Electromagnétisme - lac.u-psud.fr · Chapitre 1. Intrductiono générale (où q 1, q 2 sont les charges électriques, exprimées en coulomb (positives ou négatives), r 12 la distance

Electromagnétisme

Hans Lignier

10 janvier 2018

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Table des matières

1 Introduction générale 9

2 Outils mathématiques 112.1 Le repérage dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Diérents systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Repères orthonormés, xes ou mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Champs scalaires et vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Flux et circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Le ux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.2 La circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.3 Résumé sur le ux et la circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Opérateurs diérentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.1 Le gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 Le divergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.3 Le rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.4 Résumé sur les opérateurs diérentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.5 Identités vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Champ et potentiel électrostatiques 213.1 Le champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 La loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.3 Symétries et invariances de la distribution de charges . . . . . . . . . . . . . 233.1.4 Lignes de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Potentiel électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.1 Relation entre énergie potentielle et potentiel électrique . . . . . . . . . . . 253.2.2 Potentiel électrique d'une charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.3 Potentiel électrique d'une distribution de charges . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.4 Surfaces équipotentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Équations locales du champ électrostatique 294.1 Circulation du champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Flux du champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.1 Cas d'une charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.2 Cas d'une distribution de charges - théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Solutions générales en électrostatique - équation de Poisson . . . . . . . . . . . . . 324.4 Complément : les lois de diusion en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4.1 Diusion de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4.2 Propagation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Modèle électrostatique : (I) le dipôle 375.1 Dénition et intérêt du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.1.1 Le moment dipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Modèle de deux charges ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2.1 Potentiel électrique dipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

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Table des matières

5.2.2 Le champ électrique dipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3 Développement multipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 Modèle électrostatique : (II) Les conducteurs 416.1 Conducteur à l'équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.2 Généralités sur le champ et le potentiel électriques dans un conducteur . . . . . . . 416.3 Généralité sur le champ et le potentiel hors d'un conducteur . . . . . . . . . . . . . 42

6.3.1 Champ électrique sur la surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.3.2 Pression électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.3.3 Notion de capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4 Deux conducteurs à l'équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.4.1 L'inuence électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.4.2 Le théorème des éléments correspondants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.4.3 Superposition des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.4.4 Unicité de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.4.5 Coecients d'inuence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.4.6 Extension à un système de N conducteurs à l'équilibre . . . . . . . . . . . . 45

6.5 Condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.5.1 Dénition et caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.5.2 Force d'interaction entre les armatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.5.3 Association de condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7 Énergie électrostatique 497.1 Énergie d'interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.1.1 Système de deux charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.1.2 Système discret de N charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.1.3 Distribution continue de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.1.4 Densité d'énergie élctrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.2 Energie d'un dipôle en interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.3 Energie des conducteurs chargés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.3.1 Conducteur unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.3.2 Système de conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527.3.3 Condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

8 Courant de conduction 538.1 Courant de conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.2 Densité de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8.2.1 Déplacement de charges dans un volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.2.2 Déplacement de charges sur une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8.3 Conservation des charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.3.1 Formulation intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.3.2 Formulation locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8.4 Loi d'Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.4.1 Formulation locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.4.2 Modèle de Drude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.4.3 Formulation macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

9 Force et champ magnétiques 579.1 Le champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579.2 Force induite par champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

9.2.1 Force magnétique sur une particule chargée en mouvement . . . . . . . . . 579.2.2 Force de Laplace produite sur un l parcouru par un courant . . . . . . . . 58

9.3 Loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.3.1 Champ magnétique produit par un courant circulant dans un l . . . . . . 599.3.2 Champ magnétique produit par une densité volumique de courant . . . . . 60

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Table des matières

10 Le théorème d'Ampère 6310.1 Principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.2 Symétries et invariances de la distribution de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

10.2.1 Invariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6510.2.2 Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

10.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

11 Équations locales du champ magnétique 6911.1 Divergence du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6911.2 Circulation du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7011.3 Relations de passage du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

11.3.1 Composante perpendiculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7011.3.2 Composante parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

11.4 Le potentiel-vecteur magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7211.4.1 Relation avec le champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7211.4.2 Flux du champ magnétique et circulation du potentiel vecteur . . . . . . . 7211.4.3 Retrouver la loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

12 Le dipôle magnétique 7512.1 Modèle de la spire circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7512.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

13 Flux magnétique en régime stationnaire 7913.1 Énergie potentielle d'un circuit dans un champ magnétique . . . . . . . . . . . . . 79

13.1.1 Travail de déplacement d'un circuit fermé dans un champ magnétique . . . 7913.1.2 Théorème de Maxwell-Règle du ux maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . 7913.1.3 Exemple : circuit dans un champ magnétique uniforme. . . . . . . . . . . . 81

13.2 Coecients d'induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8113.2.1 Coecients d'induction mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8113.2.2 Coecient d'induction propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8213.2.3 Exemple : Calcul de coecients d'induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

14 L'induction électromagnétique 8514.1 La loi de Lenz-Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8514.2 Comprendre l'induction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

14.2.1 Circuit indéformable et mobile dans un champ magnétique xe . . . . . . . 8714.2.2 Circuit indéformable et xe dans un champ magnétique variable . . . . . . 8914.2.3 Circuit indéformable et mobile dans un champ magnétique variable . . . . . 9014.2.4 Circuit déformable dans un champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . 9014.2.5 Induction et inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

15 Équations de Maxwell et équations d'onde 9315.1 Les équations de Maxwell en régime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

15.1.1 Les équations structurelles du champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9415.1.2 Les équations reliant les champs aux sources . . . . . . . . . . . . . . . . . 9415.1.3 Courants de déplacement et de conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

15.2 Équations des potentiels électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9515.2.1 Potentiels vecteur et scalaire électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . 9515.2.2 Choix de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9515.2.3 Potentiels retardés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

15.3 Équations d'onde des champs électromagnétiques dans le vide . . . . . . . . . . . . 9715.3.1 La solution en onde plane harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9715.3.2 L'onde plane progressive électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

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Table des matières

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Bibliographie

Electromagnétisme, fondements et applications, J-P Pérez, R. Caries, R. Fleckinger (2002),Dunod ouvrage pédagogique (cours détaillé + exercices).

Cours de Physique de Berkeley, Tome 2 - Electricité et Magnétisme, E. M. Purcell (1998),Dunod (éd. originale, 1963) ouvrage riche en sens physique.

Le cours de physique de Feynman, Electromagnétisme 1, R. Feynman, R. Leighton, M.Sands (1999), Dunod (éd. originale, 1964) ouvrage riche en sens physique.

Électrodynamique classique, J. J. Jackson, (2001), Dunod (éd. originale, 1975) ouvragetrès complet et très mathématique.

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Table des matières

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Chapitre 1

Introduction générale

Pourquoi s'intéresser à l'électromagnétisme ?

Tout l'électromagnétisme tient en quatre courtes équations qui pourraient se sure à elles-mêmes, mais leur contenu est tellement dense qu'il faut en général plusieurs années d'apprentissageet de réexion pour en saisir toutes les subtilités. L'utilité de l'électromagnétisme est multiple :mathématiquement et conceptuellement, elle fournit des outils puissants, utilisables dans d'autresdomaines (mécanique des uides, analyse thermique) ; physiquement, elle explique et met en rela-tion plusieurs phénomènes (électricité, magnétisme, lumière) ; enn, dans les technologies modernes,elle joue un rôle incontournable.

Historiquement, quelques phénomènes naturels liés à l'électricité avaient été repérés : Foudre, feu de Saint-Elme ; Électrisation par frottement (cheveux qui crépitent, morceaux de papier attirés par un

peigne, etc) ; poissons électriques (défense, prédation, communication et orientation).

Même rapport historique au magnétisme : on l'avait découvert dès l'antiquité à travers les propriétésd'aimantation du fer par la magnétite (les principes de la boussoles naissent en Chine durant lepremier millénaire de notre ère). Les spéculations mystiques allaient bon train (voir le magnétismeanimal ou mesmérisme). La séparation des phénomènes électrique et magnétique n'a été proposéequ'en 1600 par William Gilbert dans son ouvrage De Magnete. Au XIXeme siècle, un processus deréunication donnera naissance à l'électromagnétisme. L'électromagnétisme avait aussi été repérépuisqu'il explique la lumière visible, et comme chacun le sait, de nombreux savants l'avaient déjàétudiée par des approches géométriques ou spectrales.

Une interaction fondamentale

La matière possède une masse mais aussi une propriété que l'on appelle charge (électrique) ;celle-ci se présente sous deux espèces que l'on qualie de négative ou de positive. De la mêmemanière que les masses interagissent entre elles par le biais de la force gravitationnelle, les chargesinteragissent entre elles à travers la force électrique. Les lois qui gouvernent ces forces présententdes similarités. Pour s'en rendre compte, il sut de comparer la loi universelle de gravitation(découverte par Newton en 1685) ∥∥∥~Fg∥∥∥ = Gm1m2

r212

, (1.1)

(où m1, m2 sont deux quantités massiques (forcément positives), r12 la distance les séparant, etG ≈ 6, 674 × 1011 N·m2·kg−2 est la constante universelle de gravitation) avec la loi de la forced'interaction électrique, appelée loi de Coulomb (1785)

∥∥∥~Fe∥∥∥ = kC|q1q2|r212

, (1.2)

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Chapitre 1. Introduction générale

(où q1, q2 sont les charges électriques, exprimées en coulomb (positives ou négatives), r12 la distanceles séparant, et kC ≈ 8, 987× 109 N·m2·C−2 la constante de Coulomb).

Les lois 1.1 et 1.2 ont en commun d'être toutes deux proportionnelles aux quantités relativesà la propriété mise en jeu (masses ou charges 1) et à l'inverse du carré de la distance séparant lesbarycentres (des masses ou des charges) des éléments de matières notés 1 et 2.

On peut comparer l'intensité de ces deux forces à partir du rapport∥∥∥~Fe∥∥∥∥∥∥~Fg∥∥∥ =kCG

( qm

)2

, (1.3)

où on a choisi |q1| = |q2| = |q| et m1 = m2 = m pour simplier. En combinant ces quantités pourles constituants chargés de la matière que sont les électrons et les protons, découverts entre la ndu XIXeme siècle et le début du XXeme siècle, à savoir

qproton = −qelectron = e ≈ −1, 602× 10−19C, (1.4)

melectron ≈ 9, 109× 10−31kg, (1.5)

mproton ≈ 1, 673× 10−27kg ≈ 1836×melectron, (1.6)

on trouve

1036 .

∥∥∥~Fe∥∥∥∥∥∥~Fg∥∥∥ . 1042.

En d'autres termes, les électrons et les protons interagissent entre eux quasiment exclusivementvia les forces électriques. Considérant ces forces, l'équilibre dans la répartition des charges tendà exclure la formation d'amas séparés de charges de même signe (ils exploseraient par répulsion),et favorise un mélange d'électrons et de protons (par attraction). Comme on le sait maintenantce mélange est fait d'atomes qui comportent un noyau (protons et neutrons) et des électrons quigravitent autour. Comment les protons peuvent-ils tenir ensemble malgré leur répulsions ? Parcequ'il y a une force spécique, dite nucléaire, qui est plus intense à cette distance subatomique quela force de répulsion électrique. Pourquoi les électrons ne s'écrasent-ils pas sur le noyau ? Parcequ'il y a des eets quantiques qui les en empêchent (incertitude d'Heisenberg hors programme). Lesinteractions entre atomes sont elles aussi régies par les forces électriques. Elles sont à l'origine de larigidité des solides, des tensions de surface, de la viscosité des liquides et des gaz, de la formationde molécules, etc (liste loin d'être exhaustive).

1. Du fait de l'analogie entre les deux lois, on désignait, à l'époque de Coulomb, la charge par le terme masseélectrique.

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Chapitre 2

Outils mathématiques

2.1 Le repérage dans l'espace

Pour repérer sans ambigüité un point M dans l'espace, on choisit un référentiel, un système decoordonnées et un repère orthonormé :

Le référentiel correspond à un point de vue d'observateur à partir duquel est considérée ladescription ; pratiquement, il est déterminé par le choix d'un point de référence (O).

Le repère orthonormé est un système de trois axes orthogonaux i, j, k s'interceptant en unpoint (O′ par exemple) auquel on associe des vecteurs unités ~ui, ~uj , ~uk dans les directionsi, j et k respectivement. Un tel repère qui se note (O′, ~ui, ~uj , ~uk) peut être xe ou mobilepar rapport au référentiel.

Le système de coordonnées permet de paramétrer, au moyen de trois nombres scalaires, laposition d'un point M . Cette paramétrisation s'appuie sur le repère orthonormé choisi etutilise soit des longueurs, soit des angles.

2.1.1 Diérents systèmes de coordonnées

En fonction des symétries du problème étudié, le choix du système de coordonnées peut s'avérercommode et simplier les calculs. Souvent en physique, et en électromagnétisme en particulier,on rencontre les systèmes de coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. Ceux-ci fontrespectivement intervenir 3 longueurs ; 2 longueurs et 1 angle ; et enn, 1 longueur et 2 angles. Lag. 2.1 précise comment ces coordonnées sont dénies par rapport à un système d'axes (muni d'unrepère cartésien). En reprenant les notations de la g. 2.1, il est facile de passer d'un système decoordonnées à un autre ; le tableau 2.1 donne quelques exemples de transformations entre systèmesde coordonnées.

Figure 2.1 Trois systèmes de coordonnées usuels : (a) coordonnées cartésiennes, (b) coordonnéescylindriques, (c) coordonnées sphériques

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Chapitre 2. Outils mathématiques

coordonnées cylindriques↔cartésiennes coordonnées sphériques↔cartésiennesx = ρ cos θ

y = ρ sin θ

z = z

x = r cosφ sin θ

y = r sinφ sin θ

z = r cos θρ =

√x2 + y2

θ = arctan(yx

)z = z

r =

√x2 + y2 + z2

θ = arccos(zr

)φ = arctan

(yx

)Table 2.1 Tableau des transformations entre le système de coordonnées cartésiennes et lessystèmes de coordonnées cylindriques et sphériques. Les angles θ et φ sont ici dénis selon lestandard ISO 31-11 sur les signes et symboles mathématiques à utiliser en sciences physiques eten technologie ; en mathématiques, le standard intervertit les rôles de ces deux angles.

Figure 2.2 Repères cylindrique (a) et sphérique (b).

2.1.2 Repères orthonormés, xes ou mobiles

Lorsque le repère orthonormé utilisé est xe par rapport au référentiel, on confond généralementO et O′. Le repère cartésien correspond à la situation où, quelle que soit la position du pointM , lesvecteurs du repère (~ux, ~uy, ~uz) ne sont pas modiés. A l'inverse, il existe des repères qui varient enfonction de la position du point M . C'est le cas des repères cylindriques (~uρ, ~uθ, ~uz) et sphériques(~ur, ~uθ, ~uφ), représentés sur la g. 2.2. Dans ces repères, le point O′ est confondu avec le point Met les vecteurs de base sont créés par le sens de variation de chacune des coordonnées du systèmecorrespondant. Du fait que le repère mobile varie avec la position de M , une attention particulières'impose lorsqu'interviennent des dérivées ou des intégrales : les vecteurs du repère sont eux mêmesoumis à l'opération de dérivation.

Exemple

Vecteurs position On considère un point M dans un repère cartésien tel que

~OM = x~ux + y~uz + z~uz, (2.1)

noté, dans un repère cylindrique,~OM = ρ~uρ + z~uz, (2.2)

et, dans un repère sphérique,~OM = r~ur, (2.3)

Vecteurs vitesse Le calcul de la vitesse instantanée du point M dans le référentiel O montreque les dérivées aectent les vecteurs des bases mobiles et non les vecteurs des bases xes. Ainsi,dans le repère cartésien,

d ~OM

dt=dx

dt~ux +

dy

dt~uy +

dz

dt~uz, (2.4)

12

2.1. Le repérage dans l'espace

Figure 2.3 Détermination géométrique de la variation des vecteurs de bases cylindriques (oupolaires en deux dimensions). On constate que pour une rotation innitésimale dθ, les vecteurs dela base tournent suivant d~uρ = dθ~uθ et d~uθ = −dθ~uρ. Une variation selon ρ ou z (non visible)modie la position de la base mais pas son orientation.

car d~ux,y,z = ~0, alors que dans le repère cylindrique,

d ~OM

dt=

dρ

dt~uρ + ρ

d~uρdt

+dz

dt~uz,

=dρ

dt~uρ + ρ

dθ

dt~uθ +

dz

dt~uz, (2.5)

où l'on a calculé d~uρdt . Cette dérivation peut se faire selon une approche géométrique ou analytique.

Par l'approche géométrique (cf. g. 2.3), on établit facilement que la direction de ~uρ est modiéed'une quantité dθ vers ~uθ suivant le changement angulaire du point M . L'approche analytiqueutilise la décomposition cartésienne ~uρ = cos θ~ux + sin θ~uy qui montre que ce vecteur ne peutvarier que selon θ : d~uρ = − sin θdθ~ux + cos θdθ~uy= dθ~uθ car ~uθ = − sin θ~ux + cos θ~uy.

Enn, dans le repère sphérique, l'analyse est plus ecace :

d ~OM

dt=

dr

dt~ur + r

d~urdt

,

=dr

dt~ur + r

dθ~uθ + sin θdφ~uφdt

,

=dr

dt~ur + r

dθ

dt~uθ + r sin θ

dφ

dt~uφ, (2.6)

où, la direction de ~ur est modiée selon ~uθ ou ~uφ, respectivement d'une quantité dθ et sin θdφ,suivant les variations angulaires du point M . Démonstration de cette assertion :

d~ur = (∂θ~ur) dθ + (∂φ~ur) dφ,

avec ~ur = cosφ sin θ~ux + sinφ sin θ~uy + cos θ~uz. Les dérivées partielles selon θ et φ donnent

∂θ~ur = cosφ cos θ~ux + sinφ cos θ~uy − sin θ~uz,

= ~uθ,

et

∂φ~ur = − sinφ sin θ~ux + cosφ sin θ~uy,

= sin θ~uφ,

si bien qu'on trouved~ur = dθ~uθ + sin θdφ~uφ.

.

13


2.2 Champs scalaires et vectoriels

La manipulation des champs est courante en physique et en mathématiques, et vous avez déjàrencontré un certain nombre d'entre elles. On parle de champ pour décrire un domaine spatial danslequel une grandeur scalaire ou vectorielle est dénie en chaque point de l'espace. Par exemple,la température locale T (x, y, z, t) dénie en chaque point M(x, y, z) d'une pièce est un champscalaire, alors que la moyenne spatiale de la température T (t) de cette même pièce n'est qu'unsimple nombre scalaire. Autre exemple concernant la notion de champ vectoriel : la carte de lavitesse ~v(x, y, z, t) des courants marins est un champ vectoriel alors que la vitesse ~v(t) d'un bateaun'utilise qu'un simple vecteur vitesse lié à son centre de masse.

Les vecteurs sont manipulables à travers de multiples opérations. Les plus basiques sont lessuivantes :

le produit scalaire ~A · ~B =∥∥∥ ~A∥∥∥∥∥∥ ~B∥∥∥ cos

(~A, ~B

);

le produit vectoriel ~A∧ ~B dont le résultat est un vecteur dirigé selon un axe normal au plan

déni par ~A et ~B ∥∥∥ ~A ∧ ~B∥∥∥ =

∥∥∥ ~A∥∥∥∥∥∥ ~B∥∥∥ sin

(~A, ~B

);

le produit mixte ~A ·(~B ∧ ~C

)=(~A ∧ ~B

)· ~C dont le résultat est un scalaire. A noter que si

deux des trois vecteurs en jeu sont colinéaires, le résultat est nul ;

le double produit vectoriel ~A∧( ~B∧ ~C) = ~B(~A · ~C

)− ~C

(~A · ~B

)dont le résultat est vectoriel.

2.3 Flux et circulation

Les concepts de ux et de circulation sont à la base de la description de nombreux phénomènesphysiques (mécanique des uides, électromagnétisme). Bien qu'abstraits, ils ont une assise concrètequ'il est utile de comprendre.

2.3.1 Le ux

Dénition

La dénition du ux Φ d'un champ vectoriel ~A à travers une surface Σ est

Φ =

ˆΣ

~A · d~S, (2.7)

où la quantité sous l'intégrale est le ux élémentaire,c'est-à-dire le produit scalaire ~A par un vecteurélément de surface d~S (appelé aussi vecteur-surface élémentaire). Un vecteur élément de surfaceest un vecteur normal à une surface élémentaire et dont la norme égale précisément cette surface ;le sens de ces vecteurs est arbitraire (sauf dans certains cas précisés). La surface d'intégrationΣ est dite ouverte lorsqu'elle est attachée à un contour fermé (ou courbe fermée) ; elle est ditefermée lorsqu'elle englobe un volume. L'intégration sur une surface fermée est éventuellement indi-quée par un symbole d'intégration spécique (

¸) ; les vecteurs-surfaces élémentaires sont orientés

conventionnellement de l'intérieur vers l'extérieur.La notion de ux peut être éclairée par l'exemple d'un écoulement d'eau dans un tuyau. Pour

un écoulement dont la vitesse ~v est uniforme et colinéaire aux vecteurs-surfaces élémentaires d~Squi décrivent localement la surface d'intégration ouverte Σ, le ux vaut

φ =

ˆΣ

~v · d~S, (2.8)

= |~v|ˆ

Σ

∣∣∣d~S∣∣∣ , (2.9)

= |~v|Σ, (2.10)

une quantité qui s'identie au débit dont la dimension est le m3/s . En général, le calcul intégralest plus complexe car il faut tenir compte de la dépendance en position du champ vectoriel ainsi que

14

2.3. Flux et circulation

Figure 2.4 Flux d'un champ de vecteur à travers une surface pour deux exemples d'orientationsde l'élément de surface. (a) les lignes de champs sont colinéaires au vecteur surface, (b) les lignesde champs et le vecteur surface forment un angle quelconque. Le ux peut s'interpréter comme unequantité proportionnelle au nombre de lignes de champ traversant la surface. Dans le cas (b), toutse passe comme si la surface à considérer était la projection (b') sur un plan normal aux lignes dechamp.

Figure 2.5 Surface fermée Σ subdivisée en deux surfaces ouvertes Σ1 et Σ2 attachée à un contourcommun Γ. Le volume délimité par Σ est égal à la somme des volumes V1 et V2 respectivementdénis par les surfaces Σ1 et Σ2 toutes deux fermées par la surface Σ12.

de l'orientation relative des deux vecteurs du produit scalaire. Pourquoi faut-il utiliser un produitscalaire dans la dénition du ux ? La réponse est illustrée sur la g. 2.4 : le produit scalaire rendcompte de l'orientation relative le champ vectoriel et la surface d'intégration.

Propriétés du ux : conservation, additivité

A travers une surface fermée, le ux total est la somme algébrique d'un ux sortant (positif)et d'un ux entrant (négatif) ; lorsque ce ux est nul, il est dit conservatif. Dans l'exemple del'écoulement d'eau dans un tuyau, le ux total à travers une surface fermée située dans le tuyauest conservatif s'il n'y a ni fuite, ni source d'eau, et que les eets de contraction/dilatation sontnégligés. A l'inverse, si de tels phénomènes apparaissent, le ux n'est pas conservatif, c'est-à-direest non-nul. De manière générale, il faut retenir que la notion de ux permet de rendre compte ma-thématiquement de l'idée de conservation d'une quantité physique, qu'elle soit la matière, l'énergie,la charge ou autre.

Il existe une propriété importante du ux à travers une surface fermée que nous allons illustrerà travers un cas simple. Supposons une surface Σ fermée délimitant un volume V que l'on subdiviseen deux parties contigües de volumes V1 et V2 (cf. g. 2.5). Ceux-ci partagent une surface communeΣ12 et des surfaces qui leur sont propres et non communes Σ1 et Σ2.Les ux d'un champ ~A à traversles parties 1 et 2 donnent

Φ1 =

˛(Σ1+Σ12)

~A · d~S1 =

ˆΣ1

~A · d~S1 +

ˆΣ12

~A · d~S1,

Φ2 =

˛(Σ2+Σ12)

~A · d~S2 =

ˆΣ2

~A · d~S2 +

ˆΣ12

~A · d~S2.

