Évaluation - ressources-actuarielles.net · et d’économie (PEGE) ... comme leur prix coté. ... Méthode de linversion de la fonction de répartition (Algorithme de Moro) ___

D I P L Ô M E U N I V E R S I T A I R E

d’Actuaire de Strasbourg « DUAS »

M é m o i r e d e S t a g e f i n a l - année universitaire 2007/2008 -

Emmanuel OHNOUNA

Évaluation « Best estimate » de contrats d’épargne en euros

Pierre Therond, Actuaire consultant [email protected]

Du 3 mars au 3 septembre 2008

Pôle Européen de gestion et d’économie (PEGE) 61 Av de la Forêt Noire F-67085 Strasbourg Cedex http://actuariat.u-strasbg.fr

ÉTABLISSEMENT D’ACCEUIL

MAÎTRE DE STAGE

PÉRIODE DE STAGE

Cabinet conseil Winter & Associes

43 / 47 Av de la grande armée

75016, Paris www.winter-associes.fr

Évaluation « Best estimate » de contrats d’épargne en euros 2/145

ULP – Formation d’Actuaire de Strasbourg 2008

Remerciements

Ce mémoire a été réalisé au sein du Cabinet Winter & Associes situé à Paris. Je remercie Joël

Winter, fondateur du Cabinet, et ses associés, pour m‟avoir offert l‟opportunité d‟accomplir mon

stage de fin d‟études au sein de leur structure, où j‟ai eu le plaisir de collaborer avec des

personnes dotées d‟une haute qualité professionnelle.

Je remercie l‟ensemble de l‟équipe du bureau de Paris pour m‟avoir accueillie dans une

ambiance de travail conviviale et sympathique.

Mes remerciements s‟adressent en particulier à mon maître de stage Monsieur Pierre Therond,

pour ses conseils, ses remarques pertinentes et ses compétences techniques.

Je remercie Monsieur Frédéric Planchet, actuaire consultant et professeur associé à l‟Institut de

Sciences Financières et d‟Assurances, dont j‟ai eu la chance d‟assister lors d‟une mission.

Merci également à tous les professeurs de la formation d‟actuaire de Strasbourg, sans les

enseignements de qui, un tel travail n‟aurait pas été envisageable.

Je souhaite témoigner ma reconnaissance à toutes les personnes qui m‟ont aidé, de près ou de

loin, à réaliser ce mémoire dans les meilleures conditions.

Merci enfin au lecteur qui s‟apprête à plonger dans les entrailles de cet ouvrage.



Résumé

Mots clés : Assurance vie, Best Estimate, Contrat d‟épargne en euro, Passif, Quantitative Impact

Studies 4, Flux de prestation, Participations aux bénéfices, Provision mathématiques, Actif,

revalorisation, Rachats dynamiques, Solvabilité II, Taux minimum garanti, Valeur de marché.

Par crainte de voir son patrimoine diminué, l‟individu souhaitant constituer une épargne peut

s‟adresser à un assureur. En contrepartie de primes payées, ce dernier s‟engage à lui versé son

épargne acquise et revalorisée. Il est important que l‟assuré puisse compter sur la solidité

financière de son assureur, sur sa solvabilité.

Des objectifs en matière de solvabilité se traduisent typiquement en exigences de capital. Le

cadre légal actuel impose aux compagnies d‟assurance de détenir un niveau de capital, appelé

exigence de marge de solvabilité, qui joue le rôle de matelas de sécurité permettant de faire face

aux aléas de l‟activité.

Au regard de ces exigences relativement limitées, la Commission européenne a entamé un projet

d‟envergure, le projet Solvabilité II, visant à une réforme globale du système actuel.

L‟un des objectifs principaux est de définir un nouveau niveau de capital, dit de solvabilité,

d‟une manière qui prend en compte les risques (le risque d‟assurance, de crédit, de marché et

opérationnel) et les réductions de risques propres à chacune des compagnies d‟assurance.

Déterminer un capital nécessite d‟abord d‟évaluer les actifs et les provisions techniques. Le

projet met en avant le principe de valorisation économique, encore appelée valorisation

cohérente avec le marché.

La majorité des actifs d‟une compagnie d‟assurance étant des obligations et des actions, ces

actifs sont valorisés à l‟aide d‟approches marked-to-market : leur valeur économique se définit

comme leur prix coté.



La valeur économique de la majorité des passifs d‟assurance ne peut être « relevée » sur un

marché financier. Elle est dès lors définie comme la somme de deux éléments. Le premier, la

meilleure estimation (Best estimate) des provisions techniques, représente l‟espérance des cash-

flows futurs, qui doit être calculée en utilisant des paramètres les plus réalistes possibles. Le

second, la marge de risque, représente le coût d‟immobilisation du capital requis pour liquider

les passifs exigibles en cas de difficultés financières de l‟assureur.

Après avoir présenté les principes du projet Solvabilité II ainsi que le mécanisme des contrats

d‟épargne, nous proposons une application pratique, dans le cadre de l‟évaluation des passifs

pour une compagnie fictive ne proposant que des contrats d‟épargne en euros. Nous développons

une modélisation de gestion actif-passif, prenant en compte le comportement de l‟assureur

(distribution de la participation aux bénéfices, modélisation de l‟actif...) et de l‟assuré (rachats

dynamiques, décès, terme...).



Abstract

Key words : Life Insurance, Best Estimate, Contract savings in euros, Liabilities, Quantitative

Impact Studies 4, Benefits flows, Profit participations, Mathematics provision, Assets,

Revaluation, Dynamic lapses, Solvency II, Minimum guaranteed rate, Market value.

Fearing that his assets decrease, the individual averse to risk, wishing to establish a savings may

address to an insurer. In return for premiums paid, the latter undertakes to pay his earned gained

and revalued. It is important that the insured can count on the financial solidity of his insurer, on

his solvency.

