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1 DS4 [DS4sol.tex] Sciences Physiques MP 2007-2008

Devoir surveille de Sciences Physiques n 4 du 24-11-2007 Duree : 4 heures. Solutions

Proble`me no 1 Couleurs par diffraction Centrale PC 2007

A. Generalites

1. On peut considerer que la direction de la lumie`re diffractee est egalement contenue dans la plan Oyz car

L e . Il ny pas deffet notable de la diffraction, on peut considerer quon reste dans le cadre de loptiquegeometrique du point de la dimension sur Ox.

2. Les deux rayons etant strictement homologues, ils subissent le meme phenome`ne. Ce qui diffe`re est unique-ment la difference de marche qui apparat aussi bien avant (sur un rayon lumineux) quapre`s (sur lautre rayon).De ce fait, on fera la difference entre les deux chemins supplementaires avant et apre`s le reseau. Le resultat est

= a(sin sin i), la phase recherchee est donc : = 2pia(sin sin i) .3. Si lamplitude due a` linterference des N ondes est donnee par le terme A(N,), alors lintensite sera comme

le carre du module . On en deduit que I(N,) = A2(N,) . Le calcul pourrait montrer que I(N,) = sin2N/2sin2 /2

.

Le terme de diffraction est de la forme sinc2 pie(sin sin i) . On voit (et on doit savoir. . . ) que lorsque e 0 alorsce terme tend vers 1 et cela et i. On donc bien dans la situation ou` la diffraction par un motif du reseauest independante des angles.

4. La representation de lintensite nous fait voir que lorsque N devient grand, il ny a de la lumie`re que dans

les maxima qui sobtiennent pour = p2pi avec p Z. Cette condition se traduit par : sin = sin i+ pa etceci a` condition que langle existe a` savoir pour | sin | 1.5. Pour le reseau par reflexion, on a exactement la meme situation. Mais il faut faire attention au fait que sur

le schema, lorientation de langle nest pas la meme que celle de i et nest pas la meme que celles des angles et i des questions precedentes. Lorientation des angles netait pas indispensable dans le proble`me etudie. A`cause de lorientation de langle , la difference de marche est = a(sin +sin i). La phase est par consequent :

= 2pia(sin +sin i)

.

6. Le dispositif doit utiliser avec profit deux lentilles convergentes et leurs foyers. Pour menager une observation

dans des conditions convenables, on utilisera une lame semi-reflechissante . Voir la figure 1.

b

b

F

S = F

LSR

disque

Fig. 1 Observation du compact disque

7. On a i = 0, la condition dobtention de lumie`re est alors sin = pa . Le spectre visible est constitue deslongueurs dondes [0, 4 m; 0, 8 m]. Avec la valeur a = 1, 6 m, on a pour le bleu (0, 4 m), la formulesin = p4 . On raisonnera pour simplifier avec

> 0, puisquil y a symetrie pour les valeurs de < 0 dufait de lincidence normale i = 0. Il y a 5 ordres possibles pour p [0; 1; 2; 3; 4], les angles correspondantssont 0; 14, 5; 30; 48, 6; 90 . Pour le rouge a` lautre extremite du spectre, on a la formule sin = p2 . Pour cettecouleur, les ordres sont uniquement p [0; 1; 2] avec les angles 0; 30; 90 . On voit tre`s clairement que lesordres se melangent et cela de`s lordre 2 puisque pour = 30 , lordre 1 pour le rouge se melange a` lordre 2

pour le bleu.

8. On ne peut pas voir son propre reflet dans un disque compact comme dans un miroir car le miroir plan

est tre`s rigoureusement stigmatique pour tous les points de lobjet. Ici, un meme point posse`de plusieurs imagesdans des directions differentes correspondant aux ordres existant et en plus la direction dune image dependde la longueur donde. On peut moduler la reponse car dans lordre 0, on est dans la situation de loptiquegeometrique. Les couleurs sont-elles modifiees ? Oui et non comme avant, puisque pour = 0, on aura lordrep = 0 pour toutes les longueurs donde. Dans lordre 0, toutes les couleurs seront respectees. Mais en = 14, 5 ,cela ne sera pas le cas comme on vient de le voir. La reponse appropriee serait alors : on peut apercevoir sonreflet dans un CD a` condition de ne pas se laisser distraire par la diffraction qui provoque les effets de couleursque lon connat tous.

