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ELECTROMAGNETISMECHAPITRE2:EQUATIONSDEMAXWELL
Notions et contenus Capacités exigibles4. Équations de
Maxwell
4.1 Postulats de l’électromagnétisme Force de Lorentz. Équations
locales de Maxwell. Formes intégrales. Compatibilité avec les cas
particuliers de l’électrostatique et de la magnétostatique ;
compatibilité avec la conservation de la charge. Linéarité.
Utiliser les équations de Maxwell sous forme locale ou
intégrale. Faire le lien entre l’équation de Maxwell-Faraday et la
loi de Faraday étudiée en PCSI. Utiliser une méthode de
superposition.
4.2 Aspects énergétiques Vecteur de Poynting. Densité volumique
d’énergie électromagnétique. Équation locale de Poynting.
Utiliser les grandeurs énergétiques pour faire des bilans
d’énergie électromagnétique. Associer le vecteur de Poynting et
l’intensité utilisée en optique.
4.3 Validation de l’approximation des régimes
quasi-stationnaires « magnétique »
Équations de propagation des champs E et B dans le vide.
Caractère non instantané des interactions électromagnétiques.
Relation ε0µ0c2=1.
Établir les équations de propagation. Interpréter c.
ARQS « magnétique ». Discuter la légitimité du régime
quasi-stationnaire. Simplifier les équations de Maxwell et
l’équation de conservation de la charge et utiliser les formes
simplifiées. Étendre le domaine de validité des expressions des
champs magnétiques obtenues en régime stationnaire.
1. ForcedeLorentzLechampélectromagnétiqueestaccessibleà
l'expériencepar l'intermédiairedela
loideforcedeLorentz.DansunréférentielgaliléenR,laforce𝐹 𝑟, 𝑡
subieparuneparticuledechargeqdontlavitesseparrapportàRest𝑣 𝑡
estdonnéepar:
𝑭 𝒓, 𝒕 = 𝒒(𝑬 𝒓, 𝒕 + 𝒗 𝒕 ∧ 𝑩 𝒓, 𝒕
)Cetteloideforceconstitueunpostulat.Lapuissancedecetteforceest:
𝑃 = 𝑞.𝐸. 𝑣Lapuissancevolumiqueassociéeest:
𝑝 = 𝑑𝑃𝑑𝑉 = 𝜌.𝐸. 𝑣 = 𝚥.𝐸
Laforcemagnétiquenetravaillepas.
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PC/PC* LycéeSCHWEITZERMulhouse2. EquationsdeMaxwell(1864).Les
équations de Maxwell permettent de relier le champ (𝐸 𝑟, 𝑡 ,𝐵 𝑟, 𝑡
) aux sources(𝜌 𝑟, 𝑡 , 𝚥(𝑟,
𝑡)).Cesontdeséquations«locales»:elless’appliquentenunpointdumilieu.Ceséquationssontdespostulats.
𝒅𝒊𝒗 𝑬 =𝝆𝜺𝟎
𝒅𝒊𝒗 𝑩 = 𝟎 𝒓𝒐𝒕 𝑬 = −𝝏𝑩𝝏𝒕 𝒓𝒐𝒕 𝑩 = 𝝁𝟎!+ 𝝁𝟎𝜺𝟎
𝝏𝑬𝝏𝒕
Maxwell-GaussMaxwell-fluxMaxwell-FaradayMaxwell-Ampère
Elles sont linéaires, ce qui permet d'appliquer aux champs 𝐸 𝑟,
𝑡 et 𝐵 𝑟, 𝑡 le théorème desuperposition.Dansceséquations𝐸 𝑟, 𝑡 et 𝐵
𝑟, 𝑡
sontcouplés.Lesconstantesε0etµ0sontliéesausystèmed'unités;danslesystèmeMKSA:
Ø ε0estlapermittivitéduvide;ε0=8,854.10-12F.m-1;Ø
µ0estperméabilitémagnétiqueduvide;µ0=4.π.10-7H.m-1=1,2566.10-6H.m-1
3. FormeintégralesdeséquationsdeMaxwell:
1. ThéorèmedeGauss:Rappel:théorèmedeGreen-Ostrogradsky:
𝑑𝑖𝑣 𝐴 .𝑑𝑉 = 𝐴.𝑑𝑆
oùVestlevolumeferméparlasurfaceS(fermée)orientéeversl’extérieur.
Ondéduitdel’équationdeMaxwell-Gaussl’équationintégraleappeléethéorèmedeGauss:
𝑬.𝒅𝑺 =𝑸𝒊𝒏𝒕𝜺𝟎
LethéorèmedeGaussmontrequelefluxduchampélectriqueàtraversunesurfaceSferméen’estnonnulquelorsquecettesurfacecontientunechargenonnulle.
2.
Fluxduchampmagnétique:OnagraceauthéorèmedeGreen-Ostrogradsky
𝑩.𝒅𝑺 = 𝟎
Cetteéquationtraduitlefaitqu’iln’existepasde«chargesmagnétiques».
3.
LoideFaraday:ThéorèmedeStokes:SoitunesurfaceSouverteetorientéeenconcordanceaveclecontourCsurlequelelles’appuie:
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𝑟𝑜𝑡𝐴.𝑑𝑆!
