Etude macroscopique de la polarisation, du champ ... · PDF fileSébastien Bourdreux Agrégation de Physique Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand Etude macroscopique de

Sebastien BourdreuxAgregation de PhysiqueUniversite Blaise Pascal - Clermont-Ferrand

Etude macroscopiquede la polarisation,

du champ electrique ~Eet du vecteur ~D

dans les milieux dielectriques.

Mai 2003

TABLE DES MATIERES 2

Table des matieres

1 L’action d’un champ electrique sur la matiere 41.1 Champs microscopiques et macroscopiques . . . . . . . . . . . 41.2 Mise en evidence experimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Cas des metaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Cas des dielectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Polarisation dielectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Champs et potentiels de polarisation 72.1 Introduction de charges de polarisation . . . . . . . . . . . . . 72.2 Un intermediaire de calcul : le vecteur ~D . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Utilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 Conditions de continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Cas d’un milieu uniformement polarise . . . . . . . . . . . . . 13

3 Polarisation des milieux dielectriques lineaires 163.1 Milieux dielectriques lineaires, homogenes et isotropes . . . . . 163.2 Relation entre ~D et ~E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Illustration experimentale : le condensateur a lame dielectrique 19

3.3.1 Constatations experimentales . . . . . . . . . . . . . . 193.3.2 Evolution de la capacite par insertion de la lame . . . . 203.3.3 Travail a charge libre constante . . . . . . . . . . . . . 233.3.4 Travail a potentiel constant . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Application a la sphere dielectrique . . . . . . . . . . . . . . . 263.4.1 Calcul des distributions de charges de polarisation . . . 273.4.2 Calcul par dedoublement . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Dans la vie de tous les jours : les cristaux liquides 334.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

TABLE DES MATIERES 3

Introduction

Le condensateur est un composant electrique extremement repandu ; il enexiste de nombreux types. Par definition, on appelle condensateur l’ensemblede deux conducteurs en influence totale (toutes les lignes de champs issuesde l’un arrivent sur l’autre) : si l’on neglige les effets de bord, vous avez vuque deux plans conducteurs paralleles (ou armatures), porteurs de chargestotales opposees, peuvent constituer un exemple de condensateur.Cependant, les condensateurs les plus couramment repandus sont constituesde deux armatures conductrices separees par ce qu’on appelle un dielectrique(par exemple du tantale (peu couteux), du mica, des films plastiques ou pa-raffines, du titanate de baryum, etc...).

Etymologiquement, le mot dielectrique est a rapprocher de ”dia-electronique”,c’est-a-dire ”de densite de charge nulle globalement nulle”. Le but de cettelecon est notamment de comprendre en quoi l’insertion de ce materiau entreles armatures est utile. Plus generalement, nous allons nous interesser d’unpoint de vu macroscopique a l’action d’un champ electrique sur les materiauxdielectriques, et degager des outils d’etude particulierement adaptes a ces mi-lieux.

1 L’ACTION D’UN CHAMP ELECTRIQUE SUR LA MATIERE 4

1 L’action d’un champ electrique sur la matiere

1.1 Champs microscopiques et macroscopiques

La matiere est constituee de particules chargees qui creent dans toutl’espace un champ electromagnetique vrai appele champ microscopique etdesigne par le couple (~e(~r, t),~b(~r, t)).Ce champ est relie a ses sources par les equations de Maxwell ; en effet, leslois de l’electromagnetisme trouvent application jusqu’a une echelle de dis-tances inferieures aux dimensions atomiques (10−15 m : elles sont valablestant qu’une force de Lorentz, microscopique, peut etre consideree ; elles secassent la figure a l’echelle nucleaire). Il peut etre localement tres intenseet varie tres rapidement sur des distances atomiques ou interatomiques, enmodule comme en direction.Ce champ microscopique est impossible a mesurer et sa connaissance detailleen’aurait pas d’interet pour decrire les effets observes a l’echelle macrosco-pique. Dans les etudes que l’on mene generalement, on utilise des distribu-tions continues : le procedure est tout a fait generale et consiste a niveler lagrandeur etudiee en la debarrassant des fluctuations spatiales indetectables.Ce nivellement s’obtient en effectuant une moyenne spatiale, sur un domainepetit a l’echelle macroscopique mais grand devant les dimensions atomiques(echelle mesoscopique, de 3 a 10 nm).On definit donc un champ electromagnetique macroscopique en moyennantsur l’espace : on obtient le couple ( ~E, ~B) = (< ~e >,<~b >).

Dans la lecon presentee ici, nous nous limiterons a l’etude du champelectrique macroscopique. Regardons tout d’abord quelles en sont les sourcesdans les differents types de materiaux que l’on rencontre le plus souvent.

1.2 Mise en evidence experimentale

1.2.1 Cas des metaux

Les milieux conducteurs sont caracterises par l’existence de charges libresdont les porteurs sont susceptibles de se mouvoir dans toute la masse dumateriau : electrons pour les metaux, ions pour les electrolytes, electrons etions pour les plasmas. A l’equilibre electrostatique, la propriete la plus fonda-mentale est l’annulation du champ electrique moyen interne ~E et, correlativement,


de la densite moyenne volumique totale de charges. On peut dire que le champelectrique ne penetre pas dans les milieux conducteurs, la densite surfaciquede charges libres s’ajustant pour annuler le champ cree par les charges ex-ternes.

