t), le schéma fonctionnel ci-dessousmontre que :
– le système est excité par l’apparition de la consigne (ou d’autres signauxextérieurs, comme des perturbations) ;
– la contre-réaction n’est pas suffisante pour "le garder sous contrôle".Il vaudra la peine, ultérieurement, de voir comment choisir le régulateur afinobtenir un comportement optimal en boucle fermée.
Corrigé des exercices 73 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
27.4
Retard pur et deux constantes de temps :
Ga (s) =10 · e−s·Tr
(1 + s · τ1) · (1 + s · τ2)
où τ1 = 1 [s], τ2 = 10 [s] et Tr = 1 [s].Diagrammes de Bode non-corrigé et corrigé :
0.1 0.509 1 10−60
−40
−20
0
20
Diagramme de Bode avec Koop
=1 et Koop
=5.8201
gain
[dB
]
0.1 0.509 1 10−180
−135
−90
−45
0
45
90
180
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
Koop
=1K
oop=5.8201
f_ra_20_4_1.eps
Avant correction (Ko = 1), on a :
ϕm Am[] [dB]
90 22
Après correction (Ko = Koop), on a :
Koop Kpop ϕm Am ωco Treg
[] [dB][ rad
s
][s]
5.8 0.58 45 6.8 0.51 6.2
Corrigé des exercices 74 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Réponse indicielle en boucle fermée, pour Ko = Koop :
0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t [s]
y(t)
Réponse indicielle
Treg
+/−5%=15[s]
TdepT10%
T90%
Tm
=1.9[s]
D=37.9349%
yInf
=0.85
f_ra_20_4_2.eps
27.5
Système à déphasage non-minimal, i.e " vicieux ", car comportant un zéropositif (idem système C du laboratoire) :
Ga (s) =Y (s)
U(s)= 100 · (1− s · 10)
(1 + s) · (1 + s · 100)
Diagrammes de Bode non-corrigé et corrigé :
10−4
10−3
10−2
10−1
100
101
102
−60
−40
−20
0
20
Diagrammes de Bode de Go(s) et G
oc(s) (exact et asymptotique)
gain
[dB
] Go
Goc
10−4
10−3
10−2
10−1
100
101
102
−270
−225
−180
−135
−90
−45
0
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
f_ra_20_5_1.eps
Corrigé des exercices 75 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Avant correction (Ko = 1), on a :
ϕm Am[] [dB]
180 20
Après correction (Ko = Koop), on a :
Koop Kpop ϕm Am ωco Treg
[] [dB][ rad
s
][s]
7.1 0.07 45 3 0.1 31
Réponse indicielle en boucle fermée, pour Ko = Koop :
0 5 10 15 20 25 30 35 40−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
t [s]
y(t)
Réponse indicielle
Treg
+/−5%=23[s]
TdepT10%T90%
Tm
=3.1[s]
D=31.7133%
yInf
=0.88
f_ra_20_5_2.eps
Ce système asservi est stable en boucle fermée, comme le confirme sa configurationpôle-zéro représentée dans le plan de s muni d’une droite équi-amortissementcorrespondant à ζ = 0.5.
−0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.250.5
0.5
f_ra_20_5_3.eps
Configuration pole−zéro en boucle fermée
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Corrigé des exercices 76 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Le comportement " vicieux " qui était présent en boucle ouverte (zéro positifen z1 = + 1
τ1= 0.1
[ rads
]) demeure quasi tel quel en boucle fermée. De ce point
de vue, le régulateur n’a pas permis d’améliorer le comportement et ce systèmeasservi sera certainement mal noté lors de l’évaluation du critère de performance"qualité" (cf chap.5).
28 Critère de Nyquist et méthode de BodeCorrigé en préparation
29 Identification de la réponse fréquentielle d’unsystème à régler
On a selon la figure ci-dessous
0.1 1 3.3333 10 100 1000−60
−40
−20
0
20
40Diagramme de Bode de la réponse fréquentielle expérimentale d’un système et diagrame de Bode asymptotique du modèle
A(ω
) [d
B]
ω [rad/s
0.1 1 3.3333 10 100 1000−180
−135
−90
−45
0
ω [rad/s
φ(ω
) [d
eg]
f_te_ra_46_3_9.eps
Ga(s) =Y (s)
U(s)≈ 10
s · (1 + s · 0.3)
Corrigé des exercices 77 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
30 Synthèse fréquentielle d’un régulateur
30.1
Selon les exigences du cahier des charges, il faut un régulateur PI, ajusté detelle manière que la marge de phase en boucle ouverte soit de l’ordre de 45 [].Un régulateur I est aussi envisageable.
