Devoir surveill d'automatique 1re anne Formation agrgative en Gnie Mcanique Dure 3h Partie A : On considre le systme physique reprsent par le diagramme fonctionnel de la figure ci-dessous

1) Trouver la fonction de transfert de ce systme en boucle ferme. 2) Donner la classe de ce systme. 3) Expliquer si les erreurs en rgime permanent associes respectivement des grandeurs d'entre en chelon de position et de vitesse (rampe) dpendent de la valeur de K et de T . En dduire l'effet de chaque paramtre. 4) Donner les conditions que doivent vrifier les paramtres K et T pour que le systme en boucle ferme soit stable. 5) Tracer la courbe K=f( ) reprsentant le domaine de stabilit obtenu la question 4. Partie B : La commande d'un joint de robot est modlise par le schma fonctionnel suivant :

r : Consigne (grandeur d'entre principale). : position (grandeur de sortie principale), Tc: couple de charge (grandeur d'entre secondaire), Kd : constante de la gnratrice tachymtrique, Kr : gain du capteur de position. 1) Si Kr = 1 et la fonction de transfert du correcteur est telle que C(p)=Kc (constante) , dterminer les valeurs de Kd et Kc qui procurent au systme un facteur d'amortissement = 0,5 et une erreur en rgime permanent de 5% pour une grandeur d'entre Tc en chelon de vitesse. 2) Dire en quelques lignes si la valeur de Kd affecte directement l'erreur en rgime permanent. Justifier. 3) Si Kr = 1 et la fonction de transfert du correcteur est telle que C(p)= Kc. Ki/p, dire si le choix d'un tel correcteur assure une erreur en rgime permanent nulle un changement de Tc en chelon de position. Justifier la rponse. 4) En fixant, dans la question 3, les valeurs de Kd et Kc, celles obtenues la question 1, dterminer l'quation caractristique du systme et les limites de Ki pour assurer la stabilit du systme.

SolutionPartie A 1)

F ( p) =

F ( p) k ; ; H ( p) = 1 + F ( p) p(1 + 0,02 p)(1 + . p )

k k p (1 + 0,02 p)(1 + . p) H ( p) = ; soit H ( p ) = k p(1 + 0,02 p )(1 + . p ) + k 1+ p (1 + 0,02 p)(1 + . p) 2) Remarque :

C = B.C A kN ( p ) Revenons au sujet et mettons la FTBO sou la forme : FTBO = o est la classe p D( p) du systme et N (0) = D (0) = 1 ,il vient : k FTBO = =1 p(1 + 0,02 p )(1 + . p) 3) p D( p ) 1 1 .E ( p ) ; soit (p) = .E ( p ) = ( p) = .E ( p) kN ( p ) 1 + FTBO p D ( p ) + kN ( p ) 1+ p D ( p) Nous supposerons pour la suite que le systme est stable, donc nous pouvons utilisez le thorme de la valeur finale:FTBO = B.C

FTBO = A.B.

p D( p ) () = lim p. ( p ) = lim p .E ( p ) p0 p 0 p D ( p ) + kN ( p) Lerreur indicielle est lerreur pour une entre en chelon. Lentre est donc de la 1 forme :e(t)=E0.u(t) ; soit dans le domaine symbolique E(p) = Eo p p lim .Eo p0 p +k gnral si :

on voit que la prcision est fonction de la classe du systme, en

a) systme de classe 0 ; () =

Eo . 1+ k

b) systme de classe >0 (cest notre cas); () =

Eo. p . = 0 ne dpend pas de k p + k

Lcart de poursuite est lerreur pour une entre de type rampe :e(t)=a.t.u(t) ; soit dans le a domaine symbolique E(p) = 2 pp a. p 1 a lim p . 2 = ; en gnral si : p +k p0 p +k p a) systme de classe 0 ; () =

b) systme de classe 1(cest notre cas) ; () = c) systme de classe >1 ; () = 0 4/appliquons le critre de Routh avec H ( p) =

a dpend de k k

k p(1 + 0,02 p )(1 + . p ) + k quation caractristique : p(1 + 0,02 p)(1 + . p) + k = 0p + . p 2 + 0,02 p 2 + 0,02 . p 3 + k = 0 0,02 . p 3 + ( + 0,02). p 2 + p + k = 0 a3. p 3 + a 2. p 2 + a1 p + a 0 = 0 ; a 2 = + 0,02 ; a1 = 1 ; a 0 = k

Avec a3 = 0,02 Critre de Routh Une condition ncessaire et suffisante de stabilit est qu'il n'y ait pas de changement de signe dans la premire colonne du tableau de Routh. an an-2 an-4 an-6 an-1 an-3 an-5 an-7 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 ..an 1.an 2 an 3.an an 1.an 4 an 5.an an 1.an 6 an 7.an b2 = b3 = an 1 an 1 an 1 avec ; ; ; b1.an 3 b 2.an 1 b1.an 5 b3.an 1 b1.an 7 b 4.an 1 c1 = c2 = c3 = b1 b1 b1 ; ; Appliquons ce critre cet exemple b1 =

0,02. +0,02 1.( + 0,02) k .0,02. b1= + 0,02 1.( + 0,02) k .0,02. .k + 0,02 =k c1= 1.( + 0,02) k .0,02. + 0,02

1 k 0 0

an 1 = + 0,02 0 ;

an = 0,02. 0 ;c1 = k 0

b1 =

1.( + 0,02) k .0,02. 0 ; + 0,02

0,02. >0 +0,02>0

>0 >0 >-0,02

( + 0,02) k .0,02. 0 1 ( + 0,02) 1 1 k k + k 50 + soit ; 0,02. 0,02 Finalement pour que le systme soit stable, il faut que : >00 k 50 + 1

4) tudions la fonction K=f( )f ( ) = 50 + 1 ; 0, soit ]0,+[ ;

Domaine de dfinition : f( ) est dfinie pour

f (0 + ) = lim f ( ) = + ; 0f ' ( ) =

f ( + ) = 50

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