Ecole Nationale Sup rieure de Physique de Strasbourg e

Technologie des Asservissements Variateurs de vitesse

Bernard BAYLE, ann e 20102011 e

Ce document evolue gr ce a votre concours. Pour lam liorer, communiquez moi vos remarques ou a ` e corrections par mail : bernard.bayle@unistra.fr

Bernard Bayle

IntroductionLe principe de fonctionnement des variateurs de vitesse est pr sent dans ce cours. L tude d taill e e e e e e nest men e que dans le cas du moteur a courant continu (mcc) a excitation ind pendante. N anmoins e e e ` ` les principes expos s restent valables et permettent de comprendre la conception des variateurs de e vitesse des machines a courant alternatif. Les r sultats pr sent s sinspirent largement des articles sur e e e ` la mcc et sa commande publi s dans les Techniques de lIng nieur et cit s dans la bibliographie, tant e e e pour certaines illustrations que pour les notations. Un variateur de vitesse est un dispositif permettant de r aliser lalimentation et la commande dun e moteur. Son sch ma de principe est donn a la gure 1. On distingue dans un variateur deux niveaux e e` de commande. La commande rapproch e est celle qui d termine les modes de fonctionnement et de e e ` commutation du convertisseur statique. La commande eloign e sint resse quant a elle aux probl` mes e e e de commande daxe : asservissements de courant, de position ou de vitesse.

F IGURE 1 Sch ma g n ral dun variateur de vitesse [Louis 02b] e e e Nous allons dans les paragraphes suivants pr senter les probl` mes dasservissement de courant et e e de vitesse propres aux variateurs, ainsi que des exemples pratiques.

Mod lisation ePrincipe et mod lisation du convertisseur statique e` L tage de puissance permettant dalimenter un mcc a partir dun r seau electrique alternatif est e e constitu dun redresseur (conversion alternatif/continu), suivi par un hacheur (conversion continu/cone tinu). Diff rents cas se pr sentent selon la source d nergie (monophas , triphas ) et la technologie des e e e e e convertisseurs statiques utilis s (pont redresseur command ou non, hacheur 1, 2 ou 4 quadrants). La e e gure 2 illustre l tage de puissance dun moteur aliment a partir du r seau triphas avec un pont e e` e e redresseur en commutation naturelle et un hacheur quatre quadrants.

F IGURE 2 Sch ma du convertisseur statique [Louis 02c] e Le choix de la source dalimentation d pend g n ralement des besoins en termes de puissance. e e e Dans le cas de syst` mes embarqu s lensemble r seau+redresseur est remplac par des batteries. Le e e e e choix le plus important pour la variation de vitesse concerne le hacheur. Lutilisation dun hacheur quatre quadrants permet denvisager un fonctionnement dans les diff rents modes possibles en variation e de vitesse. Le moteur pourra fonctionner en vitesse dans les deux sens de rotation et le freinage sera rendu possible quand le courant sera renvoy vers le module de dissipation. Dans ce cas, un module e de dissipation est n cessaire. Ces principes d j` vus dans ce cours sont rappel s a la gure 3. e ea e ` Le hacheur fournit une tension de valeur moyenne r glable par le biais de son rapport cyclique e [0 1]. Le choix de la fr quence de commutation du hacheur d pend de lapplication. Dans le e e e cas dapplications de faible puissance (P 1 kW) la fr quence de commutation est choisie elev e, e au-del` du seuil audible par lhomme, soit environ 20 kHz. En pratique la fr quence de commutation a e e est plut t de 50 kHz. Fonctionnant de mani` re echantillonn e a fr quence elev e, le hacheur peut etre o e e ` e consid r en premi` re approximation comme une source de tension continue de valeur r glable. Ainsi, ee e e la relation entre la tension dalimentation du moteur et la tension de commande du rapport cyclique du hacheur peut etre consid r e comme un simple gain. ee

3

F IGURE 3 Fonctionnement 4 quadrants du hacheur [Louis 02c]

Principe et mod lisation du mcc ePrincipe Un mcc est un dispositif electrom canique qui convertit une energie electrique dentr e en energie e e m canique, selon le principe de la gure 4. e

F IGURE 4 Principe de fonctionnement dun mcc [Bernot 99] L nergie electrique est apport e par l lectronique de puissance evoqu e au paragraphe pr c dent. e e e e e e Le hacheur alimente le bobinage dispos sur linduit mobile (rotor). Ce bobinage est plac dans un e e champ magn tique, permanent ou non, produit par linducteur (stator). On supposera pour simplier e que cette excitation est s par e et constante, comme cest le cas, notamment lorsque linducteur est e e constitu daimants. Le courant circulant dans les spires de linduit du moteur, des forces electriques e lui sont appliqu es et, gr ce a un dispositif adapt (balais et collecteur), les forces sadditionnent pour e a ` e ` participer a la rotation.

4

Mise en equation du mcc Le sch ma equivalent dun mcc est donn a la gure 5. e e`i

c V

f

i

R

L e

V

F IGURE 5 Sch ma dun mcc e L quation electrique, liant la tension V (t) aux bornes de linduit (rotor) et le courant dinduit i(t) e s crit : e di(t) Ri(t) + L + e(t) = V (t), (1) dt o` R est la r sistance de linduit du mcc, L son inductance et e(t) la force electromotrice, qui est u e ` proportionnelle a la vitesse de rotation du rotor : e(t) = Ke (t). L quation m canique rendant compte des couples agissant sur le rotor s crit : e e e c(t) c0 (t) f (t) = J d(t) , dt (3) (2)

o` c(t) est le couple moteur, c0 (t) est le couple r sistant (charge et perturbations), f le coefcient de u e frottement visqueux et J le moment dinertie du rotor. Par construction, le couple c(t) est proportionnel au courant dinduit i(t) : c(t) = Km i(t). (4) En r` gle g n rale les coefcients Ke et Km sont si proches quil est raisonnable de les consid rer e e e e egaux, n gligeant alors les pertes durant la conversion electrom canique de puissance. On pose Kem = e e Ke = Km .