L’application de la procédure de synthèse du régulateur PI conduit à la com-pensation de la constante de temps dominante de Ga(s) en posant
Ti = 10 [s]
La fonction de transfert en boucle ouverte s’écrit dès lors :
Go (s) = Gc (s) ·Ga (s) =
KpTi·Ka
s· 1
1 + s · τ2
=Ko
s· 1
1 + s · τ2
La phase de ce système se monte à −135 [] en ω2 = 1τ2. Le gain correspondant
est (il est ici facilement calculable analytiquement, l’alternative recommandéeconsistant à tracer le diagramme de Bode) :
|Go (j · ω2)| = Ko√2
Ce gain peut être rendu unitaire en posant :
Ko =√
2
ce qui implique que
Kp =Ko · TiKa
=
√2 · TiKa
=
√2 · 10
10=√
2
10−2
10−1
100
101
102
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
Diagrammes de Bode de Go(s) et G
oc(s) (exact et asymptotique)
gain
[dB
] Go
Goc
10−2
10−1
100
101
102
−180
−135
−90
−45
0
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
f_ra_25_1.eps
Corrigé des exercices 78 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
30.2
La relation empirique ωco · Treg ≈ π permet d’évaluer la durée de réglage demanière approximative :
Treg ≈π
ωco= 3.1 [s]
30.3
Les réponses indicielles en régulation de correspondance et de maintien appa-raissent ci-dessous. L’erreur statique est bel et bien nulle.
0 10 20 30 40 50 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t [s]
Réponses indicielles de Gyw
(s) et Gyv
(s)
f_ra_25_3.eps
31 Synthèse fréquentielle d’un régulateur
31.1
Le régulateur PD imposé par le cahier des charges sera ajusté de telle manièreque la marge de phase en boucle ouverte soit de l’ordre de 45 [].
L’application de la procédure de synthèse du régulateur PD conduit à la com-pensation de la constante de temps dominante de Ga(s) en posant
Td = 10 [s]
La fonction de transfert en boucle ouverte s’écrit dès lors :
Go (s) = Gc (s) ·Ga (s) =Kp ·Ka
s· 1
1 + s · τ2
=Ko
s· 1
1 + s · τ2
Corrigé des exercices 79 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
La phase de ce système se monte à −135 [] en ω2 = 1τ2. Le gain correspondant
est (il est ici facilement calculable analytiquement, l’alternative recommandéeconsistant à tracer le diagramme de Bode) :
|Go (j · ω2)| = Ko√2
Ce gain peut être rendu unitaire en posant :
Ko =√
2
ce qui implique que
Kp =Ko
Ka
=
√2
Ka
=
√2
10= 0.14
0.1 0.99771 10−40
−20
0
20
40
Diagramme de Bode avec Koop
=1 et Koop
=1.4093
gain
[dB
]
0.1 0.99771 10−180
−135
−90
−45
0
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
Koop
=1
Koop
=1.4093
f_ra_26_1.eps
31.2
La relation empirique ωco · Treg ≈ π permet d’évaluer la durée de réglage demanière approximative :
Treg ≈π
ωco= 3.1 [s]
31.3
Les réponses indicielles en régulation de correspondance et de maintien appa-raissent ci-dessous. L’erreur statique n’est bel et bien nulle qu’en régulation decorrespondance.