JR Seigne Fauriel St Etienne

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B. Couleurs du paon

9. La phase va maintenant secrire = y+z et donc le terme damplitude sous la forme a0 exp j(y+z) =a0 exp jy exp jz. Cette separation des phases grace a` la propriete de la fonction exponentielle va etre decisive,on separe ainsi en quelque sorte les effets des interferences des Ny ondes de celles des Nz ondes. On peut ecrire

que S =

(i,j)=(Ny,Nz)(i,j)=(1,1)

exp j(y + z) =

i=Nyi=1

exp jy

j=Nzj=1

exp jz

= A(Nz, z)

i=Nyi=1

exp jy. Lexpression

finale de lamplitude est de la forme S = A(Ny, y)A(Nz, z). On peut donc bien conclure en passant au carredu module que : |a21|I(Ny, y)I(Nz, z) .10. On a deja` vu que le franchissement dun dioptre plan nintroduisait pas de difference de marche. Si lon

prend deux rayons paralle`les dincidence i arrivant sur le dioptre separes par une distance h selon Oy, on voit quele rayon superieur parcourt le chemin optique h sin i en plus par rapport au rayon inferieur pour arriver sur ledioptre. Apre`s le dioptre, cest le contraire, cest le rayon inferieur qui parcourt plus de chemin optique : nh sin rpuisque le milieu est dindice n. La difference entre ces eux chemins est nulle puisque les lois de Descartesdonnent : sin i = n sin r. Il ne reste plus qua` evaluer les differences de chemin au niveau des reflexions sur lesbatonnets successifs, voir la figure 2

b barr

a cos r

a cosr

Fig. 2 Calcul de la difference de marche

On voit rapidement que y = 0 . On voit que la distance en plus parcourue par un rayon plus profond dune

periode a est 2a cos r, la difference de marche est donc = 2na cos r. On peut donc donner lexpression de

la phase selon z =2pi2na cos r

. Or, on a cos r =1 sin2 r et comme les loi de Descartes conduisent a`

sin i = n sin r, on peut conclure sur lexpression : z =2pi2a

n2sin2 i

.

11. Si Ny et Nz sont tre`s grands devant 1, on a un effet de reseau : on peut affirmer que la lumie`re nest

presente que dans les ordres entiers. Par consequent, on a z = p2pi et doncn2 sin2 i = p2a . On peut en

deduire que les angles sont donnes par : sin in2 p224a2 a` condition que n > p2a et que | sin i| 1.

12. La condition exprimee avant revient a` ecrire que a > p2n . La valeur entie`re non nulle minimale est p = 1 et

la longueur donde la plus grande est = 0, 8 m dans le visible (rouge), on en deduit que : amin = 0, 27 m .

13. En incidence normale i = 0, on a r = 0 et donc z =2pi2na . Lordre est alors p =

2na =

3a en tenant

compte de la valeur de lindice de refraction. On trouve au centre p = 0,48 ou` on exprime la longueur donde enm. La longueur donde qui envoie un maximum de lumie`re est uniquement = 0, 48 m pour lordre p = 1puisquaucune autre longueur donde du visible ne permet davoir un ordre entier. La couleur correspondante

est donc bleu . Pour la tache ovale, la formule devient p = 0,51 avec donc = 0, 51 m, cest un peu plus vert

que la precedente couleur et coherent avec la couleur turquoise indiquee. Enfin, autour on a p = 0,63 et par

consequent = 0, 63 m, cest maintenant rouge .

Proble`me no 2 Hydrates de gaz et climatisation Mines PSI 2007

A. Generalites sur les hydrates

Interaction de Van der Waals

1. On constate facilement que sexprime en m3 puisquil suffit de transformer lexpression du champelectrique fourni pour ecrire que pa = 4pi0x

3Ex quil faut comparer a` la definition de la polarisabilite pi =0Ex.

2. Apre`s calculs, la force dinteraction secrit : Fx = 3p2

a

16pi20x7. Cette force est attractive comme le signe

lindique et comme elle evolue en 1x7 , elle va tre`s vite decrotre avec x. Cest pour cela quon parle de force a`courte portee.Capacite de stockage

3. Le rayon de la cavite occupee est plus petit que celui de la cavite vide a` cause de la force attractiveentre les molecules formant la cavite et la molecule piegee. Cette force aussi lexplication pour le fait que les



molecules piegees doivent etre assez grandes avec ydd > 0, 76 car si la molecule piegee est en moyenne trop loindes molecules de la paroi, alors linteraction attractive sera insuffisante pour la maintenir dans le pie`ge puisquil

y a une decroissance tre`s rapide de la force en 1x7 . On peut aussi indiquer que plus la molecule piegee est

petite, plus elle passera par les trous de la paroi. . .

4. Le rayon de la petite cavite de la structure I est de 395 410 = 255 pm , cest justement le rayon de lamolecule de CO2. On a donc bien ydd = 1.

5. Pour repondre a` cette question, il sera suffisant detudier si la molecule est stabilisee dans la plus petite cavite.

Cest celle de la structure II, son rayon occupe est 391 140 = 255 pm. On trouve alors que ydd = 114251 = 0, 45 .Ce rapport sera forcement plus petit pour les autres cavites, on conclut quen aucun cas lhelium ne peut etrepiege dans des hydrates.