= 𝐴.𝑑𝑙!
Ondéduitalorsdel’équationdeMaxwell-Faraday:
𝐸.𝑑𝑙 = −𝑑𝑑𝑡 𝐵.𝑑𝑆
⟺ 𝒆 = −𝒅𝝓𝒅𝒕
4. Théorèmed’Ampèregénéralisé:
𝑟𝑜𝑡 𝐵 = 𝜇!𝚥 + 𝜇!𝜀!𝜕𝐸𝜕𝑡
EnutilisantlethéorèmedeStokes,onobtient:
𝑩.𝒅𝒍 =𝝁𝟎𝑰𝒆𝒏𝒍𝒂𝒄é + 𝝁𝟎𝜺𝟎𝝏𝑬𝝏𝒕 .𝒅𝑺
4.
Equationdeconservationdelacharge:Onutiliselaformuled’analysevectoriellesuivante:
∀ 𝐴 𝑑𝑖𝑣 𝑟𝑜𝑡𝐴 =
0Onprendensuiteladivergencedel’équationdeMaxwell-Ampère:
𝑑𝑖𝑣 𝑟𝑜𝑡𝐵 = 𝜇!𝑑𝑖𝑣𝚥 + 𝜇!𝜀!𝑑𝑖𝑣𝜕𝐸𝜕𝑡
⟺ 0 = 𝜇!𝑑𝑖𝑣𝚥 + 𝜇!𝜀!𝜕𝑑𝑖𝑣𝐸𝜕𝑡
⟺ 𝟎 = 𝒅𝒊𝒗!+𝝏𝝆𝝏𝒕
5.
Equationdeconservationdel'énergieélectromagnétique:Onutiliselaformuled’analysevectorielle:
𝑑𝑖𝑣 𝐸 ∧ 𝐵 = 𝐵. 𝑟𝑜𝑡 𝐸 − 𝐸. 𝑟𝑜𝑡 𝐵
Enmultipliantscalairementl’équationdeMaxwell-Faradaypar𝐵,onobtient:
𝐵. 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = −𝐵.𝜕𝐵𝜕𝑡 = −
12𝜕𝐵!
𝜕𝑡
Enmultipliantscalairementl’équationdeMaxwell-Ampèrepar𝐸,onobtient:
𝐸. 𝑟𝑜𝑡 𝐵 = 𝜇!𝚥.𝐸 + 𝜇!𝜀!𝐸𝜕𝐸𝜕𝑡 = 𝜇!𝚥.𝐸 +
12 𝜇!𝜀!
𝜕𝐸!
𝜕𝑡 Lasoustractiondecesdeuxéquationsfournit:
𝐵. 𝑟𝑜𝑡 𝐸 − 𝐸. 𝑟𝑜𝑡 𝐵 = −𝜇!𝚥.𝐸 −12𝜕𝐵!
𝜕𝑡 −12 𝜇!𝜀!
𝜕𝐸!
𝜕𝑡
⇔ 𝑑𝑖𝑣𝐸 ∧ 𝐵𝜇!
+ 𝚥.𝐸 +12𝜇!
𝜕𝐵!
𝜕𝑡 +12 𝜀!
𝜕𝐸!
𝜕𝑡 = 0
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⇔ 𝑑𝑖𝑣𝐸 ∧ 𝐵𝜇!
+ 𝚥.𝐸 +𝜕𝜕𝑡
𝐵!
2𝜇!+𝜀!𝐸!
2 = 0
soit:
𝟎 = 𝒅𝒊𝒗𝝅+𝝏𝒖𝒆𝝏𝒕 + !.𝑬
Définition:𝝅 = 𝟏
𝝁𝟎𝑬 ∧ 𝑩estlevecteurdePoynting,enW.m-2.
Définition:𝒖𝒆 =
𝟏𝟐𝜺𝟎𝑬𝟐 +
𝟏𝟐𝝁𝟎
𝑩𝟐estladensitévolumiqued'énergieélectromagnétique;Laformeintégraledel’équationest:
𝜋.𝑑𝑆 +𝜕𝑢!𝜕𝑡 + 𝚥.𝐸 .𝑑𝜏 = 0
6. Lesdifférentsrégimesdel’électromagnétisme:
6.1.
Régimesstationnaires(ditsstatiques):Danscesrégimes,lesdensitésdechargesetdecourantssontindépendantesdutemps.LeséquationsdeMaxwelldeviennent:
𝑑𝑖𝑣𝐸 =𝜌ℰ!
𝑑𝑖𝑣𝐵 = 0
𝑟𝑜𝑡𝐸 = 0 𝑟𝑜𝑡𝐵 = 𝜇!𝚥Les équations sont découplées; on étudie
d’une part l’électrostatique, d’autre part lamagnétostatique.
6.2.Approximationdesregimesquasi-stationnaires(ARQS).Lorsque la
durée de variation caractéristiqueT de 𝚥(𝑟, 𝑡)et𝜌(𝑟, 𝑡), sources du
champ est
grandedevantladuréesdepropagationduchamp(entrelepointP"source"etlepointMoùl'onétudielechamp),onpeutnégligercetempsdepropagation.Celasetraduitpar:
PM/c