5

` Le mcc peut etre vu comme un syst` me a contre-r action. Pour sen apercevoir, il faut reprendre e e ` les equations pr c dentes et les repr senter sous forme de sch ma-bloc. On aboutit a la gure 6. e e e eC0 (s) 1 f + Js

V (s)

+ E(s)

1 R + Ls

I(s) Kem

C(s) +

(s)

Kem

` F IGURE 6 Sch ma de principe dun moteur a courant continu e

Mod` les pour lasservissement de vitesse du mcc e En supposant c0 (t) = 0 les equations (3) et (4) donnent : Kem i(t) = f (t) + J En d rivant (5), il vient : e di(t) d(t) d2 (t) =f +J . dt dt dt2 En combinant (5) et (6) avec (1) et (2) : Kem R Kem f (t) + J d(t) dt + L Kem f d(t) d2 (t) +J dt dt2 + Kem (t) = V (t). (6) d(t) . dt (5)

(7)

Mod` le dordre un e On n glige linuence de linductance dinduit. L quation (7) se simplie en : e e2 Rf + Kem RJ d(t) (t) + = V (t), Kem Kem dt

soit : (t) +

RJ d(t) Kem = V (t). 2 2 Rf + Kem dt Rf + Kem

La fonction de transfert reliant la commande en tension du mcc V (s) et sa vitesse (s) est : G(s) = K (s) = , V (s) 1 + em s (8)

si lon d nit la constante de temps electrom canique du syst` me : e e e em = et son gain statique : K= Kem 2 Rf + Kem RJ , 2 Rf + Kem

Le syst` me ainsi mod lis est donc dordre un. Il poss` de un p le stable p = 1/em . e e e e o

6

Mod` le dordre deux e On l` ve maintenant lhypoth` se du paragraphe pr c dent pour obtenir un mod` le plus n du mcc. e e e e e Deux expressions int ressantes de la fonction de transfert sont alors possibles : e e 1. En ordonnant (7) de facon a avoir un coefcient de un devant le degr de d rivation le plus elev , ` e e il vient : 2 d2 (t) RJ + Lf d(t) Rf + Kem Kem + + (t) = V (t). (9) dt2 LJ dt LJ LJ ` ce qui conduit a la fonction de transfert sous la forme : G(s) = s2 + ( R + LKem LJ 2 Rf +Kem f J )s + LJ

.

Cette ecriture est int ressante pour identier la fonction de transfert sous la forme canonique : e G(s) = K 2 n . s2 + 2n s + 2 n

2. En ordonnant (7) de facon a avoir un coefcient de un devant le degr de d rivation le plus faible ` e e (i.e. (t)), il vient : RJ + Lf d(t) LJ d2 (t) Kem + = V (t). (10) 2 2 2 2 Rf + Kem dt Rf + Kem dt Rf + Kem ` ce qui conduit a la fonction de transfert sous la forme : K G(s) = , (11) 1 + (em + el )s + el em s2 si lon d nit la constante de temps electrique du syst` me : e e L el = . R On note encore que : Rf = 2 Rf + Kem est petit devant un (terme li au frottement). Enn, comme on peut raisonnablement supposer e que el em : em + el em em + el . (t) + Cela permet d crire nalement la fonction de transfert sous la forme : e G(s) = (s) K = . V (s) (1 + el s)(1 + em s)

Les p les du syst` me p1 = 1/el et p2 = 1/em apparaissent alors clairement. o e

Mod` les pour lasservissement de position du mcc eLa position du rotor se d duisant de sa vitesse par int gration on obtient ais ment la fonction e e e de transfert reliant la tension dinduit V (s) et sa position (s) = L{(t)}, dapr` s les r sultats du e e paragraphe pr c dent. Dapr` s le cas le plus g n ral etudi pr c demment, il vient : e e e e e e e e G(s) = (s) K = . V (s) s(1 + el s)(1 + em s)

Le syst` me poss` de trois p les p1 = 0, p2 = 1/el et p3 = 1/em . e e o Ce chapitre se termine par la documentation technique (tableau 1) dun mcc Maxon Maxon RE36 ` 118800 (source http ://www.maxonmotor.com/) qui sert a titre dexemple dans ce cours. Le guide des grandeurs utilis es dans cette doc est egalement joint au tableau 2. On notera les variations sensibles e entre les grandeurs choisies par le constructeur pour d crire le mod` le du moteur et celles pr sent es e e e e ` pr c demment. On fera egalement attention a lusage des unit s non SI. e e e

7

RE 36 36 mm, Commutation Graphite, 70 Wattmaxon DC motor

M 1:2Programme Stock Programme Standard Programme Spcial (sur demande!)

Numros de commande

118797 118798 118799 118800 118801 118802 118803 118804 118805 118806 118807 118808 118809 118810

Caractristiques moteur1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Puissance conseille W 70 Tension nominale Volt 18.0 Vitesse vide tr / min 6610 Couple de dmarrage mNm 730 Pente vitesse / couple tr / min / mNm 9.23 Courant vide mA 153 Courant de dmarrage A 28.6 Rsistance aux bornes Ohm 0.628 Vitesse limite tr / min 8200 Courant permanent max. A 3.18 Couple permanent max. mNm 81 Puissance max. fournie la tension nom. W 123 Rendement max. % 84 Constante de couple mNm / A 25.5 Constante de vitesse tr / min / V 375 Constante de temps mcanique ms 6 Inertie du rotor gcm2 60.2 Inductivit mH 0.10 Rsistance therm. carcasse / air ambiant K/W 6.4 Rsistance therm. rotor / carcasse K/W 3.4 Constante de temps thermique du bobinage s 38 70 24.0 6210 783 8.05 105 21.5 1.11 8200 2.44 88.8 125 85 36.4 263 6 67.7 0.20 6.4 3.4 43 70 32.0 6790 832 8.27 89 18.7 1.71 8200 1.99 88.5 146 86 44.5 215 6 65.2 0.30 6.4 3.4 41 70 42.0 7020 865 8.19 70 15.3 2.75 8200 1.59 89.8 157 86 56.6 169 6 65.4 0.49 6.4 3.4 41 70 42.0 6340 786 8.14 61 12.6 3.35 8200 1.44 90.4 129 86 62.6 152 6 65.6 0.60 6.4 3.4 41 70 48.0 6420 785 8.25 55 11.1 4.32 8200 1.27 90.1 131 86 70.7 135 6 64.6 0.76 6.4 3.4 41 70 48.0 5220 627 8.41 42 7.22 6.65 8200 1.03 89.8 84.9 85 86.9 110 6 63.3 1.15 6.4 3.4 40 70 70 70 70 70 70 70 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 4320 3450 2830 2280 1780 1420 1180 504 403 326 258 198 158 127 8.65 8.67 8.80 8.96 9.17 9.21 9.51 33 25 20 15 12 9 7 4.80 3.06 2.04 1.30 0.784 0.501 0.334 10.00 15.7 23.5 36.8 61.3 95.8 144 8200 8200 8200 8200 8200 8200 8200 0.847 0.679 0.556 0.445 0.346 0.277 0.226 89.0 89.2 88.8 88.1 87.3 87.2 85.8 56.4 36.0 23.9 15.2 9.09 5.78 3.82 84 82 81 79 77 75 72 105 131 160 198 253 315 380 90.9 72.7 59.8 48.2 37.8 30.3 25.1 6 6 6 6 6 6 6 61.5 61.3 60.3 59.2 57.8 57.5 55.7 1.68 2.62 3.87 5.96 9.70 15.10 21.90 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 39 39 38 37 36 36 35