En remarquant que les vecteurs d'intégration d~S1 et d~S2 sur Σ12sont dirigés dans des sens opposés(l'orientation va de l'intérieur à l'extérieur), les intégrales de Φ1 et Φ2 relatifs à la surface Σ12 ont

15


même normes mais des signes opposés. Ainsi, lorsqu'on somme les deux ux, on trouve

Φ1 + Φ2 =

ˆΣ1

~A · d~S +

ˆΣ2

~A · d~S, (2.11)

=

˛Σ

~A · d~S.

Ce résultat se généralise quel que soit le nombre de subdivisions de la surface fermée Σ. Il existedonc une règle d'additivité des ux. De cette règle, on déduit facilement une autre propriétéimportante relative aux ux conservatifs. En eet, dans un domaine où le ux est conservatif,l'expression 2.11 est nulle et, par conséquent, les ux calculés sur les surfaces ouvertes Σ1 et Σ2

sont identiques au signe près (le signe n'a pas d'importance car il dépend du sens arbitraire desvecteurs-surfaces élémentaires). Les surfaces ouvertes Σ1 et Σ2 peuvent être quelconques et n'ontcomme contrainte que d'être attachées à un contour fermé commun, on en déduit que le ux àtravers une surface ouverte s'appuyant sur un contour fermé ne dépend pas de la forme spéciquede la surface (l'écoulement d'eau ore ici encore un exemple parlant)..

2.3.2 La circulation

La dénition de la circulation C d'un champ vectoriel ~A sur un contour Γ (orienté) correspondà l'intégration

C =

ˆΓ

~A · d~l, (2.12)

où la quantité sous l'intégrale est une circulation élémentaire, produit scalaire de ~A par un vecteurélément de longueur d~l. La signication de la circulation est dicile à appréhender à ce stade. Onpeut toutefois dire qu'elle traduit le comportement d'un champ vectoriel par rapport à un contourdonné : plus le champ suit le contour, plus la valeur absolue de la circulation est grande.

Si le contour est fermé (le symbole d'intégration devient alors¸) et que la circulation d'un

champ y est nulle, on dit qu'elle est conservative.

2.3.3 Résumé sur le ux et la circulation

Flux et circulations sont mathématiquement des calculs d'intégration des champs vectoriels surdes surfaces et des contours. Ces surfaces et contours sont ouverts ou fermés ; il faut bien distinguerces deux possibilités, sous peine de ne plus rien y comprendre. L'interprétation physique de cesdeux notions est plus ou moins évidente :

Le ux sert souvent à mettre en relation les transports, pertes et sources de quantitésphysiques (matière, charge, chaleur, énergie électromagnétique).

La circulation rend compte de la façon qu'un champ vectoriel a de suivre un contour donné ;dire qu'il est nul signie qu'il accompagne autant qu'il s'oppose au contour considéré.

2.4 Opérateurs diérentiels

Une autre classe d'opération consiste à eectuer des dérivées des champs par rapport auxcoordonnées. Qu'ils soient vectoriels ou scalaires, on imagine aisément plusieurs façons de procéder.Quelles sont-elles ? Comment s'utilisent-elles ? Quel sens leur donner ? Les sous-sections suivantespassent en revue les quatre grands opérations vectorielles que l'on rencontre en électromagnétisme.

2.4.1 Le gradient

Le gradient d'un champ scalaire détermine comment celui-ci varie localement dans l'espace. Latempérature (T ) en fonction de la position est un bon exemple de champ scalaire. Calculer songradient consiste à exprimer quantitativement la direction, le sens et l'amplitude de la variationde température pour un déplacement d~l autour d'un point donné M . La forme mathématique decette dénition s'écrit

dT =−−→gradT · d~l (2.13)

16

2.4. Opérateurs diérentiels

ou encore

dT = ~∇T · d~l. (2.14)

Les symboles−−→gradT et ~∇T représentent le vecteur de variation, le gradient de T . L'écriture utilisant

le symbole ~∇, appelé nabla, est générale : elle signie qu'un opérateur diérentiel vectoriel estappliqué, sans préjuger sur quel objet ; en revanche l'écriture

−−→grad indique le résultat de l'application

de ~∇ sur une fonction scalaire (en l'occurrence T ). Nous verrons par la suite que ~∇ peut aussi agirsur des vecteurs.

Comment s'exprime concrètement le gradient ? Cela dépend bien sûr du système de coordonnéeset du repère. Pour déterminer sa forme, il sut d'exprimer d~, d'écrire la diérentielle totale exactedT , et d'identier les composantes du gradient. Par exemple, en coordonnées cartésiennes

d~l = (dx, dy, dz) (2.15)

et

dT =∂T

∂xdx+

∂T

∂ydy +

∂T

∂zdz (2.16)

implique, en s'appuyant sur l'expression 2.13,

−−→gradT =

(∂T

∂x,∂T

∂y,∂T

∂z

). (2.17)

On en déduit

~∇ =

(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

). (2.18)

Avec le même raisonnement, on trouve, en coordonnées cylindriques,

~∇ =

(∂

∂ρ,∂

ρ∂θ,∂

∂z

)(2.19)

et, en coordonnées sphériques,

~∇ =

(∂

∂r,∂

r∂θ,

∂

r sin θ∂φ

). (2.20)

2.4.2 Le divergent

Le divergent est le nom que prend le résultat du produit scalaire de l'opérateur ~∇ et d'unvecteur. C'est une quantité scalaire qui s'écrit

div ~A ≡ ~∇ · ~A, (2.21)

Si on calcule le divergent d'un vecteur ~A = (Ax, Ay, Az) exprimé en coordonnées cartésiennes, ilsut de lui appliquer le vecteur diérentiel 2.18, ce qui donne

div ~A =∂Ax∂x

+∂Ay∂y

+∂Az∂z

. (2.22)

Il s'agit donc d'une somme des variations de chaque composante du champ selon la directiondonnée par la composante. Le sens n'est pas immédiat. Le divergent a pourtant un signicationphysique très importante : il correspond au ux élémentaire d'un champ vectoriel à travers lasurface délimitant un volume innitésimal (par unité de volume pour compliquer un peu). Pours'en persuader, il est utile de faire le calcul de ce ux. Rappelons que la dénition du ux élémentaireen électromagnétisme est le produit scalaire ~A · d~S où d~S est un vecteur surface, c'est-à-dire unvecteur normal à la surface d2S et ayant pour norme dS.

17


Relation avec le ux local

Si l'on calcule le ux élémentaire d'un champ vectoriel ~A au voisinage d'un point M à traversla surface fermée d'un parallélépipède droit d'arêtes dx, dy, dz et dont les faces qui le délimitentont pour aires dxdy, dydz, dxdz, on trouve le résultat

dφ = Ax(x+ dx, y, z)dydz −Ax(x, y, z)dydz

+ Ay(x, y + dy, z)dxdz −Ay(x, y, z)dxdz

+ Az(x, y, z + dz)dxdy −Az(x, y, z)dxdy, (2.23)

qui, une fois eectués les développements limités à l'ordre 1 en dx, dy et dz, et introduite la notationdV = dxdydz, se réduit à

dφ =

(∂Ax∂x

+∂Ay∂y

+∂Az∂z

)dV,

=(

div ~A)dV. (2.24)

Autrement dit, le divergent est égal à un ux élémentaire par unité de volume.NB : à partir de cette égalité, il est facile de calculer le divergent d'un champ vectoriel quel que

soit le système de coordonnées.

Théorème de Green-Ostrogradsky

Si l'on combine la règle d'additivité du ux à l'expression 2.24, on en déduit l'égalité appeléethéorème de ux-divergence, ou plus couramment théorème de Green-Ostrogradsky :

Φ =

˛Σ

~A.d~S =

ˆV

div ~AdV. (2.25)

Ainsi le ux d'un champ vectoriel ~A à travers une surface fermée Σ est égal à l'intégrale dudivergent du champ vectoriel dans le volume V inscrit. L'intérêt de ce résultat est calculatoire enélectrostatique.

2.4.3 Le rotationnel

Le rotationnel est le nom que prend le résultat du produit vectoriel de l'opérateur ~∇ et d'unvecteur. C'est une quantité vectorielle qui s'écrit

−→rot ~A ≡ ~∇∧ ~A, (2.26)

Si on calcule le rotationnel d'un vecteur ~A = (Ax, Ay, Az) exprimé en coordonnées cartésiennes,on trouve

−→rot ~A =

∂yAz − ∂zAy∂zAx − ∂xAz∂xAy − ∂yAx

. (2.27)

Les composantes du rotationnel sont pourtant liées à la circulation élémentaire d'un champ vectorielà travers un contour fermé innitésimal (par unité de surface). Pour s'en persuader, il est utile defaire le calcul d'un de ces contours.

Relation avec un contour local

Si l'on calcule la circulation élémentaire d'un champ vectoriel ~A au voisinage d'un point M ,sur le contour délimitant un rectangle de côtés dx, dy, on trouve le résultat

dφ|dxdy = Ax(x, y, z)dx+Ay(x+ dx, y, z)dy

− Ax(x, y + dy, z)dx−Ay(x, y, z)dy

18

2.4. Opérateurs diérentiels

Opération Notation Dénomination Résultat~∇f

−−→gradf gradient vecteur

~∇ · ~A div ~A divergent scalaire~∇∧ ~A

−→rot ~A,

−−→curl ~A rotationnel vecteur

Table 2.2 Résumé des opérations et notations liées à l'opérateur ~∇.

qui, une fois eectués les développements limités à l'ordre 1 en dx et dy, et introduite la notationdSz = dxdy, se réduit à

dC|dxdy = (∂xAy − ∂yAx) dSz,

=(−→

rot ~A)zdSz (2.28)

Autrement dit, chaque composante du rotationnel est égale à la circulation sur un contour élé-mentaire normal à la direction donnée par la composante (par unité de surface). La circulationélémentaire totale à travers un contour élémentaire quelconque vaut

dC =(−→

rot ~A)xdSx +

(−→rot ~A

)ydSy +

(−→rot ~A

)zdSz,

=−→rot ~A · d~S. (2.29)

Théorème de Kelvin-Stokes

Si l'on combine la règle d'additivité de la circulation à l'expression 2.29, on en déduit l'égalitéappelée théorème de la circulation, ou aussi théorème de Kelvin-Stokes :

C =

˛Γ

~A · d~l =

ˆΣ/Γ

−→rot ~A · d~S. (2.30)

La circulation d'un champ vectoriel ~A à travers un contour fermé Γ est égale au ux du rotationnelde ce même champ vectoriel à travers n'importe quelle surface ouverte Σ s'appuyant sur Γ. C'estloin d'être trivial ; l'intérêt sera calculatoire en magnétostatique.

2.4.4 Résumé sur les opérateurs diérentiels

L'opérateur diérentiel ~∇ permet d'obtenir des informations sur les variations locales d'unchamp vectoriel ou scalaire. Déni à partir du calcul des variations d'un champ scalaire (gradient),il agit aussi sur les champs vectoriels à travers un produit scalaire (divergent) ou un produitvectoriel (rotationnel) (voir tableau 2.4.1). Ce que signient ces opérateurs :

le gradient est un vecteur dont les composantes sont les pentes associées aux directionsdénies par les vecteurs de la base choisie ;

le divergent fournit le ux du champ vectoriel à travers une surface fermée innitésimale,par unité de volume, en chaque point de l'espace ;

les composantes du rotationnel d'un champ vectoriel donnent la circulation à travers uncontour innitésimal fermé, par unité de surface. Les trois composantes correspondent auxtrois orientations possibles du contour.

2.4.5 Identités vectorielles

L'application combinée de l'opérateur diérentiel ~∇ conduit à certains identités bien connuesà force de les manipuler. En voici quelques unes :−→rot(−−→

gradf)≡ ~∇∧

(~∇f)

= ~0

div(−→

rot ~A)≡ ~∇ ·

(~∇∧ ~A

)= 0

19


div(−−→

gradf)≡ ~∇ ·

(~∇f)

=(~∇ · ~∇

)f ≡ ∆f

−→rot(−→

rot ~A)

=−−→grad

(div ~A

)−(

div−−→grad

)~A ou bien ~∇∧

(~∇∧ ~A

)= ~∇

(~∇ · ~A

)−(~∇ · ~∇

)~A ≡ ~∇

(~∇ · ~A

)−

∆ ~A

20

Chapitre 3

Champ et potentiel électrostatiques

3.1 Le champ électrostatique

3.1.1 La loi de Coulomb

La loi de Coulomb exprime le fait expérimental qu'une charge ponctuelle qM placée en un pointM subit, de la part d'une charge ponctuelle qP placée en un point P , une force

~F (M) = kCqMqPPM3

−−→PM. (3.1)

où la constante de Coulomb introduite dans l'introduction peut s'écrire

kC ≡1

4πε0(3.2)

où apparait la permittivité du vide ε0 ≈ 8, 85×10−12 C2·N−1·m−2 (ou F.m−1). La charge électriqueest une quantité signée positivement ou négativement. Deux charges ponctuelles subissent une forcerépulsive lorsqu'elles sont de même signe et une force attractive lorsqu'elles sont de signes opposés(cf. g. 3.1) .

Le champ électrostatique produit par la charge qP au pointM est déni comme étant la quantitévectorielle

~E(M) = kCqPPM3

−−→PM. (3.3)

On note la relation simple~F (M) = qM ~E(M). (3.4)

Plusieurs manières d'appréhender le champ électrique sont possibles : on peut s'en tenir à ladénition mathématique, on peut aussi dire que le champ électrique correspond à la force parunité de charge, ou encore le voir comme une propriété de l'espace résultant de la présence de

charges dans l'environnement. D'après la relation 3.4, on a[~E]

=N·C−1.

Figure 3.1 Orientations possibles des forces électriques d'interaction d'un système de deuxcharges en fonction de leur signe.

21

Chapitre 3. Champ et potentiel électrostatiques

Figure 3.2 Illustration du principe de superposition dans le cas d'un ensemble de trois charges.Le champ d'induction électrique total au point M résulte de la somme vectorielle des champsproduits par chacune des charges.

3.1.2 Principe de superposition

Un ensemble discret de N charges qPi produit une force sur la charge positionnée en M

~F (M) = kCqM

N∑i=1

qPiPiM3

−−→PiM. (3.5)

La force totale obéit au principe de superposition des interactions par paire. Le champ électriquesuit la même logique :

~E(M) = kC

N∑i=1

qPiPiM3

−−→PiM, (3.6)

=1

qM

(kCqM

N∑i=1

qPiPiM3

−−→PiM

),

=~F (M)

qM.

Bien que les charges soient portées par des particules électrons, ions , elles peuvent être en grandnombre dans des régions de l'espace considérées petites par rapport aux dimensions pertinentes duproblème posée. Au lieu de raisonner à partir des charges élémentaires, on dénit alors des densitésde charge que l'on catégorise selon leur dimension :

la densité linéique λ = dq/dl [C·m−1] est la quantité de charges dq contenue dans un élémentde longueur dl ;

la densité surfacique σ = dq/dS [C·m−2] est la quantité de charges dq contenue dans unélément de surface dS ;

la densité volumique ρ = dq/dV [C·m−3] est la quantité de charges dq contenue dans unélément de surface dV .

En substituant la somme discrète de l'expression 3.6 par une somme intégrale, le principe desuperposition prend les formes suivantes :

~E(M) = kC

ˆλ(P )

PM3

−−→PMdlP , (3.7)

~E(M) = kC

ˆσ(P )

PM3

−−→PMdSP , (3.8)

~E(M) = kC

ˆρ(P )

PM3

−−→PMdVP . (3.9)

N.B. Le principe de superposition appliquées à des quantités vectorielles repose surla sommation vectorielle, à bien distinguer de la sommation scalaire (g 3.2).

22

3.1. Le champ électrostatique

Figure 3.3 Forme du champ pour une distribution de charges présentant une symétrie de réexionpar rapport à un plan : (a) sans inversion de charges (b) avec inversion de charges.

Exemples

Soit un anneau de rayon R de densité linéique uniforme λ. L'anneau est inscrit dans le plan(xOy) et centré sur O. Le champ électrique produit en tout point de l'axe Oz est déterminé grâce

à l'expression 3.7, où P est un point de l'anneau, et M un point de l'axe. On a−−→PM =

−−→PO+

−−→OM .

En utilisant les coordonnées cylindriques, la base associée,−−→PO = −R~uρ et

−−→OM = z~uz, et la norme

PM =√R2 + z2, le principe de superposition donne

~E(M) = kC

ânneau

λ

(R2 + z2)3/2

(z~uz −R~uρ)Rdθ. (3.10)

En prenant en compte le fait que les vecteurs de la base mobile varient dans la sommation inté-grale (le vecteur ~uρ tourne lors de l'intégration sur θ), on comprend que les contributions radialesau champ total dues à la portion de l'anneau ρdθ et à celle diamétralement opposée s'annulent(mathématiquement

´f(ρ)~uρdθ = 0). Il reste l'intégrale sur la composante z qui est triviale (mul-

tiplication par 2π) :

~E(M) = kC2πλRz

(R2 + z2)3/2

~uz. (3.11)

que l'on peut réécrire, avec Q =´λRdθ = 2πλR la charge totale de l'anneau,

~E(M) = kCQz

(R2 + z2)3/2

~uz. (3.12)

3.1.3 Symétries et invariances de la distribution de charges

En recensant les invariances et symétries des distributions de charge, il est possible de préciser laforme du champ, de faciliter ou de rendre possible certains calculs. L'idée repose sur le principe deCurie qui stipule que lorsque certaines causes produisent certains eets, les éléments de symétriedes causes doivent se retrouver dans les eets produits. Attention, la réciproque n'est pas vraie :certains eets produits peuvent être plus symétriques que leur cause.

Invariances

Le champ électrique n'est fonction que des coordonnées dont dépend la distribution de charge.

23


Symétries

Le principe de superposition implique que la structure du champ électrique est déterminée selonles symétries de la distribution de charges.

1. Symétrie de réexion par rapport à un plan sans inversion. La distribution de charges estsymétrique par rapport à un plan Π (voir g. 3.3a). Aux points M et M ′ = Π(M), lescomposantes du champ obéissent aux relations

~E‖(M) = ~E‖(M′), (3.13)

E⊥(M) = −E⊥(M ′). (3.14)

Si M ∈ Π, la direction du champ ~E est parallèle au plan Π (car E⊥(M) = 0).

2. Symétrie de réexion par rapport à un plan avec inversion. La distribution de charges estsymétrique et s'oppose en signe par rapport à un plan Π (voir g. 3.3b). Aux points M etM ′ = Π(M), les composantes du champ obéissent aux relations

~E‖(M) = − ~E‖(M ′), (3.15)

E⊥(M) = E⊥(M ′). (3.16)

Si M ∈ Π, la direction du champ ~E est perpendiculaire au plan Π (car ~E‖(M) = 0).

3. Symétrie de réexion par rapport à un axe. La distribution de charges est symétrique parrapport à un axe ∆. Puisque tout plan passant par ∆ est plan de réexion, tout point Mappartient à un plan de réexion : ~E est contenu dans ces plans. Pour M ∈ ∆, ~E ‖ ∆.

4. Symétrie de réexion par rapport à un point. La distribution de charges est symétrique parrapport à un axe O. Puisque toute droite passant par O est un axe de réexion, tout pointM appartient à un axe de réexion : ~E est parallèle à ces axes, autrement dit ~E ‖ ~OM estradial.

Exemple

Un cylindre chargé de longueur nie accepte une symétrie axiale et une symétrie de réexionpar rapport au plan médiateur. O, le centre du repère cartésien est placé au centre du cylindre, etl'axe Oz est dirigé selon sa longueur. En utilisant les coordonnées cylindriques, on détermine lespropriétés d'invariance et de symétrie du champ électrique ~E suivantes :

~E ne dépend pas de la coordonnée θ (invariance de la distribution) ; en tout point de l'espace, ~E n'a pas de composante suivant ~uθ (conséquence de la symétrie

axiale), et sur l'axe Oz, E(z) = Ez(z)~uz ; d'après les relations 3.13 et 3.14, le plan de symétrie perpendiculaire à l'axe Oz et passant

par O impose Ez(ρ, z) = −Ez(ρ,−z) et Eρ(ρ, z) = −Eρ(ρ,−z) ; en particulier, sur le planlui-même la composante suivant z est nulle.

3.1.4 Lignes de champ

Pour cartographier le comportement d'un champ électrique dans une région de l'espace, onutilise le concept de ligne de champ. Par dénition, ces lignes sont parallèles au champ électriqueen tout point de l'espace. Elles sont calculées à partir de l'expression

~E ∧ d~l = ~0 (3.17)

qui fournit trois relations d'égalité contenant les composantes de d~l : en les intégrant, on trouveles équations des lignes de champ.

24

3.2. Potentiel électrostatique

Exemple

Une charge ponctuelle est source du champ 3.3. Dans la base sphérique,

~E ∧ d~l =

kCq/r2

00

∧ dr

rdθr sin θdφ

,

= kCq

0− (sin θ/r) dφ

(1/r) dθ

=

000

.

On obtient deux égalités, dθ = 0 et dφ = 0, soit θ et φ constants pour toute valeur de r : les lignesde champ sont radiales.

3.2 Potentiel électrostatique

3.2.1 Relation entre énergie potentielle et potentiel électrique

Si l'on cherche la quantité de travail fournie par la charge qM lors de son déplacement dans unchamp électrique quelconque, il faut intégrer le travail élémentaire

dW = ~F (M) · d~lM . (3.18)

Comme la force ne dépend que de la position (et non de la vitesse ou du temps), la force électriqueest conservative. Autrement dit l'intégrale

´MM ′ dW ne dépend pas du chemin emprunté pour aller

de M ′ à M , et donc~F (M) = −

−−→gradU(M), (3.19)

où U est l'énergie potentielle, et donc dW = −dU . La conséquence directe du caractère conservatifde la force est que, sur un contour fermée, le travail est nul. Si l'on raisonne par unité de charge,l'expression devient

~E(M) = −−−→gradϕ (M) , (3.20)

où ϕ (M) = U(M)qM

est le potentiel électrique, exprimé en volts ; cette nouvelle unité d'exprimer[~E]

=V·m−1.L'intégration de l'expression 3.20 permet de calculer la diérence de potentiel entre

deux points :

ϕ(M)− ϕ(M ′) = −ˆ M

M ′

~E(M) · d~lM (3.21)

3.2.2 Potentiel électrique d'une charge ponctuelle

On calcule l'intégrale 3.21 pour le champ 3.3 produit par une charge ponctuelle :

ϕ(M)− ϕ(M ′) = −ˆ M

M ′

kCq/r2

00

· dr

rdθr sin θdφ

,

= −kCqˆ r

r′

dr

r2,

= kCq

[1

r

]rr′. (3.22)

En renvoyant le point M ′ à l'inni, on réécrit :

ϕ(M) = kCq

r+ ϕ(∞). (3.23)

Le potentiel est donc déni à une constante près : cela ne modie pas la physique du problèmepuisque la force dérive du potentiel. Souvent, et quand c'est possible, on xe ϕ(∞) = 0.

25


3.2.3 Potentiel électrique d'une distribution de charges

On montre que le principe de superposition s'applique aussi au potentiel électrique : soit unedistribution discrète de charges qPi aux points Pi produisant le champ électrique 3.6

~E =

N∑i=1

kCqPiPiM3

−−→PiM,

=

N∑i=1

−kCqPi[−−−−→gradM

(1

PiM+ Ci(∞)

)],

= −−−−−→gradM

[N∑i=1

(kCqPiPiM

+ ϕi(∞)

)],

= −−−−−→gradMϕ(M), (3.24)

On en déduit enn que

ϕ(M) =

N∑i=1

(kCqPiPiM

)+ ϕ(∞), (3.25)

avec ϕ(∞) =∑Ni=1 ϕi(∞) où ϕi(∞) ≡ kCqPiCi(∞) sont des constantes d'intégration.