1.2.2 Cas des dielectriques

Mais qu’en est-il pour un milieu isolant et neutre ? Place dans une regionou regne un champ electrique, il modifie notablement l’orientation et l’in-tensite du champ, ainsi que la repartition des charges libres portees par lesconducteurs dans son voisinage. L’experience la plus significative est l’effet,decouvert par Faraday et que l’on evoquera un peu plus tard, de l’introduc-tion de matiere isolante entre les armatures d’un condensateur : on constateque la capacite est augmentee, par un facteur qui depend du materiau, etqui peut atteindre une valeur de plusieurs milliers ; pour maintenir le memepotentiel, le generateur auquel sont reliees les armatures du condensateurdoit fournir en presence de matiere isolante une quantite d’electricite plusimportante.De plus, un materiau isolant place dans un champ electrique est soumis ades effets mecaniques (comme les morceaux de papier attires par un corpselectrise ou encore l’orientation dans la direction du champ d’objets oblongset isolants). Ces effets sont dus au fait que, contrairement au cas des conduc-teurs, le champ electrique penetre a l’interieur du materiau isolant et agit surles porteurs de charge de la matiere, d’ou le nom de dielectriques donnea ce type de corps (du grec δια, a travers). Mais ces porteurs de charge,electrons ou ions, ne peuvent se deplacer librement sous l’effet du champ(leur deplacement eventuel est de l’ordre de l’angstrom, de loin inferieur acelui des porteurs dans les metaux) ; ils restent attaches a des groupementsatomiques, moleculaires ou cristallins, d’ou le nom de charges liees.

1.3 Polarisation dielectrique

On supposera que cette distinction entre charges libres et liees peut etreeffectuee et que les dielectriques sont de tres bons isolants ne possedant au-cun ion mobile (on parle alors de dielectriques parfaits).Les proprietes electriques des conducteurs peuvent etre decrites a l’aide desdensites volumiques de charges libres ρl et de leur courant ~jl qui sont les


moyennes spatiales (ou grandeurs nivelees) correspondantes. Pour les dielectriqueset leurs charges liees, nous allons introduire une grandeur mieux adaptee, levecteur polarisation.

Les proprietes des dielectriques peuvent s’interpreter a l’echelle macrosco-pique par l’apparition dans tout le volume (initialement neutre) d’un momentdipolaire electrique. C’est le phenomene de polarisation : sous l’effet d’unchamp electrique dans tout le volume ∆τ considere, le barycentre des chargespositives et celui des charges negatives, initialement confondus, se separentet forment ainsi un dipole electrique de moment ∆~p. On caracterise alorsl’etat electrique du milieu par son moment dipolaire par unite de volumeou, plus precisement, en tout point, par la densite de moment dipolaire ouvecteur polarisation ~P . Ainsi, par definition, un petit element de volume dτentourant le point repere par ~r possede un moment dipolaire d~p tel que

d~p = ~P (~r) dτ

Notons que la polarisation s’exprime en coulombs par metre carre. Il s’agitd’une grandeur macroscopique, qui varie lentement a l’echelle microscopique :ainsi, ~P (~r) sera une fonction vectorielle continue dans un materiau homogene.

Il faut bien retenir que, sous l’action d’un champ exterieur applique ~Ea, ilse cree au sein d’un dielectrique un champ de polarisation ~P qui est lui-memea l’origine d’un nouveau champ electrique ~Ep qui modifie le champ applique~Ea (qui a conduit au phenomene de polarisation). Le champ total sera

~E = ~Ea + ~Ep

Cette situation fait donc apparaıtre ce qu’on appelle une boucle de retroaction.

2 CHAMPS ET POTENTIELS DE POLARISATION 7

2 Champs et potentiels de polarisation

2.1 Introduction de charges de polarisation

Le vecteur polarisation, qui decrit macroscopiquement l’etat electriqued’un isolant, est relie directement a la densite macroscopique de chargesliees. Nous allons etablir ce lien, en utilisant nos connaissances sur le dipoleelectrique (premiere annee).

Le potentiel cree par un dipole electrique de moment ~p en un point Mrepere par ses coordonnees externes au dielectrique (x,y,z) s’ecrit

VM =1

4πεo

~p · ~ur2

Considerons un volume infinitesimal dτ decrit par un systeme de coordonnees

internes au dielectrique note (α, β, γ). En introduisant le fait que−−−→gradx(

1r) =

− ~ur2 = −

−−−→gradα(1

r), nos pourrons ecrire que

dVM =1

4πεo

−−−→gradα(

1

r) · d~p

Par integration sur le volume du dielectrique,

VM =

∫τ

−−−→gradα(

1

r) · ~P dτ


Sachant que divα(~Pr) = 1

rdivα(~P ) +

−−−→gradα(1

r) · ~P , il vient

VM =1

4πεo

∫τ

[divα(~P

r)− 1

rdivα(~P )] dτ

soit

VM =1

4πεo

∫τ

divα( ~−P )

rdτ +

1

4πεo

∫τ

divα(~P

r) dτ

D’apres le theoreme d’Ostrogradski applique au second terme, on obtientle resultat

VM =1

4πεo

∫τ

divα( ~−P )

rdτ +

1

4πεo

∫Σ

~P · ~nr

dΣ

Par analogie avec le potentiel cree par des distributions de charges libresen electromagnetisme du vide, l’etude electromagnetique du dielectrique po-larise peut donc se ramener a un probleme d’electromagnetisme dans le videou les champs ont pour sources les distributions de charges de polarisationde densites volumique

ρp = divα(−~P )

et surfaciqueσp = ~P · ~n

Un calcul simple (cf. ”Autre approche possible...”) montrerait en outreque ces charges de polarisation ne sont pas seulement des equivalents mathematiquesou des ”charges fictives” comme elles sont parfois nommees, mais corres-pondent a des excedents locaux de charges liees, excedents reels dus a lapolarisation. D’un point de vue macroscopique, les descriptions de l’etatelectrique du dielectrique par une distribution de polarisation ou par unedistribution de charges sont equivalentes, tant en ce qui concerne le potentielet le champ crees que les effets subis. Il faut cependant bien prendre gardede choisir l’une ou l’autre des representations mais a ne pas les utiliser si-multanement.

Si elles sont equivalentes, pourquoi introduire la polarisation ? La rai-son est que la description en termes de polarisation est beaucoup plusproche de l’etat de la matiere a l’echelle microscopique. En effet, si


la matiere est decomposable en groupements stables, atomiques oumoleculaires, ceux-ci possedent ou acquierent des moments dipolairesindividuels dont la moyenne pas unite de volume n’est autre que lapolarisation ~P ...

