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ECE2 Programme d'interrogations orales nº 1 Semaine du 23 au 28 septembre 2019
1. Problèmes de sommation : Notations et propriétés des sommes finies.
: Double sommation et interversion de l'ordre de sommation.
: Formules classiques( 1, 2 ou 3
1
n
k
k , géométrique , quatrième identité remarquable ...n na b )
:Raisonnement par récurrence (différentes versions et exemples). 2. Suites classiques (révision de 1 ère année) : Arithmétiques, géométriques, arithmético- géométriques : Suites récurrentes linéaires doubles (résultats et idées pour généraliser à des : Récurrences linéaires d'ordre supérieur (3,4…)). 3. Convergence des suites réelles (révision 1 ère année: cf poly) : Vocabulaire des valeurs approchées : Définitions et propriétés de la convergence (unicité, bornitude , encadrement par a et b tels que lim n
na u b
, suites extraites , valeurs absolues, ( )n nv f u , …) : limites
: Opérations sur les limites ( et suites bornées) et croissances comparées( version suites) : Convergence et relation d'ordre dans (en particulier théorèmes d'encadrement)
4 . Fonctions de référence (révision 1 ère année: cf poly) : Définitions, propriétés( variations ,limites, formules …) et allures des graphes pour les fonctions : . Ln . Exp . de Riemann ou puissances ln( pour 0 )xx x e x
5. Négligeabilité et équivalence ( et ) Négligeabilité : Négligeabilité pour les fonctions : définitions (cas général et cas de non nullité) : CC traduites en termes de négligeabilité : Changement de variable à l’intérieur d’un o (par une fonction ou par une suite) : Propriétés et opérations ( somme , multiplication , produit , transitivité) : Opérations fausses( sommes "dans les o", composition) : Notions analogues pour les suites Ce qui suit seulement à partir de mecredi : Equivalence : Equivalence pour les fonctions : définitions (cas général et cas de non nullité) : Changement de variable à l’intérieur d’un (par une fonction ou par une suite) : Propriétés( signes , limite finie non nulle ,
0
si ( )x
f g équivalent de f g )
: DL d'ordre 1 pour 0 continue et dérivable en f x .
: Notions analogues pour les suites : Opérations et propriétés des ( transitivité, produit, inverse, puissance ) : Opérations fausses (somme, composition) Devinette de la semaine : "On donne les 3 fonctions f , g et h définies par : 3 ( )f x x , 2 ( ) ln( )g x x x et 4 ( ) ln( )xh x x e x . a) Comparer, quand x ,ces 3 fonctions deux à deux au sens de la négligeabilité. b) Même question quand 0x . "
ECE2 Programme d'interrogations orales nº 2 Semaine du 30 septembre au 4 octobre 2019
Tout ce qui était au programme précédent : Problèmes de sommation et suites classiques Convergence des suites réelles Fonctions de référence cf prog.précédent et particulièrement 1. Négligeabilité et équivalence ( et ) cf prog.précédent Plus : composition exceptionnelle des par Ln
: équivalents classiques ( en 0 : Ln(1+x) , 1x
e - , ( )1 1xa
+ - )
: utilisation des équivalents 2. Calcul matriciel
: Matrice opérations sur les matrices (dont la transposition) et diverses propriétés en particulier non intégrité du produit matriciel. : Matrices carrées, symétriques, triangulaires supérieure ou inférieures, diagonales, scalaires, puissances d'une matrice carrée : Newton. : Polynômes de matrices et polynômes annulateurs (existence et recherche élémentaire)
: Révision de de 1ère année .Résolution des systèmes linéaires et MPG :( n équations et p inconnues) (cf programme de 1ère année) NB: Pour l'instant : Pas d'inversibilité. Et en question uniquement cette semaine : 3 .Séries Vocabulaire et définitions : somme partielle , terme général , convergence , somme de la série (notations , ,n nu S S …., ; exemples d'étude directe par nS )
Propriétés : Condition nécessaire de convergence ( 0nu )
: Deux séries qui ne diffèrent que par un nombre fini de termes sont de même nature. : Opérations sur les séries convergentes
