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Numrisation de Signaux Sance 8

Conversion Analogique Numrique

Tout systme de traitement de signaux faisant appel un ordinateur ou un

processeur numrique spcialis implique necessairement une oprationprliminaire de conversion analogique-numrique (A/N).

L'information traite est restitue sour forme analogique par une conversionNumrique-analogique (N/A) ( dit digital to analog ou A/D en Anglais).

t

x(t)

t

x(t)

t

x(n)

4320

12

La conversion analogique numrique implique galement aprs chantillonnage uneopration qui consiste remplacer la valeur exacte analogique de lchantillon par laplus proche valeur approximative extraite dun ensemble fini de valeurs discrtes.Cette opration s'appelle la quantification. ("digitizing" en anglais).

Chacune de ces valeurs discrtes est exprime par un nombre sous forme binaire,par un codage appropri. Ce nombre est compris entre deux valeurs limites quifixent la plage de conversion.

Chaque nombre xk, reprsente un ensemble de valeurs analogiques contenues dansun intervalle de largeur k appel pas de quantification. Lorsque la plage deconversion est subdivis en pas de quantification gaux, on parle de quantificationuniforme.

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Mthodes de conversion A/N

1) Mthodes Indirect : VCO

La valeur de la tension du signal dentre est convertie en une frquence par uneoscilateur command en tension. en anglais : Voltage Controlled Oscillateur (VCO).La frquence est proportionnelle la tension.Ensuite on compte le nombre de passage zro pendant T.

2) Convertiseeur parallle. (Anglais Flash Converteur).

La tension dentr est compar 2n 1 valeurs du type :k

2nU

0dduite dune tension de rfrence U0.Le rsultat est traduite en mot binaire par un dcodeur logique.

+

+

+

+

R

R

U0

x(t)2n1 comparateurs

(tension de rfrence)

R

R

R

Sortienumrique(codeenbinaire)

dcodeurLogique

Utiliser pour la vido, radar, etc.

Avantage : Rapide est simple. Inconvenance : Manque de prcision.

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3) Approximation sucessive

La tension dentre est compar successivement une succesion de 2n 1 valeurs

de rfrence pondreskU0

2n.

Cest un systme boucl qui inclut un convertisseur numrique-analogique :

+

Horloge et logiquede commande

interne

ConvertisseurN/A

x(t)

+

}Sortienumrique

Tension deRfrence U0

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Mthodes de Conversion Numrique-analogique

Un convertisseur numrique-analogique est un dispositif produisant une grandeurde sortie y qui possde q = 2n valeurs distinctes. Il est loi uniforme si ces valeurssont rgulirement rparties sur une plage de valeurs allant de zro 2n selon laloi :

y = (d1 2n-1 + d2 2n-2 + ... + dn 20)

o est le pas de quantification.

Des interrupteurs commands par les variables binaires dk (dk = 0 interrupteur ouvert,dk= 1 interrupteur ferm) contrlent le passage de courants pondrs I0/ 2kprovenant de source de cournat dpendant dune rfrence I0 vers un point desommation.

I0/2 d1

I0/4 d2

I0/2n dn

I = d1I0/2 + d2I0/4 + ... + dnI0/2n

Dans la pratique, tous les interrupteurs ne ragissent pas exactement au mmeinstant. Il ne rsulte des parasites de commutations (Glitches en anglais) quidoivent tre limins par filtrage.

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Bruits d'Echantillonage et de Quantification :

nergie d'un Signal (Rappel)

L'nergie d'un signal, s(t), sur l'intervalle [t1, t2]:

Ws (t1, t2) = t1

t 2s 2(t) dt

ou pour un signal discrte, x(n) sur l'intervalle [N1, N2] :

Ws(N1, N2) = n=N1

N 2s2(n)

La qualit d'un signal est souvent reprsente par le "rapport signal/bruit"(SNR en anglais).

pour x(t) = s(t) + n(t).

Le rapport signal sur bruit est dfini par

=WsWn

o Wsest l'nergie du signal s(t) et

Wnest l'nergie du bruit n(t)

Le SNR est souvent reprsent avec une chelle logarithmique appele

dcibels et not dB.

dB= 10 log10

Un facteur de 3 dB est quivalent un facteur de 2 en puissance

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Bruit d'Echantillonage

Soit x(t) avec Tranforme X(f) = 1 pour | f | F max

Si l'echantillonage est fait Te =1

2FNtout energie entre Fn et Fmax devient bruit.