Autre approche possible...Soit un domaine arbitraire D du dielectrique, limite par la surface Σ, de dimensions grandes devant les dimensionsatomiques (macroscopie). Il contient divers types de particules, de charges qi et de densites correspondantes ni par unite

de volume non necessairement uniformes. En l’absence de polarisation (~P = ~0), le milieu est suppose neutre, ce qui entraıne

∑i

ni qi = 0

La polarisation est creee par les deplacements moyens ~δi des porteurs de charge qi et le vecteur de polarisation ~P estdefini sans ambiguite par

~P =∑

i

ni qi~δi

A ces deplacements ~δi correpond un flux sortant de charges a travers la surface Σ. Les porteurs de charge qi qui, a un

instant donne, ont traverse l’element de surface dΣ sont contenus dans le cylindre de base dΣ et de generatrice ~δi ; le

volume de ce cylindre est ~δi · d~Σ et les porteurs qu’il contient sont au nombre de ni~δi · d~Σ.

La charge correspondante transportee vers l’exterieur est donc

∑i

ni qi~δi · d~Σ = ~P · d~Σ

Ce calcul, algebrique, est valable quel que soit le signe de qi et le sens de ~δi. La charge totale δQ ayant traverse Σ, et

donc quitte D en y laissant la polarisation ~P , est donnee par

δQ =

∫Σ

~P · d~Σ

Le domaine D, initialement neutre, contient alors la charge totale opposee

Qp = −δQ = −∫Σ

~P · d~Σ

Le theoreme d’Ostrogradski donne alors

Qp =

∫D

(−div ~P ) dτ


Ce resultat est valable quel que soit le domaine D : il s’ensuit que la polarisation, d’un point de vue macroscopique, estequivalente a une distribution volumique de charge de densite

ρp = −div ~P

A la surface du dielectrique, les charges qui tendent a sortir a travers un element de surface d~S = ~n dS s’accumulentlocalement (celle de signe oppose au contraire degarnissent la surface) : le resultat global est l’apparition d’une charge

surfacique ~P · d~S donc d’une densite surfacique

σp = ~P · ~n

On peut definir une equation de conservation pour les charges de po-larisation conduisant a l’introduction d’un courant ~jp puisqu’en derivant

ρp = div(−~P ) par rapport au temps on obtient

∂ρp

∂t= div(−∂ ~P

∂t)

c’est-a-dire une equation de type

∂ρp

∂t+ div ~jp

avec

~jp = −∂ ~P

∂t

2.2 Un intermediaire de calcul : le vecteur ~D

2.2.1 Utilite

Si l’on explicite, dans les sources du champ electriques, les contributionsinterieures et exterieures du milieu, l’equation de Mawxell-Gauss s’ecrit

div( ~E) =ρp + ρext

εo

c’est-a-dire encorediv(εo

~E) = −div(~P ) + ρext

Un nouveau champ ~D s’introduit alors naturellement, tel que

div(εo~E + ~P ) = div( ~D) = ρext

L’equation de Maxwell-Gauss verifiee par ~D a donc la meme forme quel’equation verifiee par εo

~E dans le vide, en presence des seules sources ρext,


d’ou le nom d’excitation electrique qu’on lui donne parfois. Ce vecteur de-vrait etre appele densite de flux electrique, mais on lui prefere en Francele nom de vecteur deplacement ou induction electrique. L’unite de ~D est lameme que celle de ~P , le C.m−2.

L’analogie avec l’electrostatique dans le vide est parfaite. Le theoreme deGauss pour le champ electrique dans le vide est remplace ici par un theoremede Gauss concernant le vecteur ~D∫

τ

div ~D dτ =

∫Σ

~D · d~Σ =

∫τ

ρlibre dτ

L’interet de ce vecteur reside dans le fait qu’il n’est relie qu’aux chargesexterieures controlees par l’experimentateur a travers le potentiel applique.Leur densite ρext est facile a mesurer ou a determiner. En revanche, le densitede charges de polarisation ρp est le plus souvent difficile a calculer. Notons

egalement que le rotationnel du vecteur deplacement electrique ~D depend,lui, de la polarisation et des charges liees, a la difference de sa divergence.

On peut en fait se convaincre tres simplement de la realite des chargesde polarisation en observant l’equation de Maxwell-Gauss pour le champmacroscopique

div ~E =< ρmicro >

εo

εo div ~E =< ρmicro >= div( ~D − ~P ) = ρlibre − ρp

2.2.2 Conditions de continuite

Rappels d’electrostatique du videPlacons nous a la surface d’un dielectrique, et partons de la relation deMaxwell-Gauss generale

div ~E =ρ

εo

Si l’on considere un cylindre de hauteur h infiniment petite dont les deuxbases sont situees de part et d’autre de la surface du dielectrique,

on peut ecrire en integrant sur le volume V constitue∫V

div ~E dV =

∫V

ρ

εo

dV =QV

εo


avec ∫S

~E · d~S =

∫S(h)

~E · d~S +

∫S(bases)

~E · d~S

Par consequent, a la limite ou h tends vers zero,∫S(bases)

~E · d~S =σ

εo

Sbase

ou l’integrale sur la surface des deux bases se resume a la difference∫S(bases)

~E · d~S = ( ~E2 · ~n12 − ~E1 · ~n21) Sbase

En conclusion, nous ecrirons la relations de passage pour le vecteur ~E a latraversee de la surface du dielectrique sous la forme

E2 − E1 =σ

εo

n12

D’autre part, avec le shema suivantou les longueurs A2B2 et A2B2 sont des infiniment petits d’ordre 1 et A1A2

et B1B2 des infiniment petits d’ordre 2, la relation de Maxwell-Faraday enregime stationnaire

−→rot ~E = ~0 permet d’obtenir, en prenant la circulation de

~E le long du contour rectangulaire indique,∮C

~E · d~l = ~E1 ·−−−→A1B1 + ~E2 ·

−−−→B2A2 = Et1 A1B1 − Et2 A2B2 = 0

Ainsi, il y a continuite de la composante tangentielle du champ electrique ala traversee de la surface de separation, ce que l’on note

Et1 = Et2


RemarqueEn raison de l’equivalence des potentiels entre une distribution de dipoles, et doncd’un milieu dielectrique, et la superposition d’une distribution volumique et surfa-cique de charges, le potentiel scalaire doit etre partout continu, en particulier surla surface de separation entre deux milieux. De plus, le potentiel du a un volumefini de materiau dielectrique doit tendre vers zero lorsqu’on s’en eloigne infiniment.