: Définition et propriétés du reste partiel nR ( 1
, , 0n k n n n nk n
R u R S S R
)
Devinette de la semaine : "Déterminer toutes les séries dont le terme général de rang n est la moitié du reste partiel de rang n "
ECE2 Programme d'interrogations orales nº 3 Semaine du 7 au 12 octobre 2019
Tout ce qui était au programme précédent : Négligeabilité et équivalence ( et ) , Séries , Calcul matriciel (et Résolution des systèmes linéaires et MPG ). Plus : 1. Calcul matriciel suite:
Définition de l’inversibilité
: Propriétés (unicité , involution , transposée , produit , simplification …) : Interprétation matricielle d'un système linéaire, Th : un système est de Cramer ssi sa matrice est inversible : Méthode pratique par MPG d'inversion d'une matrice Autres méthodes pratiques d'inversion de matrice : résolution d'un système associé avec seconds membres quelconques : utilisation d'un polynôme annulateur
1. Séries suite: Séries à termes positifs : Propriété fondamentale ( ( )nS ; majoréenCV S )
: Comparaison d'une série et d'une intégrale ( 0 , , continue et ( )nf u f n )
en application : Séries de Riemann : critères de comparaison ( et o ) : critère équivalence
: Convergence absolue (intérêt pour un T.G. variant en signe)
: Exercices classiques : Recherche de ( nu ) pour ( )nS donnée (séries télescopiques)
: Séries alternées (exemples de séries semi-convergentes)
Devinette de la semaine : " Soit A, B M n ( ). Peut-on affirmer: ( A B est inversible et A B sont inversibles ) ?"
ECE2 Programme d'interrogations orales nº 4 Semaine du 14 au 19 octobre 2019
Tout ce qui était au programme précédent : Négligeabilité et équivalence ( et ) ,matrices , séries En particulier 1. Calcul matriciel (et Résolution des systèmes linéaires et MPG ), Inversibilité.
2. Séries (suite): : Convergence absolue (intérêt pour un T.G. variant en signe)
: Exercices classiques : Recherche de ( nu ) pour ( )nS donnée (séries télescopiques)
: Séries alternées (exemples de séries semi-convergentes)
Séries de référence : Séries géométriques et dérivées ( plus : séries géométriques dérivées d'ordre 3(HP!!) : séries apparentées ( ) nP n r où P X )
: Séries exponentielles
3. Espaces vectoriels (algèbre linéaire) . Définitions et généralités : structure d'espace vectoriel (e.v.), règles de calcul, notion de combinaison linéaire et propriétés.
. Exemples fondamentaux : (Ω , ) ; X ; M ,n p ( ) (ou M n ( ) ) ; ;
n (cas particuliers 2 , 3 ,…) etc…. ( s.e.v. de ceux-ci , par ex. : C 0 , C k , C , n X , … )
Devinette de la semaine : " On suppose que la STG na converge. Est-il légitime d'affirmer que la STG 2
na converge ?
La question est -elle modifiée si on suppose de plus 0na "
ECE2 Programme d'interrogations orales nº 5 Semaine du 4 au 9 novembre 2019
Tout ce qui était au programme précédent : Négligeabilité et équivalence ( et ) ,matrices , séries En particulier 1. Calcul matriciel (et Résolution des systèmes linéaires et MPG ), Inversibilité.
2. Séries (suite): Séries de référence.
3. Espaces vectoriels (algèbre linéaire) . Définitions et généralités : structure d'espace vectoriel (e.v.), règles de calcul, notion de combinaison linéaire et propriétés.
. Exemples fondamentaux : (Ω , ) ; X ; M ,n p ( ) (ou M n ( ) ) ; ;
n (cas particuliers 2 , 3 ,…) etc…. Plus . Sous espaces vectoriels : définition par stabilité : un s.e.v. est un e.v. : s.e.v. des e.v. fondamentaux ( par ex. : C 0 , C k , C , n X , … )
. Sous espace vectoriel engendré s.e.v. engendré par une famille de vecteurs (noté 1 2( , ,..., )nvect e e e )
et propriétés : ( 1 2( , ,..., )nvect e e e est un s.e.v. , ( , ) ( ) ( )vect F vect F vect F ,...).
. Intersection de s.e.v. NB: chaque élève sera interrogé sur le thème des e.v. (question de cours ou exercice d'application (ex: décomposition linéaire dans l'un des exemples fondamentaux ou s.e.v. ou….)) Devinette de la semaine :
" On considère l’espace vectoriel des suites de nombres réels.