Spcifications

Plages d'utilisationn [tr / min]9000 7000 5000 3000 1000 100 1.0 4 200 2.0 8 M [mNm] 300 I [A] 3.0 12 I [A]

Lgende

Explications page 49

Jeu axial 0.05 - 0.15 mm Charge maximum des roulements axiale (dynamique) non pr-contraint 5.6 N pr-contraint 2.4 N radiale ( 5 mm de la face) 28 N Force de chassage (statique) 110 N (statique, axe soutenu) 1200 N Jeu radial avec roulements 0.025 mm Temprature ambiante -20 ... +100C Temprature rotor max. +125C Nombre de lames au collecteur 13 Poids du moteur 350 g Aimant permanent 2 ples Les caractristiques moteur du tableau sont des valeurs nominales. Voir en page 43 les plages de tolrances. Des informations dtailles se trouvent sur le maxon selection program du CD-ROM ci-joint. Pour ce moteur, les tolrances diffrent de celles qui figurent dans notre spcification standard.

Plage de puissance conseille

70 Watt

Plage de fonctionnement permanent Compte tenu des resistances thermiques (lignes 19 et 20) la temprature maximum du rotor peut tre atteinte au valeur nominal de couple et vitesse et la temprature ambiante de 25C. = Limite thermique. Fonctionnement intermittent La surcharge doit tre de courte dure.

0.5 2

1.5 6

2.5 10

118804 Moteur avec bobinage haute rsistance 118797 Moteur avec bobinage basse rsistance

Construction modulaire maxonRducteur plantaire 32 mm 0.75 - 4.5 Nm Voir page 219 Rducteur plantaire 32 mm 1.0 - 6.0 Nm Voir page 220 Rducteur plantaire 32 mm 0.4 - 2.0 Nm Voir page 222 Rducteur plantaire 42 mm 3 - 15 Nm Voir page 224

Aperu la page 17 - 21Codeur MR 256 - 1024 imp., 3 canaux Voir page 239 Codeur HEDS 5540 500 imp., 3 canaux Voir page 242 Codeur HEDL 5540 500 imp., 3 canaux Voir page 244 Gnratrice DCT 22 mm 0.52 V Voir page 252

Electronique recommande: ADS 50/5 page 259 ADS 50/10 259 ADS_E 50/5, 50/10 260 EPOS 24/5 271 MIP 50 273 Informations 17

82

maxon DC motor

Edition Juillet 2005 / Modifications rserves

8

Explications sur les pages 50 - 146maxon DC motorDessin dimensionnel Sur le CD-ROM, les croquis de dimension sont disponibles en format DXF en vue de leur importation dans nimporte quel systme CAD. Prsentation des vues conforme la mthode E (ISO). Toutes les dimensions sont exprimes en [mm]. Ligne 5 Pente vitesse/couple Dn / DM [tr / min / mNm] La pente vitesse / couple indique la force du moteur. Plus cette courbe est plate, moins la vitesse est sensible aux variations de la charge. La pente vitesse / couple est calcule une temprature de bobinage de 25C. Ligne 13 Rendement max. hmax [%] Le rendement dpend du courant ou de la vitesse (voir page 35 Caractristique de rendement). Le rendement maximal est driv de la relation entre la marche vide et le courant de dmarrage. Ligne 14 Constante de couple kM [mNm / A] La constante de couple, ou couple spcifique, est le quotient du couple fourni et du courant sy rapportant. Ligne 15 Constante de vitesse kn [tr / min / V] Elle indique la vitesse spcifique par Volt de la tension applique, sans tenir compte des pertes par frottement. La valeur inverse de la constante de vitesse est la constante de tension, aussi appele constante FEM. Ligne 16 Constante de temps mcanique tm [ms] Cest le temps ncessaire au rotor (sans charge extrieure), pour passer de la vitesse 0 63 % de sa vitesse vide. Ligne 17 Moment dinertie du rotor JR [gcm ] Cest le moment dinertie de masse du rotor, base sur laxe de rotation. Ligne 18 Inductance terminale L [mH] Cest linductivit du bobinage lorsque le rotor est larrt, mesure laide dune tension sinusodale 1 kHz.2

Taraudage de montage dans le plastique Ligne 6 Courant vide Io [mA] La ralisation de connexions visses sur des flasques plastiques ncessite une attention spciale. Cest le courant qui stablit lorsque le moteur est vide. Il dpend du frottement des balais et du frottement lintrieur des paliers, il se modifie lgreCouple de serrage maximal [Ncm] Un tournevis automatique doit tre ajust cette ment avec la vitesse. valeur dtalonnage. Ligne 7 Courant de dmarrage IA [mA], [A] Profondeur active de vissage [mm] La relation entre la profondeur de vissage et le diam- Cest le rapport de la tension nominale (tension aux tre du pas de vis doit tre au moins de 2 : 1. La profon- bornes) et de la rsistance du moteur. Il est obtenu deur de vissage ne doit en aucun cas dpasser la lon- au couple de blocage. gueur utile de taraudage! Ligne 8 Rsistance aux bornes R [W] Cest la rsistance mesure 25C aux bornes de connection. Elle dtermine, sous une tension U donne, le courant de dmarrage. Dans le cas de balais en graphite, la rsistance de contact varie en fonction de la charge. Ligne 9 Vitesse limite nmax [tr / min] La vitesse limite ne doit pas tre dpasse en fonctionnement normal, un dpassement intempestif endommagerait la commutation, mettant ainsi le moteur en panne. Ligne 10 Courant permanent max. Icont [mA], [A] Cest le courant qui, une temprature ambiente de 25C, fait monter la temprature du rotor sa limite max. admissible.