Corrigé des exercices 80 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
0 10 20 30 40 50 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t [s]
Réponses indicielles de Gyw
(s) et Gyv
(s)
f_ra_26_2.eps
A noter la différence de comportement dynamique entre les 2 réponses enboucle fermée. A priori, les fonctions de transfert en boucle fermée ayant toutesles mêmes pôles (solutions de 1 +Go(s) = 0), les comportements en régime tran-sitoire devraient être analogues (les durées des régimes transistoires devraientêtre équivalentes), ce qui n’est dans le cas particulier pas le cas. La raison en in-combe à la technique de compensation pôle-zéro utilisée pour effectuer la synthèsedu régulateur : on peut en effet facilement montrer qu’en cas de compensationpôle-zéro, le pôle compensé disparaît bel et bien de la fonction de transfert enrégulation de correspondance Gyw(s) qui voit ainsi son ordre diminué mais réap-paraît en revanche dans la fonction de transfert en régulation de maintien Gyv(s).Ainsi, si le pôle compensé est lent, le comportement dynamique de Gyv(s) seraégalement lent par rapport à celui de Gyw(s). On comprend pourquoi l’on nedoit pas compenser de pôles instables, voire des pôles stables mais ayant un tauxd’amortissement trop faible. Voir cours de régulation numérique, chap.7, pourplus d’explications.
32 Synthèse fréquentielle d’un régulateur
32.1
Puisque les deux constantes de temps τ1 et τ2 sont compensées, la fonction detransfert en boucle ouverte s’écrit :
Go (s) = Gc (s) ·Ga (s) =
KpTi·Ka
s· 1
1 + s · τ3
=Ko
s· 1
1 + s · τ3
Corrigé des exercices 81 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
La compensation des 2 constantes de temps dominantes implique :
(1 + s · Ti + s2 · Td · Ti) = (1 + s · τ1) · (1 + s · τ2)⇒ Ti = τ1 + τ2 = 20 [s]⇒ Td = τ1·τ2
Ti= 5 [s]
La phase deGo(s) se monte à−135 [] en ω3 = 1τ3. Le gain correspondant est (il est
ici facilement calculable analytiquement, l’alternative recommandée consistant àtracer le diagramme de Bode) :
|Go (j · ω3)| = Ko√2
Ce gain peut être rendu unitaire en posant :
Ko =√
2
ce qui implique que
Kp =Ko · TiKa
=
√2 · TiKa
=
√2 · 20
0.01≈ 2800
0.1 0.99771 10−40
−20
0
20
40
Diagramme de Bode avec Koop
=1 et Koop
=1.4093
gain
[dB
]
0.1 0.99771 10−180
−135
−90
−45
0
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
Koop
=1
Koop
=1.4093
f_ra_27_1.eps
La relation empirique ωco · Treg ≈ π permet d’évaluer la durée de réglage demanière approximative :
Treg ≈π
ωco= 3.1 [s]
Corrigé des exercices 82 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
32.2
Les réponses indicielles en régulation de correspondance et de maintien appa-raissent ci-dessous.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Réponses indicielles de Gyw
(s) et Gyv
(s)
Gyw
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
1
2
3
4x 10
−4
t [s]
Gyv
f_ra_27_2.eps
33 Synthèse fréquentielle d’un régulateur
33.1
Les perturbations intervenant entre le régulateur et le système à régler, soiten amont de l’intégrateur situé dans le système à régler Ga(s), l’annulation del’erreur statique en régulation de maintien nécessite l’adjonction d’un intégrateursupplémentaire. Ceci est effectué par exemple à l’aide d’un régulateur intégrateurde fonction de transfert
Gc(s) =U(s)
E(s)=Ki
s
S
-S
v
w G c ( s ) G a ( s )S
-S y
e u
f _ 2 4 _ 3 . e p s
Corrigé des exercices 83 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Cependant, l’examen de la fonction de transfert en boucle ouverte Go(s) corres-pondante
Go (s) = Gc (s) ·Ga (s) =Ki
s· Ka
s· 1
(1 + s · τp)montre que ce système ne satisfait en aucun cas le critère de Nyquist, la phasen’étant jamais supérieure à −180 [].