Objectives as regards solvency are translated typically into requirements of capital. The current

legal framework forces the insurance companies to hold a level of capital, called solvency

margin, which plays the part of mattress of safety making it possible to face the risks of the

activity.

Taking into consideration these requirement relatively limited and reaction to the recent crash of

the financial markets and its consequence in the world of the insurance, the European

Commission started a project of scale, the project Solvency II, aiming at a total reform of the

current system.

One of the principal objectives is to define a new level of capital, known as of solvency, a

manner which takes into account the risks (the risk of insurance, credit, market and operational)

and the reductions of risks suitable for each insurance company.

To determine a capital initially requires to evaluate the technical assets and provisions. The

project proposes the economic principle of valorization, still called coherent valorization with the

market.



The majority of the assets of an insurance company being obligations and shares, these assets are

developed using approaches marked-to-market: their economic value is defined as their quoted

price.

The economic value of the majority of passive of insurance cannot "be recorded" on a money

market. It is consequently defined as the sum of two elements. The first, the best estimate (BE)

of the technical provisions, represents the hope of the future cash-flows, which must be

calculated by using the most realistic possible parameters. The second, the margin of risk,

represents the cost of immobilization of the necessary capital to liquidate the assets exigible in

the event of financial difficulties from the insurer.

After having presented the principles of the project Solvency II as well as the mechanism of the

contracts of saving, we propose a practical application, within the framework of the evaluation of

passive for a fictitious company proposing only contracts savings in euro. We develop a

modeling of management asset-liabilities, fascinating of account the behavior of the insurer

(distribution of the participation in the profits, modeling of the assets...) and of assured (dynamic

lapses, death, term...).



Table des matières

Remerciements _____________________________________________________________ 2

Résumé ___________________________________________________________________ 3

Abstract ___________________________________________________________________ 5

Table des matières __________________________________________________________ 7

Introduction générale _________________________________________________________ 12

PARTIE I. Un peu de littérature… _______________________________________ 17

Chapitre 1 De la solvabilité et son cadre réglementaire _____________________________ 18

1. Introduction ___________________________________________________________ 18

1.1. La notion de solvabilité _______________________________________________ 18

1.2. Historique et acteurs du projet Solvabilité II _______________________________ 19

1.2.1. Des origines aux directives Solvabilité I _______________________________ 19

1.2.2. De Solvabilité I à Solvabilité II ______________________________________ 20

1.2.3. Les organismes et acteurs du projet de Solvabilité II _____________________ 22

2. Les grands principes de Solvabilité II ______________________________________ 24

2.1. Une nouvelle approche de valorisation ___________________________________ 24

2.1.1. Une approche en principe __________________________________________ 24

2.1.2. Une approche bilantaire ____________________________________________ 24

2.1.3. Une approche économique __________________________________________ 24

2.2. Une architecture en trois piliers _________________________________________ 25

2.3. Méthode de détermination du capital _____________________________________ 26

2.3.1. Approche basée sur des facteurs vs Approche basée sur le risque ___________ 26

2.3.2. Deux niveaux de capital ____________________________________________ 26

2.4. Le projet Solvabilité II et la réglementation bancaire (accords de Bâle) __________ 28

2.4.1. Bâle…une histoire en deux temps ____________________________________ 28

2.4.2. Comparaison des réglementations dans les secteurs bancaires et de l‟assurance 31



3. La mise en œuvre pratique : QIS4 _________________________________________ 32

3.1. Présentation du QIS4 _________________________________________________ 32

3.1.1. Contexte ________________________________________________________ 32

3.1.2. Objectif du QIS4 _________________________________________________ 32

3.2. Actifs dans le QIS4 ___________________________________________________ 33

3.3. Passifs (Provisions techniques) dans le QIS4 _______________________________ 33

3.3.1. Principes généraux ________________________________________________ 33

3.3.1.1. Flux réplicables_________________________________________________ 33

3.3.1.2. Flux non réplicables _____________________________________________ 34

3.3.1.3. Best estimate ___________________________________________________ 34

3.4. Best estimate pour les contrats d‟épargne en euros __________________________ 35

3.4.1. Contrats d‟épargne en euros : Passifs réplicables ou non réplicables ? ________ 35

3.4.2. Méthode d‟évaluation des options dans les prestations ____________________ 35

3.4.3. Méthode simplifiée (Proxy) d‟évaluation du Best estimate _________________ 36

Chapitre 2 Le contrat d’épargne en euro _________________________________________ 41

1. Introduction ___________________________________________________________ 41

1.1. Le marché de l‟épargne/Assurance vie en France ___________________________ 42

1.2. Le cadre de l‟assurance vie _____________________________________________ 43

1.3. Les différents types de support __________________________________________ 44

2. Caractéristiques et clauses du contrat euro _________________________________ 45

2.1. Cotisations _________________________________________________________ 45

2.2. Chargements, frais, taxes ______________________________________________ 46

2.3. Les possibilités de rachat ou d'avance en cours de contrat _____________________ 47

2.4. Garanties complémentaires en cas de décès ________________________________ 48

2.5. La revalorisation du contrat ____________________________________________ 49

3. Dispositions réglementaires de l’assureur ___________________________________ 52

3.1 Marge de solvabilité __________________________________________________ 52

3.2 Composition de l‟actif ________________________________________________ 53

3.3 Provisionnement _____________________________________________________ 54



3.4 Compte de résultat ___________________________________________________ 58

PARTIE II. Modélisation Stochastique ___________________________________ 59

Chapitre 3 Boîte à outils de la modélisation stochastique ____________________________ 60

