7/24/2019 Corr3a04

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TRANSFORME DE LAPLACE

Exercices pour la section 3.A 1 20031227

Exercice 3.A.4Calculer l'expression dans l'espace de Laplace de la fonction priodique.AUn signal "triangle" x(t) de priode T.

Corrig 3.A.4 AOn constate que le signal xauquel on additionne le mme signal dcal d'untemps T/2 une rampe jusqu'au temps T/2, suivie d'une constante 1. Cette figure peut tre

cre par la diffrence entre une rampe et une rampe dcale de T/2.

( ) ( )

( )

( ) ( )tt

Tt

T t

T

Tx t x t

T2

2

22

2

= + (5 pts)

Les tables des figures 3.A2 (lignes 1 et 2) et 3.A3 (ligne 2) permettent de calculer la

transforme.

2 2 2 1

12 22 2

2

2

2T s T s

e X s X s e X s

T s

e

e

s T s T

s T

s T = + =

+

/ //

/( ) ( ) ( ) (5 pts)

On peut aussi chercher d'abord l'expression x1(t) du premier triangle, prcd et suivi

de valeur nulles. Ce signal est la diffrence de la fonction recherche avec elle-mme dcale

de T.

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )t tT

t T

tT

Tt T t T

Tx t2

2

42 2

1

+

= (2 pts)

x t x t x t T1( ) ( ) ( )= (2 pts)

Les tables des figures 3.A2 (lignes 1 et 2) et 3.A3 (ligne 2) permettent de calculer les

transformes.

X s

T s T s

e

T s

e

T s

e e

T s

e

s T s T s T s T

s T

1 2 22

2 22

22 2

2 4 2 21 2

21

( ) ( )

( )

/ /

/

= + = +

=

(2 pts)

X s X s X s e e X s e e X ss T s T s T s T

12 21 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )/ /= = = + (2 pts)

On peut substituer X1par son expression pour obtenir X.

X s

T s

e

e e T s

e

e

s T

s T s T

s T

s T( )

( )

( )( )

/

/ /

/

/=

+

=

+

2 1

1 1

2 1

12

2 2

2 2 2

2

2 (2 pts)

Les deux mthodes donnent bien la mme expression. L'application directe de la

dfinition de la transforme de Laplace au signal x(t) ne convient pas, car il faudrait calculer

une intgrale sur un temps infini. On peut toutefois l'appliquer sur le premier triangle x1(t).

Temps tudiants (pour une seule des mthodes): 15' TOTAL 10 pts

1x

T t3T2T