P1PY3W02 DS Electromagntisme 1

Samedi 5 novembre 2011

dure : 1h30 - Documents non autoriss preuve de : J. Degert

lectrostatique dans latmosphre I. Champ et potentiel crs par une sphre uniformment charge en surface On considre une sphre de centre O, de rayon R et portant une charge q uniformment rpartie sur sa surface.

1) En utilisant les proprits dinvariance et de symtrie de la distribution, dterminer la direction du champ lectrique quelle cre, ainsi que les coordonnes dont il dpend.

2) laide du thorme de Gauss, calculer le champ lectrostatique EJG

lintrieur et lextrieur de la sphre.

3) En dduire que le potentiel lectrostatique cr par la sphre a pour expression en coordonnes sphriques (on prendra lorigine du potentiel linfini) :

0 0

pour , pour .4 4

q qV r r R V r r Rr Rpe pe t d

II. tude lectrostatique du systme Terre-atmosphre

Par beau temps, lensemble Terre-atmosphre se comporte comme un gigantesque condensateur sphrique qui peut tre modlis comme suit : la Terre est reprsente par une sphre

creuse de centre O, de rayon R1, portant une charge q uniformment rpartie sur sa surface ;

la haute atmosphre (lionosphre) est reprsente par une sphre creuse de rayon

2 1 ,R R d portant une charge q uniformment rpartie sur sa surface.

1) En utilisant les rsultats du I. 3) et le principe de superposition, calculer le

potentiel V r cr en tout point de lespace par ce condensateur. Reprsenter graphiquement .V r

2) En dduire lexpression de la diffrence de potentiel 2 1U V R V R entre les deux sphres.

3) La capacit dun condensateur est dfinie comme tant le rapport .qCU

R1

R2

O

M

x

y

z

q

q

r

Montrer que 0

1 2

4 .1 1C

R R

pe

4) Sachant que 2 1 1,d R R R montrer que la capacit C tend vers celle dun condensateur plan (on exprimera C en fonction de d, 0e et de la surface S de la Terre).

5) En dduire lexpression de la densit surfacique de charges s prsentes la surface de la Terre en fonction de U, 0e et d.

6) Le systme Terre-atmosphre se comportant comme un condensateur plan, donner (sans calcul) lexpression de la norme E du champ lectrique la surface de la

Terre (on exprimera le rsultat en fonction de U et d). Comment est-il orient (direction, sens) ?

7) Application numrique : d = 15 km, R1 = 6400 km, U = 150 kV, 12 1

0 8,85 10 F me et e = 1,6 1019 C. Calculer s et E. En dduire la charge totale porte par la Terre. En supposant que les charges la surface de la Terre sont lmentaires, calculer le nombre de charges lectriques portes par la Terre.