Caractristiques Ligne 1 Puissance conseille P2T [W] Cest la puissance max. fournie, dans la plage de puissances conseille. Elle dpend des types et correspond la reprsentation du Guide de Slection (voir galement pages 50-146 Plages dutilisation). Ligne 2 Tension nominale U [Volt] Cest la tension laquelle se rfrent toutes les valeurs nominales (lignes 3, 4, 6, 7, 12, 13).Elle est fixe pour que la vitesse vide ne dpasse pas la vitesse maximale admissible. Mais lutilisation du moteur nest pas limite par cette tension. Pour atteindre la puissance assigne (ligne 1), il est possible dutiliser une tension de service plus haute. La puissance maximale de sortie est alors plus leve (ligne 12).

Ligne 19 Rsistance thermique Rth2 [K / W] Cest la rsistance thermique entre la carcasse et lair ambiant. Valeur thorique sans aucun refroidisseur additionnel. Laddition des lignes 19 et 20 permet de dfinir la puissance dissipe max. Ligne 11 Couple permanent max. Admissible. Sur les moteurs flasque mtallique, Mcont [mNm] la rsistance thermique Rth2 peut tre rduite jusCest le couple dlivr en permanence ou en valeur qu' 50 %, condition que le moteur soit coupl Ligne 3 Vitesse vide no [tr / min] moyenne, qui lve la temprature du bobinage jus- directement un bon conducteur thermique (mCest la vitesse atteinte par le moteur sans charge qu sa valeur max. admissible. On se base sur une tallique) au lieu d'une plaque en matire synthtique. additionnelle et aliment la tension nominale. Elle temprature ambiante de 25C. est pratiquement proportionnelle la tension appliLigne 20 Rsistance thermique Ligne 12 Puissance max. fournie que. Rth1 [K / W] Pmax [mW], [W] Ligne 4 Couple de dmarrage MH [mNm] Cest la puissance max. disponible la tension no- Idem entre rotor et carcasse. Ce couple est appliqu sur larbre pour obtenir minale et une temprature rotor de 25C. Les vaLigne 21 Constante de temps thermique du larrt tension nominale. La croissance rapide de leurs dutilisation se situent en-dessous de cette bobinage tw [s] la temprature du moteur provoque la baisse du puissance (voir courant max. permanent et vicouple de dmarrage (Voir page 38 Comporte- tesse limite). Cest le temps ncessit par le bobinage pour modiment thermique). fier sa temprature.

Plages d'utilisation

Lgende

Exemple de la page 78

Fonctionnement intermittentT 5 4 3 2 1Temps

Plage de puissance conseilleVitesse [tr / min]12000 10000 8000 6000 4000 2000 20 0.5

Plage de fonctionnement permanent Compte tenu des resistances thermiques (lignes 19 et 20) la temprature maximum du rotor peut tre atteinte au valeur nominal de couple et vitesse et la temprature ambiante de 25C = Limite thermique.Domaine de fonctionnement intermittent Fonctionnement continu Plage de puissance conseille 40 60 80 Couple [mNm]1.0 1.5 2.0

Fonctionnement intermittent La surcharge doit tre de courte dure (voir page 36).Courant [A]

1

2 3 4 Courant permanent max.

5

6

Courant [A]

118757 Moteur avec bobinage haute rsistance (Ligne 8) 118749 Moteur avec bobinage haute rsistance (Ligne 8)

0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 ON%

Le diagramme du domaine de fonctionnement dcrit la plage de puissance mcanique livrable par le bobinage. Il illustre les points de fonctionnement possibles en fonction de la vitesse et du couple.Pour deux bobinages slectionns, lun faible, lautre forte rsistance, le couple figure en chelle de puissance (Ligne 8).

ON Moteur en service OFF Moteur stationnaire ON Courant de pointe max. Icont Courant max. admissible en service continu (Ligne 10) tON Temps denclenchement, ne pas dpasser tw (Lg. 21) T Temps de cycle tON + tOFF [s] tON% Temps denclenchement en % du temps de cycle Pendant une dure denclenchement de X %, le moteur peut tre surcharg dans le rapport ION / Icon I ON = I cont T t ONmaxon DC motor

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Variation de vitesse du mcc Dapr` s le mod` le dynamique du moteur obtenu au chapitre pr c dent, on peut etudier la r ponse e e e e e du syst` me en boucle ouverte. Si lon impose un echelon de tension de consigne au moteur les r ponses e e indicielles en vitesse et en courant ont les allures d crites par la gure 7 (le cas consid r est celui dun e ee moteur Maxon F2260) pour lequel : Kem = 100 N m/A, R = 1, 44 , L = 0, 56 mH, J f = 129, 0 106 kg m2 , = 7, 19 105 N s.

On observe un d passement du courant qui peut atteindre des valeurs tr` s importantes lors des transie e

F IGURE 7 R ponse en boucle ouverte du mcc (non charg ) e e toires. Ceci sexplique par la pr sence dun z ro dans la fonction de transfert : e e GI (s) = I(s) . V (s)

` Cette fonction de transfert sobtient ais ment a partir du sch ma de la gure 6 (analogie avec le calcul e e du signal derreur dun asservissement). On obtient : GI (s) = LJs2 Js + f . 2 + (RJ + Lf )s + Rf + Kem

Le diagramme de Bode correspondant est repr sent a la gure 8. e e`

10

Bode Diagram 0

10 Magnitude (dB) Phase (deg)

20

30

40

50 90

45

0

45

90 2 10

10

1

10

0

10 10 Frequency (rad/sec)

1

2

10

3

10

4

10

5

F IGURE 8 Diagramme de Bode de GI (s)

