Corr3a04

Embed Size (px)

Citation preview

  • 7/24/2019 Corr3a04

    1/1

    TRANSFORME DE LAPLACE

    Exercices pour la section 3.A 1 20031227

    Exercice 3.A.4Calculer l'expression dans l'espace de Laplace de la fonction priodique.AUn signal "triangle" x(t) de priode T.

    Corrig 3.A.4 AOn constate que le signal xauquel on additionne le mme signal dcal d'untemps T/2 une rampe jusqu'au temps T/2, suivie d'une constante 1. Cette figure peut tre

    cre par la diffrence entre une rampe et une rampe dcale de T/2.

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )tt

    Tt

    T t

    T

    Tx t x t

    T2

    2

    22

    2

    = + (5 pts)

    Les tables des figures 3.A2 (lignes 1 et 2) et 3.A3 (ligne 2) permettent de calculer la

    transforme.

    2 2 2 1

    12 22 2

    2

    2

    2T s T s

    e X s X s e X s

    T s

    e

    e

    s T s T

    s T

    s T = + =

    +

    / //

    /( ) ( ) ( ) (5 pts)

    On peut aussi chercher d'abord l'expression x1(t) du premier triangle, prcd et suivi

    de valeur nulles. Ce signal est la diffrence de la fonction recherche avec elle-mme dcale

    de T.

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( ) ( )t tT

    t T

    tT

    Tt T t T

    Tx t2

    2

    42 2

    1

    +

    = (2 pts)

    x t x t x t T1( ) ( ) ( )= (2 pts)

    Les tables des figures 3.A2 (lignes 1 et 2) et 3.A3 (ligne 2) permettent de calculer les

    transformes.

    X s

    T s T s

    e

    T s

    e

    T s

    e e

    T s

    e

    s T s T s T s T

    s T

    1 2 22

    2 22

    22 2

    2 4 2 21 2

    21

    ( ) ( )

    ( )

    / /

    /

    = + = +

    =

    (2 pts)

    X s X s X s e e X s e e X ss T s T s T s T

    12 21 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )/ /= = = + (2 pts)

    On peut substituer X1par son expression pour obtenir X.

    X s

    T s

    e

    e e T s

    e

    e

    s T

    s T s T

    s T

    s T( )

    ( )

    ( )( )

    /

    / /

    /

    /=

    +

    =

    +

    2 1

    1 1

    2 1

    12

    2 2

    2 2 2

    2

    2 (2 pts)

    Les deux mthodes donnent bien la mme expression. L'application directe de la

    dfinition de la transforme de Laplace au signal x(t) ne convient pas, car il faudrait calculer

    une intgrale sur un temps infini. On peut toutefois l'appliquer sur le premier triangle x1(t).

    Temps tudiants (pour une seule des mthodes): 15' TOTAL 10 pts

    1x

    T t3T2T