Les distributions de charges continues linéique, surfacique et volumique donnent respectivementles potentiels électriques

ϕ(M) = kC

ˆλ(P )

PMdlP , (3.26)

ϕ(M) = kC

ˆσ(P )

PMdSP , (3.27)

ϕ(M) = kC

ˆρ(P )

PMdVP . (3.28)

Exemple

Soit un anneau de rayon R de densité linéique uniforme λ. L'anneau est inscrit dans le plan(xOy) et centré autour de O. Quel est le potentiel électrique produit en tout point de l'axe Oz ?On utilise l'expression 3.26, où P est un point de l'anneau, et M un point de l'axe. En utilisantles coordonnées cylindriques, la norme PM =

√R2 + z2, on trouve

ϕ(M) = kC

ânneau

λ

(R2 + z2)1/2

Rdθ

= kC2πλR

(R2 + z2)1/2

(3.29)

que l'on peut réécrire, avec Q =´λRdθ = 2πλR la charge totale de l'anneau,

ϕ(M) = kCQ

(R2 + z2)1/2

. (3.30)

Attention : bien que dans cet exemple on puisse retrouver le champ électrique 3.12 à partir dupotentiel, il faut être prudent de manière générale (exemple : lorsque le potentiel est calculé pourdes régions de l'espace où certaines coordonnées sont nulles, l'application du gradient retourne zéromême s'il y a une variation locale).

26

3.2. Potentiel électrostatique

3.2.4 Surfaces équipotentielles

Les régions de l'espace où, aux points M , le potentiel électrique

ϕ(M) = constante (3.31)

sont appelées surfaces équipotentielles. La dénition 3.31 implique

dϕ(M) = 0,−−−−→gradMϕ(M) · d~lM = 0,

~E(M) · d~lM = 0. (3.32)

Comme d~lM représente un vecteur reliant deux points d'une même surface équipotentielle et queles lignes de champ sont parallèles à ~E(M) par dénition, le produit scalaire nul 3.32 permetd'armer que les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles en tout pointde l'espace.

Exemple

Une charge ponctuelle a un potentiel variant selon la seule coordonnée r : ϕ(M) = constante⇔ r = constante. Puisque le rayon est constant quelles que soient les valeurs des angles θ et φ,alors la surface équipotentielle est une sphère. Le rayon de la sphère xe la valeur du potentiel.

27


28

Chapitre 4

Équations locales du champélectrostatique

4.1 Circulation du champ électrique

Expérimentalement, la force électrique ne dépend que des coordonnées d'espace. En consé-quence, elle est conservative, c'est-à-dire que son travail est indépendant du chemin lorsqu'ondéplace une charge d'un pointM ′ à un pointM (cf. chapitre 3). Le champ électrique étant propor-tionnel à la force électrique, la diérence de potentiel entre ces deux points suit le même principed'invariance vis-à-vis du chemin d'intégration. La conséquence de cette invariance est que, sur unparcours fermé Γ, la circulation ˛

Γ

~Ed~l = 0. (4.1)

En invoquant le théorème de Kevin-Stokes, on trouve que, pour un surface ouverte Σ s'appuyantsur le contour Γ, ˆ

Σ/Γ

−→rot ~E · d~S = 0. (4.2)

Puisque cette égalité ne dépend pas de la forme de Σ, en tout point de l'espace,

−→rot ~E = ~0, (4.3)

c'est-à-dire que la circulation locale du champ électrique est nulle en tout point de l'espace quelleque soit la distribution de charges dans l'espace. C'est une loi physique puisqu'il s'agit d'unepropriété générale du champ électrique. Précisons tout de même que cette loi ne tient qu'en régimestatique (quand les charges ne sont pas accélérées).

4.2 Flux du champ électrique

On voudrait pouvoir exprimer une généralité sur le ux du champ électrique à travers unesurface fermée. On s'intéresse d'abord au cas d'une charge ponctuelle, puis on généralisera à unedistribution de charges quelconque grâce au théorème de superposition.

4.2.1 Cas d'une charge ponctuelle

Supposons une charge q placée au centre O d'un repère orthonormé. On cherche à calculer leux ΦE du champ électrique à travers une surface fermée s'appuyant sur le volume innitésimalen coordonnées sphériques autour d'un point d'observation M quelconque (cf g. 4.1). Comme onsait que le champ électrique ~E est radial, une contribution non nulle au ux ne peut provenir quedes deux surfaces orientées suivant la direction ~ur =

−−→OM/OM ,

d~S1 = −r21 sin θdθdφ~ur,

29

Chapitre 4. Équations locales du champ électrostatique

Figure 4.1 Le ux du champ électrique produit par une charge ponctuelle à travers une surfacefermée ne contenant pas la charge source est nul. La surface s'appuie sur un volume innitésimalen coordonnées sphériques qui présente quatre surfaces latérales à travers lesquelles le ux est nulet deux surfaces dS1 et dS2 à travers lesquelles les ux s'opposent exactement.

Figure 4.2 Flux électrostatique à travers une surface fermée Σ de forme quelconque contenantune charge q. Σ est scindée en deux surfaces complémentaires, Σ\q et Σ(q), la seconde étantsphérique et centrée sur la charge q. La contribution au ux à travers Σ\q est nulle, seule intervientcelle à travers Σ(q), qui vaut q/ε0.

d~S2 = r22 sin θdθdφ~ur.

Puisque le champ ~E ∝(1/r2

)~ur et que les vecteurs surfaces sont dirigés de l'intérieur à l'extérieur

de la surface, les ux se compensent car

ΦE(dS2) = −ΦE(dS1) = kCq sin θdθdφ.

On en déduit que le ux local du champ électrique produit par une charge ponctuelle est nul entoute région de l'espace ne contenant pas la charge. En invoquant la propriété d'additivité du ux,on généralise cette propriété à un volume macroscopique‹

Σ\q~Ed~S = 0, (4.4)

où Σ\q est une surface fermée ne contenant pas la charge ponctuelle q.Pour calculer le ux à travers une surface englobant la charge, on scinde le calcul intégral du

ux en deux parties, l'une sur une surface ne contenant pas la charge, l'autre l'englobant dans unvolume sphérique Σ(q) (cf. g. 4.2)˛

Σ

~Ed~S =

˛Σ\q

~Ed~S +

˛Σ(q)

~Ed~S

30

4.2. Flux du champ électrique

Le premier terme du second membre est nul, le deuxième est obtenu par le calcul simple

˛Σ(q)

~Ed~S =

ˆ 2π

0

[ˆ π

0

kCqdθ

]dφ,

= 4πkCq,

=q

ε0. (4.5)

En conclusion préliminaire, on peut dire que le ux fermé du champ électrique produit par unecharge ponctuelle dépend du contenu de la surface fermée : si la charge n'y est pas, il est nul, sielle y est, il vaut q/ε0.

4.2.2 Cas d'une distribution de charges - théorème de Gauss

Grâce au théorème de superposition, on peut généraliser le résultat obtenu précédemment au casd'une distribution quelconque de charges. A travers une surface Σ englobant un nombre quelconquede charges qPi , le ux

ΦE =

˛Σ

~E(M) · d~SM ,

=

N∑i=1

˛Σ

kCqPiPiM3

−−→PiM · d~SM

=

N∑i=1

˛Σ\qPi

kCqPiPiM3

−−→PiM · d~SM +

+

N∑i=1

δi

(˛Σ(qPi )

kCqPiPiM3

−−→PiM · d~SM

), (4.6)

où δi est une fonction discrète égale à 1 si la charge qPi est contenue dans le volume délimité parΣ et sinon égale à 0. Par construction, le premier terme du second membre de l'expression 4.6 estnul. Il reste

ΦE =

˛Σ

~E · d~S =Qintε0

, (4.7)

où Qint est la somme des charges internes dans le volume délimité par la surface Σ. On vientd'établir que pour une distribution de charges quelconque, le ux électrique à travers une surfacefermée quelconque est directement proportionnel à la somme des charges contenues dans la surface.Ce résultat s'appelle le théorème de Gauss.

En passant à des variables continues, Qint =´V/Σ

ρd3V (ρ est la densité volumique de charges),le théorème de Green-Ostrogradsky permet d'écrire

ˆV/Σ

div ~EdV =Qintε0

. (4.8)

une expression où le terme à intégrer représente le ux à travers la surface innitésimale enveloppantle volume d3V . On en tire la loi locale

div ~E =ρ

ε0(4.9)

Application du théorème de Gauss

Le théorème de Gauss permet de résoudre quelques problèmes où les distributions de chargesprésentent susamment de symétries. La démarche est toujours la suivante :

1. Choix d'un système de coordonnées adéquat, analyse des symétries et invariances : déter-mination des composantes non nulles et des coordonnées pertinentes du champ électrique ;

31


2. Choix d'une surface d'intégration Σ telle que ~E ne dépende pas des variables d'intégrationet soit colinéaire aux vecteurs éléments de surface d2~S en tout point : ainsi ~E peut être sortide l'intégrale ;

3. Calcul de la quantité de charges Qint contenue dans le volume délimité par la surface Σ ;

4. Obtention de l'expression de ~E.

Exemple

Soit un l inniment long dirigé selon Oz, chargé d'une densité linéique homogène λ. Calculonsle champ en tout point de l'espace grâce au théorème de Gauss.

1. Le système de coordonnées cylindriques est le plus adapté à la symétrie de la distributionde charges. Le champ électrique, comme la distribution de charges, ne dépendent que de lacoordonnée ρ. L'axe Oz est un axe de symétrie et tout plan perpendiculaire à cet axe estun plan de symétrie ; le champ électrique n'a donc qu'une composante non nulle suivant ~uρ.En résumé ~E(M) = E(ρ)~uρ ∀M .

2. La surface Σ constituée de vecteurs d~S en tout point colinéaires à ~E est un cylindre de rayonρ et de hauteur H qui est fermée à la base et au sommet du cylindre par des disques à traverslesquels aucun ux n'est traversant. Pour les parois latérales du cylindre d2~S = ρdθdz~uρ, etpour les disques d~S = ±ρdθdρ~uz. A travers cette surface fermée, on trouve le ux

ΦE =

˛Σ

~E · d~S,

=

¨Σlateral

(E(ρ)~uρ) · (ρdθdz~uρ) +

¨Σdisques

(E(ρ)~uρ) · (ρdθdρ~uz) ,

= ρE(ρ)

(¨Σlateral

dθdz

),

où E(ρ) est hors de l'intégrale. Enn,˜

Σlateraldθdz =

´ 2π

0dθ´ z+Hz

dz = 2πH.

3. A l'intérieur du volume déni par la surface Σ, on trouve la quantité de charges Qint =´ z+Hz

λdz = λH.

4. Le théorème de Gauss 4.7 s'écrit donc

ρE(ρ)2πH =λH

ε0,

et l'on conclut qu'en tout point de l'espace,

~E =λ

2πε0ρ~uρ.

4.3 Solutions générales en électrostatique - équation de Pois-son

Les expressions 4.3 et 4.9 forment un jeu d'équations diérentielles couplées dont les solutionsdonnent le champ en tout point de l'espace. La solution générale de ce problème est connue puisqu'ilsut d'appliquer le principe de superposition. Son expression intégrale consiste à sommer toutesles contributions agissant selon la loi de Coulomb :

~E(M) =

ˆkC

ρPPM3

−−→PMdVP . (4.10)

D'autre part, en injectant ~E = −−−→gradϕ dans l'équation locale 4.9, on établit l'équation de Poisson

∆ϕ = − ρ

ε0, (4.11)

32

4.3. Solutions générales en électrostatique - équation de Poisson

Système de coordonnées Expression de l'opérateur Laplacien

cartésiennes ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2

cylindriques 1ρ∂∂ρ

(ρ ∂∂ρ

)+ 1

ρ2∂2

∂θ2 + ∂2

∂z2

sphériques 1r2

∂∂r

(r2 ∂∂r

)+ 1

r2 sin θ∂∂θ

(sin θ ∂∂θ

)+ 1

r2 sin θ∂2

∂φ2

Table 4.1 Expression de l'opérateur laplacien dans diérents systèmes de coordonnées.

où ∆ ≡ div(−−→

grad)est un opérateur diérentiel appelé opérateur laplacien. Le laplacien fait in-

tervenir des dérivées partielles d'ordre deux par rapport aux coordonnées choisies. Le tableau 4.1liste son expression dans les principaux systèmes de coordonnées utilisés dans ce cours. La solutiongénérale de l'équation diérentielle 4.11 est aussi donnée par le principe de superposition :

ϕ(M) =

ˆρP

4πε0PMdVP . (4.12)

33


4.4 Complément : les lois de diusion en physique

Le théorème de Gauss décrit fondamentalement une loi de conservation : si un ensemble decharges est localisé dans l'espace, le ux à travers une surface fermée englobant toutes ces chargesest une constante qui ne dépend pas de la forme de la surface : les charges agissent comme sourcedu champ électrique. Il existe de nombreux problèmes de physique obéissant à un principe deconservation, et il est facile d'exporter le formalisme utilisé dans ce cours pour décrire diversphénomènes de transports.

4.4.1 Diusion de la matière

Supposons un ensemble de particules de matière se diusant dans un milieu homogène (fuméedans l'air, encre dans l'eau). Parce qu'il y a conservation de la matière, la quantité totale qui passeà travers une surface fermée correspond à celle perdue par l'intérieur de la surface, autrement dit

Φ =

˛Σ

ρ(M, t)~vN (M, t)d~SM = −dNdt, (4.13)

où ρ(M, t) est la densité de matière diusée (en nombre de particules par unité de volume, m−3),~vN (M, t) le vecteur vitesse de cette matière (on écrit aussi ~jN (M, t) ≡ ρ(M, t)~vN (M, t) le vecteurdensité volumique de ux, en m−2s−1), et dN/dt le nombre de particules perdues ou gagnées parunité de temps à l'intérieur de la surface fermée Σ. Ce débit de particules s'écrit sous une formeintégrale

dN

dt=

d

dt

ˆV/Σ

ρ(M, t)dVM , . (4.14)

L'utilisation du théorème de Green-Ostrogradsky sur l'intégrale de l'expression 4.13 combinée aupassage de la dérivation sous l'intégrale de l'expression 4.14 (elle devient une dérivée partielle parrapport au temps) fournit la loi locale de la diusion de la matière

div (ρ~vN ) = −∂ρ∂t, (4.15)

qui présente le défaut de dépendre des deux grandeurs distinctes ρ et ~vN Pour rapporter l'une àl'autre, on peut chercher à expliciter comment migre la matière dans le milieu. Un des modèles lesplus simples propose que la densité de ux ~j soit dirigée vers les zones où il y a moins de particules ;il s'agit de la première loi de Fick

~jN = −D−−→gradρ, (4.16)

où l'on reconnait le gradient sur la densité de matière, un signe négatif pour donner la bonnedirection, et un coecient de proportionnalité appelé coecient de diusion D (en m2.s−1). Eninsérant ce résultat dans l'expression 4.15, on obtient une loi sur ρ appelée la seconde loi de Fick

D∆ρ =∂ρ

∂t. (4.17)

4.4.2 Propagation de la chaleur

Supposons une ou des sources de chaleur (chauage, résistance chauante, volcan) plongéesdans un milieu matériel (gaz, liquide ou solide). Cette chaleur, qui est une énergie, se diuse dansle milieu. A quelle vitesse ? dans quelle direction ? Ce sont là des premières questions intéressantes.Le premier élément de réponse vient du premier principe de la thermodynamique : l'énergie estune grandeur qui se conserve. Son transport n'aectant pas ce principe, on doit retrouver l'idéeque la perte ou le gain de chaleur dans un volume V doit égaliser la quantité d'énergie produite etdiusée à travers la surface délimitant V par unité de temps. Mathématiquement

dQ

dt= −

˛Σ/V

~jQ(M)d~SM +

ˆV

P (M)dVM , (4.18)

34

4.4. Complément : les lois de diusion en physique

où ~jQ (en J.m−2.s−1 ou W.m−2) est le vecteur densité de ux de chaleur, P (M) représente lessources de chaleur (en W.m−3) et la chaleur

Q =

ˆV

ρ(M)cm(M)T (M)dVM (4.19)

est une somme sur l'énergie calorique contenue dans les éléments de masse ρdV , cm est la capacitécalorique massique locale et T est la température locale. Le théorème de Green-Ostrogradskydonne la version locale de cette loi :

div~jQ = −∂ (ρcmT )

∂t+ P. (4.20)

Si on considère un milieu composé d'un seul matériau dont la densité et la capacité calorique sontindépendantes de la température, on obtient

div~jQ = −k∂T∂t

+ P, (4.21)

avec k = ρcm en J.m−3.K−1. Parallèlement à ce résultat, la loi de Fourier qui est à la diusionde la chaleur ce que la première loi de Fick est à la diusion de la matière, établit, de manièreempirique, que le vecteur densité de ux de chaleur est proportionnel au gradient de température,soit

~jQ = −λ−−→gradT, (4.22)

où λ (en W.m−1.K−1) est le coecient de proportionnalité appelé conductivité thermique. Enassociant la loi de Fick à la loi de conservation de l'énergie, on obtient l'équation de la chaleur

k∂T

∂t= λ∆T + P. (4.23)

35


36

Chapitre 5

Modèle électrostatique : (I) le dipôle

5.1 Dénition et intérêt du modèle

Quand une région de l'espace contient autant de charges négatives que positives, la neutralité del'ensemble implique l'absence d'eet électrique aux très grandes distances vis-à-vis de cette région.Cependant, du fait de la séparation de ces charges, celles-ci produisent des eets non négligeablesà faibles distances. La portée de ces eets se caractérise par la loi de puissance sur la distance :alors qu'une charge simple (monopôle) produit un champ en 1/r2, le dipôle le produira en 1/r3.Pour les puissances successives en 1/r4, 1/r5, on parle respectivement de quadrupôle, octupôle.

Les dipôles stationnaires, qu'ils soient permanents ou induits, expliquent de nombreux com-portements macroscopiques tels que la plupart des propriétés des liquides (tension supercielle,viscosité, changement d'état), la réponse des matériaux isolants à un champ électrique externe,etc. Les dipôles non stationnaires sont quant à eux sources de rayonnement : la plupart des tran-sitions optiques ont pour origine un dipôle induit oscillant.

5.1.1 Le moment dipolaire

Le moment dipolaire d'un système de charges qi par rapport à un point O choisi est dénicomme

~p =∑i

qi−−→OMi. (5.1)

Cette quantité est indépendante du point O lorsque la somme des charges positives (+q) égale,avec le signe opposé, celle des charges négatives (−q) . Le moment dipolaire se réduit alors audipôle électrostatique

~p = q−−→NP, (5.2)

où ~NP est un vecteur dirigé du barycentre des charges négatives (N) à celui des charges positives(P ).

5.2 Modèle de deux charges ponctuelles

5.2.1 Potentiel électrique dipolaire

Dans un repère orthonormé, on place deux charges sur l'axe z ; la charge positive q est au pointP , de côte z = d/2 et la charge négative −q au point N de côte z = −d/2. En utilisant le principede superposition, on calcule, en tout point M , le potentiel électrostatique

ϕ(M) =kcq

PM− kcq

NM,

= kcq

(1

PM− 1

NM

), (5.3)

37

Chapitre 5. Modèle électrostatique : (I) le dipôle

où il faut calculer les distances. Dans le système de coordonnées sphériques,−−→PM =

−−→PO +

−−→OM =

−d2~uz+r~ur, dont la norme est∥∥∥−−→PM∥∥∥ =

√r2 − dr cos θ + d2

4 = r√

1− dr cos θ + d2

4r2 . Une opération

très similaire donne∥∥∥−−→NM∥∥∥ = r

√1 + d

r cos θ + d2

4r2 . On obtient ainsi la solution exacte

ϕd(M) =kcq

r

1√1− d

r cos θ + d2

4r2

− 1√1 + d

r cos θ + d2

4r2

, (5.4)

qui peut être simpliée grâce à des approximations à grandes distances (r d) : les développementslimités à l'ordre 1 en d/r des racines aux dénominateurs conduisent à

ϕd(M) ≈ kCqd cos θ

r2, (5.5)

que l'on peut réécrire

ϕd(M) ≈ kC~p · ~rr3

. (5.6)

Ces approximations sont justiées pour deux raisons. Tout d'abord, r d est légitime car sir ∼ d, on ne parle plus de dipôle, mais d'un champ créé par deux groupes de charges. Enn, lesexpressions 5.5 ou 5.6 sont bien plus simples que la formule exacte.

L'équation des surfaces équipotentielles s'obtient immédiatement ; elles possède une symétriede révolution autour de l'axe Oz, et sont dénies par la distance à l'origine

r(θ) =

√kCp cos θ

V0. (5.7)

Le résultat est sur la gure 5.1.

5.2.2 Le champ électrique dipolaire

A partir de la relation ~Ed = −−−→gradϕd

1, on détermine les composantes du champ électrique

~Ed =kCp

r3(2 cos θ~ur + sin θ~uθ) . (5.8)

qui varient, comme attendu, en 1/r3.On sait que les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles déterminées

précédemment. Les équations des lignes de champ s'obtiennent à partir de ~Ed ∧ d~l = ~0, ce quidonne φ = constante et 2r cos θdθ − sin θdr = 0. Après intégration de cette équation, on trouve ladépendance

r(θ) = C sin2 θ (5.9)

représentée sur la gure 5.1.

5.3 Développement multipolaire

On considère un ensemble de charges repérées par leur indice i ; ~ri =−−→OPi sont les vecteurs

reliant l'origine du repère O aux charges i, et ~r =−−→OM est le vecteur reliant l'origine au point M

d'observation. On a∥∥∥−−→OPi∥∥∥ ∥∥∥−−→OM∥∥∥ ∀i. D'après le théorème de superposition, le potentiel vaut

exactementϕd(M) = kC

∑i

qiPiM

. (5.10)

1. En coordonnées sphériques,−−→grad =

(∂r,

1r∂θ,

1r sin θ

∂φ).

38

5.3. Développement multipolaire

Figure 5.1 Lignes de champ (trait plein) et surfaces équipotentielles (tirets) du dipôle électro-statique pour ϕ′ = 5, 10 20 (on utilise les grandeurs réduites ~r′ = ~r/d, ϕ′ = ϕd/qkC). Les lobeséquipotentiels de la région z > 0 sont positifs tandis que ceux de la région z < 0 sont négatifs.

La distance au dénominateur

PiM = ‖~r − ~ri‖ ,

= r

(1− 2

~r · ~rir2

+r2i

r2

) 12

, (5.11)

permet de développer 2

PiM−1 =

1

r

[1 +

~r · ~rir2

+3

2

(~r · ~rir2

)2

− 1

2

r2i

r2+ ...

], (5.12)

et de faire l'approximation

ϕd(M) = kCQ

r+ kC

−→P · (−→r /r)

r2+ kC

Q2r3

+ ..., (5.13)

oùQ =

∑i

qi (5.14)

est la charge totale de la distribution,~P =

∑i

qi~ri (5.15)

est le moment dipolaire et

Q =∑i

[3 (~r · ~ri)2

/r2 − r2i

](5.16)

est lié au moment quadrupolaire. On remarque que si la charge totale Q = 0, ~P ne dépend pasde l'origine du repère. De plus, si on introduit les barycentres P et N des charges positives etnégatives (tel que

∑qi<0

qi−−→NPi = ~0 et

∑qi>0

qi−−→PPi = ~0, on retrouve, à partir de 5.15, la dénition

initiale 5.2.

2. Rappel : (1 + ε)−12 = 1− 1

2ε+ 3

8ε2 − 5

16ε3 + Θ(ε4).

39

Chapitre 5. Modèle électrostatique : (I) le dipôle

40

Chapitre 6

Modèle électrostatique : (II) Lesconducteurs

6.1 Conducteur à l'équilibre

Les conducteurs sont des corps dans lesquels les charges peuvent facilement être accumuléset sont libres de se mouvoir. Il peut s'agir de métaux (solides ou liquides) comme de solutionsélectrolytes (liquides) ou encore de plasmas (gaz). Dans cette partie du cours, on s'intéresse auxconducteurs dans leur état d'équilibre, c'est-à-dire tel qu'il n'existe pas de déplacements macro-scopiques de charges. On considèrera les charges comme immobiles même si, en réalité, elles sedéplacent (eets quantique et thermique) : ce qui compte, c'est que le critère d'immobilité soitrespectée en moyenne et qu'il n'y ait pas de déplacements macroscopiques transitoires.

6.2 Généralités sur le champ et le potentiel électriques dansun conducteur

Dans la masse du conducteur, la condition d'équilibre impose un champ électrique

~Ein = ~0 (6.1)

car si ~Ein était non nul, les charges seraient macroscopiquement accélérées. On en déduit

ϕin = constant (6.2)

dans tout le corps du conducteur jusqu'à sa surface qui est donc une équipotentielle.Autre déduction : si le champ électrique est nul, son divergent est nul, et la densité de charge l'est

aussi dans tout le conducteur. Pour expliquer le possible excédent de charges d'un conducteur, ilfaut donc nécessairement que les charges se localisent au niveau de la surface. La densité surfaciquede charges σ sur un conducteur est distribuée de telle manière qu'en tout point intérieur le champélectrique s'annule.