0
G o ( j w )I m
R e- 1
w = 0 [ r a d / s ]
w = [ r a d / s ]¥
f _ 2 4 _ 2 . e p s
En conséquence, il faut choisir un régulateur ayant une action intégrale s’effaçantprogressivement dans le domaine des fréquences au profit d’une action provoquantpas ou en tout cas moins de déphasage. Un exemple d’un tel régulateur est lerégulateur PI, de fonction de transfert
Gc(s) =U(s)
E(s)= Kp ·
1 + s · Tis · Ti
dont l’action est plutôt intégrale à basse fréquence (en dessous de 1Ti) et plutôt
proportionnelle à haute fréquence (en dessus de 1Ti).
w [ r a d / s ]
A [ d B ]
0 [ d B ]
w [ r a d / s ]
j [ d e g ]
0
- 9 0
1
T i
( ) [ ] ( )a r g a r gG j Kj T
j Ta r c t g Tc p
i
ii× = ×
+ × ×× ×
ìíî
üýþ= - ° + ×w
ww
w1
9 0
1
T i
- 4 5
a c t i o n p l u t ô t
i n t é g r a l ea c t i o n p l u t ô t
p r o p o r t i o n n e l l e
K p [ d B ]
f _ 2 4 _ 1 . e p s
Corrigé des exercices 84 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
33.2
La phase n’étant jamais égale à −180 [], la marge de gain est, en appliquantse définition, infinie :
Am =∞
33.3
Partant de la fonction de transfert en boucle ouverte Go(s)
Go (s) = Gc (s) ·Ga (s) = Kp ·1 + s · Tis · Ti
· Ka
s· 1
(1 + s · τp)=Ko
s2· (1 + s · Ti)
(1 + s · τp)
Ti va être choisie de telle sorte qu’en ω = 1[ rad
s
], la phase de Go(s) se monte
à −135 []. Sans l’effet du terme (1 + s · Ti), la phase est de −180 [] en cettepulsation. Il suffit donc de poser 1
Ti= 1
[ rads
]et d’ajuster le gain Kp de façon à
ce qu’en ω = 1[ rad
s
], le gain de boucle soit unitaire. On a :
|Go (j · ω)| =∣∣∣∣ Ko
(j · ω)2 ·(1 + j · ω · Ti)(1 + j · ω · τp)
∣∣∣∣ω=1 rad
s = 1Ti
≈ Ko ·√
2 = 1
d’où
Kp =Ko · TiKa
=
1√2· TiKa
=√
2
10−2
10−1
100
101
102
103
104
−140−120−100
−80−60−40−20
020406080
Diagrammes de Bode corrigé et non−corrigé (asymptotique)
gain
[dB
]
10−2
10−1
100
101
102
103
104
−180
−135
−90
−45
0
ω [rad/s]
phas
e [d
egré
]
f_ra_24_1.eps
Corrigé des exercices 85 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
33.4
La relation empirique ωco · Treg ≈ π permet d’évaluer la durée de réglage demanière approximative :
Treg ≈π
ωco= 3.1 [s]
33.5
Les réponses indicielles en régulation de correspondance et de maintien appa-raissent ci-dessous. L’erreur statique est bel et bien nulle.
0 2 4 6 8 10 12−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t [s]
Réponses indicielles de Gyw
(s) et Gyv
(s)
f_ra_24_2.eps
34 Synthèse d’un régulateur PL’intégrateur déphase de −90 []. On veut une marge de phase de 45 []. Il
suffit donc de trouver la pulsation à laquelle le déphasage apporté par le retardpur est de −45 [] :
ω · Tr =π
4
On en déduit ω = π4·Tr = 0.78
[ rads
]et par suite le gain du système à régler en
cette pulsation :
Ga(s) =0.1π4
=0.4
π
d’oùKp =
π
0.4= 7.8
Corrigé des exercices 86 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
35 Tracé manuel du lieu des pôles
35.1Propriété 1 Go(s) est d’ordre 3 (3 pôles), donc n = 3 et le lieu a 3 branches.Propriété 2 Les coefficients de Go(s) étant réels, l’axe réel est axe de symétrie
du lieu.Propriété 3 Les 3 branches ont pour origines les pôles en boucle ouverte :
s1 = 0[ rad
s
]s2 = −10
[ rads
]s3 = −20
[ rads
]Propriété 4 Go(s) un zéro en z1 = −50, donc m = 1 branche aboutit en
z1 = −50.Propriété 5 Les asymptotes (ko → +∞) des n - m = 2 branches restantes
sont situées sur une étoile régulière.
