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Filtre du 1erordre
Table des matieres
1 Introduction 1
2 Filtre passe-bas du premier ordre 1
2.1 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 1
2.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 2
2.3 Diagramme de Bode - Pulsation de coupure a -3dB . . . . . .
. . . 2
2.3.1 Representation de la courbe de gain . . . . . . . . . . .
. . 2
2.3.2 Representation de la courbe de phase . . . . . . . . . . .
. 3
3 Filtre passe-haut du premier ordre 3
3.1 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 3
3.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 4
3.3 Diagramme de Bode - Pulsation de coupure a -3dB . . . . . .
. . . 4
3.3.1 Representation de la courbe de gain . . . . . . . . . . .
. . 4
3.3.2 Representation de la courbe de phase . . . . . . . . . . .
. 4
4 Generalisation 5
4.1 Filtre lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 5
4.2 Fonction de transfert en regime sinusodal . . . . . . . . .
. . . . . 5
1 Introduction
Quest-ce quun filtre ?
De meme quun filtre optique ne laisse passer que certaines
couleurs, unfiltre en electrocinetique ne laissera passer que
certains signaux sinusodauxcaracterises par une pulsation .
A lentree du filtre, on applique par exemple une tension de
pulsation ;
si, a la sortie du filtre, la tension nest pas trop attenuee, on
considere que lefiltre laisse passer la pulsation ; si au
contraire, la tension est tres attenuee, onconsidere que le filtre
ne laisse pas passer la pulsation .
Le filtre sera alors caracterise par lensemble des pulsations ou
frequences quillaisse passer appele bande passante.Un filtre passe
bas laisse passer les pulsations inferieures a une pulsation c.Un
filtre passe haut laisse passer les pulsations superieures a une
pulsation c.Un filtre passe bande laisse passer les pulsations
comprises entre c1 et c2.Un filtre coupe bande ou rejecteur de
bande laisse passer les pulsationsinferieures a c1 et superieures a
c2.
Un filtre peut donc etre utilise pour ne selectionner que
certaines pulsations(radio, TV...).
Dune maniere generale, comme tout signal periodique peut-etre
considerecomme une superposition de signaux sinusodaux, connaissant
le spectre dusignal dentree et les caracteristiques du filtres, on
peut en deduire le spectre dusignal de sortie et donc la forme du
signal apres passage dans le filtre.
2 Filtre passe-bas du premier ordre
ue
ieR
is = 0
us
2.1 Comportement asymptotique
Limpedance du condensateur vaut
ZC =1
jC
Si 0 alors ZC (refaire le schema en supprimant la branche
contenant
le condensateur) et Us Ue.Si alors ZC 0 (refaire le schema en
remplacant la branche
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contenant le condensateur par un fil) et Us 0.
On peut donc deja dire que le filtre transmet les signaux de
basse frequence et
attenue ceux de haute frequence dou la denomination de filtre
passe-bas.
2.2 Fonction de transfert
La fonction de transfert est definie par
H(j) =UsUe
UsUe
=
1
jC
R +1
jC
=1
1 +jRC
H(j) =1
1 +j
0
en posant 0 =1
RC
2.3 Diagramme de Bode - Pulsation de coupure a -3dB
2.3.1 Representation de la courbe de gain
Le module de la fonction de transfert est appele gain
H() = |H(j)| = 11 +
0
2
experimentalement H() =UsmUem
=Us
Ue(oscilloscope ou multimetre)
On definie le gain en decibel
GdB = 20 log |H(j)|
= 10log
1 +
0
2
On represente le gain en decibel non pas en fonction de
0 (ou ou f) mais en
fonction de log
0(la plage de frequence pouvant setendre de quelques Hz a
106 Hz et plus)
Si petit devant 0 alors GdB 0
Si grand devant 0 alors GdB
20log
0
droite de pente
20 dB par
decade ce qui signifie que si est multiplie par 10, log
0augmente de 1 et GdB
diminue de 20 dB
log
0
GdB
12 0 1 2
2
0
Les deux asymptotes se coupent pour 0 = 20log
0 cest a dire pour = 0 ;
pour = 0, H() =1
2et GdB = 20 log
12
3 dB. 0 est appele pulsationde coupure a 3 dB et note c.
La pulsation de coupure a 3 dB du filtre est par definition la
pulsa-tion telle que
GdB(c) =
3 dB
Elle peut etre interpretee comme la limite entre les
comportements BF et HF dufiltre :
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les signaux de pulsations < c sont transmis en sortie avec
une attenuationinferieure a 3 dB ;les signaux de pulsations > c
sont transmis en sortie avec une attenuation
superieure a 3 dB ;Idealement on considerera que le filtre
laisse passer une pulsation si lattenua-tion en sortie est
inferieure a 3 dB.
La bande passante de ce filtre, cest a dire lensemble des
pulsationsquil laisse passer, est donc [0, 0].