Energie du signale : Ws = 2 0

F NX(f)2 df

Energie du bruit : Wb = 2 FN

F maxX(f)2 df

FmaxFNFNFmax

X(f)

f

Rapport =WsWn

=

0

F NX(f)2 df

FN

F maxX(f)2 df

L'information d'un signal, x(t), est donc assimil a sa variance,

x2 = E{(x(t)x )2}

Dans ce qui suit, nous suposons que a moyenne du signal, x = s = n= 0.

Donc x2 = Wx

La variance d'un signal est une caractristique lie la quantit de l'informationreprsente.

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Le rapport signal sur bruit est dfini par

q=WsWn

=s2n2

o s2 est la variance du signal s(t) et

n2 est la variance du bruit n(t)

Quantification Uniforme

t

x(n)

432012

Pour le suivant, nous laisserons Te = 1.soit xq(n) la quantification de xe(n).

La conversion analogique numrique implique une opration qui consiste remplacer la valeur exacte analogique de l'chantillon par la plus proche valeurapproximative extraite d'un ensemble fini de valeurs discrtes.

Chaque nombre xq, reprsente un ensemble de valeurs analogiques contenues dansun intervalle de largeur appel pas de quantification. Lorsque la plage deconversion est subdivis en pas de quantification gaux, on parle de quantificationuniforme.

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La loi de quantification la plus frquemment utilis est la loi uniforme (ou linaire)dans laquelle les pas de quantification i sont constant.

La quantification est defini par une opration de seuillage.On cherche l'entier k,

xq(n) = k tel que k x e(n) < (k+1)

23

23

x

xq

Il s'agit d'un quantification par troncature.La bruit de quantification est la diffrence :

nq(n) = xe(n) xq(n)

Le bruit de quantification nq est considr comme un processus alatoire.Il possde une densit de probabilit p(nq)

Pour une quantifiaction uniforme, la densit de probabilit est uniforme

sur l'intervalle [0, ] avec p(nq) =1

nq = xe xq

xe0

nq

p(nq)

0

p(nq)

0

1

nq

Une valeur moyenne q 0 indique la prsence dun biais systmatique.Si on applique la seuillage xe(t) +

2 on obtient quantification par arrondi

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Quantification par arrondi :

xq(n) = k tel que k x e(n) +2 < (k+1)

x

xq3

2

2

3

Pour une quantifiaction uniforme, la densit de probabilit est uniforme p(nq) =1Pour les valeurs quantifies par arrondi,

q= 0.

nq = xe xq

xe

2

2

nq

p(nq)

2

2

2

p(nq)

1

nq

2

2

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Modlisation du Bruit de Quantification

Le rapport signal sur bruit de quantification est dfini par

q=WsWn

L'energie Ws(N1, N2) = n=N1

N2s 2(n).

Si on suppose que E{s} = 0, la variance vaut l'energie moyenne.

s2 =1

N1N2Ws =

1N1N2

n=N1

N 2s(n)2.

Si E{nq} = 0,

q2 =1

N1N2Wq =

1N1N2

n=N1

N 2n q(n)2.

Dans ce cas, q=W

sWn =

s

2

q2 .

Donc, le rapport Signal-Bruit peut tre estim par les densit de probabilit.

Avec une densit de probabilit p(nq) on peut calculer une variancepour les echantillons en utilisant la densit de probabilit des p(nq).

q2 = -/2

/2

(nq n)2 p(nq) dnq = -/2

/2

n q2 p(nq) dnq

q2 = -/2

/2n q2

1 dn =

nq3

3 |- /2/2 = 224 -224 = i3

12

on obtient une approximation largement utilise : q2212

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Cette formule est exacte lorsque le bruit de quantification possde une densit deprobabilit uniforme. Cette situation est parfaitement ralise dans de nombreusessituations pratiques.

Si E{Ws} = 0, le rapport signal sur bruit de quantification est dfini par

q=WsWn

=s2

q2. o s2 est la variance du signal x(t).

Par la formule prcdent :

q=s2

212

12s22

et en dcibels :

qdB= 10 log10 q = 10 log10(12x22 ) = 2

. 10 log10(x ) + 10 log10(12) dB

20 log10x + 10.8 dB

Si la plage utile V du signal est dcompose en 2n intervalles de largeur ,

=V2n

et donc la rduction en rapport Signal-bruit entraine par la numrisation est

qdB

= 10.8 + 20 log10

(2n) 20 log10

V

xdB

qdB= 6n + 10.8 20 log10V

xdB

Ainsi, pour un convertisseur analogique-numrique, o n reprsente le nombre debits des valeurs de sortie, le rapport signal sur bruit de une quantification mesuren dcibels varie linairement avec n et augmente de 6 dB avec chaque bitsupplmentaire.

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