Asservissement de courantLes d passements de courant observ s pr c demment constituent un v ritable probl` me, tant pour e e e e e e e le convertisseur statique que pour le moteur. Si le syst` me (convertisseur+moteur) a et dimensionn e e pour une utilisation nominale, les transitoires de courant risquent de d truire les composants de puise e sance du convertisseur statique. Par ailleurs, dans le cas o` lon utilise des el ments commerciaux, il u arrive que le convertisseur soit surdimensionn , car pouvant fonctionner avec une gamme de moteurs e de diff rentes puissances. Alors le convertisseur pourra d livrer le courant appel . Ce sont alors les e e e conducteurs du moteur qui risquent d tre d truits par une surintensit . Pour ces raisons il convient e e e donc : 1. dasservir le courant pour avoir la matrise des d passements ; e 2. de limiter le courant maximum pour prot ger le moteur dans tous les cas. e L tude de lasservissement de courant du mcc peut se faire sous deux angles. Soit on fait une synth` se e e en utilisant la fonction de transfert compl` te GI (s). Soit on fait le raisonnement approch suivant. e e ` La force electromotrice etant une grandeur proportionnelle a la vitesse de rotation, ses variations sont lentes devant celles du courant dinduit. On peut donc la consid rer comme une perturbation dans le e transfert tension-courant, dapr` s le sch ma de la gure 6. Sous ces hypoth` ses la fonction de transfert e e e ` GI (s) se r sume a : e 1 1 1 GI (s) = = R + Ls R 1 + e s La fonction de transfert etant celle dun premier ordre une simple correction PI : CI (s) = Kp 1 + ` conduit a : CI (s)GI (s) = 1 i s

Kp 1 + i s . Ri s(1 + e s)

11

` Le choix le plus simple consiste alors a compenser le p le electrique en choisissant i = e , ce qui o ` conduit a un syst` me en boucle ferm dordre un de fonction de transfert : e e GIBF (s) = 1 1 Ri ki 1 + K k s p i

o` ki est le gain du capteur assurant la mesure de courant. Le temps de r ponse de la boucle de courant u e se r` gle alors ais ment en choisissant Kp . e e Remarque 1 En fait l tude pr c dente est effectu e sans tenir compte du hacheur. La mod lisation e e e e e propos e pour le hacheur (qui est un syst` me echantillonn ) occulte le fait quentre la tension de come e e mande du hacheur et sa sortie il existe en fait un retard, dit statistique, dune demi-p riode d chane e tillonnage. La prise en compte de ce retard se fait dans certains cas en repr sentant son effet par une e fonction de transfert du premier ordre (passe-bas de constante de temps la demi-p riode de commue tation). Ceci nest bien s r valable que lorsque le temps de retard reste petit devant la dynamique du u syst` me, si bien que lon pr f rera ne pas tenir compte de leffet retard du hacheur dans la synth` se du e ee e correcteur et consid rer simplement que la bande passante du syst` me est limit e. e e e Remarque 2 Pour des raisons de co t et pour obtenir un temps de r ponse tr` s court pour lasservisseu e e ment de courant on r alise la boucle de courant dun mcc de mani` re analogique. e e

Asservissement de vitesseLasservissement de vitesse du mcc est r alis une fois r gl e la boucle de courant. On a donc un e e e e asservissement avec boucles imbriqu es ou asservissement cascade, r pondant au sch ma de principe e e e pr sent en introduction. Pour r aliser lasservissement de la vitesse du rotor dun mcc, la tension ime e e age de la vitesse mesur e est compar e a une tension de r f rence Vr , image de la vitesse d sir e r . e e ` ee e e La vitesse du rotor est mesur e par lun ou lautre des capteurs possibles (g n ratrice tachym trique, e e e e synchro-r solveur, codeur) et la tension image est directement obtenue en sortie du proc d dans la cas e e e des capteurs analogiques, ou apr` s comptage dans le cas des codeurs incr mentaux. En faisant abstrace e tion du mode de mesure qui est ici assimil a un simple gain k le sch ma-bloc de lasservissement de e` e vitesse est repr sent a la gure 9. e e`

Vr (s)

+ C (s)

+ CI (s)

V (s) mcc

(s)

ki V (s) = k (s)

I(s)

k

F IGURE 9 Asservissement de vitesse dun mcc avec boucle interne de courant Si la boucle de courant est r gl e comme sugg r pr c demment, elle a alors une fonction de e e ee e e transfert du premier ordre et il est facile de r gler la boucle de vitesse. En toute rigueur, il faudrait e r ecrire les equations dynamiques du mcc asservi en courant. Ceci etant, on peut consid rer que le e e 1 bloc de fonction de transfert R+Ls du sch ma 6 est simplement remplac par la fonction de transfert e e en boucle ferm e GIBF (s). Dans ce cas, la constante de temps de la boucle de courant etant tr` s petite e e devant la constante de temps electrom canique du syst` me, on obtient un mod` le dordre deux de e e e

12

` classe 0, tr` s proche dun syst` me du premier ordre. On peut donc a nouveau effectuer une correction e e PI. Asservissement de position Il est le plus souvent possible dutiliser les variateurs en mode as` servissement de position, que la fonction soit int gr e ou que lon r alise lasservissement a partir du e e e syst` me asservi en courant. Du fait de lint gration au passage vitesseposition, la classe du syst` me e e e ` augmente et un correcteur proportionnel pourra convenir. Eventuellement on utilisera un correcteur a avance de phase pour assurer stabilit et performance. Par ailleurs, certaines fonctions avanc es pour e e lasservissement de la position de laxe moteur peuvent venir sajouter. Il sagit en particulier de la g n ration de prols dacc l ration en trap` ze pour permettre dobtenir des consignes de courant cone e ee e tinues. Analogique ou num rique ? En pratique le choix dune commande num rique ou analogique d pend e e e du type de moteur dont on dispose. Dans le cas dun mcc, une commande analogique est g n ralement e e sufsante car elle reste relativement simple et peu on reuse. Ce nest plus le cas pour dautres moe ` teurs, typiquement les moteurs a courants continus sans collecteur (moteur synchrones autopilot s), e ` pour lesquels la r alisation des asservissements peut n cessiter le recours a des fonctions non lin aires e e e plus complexes qui seront ais ment r alis es par un processeur. e e e

Protections` e La structure a boucles imbriqu es du sch ma 10 permet dintroduire des el ments de protection du e e moteur. Une limitation de courant sera ainsi simplement r alis e en saturant la valeur de la commande e e