2.3.2 Representation de la courbe de phase
Largument de la fonction de transfert est appele phase
() = arg H(j )
= 0 arg(1 +j 0
) = arctan 0
experimentalement () = s e (oscilloscope)
On represente la phase non pas en fonction de
0(ou ou f) mais en
fonction de log
0 (la plage de frequence pouvant setendre de quelques Hz a
106 Hz et plus)
Si petit devant 0 alors 0
Si grand devant 0 alors 2
Si = 0 alors =
4
log
0
12 0 1 2
2
Pour = 0, 10, = 6Pour = 100, = 84Lessentiel de la rotation de
phase se fait donc entre 0, 10 et 100 cest a diresur deux
decades.
3 Filtre passe-haut du premier ordre
ue
ie
R
is = 0
us
3.1 Comportement asymptotiqueLimpedance du condensateur vaut
ZC =1
jC
Si 0 alors ZC (refaire le schema en supprimant la branche
contenantle condensateur) et Us 0.
Si alors ZC 0 (refaire le schema en remplacant la
branchecontenant le condensateur par un fil) et Us Ue.
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On peut donc deja dire que le filtre transmet les signaux de
haute frequence etattenue ceux de basse frequence dou la
denomination de filtre passe-haut.
3.2 Fonction de transfert
La fonction de transfert est definie par
H(j) =UsUe
Us
Ue =
R
R + 1jC
=
jRC
1 +jRC
H(j) =j
0
1 +j
0
en posant 0 =1
RC
3.3 Diagramme de Bode - Pulsation de coupure a -3dB
3.3.1 Representation de la courbe de gain
H() = |H(j)| =
01 +
0
2
experimentalement H() =UsmUem
=Us
Ue(oscilloscope ou multimetre)
GdB = 20 log |H(j)|
= 20 log
0 10log
1 +
0
2
Si petit devant 0 alors GdB 20log 0
Si grand devant 0 alors GdB 20log
0 10log
02
= 0
log
0
GdB
12 0 1 2
20
Les deux asymptotes se coupent pour 0 = 20 log
0cest a dire pour = 0 = c,
pulsation de coupure a 3 dB.
La bande passante de ce filtre, cest a dire lensemble des
pulsationsquil laisse passer, est donc [0, [.
3.3.2 Representation de la courbe de phase
() = arg H(j)
= arg(j
0) arg(1 +j
0) =
2 arctan
0
experimentalement () = s e (oscilloscope)
La courbe se deduit de celle du passe-bas par une translation
de
2.
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log
012 0 1 2
2
4 Generalisation
4.1 Filtre lineaire
Un filtre est lineaire si tous les elements qui le constituent
sont lineaires, alors :- si le signal dentree est sinusodal de
pulsation , le signal de sortie est egalementsinusodal de meme
pulsation ;
- les tensions dentree ue et de sortie us sont reliees par une
equation differentiellelineaire a coefficients constants
Andnus
dtn+ ... + A1
dus
dt+ A0us = Bm
dmue
dtm+ ... + B1
due
dt+ B0ue
Un filtre passif ne comporte que des elements passifs ; la
puissance moyennedisponible en sortie est donc toujours inferieure
ou egale a la puissance moyenne
recue en entree.
Un filtre actif comporte en plus des sources (AO par exemple);
la puis-sance moyenne disponible en sortie peut alors etre
superieure a celle recue enentree.
4.2 Fonction de transfert en regime sinusodal
ue = Ue2cos(t + e)ue = Ue exp(jt)
us = Us
2cos(t + s)
us = Us exp(jt)
Lequation differentielle devient alors
An(j)nus + ... + A1(j)us + A0us = Bm(j)
mue + ... + B1(j)ue + B0ue
ce qui permet dexprimer le rapport
usue
=B0 + B1(j) + ... + Bm(j)
m
A0 + A1(j) + ... + An(j)n
appele fonction de transfert
H(j) =UsUe
Son module donne le rapport tension de sortie sur tension
dentree
|H(j)| =Usm
Uem =
Us
Ue
Son argument donne la difference de phase entre la tension de
sortie et la tensiondentree
arg H(j) = s e
La fonction de transfert nest pas une propriete intrinseque du
filtre, elle dependdu filtre mais aussi de la charge branchee a la
sortie de celui-ci.
Pour tous les systemes reels H() garde une valeur finie ce qui
impliqueque m est toujours inferieur a n qui defini lordre du
filtre.
La fonction de transfert dun filtre setudie en general sur un
domaine fre-quentiel tres etendu (de 0 jusqua eventuellement
plusieurs MHz), il est alors tres
utile dintroduire des echelles log.
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Le diagramme de Bode comprend la representation :
du gain en decibel GdB = 20 log |H(j)| en fonction de log 0
ou en fonction
de 0
sur du papier semilog ;
de la phase = arg H(j) en fonction de log
0ou en fonction de
0sur du
papier semilog.
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