1. Générateur de nombres aléatoires _________________________________________ 60

1.1. Générateur de nombres aléatoires d‟une loi uniforme ________________________ 61

1.2. Générateur des réalisations de la loi Normale ______________________________ 61

1.2.1. Méthode de l‟inversion de la fonction de répartition (Algorithme de Moro) ___ 61

1.2.2. Simulation des variables gaussiennes _________________________________ 64

1.3. Méthode de Box Muller _______________________________________________ 65

2. Modélisation de l’actif ___________________________________________________ 66

2.1. Discrétisation exacte de processus continus ________________________________ 66

2.1.1. Préambule ______________________________________________________ 66

2.1.2. Définition et Propriété _____________________________________________ 67

2.1.3. Processus d‟Ornstein – Ulhenbeck ___________________________________ 67

2.1.4. Mouvement brownien géométrique ___________________________________ 67

2.2. Modèles retenus _____________________________________________________ 68

2.2.1. Le modèle de taux d‟intérêt de Vasicek ________________________________ 68

2.2.1.1. Hypothèses et Notations __________________________________________ 68

2.2.1.2. Le modèle _____________________________________________________ 68

2.2.2. Modélisation des actions ___________________________________________ 69

2.2.2.1. Notations ______________________________________________________ 69

2.2.2.2. Présentation du modèle ___________________________________________ 69

2.3. Mise en œuvre opérationnelle ___________________________________________ 70

3. Construction d’une table de mortalité mensuelle à partir d’une annuelle ________ 72

Chapitre 4 Application pour un portefeuille de contrats d’épargne en euro _____________ 73

1. Introduction ___________________________________________________________ 74



1.1. Description des éléments de la compagnie et Hypothèses simplificatrices ________ 74

1.2. Organigramme général ________________________________________________ 76

2. Modélisation des sorties _________________________________________________ 78

2.1. Notations et formules : ________________________________________________ 78

2.2. Mise en œuvre opérationnelle ___________________________________________ 79

2.3. Modélisation des rachats dynamiques ____________________________________ 80

2.3.1. Le taux de rachat central, indépendant des conditions économiques : ________ 80

2.3.2. Le taux de rachat additionnel ________________________________________ 84

3. Gestion et allocation d’actifs _____________________________________________ 86

3.1. Préambule __________________________________________________________ 86

3.2. Contexte ___________________________________________________________ 87

3.3. Modèle d‟investissement/désinvestissement des Actifs _______________________ 89

3.3.1. Organigramme du mécanisme _______________________________________ 89

3.3.2. Modèle simplifié _________________________________________________ 91

3.3.3. Éléments pour modèle général ______________________________________ 102

4. Participation aux Bénéfices et Provision pour Participation aux Bénéfices ______ 103

4.1 Hypothèses simplificatrices ___________________________________________ 103

4.2 Problématique ______________________________________________________ 103

4.3. Mécanisme de gestion de la PB et de la PPB ______________________________ 105

4.4. Mise en œuvre opérationnelle __________________________________________ 107

5. Calcul des flux de prestation et du Best estimate ____________________________ 114

Chapitre 5 Tests et analyse des résultats ________________________________________ 116

1. Contexte _____________________________________________________________ 116

2. Étude de l’impact des différents facteurs de risques _________________________ 119

2.1. Situation de référence ________________________________________________ 119

2.3. Impact des rachats dynamiques ________________________________________ 121

2.4. Impact de la garantie de taux __________________________________________ 121

2.5. Impact de la composition de l‟actif _____________________________________ 123



3. Les limites du modèle __________________________________________________ 126

Conclusion générale _________________________________________________________ 127

Tables et Bibliographie ____________________________________________________ 128

Liste des Figures __________________________________________________________ 129

Liste des Schémas _________________________________________________________ 129

Liste des Graphiques ______________________________________________________ 129

Bibliographie ____________________________________________________________ 130

Liste des abréviations _____________________________________________________ 132

Glossaire ________________________________________________________________ 134

Annexes _________________________________________________________________ 138



Introduction générale

L‟assurance en cas de vie, par le biais des contrats d‟épargne, constitue aujourd‟hui un secteur

économique au poids et à l‟importance significatifs. Ce succès s‟explique à travers la qualité des

produits proposés par les assureurs mais aussi par les avantages fiscaux.

« En février 2008, les cotisations d‟assurance vie et de capitalisation ont baissé de 6 % par

rapport au même mois de l‟année précédente. Depuis le début de l‟année, les versements

effectués sur les contrats d‟assurance vie et de capitalisation s‟élèvent à 24,3 milliards d‟euros,

en diminution de 7 %. Sur les deux premiers mois de l‟année, les versements sur les supports en

unités de compte, du fait de la mauvaise conjoncture persistante des marchés, baissent fortement

(- 39 %), pour un montant de cotisations de 4,2 milliards d‟euros, tandis que les cotisations

versées sur les supports en euros progressent (+ 4 %) et atteignent 20,1 milliards d‟euros. La

collecte nette (cotisations – prestations) s‟établit, pour la même période, à 9,2 milliards d‟euros,

en diminution de 31 % compte tenu d‟une nette progression des prestations versées (+ 18 %). À

la fin du mois de février, l‟encours des contrats d‟assurance vie et de capitalisation (provisions

mathématiques et provisions pour participations aux bénéfices), d‟un montant global de 1 140

milliards d‟euros, progresse, quant à lui, de 6 % sur un an. » (Source : FFSA)

D‟une part, face à cette demande importante, le marché de l‟assurance en cas de vie est devenu

très diversifié, proposant une gamme de produits de plus en plus complexes. Parmi eux, nous

trouvons les contrats d‟épargne en euro qui seront le support de notre mémoire.

D‟autre part, le monde de l‟assurance et sa réglementation vivent actuellement des évolutions

considérables, où la préoccupation du risque tient une place primordiale. Ces changements visent

à mieux tenir compte des différents risques inhérents à l‟activité d‟assurance et à améliorer la

compréhension, la transparence et la comparabilité des informations fournies par les compagnies

au sujet de leur situation financière. Le but est de retracer le plus fidèlement possible l‟image de

la société, de ses engagements, en se basant sur une vision économique de celle-ci.