6. La structure I comporte 8 cavites pour un volume a3I , celle de structure II 24 cavites pour un volume a3II . Le

rapport esta3IIa3I

= 3 qui est justement le rapport de 24 a` 8. Du point du vue du stockage, ces deux structures

sont totalement equivalentes.

7. En prenant lexemple de la structure II, il y a 24a3II

1NA

moles de CH4 liberees. En utilisant la loi des gaz

parfaits : V = 24a3II

1NA

RTp = 187 m

3 .

8. Le methane est lun des plus puissants gaz a` effet de serre, il est environ 20 fois plus efficace que le dioxydede carbone.

B. Climatisation

Etude du circuit primaire

9. On ecrit que lenthalpie massique est conservee : 126 = (1 xV4 )11+ 394xV4 en kJ kg1 dou` xV4 = 0, 30 .10. Le cycle est represente sur la figure 3

v

p

1, 2 bar

5, 2 bar52 C

5 C

Liquide et Vapeur

Liquide

Vapeur

C

tC

B

3

2

14

t > tc

b

b

b b

b b

b

b

Fig. 3 Diagramme de Clapeyron

11. Le transfert thermique massique avec le syste`me a` refroidir (source froide) est egale a` la variation denthalpiemassique du syste`me puisque h = w + q = q ici puisque levaporateur ne comporte pas de pie`ces mobiles. Ilny a pas de travail technique (ou encore appele utile) de transfere lors de la transformation 4 1. On trouvedonc : qf = (x

V1 xV4 )(hvap hliq) = 260 kJ kg1 .

12. A` nouveau, on applique le premier principe de la Thermodynamique a` un syste`me en ecoulement perma-nent : h = w+ q. Le compresseur etant adiabatique, on q = 0 et par consequent h12 = w. Comme h34 = 0,

on peut encore ecrire que : w = (h2 h3) + (h4 h1) = 76 kJ kg1 .13. Lefficacite du syste`me est le rapport positif du transfert energetique utile, ici pour un climatiseur cest qf

que lon prend a` la source froide pour climatiser, et du transfert energetique payant qui est bien sur le travail

a` fournir au compresseur. On a donc : e =qfw = 3, 4 . Pour la machine de Carnot ideale, on ecrit les deux

principes de Thermodynamique w + qf + qc = 0 etqfTf

+ qcTc = 0. On en deduit e =Tf

TcTf= 5, 9. Lefficacite

reelle est plus faible puisque, dans le cas de Carnot, on neglige toutes les sources de creation dentropie(irreversibilites).


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Utilisation du coulis dhydrates de TBAB

14. h se calcule en tenant compte a` la fois du changement de temperature et du changement detat. Ilne faut pas non plus oublier que le coulis comporte une fraction massique dhydrate de 20%. Cela donne :

h = (0, 20chydp + 0, 80cep)(ts te) + 0, 20lhydfus = 59 kJ kg1 .

15. Il faut calculer la masse de coulis dont on dispose : ms = cVs = 6210 kg. On en deduit aussitot que :

Hs = msh = 3, 6 108 J .16. 12 heures a` 6 kW represente une energie E = Pt de 2, 6 108 J . Il est possible de faire fonctionner le

climatiseur 12 heures par jour car la valeur trouvee est inferieure a` Hs.

17. Le debit minimal est donne par Dm = Hstqf avec t = 6 h. On trouve Dm = 0, 064 kg s1 .Proble`me no 3 Moteur a` echangeur thermique CCP TSI 1999

A. Etude dun compresseur

1. Tout syste`me thermodynamique est caracterise par la fonction detat extensive S (entropie), avec pour

une transformation quelconque S = Stransf + Scree ; le terme de creation Scree est positif, ou nul pour unetransformation reversible. Le terme transfere est lie aux echanges thermiques et a` la temperature des sourcespar Stransf =

Q

Tsource.

La transformation est adiabatique : Stransf = 0 et reversible Scree = 0. Il y a donc conservation de lentropie,

une telle transformation est isentropique .

2. On utilise lidentite thermodynamique dH = TdS + V dP . Ainsi dS = CpdTT VT dP = Cp dTT nRdPP dou`

S = Cp lnT nR lnP +Cte .3. La relation de Mayer est Cp CV = nR . En ecrivant que dS = 0 et en integrant, on obtient imme-

diatement Cp lnT nR lnP = Cte quon peut transformer en lnT 1 lnP = Cte. On montre ainsi queT P 1 se conserve .

4. On a T2 = T1(p1p2)1 .

5. On trouve T2 = 429 K dans le premier cas et T2 = 520 K dans le second.

6.On applique le premier principe au fluide en ecoulement permanent, la transformation etant adiabatique (Q =

0), on aboutit a` H =Wk =R1 (T2 T1) . Dans le premier cas, on trouve Wk = 4, 10 kJ et Wk = 6, 85 kJ

dans le second.