F IGURE 10 Sch ma g n ral dun variateur de vitesse [Louis 02c] e e e ` de la boucle de courant par une tension egale a ki IM , IM repr sentant la valeur maximale du courant e pr conis e par le constructeur. Ce r glage est donc effectu par une simple fonction seuil analogique, e e e e la valeur du seuil etant ajust e par un potentiom` tre. Si la boucle de courant est r gl e convenablement e e e e (rapide et sans d passement), les seules saturations proviendront alors dun appel de courant trop fort, e par exemple d a une modication brutale de la charge ou un changement brutal du sens de rotation. u` Des rafnements dans ce mode de protection sont cependant g n ralement pr vus. Les moteurs e e e ` peuvent en effet le plus souvent supporter des courants transitoires largement sup rieur a la valeur e ` maximale continue (typiquement 5 fois le courant maximum pendant 50 a 200 ms ou dans le cadre dun fonctionnement intermittent). En revanche un certain nombre de protections ne sont pas pr sentes sur un variateur de vitesse. e ` Notamment la mise en court-circuit de la sortie du variateur (par exemple court-circuit a lentr e du e moteur) d truira syst matiquement le variateur, un dispositif de type fusible etant inutile vu le temps de e e r ponse du variateur. Par ailleurs, les variateurs ne sont g n ralement pas prot g s contre une inversion e e e e e des tensions dalimentation.

13

Exemple de variateurCe chapitre se termine par diff rentes documentations, dont la documentation technique 4, pr sentant e e un variateur pour mcc Maxon ADS 50 (source http ://www.maxonmotor.com/) recommand pour le e mcc Maxon RE36 118800 vu au chapitre pr c dent. e e

14

Technique sans dtourmaxon motor controlLe programme des asservissements de moteurs maxon contient une gamme de servoamplificateurs pour commander les moteurs DC et EC hautement dynamique.

Grandeurs commandesVitesse La tche dun servoamplificateur pour rgulation de vitesse consiste maintenir la vitesse de rotation aussi constante que possible quelles que soient les variations de couple demandes au moteur. Pour atteindre ce but, llectronique de rgulation du servoamplificateur compare en permanence la valeur de consigne (vitesse desire) avec la valeur relle instantane (vitesse effective). La diffrence entre les deux valeurs sert piloter ltage de puissance du servoamplificateur de telle manire que le moteur amenuise la diffrence de vitesse. On dispose ainsi dun circuit de rgulation de vitesse en boucle ferme. Position Le rgulateur de position sefforce de faire concider la position actuelle mesure avec la position dsire - de la mme manire que le rgulateur de vitesse - en donnant au moteur les valeurs de correction. Linformation sur la position est gnralement dlivre par un codeur digital. Courant Le rgulateur de courant alimente le moteur avec une intensit proportionnelle la valeur de consigne. Ainsi le couple du moteur est proportionnel la consigne. Le rgulateur de courant amliore aussi la dynamique dun circuit de rgulation de position ou de vitesse suprieur.

Rgulation par codeur digitalLe moteur est quip dun codeur digital qui dlivre un nombre donn dimpulsions chaque tour du rotor. Les impulsions rectangulaires des canaux A et B sont dcales de 90 pour permettre de dterminer le sens de rotation. - Les codeurs digitaux sont surtout utiliss pour assurer le positionnement et pour dtecter un dplacement angulaire. - Les codeurs digitaux ne sont soumis aucune usure. - En liaison avec un rgulateur digital, ils ne provoquent aucun effet de drive. Principe: Rgulation par codeurValeur de consigne maxon motor control

Compensation R x IUne tension proportionnelle la valeur de consigne est applique au moteur. Si la charge augmente, la vitesse de rotation diminue. Le circuit de compensation augmente alors la tension de sortie, avec un accroissement du courant dans le moteur. Cette compensation doit tre ajuste la rsistance interne du moteur. Cette rsistance varie avec la temprature et avec la charge applique. La prcision du rglage de la vitesse que lon peut obtenir dans de tels systmes est de lordre de quelques pour cents - conomie en prix et en place - Pas de gnratrice DC ou de codeur ncessaire - Rgulation peu prcise en cas de forte variation de la charge - Rgulation de vitesse uniquement - Idal pour les applications Low Cost qui nexigent pas une vitesse trs prcise

-

-

Mn

-

Principe: Compensation R x IValeur relle

E

Valeur de consigne maxon motor control

-

-

-

I

MU

Valeur relle

Schma dun circuit de rgulationValeur de consigne maxon motor controlDviation du systme

-

-

Contrleur

-

Moteurn

tage de puissance (actuateur) Valeur relle

Capteur

32

15

4 Q DC Servoamplificateur ADS en botier modulaire

Power Alimentation Connexions du moteur LED Indicateur de l'tat Signal Connexion pour les entres Connexion pour les sorties Connexion gnratrice tachymtrique Encoder Connexion codeur digital Commutateur DIP Choix du mode de rglage Potentiomtres Ajustement de l'quilibrage

Tension de service VCC ondulation rsiduelle < 5 % Tension de sortie max. Courant de sortie Imax: ADS 50/10 POWER ADS 50/5 STANDARD Courant de sortie continu Icont: ADS 50/10 POWER ADS 50/5 STANDARD Cadence de ltage final Rendement max. Largeur de bande de rglage Self interne du moteur: ADS 50/10 POWER ADS 50/5 STANDARD

12 - 50 VDC 0.9 x VCC 20 A 10 A 10 A 5A 50 kHz 95 % 2.5 kHz 75 mH / 10 A 150 mH / 5 A

Entres

Valeur de consigne Set value Circuit libre Enable

-10 ... +10 V (Ri = 20 kW) +4 ... +50 V (Ri = 15 kW)

Gnratrice DC min. 2 VDC, max. 50 VDC (Ri = 14 kW) Signaux codeurs Canal A, A\, B, B\, max. 100 kHz, TTL

Sorties

Dimensions en [mm]

Moniteur courant Monitor I, protg contre les courts-circuits -10 +10 VDC (Ro = 100 W) Moniteur vitesse Monitor n, protg contre les courts-circuits -10 +10 VDC (Ro = 100 W) Message de surveillance READY Open collector max. 30 VDC (IL < 20 mA)

Sorties de tension

Voltages auxiliaires, protg contre les courtscircuits +12 VDC, -12 VDC, max. 12 mA Alimentation codeur +5 VDC, max. 80 mA

Rgulateur

Compensation IxR Offset nmax Imax gain

Affichage

LED 2 couleurs READY / ERROR vert = READY, rouge = ERROR

Plages de temprature et dhumidit

Exploitation Stockage non condens

-10 ... +45C -40 ... +85C 20 ... 80 %

Donnes mcaniques

Numros de commandeADS 50/10 201583 ADS 50/5 145391 Servoamplificateur 4-Q-DC Version POWER en botier modulaire Servoamplificateur 4-Q-DC Version STANDARD en botier modulaire