Champ à l'intérieur d'une cavité dans un conducteur

Si une masse conductrice enferme une cavité vide, la surface de cette cavité a une densitésurfacique de charges σcav = 0 en tout point. Démonstration :

1. Le théorème de Gauss indique que la charge totale déposée sur la surface de cette cavité estnécessairement nulle. Toutefois cela n'impose pas σcav = 0 en tout point.

2. Si σcav 6= 0, alors il existerait des lignes de champ dans la cavité. Dans ce cas, la circulationdu champ électrique sur un parcours fermé, suivant une de ligne de champ quelconque,et refermée dans la masse conductrice où ~Ein = ~0 serait non nul. Comme il faut assurer¸~Ed~l = 0, il ne peut y avoir de ligne de champ dans la cavité et donc σcav = 0.

41

Chapitre 6. Modèle électrostatique : (II) Les conducteurs

Figure 6.1 Surface de Gauss utilisée pour déterminer le champ électrique à la surface d'unconducteur ( ~Esur). La section du cylindre est un disque de surface d2S. A cet endroit de la surfacedu conducteur la densité de charges vaut σ.

6.3 Généralité sur le champ et le potentiel hors d'un conduc-teur

6.3.1 Champ électrique sur la surface

A la surface du conducteur, la distribution de charges σ crée un champ externe

~Esur =σ

ε0~n (6.3)

où ~n est un vecteur unitaire normal à la surface dirigé de l'intérieur vers l'extérieur. Pour le démon-trer, il sut d'appliquer le théorème de Gauss à une surface fermée, cylindrique, et innitésimaleplacée sur la surface du conducteur, comme indiqué sur la gure 6.1. On choisit une hauteur de cy-lindre susamment petite pour que le ux latérale soit négligeable. Le ux à travers le disque situédans le cylindre est nul puisque le champ y est nul. Le ux à travers le disque situé à l'extérieur duconducteur vaut dφ = ~Esur · ~ndS. Ce ux est proportionnel à la charge dQ = σdS contenue dansle cylindre. On obtient ainsi l'expression 6.3.

6.3.2 Pression électrostatique

Si les charges d'un conducteur sont disposées sur la surface, celles-ci subissent une répulsionélectrostatique due à la présence de toutes les autres. La force exercée par unité de surface est lapression électrostatique

Pe =

∥∥∥∥∥d~FdS∥∥∥∥∥ =

σ2

2ε0(6.4)

On le démontre en considérant une région innitésimale de la surface dS contenant dQ = σdS etsubissant la force engendrée par le champ électrique ~Ea de toutes les autres charges du conducteur :d~F = ~EaσdS. On sait que ~Ea = ~Esur − ~EdS , où ~EdS est le champ produit par les charges situéesuniquement sur dS. Sur celle-ci, le champ ~EdS est le même que celui produit par une distributionrépartie uniformément sur un plan, soit ~EdS = σ

2ε0~n. On obtient donc ~Ea = σ

2ε0~n, et immédiatement

la pression recherchée.

6.3.3 Notion de capacité

Lorsque l'on porte à un certain potentiel un conducteur ϕ, celui-ci acquiert une certaine chargeQ. Quel est le lien entre potentiel et quantité de charges ? Pour le trouver, il sut d'écrire le

42

6.4. Deux conducteurs à l'équilibre

Figure 6.2 Deux conducteurs en inuence répondent au théorème des éléments correspondants :les régions de leur surface reliées par un faisceau de lignes de champ ont des quantités de chargesQ1 et Q2 = −Q1.

potentiel dans le cas d'un corps où les charges sont en surface

ϕ ≡ ϕ(M) =

‹σP

4πε0PMdSP ,

où P etM sont des points de la surface, et de le comparer à la quantité totale de charges présentessur la surface

Q =

‹σP dSP .

On constate qu'une variation quelconque de la densité supercielle de charge σP modie dans lesmêmes proportions ϕ et Q. Autrement dit, le potentiel et la charge sont deux quantités reliées parun coecient de proportionnalité appelé capacité

C = Q/ϕ (6.5)

qui dépend uniquement de la géométrie du conducteur.

6.4 Deux conducteurs à l'équilibre

6.4.1 L'inuence électrostatique

Deux masses conductrices, pour peu que quelques charges se trouvent à leur surface, produisentdes champs électriques. Si ces conducteurs sont susamment proches, le champ de l'un attire ourepousse les charges de l'autre, et conduit à un nouvel état d'équilibre où le champ électrique àl'intérieur des deux conducteurs est nul. C'est l'inuence électrostatique. Dans ce type de dispositif,l'opérateur peut xer le potentiel électrique ou (exclusif) la charge de chaque conducteur. Pourxer le potentiel, il faut connecter le conducteur à une source de tension 1 ; pour xer la charge,il sut d'isoler électriquement le conducteur. Si l'on modie l'une ou l'autre de ces grandeurs ouque l'on déplace les conducteurs, les distributions de charge s'ajustent d'elles-mêmes sous l'actiondes forces électrostatiques.

6.4.2 Le théorème des éléments correspondants

Supposons deux conducteurs à l'équilibre soumis à des eets d'inuence. Supposons en outreque l'on puisse trouver un faisceau de lignes de champ partant du premier conducteur et aboutissantsur le second. Le volume déni par ce faisceau, comme indiqué sur la gure 6.2, sert de support àune surface de Gauss qui se referme dans les deux conducteurs. Par construction, le ux à traverstoute cette surface est nul car 1) le champ électrique à l'intérieur des conducteur est nul, 2) lechamp ~E à l'extérieur des conducteurs est perpendiculaire à la surface de Gauss. Si le ux total

1. Une source de tension fournit ou prélève des charges tant que la tension requise n'est pas atteinte.

43


est nul alors la quantité de charges contenue dans cette surface l'est aussi. On en déduit que lasomme des charges supercielles contenues dans la surface de Gauss est soumise à la contrainte

Q1 +Q2 = 0,

ce qui constitue le théorème des éléments correspondants.Lorsqu'un des conducteurs entoure complètement le second, ils présentent deux surfaces en

vis-à-vis. On parle alors d'inuence totale car le résultat s'applique à la somme totale des chargesde chacune des surfaces (toutes les lignes de champ partent d'un des conducteurs et nit sur lesecond). En revanche, l'inuence partielle représente le cas complémentaire : il existe des lignes dechamp qui partent de la surface d'un des conducteurs sans aboutir sur le surface du second : lescharges totales Q1 et Q2 portées par les conducteurs sont telles que Q1 6= −Q2.

An de dénir rigoureusement les grandeurs de l'état d'équilibre, prenons deux conducteurs,notés 1 et 2, de surfaces S1 et S2. Les distributions de charge σ1, σ2 permettent d'obtenir lescharges totales

Q1 =

‹S1

σ1dS1,

Q2 =

‹S2

σ2dS2, (6.6)

et les potentiels électriques

ϕ1 ≡ ϕ(M1) =

‹S1

kCσ1

P1M1dS1 +

‹S2

kCσ2

P2M1dS2,

ϕ2 ≡ ϕ(M2) =

‹S1

kCσ1

P1M2dS1 +

‹S2

kCσ2

P2M2dS2, (6.7)

où M1, P1 sont des points de la surface S1, et M2, P2 sont des points de la surface S2. On constateque les distributions de charges sont particulières puisqu'en n'importe quel point de la surface d'unconducteur, le potentiel électrique est constant.

6.4.3 Superposition des solutions

Le principe de superposition arme que deux distributions de charge à l'équilibre σ1, σ2 etσ′1, σ′2 pour lesquelles on trouve respectivement les charges Q1, Q2 et Q′1, Q′2 et les potentielsϕ1, ϕ2 et ϕ′1, ϕ′2, conduit à ce que toute combinaison linéaire ασ1 + βσ′1, ασ2 + βσ′2 soitaussi solution du même système de conducteurs avec les charges αQ1 + βQ′1, αQ2 + βQ′2 et lespotentiels αϕ1+βϕ′1, αϕ2+βϕ′2. Pour s'en assurer, il sut de remarquer que les expressions 6.6 et6.7 sont linéaires par rapport aux distributions de charge. Cette propriété se retrouve directementdans l'équation de Poisson ∆ϕ(M) = −ρ(M)/ε0 qui relie le potentiel électrique à la distributionde charge.

6.4.4 Unicité de la solution

Pour une distribution de charge donnée et un domaine dont le potentiel à la frontière estdéterminé (nul en général), la solution de l'équation de Poisson, c'est-à-dire le potentiel en toutpoint de l'espace est unique. Aussi, cette unicité stipule qu'il n'est possible de trouver les chargestotales Q1, Q2 ou les potentiels ϕ1, ϕ2 que pour une unique distribution σ1, σ2. Cela revientà dire qu'en connaissant Q1, Q2 ou Q1, ϕ2 ou ϕ1, Q2 ou encore ϕ1, ϕ2, tous les autres paramètressont dénis.

On utilise un raisonnement par l'absurde pour la démonstration :Supposons qu'il n'existe pas uniquement σ1, σ2, mais une autre solution σ′1, σ′2 correspon-

dant à Q1, Q2, et ϕ1, ϕ2. Comme‚σidSi =

‚σ′idSi = Qi pour i = 1, 2, cette supposition

impliquerait ‹(σ′i − σi) dSi = 0. (6.8)

44

6.5. Condensateurs

D'après le principe de superposition des solutions, cette intégrale indique que σ′′i = σ′i − σi estaussi une distribution, solution du système de conducteurs en équilibre correspondant à Q′′i = 0 etϕ′′i = 0. Le résultat nul de l'intégrale 6.8 n'implique pas nécessairement que σ′′i soit nul sur toutela surface du conducteur. Si σ′′i 6= 0, alors σ′i 6= σi, et il n'existe pas de solution unique. Il resteque ϕ′′i = 0 et on pose que le potentiel est nul aux limites du domaine du système physique. Sile potentiel était non nul quelque part dans le domaine, il passerait alors nécessairement par unextrémum (puisqu'aux conditions limite il est nul). Autour de cet extrémum, l'équation de Poisson∆ϕ = −ρ/ε0 6= 0 indique qu'il existe alors une densité de charge locale non-nulle dans une région quiest sensé être vide de charge. Cette contradiction invalide l'hypothèse de l'existence d'un extrémumet conduit à armer que ϕ(M) = 0 en tout point M de l'espace. Par conséquent, au niveau de la

surface du conducteur, σ′′i = −ε0−−→gradϕi = 0 et le postulat de départ σ1, σ2 6= σ′1, σ′2 ne tient

pas : il n'existe bien qu'une seule distribution de charge réalisant des valeurs particulières de Qiou ϕi.

6.4.5 Coecients d'inuence

Supposons que l'on xe les conducteurs aux potentiels ϕ1 6= 0 et ϕ2 = 0. Le théorème d'unicitéindique alors que les σi et Qi sont entièrement déterminés. Une multiplication de σi par uneconstante α multiplie les charges Qi et le potentiel ϕ1 par ce même facteur (ϕ2 étant nul, il lereste). Autrement dit, les Qi sont proportionnels à ϕ1. Avec ϕ1 = 0 et ϕ2 6= 0, on déduit que les Qisont proportionnels à ϕ2. Les coecients de proportionnalités sont appelés coecients capacitifsCij , entièrement déterminés par la géométrie des conducteurs, et dénis tels que

Qi =

2∑j=1

Cijϕj (6.9)

une relation qui peut être mise sous la forme matricielle(Q1

Q2

)=

(C11

C21

C12

C22

)(ϕ1

ϕ2

). (6.10)

Le cas où l'un des ϕj est nul donne, pour i 6= j, Qj = Cjiϕiet Qi = Ciiϕi, ce qui fournit lesinformations suivantes :

Les coecients diagonaux C11, C22 sont nécessairement positifs (pour un seul ϕi 6= 0, Qiest du même signe que ϕi).

Les coecients non-diagonaux C12, C21 sont négatifs et C11 ≤ −C21, C22 ≤ −C12 puisquele théorème des éléments correspondants indique que les deux conducteurs ont des chargesde signe opposé et que toutes leurs lignes de champ ne les connectent pas.

Une autre propriété de la matrice capacité, qui sera justiée plus loin dans le chapitre consacré àl'énergie, est sa symétrie (C12 = C21).

6.4.6 Extension à un système de N conducteurs à l'équilibre

Les propriétés de superposition et d'unicité des solutions restent valides puisque ces propriétésreposent sur la forme de l'équation de Poisson (qui ne change pas quel que soit le nombre deconducteurs en jeu). En conséquence, le système de N conducteurs en interaction est entièrementdéni si l'une des grandeurs Qi, ϕi,σi est connue pour chaque conducteur i. La matrice capacitérelie linéairement chaque charge Qi aux potentiels électriques ϕi, et ses propriétés se déduisent dela même manière qu'à la section 6.4.5 : elle est symétrique, Cii > 0, Cij < 0 et enn Cii ≤ −

∑j Cji

6.5 Condensateurs

Les premières formes de condensateur remontent au XVIIIeme siècle. La plus connue est labouteille de Leyde, un des premiers appareils scientiques qui t l'objet de curiosité en dehors descercles savants (dans les salons mondains, les bouteilles chargées d'électricité étaient déchargées de

45


manière spectaculaire). De nos jours, les condensateurs sont utilisés abondamment dans les circuitsélectriques, électronique et optoélectronique. Ils en sont un composant essentiel pour leur capacitéà retenir des charges électriques et pour leurs eets sur la dynamique des courants et tensions.Ils font partie de la classe des dipôles électriques passifs parce qu'ils possèdent deux bornes deconnexion et n'ont besoin d'aucun apport énergétique extérieur pour fonctionner.

6.5.1 Dénition et caractérisation

Un condensateur est l'association de deux conducteurs, appelés armatures, placés en inuencetotale. Toutes les lignes de champ connectent les deux conducteurs si bien que C11 = −C21,C22 = −C12. L'égalité C21 = C12 implique donc C11 = C22 = −C12 = −C21 ≡ C, ce qui conduitaux relations

Q1 = CU

Q2 = −CU

où U = ϕ1 − ϕ2 est dénie la diérence de potentiel (ou tension). On écrit Q1 = −Q2 ≡ Q, ce quipermet d'armer qu'une tension U appliquée aux armatures provoque l'accumulation d'un charge

Q = CU (6.11)

où C est appelé la capacité du condensateur. Plus précisément, l'armature branchée au potentielle plus élevé se charge positivement (Q > 0) et l'autre négativement (−Q).

L'espace vide entre les armatures peut être comblé par un matériau isolant (ou diélectrique). Lechamp électrique créé par les armatures polarise le matériau, c'est-à-dire aligne ses dipôles induitsou permanents. On rend compte de cette réponse de l'isolant en substituant sa permittivité ε àcelle du vide ε0. La permittivité relative εr = ε/ε0 est une caractéristique de l'isolant qui va del'unité à quelques milliers. La capacité des condensateurs en est augmentée d'autant.

6.5.2 Force d'interaction entre les armatures

Les charges réparties sur les armatures donnent lieu à des forces d'interaction. Elles se calculentdirectement à partir de la pression électrostatique en les intégrant sur les surfaces Si de l'armature

~Fi =

ˆSi

σ2i

2ε0d~S (6.12)

6.5.3 Association de condensateurs

On considère N condensateurs dont l'inuence entre conducteurs est négligeable. En connectantces condensateurs à une source de tension unique, il apparait que tout branchement est une com-position de deux schémas de connexion possible : série ou parallèle. Le branchement en parallèleporte tous les condensateurs à une même tension. Ils accumulent donc la charge

Q =

N∑i=1

Qi,

=

N∑i=1

CiU,

= U

N∑i=1

Ci,

et forment une capacité équivalente

Cp =

N∑i=1

Ci (6.13)

46

6.5. Condensateurs

Le branchement en série connecte les condensateurs à la chaine, sans formation de boucles.Deux armatures connectées sont donc au même potentiel et isolés électriquement du reste ducircuit (aucune charge ne traverse la zone isolante entre les armatures d'un même condensateur).Comme les armatures ne portent initialement pas de charges, la mise sous tension du montage ensérie sépare les charges des parties isolées. Deux armatures consécutives, appartenant ou non à unmême condensateur, possède chacune une même quantité de charges, avec des signes opposés. Parailleurs, la tension U , appliquée au condensateurs placés aux extrémités de la chaine porte chaquecondensateur à un potentiel

Ui =Q

Ci.

En considérant parfaitement conductrices le connexions entre condensateurs,

U =

N∑i=1

Ui,

= Q

N∑i=1

1

Ci,

ce qui conduit à la capacité équivalente

Cs =

N∑i=1

1

Ci(6.14)

47


48

Chapitre 7

Énergie électrostatique

7.1 Énergie d'interaction

L'énergie d'interaction d'un système de particules chargées peut se dénir comme le travailnécessaire à fournir pour toutes les séparer et les envoyer à des distances innies les unes desautres (pour que leurs interactions tendent vers zéro).

7.1.1 Système de deux charges

Soit un système de deux charges q1 et q2 à une distance P1P2 l'une de l'autre. On maintient lapremière charge à une position xe (P2) et on éloigne la deuxième à l'inni. Le travail vaut

W =

ˆ ∞P2

~F1→2(P ) · d~lP ,

où apparaît la force coulombienne de q2 sur q1 et où d~lP est un élément du chemin menant lacharge q2 de la position initiale à l'éloignement inni. On peut écrire ~F1→2(P ) = q2

~E1→2(P ) avec~E1→2(P ) = −~∇ϕ(P ), et donc

W = −q2

ˆ ∞P2

~∇ϕ(P ) · d~lP ,

= −q2

ˆ ∞P2

dϕ(P ).

= q2ϕ(P1P2),

où le passage à la dernière ligne repose sur le choix que le potentiel à l'inni est nul. Commeϕ(r12) = kCq1/P1P2, l'énergie potentielle d'interaction entre deux charges vaut explicitement

Uint = kCq1q2

P1P2(7.1)

7.1.2 Système discret de N charges

Chaque charge interagit avec lesN−1 autres charges, et donc le nombre de paires interagissantesest égal à C2

N = N(N − 1)/2. L'énergie d'interaction du système complet consiste à sommer lesénergies de chaque paire, ce qui donne

Uint =

N∑i>j

N∑i=1

kCqiqjPiPj

,

où la somme sur les indices peut être réécrite

Uint =1

2

N∑j 6=i

N∑i=1

kCqiqjPiPj

(7.2)

49

Chapitre 7. Énergie électrostatique

L'introduction du facteur 1/2 sert à ne compter qu'une seule fois l'interaction de chaque paire. Lepotentiel électrique à la position de chaque charge i est la somme des potentiels produit par toutesles autres charges, soit

ϕi =

N∑j 6=i

kCqjPiPj

si bien que l'expression 7.2 prend la forme

Uint =1

2

N∑i=1

qiϕi (7.3)

Quelle que soit la façon dont la somme discrète est eectuée, on remarque que les sommes sur i etj évitent les termes correspondant à une charge interagissant avec elle-même : cette idée est excluen électrostatique.

7.1.3 Distribution continue de charges

Le passage d'une distribution discrète à une distribution continue consiste à faire tendre res-pectivement qi et qj vers dq(P ) = ρ(P )dVP et dq(P ′) = ρ(P ′)dVP ′ puis à eectuer les sommesintégrales sur les positions P et P ′. En utilisant la sommation 7.2 parce que les sommes sur lesindices i et j sont similaires et quasiment indépendantes (j n'évite qu'une seule valeur de i parmiN qui est très largement supérieur à 1), on obtient

Uint =1

2

ˆ (ˆkC

ρ(P ′)

PP ′dVP ′

)ρ(P )dVP (7.4)

où apparait entre les parenthèses le potentiel électrotatique au point P résultant de la somme surP ′, ce qui permet de réécrire l'énergie sous la forme plus légère

Uint =1

2

ˆϕ(P )ρ(P )dVP (7.5)

La somme 7.4 fait en principe intervenir des contributions où P et P ′ sont confondus (la quantitéde charge enfermée dans dVP interagit avec elle-même), mais celles-ci sont négligeables puisquele numérateur [ρ(P )dVP ]

2 est inniment plus petit que le dénominateur innitésimale PP ′ dontl'ordre de grandeur est (dVP )1/3. Notons qu'à ce stade, les contributions non nulles à l'énergiesemblent localisées là où on trouve des charges.

7.1.4 Densité d'énergie élctrostatique

L'expression de l'énergie d'un système de charge peut être reformulée en fonction du champélectrique. En utilisant la loi locale de Maxwell-Gauss div ~E(P ) = ρ(P )/ε0, la relation ~E(P ) =

−−−→gradϕ(P ), et l'identité mathématique

div[ϕ(P ) ~E(P )

]= ~E(P )

−−→gradϕ(P ) + ϕ(P )div ~E(P ),

= −∣∣∣ ~E(P )

∣∣∣2 +ϕ(P )ρ(P )

ε0,

l'expression 7.5 devient

Uint =ε02

ˆdiv[ϕ(P ) ~E(P )

]dVP +

ε02

ˆ ∣∣∣ ~E(P )∣∣∣2 dVP ,

=ε02

‹ ˆϕ(P ) ~E(P ) · d~SP +

ε02

ˆ ∣∣∣ ~E(P )∣∣∣2 dVP ,

où le premier terme du second membre est issu de l'application du théorème de la divergence.Comme l'intégrale porte sur le volume de l'espace entier, la surface associée est connée aux limites

50

7.2. Energie d'un dipôle en interaction

du système physique où le champ et le potentiel tendent vers zéro ; autrement dit le premier termeest nul. Il reste donc

Uint =

ˆε02

∣∣∣ ~E(P )∣∣∣2 dVP (7.6)

mathématiquement identique à 7.5, mais dont l'interprétation dière : le champ électrique étantpossiblement non nul dans les régions de l'espace où la densité de charge est nulle, l'énergie sembledésormais délocalisée, en ce sens qu'elle n'est pas accumulée, telle que dans un ressort, entre lescharges. Ce paradoxe nous incite à suspecter la validité ou du moins le domaine de validité decertains concepts, tels que la localisation de l'énergie ou la réalité physique des champs. La densitéd'énergie électrostatique

uint(P ) =ε02

∣∣∣ ~E(P )∣∣∣2 (7.7)

apparaîtra ultérieurement à plusieurs reprises.

7.2 Energie d'un dipôle en interaction

Soit un dipôle électrique ~p =∑i qi

~OP i et ~E un champ électrostatique externe. Au point Piproche du point O, le potentiel électrique dont dérive le champ peut être approché au moyen dudéveloppement limité

ϕ(Pi) ≈ ϕ(O) +−−→gradϕ(O) · ~OPi

≈ ϕ(O)− ~E(O) · ~OPi

L'énergie vaut

Uint ≈∑i

qi

[ϕ(O)− ~E(O) · ~OP i

]où le premier terme s'annule puisque

∑qi = 0 pour un dipôle électrique. Finalement, on obtient

l'énergie dipolaire électrique

Uint ≈ −~p · ~E(O) (7.8)

Le champ ~E est généré par n'importe quel type de source : des dispositif microscopiques ou macro-scopiques. L'énergie d'interaction entre molécules identiques possédant de dipôles électriques estainsi calculables pour des orientations relatives quelconques :

Uint = −kCpr3

~p · (2 cos θ~ur + sin θ~uθ) .

7.3 Energie des conducteurs chargés

7.3.1 Conducteur unique

Un conducteur à l'équilibre est caractérisé par sa surface équipotentielle ϕ et la quantité decharge déposée à sa surface Q =

´σdS. L'expression 7.5 appliquée à cette situation donne

Uint =1

2Qϕ.

La propotionnalité entre le potentiel et la quantité de charge permet d'exprimer l'énergie unique-ment en fonction du potentiel :

Uint =1

2Cϕ2 (7.9)

51

Chapitre 7. Énergie électrostatique

7.3.2 Système de conducteurs

La même logique que celle utilisée précédemment s'applique lorsque plusieurs conducteurs sonten interaction et à l'équilibre. En repérant avec un indice i les conducteurs mis en jeu, l'énergiedevient

Uint =1

2

∑i

Qiϕi.