L'ensemble des suites qui convergent vers zéro en est-il un sous-espace vectoriel? Même question avec bornées ? croissantes ? admettant une limite ? arithmétiques ? géométriques? "
ECE2 Programme d'interrogations orales nº 6 Semaine du 11 au 16 novembre 2019
TOUT ce qui était au programme précédent 1. Séries cf prog. précédent 2. Espaces vectoriels (algèbre linéaire)cf prog. précédent . Définitions et généralités . Exemples fondamentaux
.Sous espaces vectoriels
Plus . Applications linéaires (ou homomorphisme d'espace vectoriel ) : Définitions (l'image d'une somme et la somme des images, l'image d'une combinaison linéaire...) : Règles de calcul ( (0 )E Ff O , …)
: Exemples (application nulle , Eid , homothétie , sur (Ω , ), ,…)
vocabulaire (endo , iso, auto et forme linéaire) , notations L (E,F) , L (E) . Et à partir de mercredi seulement : : Composition d'applications linéaires. : cas particulier des endomorphismes ( puissances , GL(E) , Newton …) : L (E,F) est un espace vectoriel. : Noyau et image , propriétés (en particulier caractérisation de l'injectivité (respectivement de la surjectivité)) Devinette de la semaine : " On considère un e.v. E et f un endomorphisme de E tel que 2f f f f .
Expliciter nf pour 3n et ( )nEid f pour n "
ECE2 Programme d'interrogations orales nº 7 Semaine du 18 au 23 novembre 2019
Tout ce qui était au programme précédent 1. Espaces vectoriels (algèbre linéaire)cf prog. précédent . Applications linéaires (ou homomorphisme d'espace vectoriel ) Plus . Famille génératrice d'un e.v. ( ou d'un s.e.v.) : définition : propriétés et exemples ( vecteur inutile , familles canoniques, ...)
. Famille libre : définition : caractérisation par unicité de l'écriture. : propriétés élémentaires (pas de vecteurs nuls, pas de répétition, famille d'un seul vecteur, de deux vecteurs ,…) . Bases : définition (existence et unicité de l'écriture) et notion de coordonnées d'un vecteur . . Cas des bases canoniques dans les e.v. n , n X , M ,n p ( ) (ou M n ( ) ) .
. Détermination d'une application linéaire : toute application linéaire est complètement déterminée par la donnée arbitraire des images des vecteurs d'une base (de l'e.v. de départ) alors 1 2Im ( ( ), ( ),..., ( ))nf vect f e f e f e .
2. Espaces probabilisés( révision de première année) Chaque étudiant sera interrogé sur une question de cours ou un exercice simple et court ( <15min) sur ce thème (sans variables aléatoires cette semaine)
: Espace probabilisable ( W, ) et définition d'une probabilité, espace probabilisé ( W, , P).
: Règles de calcul probabiliste (union disjointe, union, différence, croissance, Poincaré,....). : Système complet d'événements.
: Théorème de la continuité monotone d'une probabilité, (suite ou d'évts, interprétation, exemples d'application …).
.Probabilité conditionnelle : Définition. : Une probabilité conditionnelle est une probabilité (conséquences importantes). Modélisation des probabilités conditionnelles. : Formule de probabilités séquentielles ou composées.
: Formule des probabilités totales ( 2 cas et 2 versions !!).
: Formule de Bayès . . Indépendance : Indépendance de deux événements. Modélisation de l'indépendance. Si etA B sont indépendants alors etA B indépendants.Indépendance mutuelle d'une famille d'événements (formule pour un "paquet" quelconque ). Indépendance mutuelle indépendance 2 à 2 . (réciproque fausse).
ECE2 Programme d'interrogations orales nº 8 Semaine du 25 au 30 novembre 2019
Tout ce qui était au programme précédent ( Espaces vectoriels, Probabilités ) Plus 1. Espaces vectoriels (algèbre linéaire)cf prog. précédent
. Notion de dimension : Espace vectoriel de dimension finie , définition et existence d'une base finie : Th de la dimension (dans un e.v. possédant une base de cardinal fini n ) a) libre cardinal n ; génératrice cardinal n b) base libre et cardinal = n génératrice et cardinal = n c) toutes les bases ont le même nombre ( n ) de vecteurs. . Applications de la notion de dimension : dimension et applications linéaires: Th du rang (ou noyau image) Th de caractérisation des isomorphismes : matrice d'une famille de n vecteurs dans une base donnée. (Caractérisation d'une base (matrice de passage)) .