L‟incertitude des marchés financiers et des risques supportés par les assureurs nécessite en effet

la diffusion d‟informations rigoureuses : les investisseurs, les analystes, les superviseurs et autres

sont en demande constante de renseignements fiables pour se forger une opinion concernant la

santé et la performance de la société.

Toute compagnie d‟assurance doit donc pouvoir disposer d‟indicateurs susceptibles d‟évaluer au

plus juste sa richesse et la hauteur de ses engagements. Ceci constitue également un point

fondamental dans le pilotage de la gestion, que ce soit au niveau de la compétitivité ou de la

solvabilité. Elle doit savoir si elle est en mesure de tenir ses engagements et si la richesse est

suffisante pour assurer la pérennité de la société dans des circonstances défavorables.

Mais comment déterminer l’engagement (le passif) d’une compagnie en étant le plus

réaliste possible ?

Il faut appliquer des approches qui soient conformes aux principes de la réglementation, fondées

sur la réalité des aspects économiques et financiers, et capables de tenir compte des différents

risques auxquels est confrontée la société.

Pour ce faire, il faut partir du Bilan économique de la compagnie qui est le plus à même à

refléter son profil de risque : les actifs et les passifs sont évalués par rapport aux prix du marché

ou sur la base de valeurs cohérentes avec le marché.

Il est facile d‟évaluer la valeur des actifs selon leur valeur de marché puisqu‟il existe des

marchés sur lesquels s‟échangent ces actifs. La valeur de marché d‟un actif est alors égale au

montant qui résulterait de la vente de cet actif sur le marché.

Par contre, il est plus problématique d‟estimer la valeur de marché des passifs d‟assurance vie

(qui se composent principalement des engagements qu‟ont les assureurs envers leurs assurés), en

l‟absence de marché liquide correspondant. La juste valeur des passifs est alors obtenue en

calculant la valeur actuelle des flux futurs liés au portefeuille de contrats d‟épargne détenu par la

compagnie, ce qu‟on appellera par la suite le « Best Estimate » noté BE. Il se pose ici un

problème d‟évaluation car tout va dépendre des hypothèses et du modèle de projection utilisés.

Quelle que soit la technique adoptée, il est toutefois nécessaire d‟appliquer une approche



stochastique si nous voulons obtenir une valeur cohérente, qui soit fonction de la réelle

exposition au risque.

En effet, en assurance vie, les contrats peuvent être compliqués à modéliser car ce sont des

contrats de longue durée qui dépendent souvent d‟options cachées. Celles-ci représentent des

garanties ou des droits variés conférés aux assurés par la réglementation ou par des clauses

contractuelles, afin de rendre les contrats plus souples et plus attractifs. Il peut notamment s‟agir

d‟un taux minimum garanti, d‟une participation bénéficiaire, d‟une garantie de capital, d‟une

possibilité de rachat, etc. Ces options peuvent représenter une charge significative pour

l‟assureur si les conditions économiques du marché deviennent défavorables, et sont donc à

prendre en compte lors de l‟évaluation du Best estimate de la compagnie.

Or, les méthodes déterministes d’évaluation ne sont pas adaptées pour tenir compte des

risques financiers liés à ce genre d'options et de garanties qui sont soit sous-évaluées, soit

complètement ignorées. Par exemple, dans le cas d‟un contrat d‟épargne à taux minimum

garanti, la garantie ne sera pas valorisée si l‟unique taux de rendement moyen des actifs utilisé

lors de la projection est toujours supérieur au taux minimum garanti. Pourtant, si le taux de

rendement des actifs devient inférieur à ce taux minimum, l‟assureur subit une charge effective

supplémentaire diminuant ainsi son résultat.

En fait, les options présentent un caractère volatil qu'il n'est pas possible de modéliser de

façon satisfaisante en basant la projection sur un unique scénario financier. Par conséquent,

si nous voulons obtenir une évaluation juste et cohérente en fonction de la réelle exposition au

risque, comme le souhaite en particulier les autorités de contrôle, il faut forcément passer par des

projections sur la base d‟une approche stochastique.

Un modèle stochastique est un modèle qui vise à prendre en compte la volatilité des phénomènes

considérés dans ses résultats, comme par exemple, l‟évolution possible du marché des actifs au

cours du temps. Pour ce faire, de nombreux scénarios financiers sont tirés aléatoirement

(correspondant à autant d'états du marché) et les risques sont alors évalués statistiquement.



D‟une manière générale, toute modélisation stochastique d‟une activité d‟assurance comprend un

modèle d‟actif, un modèle de passif et un modèle d‟interactions entre actifs et passifs intégrant

les risques de placements et de comportements (stratégie d‟investissement, politique de

distribution des dividendes, comportement des assurés, etc.). L‟idée est d‟admettre que les

variables économiques et financières (taux, cours des actions, etc.) peuvent être représentées

par des processus stochastiques.

Malgré sa notoriété, et sa position sur le marché de l‟épargne, il n‟existe encore aucune

modélisation complète des passifs d‟un contrat d‟épargne en euro. Et ce, certainement pour

différentes causes constatées lors de la réalisation d‟une modélisation de la réalité. En effet il est

assez complexe de refléter à travers un unique modèle le comportement des souscripteurs

(rachat, décès…) et des garanties implicites de ce type de contrat (participation aux bénéfices…).

L’objectif de ce mémoire est donc de tenter de proposer un modèle stochastique

d’évaluation du passif d’un portefeuille de contrat d’épargne en euro, sous la

réglementation à venir.

Le mémoire se déclinera en deux parties.