Cas d’un dielectriquePour un dielectrique, on remplacera la relation de Maxwell-Gauss precedentepar

div ~D = ρlibre

et des methodes de calcul analogues conduiront a la relation de continuite

~D2 − ~D1 = σlibre ~n12

2.3 Cas d’un milieu uniformement polarise

Considerons un milieu materiel de volume τ simplement connexe (sphere)

portant une polarisation volumique ~P uniforme. Le moment dipolaire de ladistribution vaut

~P = ~P τ

Le potentiel electrostatique cree par ce materiau a pour expression

VM(~r) =1

4πεo

∫τ

~P · (~r − ~r′)

‖~r − ~r′‖3dτ

soit

VM =1

ρo

~P ·−−→Eaux


ou−−→Eaux

.= 1

4πεo

∫τρo

~r−~r′

‖~r−~r′‖3est le champ electrostatique auxiliaire que creerait

une distribution volumique uniforme de charge repartie dans le meme volumeavec la densite ρo. Le champ electrostatique cree par le milieu ~EM s’en deduitalors,

~EM = −−−→grad VM = − 1

ρo

−−→grad(~P ·

−−→Eaux) = − 1

ρo

(~P ·−−→grad)

−−→Eaux

Ainsi, le champ et le potentiel electrostatiques crees par un materiau uni-formement polarise s’obtiennent aisement a l’aide du champ electrostatiqueauxiliaire. On peut appliquer ceci, par exemple, a un materiau de formesimple pour lequel ce champ auxiliaire est connu. Prenons l’exemple d’unesphere uniformement polarisee.

Cas d’une sphere dielectrique uniformement polariseeLe champ electrostatique cree par une sphere de rayon R, de charge Qo

repartie avec une densite volumique uniforme ρo se determine simplementpar application du theoreme de Gauss sur des surfaces spheriques ; il a pourexpressions

– si r < R,−−−−→Eaux,int =

ρo

3 εo

~r

– si r > R,−−−−→Eaux,ext =

ρo R3

3εo r3~r

Ainsi, on en deduit les potentiels

– Vint(M) =~P ·~r3 εo

– Vext(M) = 13εo

(Rr)3 ~P · ~r, soit si l’on introduit le moment dipolaire

~P = 43π R3 ~P ,

Vext(M) =1

4πεo

~P · ~rr3

Quant au champ ~EM cree par le dielectrique en M, il vaut par consequent

–−−−→Ep,int(M) = − 1

ρo(~P ·

−−→grad)

−−→Eaux = − 1

3εo(~P ·

−−→grad)~r soit

−−−→Ep,int(M) = −

~P

3εo

en choisissant une orientation privilegiee (Oz par exemple) pour ~P .


–−−−→Ep,ext(M) = −

−−→grad Vext = 1

4πεo[3( ~P· ~er)

r3 ]

Le topographie des champs ~P , ~E et ~D est representee sur la figure sui-vante.

A l’interieur, tous ces champs sont uniformes et le champ electrique est desens oppose a celui de polarisation ~P . A l’exterieur, le potentiel et le champelectriques sont ceux que creerait un dipole de moment dipolaire ~P place aucentre de la sphere.

L’hypothese d’une polarisation uniforme d’un milieu materiel impliqueune discontinuite du vecteur polarisation volumique a la traversee de la sur-face le limitant. En effet, les conditions

div−−→Pint = −ρint

et~P = ~0

a l’exterieur conduisent a ρint = 0. Les charges sont donc localisees sur lasurface avec une densite surfacique σint. L’equation de divergence fournitcomme on l’a vu la relation de passage entre le milieu dielectrique et le vide

~n12 · ( ~P2 − ~P1) = −σint

soit encoreσint = ~P · ~next

3 POLARISATION DES MILIEUX DIELECTRIQUES LINEAIRES 16

puisque n−→12 = −−→next, ~P1 = ~P et ~P2 = ~0.Notons que, le milieu etant globalement neutre, la composante normale de~D est continue. Quant au champ ~E, sa composante tangentielle est continuealors que sa composante normale ne l’est pas,

−−→next · (−−→Eext −

−−→Eint) =

σint

εo

= −−→next ·~P

εo

Sur la figure suivante, l’exterieur du materiau polarise (milieu 1), est le vide

(milieu 2), ce qui donne−−→Dext = εo

−−→Eext.

3 Polarisation des milieux dielectriques lineaires

Lorsqu’un milieu materiel est soumis a un champ electrique applique note~Ea, il reagit par une polarisation que l’on traduit par un vecteur polarisation~P fonction du champ electrique dans le milieu.

3.1 Milieux dielectriques lineaires, homogenes et iso-tropes

Pour un grand nombre de corps, la reaction du milieu a ce champ electriqueapplique est caracterisee macroscopiquement par une relation lineaire localeentre la polarisation volumique ~P et le champ electrique ~E dans le materiau,


pourvu que celui-ci ne soit pas trop eleve. On ecrit donc

~P.= χe εo

~E

ou la quantite adimensionnee χe, appelee susceptibilite dielectrique, nedepend pas de ~E. Il faut bien noter que ~E resulte de la somme des champs

applique macroscopiquement ~Ea et produit par le materiau polarise−−−−→Ep,M,int.

Experimentalement, il vient que la linearite est bien verifiee pour de nom-breux isolants, dans un large domaine de valeurs du champ ~E, en tout pointdu materiau et selon toutes les directions : on parle de milieux lineaires,homogenes et isotropes (l.h.i). Successivement,

– par hypothese de linearite : ~P = [χe(M)] εo~E ou l’expression entre

crochets represente le tenseur (matrice 3 × 3 le plus souvent) des sus-ceptibilites dielectriques

– par hypothese d’homogeneite : ~P = [χe] εo~E

– par hypothese d’isotropie : ~P = χe εo~E

Dans d’autres materiaux,la polarisation restera proportionnelle au champ~E pourvu que ce dernier soit faible, mais la susceptibilite χe depend du pointconsidere (milieux inhomogenes) ou de la direction (milieux anisotropes).