2. Espaces probabilisés cf prog.précédent plus : Variables aléatoires réelles ( v.a.r. ou v.a. ): (révision de 1 ère année)
.Cas général. Définition, notations , X . Fonction de répartition XF .
.Variables aléatoires discrètes . Loi d'une v.a. discrète , fonction de répartition XF
d'une v.a. discrète .
. Espérance et Moment d'ordre 2 , variance , écart-type .
NB: L'accent sera mis cette semaine sur les probabilités(et chaque étudiant aura au moins une partie de sa colle sur ce thème). Cependant le Th de transfert et les lois usuelles ne sont pas encore au programme.
Riddle of the week ( this week in english) "An urn contains M balls, m of which are "lucky." We ask for the probability that the second ball drawn is lucky (assuming that the result of the first draw is unknown)"
ECE2 Programme d'interrogations orales nº 9 Semaine du 2 au 7 décembre 2019
Tout ce qui était au programme précédent : Espaces vectoriels (algèbre linéaire) ( en particulier: Th du rang (ou noyau image) et Th de caractérisation des isomorphismes ) Espaces probabilisés (et Variables aléatoires réelles) cf. prog. précédent Plus 1) Espaces vectoriels
: matrice d'une famille de n vecteurs dans une base donnée. (caractérisation d'une base (matrice de passage)) . : formules de changement de bases pour les coordonnées d'un vecteur ( 'Z PZ ) . 2) Variables aléatoires réelles
Lois usuelles discrètes : modélisations et propriétés des lois suivantes : . FINIES : Uniforme sur un ensemble qq U 1, , nx x , cas-part U 1, n .
: Bernoulli B (1 , p ) .
: Binomiale B ( n , p ) .
. INFINIES : Loi géométrique ( )G p ( temps d'attente , lien avec ( )G p , absence de
mémoire)
: Loi de Poisson P ( ) ( 0 , sans modélisation )
Devinette de la semaine :
" Déterminer toutes les v.a.r discrètes X telle que la loi de 2
X soit identique à la loi de X "
ECE2 Programme d'interrogations orales nº 10 Semaine du 9 au 14 décembre 2019
Tout ce qui était au programme précédent 1) Espaces vectoriels (algèbre linéaire)cf prog. précédent 2) Espaces probabilisés et VAR cf prog. précédent en particulier Lois usuelles discrètes Plus : 1) Espaces vectoriels (algèbre linéaire). . Applications de la notion de dimension : matrice d'une famille de n vecteurs dans une base donnée. (Caractérisation d'une base (matrice de passage)) . : formules de changement de bases pour les coordonnées d'un vecteur( 'Z PZ ) . . Représentation matricielle des applications linéaires de L (E,F) (des bases étant choisies) : Définition (taille (n,p) si dim E = p et dim F = n ) : Cas particulier des endomorphismes : une seule base ! ! ! : Matrices de g f , f et g f : Isomorphisme entre L (E,F) et M ,n p ( ) , entre L (E) et M n ( ) .
. Diverses conséquences : par exemple dans L (E) :
. ( ) , ( ) 0E n Emat id I mat , …
. f , g commutent mat(f) , mat(g) commutent . f automorphisme mat(f) inversible alors 1 1( ) ( ( ))mat f mat f . etc….nilpotence , polynômes annulateurs , …. . formule de changement de bases pour la matrice représentative d'un endomorphisme. ( 1'A P A P ) Devinette de la semaine : " Soit E un e.v. de dimension n , muni d' une base B . Que dire d'un endomorphisme gL (E) tel ( )Bmat g ait toutes ses colonnes proportionnelles ?