Poids Fixation

environ 400 g Flanc pour vis M4

Connexions

Accessoires235811 Chopper de frein

Bornes LP (plaquette enfichable de bornes) Alimentation (5 ples), Signaux (12 ples) Pas de 3.81 mm Recommande du cble: 0.14 - 1 mm2 fil fin 0.14 - 1.5 mm2 fil simple Codeur connecteur selon DIN 41651 pour cble plat en trame de 1.27 mm avec AWG 28

NoteVoir page 258 pour les caractristiques gnrales sur le 4-Q-DC variateur de vitesse ADS.Edition Juillet 2005 / Modifications rserves maxon motor control

259

maxon motor control

Donnes lectriques

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TABLE 5 Variateur Maxon ADS 50 (http ://www.maxonmotor.com/)

17

TABLE 6 Variateur Maxon ADS 50 (http ://www.maxonmotor.com/)

18

TABLE 7 Variateur Maxon ADS 50 (http ://www.maxonmotor.com/)

19

TABLE 8 Variateur Maxon ADS 50 (http ://www.maxonmotor.com/)

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Gnratrice DCT 22, 0.52 VoltInformations importantes

maxon tacho

Gnratrice quipe du rotor sans fer maxon. Gnratrice avec commutation en mtaux prcieux. Inertie du systme = inertie rotor moteur + inertie rotor gnratrice. Le rotor gnratrice tourne dans le mme sens que le rotor moteur (la rotation du moteur en sens horaire, vu en bout daxe, fournit une tension positive sur la cosse marque +). Il est recommand dutiliser un amplificateur haute impdance dentre. La gnratrice ne doit pas tre trop charge en courant. La frquence de rsonance donne provient des systmes rotor-moteur et rotor-TG.

Programme Stock Programme Standard Programme Spcial (sur demande!)

Numros de commande118908 2 118909 3 118910 4

TypeDiamtre de l'arbre (mm)

longueur totale

longueur totale

Combinaison+ Moteur RE 25, 10 W RE 25, 10 W RE 25, 10 W RE 25, 10 W RE 25, 10 W RE 25, 20 W RE 25, 20 W RE 25, 20 W RE 25, 20 W RE 25, 20 W RE 26, 18 W RE 26, 18 W RE 26, 18 W RE 26, 18 W RE 26, 18 W RE 35, 90 W RE 35, 90 W RE 35, 90 W RE 35, 90 W RE 36, 70 W RE 36, 70 W RE 36, 70 W RE 36, 70 W RE 36, 70 W Page 77 77 77 77 77 78 78 78 78 78 79 79 79 79 79 81 81 81 81 82 82 82 82 82 + Rducteur GP 26, 0.5 - 2.0 Nm GP 32, 0.75 - 4.5 Nm GP 32, 1.0 - 6.0 Nm GP 32, 0.4 - 2.0 Nm GP 26, 0.5 - 2.0 Nm GP 32, 0.75 - 4.5 Nm GP 32, 1.0 - 6.0 Nm GP 32, 0.4 - 2.0 Nm GP 26, 0.5 - 2.0 Nm GP 32, 0.75 - 4.5 Nm GP 32, 1.0 - 6.0 Nm GP 32, 0.4 - 2.0 Nm GP 32, 0.75 - 4.5 Nm GP 32, 1.0 - 6.0 Nm GP 42, 3.0 - 15 Nm GP 32, 0.75 - 4.5 Nm GP 32, 1.0 - 6.0 Nm GP 32, 0.4 - 2.0 Nm GP 42, 3.0 - 15 Nm Page 216 218 220 222 216 218 220 222 216 218 220 222 219 220 224 219 220 222 224 Longueur totale [mm] / voir: + Rducteur 76.8

76.8

79.8

89.0

89.3

Donnes techniquesTension de sortie par 1000 tr / min 0.52 V Rsistance connecte tachymtrique 56.6 W Ondulation moyenne effective crte crte 6% Nombre d'ondulations par tour 14 Linarit entre 500 et 5000 tr / min vide 0.2 % Linarit avec rsistance de charge de 10 kW 0.7 % Erreur d'inversion 0.1 % Coefficient de temprature de la FEM (aimant) -0.02 % /C Coefficient de temp. sur rsistance d'induit +0.4 % /C Courant max. conseill 10 mA Tolrance de la tension de sortie 15 % Inertie du rotor gnratrice < 3 gcm2 Frq. de rsonance avec le mot. des p. 77 - 79 > 2 kHz avec le moteur des pages 86, 88 > 3 kHz avec le moteur des pages 81, 82 > 4.5 kHz Plage de tempratures -20 ... +65C Option: galement livrable avec des fils de connexion.

Exemple de connexion180 W

T

1 kW

Rippel =

x 100 (%)

252

maxon tacho

Edition Juillet 2005 / Modifications rserves

21

Rsolveur Res 26, 10 VoltPrimaireb32

SecondaireSIN

z32

jaune

rouge / blanc d30b30R es ro olv to er r -

bleu

SIN 360e COS

rouge z30COS

Angle rotor j

jaune / blanc

noir

d32

Programme Stock Programme Standard Programme Spcial (sur demande!)

Numros de commande166488 4 133405 6 268912 6 216287 6

TypeDiamtre de l'arbre (mm)

longueur totale

longueur totale

Combinaison+ Moteur EC 32, 80 W EC 32, 80 W EC 32, 80 W EC 40, 120 W EC 40, 120 W EC 40, 120 W EC 45, 150 W EC 45, 150 W EC 45, 150 W EC 45, 250 W EC 45, 250 W EC 45, 250 W EC 45, 250 W EC 60, 400 W EC 60, 400 W Page 159 159 159 160 160 160 161 161 161 162 162 162 162 165 165 + Rducteur GP 32, 0.75 - 4.5 Nm GP 32, 1.0 - 6.0 Nm GP 42, 3.0 - 15 Nm GP 52, 4.0 - 30 Nm GP 42, 3.0 - 15 Nm GP 52, 4.0 - 30 Nm GP 42, 3.0 - 15 Nm GP 52, 4.0 - 30 Nm GP 62, 8.0 - 50 Nm GP 81, 20 - 120 Nm Page 219 221 224 227 111.2 224 227 225 227 229 230

Longueur totale [mm] / 80.1

voir: + Rducteur

96.6

144.0

177.3

Donnes techniquesTension d'entre Transformation Erreur lectrique 10 V peak, 10 kHz Moment d'inertie du rotor 0.5 Poids 10 minutes Plage de tempratures 6 gcm2 40 g -55 ... +155C

Edition Juillet 2005 / Modifications rserves

maxon tacho

253

maxon tacho

U

22

Codeur HEDL 5540, 500 impulsions, 3 canaux, avec Line Driver RS 422maxon tachoProgramme Stock Programme Standard Programme Spcial (sur demande!)