3.2 Relation entre ~D et ~E

Lorsque la relation ~P ( ~E) est lineaire, les vecteurs ~E et ~D sont egalement

relies par une equation lineaire ; en effet, comme ~P = χeεo~E et ~D

.= εo

~E+ ~P ,

~D = (1 + χe) εo~E

soit encore~D = εrεo

~E = ε ~E

Dans cet identite, εr = 1 + χe represente la permittivite relative dumateriau et ε = εoεr sa permittivite absolue. Donnons quelques exemples.

Materiau χe

air 5, 7.10−3

hydrogene 0,228oxygene 0,507BaTiO3 1.760


LIQUIDES (20oC) εr

eau 80,36benzene 2,284

nitrobenzene 35,74ethanal 4,34ethanol 25,1acetone 21,2

SOLIDES εr

diamant 5,5silice 3,78verre 4-7

plexiglass 3,4teflon 2,1

Les relations ~P = εoχe~E et ~D = ε ~E n’ont pas le caractere fondamental

des equations de Maxwell. Ce sont des relations dites constitutives qui,dans leur domaine de validite, permettent de tenir compte d’une manieretres simple de la reponse de la matiere au champ electrique qu’elle subit.Le calcul de χe ou de ε a partir d’une description microscopique du milieuconsidere est tres difficile. Il exige une connaissance tres fine de la structurede la matiere.

On peut montrer par la thermodynamique des dielectrique que la matrice dielectrique doit etre symetrique. En effet,

l’enthalpie libre du dielectrique peut se mettre sous la forme, utilisant la definition de la densite d’energie $e = 12

~D · ~E,

dg = −~D · d ~E

a temperature et pression constantes. Pour un milieu lineaire et homogene,

Di =∑j

εij Ej

et ainsi

dg = −3∑

i=1

dEi Di

Ceci peut s’ecrire indifferemment, les indices etant muets,

dg = −∑

i

∑j

εij Ej dEi = −∑j

∑i

εji Ei dEj

Ces deux manieres d’ecrire conduisent respectivement aux derivees

∂g

∂Ei

= −∑j

εij Ej

et∂g

∂Ej

= −∑

i

εji Ei


En derivant chacune de ces relations par rapport a la composante croisee du champ, on obtient

∂

∂Ej

(∂g

∂Ei

) = −εij

et∂

∂Ei

(∂g

∂Ej

) = −εji

Le theoreme de Schwartz sur les derivees croisees permet alors d’egaler ces deux dernieres equations : on obtient donc

εij = εji

La matrice [ε] est donc symetrique. Elle est de ce fait diagonalisable dans un repere dit principal. L’hypothese d’isotropie

ajutera en outre le fait que les elements diagonaux sont egaux.

On peut enfin faire deux remarques interessantes.– sur la valeur des permittivites relatives : on sait en electromagnetisme

que cette grandeur est reliee a l’indice de refraction par la relation

n =√

εr

En faisant l’application pour l’eau par exemple, on trouverait un indicevoisin de 9... alors que cet indice est couramment pris voisin de 1,33 ! !L’explication est simple : on se place ici en regime statique. L’indicevariant avec la frequence, il presente un creux dans le visible expliquantsa valeur beaucoup plus faible que prevue. (Jackson, Electrodynamics)

– sur le signe de la permittivite ε : il s’agit d’une grandeur positive. Ceciest encore explicable via la thermodynamique et son second principe.En effet, ”avec les mains”,

∂2g

∂E2i

= −ε < 0

en vertu de ce second principe. Il s’ensuit que ε > 0...

3.3 Illustration experimentale : le condensateur a lamedielectrique

3.3.1 Constatations experimentales

Considerons un condensateur plan a air, de capacite Co = εo Se

(theoremede Gauss et E = U/e), relie a un generateur qui maintient a ses bornes unetension constante U.


Si l’on introduit une lame dielectrique entre les armatures (experiencerealisee pour la premiere fois par Faraday), on constate que la charge ducondensateur augmente. Si la tension est toujours egale a U, la capacite ducondensateur C = Q

Ua elle aussi augmente. Des charges supplementaires ont

ete fournies par le generateur pour maintenir la tension constante.Dans un grand nombre de materiaux, l’augmentation de la capacite dependde la nature de ce materiau et non de la tension appliquee ou de la chargeinitiale du condensateur : ils sont lineaires. Si le dielectrique remplit toutl’espace inter-armatures, la nouvelle capacite se retrouve liee a l’anciennepar la relation

C = εr Co

comme nous allons le voir.

3.3.2 Evolution de la capacite par insertion de la lame

Dans l’etude que nous allons mener, nous negligerons les effets de borddans le condensateur plan. Compte tenu de la symetrie, le champ ~E entreles armatures est alors uniforme, ainsi que le champ de polarisation ~P dumateriau dielectrique introduit, suppose homogene.

Pour une valeur U de la tension appliquee, on sait que le champ electrique~E s’ecrit, en appelant (Oz) l’axe perpendiculaire aux armatures oriente dansle sens des potentiels decroissants,

~E =U

e~ez


En l’absence de dielectrique, ~E s’ecrit aussi en fonction de la charge Qo,ext

du condensateur ou de la densite surfacique de l’armature positive

~E =U

e~ez =

Qo,ext

Co e~ez =

Qo,ext

εoS~ez =

σo,ext

εo

~ez

En presence du dielectrique, le champ ~Ea cree par les charges libres ducondensateur est a l’origine de la polarisation ~P par les petits deplacementsdes charges liees du dielectrique.

L’effet de cette densite volumique de dipoles electriques se decrit par lescharges de polarisation suivantes, ou σp > 0

ρp = −div ~P = 0

σp1 = ~P · ~n1 = −σp

σp2 = ~P · ~n2 = σp

Le champ ~Ep cree par la collection de dipoles est celui cree par les chargesde polarisation ±σp ; il s’obtient via le theoreme de Gauss,

~Ep =σp

εo

~n1 = −~P

εo


Ce champ est bien oppose au champ applique qui cree la polarisation, d’ousa denomination de champ depolarisant.