Leurs angles sont : ξ = (1+2·λ)(n−m)
· π =
+π
2
−π2
Propriété 6 Le centre de gravité de l’étoile est situé par raison de symétrie
sur l’axe réel, en : ∆ =
n∑i=1
(−si)−n∑i=1
(−zi)
(n−m)= (0−10−20)−(−50)
3−1= 10
Propriété 7 L’axe réel entre s1 et s2 , et entre s3 et z1 fait partie du lieu.Propriété 8 Les points d’intersection ±j · ω0cr du lieu avec l’axe imaginaire
sont obtenus en annulant le reste de la division : d0(s)+k0·n0(s)
s2+ω20cr
Ona :d0 (s) + k0 · n0 (s) = s · (s+ 10) · (s+ 20) + k0 · (s+ 50)= s3 + 30 · s2 + (200 + k0) 4 · s+ 50 · k0
s3+30·s2+(200+k0)4·s+50·k0s2+ω2
0cr= (s+ 30) + reste
reste = s · (200 + k0 − ω20cr) + (50 · k0 − 30 · ω2
0cr)Le reste est nul pour tout s si :
200 + k0 − ω20cr = 0
50 · k0 − 30 · ω20cr = 0
ω0cr = 22.36
[rads]
k0 = kvcr = 300Propriété 9 Les points de séparation de l’axe réel sont obtenus en résolvant :
n∑i=1
1µ−si =
m∑i=1
1µ−zi ,soit :
1µ
+ 1µ+10
+ 1µ+20
= 1µ+50
On aboutit à l’équation du 3ème degré :2 · µ3 + 180 · µ2 + 3000 · µ+ 10000 = 0.Puisque par suite de la propriété 7, le lieu se sépare de l’axe réelentre s1 et s2, soit entre 0 et -10, on a en première approximation :2 · µ3 << 180 · µ2 + 3000 · µ+ 10000.En négligeant le terme de degré 3, on obtient : µ = −4.6, seulesolution ayant un sens.La solution exacte est : µ = −4.47
Corrigé des exercices 87 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Tracé du lieu des pôles :
−50 −40 −30 −20 −10 0 10
−30
−20
−10
0
10
20
30
0.5
0.5
f_po_05_01_1.eps
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Corrigé des exercices 88 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
35.2Propriété 1 Go(s) est d’ordre 3 (3 pôles), donc n = 3 et le lieu a 3 branches.Propriété 2 Les coefficients de Go(s) étant réels, l’axe réel est axe de symétrie
du lieu.Propriété 3 Les 3 branches ont pour origines les pôles en boucle ouverte :
s1 = 0[ rad
s
]s2,3 = −2
[ rads
]Propriété 4 Go(s) n’a aucun zéro, donc m = 0 branche aboutit au(x) zéro(s)
de Go(s).Propriété 5 Les asymptotes (ko → +∞) des n - m = 3 branches restantes
sont situées sur une étoile régulière.