Les charges déposées sur les conducteurs étant liées proportionnellement aux potentiels de chacund'enre eux, on peut exprimer l'énergie totale d'interaction en fonction des potentiels :

Uint =1

2

∑i

∑j

Cijϕiϕj (7.10)

7.3.3 Condensateur

Les condensateurs ne représentent rien d'autre qu'un système de deux conducteurs en inter-action totale, ce qui implique C11 = C22 = −C12 = −C21 ≡ C. En utilisant ces rapports dansl'expression 7.10, on obtient

Uint =1

2C(ϕ2

1 + ϕ22 − 2ϕ1ϕ2),

qui se réduit à

Uint =1

2CV 2 (7.11)

où l'on a introduit la diérence de potentiel entre les armatures V = ϕ2 − ϕ1.

52

Chapitre 8

Courant de conduction

8.1 Courant de conduction

Le cas où les charges d'un conducteur sont immobiles au niveau macroscopique n'est pas leseul état stationnaire possible. La connexion d'un conducteur à une source de champ et de chargeélectriques produit un déplacement macroscopique des charges appelé courant de conduction. Tantque le courant ne dépend pas du temps, le système peut être considéré comme étant dans un étatd'équilibre dynamique ; autrement dit, les équations de l'électrostatique (et de la magnétostatique)restent valides. Le courant correspond à la quantité de charge dQ qui passe en un temps dt àtravers une région donnée de l'espace ; on l'écrit

I =dQ

dt(8.1)

et sa dimension est l'ampère A≡C·s−1.

8.2 Densité de courant

8.2.1 Déplacement de charges dans un volume

Supposons que la région à travers laquelle on veut déterminer I soit une surface Σ appartenantà un conducteur volumique. A travers un élément de surface dS de Σ, s'écoulent des charges à lavitesse locale ~v = d~/dt. L'élément de volume dV = d~·d~S, où d~S = ~ndS et ~n est un vecteur unitaireet orthogonal à la surface dS, représente donc le volume contenant les charges qui traversent dSen un temps dt. Si ρ est la densité de charge, on en déduit que l'élément de courant traversant d~S,vaut

dI =ρdV

dt,

=ρd~ · d~Sdt

, (8.2)

= ρ~v · d~S. (8.3)

où le produit scalaire rend compte de l'orientation du ux de charges par rapport au vecteur surfaced~S. On dénit le vecteur densité volumique de courant

~j = ρ~v (8.4)

dont la dimension est le A·m−2. A noter que le terme volumique est trompeur par rapport à ladimension en m−2 : en réalité, l'interprétation juste est que le terme volumique se réfère à l'idéeque les charges contenues dans le volume dV s'écoulent à travers la surface dS).

53

Chapitre 8. Courant de conduction

Figure 8.1 Volume dV = d~ · d~S, de densité de charge ρ s'écoulant à travers∥∥∥d~S∥∥∥ en un temps

dt. ~j = ρd~/dt est la ux v

La quantité totale de courant à travers Σ s'obtient par l'intégration

I =

ˆΣ

~j · d~S (8.5)

8.2.2 Déplacement de charges sur une surface

Supposons que les charges se déplacent sur une surface du fait des contraintes géométriquesdu conducteur. On veut calculer le courant I qui traverse une courbe Γ dénie par l'intersectionentre la surface du conducteur et un plan quelconque. A travers un élément de longueur dk de

Γ, les charges s'écoulent à la vitesse locale ~v = d~/dt. L'élément de surface dS =∥∥∥d~∧ d~k∥∥∥, où

d~k = ~ndk et ~n est un vecteur unitaire colinéaire à la l'élément de longueur dk, contient les chargesqui traversent dk en un temps dt. Si σ est la densité supercielle de charge, on en déduit quel'élément de courant traversant dk, vaut

dI =σdS

dt,

=σ∥∥∥d~∧ d~k∥∥∥dt

,

=∥∥∥σ~v ∧ d~k∥∥∥ . (8.6)

où le produit vectoriel rend compte de l'orientation du ux de charges par rapport au vecteur d~k.On dénit le vecteur densité surfacique de courant

~jσ = σ~v (8.7)

dont la dimension est le A·m−1. Encore une fois, le terme surfacique est trompeur par rapportà la dimension en m−1 : le terme surfacique se réfère à l'idée que les charges contenues dans lasurface dS s'écoulent à travers la longueur dk).

La quantité totale de courant à travers Γ s'obtient par l'intégration

I =

ˆΓ

∥∥∥~jσ ∧ d~k∥∥∥ (8.8)

Dans la littérature, il est fréquent de trouver la formulation

I =

ˆΓ

dk(~jσ · ~uk

)(8.9)

qui présente une forme similaire à l'expression (8.5). Le vecteur ~uk est un vecteur unitaire, ortho-gonal mutuellement à d~k et à ~jσ ∧ d~k.

54

8.3. Conservation des charges

8.3 Conservation des charges

8.3.1 Formulation intégrale

La charge, au même titre que la masse, est une propriété de la matière. Tant que la quantité dematière se conserve, c'est-à-dire dans le domaine de la mécanique classique, la charge et la massed'un système physique suivent des lois de conservations. En ce qui concerne la charge, l'intégrale(8.5) appliquée à une surface fermée conduit à la loi de conservation

− dQ

dt=

‹Σ

~j · d~S. (8.10)

Le signe négatif rend compte de la convention sur la direction du vecteur d~S qui va de l'intérieurà l'extérieur du volume. Ainsi si ~j = ρ~v a le sens de d~S sur toute la surface Σ, il y a une sortie descharges (positives), et l'intégrale à droite de (8.10) est positive. Par ailleurs, comme ces chargesproviennent du volume,Q représente la quantité totale de charge, et dQ/dt est négatif ; le signenégatif rétablit donc un signe positif.

8.3.2 Formulation locale

La combinaison de Q =˝

ρdV et de l'application du théorème de la divergence à l'intégraleà droite de (8.10) fournit ˆ [

∂ρ

∂t+ div

(~j)]dV = 0. (8.11)

Comme les charges ne peuvent disparaitre à un endroit et apparaitre à un autre sans transiterpar des régions intermédiaires, cette expression est valable quel que soit le volume d'intégrationconsidéré. Cela fournit donc la loi locale de conservation de la charge

∂ρ

∂t+ div

(~j)

= 0 (8.12)

En régime stationnaire, les dérivées par rapport au temps sont nuls, et donc div(~j)

= 0.

8.4 Loi d'Ohm

8.4.1 Formulation locale

Dans un conducteur soumis à un champ électrique externe ~E, les charges ne sont pas accéléréesindéniment : des forces contrariant l'action du champ externe apparaissent. Il en résulte unevitesse moyenne limite des charges, et donc un vecteur densité de charge limite, proportionnel auchamp accélérateur :

~j = γ ~E (8.13)

où apparait γ, appelée conductivité électrique dont l'unité est le Sievert (S≡A·V−1·m−1). Dans lecas général, γ est un tenseur, et non un simple nombre, car les forces contrariant le champ externene sont pas nécessairement isotrope dans le matériau.

8.4.2 Modèle de Drude

Le modèle de Drude est un modèle heuristique qui introduit la notion de frottement visqueuxà travers les collisions que subiraient les charges en mouvement avec le reste des constituants dumilieu conducteur. Supposons, pour simplier, que le milieu est isotrope, et que τC soit la duréemoyenne séparant deux collisions. L'application du principe fondamental de la dynamique donnel'accélération d'un charge q et de masse m :

~v =q

m~E. (8.14)

55

Chapitre 8. Courant de conduction

En supposant aussi que chaque collision conduise à une redistribution isotrope de la vitesse, au-trement dit qu'après chaque collision, la vitesse soit nulle en moyenne, en tout temps t on obtientla vitesse

~v(t) =q ~E

mt,

qui, en moyenne, vaut

〈~v(t)〉 =q ~E

2mτC , (8.15)

le facteur 1/2 au deuxième membre provenant de ce qu'en moyenne la particule, vaut la moitié de

la vitesse maximale q ~Em τC (= 1

τc

´ τC0

q ~Em tdt). Finalement

~j = ρ~v,

=qρτC2m

~E,

=Nq2τC

2m~E, (8.16)

où N = ρ/q est la densité du nombre de charges.Avec une approche moins microscopique supposant l'existence d'une force de frottement ~Ff =

−α~v, on trouve le même résultat en résolvant

m~v = −α~v + q ~E

dont la solution complète

~v =(

1− exp[− αmt]) q

mα~E

tend, pour t m/α, vers la valeur stationnaire

~v =q

mα~E.

En comparaison avec l'approche purement microscopique, on trouve α = 2/τC .

8.4.3 Formulation macroscopique

On considère un conducteur laire de section Σ sur toute sa longueur L, soumis à un champélectrique externe ~E constant. L'intégration de la loi d'Ohm locale sur la surface transverse donne

I = γ

ˆΣ

~E · d~S, (8.17)

puis, après intégration sur la longueur du l sur les deux membres de (8.17),

I × L = γ

ˆL

(ˆΣ

~E · d~S)d`,

= γ

ˆL

ˆΣ

~E · d~dS

où, entre les deux lignes, on a eectué l'opération d`, d~S → d~, dS (l'aspect vectoriel de d~S esttransféré à d`). Si enn ~Ene dépend pas des coordonnées transverses, on fait émerger la diérencede potentiel U =

´Ld~~E entre les extrémités de la ligne. Il reste alors

U = RI (8.18)

où

R =L

γS

dont la dimension est le Ohm, noté Ω≡V·A−1. Cela implique [γ]=Ω−1·m−1. On dénit aussi souventla résistivité ρcond = 1/γ, avec [ρcond] = Ω ·m.

56

Chapitre 9

Force et champ magnétiques

9.1 Le champ magnétique

A la n du XVIIIeme siècle, diérentes formes d'aimant sont connus : certains outils s'aimantentet attirent des objets en métal ; les aiguilles des boussoles, en magnétite, sont naturellement ai-mantées. La communauté savante d'alors considère que les phénomènes magnétiques et électriquessont de nature diérente. Cette conception est soutenue par une simple expérience consistant àplacer un aimant à proximité d'un corps isolant chargé électriquement : aucune force particulièren'apparait. Par contre, si un corps chargé est conducteur, l'aimant qui est aussi un conducteur subit les eets d'inuence électrostatique : distinguer l'origine des phénomènes devient alors plusdélicat, et sujet à interprétation. Par ailleurs, comment se fait-il que les aimants soient des conduc-teurs électriques ? Ces doutes et questionnements conduisent certains savants à suspecter un lienentre toutes ces interactions et ceux-ci cherchent une preuve expérimentale qui ouvrirait la voie àune unication des deux types de phénomènes. L'expérience clé est celle d'×rsted en 1812 : elledémontre qu'une aiguille de boussole est déviée lorsqu'elle interagit avec un l conducteur par-couru par un courant électrique. Ce résultat marque le début d'une refonte de la compréhensiondes phénomènes magnétiques. Non seulement il sera nalement admis que les courants produisentdes forces magnétiques mais aussi que les courants et les aimants produisent des forces sur lescharges en mouvement. Avec le développement de la mathématisation des phénomènes physiques,une nouvelle propriété de l'espace est introduite : le champ vectoriel d'induction magnétique. Lanotation usuelle désignant ce champ est ~B, son unité est le Tesla (T).

9.2 Force induite par champ magnétique

L'expérience établit qu'il existe une force entre des objets matériels aimantés ou parcourus pardes courants. En ce qui concerne les courants, il est établi que la force en question agit sur unecharge électrique ponctuelle et est proportionnelle à sa vitesse. Cette dépendance ne peut trouverd'explication dans les forces électriques de type ~Fe = q ~E, c'est pourquoi la modélisation mathé-matique fait appel à un autre champ vectoriel, le champ [d'induction] magnétique. La générationdu champ magnétique lui-même sera abordée dans la section suivante.

9.2.1 Force magnétique sur une particule chargée en mouvement

Dans un référentiel galiléen, l'expérience montre qu'une charge q, de masse m, se déplaçant àla vitesse ~v dans une région de l'espace où règne un champ magnétique ~B subit une force

~Fm = q~v ∧ ~B (9.1)

où[~B]≡ Tesla = N ·C−1 ·m−1 · s= V ·m−2 · s. A la diérence de la force gravitationnelle et de la

force électrostatique, la force magnétique n'est pas dirigée selon le champ qui lui donne naissance,mais lui est perpendiculaire ; elle est aussi perpendiculaire à la vitesse de la charge. La Fig. (9.1)

57

Chapitre 9. Force et champ magnétiques

Figure 9.1 Charge positive se déplaçant à la vitesse ~v déviée de sa trajectoire rectiligne par uneforce magnétique générée par un champ magnétique uniforme ~B dans la région comprise entre lesdeux segments de droites verticaux. L'uniformité du champ magnétique conduit à une déexioncirculaire de la trajectoire de la charge.

donne un exemple de trajectoire suivie par une charge positive soumise à l'action d'un champmagnétique uniforme dans une région de l'espace.

Une conséquence majeure de la forme de la force magnétique est qu'elle ne fournit aucun travail.En eet, le long d'un élément de trajectoire d~, le travail élémentaire

δW = ~Fm · d~

correspond à une puissance dissipée nulle

P = ~Fm ·d~

dt,

= q(~v ∧ ~B

)· ~v,

= 0.

En combinant ce résultat et le principe fondamental de la dynamique, on trouve

~a · ~v = P/m,

d~v

dt· ~v = 0,

dv2

dt= 0,

Le champ magnétique ne modie donc pas la norme du vecteur vitesse de la particule mais enchange sa direction.

9.2.2 Force de Laplace produite sur un l parcouru par un courant

Les conducteurs dans lesquels circulent les courants (ls) sont soumis à ces forces magnétiques.En régime stationnaire, la densité de charge à l'intérieur des conducteurs est nulle mais la densitévolumique de courant ne l'est pas nécessairement. Ainsi, la force magnétique élémentaire agissantsur un élément de volume dV dans lequel les charges se déplacent à la vitesse ~v du conducteur vaut

d~F = ρdV ~v ∧ ~B

=(d~ · d~S

)~j ∧ ~B

où on a utilisé l'élément de volume dV = d~ · d~S, où d~ est un vecteur élément de longueur dirigédans le sens du courant, et introduit ~j = ρ~v ; il faut noter que ~j est parallèle à d~. Considérant que

58

9.3. Loi de Biot et Savart

Figure 9.2 Illustration de la loi de Biot et Savart : le courant I passant par élément de longueurd~ autour du point P contribue au champ magnétique total par une contribution élémentaired ~BP (M).

les dimensions transverses sont très inférieures aux variations spatiales de ~B, l'intégration sur lasurface ouverte Σ

d~F =

ˆΣ

(d~ · d~S

)~j ∧ ~B

n'aecte pas le champ magnétique, si bien qu'on obtient la loi de Laplace

d~F = Id~∧ ~B

où I =´

Σ~j · d~S.

9.3 Loi de Biot et Savart

Les sources du champ magnétique peuvent être des aimants ou des courants. Dans le secondcas, une loi purement expérimentale détermine l'élément de champ magnétique créé par un élémentde l parcouru par un courant. Cette formulation innitésimale permet de calculer par intégrationle champ magnétique généré par n'importe quelle géométrie de source de courant.

9.3.1 Champ magnétique produit par un courant circulant dans un l

La loi de Biot et Savart fournit, en un point M , l'élément de champ magnétique

d ~BP (M) =µ0

4π

Id~P ∧−−→PM

PM3

créé par un élément de courant Id~P localisé au point P cf. Fig. 9.2. Cette loi requiert l'intro-duction d'une nouvelle constante universelle µ0 appelée la perméabilité du vide, dont l'unité estle T · A−1 · m−1. Par la suite, on verra que H ≡ T · A−1, où H est le symbole du Henry qui estl'unité de l'inductance. L'inductance est à la magnétostatique ce que la capacité est à l'électrosta-tique : elle quantie l'interaction entre circuits tout comme la capacité quantie l'interaction entreconducteurs. On remarque que la symétrie des rôles de l'inductance et de la capacité se retrouvedans les unités des constantes universelles associées [ε0]= F ·m−1 et [µ0]= H ·m−1. La loi de Biotet Savart indique aussi que la direction du champ magnétique élémentaire est donnée par le pro-

duit vectoriel Id~P ∧−−→PM , autrement dit le triplet vectoriel

(Id~P ,

−−→PM, d ~B

)constitue une base

orthogonale directe ; cf. Fig. (9.3) pour les méthodes pratiques.En combinant la loi de Laplace à celle de Biot et Savart et au moyen de l'identité vectorielle

d~∧(d~P ∧

−−→PM

)= d~P ·

(d~M ·

−−→PM

)−−−→PM ·

(d~M · d~P

), on obtient la force subie par un élément

de l parcouru par un courants IM sous l'action d'un autre l parcouru par un courant IP :

d~FP (M) =µ0IMIP

4π

d~P ·(d~M ·

−−→PM

)−−−→PM ·

(d~M · d~P

)PM3

.

59


Figure 9.3 Méthodes fréquemment employées pour déterminer le sens de d ~B produit pr unélément de courant. a) La règle de la main droite associant dans l'ordre chacun des vecteurs dutriplet aux pouce, index et majeur de la main droite ; l'annuaire indique donc le sens de d ~B. b) Le

tire-bouchon de Maxwell, ecace dans les cas où Id~P⊥−−→PM , consiste à associer le sens de d ~B à

celui de la rotation de la poignée d'un tire-bouchon lorsque sa vis d'Archimède s'enfonce dans lesens d'écoulement du courant compté positivement. c) Le bonhomme d'Ampère donne le sens ded ~B comme étant celui indiqué par le bras gauche d'un bonhomme traversé des pieds vers la têtepar le courant I compté positivement et l'ensemble du corps tourné vers le point M .

Cette force n'obéit pas à la troisième loi de Newton, le principe d'action-réaction, puisque d~FP (M) 6=−d~FM (P ) (pour déterminer la forme de d~FP , il sut d'échanger les lettres P et M dans l'expres-sion de d~FM ). Par contre, elle varie en 1/PM2, ce qui la range parmi les forces fondamentalesdépendantes de l'inverse du carré de la distance comme celles de l'électrostatique et de la gravita-tion.

9.3.2 Champ magnétique produit par une densité volumique de courant

En remarquant que Id~P = d~P´~jP · d~SP , la loi de Biot et Savart s'exprime plus fondamenta-

lement en fonction de la densité de courant

d ~BP (M) =µ0

4π

~jP ∧−−→PM

PM3dVP

ce qui conduit à exprimer la force subie par un élément de volume dVM parcouru par une densitéde courant ~jM sous l'action d'un autre élément dVP parcouru par une densité de courant ~jP :

d~FP (M) =µ0

4π

~jP ·(~jM ·

−−→PM

)−−−→PM ·

(~jM ·~jP

)PM3

dVP dVM .

Exemple d'utilisation de la loi de Biot et Savart

On considère un l conducteur parcouru par un courant I, inniment long et de dimensionstransverses négligeables par rapport à la distance où l'on cherche à calculer le champ magnétiquequ'il crée. On choisit un système de coordonnées cylindriques dont l'axe Oz est dirigé dans le senspositif de l'écoulement de I. On considère un point M quelconque (en dehors du l) et un point Psur le l. Le plan perpendiculaire au l et passant par le point M dénit la position du point O ;ainsi le repérage en coordonnées cylindriques donne M(ρ, θ, 0) et P (0, 0, z). Dans ces conditions,les ingrédients de la loi de Biot et Savart sont

d ~P = dz~uz,

−−→PM = z~uz + ρ~uρ(M).

60

9.3. Loi de Biot et Savart

Figure 9.4 Champ magnétique produit par un l inniment long parcouru par un courant I.

En dénitive, on trouve l'élément de champ magnétique

d ~BP (M) =µ0I

4π

ρdz

[z2 + ρ2]32

~uθ(M) (9.2)

qu'il est facile d'intégrer en utilisant les coordonnées angulaires telles que celles dénies sur la Fig.(9.4) : MPO forme un triangle rectangle dans lequel r ≡ MP =

√z2 + ρ2, ρ = OM , z = OP , et

α ≡(

PN,PM). L'Eq. (9.2) peut être exprimée en fonction de l'angle α et de la distance ρ

d ~BP (M) =µ0I

4π

sin(α)dα

ρ~uθ(M)

grâce au fait que sin(α) = ρ/r et cot(α) = z/ρ qui fournit la variation d'angle dα obtenue par unevariation dz de la position du point P : dα = − sin2(α)dz/ρ. L'intégration se fait alors sur l'angleα dans l'intervalle ]0;π[, ce qui donne

~B(M) =µ0I

2πρ~uθ(M).

61


62

Chapitre 10

Le théorème d'Ampère

10.1 Principes

Les physiciens J.-B. Biot et F. Savart reprirent des expériences similaires à celles d'×rstedqui avait découvert une force d'interaction entre un l conducteur électrisé et un aimant. Ils dé-montrèrent ainsi empiriquement que cette force était proportionnelle à l'inverse du carré de ladistance séparant l'aimant d'un élément de l. Leur interprétation était que le l s'aimantait sousl'eet de l'électricité (d'une manière qu'il fallait encore découvrir). Un autre physicien, André-Marie Ampère, chercha de son côté une interprétation unicatrice, à savoir que toutes ces forcesmagnétiques étaient réductibles à l'électricité, que le magnétisme en général n'était qu'une ma-nifestation dynamique de l'électricité. Pour valider cette intuition extraordinaire, il multiplia lesexpériences et les concepts novateurs. Ses recherches ont non seulement contribué à débloquer labarrière conceptuelle qui séparait magnétisme et électricité, mais ont aussi fourni, indirectement,une approche alternative du magnétisme qui est de nos jours condensée sous le terme de théorèmed'Ampère. Ce théorème arme que la circulation du champ magnétique ~B le long d'un contourfermé Γ quelconque est égale au courant enlacé par ce même contour, multiplié par la constantefondamentale µ0, la perméabilité du vide. Mathématiquement, cette armation se condense en

˛Γ

~B · d~= µ0Ienlace (10.1)

Le courant enlacé est déni de manière générale par

Ienlace =

ˆΣ/Γ

~j.d~S, (10.2)

c'est-à-dire comme le courant total passant à travers une surface quelconque Σ s'appuyant sur lecontour Γ. On pourrait s'étonner que le résultat ne dépende que du contour Γ et non du choix deΣ, mais il sut d'invoquer le principe de conservation de la charge pour s'en persuader. Soit deuxsurfaces diérentes Σ1, Σ2 s'appuyant sur Γ, et formant ensemble une surface fermée Σ12. Commele ux total de ~j à travers Σ12 est nul si on considère le régime permanent (pas de création decharge, dQ/dt = 0), le ux à travers Σ1 doit être égal en norme et opposé en signe à celui traversantΣ2. Les signes sont opposés parce que dans le cas du ux à travers Σ12, tous les vecteurs surfacessont dirigés de l'intérieur vers l'extérieur, alors que dans la dénition du ux à travers une surfaceouverte, on ne peut s'appuyer sur les concept d'intérieur et d'extérieur. Pour une surface ouverte,le sens des vecteurs surfaces n'est donc pas déni de manière univoque, et par conséquent, le signede Ienlace ne le serait pas non plus. Toutefois Ienlace est lié à la circulation de ~B au signe près,puisque la circulation sur un contour fermé peut se faire dans un sens ou dans l'autre (horaire ouanti-horaire). La convention veut que le sens d'intégration anti-horaire corresponde à Ienlace positiflorsque celui-ci va dans le sens déterminé par la règle dite du tire-bouchon.

Lorsque le courant s'écoule le long de ls conducteurs, la dénition (10.2) se simplie car elle

63

Chapitre 10. Le théorème d'Ampère

Figure 10.1 Forme du champ pour une distribution de courant présentant une symétrie deréexion par rapport à un plan : (a) sans inversion des courants (b) avec inversion des courants.

revient à sommer individuellement les courants traversant le contour tel que

Ienlace =∑k

Ik,

où Ik est le courant passant dans un l k enlacé par Γ, et compté positivement ou négativementen fonction de son sens d'écoulement. La convention compte le courant comme positif un couranttraversant une surface s'appuyant sur Γ parcouru dans le sens horaire.