La somme du champ applique ~Ea, cree par les charges Qex et −Qex des ar-

matures, et du champ ~Ep = − ~Pεo

cree par le materiau, ici la lame dielectrique

uniformement polarisee, est egale au champ electrique macroscopique ~E

~E = ~Ea + ~Ep,M =Qext

εoS~ez −

~P

εo

c’est-a-dire, puisque ~P = P ~ez et σlibres,int = ~P · ~nex = ~P · −~ez = −P ,

~E =U

e~ez =

σext + σlibres,int

εo

~ez

Notons que c’est dans ce champ total que s’etablit l’equilibre avec le vecteurpolarisation ~P permettant de definir la susceptibilite χe par ~P = εoχe

~E etnon dans le champ applique ~Ea.

Dans les armatures metalliques, le champ ~E est nul (et il en est de meme

pour ~P et ~D) ; par continuite de la composante tangentielle de ~E et par

linearite entre ~D et ~E, ces champs se limitent a leur composante normale.Les equations de Maxwell-Gauss conduisent a

div ~D = ρl ⇒ ~D −~0 = σ1 ~n2

div ~E =ρl + ρp

εo

⇒ ~E −~0 =σl + σp1

εo

~n2

Comme D = εoεr~E, on obtient

σp1 = −(1− 1

εr

) σl

et puisque σp = −σp1 = σp2, on a

σp = (1− 1

εr

) σl

Dans le cas ou εr > 1, nous avons σp < σl. Pour un milieu dilue peupolarisable, εr ' 1 et σp � σl ; pour un milieu dense tres polarisable, εr � 1et σp ' σl. Dans tous les cas, les dessins doivent faire apparaıtre clairementdes charges de polarisation en nombre moindre que les charges libres.


3.3.3 Travail a charge libre constante

Une fois le condensateur charge, il suffit de l’isoler et de proceder a l’intro-duction du dielectrique. Le dielectrique se polarise et il apparaıt des chargesde polarisation qui modifient le potentiel, et donc la capacite.

Dans le vide, nous avons que

~Ea =σl

εo

~n2

Par introduction du dielectrique lineaire, le champ total s’ecrit

~E =σl

εoεr

~n2

Par consequent,

~E =~Ea

εr

et

V =Vo

εr

La relation du condensateur Qo = Co Vo donne Q = Qo = CV donc

C = Co εr


Si u est la densite et U l’energie electrostatique du condensateur devolume τ , nous ecrirons que

uo =12εoE

2a

et

Uo =12

Q2o

Co=

12

Q2

Co

car Q = Qo. Par ailleurs,

u =12

~E · ~D =12εoεrE

2 =uo

εr

car ~E = ~Eoεr

d’ou l’on tire

U =12

Q2

C=

Uo

εr

soitC = εr Co

Dans ce cas, l’energie est divisee par εr, et la force d’attraction entreles armatures est egalement divisee par cette constante (meme chargelibre, champ moindre).

3.3.4 Travail a potentiel constant

Le generateur servant a charger le condensateur est cette fois maintenu enplace pendant l’introduction du dielectrique. Il doit donc y avoir un transfertde charges libres entre generateur et condensateur pour que le potentiel creepar σl et σp soit constant dans l’operation.


Dans le vide,

~E ′a =

σol

εo

~n

Dans le dielectrique lineaire, nous ecrirons

~E =σl

εoεr

~n

V etant la circulation de ~E, on note l’egalite

V = Vo

ce qui conduit a~E = ~E ′

a

d’ouσl = εr σo

l

On en deduit donc queQ = Qo εr

et comme V = QC

= Vo = Qo

Co, on retrouve la relation

C = Co εr

Nous remarquons que dans les deux protocoles d’insertion d’une lamedielectrique dans le condensateur, a charge ou potentiel constants, l’equilibreelectrostatique initial est perturbe, mais la capacite s’en trouve toujours aug-mentee et multipliee par εr.


3.4 Application a la sphere dielectrique

Une sphere constituee d’un materiau de susceptibilite dielectrique χe estplacee dans un champ electrique ~Ea = Ea ~ez uniforme et stationnaire.

Les champs ~E et ~D, dans la sphere, sont determines par le systemed’equations locales −→

rot ~E = ~0

etdiv ~D = 0


Sous ces hypotheses, le probleme possede une solution unique qui corres-pond a une polarisation volumique ~P uniforme. Le champ ~E, en tout point,est la superposition du champ applique ~Ea et du champ ~EM cree par lamatiere polarisee.

3.4.1 Calcul des distributions de charges de polarisation

Nous avons ici queρp = −div ~P = 0

etσp = ~P · ~n = P cos θ

si θ designe l’angle indique sur la figure. Remarquons que la densite surfaciquede charge de polarisation n’est pas uniforme ; ces charges creent un champnote ~Ed (”d” pour ”depolarisant”) de sens oppose a ~Ea en O.Au centre, on ecrira que

~Ed(O) =

∫S

σp dS (−~n)

4πεo R2

soit

~Ed(O) =

∫ π

0

Pcos(θ) 2πR2sin(θ)dθ (− ~uzcos(θ))

4πεo R2

~Ed(O) =1

2εo

∫ π

0

sin(θ)cos2(θ)dθ (−~P )


Sachant que cette integrale simple vaut 2/3, on en deduit

Ed(O) = − P

3εo

La susceptibilite dielectrique etant definie par rapport au champ electriquemacroscopique ~E = ~Ea + ~Ed, comme ~P = εoχe

~E, nous avons l’expression dela polarisation en fonction du champ applique

~P =εoχe

~Ea

1 + χe/3

Le calcul de ~EM a deja ete effectue. En designant par R le rayon de lasphere et en prenant son centre O comme origine des coordonnees, on trouve