B. Etude dun echangeur de chaleur a` deux flux de gaz.

7. La variation globale denthalpie de lensemble des fluides correspondant aux deux flux est nulle, en labsencede tout travail utile et lensemble etant calorifuge : Hglobal = 0. Traduit en puissance (le debit D est unnombre de moles par seconde), cela donne DCp(T2 T1) + DCp(T 2 T 1) = 0. La relation cherchee est doncT1 + T

1 = T2 + T

2 .

8. Si T2 = T1 alors T1 = T

2 .

C. Etude du premier dispositif.

9. La loi de Laplace sapplique pour la compression et la detente dans la turbine. On a donc PV = Cte dou`

une equation de fonction puissance P = f(V ) = CteV . Les deux autres transformations (transferts thermiques

avec lexterieur) sont isobares. Le trace sera une droite horizontale . Voir le diagramme sur la figure 4a).

10. Dans le compresseur et la turbine, les transformations sont isentropiques, donc dequation S = Cte. Ce

sont des droites verticales . Pour les isobares, on a des exponentielles croissantes car nous savons que lorsqueP = Cte, lentropie est donnee par S = Cp lnT + Cte. En prenant comme reference, par exemple, letat 2, on

trouve une loi T = T2 expSS2Cp

. Voir le diagramme sur la figure 4b).

11. Le rendement du cycle est defini par = Wt+WkQ1 . Cette definition est logique puisque le dispositif est unmoteur, ce qui nous interesse est le travail quon peut recuperer, ici cest le bilan du travail degage a` la turbinediminue de celui utilise au niveau du compresseur (Wk < 0). Ce travail est rapporte au transfert thermique

couteux a` savoir celui effectue au niveau de la chambre de combustion (Q1) qui consomme du gaz par exemple.



V

P

b

b b

b1

2 3

4

a)

S

T

b

b

b

b

1

2

3

4b)

Fig. 4 Diagramme de Clapeyron et diagramme entropique

Le premier principe pour un fluide en ecoulement permanent dans un transformation cyclique secrit H = 0

avec H =Wt +Wk +Q1 +Q2. En utilisant cette relation, on obtient facilement = 1 +Q2Q1

.

12. Comme Q1 = Cp(T3 T2) et Q2 = Cp(T1 T4) sur ces deux transformations isobares, on peut endeduire lexpression du rendement = 1 T4T1T3T2 . Nous savons deja` que T2 = 429 K. Par la loi de LaplaceT4 = T3(

P2P1)1 = 630 K. On en deduit que = 31, 8% .

13. Nous avons deja` ecrit T4 = T3(P2P1)1 mais nous avons aussi T2 = T1(

P1P2)1 . Dans lexpression du

rendement, on peut remplacer T4 et T2 par ces expressions, et en factorisant il vient = 1(P2P1

) 1

; on

trouve (heureusement) la meme valeur du rendement, a` savoir 31, 8%.

D. Etude du deuxie`me dispositif.

14. Les diagrammes quon obtient sont assez voisins de ceux vus avant. En effet, les transformations danslechangeur a` deux flux sont isobares. Les points 2, 3 et 4 se situent sur la meme droite horizontale en diagrammeP = f(V ) et sur la meme exponentielle croissante en diagramme T = f(S). Il en est de meme pour les points5, 6 et 1. Voir la figure 5.

V

P

b

b b

b

b

b1

23

4

56

a)

S

T

b

b

b

b

b

b

1

2

3

4

5

6

b)

Fig. 5 Diagramme de Clapeyron et diagramme entropique - Cas de lechangeur a` deux flux

15. Les transferts energetiques avec lexterieur sont toujours definis sur les memes etapes. Le rendement est

donc toujours = 1 +Q2/Q1. On a donc = 1 T6T1T4T3 .16. On a toujours T1 = 293 K, T2 = 429 K, T4 = 923 K. Par consequent en appliquant la loi de Laplace

sur la detente dans la turbine, il vient (comme dans la partie precedente) T5 = 630 K. Lechangeur thermiqueest ideal, la variation denthalpie totale est nulle. Par consequent, on a comme avant T3 T2 = T5 T6 etcomme on fait lhypothe`se que lechangeur est suffisamment bon, on a T3 = T5 et T2 = T6. Cela permet de

calculer le rendement et on trouve = 53, 6% . Cette valeur est superieure a` la precedente, ce qui est logique

puisque le syste`me rejette moins denergie a` lexterieur (Q2). Une partie de cette dernie`re a permis delever la

temperature du fluide avant dentrer dans la chambre de combustion, economisant ainsi du gaz utilise pour

cette combustion.


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