Méthode

Le théorème d'Ampère permet de résoudre quelques problèmes où les distributions de courantpossèdent des propriétés de symétrie élevées. La démarche est toujours la suivante :

1. Choix d'un système de coordonnées adéquat, analyse des symétries et invariances : déter-mination des composantes non nulles et des coordonnées pertinentes du champ magnétique~B ;

2. Choix d'un contour fermé Γ telle que ~B ne dépende pas des variables d'intégration et soitcolinéaire aux vecteurs éléments de longueur d~ en tout point : ainsi ~B peut être sorti del'intégrale ;

3. Calcul de la quantité de charges Ienlace ;

4. Obtention de l'expression de ~B.

10.2 Symétries et invariances de la distribution de courant

L'utilisation pratique du théorème d'Ampère nécessite de recenser les invariances et symétriesdes distributions de courant. Cela permet de préciser la forme du champ, de faciliter ou de rendrepossible certains calculs. Concernant les invariances, le principe de Curie est utilisable comme enélectrostatique. En revanche, les propriétés de symétrie du champ magnétique dièrent de cellesdu champ électrique. Cette diérence s'explique par le fait que le champ magnétique est construitsur des produits vectoriels par rapport aux sources de courant.

64

10.3. Exemple

10.2.1 Invariances

Le champ magnétique n'est fonction que des coordonnées dont dépend la distribution de cou-rant.

10.2.2 Symétries

Le principe de superposition implique que la structure du champ magnétique est déterminéeselon les symétries de la distribution de courant.

1. Symétrie de réexion par rapport à un plan. La distribution de courant est symétriquepar rapport à un plan Π, tel que représenté 10.1(a). Aux points M et M ′ = Π(M), lescomposantes du champ obéissent aux relations

~B‖(M) = − ~B‖(M ′), (10.3)

~B⊥(M) = ~B⊥(M ′). (10.4)

Si M ∈ Π, la direction du champ ~B est perpendiculaire au plan Π (car ~B‖(M) = ~0).

2. Symétrie de réexion par rapport à un plan avec inversion des courants. La distributionde courant est symétrique et inversé en sens par rapport à un plan Π, tel que représenté10.1(b). Aux points M et M ′ = Π(M), les composantes du champ obéissent aux relations

~B‖(M) = ~B‖(M′), (10.5)

~B⊥(M) = − ~B⊥(M ′). (10.6)

Si M ∈ Π, la direction du champ ~B est parallèle au plan Π (car ~B⊥(M) = 0).

3. Symétrie de réexion par rapport à un axe. La distribution de courant est symétrique parrapport à un axe ∆. Puisque tout plan passant par ∆ est plan de réexion, tout point Mappartient à un plan de réexion : ~B est perpendiculaire à ces plans et à l'axe ∆, et est nulsur l'axe.

4. Symétrie de réexion par rapport à un point. La distribution de charges est symétrique parrapport à un axe O. Puisque toute droite passant par O est un axe de symétrie, tout pointM appartient à un axe de réexion : ~B est nul en tout point de l'espace.

10.3 Exemple

Soit un l inniment long parcouru par un courant I > 0 selon une direction Oz, dans le sensz > 0. On détermine le champ magnétique qu'il génère selon les deux méthodes connues : la loi deBiot et Savart et le théorème d'Ampère.

Loi de Biot et Savart.

En un point M appartenant au plan perpendiculaire à Oz et passant par O, un élément de ld~= dz~uz produit un élément de champ magnétique

d ~B(M) =µ0I

4π

dz~uz ∧−−→PM

PM3,

où−−→PM = ρ~uρ − z~uz et PM =

(ρ2 + z2

)1/2, ce qui donne

d ~B(M) =µ0Iρdz

4π (ρ2 + z2)3/2

~uθ.

Le champ magnétique produit par le l s'obtient par l'intégrale

~B(M) =µ0I

4πρ

ˆ +∞

−∞

du

(1 + u2)3/2

~uθ,

65


Figure 10.2 Fil inniment long parcouru par un courant et quelques courbes fermées sur lesquelsont peut appliquer le théorème d'Ampère. La courbe Γ1, un cercle dont le centre passe passe parle l, permet de calculer le champ magnétique ~B en tout point de l'espace. Le théorème d'Ampèreappliqué à la courbe ABCD donne 0 et à la courbe Γ2 donne µ0I.

où l'on a eectué le changement de variable u = z/ρ. Le calcul intégral donne exactement 2, etdonc

~B(M) =µ0I

2πρ~uθ.

Théorème d'Ampère

En suivant la procédure recommandée :

1. Les coordonnées cylindriques sont adaptées à un problème à symétrie cylindrique.Les invariances de la distribution de courant sont selon z et θ, et donc ~B(ρ).Les symétries : tout plan passant par le l est plan de symétrie, tout plan perpendiculaireau l est plan de symétrie avec inversion. En conséquence, puisqu'en tout point de l'espace,on trouve un plan de chaque espèce, le champ magnétique est dirigé selon ~uθ. On sait doncque ~B(M) = B(ρ)~uθ.

2. Le choix du contour pour le calcul de la circulation doit être tel que l'intégrande ne dépendepas des variables d'intégration. Puisqu'il ne doit pas apparaitre dρ, le contour est inscrit surun cylindre de rayon ρ. En prenant un contour circulaire, on obtient

˛~B · d~= 2πρB(ρ).

3. Le courant enlacée vaut I. Le signe est positif car le calcul précédent de la circulation a étéeectué dans le sens anti-horaire.

4. On déduit immédiatement

B(ρ) =µ0I

2πρ.

N.B : le contour circulaire a été spéciquement choisi pour calculer le champ magnétique, maisle théorème d'Ampère est toujours vrai, quel que soit le contour. Pour illustrer cette armation,reprenons le calcul de la circulation sur un contour quelconque mais cette fois en utilisant la fonctiondésormais connue ~B(ρ). Pour un contour quelconque, d~= dρ~uρ+ρdθ~uθ+dz~uz. Le produit scalaire

66

10.3. Exemple

~B · d~= dρBρ + ρdθBθ + dzBz se réduit à ~B · d~= ρdθBθ puisqu'il n'y a que la composante selonθ qui est non nulle. Si le contour fermé ne contient pas le l, comme dans le cas de la courbeABCD de la gure 10.2,

¸~B · d~ =µ0I

2π

¸dθ = 0 car

¸dθ =

´ θ1θ1dθ. Si en revanche il le contient,

comme dans le cas de la courbe Γ2 de la gure 10.2, nécessairement¸dθ =

´ θ1+2π

θ1dθ = 2π et donç

~B · d~= µ0I.

67


68

Chapitre 11

Équations locales du champmagnétique

Nous avons désormais tous les outils pour obtenir les relations structurelles du champ magné-tique. Comme pour l'électrostatique, les lois fondamentales de la magnétostatique s'écrivent sousforme diérentielle, en spéciant les valeurs que prennent le rotationnel et le divergent par rapportaux sources de courant.

11.1 Divergence du champ magnétique

La loi de Biot et Savart stipule qu'un ensemble de ls parcourus localement par un courantI(P ) produit un champ magnétique

~B(M) =µ0

4π

Î(P )d~P ∧

−−→PM

PM3.

Comme le courant I(P )d~P tend vers ~jP dVP lorsque I(P ) tend vers une section innitésimal, onpeut écrire très généralement

~B(M) =µ0

4π

ˆ ~jP ∧−−→PM

PM3dVP . (11.1)

A partir de cette forme, on calcule

divM ~B(M) =µ0

4π

ˆ~∇M ·

(~jP ∧

−−→PM

PM3

)dVP (11.2)

où la notation divM ≡ ~∇M . rappelle, grâce à l'indice M , que les dérivations sont eectuées sur lescoordonnées de M et non sur celles de P . Il faut remarquer que l'opérateur ~∇M est passé sous lesigne de l'intégrale puisqu'il n'agit pas sur les coordonnées de P . Les vecteurs du produit mixte del'intégrande de (11.2) pouvant être permutés circulairement puisque ~jP n'est pas aecté par ~∇M ,on trouve

~∇M ·

(~jP ∧

−−→PM

PM3

)= −~jP ·

(~∇M ∧

−−→PM

PM3

),

= 0.

du fait que ~∇M ∧−−→PMPM3 = ~0. Cette dernière identité se vérie facilement et généralement avec des

coordonnées cartésiennes. En dénitive, on aboutit à l'équation de Mawxell-Thomson

div ~B = 0 (11.3)

La divergence nulle de ~B signie que le ux est toujours conservé : il existe autant de lignes dechamp qui pénètrent et entrent de n'importe quelle surface fermée aussi petite soit elle. Autrement

69

Chapitre 11. Équations locales du champ magnétique

dit, aucun champ magnétique ne peut diverger d'une source (d'une charge magnétique), comme lechamp électrique diverge d'une charge électrique (appelé aussi monopôle). La source d'un champmagnétique est donc au mieux un dipôle magnétique (le nord inséparable du sud).

11.2 Circulation du champ magnétique

Le rotationnel du champ magnétique s'obtient facilement en utilisant le théorème de Stokes˛

Γ

~B · d~=

ˆΓ/Σ

−→rot ~B · d~S,

qui, combiné au théorème d'Ampère (10.1), fournit la relationˆ

Γ/Σ

−→rot ~B · d~S = µ0

ˆΓ/Σ

~j · d~S.

Comme cette expression est vraie quel que soit le domaine d'intégration, on en déduit la loi localede Maxwell-Ampère en régime stationnaire

−→rot ~B = µ0

~j

Cette expression, qui indique de quelle façon le champ magnétique est connecté aux sources decourant, s'avèrera incomplète en régime non stationnaire.

11.3 Relations de passage du champ magnétique

On s'intéresse à la façon dont se transforme localement le champ magnétique en traversant unesurface parcourue par un courant. On considère que la surface de courant sépare l'espace en deuxrégions notées 1 et 2 et on s'intéresse au champ magnétique ~B(1 ou 2) en des points immédiatementvoisins de la surface de courant. On exprime le champ magnétique selon les composantes parallèleet perpendiculaire à la surface, telles que ~B = ~B‖ + ~B⊥. Pour décrire localement l'écoulement decharge, la densité volumique de courant est naturellement remplacée par la densité surfacique decourant

~jσ = σ~v

où σ est la densité de charge locale et ~v la vitesse à laquelle elle se déplace. L'intégration de cevecteur suivant une section de cette distribution il s'agit alors d'un élément de longueur orienté, donne le courant circulant dans cette section.

11.3.1 Composante perpendiculaire

Le ux magnétique à travers une surface fermée de forme cylindrique, comme celle représentéegure 11.1(a), fournit l'équation de passage pour la composante perpendiculaire. Cette surface estchoisie petite par rapport aux échelles de variation du courant. On décompose le ux à travers lecylindre entier en ux à travers les surfaces ouvertes (les deux bases et la surface latérale). Ainsi

Φcylindre( ~B) = Φbase 1( ~B) + Φbase 2( ~B) + Φlateral( ~B) = 0,

puisque le ux magnétique est conservatif. En choisissant une hauteur de cylindre négligeablepar rapport au rayon de la base, le terme Φlateral( ~B) tend relativement vers zéro. En outre, enchoisissant des bases parallèles au plan du courant, on peut écrire

Φbase 1,2( ~B) =

ˆbase 1,2

~B(1, 2) · d~S1,2,

ˆbase 1,2

~B⊥(1, 2) · d~S1,2

~B⊥(1, 2) · d~S1,2,

70

11.3. Relations de passage du champ magnétique

Figure 11.1 Détermination des relations de passages du champ magnétique au voisinage d'unesurface parcourue par un courant. (a) le ux à travers un cylindre dont les bases sont parallèlesau plan de la surface de courant et (b) la circulation le long d'un contour rectangulaire dont deuxcôtés sont parallèles à la surface permettent de déterminer respectivement les relations de passagedes composantes perpendiculaire et parallèle.

puisque le produit scalaire de l'intégrande projette ~B sur l'axe perpendiculaire à la surface decourant. Enn, comme d~S1 = −d~S2, on en déduit

~B⊥(1) = ~B⊥(2) (11.4)

11.3.2 Composante parallèle

La relation de passage de la composante parallèle s'obtient à partir du calcul de la circulationsur un contour de petites dimensions par rapport aux échelles de variation du courant, commereprésenté sur la gure 11.1(b). Le contour est choisi rectangulaire, avec deux côtés parallèles à lasurface, et les deux autres qui lui sont perpendiculaires. En appliquant le théorème d'Ampère, onobtient

Crectangle( ~B) = C‖1( ~B) + C‖2( ~B) + C⊥( ~B) = µ0Ienlace,

où

C‖1,2( ~B) =

ˆ~B(1, 2) · d~‖1,2

=

ˆ~B‖(1, 2) · d~‖1,2

= ~B‖(1, 2) · d~‖1,2

puisque, sur les parties parallèles du contour, le produit scalaire de l'intégrande ne dépend pasde la composante perpendiculaire du champ magnétique. Par ailleurs, en choisissant des côtésperpendiculaires négligeables par rapport aux côtés parallèles, le terme C⊥( ~B) tend relativementvers zéro. Il reste à calculer Ienlace : étant donné qu'il s'agit d'une distribution surfacique decourant Ienlace = ~jσ · (d`~u) où ~u est un vecteur unitaire de direction perpendiculaire à d~‖1,2. Enintroduisant le vecteur ~n12, perpendiculaire à la surface et orienté de la région 1 vers la région 2,on peut écrire d`~u = d~‖2 ∧ ~n12. Enn, comme d~l‖1 = −d~‖2, on en déduit

~B‖(2) · d~‖2 − ~B‖(1) · d~‖2 = µ0~jσ ·

(d~‖2 ∧ ~n12

).

Une simple permutation circulaire du produit mixte conduit à

~B‖(2)− ~B‖(1) = µ0

(~n12 ∧~jσ

)(11.5)

71


11.4 Le potentiel-vecteur magnétique

11.4.1 Relation avec le champ magnétique

En électrostatique, on peut déduire de la loi locale−→rot ~E = ~0 que le champ électrique ~E dérive

d'un potentiel en invoquant que, mathématiquement,−→rot(−−→

gradV)

= ~0. De même, en magnétosta-

tique la divergence du champ ~B, implique mathématiquement que

~B =−→rot ~A (11.6)

car la divergence du rotationnel est une identité vectorielle nulle. On introduit ainsi ~A, le potentielvecteur magnétique.

En électrostatique,−−→gradV =

−−→grad(V + constante) montre simplement que le potentiel élec-

trostatique est une quantité dénie à une constante près. Cette constante peut être xée en im-posant une valeur de potentiel à un point particulier de l'espace. De manière vaguement simi-

laire pour le potentiel-vecteur, le fait que−→rot ~A =

−→rot(~A+−−→gradΨ

), basé sur l'identité vectorielle

−→rot(−−→

gradΨ)

= ~0, conduit à armer que le potentiel-vecteur magnétique est déni au gradient

d'une fonction près. C'est sans conteste une dénition plus étendue que celle du potentiel élec-trostatique, mais elle est valable puisqu'elle n'altère pas la valeur du champ magnétique. Cettefonction est généralement déterminée en attribuant une valeur (une fonction) à div ~A ; on dit quel'on xe ainsi la jauge. Cette procédure repose sur le fait qu'un champ vectoriel est entièrementdéterminé par son divergent, son rotationnel et des conditions aux limites.

11.4.2 Flux du champ magnétique et circulation du potentiel vecteur

Le ux du champ magnétique à travers une surface ouverte Σ s'appuyant sur un contour Γ

Φ(B) =

ˆΣ/Γ

~B · d~S

se révèlera être une quantité très importante en régime non stationnaire. Par dénition du potentielvecteur magnétique, et en utilisant le théorème de Stokes,ˆ

~B · d~S =

ˆΣ/Γ

−→rot ~A. · d~S,

Φ(B) =

˛Γ

~A. · d~.

Autrement dit, le ux du champ magnétique est égal à la circulation du potentiel vecteur.

11.4.3 Retrouver la loi de Biot et Savart

La loi de Biot et Savart et le théorème d'Ampère ont été introduits de façon séparée, si bienque l'on pourrait se demander ce qui les relie. Nous allons voir que l'introduction du potentiel-vecteur jette facilement un pont entre ces deux notions. Avec un raisonnement similaire à celui

qui conduit à l'équation de Poisson ∆ϕ = −ρ/ε0, et en utilisant l'identité vectorielle−→rot(−→

rot ~A)

=

~∇ ·(~∇ · ~A

)−(~∇)2

~A, on trouve immédiatement

∆ ~A = −µ0~j (11.7)

si on xe la jauge div ~A = ~∇ · ~A = 0. La relation (11.7) est une équation de Poisson pour chaquecomposante vectorielle de ~A et ~j. Puisqu'en électrostatique, le théorème de superposition armeque tout potentiel peut s'écrire sous la forme intégrale

ϕ(M) =1

4πε0

ˆρ(P )

PMdVP ,

72

11.4. Le potentiel-vecteur magnétique

on peut aussi dire qu'il s'agit d'une forme de solution de l'équation de Poisson électrostatique. Parsimple identication, les solutions de l'équation (11.7) peuvent donc prendre la forme similaire

~A(M) =µ0

4π

ˆ ~j(P )

PMdVP . (11.8)

Un élément volumique de potentiel-vecteur provenant d'un point P peut donc s'écrire

d ~A =µ0

4π

~j(P )

PMdVP , (11.9)

et si on s'intéresse à un courant I circulant dans des ls, on obtient une expression de l'élément depotentiel-vecteur par unité de longueur

d ~A =µ0

4π

I(P )

PMd~P . (11.10)

En calculant le rotationnel de ~A(M), on doit nécessairement aboutir à une expression du champmagnétique. Les diérentielles partielles contenues dans l'opérateur rotationnel ne s'appliquentqu'aux coordonnées du point M et peuvent agir directement sur l'intégrande en faisant passerl'opérateur sous le signe de l'intégrale (11.8). En utilisant une identité vectorielle, le rotationnel dece dernier devient

−−−→rotM

(~j(P )

PM

)= ~∇M ∧

(~j(P )

PM

),

= ~∇M(

1

PM

)∧~j(P ),

= ~j(P ) ∧−−→PM

PM3.

On obtient nalement

~B(M) =−−−→rotM ~A,

=µ0

4π

ˆ ~j(P ) ∧−−→PM

PM3dVP ,

qui n'est rien d'autre que la forme intégrale de la loi de Biot et Savart. Autrement dit, il vientd'être démontré que cette loi se déduit de la loi de Maxwell-Ampère et du caractère conservatifdu ux magnétique. Ce dernier est déduit, il est vrai, de Biot et Savart, mais la conservation d'unux est un résultat très général qui ne conduit pas à la loi spécique de Biot et Savart.

73


74

Chapitre 12

Le dipôle magnétique

Le développement multipolaire est une approximation utilisant la comparaison entre la taillede la source de champ et la distance à laquelle le champ est évalué. Plus l'ordre du développe-ment est élevé, plus la contribution au champ provient d'une répartition détaillée des sources.Ainsi en électrostatique, le monopôle correspond, quelle que soit la forme de la distribution, à laquantité nette de charge ; le dipôle exprime que les charges négatives et positives ont des bary-centres diérents ; le quadrupôle révèle une distribution encore en peu plus complexe des charges,etc. Le développement multipolaire du champ magnétique joue un rôle plus fondamental que celuidu champ électrique parce qu'aucune expérience n'a révélé l'existence de monopôle magnétique,autrement dit d'une charge magnétique. Le dipôle est donc la source de champ magnétique la plussimple qui existe. Au début de la physique quantique, on tenta d'expliquer le champ magnétiquedipolaire des particules élémentaires par leur rotation sur elle-même, un mouvement qui fut désignépar le terme spin (tourner en anglais). Le développement de la physique quantique a ensuite réin-terprété le spin d'une particule qui, bien qu'associé à un dipôle magnétique, n'est plus expliqué parun phénomène de rotation : le spin est un moment magnétique intrinsèque, une propriété physiquedes particules, au même titre que la charge, la masse, etc. L'étude classique reste cependant uneapproche féconde puisqu'elle explique de nombreux phénomènes micro ou macroscopiques.

12.1 Modèle de la spire circulaire

Une première approche du dipôle magnétique repose sur l'étude d'une spire circulaire parcouruepar un courant. L'approximation dipolaire consiste à évaluer le champ magnétique que cette boucleproduit à une distance grande devant sa dimension caractéristique (son rayon). Considérons donc uncircuit circulaire de centre O, de rayon R et parcouru par un courant I. L'axe Oz est perpendiculaireau plan de la boucle, et on utilise un système de coordonnées sphériques. Le potentiel-vecteurmagnétique au point M(r, θ, ϕ) produit par cette distribution de courant se calcule exactement enutilisant la loi (11.10).

Grâce au principe de Curie, on sait d'emblée que le potentiel-vecteur est invariant par rotationautour de l'axe z, soit ~A(r, θ), ce qui permet de le calculer, sans perte de généralité, en un point

M(r, θ, ϕ = 0), c'est-à-dire contenu dans le plan xOz. A partir de−−→PM =

−−→PO +

−−→OM ,

−−→OP =

R (cosϕP~ux + sinϕP~uy) et−−→OM = r~ur(M) avec ~ur(M) = sin θ~ux + cos θ~uz le vecteur normé radial

dans le plan déni par ϕ = 0, on obtient−−→PM = (r sin θ −R cosϕP ) ~ux − R sinϕP~uy + r cos θ~uz.

La norme PM =

√OP 2 +OM2 − 2

−−→OP ·

−−→OM passe par le calcul du produit scalaire

−−→OP ·

−−→OM =

rR cosϕP sin θ, et s'écrit

PM =√r2 +R2 − 2rR cosϕP sin θ,

une quantité qui, en considérant R r, peut être approché au premier ordre par

PM ≈ r(

1− R

rcosϕP sin θ

).

75

Chapitre 12. Le dipôle magnétique

Avec cette approximation, l'élément potentiel vecteur devient

d ~A(M) ≈ d ~Ad(M) ≡ µ0IR

4πr

(1 +

R

rcosϕP sin θ

)dϕP~uϕ(P ),

où ~uϕ(P ) = R (− sinϕP~ux + cosϕP~uy). L'intégration ne présente pas de diculté et aboutit à

~Ad(M) =µ0IπR

2 sin θ

4πr2~uy,

qui, si l'on choisit un angle ϕ 6= 0, devient plus généralement

~Ad(M) =µ0IπR

2 sin θ

4πr2~uϕ(M) (12.1)

En utilisant le fait que ~uz ∧ ~ur(M) = sin θ~uϕ, l'expression prend la forme

~Ad(M) =µ0

~M∧ ~ur(M)

4πr2

où l'on a introduit le moment dipolaire magnétique

~M = πR2I~uz

A partir de la forme (12.1) du potentiel-vecteur, on déduit le champ magnétique dipolaire

~Bd(M) = ~∇M ∧ ~Ad(M)

Comme ~Ad(M) = Ad~uϕ n'a qu'une composante selon ϕ, le rotationnel, en coordonnées sphériques,prend la forme

~∇M ∧ ~Ad(M) =1

r sin θ

∂ (sin θAd)

∂θ~ur −

1

r

∂ (rAd)

∂r~uθ,

=µ0

∥∥∥ ~M∥∥∥4π

[1

r3 sin θ

∂(sin2 θ

)∂θ

~ur −sin θ

r

∂ (1/r)

∂r~uθ

].

Une fois eectuées les dérivations du terme entre crochets, on obtient

~Bd(M) =µ0

∥∥∥ ~M∥∥∥4πr3

[2 cos θ~ur + sin θ~uθ] .

12.2 Cas général

Les circuits peuvent avoir des formes quelconques, et il est intéressant de généraliser l'approxi-mation faite à la sous-section précédente. Considérer qu'un circuit parcouru par un courant I estpetit devant la distance séparant le circuit du point M où est calculé le champ revient à dire qu'ilexiste au moins un point O tel que

−−→PM =

−−→PO+

−−→OM et OP OM , où P est un point quelconque

du circuit. Dans ce cas, on peut écrire

1

PM≈ 1

OM+ ~∇P

(1

PM

)P=O

·−−→OP,

≈ 1

OM+

−−→OM ·

−−→OP

OM3,

et, en utilisant l'Eq. (11.10), obtenir l'élément

d ~A(M) ≈ µ0I

4π

(1

OM+

−−→OM ·

−−→OP

OM3

)d~P .

76

12.2. Cas général

Pour un circuit fermé, l'intégrale sur le contour déni par le circuit donne

~Ad =µ0I

4πOM3

˛ (−−→OM ·

−−→OP)d~P .

Une manipulation assez éprouvante du terme intégré conduit à

~Ad =µ0

4π

~M∧−−→OM

OM3

avec la dénition générale

~M =I

2

˛ −−→OP ∧ d~P

Bien que le point O apparaissent dans les expressions de ~M, celui-ci n'en dépend pas. En eet, lechoix d'un point O′ 6= O conduit à

~MO′ − ~MO =I

2

˛ −−→O′O ∧ d~P ,

=I

2

−−→O′O ∧

˛d~P ,

= ~0.