Même question avec toutes ses lignes proportionnelles? "
ECE2 Programme d'interrogations orales nº 11 Semaine du 16 au 21 décembre 2019
Tout ce qui était au programme précédent 1) Espaces vectoriels (algèbre linéaire)cf prog. précédent En particulier : Formule de changement de bases pour la matrice représentative d'un endomorphisme. ( 1'A P A P ) 2) Espaces probabilisés et VAR cf prog. précédent En particulier : Lois usuelles discrètes 3) Suite de la forme 1" ( ) "n nu f u :
(c'est-à-dire vérifiant une relation de récurrence stationnaire d'ordre 1) . Les idées suivantes sont à connaitre, mais ne sont pas explicitement au programme ( sauf le deuxième concernant les points fixes) . Démonstrations à savoir refaire !!! : utilisation d'un intervalle stable : valeur éventuelle de la limite (point fixe) : signe de f(x)-x : cas où f : cas où f
: Arguments supplémentaires pour la convergence
Devinette de la semaine : " Soit X P une v.a.r suivant des lois de Poisson.
X a-t-elle plus de chance de prendre une valeur paire ou au contraire une valeur impaire ? "
Bonnes fêtes et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques
ECE2 Programme d'interrogations orales nº 12 Semaine du 7 au 12 Janvier 2020…bonne année.
Tout ce qui était au programme précédent Espaces vectoriels (algèbre linéaire) Variables aléatoires réelles Plus :
1. Suite de la forme 1" ( ) "n nu f u cf prog. précédent
2. Couple ou vecteur aléatoire dans 2
. Définition, variables marginales, couple fini ou discret. . Loi conjointe (définition, présentation en tableau (pour un petit nombre de valeurs !), propriétés, intérêt,...) . Lois marginales et comment les obtenir à partir de la loi conjointe.
. Liens réciproques entre Loi et fonction de répartition. . Applications à l'étude d'Inf et de Sup. . Loi d'une somme de deux variables aléatoires discrètes (
,
( ) ( et )x y
tq x y s
P S s P X x Y y
)
BONNE ANNEE 2020!!
ECE2 Programme d'interrogations orales nº 13 Semaine du 14 au 19 Janvier 2020
Tout ce qui était au programme précédent 1. Suite de la forme 1" ( ) "n nu f u cf prog. précédent
2. Couple ou vecteur aléatoire dans 2 Plus : Couple ou vecteur aléatoire dans 2 suite: . Loi d'un transfert . Espérance : Linéarité, Th.de transfert simple et Th.de transfert double. . Moment d'ordre 2 , variance : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev .
Liens de dépendance entre Variables aléatoires discrètes . Indépendance entre Variables aléatoires discrètes . Covariance, corrélation (définition, propriétés, cas de l'indépendance). . Variance d'une somme, d'une différence (cas de l'indépendance).
. Calcul pratique de E(X), V(X),E(Y),V(Y), E(XY) ( par transfert double ) , cov(X,Y) , (X,Y) et étude de l'indépendance de X et Y à partir de la loi conjointe
( ou de façon équivalente à partir du tableau) Plus: En préparation du cours de 2nde année sur les compléments de calcul intégral: 3. Calcul intégral ( cf poly résumé de 1ère année) Chaque élève sera interrogé sur une question de cours ou un calcul très simple (calcul d'intégrale , primitives usuelles, encadrement, intégration par parties, ...) (pas plus de 10 minutes) Devinette de la semaine : " Proposer deux exemples de lois conjointes différentes où cependant, dans les deux cas, les v.a.r
,X Y B 1
1,2
( ce qui revient aussi à dire ,X Y U 0,1 )"
ECE2 Programme d'interrogations orales nº 14 Semaine du 21 au 26 Janvier 2020
Tout ce qui était au programme précédent 1. Suite de la forme 1" ( ) "n nu f u cf prog. précédent
2. Couple ou vecteur aléatoire dans 2 cf prog. précédent Plus :
. Lois Binomiales B ( n , p ) : Propriété d' éclatement ( 1 2 ... nX X X X )
: Propriété de stabilité .
. Lois de Poisson P ( ) ( 0 ) : Propriété de stabilité .
3. Calcul intégral( cf poly résumé 1ère année) Primitives, intégrales, propriétés (linéarité, Chasles, positivité...).Intégrales des fonctions continues par morceaux. Intégrale fonction de sa borne supérieure. Recherche de primitives. Intégration par parties et changement de variables. Sommes de Riemann.