Une première partie aura pour vocation de présenter les grandes lignes du projet Solvabilité II

ainsi que les concepts théoriques nécessaires à sa bonne compréhension. Nous évoquerons

l‟évolution du contexte réglementaire du monde de l‟assurance, les exigences qui en découlent et

l‟importance de considérer l‟entreprise d‟assurance d‟un point de vue économique. Le projet

Solvabilité II a pour objectif de mettre en place un système de régulation européen capable

d‟apprécier la solvabilité globale de la compagnie, en adoptant une approche intégrée des risques

et une évaluation des actifs et des passifs qui soit cohérente avec le marché.

Muni de ces informations, nous nous familiariserons avec les particularités d‟un contrat

d‟épargne, étant donné que celui-ci nous servira dans notre application numérique. Le contrat

d‟épargne dans le cadre d‟une assurance vie est un contrat aléatoire (par rapport à la vie

humaine) reposant sur la technique de capitalisation viagère. Mais nous verrons que dans un

contrat d‟épargne en euro cet aléa n‟a pas de poids face à l‟aléa financier. Nous en présenterons

le fonctionnement et la comptabilisation.



Après cette mise en jambe théorique à caractère littéraire, une seconde partie, sera consacrée à

la présentation d‟une modélisation stochastique qui peut être utilisée en assurance vie lors de la

valorisation d‟un portefeuille de contrats d‟épargne et ce, dans le cadre du calcul du Best

estimate pour une compagnie d‟assurance donnée ne proposant que des contrats euro. Pour ce

faire, nous développerons une modélisation complexe de gestion actif-passif, tout en restant

précis afin de pouvoir réaliser un outil fonctionnel sur Visual Basic.

Enfin le lecteur sera invité à partager notre application ainsi que la réalisation de tests approuvant

notre modèle. Grâce à cette application, nous pourrons mettre en évidence l‟apport indéniable de

l‟approche stochastique dans la valorisation des options et des garanties financières d‟un

portefeuille de contrat d‟épargne en euro.



PARTIE I. Un peu de littérature…

La première partie de ce mémoire est une partie théorique à caractère littéraire. Au long de ces

quelques pages, nous présenterons le projet Solvabilité II, son contexte, ses principes ainsi que

quelques notions théoriques nécessaires à la bonne compréhension de l‟application pratique qui

fera l‟objet de la seconde partie.

Un premier chapitre traitera de la notion de solvabilité et de celle de capital de solvabilité ainsi

que du Best estimate sous QIS4 (Quantitative Impact Studies 4). Il dressera également un

historique des exigences en capital au sein de l‟Union Européenne avec une brève comparaison

de Bâle II (réglementation bancaire), avant de présenter les lignes directrices du projet

Solvabilité II ainsi que les grands acteurs en la matière.

Dans notre mémoire nous allons appliquer la méthode du Best estimate sur un contrat d‟épargne,

c‟est pourquoi un deuxième chapitre abordera le mécanisme en détail de ce type de contrat.

Nous nous intéresserons plus précisément au contrat d‟épargne en euro.



Chapitre 1 De la solvabilité et son cadre réglementaire

L‟objectif de ce chapitre consistera à définir la notion de solvabilité ainsi qu‟à préciser son cadre

réglementaire actuel. Nous aborderons ensuite les causes de l‟évolution des normes prudentielles

dans le secteur des assurances et poserons, d‟une manière générale, les bases du nouveau projet

Solvabilité II. Plus particulièrement nous approfondirons la simplification technique (« Proxy »)

du Best estimate issue du Quantitative Impact Studies 4 (QIS4). Nous comparerons également

les principes du nouveau projet Solvabilité II aux réglementations en vigueur dans le secteur

bancaire ainsi qu‟au projet de normes comptables internationales.

1. Introduction

1.1. La notion de solvabilité

Toute compagnie d‟assurance se doit d‟être solvable. Cette solvabilité peut être définie comme

la capacité pour cette dernière à faire face à ses engagements vis-à-vis des bénéficiaires de

contrats avenus. En d‟autres termes, il s‟agit pour une compagnie d‟assurance de pouvoir

honorer ses obligations ou encore de régler le montant de sinistres survenus.

Solvabilité et capital

D‟une manière générale, une compagnie d‟assurance dans le cadre d‟une recherche de solvabilité

se doit de tarifer et de provisionner correctement. Certaines réglementations imposent pour ce

faire des règles concernant le provisionnement et la tarification des produits. A titre d‟exemple,

les provisions doivent être calculées sur des bases prudentes dans la réglementation française

actuelle.

En effet, l‟activité d‟assurance est, par nature, risquée car liée à la survenance d‟un sinistre

potentiel. De plus, l‟inversion du cycle de production en assurance ajoute aux risques financiers

classiques, un risque dit d‟assurance qui rend le métier d‟assurance aléatoire. Par conséquent, il

peut advenir que les provisions ne suffisent pas à couvrir les engagements d‟une compagnie

d‟assurance.



Partant, des réglementations prudentielles encadrent l‟activité d‟assurance en exigeant un niveau

minimum de fonds propres pour faire face aux aléas de l‟activité. Ce niveau minimum constitue

la marge de solvabilité. « La marge de solvabilité fournit une source supplémentaire de capitaux

permettant de faire face aux imprévus et, par conséquent, de protéger les clients des entreprises

d'assurance. » 1

. La marge de solvabilité représente ainsi un « tampon » permettant d‟absorber les

écarts négatifs par rapport aux prévisions de sinistres.

Remarque

Avant de clôturer ce point, nous nous devons d‟insister sur deux aspects importants

Tout d‟abord, en assurance, la notion de solvabilité est intimement liée à celle de protection des

assurés, alors qu‟elle peut prendre d‟autres significations dans d‟autres branches (voir infra

section afférente aux accords de Bâle). Dans le cadre de cette définition, chaque compagnie se

doit en effet de pouvoir honorer ses engagements. Les réglementations en matière de solvabilité

des assurances doivent donc s‟adresser individuellement à chaque compagnie.

