Electro-acoustiqueContenu pedagogique du Projet

UNIT 2012-2013-

M3G3 : transduction electrostatique-

Universite du MaineLAUM Le Mans

CNAM ParisEPFL lausanneLMA MarseilleECM Marseille

9 novembre 2012

1 Introduction

Le principe de transduction electrostatique repose sur les interactions electro-mecaniques entreles deux armatures d’un condensateur dont l’une est mise en vibration par l’onde sonore tandisque l’autre reste immobile. Ce principe est assez ancien puisque que E. C. Wente a developpe lepremier microphone electrostatique � moderne � en 1917. De nos jours, ce type de transductionest encore tres largement utilise. Ainsi, des microphones electrostatiques sont commercialisespour les domaines d’applications suivants : mesure acoustique, prise de son, prothese auditives,telephonie, multimedia... Il est a noter que la relative simplicite de ce principe a grandementfavorise sa miniaturisation permettant son utilisation pour la realisation de micro-systemeselectromecaniques (MEMS).

2 Generalites et rappels

2.1 Rappels sur le condensateur

2.1.1 Charge d’un condensateur

Considerons un condensateur plan constitue de deux electrodes fixes de surface S separees parun isolant electrique (encore appele dielectrique) d’epaisseur d0. Ce condensateur est connecte aune source de tension electrique continue generant une difference de potentiel U0. La resistanceRc apparaissant sur la figure 1 represente la resistance totale du circuit (resistance interne de lasource de tension, resistance des connexions electriques et, le cas echeant, resistance de chargeinseree dans le circuit).

1

+−U0

i

Rc

C0

Figure 1 – Capacite C0 alimentee par une source de tension continue U0 et chargee par uneresistance Rc.

Lorsque le condensateur est connecte a la source de tension electrique (interrupteur ferme), lescharges negatives (electrons) se deplacent le long du circuit ferme et viennent s’accumuler surl’electrode en contact avec la borne negative de la source de tension. La quantite de chargesnegatives accumulees sur cette electrode est notee −q. A l’oppose, l’electrode connectee a laborne positive de la source de tension cede des electrons en quantite egale. Tout se passe commesi cette electrode accumulait autant de charges positives, dont la quantite est notee +q.Ce processus ralentit a mesure que les charges s’accumulent sur les electrodes et s’arrete lorsquela difference de potentiel u c(t) aux bornes du condensateur est egale a celle imposee par la sourcede tension continue (u c(∞) = U0).

2.2 Capacite d’un condensateur

Le rapport entre la quantite de charge q accumulee sur l’electrode positive et la difference depotentiel U0 entre les deux electrodes du condensateur s’appelle la capacite electrique C0 ducondensateur :

C0 =q

U0

. (1)

La capacite est une grandeur toujours positive s’exprime en Farad.Plus la capacite d’un condensateur est grande, plus la quantite de charges q emmagasineessur l’electrode positive de ce condensateur est importante pour une tension de polarisation U0

donnee. Autrement dit, plus la capacite d’un condensateur est grande, plus la tension electriqueobtenue a ses bornes est petite pour une quantite de charges accumulee donnee.La capacite d’un condensateur depend des caracteristiques geometriques du condensateur (sur-face des electrodes et distance inter-electrodes) ainsi que des proprietes de l’isolant electriquecompris entre les deux electrodes. Ce dernier est caracterise par sa constante dielectrique (oupermittivite) ε. Pour un condensateur plan (cf. figure 2), la capacite C0 est donnee par la loisuivante :

C0 =εS

d0. (2)

2.3 Force electrostatique

Les deux electrodes d’un condensateur charge portent chacune une quantite egale de chargeselectriques de signes opposes. Elles sont alors soumises a une force electrostatique et s’attirentmutuellement. La force electrostatique qui s’exerce entre les deux electrodes du condensateurplan s’ecrit :

Fe =1

2

q2

C0d0. (3)

2

Distance inter-electrodes d0

Dielectrique de permittivite ε

Electrode de surface S

Figure 2 – Schema de principe d’un condensateur plan.

2.4 Principe general de la transduction electrostatique

2.4.1 Description d’un transducteur electrostatique

La transduction electrostatique est classiquement mise en œuvre grace a l’utilisation d’uncondensateur a capacite variable.Dans sa version la plus simple, ce condensateur est constitue de deux electrodes planes. Unede ces electrodes est mobile et peut s’approcher ou s’eloigner de la seconde electrode qui, elle,reste fixe.Une fois ce condensateur insere dans un circuit electrique de polarisation, ses deux electrodessont porteuses de charges electriques de signes opposes. Il en resulte, d’une part, l’existenced’une difference de potentiel entre ces deux electrodes et, d’autre part, l’existence d’une forceelectrostatique qui attire les deux electrodes l’une vers l’autre.