4. Intégrales impropres ( similitude presque complète avec les séries ) Intégrales impropres à distance infinie :
. ( )a
f t dt
où f est continue sur ,a . ( )a
f t dt et ( )f t dt
. Intégrales des fonctions de Riemann ( 1
1ssi 1dt CV
t
) .
Intégrales impropres à distance finie :
. ( )b
af t dt où f est continue ou c.p.m. sur ,a b ou ,a b .
. exemples , intégrales faussement impropres ( f prolongeable par continuité !!) . . Intégrales plusieurs fois impropres .
. Riemann à distance finie ( 1
0
1ssi 1dt CV
t )
Propriétés des intégrales impropres : . Linéarité , Positivité , Chasles , intégrales impropres des fonctions paires et impaires . Liens de la convergence avec
lim ( )
bx
f x
; à savoir en particulier :
à distance finie : lim ( )x b
f x
existe dans l’intégrale est faussement impropre donc CV
à distance infinie : lim ( )
0x
f x ou
l’intégrale DIV
Devinette de la semaine : "En dessinant le graphe de ma fonction :f deux fois continûment dérivable j'ai fait une grosse tache d'encre noire... A votre avis, laquelle des trois intégrales ci-dessous est
forcément positive ? 2
1( )f t dt ,
2
1( )f t dt ou
2
1( )f t dt . "
ECE2 Programme d'interrogations orales nº 15 Semaine du 27 Janvier au 1 février 2020
Tout ce qui était au programme précédent . Couple ou vecteur aléatoire dans 2 .Calcul intégral( cf poly résumé 1ère année) . Intégrales impropres cf prog. précédent Plus 1. Intégrales impropres ( similitude presque complète avec les séries ) . Critères de convergence des intégrales impropres des fonctions ≥ 0 : C.N.S. de convergence (l' intégrale partielle (qui est ) est majorée ) : Critères de comparaison ( globale ( ) et locale(o) ) , critère d'équivalence( ) . : Exemples de comparaison avec les intégrales de Riemann . : Convergence absolue . Idées et exemples pour l'I.P.P. et le C.V. dans une intégrale impropre 2. En préparation du cours de 2nde année sur "réduction des endomorphismes et des matrices carrées": en question de cours : . Révision du chapitre précédent d'algèbre linéaire :Représentation matricielle des applications linéaires : Formules de changement de bases Devinette de la semaine :
" Donner de tête une primitive de ln( )x
xx
, 2
xx x e
,
x
ex
x ,
2
2 2
2 7
( 7 5)
xx
x x
et 2
1
2 4 19
xx
x x
"
ECE2 Programme d'interrogations orales nº 16 Semaine du 3 au 8 février 2020
Tout ce qui était au programme précédent 1 .Calcul intégral( cf poly résumé 1ère année)
2. Intégrales impropres ( similitude presque complète avec les séries ) cf prog. précédent et spécialement . Idées et exemples pour l'I.P.P. et le C.V. dans une intégrale impropre Plus 3. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées . Révision du chapitre précédent d'algèbre linéaire : Représentation matricielle des applications linéaires : Formules de changement de bases : Matrices semblables. .Eléments propres : Valeurs propres, vecteurs propres, propriétés et exemples. : Sous-espaces propres E , définition et propriétés.
: Caractérisation des valeur propres : 0EKer id
;
: non injective( non surjective, non bijective ) ;
si ( )BA mat : A I non inversible ;
: " "AX X n'est pas de Cramer . : cas de la valeur propre 0 ( A non inversible ) . Réduction des endomorphismes : Propriétés des vecteurs propres : des vecteurs propres associés à des valeurs propres différentes forment une famille libre .
: La concatenation de familles libres de vecteurs propres
associéees a des valeurs propres distinctes forme une famille libre.
: l'union de base des sous espace propre est libre . : conséquence sur les dimensions. NB : Rien de plus cette semaine, en particulier pas de diagonalisation autonome systématique. On pourra par contre, pour des endomorphismes, proposer des changements de base intéressants. Devinette de la semaine :" "E l'ensemble des fonctions f réelles, définies et continues sur 0, tq pour tout x > 0,
0( )x te f t dt
soit absolument convergente. E est-il un sous espace vectoriel réel de
l'espace vectoriel des fonctions réelles? "
ECE2 Programme d'interrogations orales nº 17 Semaine du 2 au 7 mars 2020
Tout ce qui était au programme précédent 1. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées Plus . Réduction des endomorphismes : Diagonalisabilité : définition :
: C.N.S. 1
dim dimi
p
i
E n E
.