Ensuite, la notion de solvabilité est directement liée à celle de capital à détenir. Être solvable

pour une compagnie d‟assurance signifie détenir un capital suffisant, appelé à lui éviter, autant

que faire se peut, une situation de faillite.

1.2. Historique et acteurs du projet Solvabilité II

1.2.1. Des origines aux directives Solvabilité I

Les premières réglementations européennes en matière de capital minimal à détenir datent des

années 70. En 1973 et en 1979 sont, en effet, publiées deux directives, l‟une dans le secteur de

l‟assurance non-vie2 et l‟autre dans celui de l‟assurance vie

3. Celles-ci imposent pour la première

fois aux assureurs européens de constituer un « matelas » de sécurité en termes de fonds propres.

En février 2002 sont adoptées les directives « Solvabilité I » 4

, ci-après Solvabilité I,

contraignantes depuis 2004 et toujours en application à ce jour. Retenons simplement que ces

directives restent, dans les grandes lignes, proches des premières réglementations européennes.

Le modèle élaboré, dans le cadre de Solvabilité I, pour évaluer la marge de solvabilité est simple.

Selon Solvabilité I, le risque se situe dans les provisions ou dans les primes. Le calcul du capital

1 Note de la Commission européenne

2 Première Directive 73/239/CEE du Conseil pour les Assureurs Non Vie.

3 Première Directive 79/267/CEE du Conseil pour les Assureurs Vie.

4 Directive 02/12/CE (vie) – abrogée par la Directive 2002/83/EC ; Directive 2002/13/CE (non-vie).



requis est une approche dite « basée sur des facteurs » : les fonds propres requis sont calculés

comme une fraction des éléments considérés comme risqués du bilan (provisions techniques) ou

du compte de résultats (primes). Nous renvoyons le lecteur en annexe du présent mémoire pour

les détails de cette réglementation

1.2.2. De Solvabilité I à Solvabilité II

Solvabilité I a le mérite d‟être simple et peut donc être implémenté à moindre coût. De plus, la

réglementation permet une comparaison rapide des résultats obtenus pour différentes

compagnies. L‟approche n‟étant néanmoins pas exempte de défauts, elle a justifié l‟initiation de

la réforme en cours, dénommé Projet de directive Solvabilité II, ci après Solvabilité II.

Tout d‟abord, le niveau des provisions techniques ou les montants de primes ne sont pas à eux

seuls de bons indicateurs du risque, pour plusieurs raisons :

L‟approche ne prend pas en compte le niveau de prudence de l‟assureur dans son

provisionnement. C‟est ainsi qu‟un assureur prudent, mieux doté en provisions

techniques, doit mobiliser davantage de fonds propres qu‟un assureur ayant moins

provisionné. Un tel système pénalise donc la prudence.

L‟approche actuelle mise en avant dans Solvabilité I ne se base que sur le passif du bilan

des compagnies d‟assurance alors que d‟autres risques devraient être considérés, comme

les risques de l‟actif tels les risques de marché et de crédit. De plus, les exigences en

matière de marge de solvabilité ne prennent, par exemple, pas en compte la structure des

placements de la compagnie d‟assurance.

Les méthodes de réduction du risque sont également ignorées : diversification entre les

risques, transferts du risque, gestion actif-passif, instruments de couverture du risque. Or

l‟utilisation de produits dérivés, le recours à la réassurance, la qualité de crédit des

réassureurs,…, devraient également influencer la marge de solvabilité requise.

Ensuite, les actifs et des passifs sont évalués à leur « coût historique ». Or cette méthode de

valorisation ne reflète pas les risques et la valeur réelle des avoirs et engagements.



Enfin, le régime Solvabilité I peut induire des risques systémiques. En effet, à titre d‟illustration,

un cadre de tarification obligatoire pour toutes les compagnies d‟assurance expose toutes ces

compagnies aux même risques d‟erreurs sur les tarifs.

En résumé, Solvabilité I ne permet de tenir adéquatement compte du profil de risque propre à

chacune des compagnies d‟assurance concernées. Ces « faiblesses » propres à Solvabilité I ont

justifié à suffisance la nécessité de la réforme initiée.

Les leçons tirées des années 2002 et 2003, au cours desquelles les marchés financiers ont connu

une période de crise, en mettant, dans le même temps, à mal la santé financière de certaines

compagnies d‟assurance, ont poussé les régulateurs à s‟intéresser de près aux risques du secteur

de l‟assurance et à la gestion de ceux-ci.

C‟est en Suisse que la réflexion a été la plus rapide. A partir de 2002, l‟Office Fédéral des

Assurances Privées (OFAP) a entrepris une réflexion sur la solvabilité des compagnies

d‟assurance. L‟objectif était de déterminer une méthode de calcul de la marge de solvabilité qui

tienne compte des risques encourus par les assureurs. C‟est ainsi qu‟en 2003 a été lancé le projet

« Test Suisse de Solvabilité » (TSS), qui a abouti en fin 2004 à un document, le Livre Blanc sur

le Test Suisse de Solvabilité, toujours en application.

De son côté, la Commission européenne, en collaboration avec les différents États membres s‟est

ainsi attachée, depuis mars 2003, à élaborer un référentiel unique visant à mieux intégrer le

risque dans les contraintes imposées aux assureurs afin d‟assurer leur capacité à remplir les

engagements souscrits. Il s‟agit du Projet Solvabilité II.

L‟objectif principal de Solvabilité II est d‟établir une exigence en termes de capital visant à

refléter plus adéquatement les risques encourus par les compagnies d‟assurance et ce, dans un

but de protection accrue des assurés. Le projet vise également, comme toute directive

européenne, à harmoniser les systèmes de solvabilité entre les différents États membres de

l‟Union européenne.



Ce projet a été scindé en deux phases. La première phase consistait en une réflexion sur la forme

générale que doit prendre le futur système européen de solvabilité et a pris fin le 9 avril 2003. La

seconde phase vise, quant à elle, la détermination des méthodes de prise en compte des différents

risques.