+−U0

Rc

Electrode mobileElectrode fixe

⊕⊕⊕⊕⊕⊕

Charges electriques negatives

Charges electriques positives

Figure 3 – Schema de principe d’un transducteur electrostatique

2.4.2 Principe du capteur electrostatique

Lorsqu’une onde acoustique met en vibration l’electrode mobile, l’ecartement entre les deuxelectrodes varie. Il en resulte une variation de la capacite electrique presentee par le condensa-teur (cette capacite etant fonction de la distance inter-electrodes). La variation de capacite setraduit par une variation de la tension electrique aux bornes du condensateur. Cette variationde la tension est l’image electrique de la vibration de l’electrode mobile. Ce couplagemecano-electrique est a la base du principe du capteur electrostatique (microphone). Atitre d’exemple, la figure 4

3

Figure 4 – Microphone electrostatique 1 pouce de marque Bruel & Kjaer. A gauche : grillede protection du mircrophone, au centre : la grille de protection du microphone a ete retireelaissant apparaıtre l’electrode mobile, a droite : l’electrode mobile a ete retiree laissant aparaıtrel’electrode fixe.

2.4.3 Principe de l’actionneur electrostatique

Lorsque les deux electrodes du transducteur sont soumises a une difference de potentiel electrique,elles sont porteuses de charges electriques de signes opposes. Les deux electrodes sont alors sou-mises a une force electrostatique : elles s’attirent mutuellement.Une variation de la tension electrique aux bornes du condensateur se traduit par une variationde la charge electrique portee par les electrodes du condensateur. Cette variation de chargeinduit une variation de la force electrostatique. Ainsi, les deux electrodes sont plus ou moinsattirees l’une vers l’autre. Il en resulte une vibration de l’electrode mobile. Cette vibration estl’image mecanique de la variation de tension electrique imposee aux bornes du conden-sateur.Ce couplage electro-mecanique est a la base du principe de l’actionneur electrostatique(haut-parleur).

3 Equations de couplage electrostatique

Cette partie est dediee a l’etablissement des equations de couplage qui decrivent la transductionelectrostatique, dans le cas d’un actionneur (cas ou une excitation electrique met en mouvementl’electrode mobile du transducteur) et dans le cas d’un capteur (cas ou un mouvement del’electrode mobile genere un signal electrique).

3.1 Actionneur : Couplage electro-mecanique

3.1.1 Expression de la force electrostatique

Pour introduire l’equation de couplage electro-mecanique, les deux electrodes du transducteurelectrostatique sont considerees fixes dans un premier temps. Le transducteur electrostatiqueest alors un simple condensateur. Ce condensateur est connecte a un generateur de tensionvariable, de resistance interne Rg et de tension a vide u 0(t) (cf. figure 5)La tension electrique variable issue du generateur provoque une variation de l’etat electriquedu systeme qui se traduit par une variation de la quantite de charges emmagasinee sur leselectrodes et, donc, par une variation de la force electrostatique qui s’exerce entre les deuxelectrodes. Ainsi, les deux electrodes sont plus ou moins attirees l’une vers l’autre.

4

La quantite de charges variable emmagasinee sur les electrodes est notee :

q(t) = C0u c(t). (4)

Le module de la force electrostatique F e qui en resulte s’ecrit alors :

F e =1

2

q2(t)

C0d0. (5)

u0(t)

Rg

uc(t)

Figure 5 – Condensateur alimente par un generateur de tension alternative.

Cette expression traduit bien un couplage electro-mecanique, puisqu’un signal electrique va-riable genere une force qui est susceptible de mettre en mouvement l’electrode mobile d’untransducteur electrostatique. Cette transduction electro-mecanique est intrinsequement nonlineaire car la force resultante est proportionnelle au carre de l’excitation electrique : quel quesoit le signe de la quantite de charges q(t), la force electrostatique se traduit toujours par uneattraction mutuelle des electrodes.