: C.S. ( non nécessaire, réciproque fausse ) ( n valeurs propres ). . Réduction des matrices carrées A M n ( )
: Définition des vecteurs propres (M ,1n ( ) ou n ) et valeurs propres d'une matrice.
: Caractérisation des valeurs propres : A I non inversible : " "AX X n'est pas de Cramer . : cas triangulaire , diagonale , cas 0 . : Liens endomorphismes matrices. : Diagonalisabilité d'une matrice carrée : définition : C.N.S. et C.S. : 2 cas classiques : A admet une seule valeur propre . : A est symétrique. : Utilisation des polynômes annulateurs. . Applications diverses (en particulier, puissance d'une matrice). 2 . Variables aléatoires à densité ( Révisions de 1ère année ) Rien de plus que ci-dessous pour l'instant .Variable aléatoire a densité : Variable aléatoire à densité X et densité de probabilité f , (définitions , exemples et propriétés) : Propriétés et caractérisation de la fonction de répartition XF d'une v.a. à densité
( cas général + 0 1( ) , snfpC C ) . : liens réciproques entre Xf et XF .
: ( )X dans le cas continu . : Règles de calcul probabiliste avec les variables aléatoires à densité ( ne charge pas les points ,
( ) ( ) ( ) ( )b
aP a X b F b F a f t dt , ( ) 1 ( ) ( )
aP a X F a f t dt
, …)
: Loi d'une fonction (simple) d'une variable aléatoire a densité (transfert) ( cas 2, , XY X Y X Y e ; idée générale : on exprime YF en fonction de XF )
Devinette de la semaine :"Soit A une matrice2x2, à coefficients réels. Vrai ou Faux ? :
i) Si A admet une valeur propre réelle, alors A est diagonalisable dans . ii) Si A admet une seule valeur propre, alors A est la matrice d'une homothétie. iii)Si A n'est pas diagonalisable dans , alors A admet une seule valeur propre.
iv) Si A admet au moins deux vecteurs propres distincts, alors A est diagonalisable. "
ECE2 Programme d'interrogations orales nº 18 Semaine du 9 au 14 mars 2020
Tout ce qui était au programme précédent 1. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées TOUT :cf prog.précédent 2 .Variables aléatoires à densité Plus . Moments des variables à densité : Définition des moments d'ordre 1 , 2 (ou r ) : Espérance, variance, propriétés ( en particulier Huygens ). . Lois continues classiques : Loi uniforme U , ,a b a b ( ne pas confondre avec U , ,a b a b !!!).
( 2
( ) , ( )2 12
a b b aE X V X
, transfert affine d'une loi uniforme )
: Loi exponentielle E ( ) ,
( 2
0 si 0 1 1( ) , ( ) , ( ) , absence de mémoire
1 si 0x
xF x E X V X
e x
)
Lois Normales N 2,m , 2,m et Normale centrée réduite N 0,1
Propriétés des lois normales : U N 0,1 X m U N 2,m et plus généralement
transfert affine d'une loi normale. : Stabilité des lois normales (retrouver les paramètres de la somme grâce à l'espérance et la variance .) : espérance et variance (bon choix des notations !!! ) . : allures de etf F .
: propriétés de ( la fonction de répartition de N 0,1 )
( ) ( ) 1 ( ) et ) si 0 ( ) 2(1 ( ) )i x x ii a P X a a ) et à partir de Jeudi seulement : Définition de la convergence en loi , approximation de lois et Th. de la limite centrée .
: Convergence en loi de ( , )nn
B vers ( )P .
Devinette de la semaine : " La densité de probabilité d’une variable aléatoire X est donnée par 2( )f x hx si 0 1x et ( ) 0f x sinon. (h est une constante à déterminer).Parmi les propriétés suivantes , dire lesquelles sont vrai:
i) h = 2 ii) h = 3 iii) E(X) = 0,5 iv) E(X) = 0,75 v) P(X < 0,5) < 0,5 "