Numros de commande110512 500 3 100 3 110514 500 3 100 4 110516 500 3 100 6 110518 500 3 100 8

TypeNombre d'impulsions par tour Nombre de canaux Frquence impulsionnelle max. (kHz) Diamtre de l'arbre (mm)

longueur totale

longueur totale

Combinaison+ Moteur RE 25, 10 W* RE 25, 10 W* RE 25, 10 W* RE 25, 10 W* RE 25, 20 W* RE 25, 20 W* RE 25, 20 W* RE 25, 20 W* RE 26, 18 W* RE 26, 18 W* RE 26, 18 W* RE 26, 18 W* RE 35, 90 W* RE 35, 90 W* RE 35, 90 W* RE 35, 90 W* RE 35, 90 W* RE 35, 90 W* RE 36, 70 W* RE 36, 70 W* RE 36, 70 W* RE 36, 70 W* RE 40, 150 W* RE 40, 150 W* RE 40, 150 W* RE 40, 150 W* RE 40, 150 W* RE 40, 150 W* RE 75, 250 W RE 75, 250 W RE 75, 250 W RE 75, 250 W Page 77 77 77 77 78 78 78 78 79 79 79 79 81 81 81 81 81 81 82 82 82 82 83 83 83 83 83 83 84 84 84 84 + Rducteur GP 26, 0.5 - 2.0 Nm GP 32, 0.75 - 6.0 Nm GP 32, 0.4 - 2.0 Nm GP 26, 0.5 - 2.0 Nm GP 32, 0.75 - 6.0 Nm GP 32, 0.4 - 2.0 Nm GP 26, 0.5 - 2.0 Nm GP 32, 0.75 - 6.0 Nm GP 32, 0.4 - 2.0 Nm GP 32, 0.75 - 6.0 Nm GP 42, 3.0 - 15 Nm GP 32, 0.75 - 6.0 Nm GP 42, 3.0 - 15 Nm GP 32, 0.75 - 6.0 Nm GP 32, 0.4 - 2.0 Nm GP 42, 3.0 - 15 Nm GP 42, 3.0 - 15 Nm GP 52, 4.0 - 30 Nm GP 42, 3.0 - 15 Nm GP 42, 4.0 - 30 Nm GP 81, 20 - 120 Nm GP 81, 20 - 120 Nm Page 216 218/220 222 216 218/220 222 216 218/220 222 219/220 224 AB 40 219/220 AB 40 224 AB 40 219/220 222 224 224 227 224 227 230 230 AB 75 AB 75 282 282 AB 40 AB 40 AB 40 279 279 279 124.2

+ Frein

Page

Longueur totale [mm] / 75.3

voir: + Rducteur

75.3

77.2

91.9

279 279 279

124.1

92.2

91.7

241.5

281.4

*Connectique voir page 245

Donnes techniquesTension d'alimentation 5 V 10 % Signal de sortie EIA Standard RS 422 Drives utilise: DS26LS31 Dphasage F (nominal) 90e Distance entre flancs s min. 45e Temps de monte du signal 180 ns (typique avec CL = 25 pF, RL = 2.7 kW, 25C) Temps de descente du signal 40 ns (typique avec CL = 25 pF, RL = 2.7 kW, 25C) Largeur (nominale) d'impulsion d'index 90e Plage de tempratures 0 ... +70C Moment d'inertie du disque 0.6 gcm2 Acclration angulaire max. 250 000 rad s-2 Courant par canal min. -20 mA, max. 20 mA Option 1000 impulsions, 2 canaux

Connectique pour moteur RE 75Connectique Type SOURIAU 8GM-QL2-12P 1 VCC 2 N.C. (non utilis) 3 GND 4 N.C. (non utilis) 5 Canal I (Index) 6 Canal I 7 Canal B 8 Canal B 9 Canal A 10 Canal A 11 N.C. (non utilis) 12 N.C. (non utilis) Connecteurs connseills Type SOURIAU 8GM-DM2-12S (mtal sortie droite: maxon Art. No. 2675.538) ou 8G-V2-12S ((plastique, angle 90: maxon Art. No. 2675.539)

Exemple de connexionCodeur Line Driver DS26LS31 Recepteur de ligne Circuits utilisables: - MC 3486 - SN 75175 - AM 26 LS 32R

Canal Canal A Canal Canal B Canal Canal IR R

Rsistance terminale R = typique 100 W

244

maxon tacho

Edition Juillet 2005 / Modifications rserves

Bibliographie[Bernot 99] F. Bernot. Machines a Courant Continu. Constitution et fonctionnement. Techniques de ` lIng nieur, trait G nie electrique, pages D 3555 114, 1999. e e e [Louis 02a] J.-P. Louis et C. Bergmann. Commande Num rique. Convertisseur- Moteur a Courant e ` Continu. Techniques de lIng nieur, trait G nie electrique, pages D 3641 133, 2002. e e e [Louis 02b] J.-P. Louis et C. Bergmann. Commande Num rique des Machines. Evolution des Come mandes. Techniques de lIng nieur, trait G nie electrique, pages D 3640 117, 2002. e e e [Louis 02c] J.-P. Louis, B. Multon, Y. Bonnassieux et M. Lavabre. Commande des Machines a ` Courant Continu (mcc) a Vitesse Variable. Techniques de lIng nieur, trait G nie e e e ` electrique, pages D 3610 117, 2002. [Louis 02d] J.-P. Louis, B. Multon, Y. Bonnassieux et M. Lavabre. R gulation des mcc. Structure e g n rale. Techniques de lIng nieur, trait G nie electrique, pages D 3612 112, 2002. e e e e e