−−−→Ep,int(M) = −

~P

3εo

si r < R, et−−−→Ep,ext(M) =

R3

3εo

[3(~P · ~er)~er − ~P

r3]

si r > R.A l’interieur de la sphere, le champ electrique s’ecrit

−−→Eint = ~Ea +

−−−→Ep,int(M) = ~Ea −

~P

3εo

Sachant que ~P = εoχe−−→Eint, il vient l’expression des champs

−−→Eint =

3 ~Ea

3 + χe

~P =3 χe

3 + χe

εo~Ea

−−→Dint =

3(1 + χe)

3 + χe

εo~Ea

A l’exterieur de la sphere, de la meme facon,

−−→Eext = ~Ea +

1

3εo

R3

r3[3(~P · ~er)~er − ~P ]


et

−−→Dext = εo

−−→Eext = εo

~Ea +1

3

R3

r3[3(

3χe

3 + χe

εo~Ea · ~Ea)~er −

3χe

3 + χe

εo~Ea]

On peut verifier sur cette derniere formule la continuite de la composantenormale du vecteur ~D a la traversee de la surface caracterisee par r = R et~next = ~er,

~next · (−−→Dext −

−−→Dint) = 0

Par ailleurs, si χe = 0, on trouve bien que le materiau se comporte commele vide. En revanche, en faisant tendre cette susceptibilite vers l’infini, on

obtient a la limite−−→Eint = ~0, ~P = 3εo

~Ea et−−→Dint = 3εo

~Ea. Ce cas ...

Cet exemple montre que le champ electrique−−−−→Ep,M,int cree en son interieur

par le materiau polarise est de sens oppose au champ applique. Ce phenomeneest tout a fait general. On donne a ce titre parfois le nom de champ electrostatiquedepolarisant a ce champ, meme s’il ne participe pas a une ”depolarisation”du milieu.Comme la valeur de ~EM depend de la geometrie de l’echantillon, il estnecessaire de choisir un echantillon de forme bien connue pour calculer l’in-fluence de ce champ et ainsi mesure la constante dielectrique du materiau.Notons que le champ depolarisant est nul dans le cas d’un cylindre infinimentallonge.

Par ailleurs, le champ exterieur cree par la polarisation est celui d’undipole place en O et de moment ~p = p ~uz. En effet, le potentiel dipolairegeneral

Vp =pcos(θ)

4πεo r2

s’identifie ici a

VM,ext =R3 Pcos(θ)

3εo r2

Ainsi, p = 43πR3 P = V × P d’ou le moment dipolaire total de la sphere,

~p =4

3πR3 εoχe

1 + χe/3~Ea


3.4.2 Calcul par dedoublement

On peut montrer, en prolongement de cette derniere remarque, que ladistribution de charges de polarisation revient a celle d’une superposition dedeux spheres notee S+ et S− de rayon R, uniformement chargees en volumeavec les densites respectives +ρ et−ρ, et dont les centres O+ et O−, confondusen l’absence de polarisation, sont legerement separes, de telle sorte que

ρ V−−−−→O−O+ = V ~P

Soit la configuration suivante :

Dans l’espace commun, la densite de charges totale est nulle. Dans lescalottes aux extremites, les densites sont opposees et, comme a = O−O+ → 0,ces densites deviennent surfaciques.Considerons, pour θ donne, l’element de volume constitue par la surfaceR2 sin(θ)dθdϕ et l’epaisseur a cos(θ). Sa charge est

dq = ρdS a cos θ

donc σ = dqdS

= ρa cos θ qui est bien du type σ = ~P ·~n = P cos θ avec P = ρa(ρ→∞ lorsque a→∞).Le moment dipolaire s’obtient de deux manieres :

– ~p = (ρτ)−−−−→O−O+ ou ρτ est la charge de toute la sphere S+

– ~p = τ ~P pour la sphere polarisee car ~P est uniformeL’identification fournit

ρτ−−−−→O−O+ = τ ~P


etρ~a = ρ

−−−−→O−O+ = ~P

Le theoreme de Gauss permet de determiner les champs crees par les deuxspheres. Le champ cree par S+ vaut

~E+ =ρ

3εo

−−−→O+M

a l’interieur et est celui de la charge ρτ placee en O+ a l’exterieur.Le champ cree par S− vaut

~E− =−ρ

3εo

−−−→O−M

a l’interieur et est celui de la charge −ρτ placee en O− a l’exterieur.

A l’interieur de S, on pourra ecrire que

−−−−→Ep,M,int =

ρ

3εo

(−−−→O+M −

−−−→O−M) =

ρ

3εo

−−−−→O+O−

ce qui est equivalent a−−−−→Ep,M,int = −

~P

3εo

A l’exterieur de S, puisque a� R, le champ est celui du dipole de moment

~p =4

3π R3 ~P

place en O. Ainsi

−−−−→Ep,M,ext = −

−−→grad

~p · ~er

4πεor2=

1

4πεor3(3(~p · ~er)− ~p)

soit encore

Ep,M,ext =1

3εo

(R

r)3 (3(~P · ~er)~er − ~P )

On peut evaluer la discontinuite du champ electrique−→EM en R,

Ep,M,ext(r = R)−Ep,M,int =1

3εo

(3P cos θ ~er − ~P ) +~P

3εo

=P cos θ

εo

~er =σp

εo

~er


Cette discontinuite est normale a la surface de S et conforme aux deuxequations de Maxwell relatives a ~E, donnant

δ ~E = δ( ~Ea + ~EM) =σlibre + σp

εo

~n

Ceci correspond a une refraction des lignes de champ de ~EM a la surface deS. En voici la topologie.

Le fait que ces lignes de champ se referment n’est pas grave ; d’abordparce qu’il ne s’agit que de ~EM et pas de ~E = ~Ea + ~EM et surtout parcequ’elles ne changent pas de sens en franchissant la surface de S (le potentielVM decroıt puis croıt avant de revenir a sa valeur initiale au bout d’un tour :−→rot ~EM).