Bien qu‟il soit difficile de le déterminer avec précision, le Projet de directive Solvabilité II

devrait être adopté par la Commission européenne au cours de l‟année 2008, étant entendu que

son implémentation devrait être effective en 2010.

1.2.3. Les organismes et acteurs du projet de Solvabilité II

La Commission européenne

La Commission européenne - et plus particulièrement l‟unité « Assurance » de la direction «

Institutions Financières » au sein de la Direction Générale Marché Intérieur et Services (DG

MARKT) - coordonne le projet Solvabilité II.

La Commission européenne est l‟unique acteur législatif du processus. Afin d‟élaborer une

proposition de directive dans le cadre du projet Solvabilité II, les services de la Commission

européenne préparent des projets de mandats et des documents de travail en vue de mener la

réflexion sur le plan technique : la Commission consulte le CECAPP (voir ci-dessous).

Les États membres

Les États membres interviennent par le biais de deux acteurs dans le processus Solvabilité II :

Les Ministères des finances

Le CEAPP (Comité Européen des Assurances et Pensions Professionnelles5), ancien Comité des

Assurances, assiste la Commission européenne dans l‟adoption de mesures d‟exécution pour les

directives de l‟Union européenne.

Le CEAPP est divisé en sous-comités. Celui qui s‟occupe du projet est le « sous-comité

solvabilité », au sein duquel se retrouvent les Ministères des finances. La fonction principale du

« sous-comité solvabilité » est d'aider les services de la Commission à élaborer la directive cadre.

5 En anglais, European Insurance and Occupational Pensions Committee - EIOPC



Le CECAPP : l’organisme consultatif

En novembre 2003, la Commission Européenne propose d‟appliquer le processus Lamfalussy6

aux banques, aux assurances et aux organismes de placement collectif en valeurs mobilières. En

réponse à cette décision naît le CECAPP7 (Comité Européen des Contrôleurs de l‟Assurance et

des Pensions Professionnelles) dans le secteur des assurances. Le CECAPP est composé de

représentants des autorités de contrôle des États membres de l‟Union européenne (pour la

Belgique, il s‟agit de la CBFA - la Commission Bancaire, Financière et des Assurances).

Le CECAPP est un groupe consultatif indépendant. Son rôle principal est de conseiller la

Commission européenne dans l‟élaboration de ses directives. Dans ce cadre, la Commission lui

adresse des mandats. L‟organisme a ainsi un rôle de comité préparatoire dans Solvabilité II. Pour

ce faire, le CECAPP a chargé un certain nombre de groupes de travail techniques sur les travaux

relatifs à Solvabilité II, qui préparent des réponses à la Commission (qui adresse des appels à

conseils).

Les professionnels

Les professionnels du secteur de l‟assurance sont consultés par la Commission européenne sur

les projets d‟avis du CECAPP et les projets de la Commission, par le biais de groupes

consultatifs. Il existe des groupes consultatifs formés d‟actuaires, de consultants ou encore

d‟agences de notation. Les compagnies et fédérations professionnelles sont également

consultées.

Le CEA (Comité Européen des Assurances) fédère les assureurs européens. Il regroupe 32

associations nationales (pour la Belgique, il s‟agit d‟Assuralia – l‟Union Professionnelle des

Entreprises d‟Assurances) et plus de 5000 assureurs et réassureurs européens. En moyenne, les

marchés nationaux sont ainsi représentés à un niveau de 93 % au sein de l‟organisme.

6 La procédure Lamfalussy est une approche législative destinée à favoriser l'harmonisation européenne du cadre

réglementaire des marchés financiers. Elle tire son nom du président du comité des sages - M. Alexander

Lamfalussy - ayant rédigé un rapport à ce propos en 2001. Il s‟agit d‟un processus de mise en oeuvre des

dispositions européennes, dont l‟élaboration s‟articule en quatre niveaux :

- Niveau 1 : Règles de base, principes cadres (directives, règlements communautaires …) → institutions

européennes (Conseil et Parlement)

- Niveau 2 : Mesures d'exécution → (Commission et) CEAPP après consultation du CECAPP

- Niveau 3 : Coopération des régulateurs nationaux, en vue d'une application cohérente des textes de niveau 1 et 2

dans l'ensemble des Etats membres → CECAPP

- Niveau 4 : Vérification de l'application des textes communautaires par les Etats membres →Commission 7 En anglais : CEIOPS – Committee of European Insurance and Occupational Pension Insurance Supervisors



Dans le cadre de Solvabilité II, le CEA présente le point de vue du marché de l‟assurance

européenne. Il répond ainsi aux institutions européennes ainsi qu‟aux régulateurs internationaux

et aux autorités de contrôle. Le CEA fait ainsi part au CECAPP de ses projets et

recommandations. D‟autres représentants peuvent encore être cités : IAIS (International

Association of Insurance Supervisors), IAA8 (International Actuarial Association), ACME

(Association of European Cooperative and Mutual Insurers), AISAM (Association Internationale

des Sociétés d‟Assurance Mutuelle), AEIP (Association Européenne des Institutions

Paritaires)…

2. Les grands principes de Solvabilité II

2.1. Une nouvelle approche de valorisation

2.1.1. Une approche en principe

Solvabilité II s‟articulera en principes généraux plutôt qu‟en règles de calcul. Le projet fournira

des lignes directrices à suivre dans l‟évaluation des différents postes bilantaires et la

détermination du capital requis, sans pour autant fixer des règles de calcul précises.

2.1.2. Une approche bilantaire

Solvabilité II se base uniquement sur le bilan et non sur le compte de résultats. Le capital requis

sera déterminé par des projections des différents éléments du bilan.

La totalité du bilan est prise en compte dans l‟évaluation de la marge de solvabilité, et non plus

uniquement les postes du passif. Ceci vise à faire intervenir tous les risques.