77

Chapitre 12. Le dipôle magnétique

78

Chapitre 13

Flux magnétique en régimestationnaire

Qu'on se place en régime stationnaire ou en régime dynamique, l'étude des circuits fait intervenirla notion de ux magnétique. Ce chapitre montre que cette notion apparait naturellement lorsqu'oncherche à déterminer l'énergie potentielle d'interaction entre un circuit et un champ magnétique.

13.1 Énergie potentielle d'un circuit dans un champ magné-tique

13.1.1 Travail de déplacement d'un circuit fermé dans un champ ma-

gnétique

Un circuit C parcouru par un courant I courant subit la force de Laplace

~Fmagn =

˛CId~∧ ~B. (13.1)

Si on déplace ce circuit d'une distance d~r comme indiqué sur la Figure 13.1, le travail fourni vaut

δW = ~Fmagn · d~r,

=

˛CI(d~∧ ~B

)· d~r,

=

˛CI(d~r ∧ d~

)· ~B,

= Idφc, (13.2)

où l'on introduit le ux coupé innitésimal

dφc =

˛C

(d~r ∧ d~

)· ~B (13.3)

Le terme(d~r ∧ d~

)est un vecteur surface innitésimal qui est perpendiculaire à la fois à d~ et à

d~r (rappel : d~ est dirigé dans le sens de I positif). Il correspond, une fois l'intégration eectuée,à la surface balayée par le déplacement du circuit. Pour cette raison, le ux magnétique calculée àtravers cette surface est dit coupé. On le distingue ainsi du ux magnétique calculé à travers unesurface où les circuits sont immobiles. C'est l'occasion de rappeler que l'unité du ux magnétiqueest le Weber (Wb =T.m−2=V.s).

13.1.2 Théorème de Maxwell-Règle du ux maximal

On s'intéresse maintenant au cas particulier où le champ magnétique ~B est indépendant dutemps. Cette condition impose implicitement que le circuit soit rigide et parcouru par un courant

79

Chapitre 13. Flux magnétique en régime stationnaire

Figure 13.1 (a) Déplacement innitésimal d'un circuit dans un champ magnétique (non indiqué)

et dénition graphique du vecteur-surface innitésimal d2~Sc =(d~r ∧ d~

)sur lequel est calcul est le

ux coupé. (b) Surface fermée dénie par le déplacement d'un circuit et exemple de choix cohérentd'orientation des vecteurs-surface.

constant car, sinon, de telles variations produiraient une évolution temporelle du champ magnétiquecréé par le circuit en question. On démontre, dans ces conditions, que le ux coupé est indépendantdu chemin suivi, c'est-à-dire ne dépend que des positions initiale et nale. Pour cela, il sut deconsidérer le ux à travers une surface fermée un peu particulière, formée de

la surface Sinit s'appuyant sur le circuit en position initiale, la surface Sfin s'appuyant sur le circuit en position nale, la surface Sc engendrée par le déplacement du circuit,

Or, puisque par hypothèse de départ ~B est indépendant du temps, on doit pouvoir retrouver lerésultat général de la magnétostatique

φferme =

˛S

~B · d~S,

=

ˆdiv ~BdV,

= 0. (13.4)

Ce ux peut se décomposer en ux sur les trois surfaces ouvertes Sc, Sinit et Sfin, et on obtient˛S

~B · d~S =

ˆSc

~B · d~S +

ˆSinit

~B · d~S +

ˆSfin

~B · d~S, (13.5)

où, par convention, tous les vecteurs-surface doivent être dirigés de l'intérieur de la surface versl'extérieur. Mais, à la diérence d'une surface fermée choisie dans le cas d'un système de circuitsimmobiles, celle qui nous intéress ici est engendrée par un déplacement du circuit. Comme lesvecteurs-surface sur Sinit et Sfin voient leur orientation déterminée par le même circuit, ceux-cipointent nécessairement dans des sens opposés par rapport à la surface fermée : l'un vers l'intérieuret l'autre vers l'extérieur de la surface fermée. Quant au vecteur-surface relatif à Sc, son sensdépendant lui aussi du sens de circulation du courant (cf. un exemple sur la Figure 13.1b). Cesconsidérations indiquent que la relation 13.5 reste valable à condition d'attribuer des signes auxux φc, φinit, φfin associés aux surfaces aublés des mêmes indices ; on trouve ainsi

φc + φinit − φfin = 0, (13.6)

et par conséquent, le travail vautW = I (φfin − φinit) , (13.7)

un résultat connu sous le nom de théorème de Maxwell : le travail des forces de Laplace sur un circuitparcouru par un courant constant égale le produit du courant par la variation de ux magnétique

80

13.2. Coecients d'induction

le traversant. Ce système est donc conservatif. On peut dénir une énergie potentielle dU = −δW ,et écrire

∆U = −I (φfin − φinit) . (13.8)

Plus généralement, si on dénit l'origine de l'énergie potentielle là où le champ magnétique externeest nul (condition souvent associée à ce qui se passe à l'inni), l'énergie potentielle d'interactionpour une position quelconque du circuit vaut

U = −Iφ. (13.9)

Un circuit rigide minimise donc son énergie en maximisant son ux, c'est-à-dire en s'orientant dansl'axe du champ magnétique, et en se déplaçant vers les zones de champ intense (il peut y avoir desmaxima locaux). C'est la règle du ux maximal.

13.1.3 Exemple : circuit dans un champ magnétique uniforme.

On considère un circuit inscrit dans un plan délimitant une surface S et orienté selon ~n. Oncalcule

U = −Iˆcircuit

~B · d~S,

= −I ~B ·ˆcircuit

d~S,

= −IS~n · ~B,= − ~M · ~B

où on a introduit ~M = IS~n, le moment magnétique du circuit. L'énergie potentielle ne dépendpas de la position du circuit puisque ni ~M ni ~B n'en dépendent. En revanche ~M étant orientésuivant ~n, une rotation élémentaire d~θ = dθ~uθ du circuit autour d'un axe déni par ~uθ, conduit àune variation vectorielle d ~M = d~θ ∧ ~M, et donc à la variation

dU = −d(~M · ~B

),

= −(d~θ ∧ ~M

)· ~B,

= −(~M∧ ~B

)· d~θ,

où on peut dénir le couple agissant sur le circuit ~Γ = ~M∧ ~B.

13.2 Coecients d'induction

13.2.1 Coecients d'induction mutuelle

Lorsque plusieurs circuits parcourus par des courants sont disposés susamment près les unsdes autres, ils interagissent entre eux. Dans le cas où on considère simplement deux circuits rigidesC1 et C2 parcourus par les courants I1 et I2, l'énergie d'interaction des deux circuits vaut

U = −I1φ1 (13.10)

ou, de façon équivalente,U = −I2φ2. (13.11)

Dans les deux cas, il s'agit de multiplier le courant d'un des circuits par le ux du champ magnétiquele traversant. En utilisant le théorème de Stokes, on montre que

φ1,2 =

ˆC1,2

~B2,1 · d~S1,2,

=

˛C1,2

~A2,1 · d~1,2, (13.12)

81


où ~B2 =−−−→rotA2

1 et ~A2 = µ0I24π

¸C2

d~2r12

. Injectant (13.12) dans (13.10) ou (13.11), on trouve aisément

U = −µ0I1I24π

˛C1

˛C2

d~1d~2r12

,

= −M12I1I2 (13.13)

où l'on a déni le coecient d'induction mutuelle (ou simplement inductance mutuelle)

M12def=

(µ0

4π

˛C1

˛C2

d~1d~2r12

)(13.14)

qui ne dépend que de la géométrie du système. On remarque enn que

φ1 = M12I2,

φ2 = M21I1, (13.15)

avec M12 = M21 comme le montre la symétrie par rapport aux indices (1) et (2) de l'expression(13.15). L'unité de l'inductance mutuelle est le Henry (symbole : H≡Wb.A−1).

La généralisation à N > 2 circuits est facile : pour un circuit Ci, le ux du champ magnétiqueengendré par les N − 1 autres circuits est une simple somme algébrique des ux individuels :

φi =∑j 6=i

MijIj . (13.16)

Quant à l'énergie totale d'interaction, elle est donnée par la somme de toutes les paires de circuitsqui interagissent, soit

U = −1

2

∑i

∑j 6=i

MijIiIj . (13.17)

Le facteur 1/2 intervient pour ne compter qu'une seule fois chaque paire de circuits en interaction.

13.2.2 Coecient d'induction propre

Un circuit C parcouru par un courant I produit un champ magnétique ; il existe donc un uxpropre (noté φ). Ce ux est-il proportionnel au courant qui l'engendre ? Nécessairement puisque,en tout point de l'espace, le champ magnétique produit est proportionnel à I (pour s'en assurer,voir la loi de Biot et Savart). Le coecient de proportionnalité

L =φ

I(13.18)

est appelé le coecient d'auto-inductance (ou inductance propre, self-inductance et courammentself ), et son unité est le Henry.

N.B. : L est indépendant de I puisque φ est proportionnel à I !

13.2.3 Exemple : Calcul de coecients d'induction

Inductance propre d'un solénoïde

On considère un circuit C1 ayant la forme d'un solénoïde d'axe ~uz et composé de N1 spiresjointives parcourues par un courant I1. Sa longueur `1 étant largement supérieure à son rayon R1,on néglige les eets de bords. On veut calculer la self à partir de l'expression 13.18. Cela nécessite

1. Rappel : div ~B = 0 implique que ~B =−−→rotA (le champ magnétique est purement rotationnel) où ~A est déni

comme le potentiel vecteur du champ magnétique. On peut faire le rapprochement avec la façon de dénir V , le

potentiel (scalaire) électrique, donné par ~E = −−−−−→gradV , conséquence de ce que le champ ~E, en électrostatique, est

purement divergent (−−→rotE = ~0).

82

13.2. Coecients d'induction

un calcul du ux magnétique à travers tout le circuit. On commence donc par calculer le champmagnétique au moyen du théorème d'Ampère. On trouve aisément qu'à l'intérieur du solénoïde,

~B1 = µ0N1

`1I1~uz.

Il reste à calculer

φ =

ˆsolenoıde

~B1 · d~S,

qui nécessite de trouver une surface s'appuyant sur ce circuit compliqué. On peut choisir unesurface en forme d'hélicoïde (géométrie proche du colimaçon ou de la vis d'Archimède) dont lasurface totale est proche de N1πR

21. Finalement on trouve

φ = µ0N2

1

`1πR2

1I1,

et, après simple division par I1, la self

L = µ0πN2

1

`1R2

1

Inductance mutuelle entre deux solénoïdes

On ajoute un solénoïde C2 de longueur `2 > `1, de rayon R2 > R1, fait N2 spires, autour del'axe de C1 parcourues par un courant I2 tournant dans le sens opposé à I1. Aussitôt, on établitque le champ magnétique du solénoïde (2),

~B2 = −µ0N2

`2I2~uz

est homogène à travers la travers la surface hélicoïdale N1πR21 du solénoïde (1). Le ux de C2 à

travers C1 vaut alors

φ1 = −µ0πN2N1

`2R2

1I2,

et

M12 = −µ0πN1N2

`2R2

1.

Montrons maintenant que M21 = M12. Le champ magnétique de C1 ne traverse pas toutes lesspires de C2 mais seulement N2

`1`2

(en faisant l'approximation d'un champ ~B1 s'annulant hors deC1). De plus seule une portion de la surface des spires de C2, égale à πR2

1, est traversée par le champmagnétique. En résumé,

φ2 = ~B1

(−N2

`1`2πR2

1 ~uz

),

= −µ0πN2N1

`2R2

1I1,

ce qui donne eectivement M21 = M12.

83


84

Chapitre 14

L'induction électromagnétique

En 1820, Oersted découvrit, un peu par hasard, qu'une aiguille aimantée se trouvait déviée àproximité d'un l parcouru par un courant. Cela mettait en évidence que des charges électriquesen mouvement créent, comme les aimants, un champ magnétique. Rapidement, on se demandasi, réciproquement, les aimants ne pouvaient pas, d'un façon ou d'une autre, créer des champsélectriques. En 1831, Michael Faraday entreprit une longue série d'expériences pour répondre àcette question. Sa démonstration consistait à induire, à partir d'aimants ou de bobines produisantun champ magnétique, un déplacement de charges dans un circuit fermé. Ce déplacement, mesurésous forme de courant, devait révéler l'action d'une force électrique puisque les charges, initialementau repos, ne pouvaient pas avoir été mues par un champ magnétique (la force magnétique, q~v ∧ ~B,est nulle pour une particule sans vitesse). La conclusion de ces expériences est qu'un courant peutapparaître lorsque le circuit est soumis à une variation du champ magnétique (et de manière trèsgénérale, lorsque le circuit est soumis à une variation du potentiel vecteur magnétique).

Les expériences de Faraday

Les multiples expériences de Faraday ont mis en évidence l'induction électromagnétique dansdiérentes congurations. La gure (14.1) regroupe les cas typiques que l'on peut trouver : cir-cuits déformables ou indéformables et déplacement ou variation temporelle des sources de champmagnétique. L'analyse correcte de certaines expériences, en particulier celles qui sont basées surla déformation du circuit ou de ses contacts, ne suit pas une recette logique unique ; il faut alorsremonter à l'origine physique de ce qui induit le champ électrique. L'expérience de la gure (14.1d)est un exemple classique de ce type d'expérience.

14.1 La loi de Lenz-Faraday

La loi de Lenz-Faraday a tout d'abord été expérimentale. Elle stipule que le travail de laforce électrique pour déplacer une charge d'un coulomb sur l'ensemble d'un circuit Γ appeléforce électromotrice (fem) est proportionnel à la variation du ux du champ magnétique (Φ)traversant le circuit. Mathématiquement, cette loi s'écrit

fem = −dΦ

dt(14.1)

Le ux φ =´

Σ/Γ~Bd~S est calculé à travers une surface ouverte Σ qui s'appuie sur le contour

du circuit. Pour qu'il soit déterminé de manière univoque, il ne doit pas dépendre de la surfacechoisie 1. La relation div ~B = 0 permet d'assurer cette propriété ; elle est donc a priori maintenueen régime variable. On remarque que la dérivée totale de Φ par rapport au temps indique que lavariation peut avoir des origines diverses :

le déplacement du circuit dans un champ magnétique inhomogène,

1. Rappel : sur un contour fermé, il est possible de dénir des formes variées de surfaces ouvertes.

85

Chapitre 14. L'induction électromagnétique

a) b)

c) d)

Figure 14.1 Exemples d'expériences d'induction électromagnétique dans un circuit : a) dépla-cement d'une source de champ magnétique (ici un aimant), b) variation temporelle du champmagnétique (ici variation du courant d'une bobine), c) déformation du circuit dans un champ ma-gnétique statique (ici mouvement rectiligne d'un élément du circuit), d) disque de Faraday, ou rouede Barlow (une roue conductrice, élément d'un circuit fermé, tourne dans un champ magnétiqueextérieur).

86

14.2. Comprendre l'induction électromagnétique

la variation temporelle du champ magnétique, la déformation de la géométrie du circuit

et, bien sûr, toute combinaison de ces trois causes.La fem n'est pas homogène à une force malgré son nom (un peu vieilli). Il s'agit en réalité d'un

travail par unité de charge, homogène au volt. On note

fem =Wind

q(14.2)

=

˛C

~F

q· d~ (14.3)

=

˛C

~E · d~. (14.4)

Le passage ~F/q → ~E indique que la force doit être de nature électrique pour qu'elle puisse déplacerdes charges initialement au repos. Toutefois on sait qu'une fem non nulle ne peut être expliquéepar un champ électrique de type électrostatique (i.e. produit par des charges immobiles) puisque le

travail de ce type de champ sur un circuit fermé est nécessairement nul 2 (−−→rotE = ~0⇒

¸C~Ed~= 0).

On montre aussi que la fem est liée à la puissance électrique fournie P et au courant induit ipuisque, pour le temps τ que la charge q met à parcourir le circuit, on trouve

fem =Wind/τ

q/τ=P

i. (14.5)

Enn, si le circuit est caractérisé par une résistance R, toute la puissance fournie aux charges sedissipe par eet Joule : P = PJoule = Ri2 implique que fem = Ri.

Enn, le signe négatif de la loi (14.1) n'est pas anodin, il rend compte de la loi de Lenz : lecourant induit (i) est orienté de telle manière à produire un champ magnétique s'opposant à lavariation du champ magnétique lui ayant donné naissance.

14.2 Comprendre l'induction électromagnétique

An de comprendre profondément comment et pourquoi apparaît une fem dans un circuitélectrique, cette section passe en revue diérentes situations expérimentales.

14.2.1 Circuit indéformable et mobile dans un champ magnétique xe

On peut s'appuyer sur l'expérience de la gure (14.1a). Sur ce schéma, le circuit est immobile,et l'aimant se déplace (référentiel R). Si on change de référentiel, et que l'on se place dans celuide l'aimant (R′), c'est le circuit qui se déplace. Ainsi, dans R′, le circuit et les charges libres qqu'il contient se déplacent à la vitesse ~v ≡ d~r

dt . Les charges subissent donc une force magnétique~F = q(~v ∧ ~B), et le travail par unité de charge le long du circuit vaut

W

q=

˛Γ

(~v ∧ ~B) · d~, (14.6)

=

˛Γ

(d~r

dt∧ ~B) · d~, (14.7)

=

˛Γ

(d~r

dt∧ d~) · ~B, (14.8)

2. On peut alors se poser la question : comment créer un courant stationnaire dans un circuit fermé ? La ré-ponse est que le générateur transforme nécessairement une source d'énergie non électrique (chimique, mécanique oulumineuse) en courant (énergie cinétique).

87


où on reconnaît l'élément de surface balayée par le déplacement d2~S = d~∧ d~r (cf. chapitre 13)pendant un temps dt. On trouve alors

W

q= − 1

dt

ˆ~B · d2~S, (14.9)

= −dφcdt

, (14.10)

qui exprime qu'il existe une fem non nulle qui est égale au ux coupé par le déplacement ducircuit. Dans ce référentiel, il n'y a donc pas besoin de supposer l'existence d'un champ électriquepour qu'un courant apparaisse : la magnétostatique explique ce phénomène de façon satisfaisante.

Mais quelle est l'interprétation correcte dans R ? Le problème se pose car, dans ce référentiel-là,la vitesse des charges y est nulle initialement, si bien qu'il n'y a pas de force magnétique. Pourtant,en comparant la loi de Lenz-Faraday à (14.6), on doit bien en déduire que, d'une manière ou d'uneautre,

~ER = ~vR′ ∧ ~BR′ .

L'ajout des indices désignant les référentiels donne la réponse implicitement : les vecteurs champmagnétique et champ électrique sont dépendants du référentiel d'observation, et leurs caractéris-tiques (norme, direction) se combinent lors d'un changement de référentiel.

Remarque sur l'électromagnétisme et l'invariance galiléenne Pour mieux comprendrede quelle manière les champs sont modiés lors d'un changement de référentiel, il faut remonter àla force globale qui est susceptible de mouvoir une charge q, à savoir la force de Lorentz

~F = q( ~E + ~v ∧ ~B), (14.11)

qui est composé de deux termes : une force électrique, q ~E, indépendante de la vitesse ~v ; et une force magnétique q~v ∧ ~B, proportionnelle à ~v.

Pour que cette force obéisse au moins au principe d'invariance galiléenne, qui veut que la force soitidentique quelque soit le référentiel, il faut nécessairement que les valeurs des champs électrique etmagnétique dépendent du référentiel. On peut s'en convaincre en prenant le cas d'une particule sedéplaçant à vitesse ~vR′ dans un référentiel R′ dans un espace où règnent des champs magnétique etélectrique homogènes ( ~ER et ~BR). Celle-ci est soumise à la force de Lorentz (14.1) que l'on réécritavec les indices R′

~F = q(~ER′ + ~vR′ ∧ ~BR′

). (14.12)

Dans un référentiel R se déplaçant à la vitesse ~u par rapport au référentiel R′, la particule sedéplace à la vitesse ~vR = ~vR′ − ~u. La force peut donc se réécrire sous la forme

~F = q(~ER′ + (~vR + ~u) ∧ ~BR′

),

= q([~ER′ + ~u ∧ ~BR′

]+ ~vR ∧ ~BR′

), (14.13)

qui est égale à ~F = q( ~ER + ~vR ∧ ~BR), la force de Lorentz écrite directement dans le repère R. Ontrouve ainsi les tranformations galiléennes des champs :

~ER = ~ER′ + ~u ∧ ~BR′ , (14.14)~BR = ~BR′ . (14.15)

Il s'agit bien sûr d'une approximation des transformations relativistes, mais elle est bien susanteici. Un cas limite éloquent est celui où on choisit ~u = ~vR′ , autrement dit où la charge q est aurepos dans R : la force magnétique n'y agit pas puisque ~vR = ~0, et donc seule une force électriquepeut rendre compte de la force subie par la charge.

En résumé, les champs électrique et magnétique sont des grandeurs intrinsèquement liées quel'on peut désigner sous un terme global : le champ électromagnétique.

88


14.2.2 Circuit indéformable et xe dans un champ magnétique variable

Peut-on dire que l'induction électromagnétique n'est qu'une transformation galiléenne des forcesmagnétiques ? Non, c'est insusant : une expérience comme celle de la gure (14.1b) le démontre :l'induction électromagnétique se manifeste aussi avec un protocole comportant des éléments im-mobiles. En résumé, les charges sont mises en mouvement dès lors que le champ magnétique varie,quelle qu'en soit la raison (cette règle n'est pas totalement exacte comme on le verra plus loin).

A ce stade, il est intéressant de manipuler un peu la loi de Lenz-Faraday. L'induction sansdéplacement ni déformation du circuit permet d'écrire

d

dt

ˆΣ/Γ

~B · d~S =

ˆΣ/Γ

∂ ~B

∂t· d~S. (14.16)

Comme, d'autre part, en utilisant le théorème de Stokes, on trouve

fem =

˛Γ

~E · d~,

=

ˆΣ/Γ

−−→rotE · d~S, (14.17)

on peut, à partir des expressions (14.16) et (14.17), obtenir la loi de Lenz-Faraday locale

−−→rotE = −∂

~B

∂t(14.18)

On remarque que la loi locale de l'électrostatique est un cas limite du régime variable (∂~B∂t = 0).

Aussi, comme la relation div ~B = 0 implique ~B =−−→rotA, on déduit, à partir de

−−−−−−−−−→rot (E + ∂tA) = ~0,

~E = −−−−−→gradV − ∂ ~A

∂t(14.19)

qui pose clairement l'origine de tout champ électrique : les charges électriques (à travers le potentielscalaire électrique V ) et la variation du potentiel vecteur magnétique ~A. On précise donc la condi-tion d'apparition de l'induction (trop rapidement énoncé en introduction de cette sous-section) :elle repose sur la variation du potentiel vecteur et non pas sur celle du champ magnétique. Cettedistinction peut sembler superue mais elle a le mérite de rappeler que ~A et ~B ne varient pas dela même manière systématiquement 3.

Exemple Supposons un circuit circulaire, de rayon a, de résistance R, dans un plan (O,~ux, ~uy) etbaignant dans un champ magnétique homogène ~B(t) = B0 cos(ωt)~uz. La fem = πa2B0ω sin(ωt),donc

i =πa2B0ω sin(ωt)

R.

La loi de Lenz indique que pour 2nπ/ω < t < (2n + 1)π/ω avec n ∈ N (i.e. les phases où ~B(t)diminue), le courant est positif et produit un champ magnétique orienté vers z > 0. Inversement, pour (2n + 1)π/ω < t < (2n + 2)π/ω, le courant est négatif et produit un champ magnétiqueorienté vers z < 0. Il est impératif de comprendre que le sens de i ne suit pas ~B(t) mais ∂t ~B(t).

3. Certaines expériences démontrent la prévalence du champ ~A sur le champ ~B dans l'explication de l'induction.Par exemple, un circuit qui entoure un solénoïde inniment long est parcouru par un courant induit (i) si l'on varie

le courant du solénoïde (I). Le champ magnétique étant nul en tout instant en dehors du solénoïde, le champ ~E

induit ne peut provenir de sa variation. Seul le champ ~A, non nul en dehors du solénoïde, permet de l'expliquer.