Remarquons que l’hypothese ”~P uniforme sachant que ~Ea uniforme” estcorrecte. En effet, l’equilibre du milieu polarise se realise dans le champmacroscopique ~E = ~Ea + ~EM . Pour un milieu lineaire, homogene et isotrope(l.h.i), ~P uniforme suppose ~E uniforme, et, par consequent, si ~Ea l’est, il faut

que−−−−→Ep,M,int le soit, comme c’est bien le cas ici.

On peut donner l’expression du champ macroscopique a l’exterieur de lasphere


−−−−→Ep,M,ext = ~Ea +

1

3εo

(R

r)3 (3(~P · ~er)~er − ~P )

Comme~P =

εχe

1 + χe/3~Ea

4 DANS LA VIE DE TOUS LES JOURS : LES CRISTAUX LIQUIDES33

on obtient de maniere equivalente


χe

χe + 3(R

r)3 (3( ~Ea · ~er)~er − ~Ea)

ce que l’on peut encore decomposer dans la base polaire (~er, ~eθ),

−−→Eext = Ea cos θ [1 +

2χe

3 + χe

(R

r)3] ~er − Ea sin θ [1 +

χe

3 + χe

(R

r)3] ~eθ

4 Dans la vie de tous les jours : les cristaux

liquides

4.1 Historique

Il y a a peine plus d’un siecle, en 1888, un botaniste autrichien, Reinitzer,fit une decouverte revolutionnaire et surprenante : en etudiant des cristauxde benzoate de cholesterol, il s’apercut qu’ils ne se comportaient pas commedes cristaux habituels.En effet, ils fondent a 145, 5oC, en se transformant en un fluide laiteux, quidevient ensuite un liquide parfaitement clair a 178, 5oC. Ces observationsengendrerent de nombreuses etude amenant les cristallographes, en 1900, aconclure sur un nouvel etat de la matiere : le cristal liquide.Au niveau de leur structure chimique, la plupart des cristaux liquides sontconstitues de molecules organiques qui comportent au moins deux partiesdifferant par

– leur structure : une partie rigide et une partie flexible– leurs proprietes : une partie hydrophile et une partie hydrophobe

Le cristal liquide est donc un nouvel etat de la matiere, n’entrant alorspas dans la classification habituelle distinguant les trois etats (solide cristal-lin, liquide et gaz) et les faisant figurer dans la grande famille de la matiere


molle.En 1905, Lehmann parvient a convaincre ses pairs que l’etat cristal liquideest un etat de la matiere a part entiere. En effet, il met en evidence des dis-continuites dans l’etude de leurs transitions de phase.

A l’inverse d’un cristal, dans lequel les atomes et les molecules sontun arrangement ordonne et periodique, et d’un liquide ou cet ordre estcompletement rompu, un cristal liquide standard est compose de molecules-batonnets disposees aleatoirement ; tout en se deplacant les unes par rapportaux autres sous agitation thermique, ces molecules restent en moyenne pa-ralleles entre elles : on parle de mesophases.Cet ordre partiel dans l’organisation des molecules permet ainsi aux cris-taux liquides de revetir des apparences tres diverses : solide, caoutchouteuse,gelatineuse ou pateuse.En 1920, Friedel etablit une classification reposant sur des criteres d’ordreet de symetrie dans les arrangements moleculaires. Il constitua trois grandescategories de cristaux liquides :

– la phase nematique, la moins ordonnee, ou les molecules ont simple-ment tendance a s’aligner parallelement les unes aux autres, et presentantdes defauts ressemblant a des fils

– la phase cholesterique, depuis la decouverte des derives du cholesterol.Elle est faite d’un arrangement en helice des molecules chirales. Onla decrit comme un empilement continu de plans dans chacun des-quels regne un ordr nematique. Friedel presentait la phase cholesteriquecomme une maniere d’etre speciale de la phase nematique.

– la phase smectique a ete nommee ainsi a cause des proprietes mecaniquesproches de celles d’un film savonneux (savon = ”smectos” en grec). Lesmolecules y sont alignees parallelement les unes aux autres mais enetant regroupees en couches paralleles regulierement espacees.


4.2 Fonctionnement

Deux surfaces de verre sont recouvertes d’un film conducteur pour creerune difference de potentiel. On applique un champ electrique.

On depose sur la paroi interieure un surfactant afin d’orienter les molecules,et les brosser suivant une certaine direction.

On accole un polariseur a l’exterieur de chaque surface de verre, puis onfait tourner la plaque inferieure de 90 afin que le polariseur et l’analyseursoient places perpendiculairement.

On introduit entre les deux surfaces un cristal liquide nematique a aniso-tropie dielectrique positive.

On obtient donc un nematique dont l’orientation des molecules tourned’un quart de tour (90) entre l’electrode du haut et celle du bas (schemaa). La lumiere est guidee par ces molecules, elle ressort donc librement de lacellule, suivant la direction de l’analyseur. La cellule est allumee.

Lorsque l’on applique un champ electrique entre les electrodes, les moleculess’alignent progressivement suivant la direction du champ (schema b). Lalumiere n’est plus deviee par les molecules, elle est donc stoppee par l’analy-seur car celui-ci est perpendiculaire. La cellule est eteinte.

Si on coupe le champ electrique, la structure en helice des molecules sereforme, et la cellule se rallume. On peut, en segmentant les electrodes d’unemaniere precise, et en les commandant electriquement de facon individuelle,former des caracteres ou des chiffres. Chaque segment de l’image est appelepixel.


Conclusion

Il est evident que la polarisation peut etre interpretee a partir des mo-ments dipolaires associes aux elements microscopiques du dielectrique : atomes,molecules et ions. L’etude complete ne pourrait etre envisagee que dans lecadre de la physique quantique qui est le cadre naturel a l’echelle atomique,mais la physique classique a elle aussi permis d’etablir des modeles donnantdes ordres de grandeur satisfaisants.

L’etude macroscopique que nous venons de mener pourrait conduire aaborder des phenomenes remarquables tels que les effets Kerr ou Pockelsen optique, ou encore les phenomenes de ferroelectricite et piezoelectricite,d’usages repandus dans la vie courante.

Documents

Etude macroscopique de la polarisation, du champ ... · PDF fileSébastien Bourdreux Agrégation de Physique Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand Etude macroscopique de