3.1.2 Comportement non-lineaire du couplage electro-mecanique

Considerons la tension electrique excitatrice sinusoıdale u0(t) de frequence f0 delivree par legenerateur a vide :

u0(t) = ueff cos(ω0t), (6)

ou ueff est la valeur efficace de cette tension electrique et ou ω0 = 2πf0 est la pulsationcorrespondant a la frequence f0. En regime etabli, la charge electrique q(t) du condensateurvarie elle aussi de maniere sinusoıdale a la frequence f0 suivant la loi :

q(t) = C0u eff cos(ω0t+ ϕ0), (7)

ou ϕ0 = arctan(RgC0ω0) represente le dephasage entre la charge du condensateur q(t) et latension excitatrice u 0(t).La force electrostatique Fe qui s’exerce sur les deux electrodes s’ecrit alors :

F e(t) =1

2

q2(t)

C0d0=C0u

2eff

2d0cos2(ω0t+ ϕ0) =

C0u2eff

4d0[1 + cos 2(ω0t+ ϕ0)], (8)

Cette force comprend une composante continue et une composante fluctuant a la frequence 2f0.Dans le cas d’un actionneur electrostatique, la force electrostatique est responsable du deplacementde l’electrode mobile, elle-meme responsable du signal acoustique emis. Ainsi, une variation dela charge electrique a la frequence f0 entraine un signal acoustique a la frequence 2f0 : le systemeest non lineaire. La figure 6 represente l’evolution temporelle des signaux u 0(t), q(t) et F e(t)et permet d’illustrer le caractere non-lineaire de la transduction electrostatique.

5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1

0

1

u0(t

), (

V)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1

0

1x 10

−5

q(t)

, (C

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

Fe(t

), (

N)

Temps (s)

Figure 6 – Illustration de la non-linearite du couplage electrostatique. La courbe bleuerepresente u 0(t), la courbe rouge q(t) et la courbe noire F e(t). On remarque que la F e(t) ≥ 0et que F e(t) oscille a la frequence 2f0.

u0(t)

Rg

Cl

+−U0

Rc

uc(t) u(t)

Figure 7 – Condensateur alimente par un generateur de tension alternative et polarise parune tension continue U0. Le condensateur Cl permet de decoupler les deux alimentations.

3.1.3 Linearisation du couplage electro-mecanique

Il convient de lineariser le couplage electro-mecanique afin d’eviter son comportement nonlineaire. Une solution classiquement mise en œuvre est l’utilisation d’une tension continue depolarisation. Un circuit permettant de realiser la polarisation est fourni sur la figure 7. Enregime etabli, la tension uc(t) = U0 + u(t) aux bornes du condensateur comporte ainsi unecomposante continue U0 et une composante alternative u(t). La charge qc(t) = C0uc(t) ducondensateur comporte egalement une composante continue et une composante alternative :qc(t) = C0U0 + C0u(t) = Q0 + q(t).La force electrostatique qui s’exerce entre les electrodes s’ecrit alors :

Fe(t) =q2c (t)

2C0d0=

[Q0 + q(t)]2

2C0d0=Q2

0 + 2Q0q(t) + q2(t)

2C0d0. (9)

Soit encore :

Fe(t) =C0U

20

2d0+C0U0u(t)

d0+C0u

2(t)

2d0(10)

6

En pratique, la tension de polarisation est reglee de maniere a ce que U0 � u(t). Dans cesconditions, le terme quadratique en u2(t) est negligeable devant les termes contenant la tensionU0 et la force electrostatique devient

Fe(t) 'C0U

20

2d0+

C0U0u(t)

d0(11)

Le terme dans le cadre rouge correspond a la composante continue et provient de la polarisationtandis que le terme dans le cadre bleu est la composante alternative linearisee.

3.1.4 Prise en compte du deplacement de la membrane

Jusqu’a present, les deux electrodes du condensateur ont ete considerees comme fixes. Maisdans les faits, l’electrode mobile subit un deplacement ξ(t) du a la force electrostatique quis’exerce sur elle. Il convient de prendre ce deplacement en compte.A cause de ce deplacement ξ(t), la distance inter electrode d(t) varie en fonction temps et s’ecritd(t) = d0 − ξ(t) (cf. figure 8). Puisque la distance inter-electrode varie en fonction du temps,la capacite C(t) du condensateur varie elle aussi en fonction du temps, et s’ecrit :

C(t) =εS

d(t)=

εS

d0 − ξ(t)=εS

d0

1

1− ξ(t)

d0

= C01

1− ξ(t)

d0

(12)

En general, le deplacement ξ(t) est tres petit devant la distance au repos d0, ξ(t)� d0. Ainsi,la capacite C(t) peut s’ecrire :

C(t) = C0

(1 +

ξ(t)

d0

)(13)

O

d0d(t) ξ(t)