89


14.2.3 Circuit indéformable et mobile dans un champ magnétique va-

riable

Dans cette section, on examine la combinaison des deux possibilités de variation du ux ma-gnétique, i.e. le déplacement et la variation d'intensité de la source du champ. En termes mathé-matiques, cette situation se note

dφ

dt=

1

dt

[ˆΣ(t+dt)

~B(t+ dt) · d~S −ˆ

Σ(t)

~B(t) · d~S

], (14.20)

où le déplacement du circuit est indiqué par la dépendance en temps de la surface Σ(t). Aprèsdéveloppement limité du champ ~B(t+ dt),

dφ

dt=

ˆΣ(t+dt)

∂ ~B(t)

∂t· d~S +

1

dt

[ˆΣ(t+dt)

~B(t) · d~S −ˆ

Σ(t)

~B(t) · d~S

]. (14.21)

Au second membre, le premier terme correspond à une variation du ux par variation d'intensitéde la source du champ magnétique et les deux derniers termes reprèsentent le ux coupé en untemps dt. En dénitive, à l'aide du théorème de Stokes et des manipulations développées entre lesexpressions (14.6) et (14.10),

fem = −ˆ

Σ(t)

∂ ~B(t)

∂t· d~S − dφc

dt,

= −˛

Γ(t)

∂ ~A(t)

∂t· d~+

1

dt

ˆΣ(t)

~B · d~S,

=

˛Γ(t)

[−∂

~A

∂t−(~v ∧ ~B

)]· d~. (14.22)

La force électromotrice a donc une origine double : la force magnétique et la variation de ~A.

14.2.4 Circuit déformable dans un champ magnétique

Un circuit est déformable au sens où sa géométrie et/ou ses branchements se modient dans letemps. L'analyse de ces circuits déformables peut parfois sembler aller à l'encontre de la loi de lavariation du ux. Il est préférable de remonter à l'origine locale d'un éventuel courant induit dansle circuit (variation de ~A ou force magnétique). Quelques exemples aideront à comprendre cetteproblématique.

Exemple I : disque de Faraday Le schéma de principe de cette expérience est montré sur lagure (14.1d) : on y voit un disque conducteur de rayon a tournant, élément d'un circuit immobile,plongé dans un champ magnétique externe. Les contacts électriques entre le disque et le reste ducircuit sont : l'axe de rotation et le bord externe du disque trempant dans un bain de mercure(Hg). On a donc un branchement qui évolue dans le temps, et il faut s'attendre à ce que la loi deLenz-Faraday nous induise en erreur. Eectivement, si on l'applique sans trop de précaution, ontrouve que le ux ne varie pas, et donc fem = 0. Cette analyse est erronée puisqu'il existe bel etbien une fem non nulle. L'analyse locale donne la solution juste : les charges libres du disque sedéplacent à la vitesse de rotation, et donc une force magnétique agit. Le travail de cette force parunité de charge est

W

q=

ˆL

(~v ∧ ~B

)· d~,

où L est un chemin quelconque reliant les deux points de branchement du disque, ~v = rω~uθ (avecr et ω la position radiale et la vitesse angulaire d'un point du disque et ~uθ un vecteur orthoradialunitaire). En supposant (sans perdre en généralité) que ~B = B~uz (~uz est dirigé selon l'axe de

90


rotation du disque), ~v∧ ~B = rωB~ur. Donc, dans l'expression Wq = ωB

´L r~ur.d

~, le produit scalaire

~ur.d~= dr car d~ est projeté sur ~ur. Finalement, le résultat

W

q=

ωB

2

ˆLd(r2),

=ωB

2a2

né dépend pas du chemin suivi, et est bien non nul.

Exemple II : déplacement d'un branchement Le schéma de principe de cette expérience estle suivant : un solénoïde de section circulaire et de rayon a, élément d'un circuit fermé, composéd'un nombre de spires variable, baigne dans un champ magnétique homogène, constant et dirigéselon l'axe du solénoïde. Si le contact sur le solénoïde est mobile est permet de faire varier lenombre de spires, la loi de Lenz-Faraday donne le résultat faux

fem = πa2BdN

dt,

6= 0,

La modication des contacts électriques nécessite une analyse locale : on constate qu'aucun champou potentiel vecteur magnétique ne varie (puisque ~B est constant), et que les charges libres dusolénoïde sont immobiles. Cela explique qu'aucune force n'apparaisse (fem = 0).

14.2.5 Induction et inductance

Nous avons vu qu'en régime stationnaire les interactions d'un système composé de plusieurscircuits se caractérisent par des grandeurs appelées inductances mutuelles et inductances propres.Plus précisément, le ux du champ magnétique à travers le circuit Ci vaut φi = LiIi+

∑j 6=iMijIj ,

avec Ik le courant circulant dans le circuit Ck, et Li et Mij l'inductance propre et les inductancesmutuelles. Ce formalisme se transpose aisément aux phénomènes d'induction à condition que lescircuits mis en jeu soient immobiles et indéformables. On trouve alors l'expression

fem = −LidIidt−∑j 6=i

MijdIjdt. (14.23)

91


92

Chapitre 15

Équations de Maxwell et équationsd'onde

15.1 Les équations de Maxwell en régime variable

Pour décrire le champ électromagnétique, les physiciens du XIXeme ont eu recours aux nouveauxoutils mathématiques de leur époque. Au prix d'une abstraction accrue du formalisme, l'analysevectorielle uidie le raisonnement et permet de décrire beaucoup plus de phénomènes que si l'ons'en tenait à l'analyse standard. C'est James Clerk Maxwell, physicien et mathématicien, qui est aucentre de ce développement. Il a non seulement fait la synthèse des connaissances en magnétisme,électricité et induction, mais il a aussi proposé une formulation mathématique aboutie et a mêmeintroduit une notion nouvelle, le courant de déplacement, an de rendre l'ensemble cohérent. Sadescription des champs électrique et magnétique repose sur le théorème de Helmholtz. Celui-ciénonce que n'importe quel champ vectoriel ~K est déni de manière unique par

−→rot ~K = ~C,

div ~K = f, (15.1)

où ~C et f sont des champs vectoriel et scalaire, fonctions du temps et des coordonnées de l'espace.On peut démontrer formellement (mais on ne le fait pas ici) que ces équations dénissent ~K demanière univoque. Helmholtz précise aussi que tout vecteur peut se décomposer en une composanteirrotationnelle (on dit aussi longitudinale) et une composante rotationnelle (on dit aussi solénoïdaleou transverse). De manière concise,

~K =−→rot ~M −

−−→gradΨ, (15.2)

où ~M et Ψ sont des champs vectoriel et scalaire adéquats (non uniques cependant). En injectantcette forme du vecteur ~K dans les relations 15.1, on aboutit aux expressions

−→rot ~K =

−→rot(−→

rot ~M), (15.3)

div ~K = −div(−−→

gradΨ), (15.4)

La 15.3 montre que le rotationnel de ~K ne s'exprime qu'en fonction de−→rot ~M qui est donc la

composante solénoïdale du vecteur ~K. La relation 15.3 montre que le divergence de ~K ne repose

que sur le vecteur(−−−→gradΨ

)qui est donc désigné comme la composante irrotationnelle.

Maxwell a donc spécié les champs vectoriels ~C et les champs scalaires f dans les cas ~K ≡ ~Eet ~K ≡ ~B. On sépare traditionnellement les équations reliant les champs ~E et ~B à leurs sourcesρ et ~j et les équations qui ne mettent en relation que les champs entre eux, et qu'on appelle pourcette raison les équations structurelles.

93

Chapitre 15. Équations de Maxwell et équations d'onde

15.1.1 Les équations structurelles du champ

Les expériences de Faraday ont conduit à obtenir la loi locale de Maxwell-Faraday

−−→rotE = −∂

~B

∂t. (15.5)

Si on applique le divergent sur chaque membre de cette expression, on trouve ∂t(

div ~B)

= 0,

et donc div ~B = f(~r). Jusqu'à preuve du contraire, on pose f(~r) = 0 parce qu'aucun monopolemagnétique n'a été découvert (le ux de ~B à travers une surface fermée est non nul). On obtientla deuxième équation structurelle, la loi locale de Maxwell-Thomson

div ~B = 0

Rappelons enn que la nullité de la divergence de ~B permet d'assurer que le ux du champmagnétique à travers une surface ouverte soit déni de manière univoque.

15.1.2 Les équations reliant les champs aux sources

La loi locale d'Ampère de la magnétostatique

−−→rotB = µ0

~j (15.6)

n'est valide qu'en régime stationnaire car elle est met en défaut le principe de conservation dela charge en régime variable. Maxwell proposa d'ajouter un terme au deuxième membre de cetteéquation pour pallier ce défaut de cohérence. Mais, tout d'abord, pourquoi la conservation de lacharge pose-t-elle problème à l'équation (15.6) ? Pour comprendre cela, il faut rappeler que laconservation de la charge s'écrit localement

div~j = −∂ρ∂t

(15.7)

ou, en version intégrale, ‹~j · d~S = −∂Q

∂t. (15.8)

Ces deux expressions signient simplement que le ux de la densité de charges à travers une surfacefermée est égal à la perte de charges qu'elle contient. En régime stationnaire les termes ∂ρ

∂t ou ∂Q∂t

sont nuls. Autrement dit, pour un courant continu, tout ux entrant est égal au ux sortant, sansquoi il y aurait accumulation de charges en certains points du conducteur. En appliquant l'opérateur

divergent aux deux membres de la loi 15.6, on détermine que div~j = 0 puisque div(−−→

rotB)

= 0

est mathématiquement nul, ce qui est cohérent avec le fait qu'en régime stationnaire ∂ρ∂t = 0. En

revanche, en régime variable où ∂ρ∂t 6= 0, l'opération précédente conduit à ce que le membre de

droite soit égal à −µ0∂ρ∂t . Maxwell a donc proposé d'ajouter le terme opposé pour annuler cette

expression :

div(−−→

rotB)

= µ0div~j + µ0∂ρ

∂t(15.9)

En utilisant l'équation de Maxwell-Gauss ρ = ε0~∇ · ~E, on peut réécrire (15.9) :

div(−−→

rotB)

= µ0div~j + µ0ε0div

(∂ ~E

∂t

),

ce qui donne la loi locale complète de Maxwell-Ampère

−−→rotB = µ0

~j + µ0ε0∂ ~E

∂t(15.10)

94

15.2. Équations des potentiels électromagnétiques

On remarque qu'on retrouve l'équation du régime stationnaire en annulant le dernier terme de(15.10).

Enn, il reste la loi locale de Maxwell-Gauss qu'aucune expérience ou souci de cohérence nenécessite de modier. En régime variable, on conserve donc

div ~E =ρ

ε0. (15.11)

15.1.3 Courants de déplacement et de conduction

Le terme ~jD ≡ ε0 ∂~E∂t ajouté par Maxwell est appelé courant de déplacement (bien qu'il s'agisse

en réalité d'une densité de courant). Il peut être comparé à~j que l'on nomme courant de conduction.En utilisant la loi d'Ohm locale ~j = γ ~E, on compare aisément la contribution majoritaire des deux

termes de l'équation de Maxwell-Ampère. En eet en régime harmonique,∣∣∣∂t ~E∣∣∣ = ωE (où ω est

la pulsation du champ),et donc ∣∣∣∣∣~jD~j∣∣∣∣∣ =

ε0ω

γ.

On en déduit, par exemple, que pour les conducteurs qui, par dénition, ont une bonne conductivité(de l'ordre de 108 S.m−1), le courant de déplacement est négligeable face au courant de conductionjusqu'à des fréquences de l'ordre de ω/2π . 106 THz.

15.2 Équations des potentiels électromagnétiques

15.2.1 Potentiels vecteur et scalaire électromagnétiques

Nous avons déjà vu que les équations de Maxwell imposent des formes particulières au champélectromagnétique. Ainsi la divergence nulle du champ magnétique implique ~B =

−→rot ~A. Comme

le rotationnel d'un gradient est forcément nul, le potentiel vecteur ~A est déni au gradient d'unefonction près :

~A′ = ~A+−−→gradΨ. (15.12)

Cette conséquence combinée à l'équation de Maxwell-Faraday conduit à ce que

~E = −−−→gradϕ− ∂ ~A

∂t, (15.13)

où le potentiel scalaire ϕ, si l'on inclut le résultat de l'expression (15.12), n'est pas unique et peutse redénir

ϕ′ = ϕ− ∂Ψ

∂t. (15.14)

15.2.2 Choix de jauge

Le choix d'un couple de potentiels s'appelle choisir une jauge. Le choix de jauge revient àchoisir la fonction Ψ ce qui, en pratique, consiste à imposer des conditions aux potentiels. Souvent,ce choix se fait en imposant en choisissant une fonction f telle que div ~A = f . La raison est simple :pour dénir ~B, seule la composante solénoïdale de ~A compte. En conséquence, imposer une valeurdediv ~A ne modie en rien ~B.

Prenons un exemple important s'appuyant sur les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère. En faisant apparaître les potentiels vecteur et scalaire à la place des champs ~E et ~B, et

95


en utilisant quelques identités vectorielles simples 1, on trouve

∆ ~A− ε0µ0∂2 ~A

∂t2+ µ0

~j = ~∇(~∇ ~A+ ε0µ0

∂V

∂t

), (15.15)

∆ϕ+ρ

ε0= −

∂(~∇ ~A)

∂t. (15.16)

qui sont deux équations diérentielles couplées générales régissant la forme des potentiels, et doncdes champs, en présence de charges ρ et de courant ~j. C'est là que le choix de jauge s'avèreprimordial. On peut imposer, par exemple,

~∇ · ~A+ ε0µ0∂ϕ

∂t= 0, (15.17)

qui s'appelle la jauge de Lorenz. Grâce à ce choix, les équations diérentielles précédentes sedécouplent et deviennent

∆ ~A− ε0µ0∂2 ~A

∂t2= −µ0

~j, (15.18)

∆ϕ− ε0µ0∂2ϕ

∂t2= − ρ

ε0. (15.19)

Mais on peut aussi choisir une autre jauge telle que celle de Coulomb (~∇ · ~A = 0) impliquant quel'expression (15.16) prend la forme de l'équation de Poisson

∆V +ρ

ε0= 0, (15.20)

et que l'expression (15.15) se transforme en

∆ ~A− ε0µ0∂2 ~A

∂t2+ µ0

~j = ε0µ0~∇(∂ϕ

∂t

). (15.21)

On peut douter a priori de l'intérêt de cette jauge. Son avantage réside dans le fait qu'à grandedistance des sources du champ électromagnétique, celui-ci ne s'exprime qu'en fonction de ~A.

15.2.3 Potentiels retardés

Sans en faire la démonstration ici, on peut montrer que les équations (15.18) et (15.19) obtenuesavec la jauge de Lorenz ont respectivement pour solutions

~A(M, t) =µ0

4π

ˆ ~jP (t− MPc )

MPdVP (15.22)

V (M, t) =1

4πε0

ˆρP (t− MP

c )

MPdVP (15.23)

avec c2 = 1/ (ε0µ0) quantité homogène à une vitesse. Ces solutions ressemblent fortement à cellesdes équations de Poisson. La seule diérence notable est le temps auquel sont évaluées les densitésde courant et de charges sous l'intégrale. Il s'agit d'un temps t − MP/c, antérieur au tempsd'observation t. La durée MP/c représente la durée de propagation des potentiels entre la sourceet le point d'observation.

1. ~∇∧(~∇∧ ~A

)= ~∇

(~∇ ~A

)−∆ ~A et ~∇

(~∇V

)= ∆V

96

15.3. Équations d'onde des champs électromagnétiques dans le vide

15.3 Équations d'onde des champs électromagnétiques dansle vide

En procédant de la même façon qu'avec les potentiels, on montre facilement que les champsélectrique et magnétique obéissent aux équations

~∇(ρ

ε0

)−∆ ~E = −µ0

∂~j

∂t− ε0µ0

∂2 ~E

∂t2, (15.24)

∆ ~B = −µ0

(~∇∧~j

)+ ε0µ0

∂2 ~B

∂t2. (15.25)

Dans une zone vide de l'espace où ρ = 0 et ~j = ~0, ces équations prennent les formes simpliées etsymétriques

∆ ~E − ε0µ0∂2 ~E

∂t2= ~0 (15.26)

∆ ~B − ε0µ0∂2 ~B

∂t2= ~0 (15.27)

qui ne sont rien de moins que des équations d'onde. Chaque composante du champ électromagné-tique obéit donc à une équation d'onde de forme

∆F − 1

c2∂2F

∂t2= 0, (15.28)

où c est la vitesse de l'onde, et F une fonction à déterminer. Lorsque Maxwell obtint ces résultats,il calcula aussitôt la constante ε0µ0 pour déterminer

c =1

√ε0µ0

≈ 3× 108 m.s−1, (15.29)

une valeur qui s'avéra très proche de celle de la lumière, déjà déterminé expérimentalement etcorrectement à l'époque 2. Maxwell, dans son article de 1864, écrit : l'accord des résultats semblemontrer que la lumière et le magnétisme sont deux phénomènes de même nature et que la lumièreest une perturbation électromagnétique se propageant dans l'espace suivant les lois de l'électro-magnétisme. . C'est, pour la physique, une révolution conceptuelle. A l'époque, Maxwell supposequ'il existe un milieu dans lequel se propage l'onde électromagnétique de la même manière quele son a besoin d'air ou la vague d'eau. Ce milieu, appelé éther luminifère, n'a jamais été révélé,et quelques expériences, en particulier les expériences de Michelson-Morley dans les années 1880,invalideront son existence. Comment l'onde électromagnétique se propage-t-elle sans milieu ? Laréponse est de proche en proche : on voit, dans les équations de Maxwell, que les termes ∂t ~B et∂t ~E sont sources, respectivement, de champ électrique et de champ magnétique auto-générés.

15.3.1 La solution en onde plane harmonique

Il faut réaliser que les équations d'onde acceptent une multitudes de solutions ; il sut pours'en convaincre de se rappeler de la diversité des solutions de l'équation de Poisson dans le vide(∆V = 0). Leur forme particulière dépend essentiellement des symétries et des conditions auxlimites dénies par le problème posé. Nous abordons ici un type particulier de solution de l'équationd'onde, communément utilisée en électromagnétisme : l'onde plane. L'onde plane est dénie commeune onde ayant même valeur en tout point d'un plan perpendiculaire à la direction de propagationà un temps t arbitraire. De manière générale, on posera que la direction de cette onde est donnée

2. Petite chronologie des mesures de la vitesse de la lumière : en 1849, H. Fizeau trouve 315 000 km.s−1, en 1862,L Foucault trouve 298 000 km.s−1, en 1978, Woods, Shotton et Rowley trouve 299 792,45898 km.s−1. Le calcul deMaxwell (1864) à partir des valeurs connues de ε0 et µ0 à l'époque avait donné 310 740 km.s−1. En 1983, coup dethéâtre : puisqu'on a une résolution et une précision sur la mesure de la seconde et la vitesse de la lumière bienmeilleures que sur le mètre, la 17eme conférence des poids et mesures décide de xer la vitesse de la lumière 299792,458 km.s−1. Le mètre est depuis déni comme la distance parcourue par la lumière en 1/(299 792 458) s.

97


par un vecteur unitaire ~u. On peut choisir un repère orienté de telle sorte que ~u coïncide avec levecteur ~ux d'un repère cartésien (~ux, ~uy, ~uz). La solution en onde plane F de l'équation (15.28)ne dépend alors ni de y, ni de z par dénition. Cette astuce nous conduit à résoudre le systèmeunidimensionnel

∂2F (x, t)

∂x2− 1

c2∂2F (x, t)

∂t2= 0. (15.30)

dont les solutions s'écrivent

F (x, t) = F+(ct− x) + F−(ct+ x). (15.31)

La dépendance particulière en temps et en position (x± ct) est caractéristique des fonctions décri-vant des ondes propageantes. Les signes + et − indiquent respectivement un sens de propagationvers les x négatifs et positifs (attention à la notation). L'onde plane la plus simple à manipulermathématiquement est l'oscillation temporelle sinusoïdale - dite aussi solution harmonique. Enécriture complexe, cette solution, facilement manipulable, s'écrit

F (x, t) = <[G(x)e−iωt

]où ω = 2πν est la pulsation de l'onde et ν la fréquence. En insérant cette solution dans l'équationd'onde (15.30), on trouve

∂2G(x)

∂x2= −ω

2

c2G(x) (15.32)

dont les solutions sontG±(x) = G0,±e

±ikx, (15.33)

où on a introduit le nombre d'ondek = ω/c. (15.34)

La solution générale s'écrit nalement

F (x, t) = <[G0,+e

i(−ωt+kx) +G0,−ei(−ωt−kx)

]. (15.35)

Pour coller à la description (15.31), il sut de réécrire (ωt ± kx) en (k [ct± x]). On identieF+(ct− x) = <

[G0,+e

−i(ωt−kx)]et F−(ct+ x) = <

[G0,−e

−i(ωt+kx)].

On montre sans peine que la périodicité de la fonction d'onde est tant temporelle que spatiale.Entre les instants t1 et t2, distants de ∆t = t2− t1, et les points x1 et x2, distants de ∆x = x2−x1,l'évolution de la phase de la fonction 2π−périodique est (ω∆t± k∆x). En conséquence, en en mêmepoint (∆x = 0), la phase évolue de 2π en une période temporelle dénie par T ≡ ∆t = 2π/ω. Defaçon équivalente, en un même temps (∆t = 0), la phase varie aussi de 2π entre deux points distantsd'une longueur appelée longueur d'onde λ ≡ ∆x = 2π/k. L'expression (15.34) peut ainsi prendrela forme équivalente

λ = c/ν.15.35 (15.36)

Ces résultats sont généraux mais exprimés dans une base particulière. Pour le cas général où ~un'est plus aligné sur un axe du repère cartésien, on remarque que l'abscisse x, d'un pointM(x, y, z)

quelconque s'écrit ~OM ·~ux, seule coordonnée dont dépend la fonction d'onde. Ce qui compte, c'estla projection de ~OM sur l'axe de propagation ~ux. Même si on choisit ~u = α~ux + β~ux + γ~uz (avecα2 + β2 + γ2 = 1 puisque ~u est unitaire), ce principe reste vrai : l'onde dépend de ~OM · ~u =

αx + βy + γz. La phase de la fonction d'onde s'écrit ainsi(ωt± k

[~OM · ~u

]). On dénit alors le

vecteur d'onde ~k = k~u dont les composantes sont kx = kα, ky = kβ et kz = kγ.L'onde plane est très commode à manipuler mathématiquement lorsqu'on lui applique des

opérateurs diérentiels. On peut établir facilement que

∂tF (~r, t) = −iωF (~r, t), (15.37)

∂xiF (~r, t) = ikxiF (~r, t). (15.38)

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15.3. Équations d'onde des champs électromagnétiques dans le vide

En utilisant l'expression (15.38), on obtient sans peine

−−→gradG(~r, t) = iF (~r, t)~k. (15.39)

En outre, si les composantes d'une onde plane vectorielle~L sont des ondes planes de mêmes carac-téristiques (direction de propagation, fréquence), on montre aussi facilement que

−→rot~L = i~k ∧ ~L, (15.40)

etdiv~L = i~k · ~L. (15.41)

15.3.2 L'onde plane progressive électromagnétique

Les solutions en onde plane s'applique aux équations d'onde (15.26) et (15.27). En utilisant enplus les équations de Maxwell, on peut préciser quelques éléments importants sur la structure del'onde électromagnétique. Tout d'abord le fait que ~∇· ~E = 0 implique, d'après la relation (15.41) que~k · ~E = 0 : on en déduit qu'une onde plane électromagnétique n'oscille que dans un plan transverseà l'axe de propagation. Cette remarque s'applique aussi à la partie magnétique (~∇· ~B = 0). Quant àla relation entre ~E et ~B, on peut la préciser grâce à l'équation de Maxwell-Faraday et aux relations(15.37) et (15.40) :

~∇∧ ~E = −∂~B

∂t, (15.42)

s'écrit ici

~k ∧ ~E = ω ~B,

~u ∧ ~E =ω

k~B. (15.43)

On en déduit alors ∣∣∣ ~E∣∣∣ = c∣∣∣ ~B∣∣∣ ,

et en multipliant scalairement l'expression (15.43) par ~E, on vérie que

~E · ~B = 0,

signiant, qu'en tout point les champs ~E et ~B sont orthogonaux.

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Electromagnétisme - lac.u-psud.fr · Chapitre 1. Intrductiono générale (où q 1, q 2 sont les charges électriques, exprimées en coulomb (positives ou négatives), r 12 la distance