Leurs angles sont : ξ = (1+2·λ)(n−m)
· π =
+π
3
−π3
+πPropriété 6 Le centre de gravité de l’étoile est situé par raison de symétrie
sur l’axe réel, en : ∆ =
n∑i=1
(−si)−n∑i=1
(−zi)
(n−m)= (−2−2)−(0)
3= −4
3
Propriété 7 L’axe réel entre s1 et s2 , et entre s3 et -∞ fait partie du lieuPropriété 8 Les points d’intersection ±j · ω0cr du lieu avec l’axe imaginaire
sont obtenus en annulant le reste de la division : d0(s)+k0·n0(s)
s2+ω20cr
.On a :d0 (s) + k0 ·n0 (s) = s · (s+ 2)2 + k0 = s3 + 4 · s2 + 4 · s+ k0s3+4·s2+4·s+k0
s2+ω20cr
= (s+ 4) + restereste = s · (4− ω2
0cr) + (k0 − 4 · ω20cr)
Le reste est nul pour tout s si :
ω0cr = 2
[rads]
k0 = k0cr = 16Propriété 9 Les points de séparation de l’axe réel sont obtenus en résolvant :
n∑i=1
1µ−si =
m∑i=1
1µ−zi ,soit : 1
µ+ 1
µ+2+ 1
µ+2= 0 (µ+2)2
µ+ µ·(µ+2)
µ+2+
µ·(µ+2)µ+2
= 0 3 · µ2 + 8 · µ+ 4 = 0
µ = −23
Corrigé des exercices 89 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Tracé du lieu des pôles :
−50 −40 −30 −20 −10 0 10
−30
−20
−10
0
10
20
30
0.5
0.5
f_po_05_04_1.eps
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
36 Tracé du lieu des pôles assisté par ordinateur
36.1
Le gain optimal koop peut être obtenu ici par la condition des modules.On mesure dans le plan complexe :
SoptS1 = 7.4898[ rad
s
]SoptS2 = 8.9124
[ rads
]SoptS3 = 17.4001
[ rads
]SoptZ1 = 46.6129
[ rads
]Le gain optimal est alors :
koop =SS1 · SS2 · SS3
SZ1
= 24.9179
[rads2
]De même, pour le gain limite kol, on mesure :
SlimS1 = |−4.47− (0)| = 4.47[ rad
s
]SlimS2 = |−4.47− (−10)| = 5.53
[ rads
]SlimS3 = |−4.47− (−20)| = 15.53
[ rads
]SlimZ1 = |−4.47− (−50)| = 45.53
[ rads
]Le gain limite est alors :
kol =SS1 · SS2 · SS3
1= 8.4315
[rad3
s3
]Corrigé des exercices 90 MEE \co_ra.tex
29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Pour le calcul du gain critique kocr, on peut soit à nouveau faire usage de lacondition des modules, soit prendre directement la valeur donnée par l’applicationde la propriété 8. On a :
kocr = 300
[rads2
]Partant de la relation
k0 = K0 ·∣∣∣∣(−sα+1) · . . . · (−sn)
(−z1) · . . . · (−zm)
∣∣∣∣on a :
Kol = 8.43 ·∣∣∣∣ (−50)
(−10) · (−20)
∣∣∣∣ = 2.1
Koop = 24.92 ·∣∣∣∣ (−50)
(−10) · (−20)
∣∣∣∣ = 6.23
Les réponses indicielles pour ko = kol et ko = koop sont les suivantes :
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t [s]
Réponses indicielles en boucle fermée pour ko=k
olimite=8.43 et pour k
o=k
oop=24.91
f_po_05_01_2.eps
36.2
Le gain optimal koop peut être obtenu ici par la condition des modules. Onmesure dans le plan complexe :
SoptS1 = 0.9977[ rad
s
]SoptS2 = 1.7293
[ rads
]SoptS3 = 1.7293
[ rads
]Corrigé des exercices 91 MEE \co_ra.tex
29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Le gain optimal est alors :
koop =SS1 · SS2 · SS3
1= 2.9836
[rad3
s3
]De même, pour le gain limite kol, on mesure :
SlimS1 = 23
[ rads
]SlimS2 = 2− 2
3=4
3
[ rads
]SlimS3 = 2− 2
3=4
3
[ rads
] .
Le gain limite est alors :
kol =SS1 · SS2 · SS3
1= 1.1852
[rad3
s3
]Pour le calcul du gain critique kocr, on peut soit à nouveau faire usage de lacondition des modules, soit prendre directement la valeur donnée par l’applicationde la propriété 8. On a :
kocr = 16
[rad3
s3
]Les réponses indicielles pour ko = kol et ko = koop sont les suivantes :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t [s]
Réponses indicielles en boucle fermée pour ko=k
olimite=1.18 et pour k
o=k
oop=2.98
f_po_05_04_2.eps
k0 = K0 ·∣∣∣∣(−sα+1) · . . . · (−sn)
(−z1) · . . . · (−zm)
∣∣∣∣on a :
Kol = 1.18 ·∣∣∣∣ 1
(−2) · (−2)
∣∣∣∣ = 0.3
Corrigé des exercices 92 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012
HEIG-VD Régulation automatique (REG)
Kol = 2.98 ·∣∣∣∣ 1
(−2) · (−2)
∣∣∣∣ = 0.75
Corrigé des exercices 93 MEE \co_ra.tex29 octobre 2012