Electrode fixe

Electrode mobile

Uc(t

)

Figure 8 – Notations utilisees pour le transducteur electrostatique

La force electrostatique qui s’exerce entre les electrodes s’ecrit alors :

Fe(t) =q2c (t)

2C(t)d(t)=C(t)u2c(t)

2d(t)=εS

2

u2c(t)

d2(t), (14)

ou uc(t) = U0 + u(t), avec U0 la tension de polarisation et u(t) la tension variable, rappelonsque l’on a realise u(t) � U0 et qu’en general on a ξ(t) � d0. Dans ces conditions, la force Fe

peut encore s’ecrire :

Fe(t) =εS

2

[U0 + u(t)]2

[d0 − ξ(t)]2' εS

2

[U0 + u(t)]2

d20

[1 +

ξ(t)

d0

]2=C0

2

[U0 + u(t)]2

d0

[1 +

ξ(t)

d0

]2. (15)

7

Soit encore, apres developpement et en ne conservant que le 1er ordre des variables u(t) et ξ(t)(car u2(t)� u(t), x2(t)� x(t)) :

Fe(t) =C0U

20

2d0+

C0U0

d0u(t) +

C0U20

d20ξ(t) (16)

Le terme dans le cadre rouge correspond a la composante continue et provient de la polarisa-tion tandis que les termes dans le cadre bleu correspondent aux la composantes alternativeslinearisees.En ne conservant que la composante alternative, et en ecrivant que la vitesse v de la mem-

brane est la derivee temporelle du deplacement ξ, avec v =dξ

dt, l’equation de couplage electro-

mecanique s’ecrit en regime harmonique (d/dt⇒ ×jω) :

Fe =C0U0

d0u+

C0U20

jωd20v (17)

Soit encore

Fe = kb u+k2bjωC0

v (18)

ou kb = C0U0/d0 est le coefficient de couplage electrostatique.

3.2 Capteur : couplage electro-mecanique

Lorsqu’une onde acoustique met en vibration l’electrode mobile du transducteur electrostatique,l’ecartement d(t) entre les deux electrodes varie : d(t) = d0 − ξ(t), ou ξ est le deplacement del’electrode mobile. Il en resulte une variation de la capacite electrique du transducteur qui setraduit par une variation de l’etat electrique du circuit dans lequel il est insere. Le but de cettepartie est d’etablir l’equation de couplage mecano-electrique qui decrit ce phenomene.Le deplacement ξ entraine une variation de la capacite du transducteur suivant la loi :

C(t) =εS

d(t)=

εS

d0 − ξ(t)=εS

d0

1

1− ξ(t)

d0

= C01

1− ξ(t)

d0

(19)

En general, le deplacement ξ(t) est tres petit devant la distance au repos d0, ξ(t)� d0. Ainsi,la capacite C(t) peut s’ecrire :

C(t) = C0

(1 +

ξ(t)

d0

). (20)

La tension uc(t) aux bornes du transducteur electrostatique est la somme d’une tension depolarisation statique U0 et d’une composante variable u(t) : uc(t) = U0 + u(t). La chargeelectrique qc(t) = C(t)uc(t) du transducteur electrostatique s’ecrit alors :

qc(t) = C0U0 + C0u(t) +C0U0

d0ξ(t) +

C0

d0ξ(t)u(t). (21)

En negligeant les termes du second ordre, cette relation devient :

qc(t) ' C0U0 + C0u(t) +C0U0

d0ξ(t). (22)

8

En ne conservant que la composante alternative de cette equation, et en remarquant que l’in-

tensite i du courant electrique est la derivee temporelle de la charge qc(t), i =dqc(t)

dt= q, la

derivee temporelle de l’equation de couplage mecano-electrique s’ecrit :

i(t) ' C0u(t) +C0U0

d0v(t). (23)

En regime harmonique (d/dt⇒ ×jω), cette equation s’ecrit :

i ' jωC0u+C0U0

d0v = jωC0u+ kbv. (24)

3.3 Bilan des equations de couplage electrostatiques

En resume, les deux equations de couplage qui decrivent la transduction electrostatique sontles suivantes : Fe = kb u+

k2bjωC0

v

i = jωC0u+ kbv. (25)

Ces equations de couplage peuvent se mettre sous la forme du circuit electrique equivalentsuivant pour une utilisation de type capteur :

−C0

i

uFe

C0/k2b

v

kb : 1

ou sous la forme suivante pour une utilisation de type actionneur :

C0

i

u Fe

−C0/k2b

v1 : kb

9