2.1.3. Une approche économique

Selon cette approche, tous les actifs et les passifs doivent être évalués de façon cohérente avec le

marché. La valorisation ne se fait donc plus sur base d‟une comptabilité au coût historique mais

sur base du marché. Ceci a pour corollaire (nous y reviendrons longuement par la suite) que,

lorsqu‟un prix de marché existe, c‟est celui-ci dont on doit tenir compte dans la valorisation.

Lorsqu‟un tel prix n‟est pas disponible, il faut se baser sur des méthodes de projection de cash-

flows. Ce concept peut être mis en parallèle avec la notion de « juste valeur » développée dans

les normes IFRS (voir infra section 7.2 de ce Chapitre).

8 L‟IAA agit en support de l‟IAIS. Pour ce faire, elle a formé, en 2002, le WP (Insurer Solvency Assessment

Working Party), afin de préparer un rapport sur l‟évaluation de la solvabilité de l‟assureur.



Cette valorisation des actifs et des passifs permettra de déterminer le capital disponible, ainsi

défini comme la différence entre la valeur de marché des actifs et celle des passifs.

2.2. Une architecture en trois piliers

Inspirée de développements dans le secteur bancaire, le projet Solvabilité II s‟appuie sur trois

piliers complémentaires.

Figure 1: Architecture du projet Solvabilité II

Le premier pilier contient les exigences financières quantitatives du système. Il comprend

ainsi des dispositions sur les provisions, l‟évaluation des actifs, les risques qui doivent être pris

en compte ainsi que leur mesure et leur dépendance et la détermination des actifs dans lesquels

investir. Ce pilier définit en particulier les calculs de marge de solvabilité, c‟est-à-dire la

détermination des ressources financières qu‟une compagnie d‟assurance se doit de disposer afin

d‟être considérée comme solvable.

Le deuxième pilier définit, quant à lui, les exigences qualitatives qu‟une compagnie

d‟assurance se doit de remplir. On parlera des règles de contrôle interne, de gestion des risques et

de leur application par les autorités de contrôle. Il comprend l‟évaluation des risques non pris en

compte au niveau du premier pilier, c‟est-à-dire celle des risques plus « qualitatifs ».

Enfin, le troisième pilier renseigne les règles de transparence à respecter afin de favoriser les

disciplines de marché. Il contient ainsi les règles d‟information publique.



2.3. Méthode de détermination du capital

2.3.1. Approche basée sur des facteurs vs Approche basée sur le risque

Pour rappel, la détermination du capital requis dans Solvabilité I est basée sur une approche

« facteur ». En d‟autres termes, le capital requis est une fraction des postes considérés comme

risqués.

Le projet Solvabilité II propose, quant à lui, une approche basée sur le risque9 : les exigences en

termes de capital sont fonction des risques réellement encourus par la compagnie d‟assurance.

Afin de refléter, au plus près, la réalité des compagnies d‟assurance et d‟éviter notamment une

mobilisation superflue de fonds propres, les exigences en termes de capital tiendront également

compte, d‟une part, de la diversification entre les risques et, d‟autre part, des outils de transferts

du risque.

2.3.2. Deux niveaux de capital

Le Projet Solvabilité II évalue la situation financière des compagnies d‟assurance à l‟aide de

deux approches complémentaire : l‟une réglementaire à travers la solvabilité minimale, l‟autre

économique, à travers le capital de solvabilité.

Les deux niveaux de capital remplissent des objectifs distincts et sont dès lors évalués de

manière différente.

Il existe tout d‟abord une exigence de capital de solvabilité requis (CSR10

). Ce capital de

solvabilité est fondé sur le risque et son estimation doit être « cohérente avec le marché ». Il

correspond au niveau de fonds propres requis afin que la compagnie d‟assurance ne soit exposée

qu‟à une faible probabilité de faillite.

Il existe ensuite une exigence minimale de fonds propres absolue, un capital minimum (CM) à

détenir. Le capital minimum s‟appuie sur le bilan statutaire des compagnies d‟assurance et ne

reflète pas les risques encourus par celles-ci. Ce capital minimum est ainsi insensible au risque et

9 Ce type d‟approche détermine un capital connu sous le nom de Risk Based Capital. 10 SCR en Anglais



indépendant d‟un modèle. Il correspond à une exigence de capital beaucoup plus faible que le

capital de solvabilité requis.

Le capital de solvabilité fait office de « sonnette d‟alarme ». Si le capital effectivement constitué

devient inférieur à ce premier seuil, cela ne signifie pas que la compagnie d‟assurance concernée

est insolvable. Cependant, les interventions des autorités de contrôle seront initiées et viseront à

remettre la compagnie « sur le droit chemin » : plans pour atteindre le capital de solvabilité,

remaniement de portefeuille en actifs moins risqués, amélioration de la gestion actif-passif, …

Les conséquences d‟une telle situation sont donc mineures, tant que le reliquat du capital

constitué reste proche du capital requis.

Le capital minimum est en revanche un plancher sous lequel il est interdit de descendre. Si le

capital de la compagnie d‟assurance vient à descendre sous ce second niveau, l‟intervention des

autorités de contrôle est immédiate et les mesures entreprises sont sévères, pouvant aller jusqu‟à

l‟interdiction pour ladite compagnie d‟assurance d‟encore contracter.

Les méthodes de détermination des niveaux de capital requis sont distinctes.

Le capital de solvabilité sera calculé de façon élaborée. Une approche standard de calcul sera

proposée. Mais un des objectifs de Solvabilité II est de créer des incitants pour les compagnies

d‟assurance afin qu‟elles comprennent mieux et gèrent mieux leurs propres risques. Ceci se

traduit en une possibilité pour ces dernières d‟avoir recours à un modèle développé en interne et

destiné à mieux refléter leur profil de risque. Le capital minimum sera, par contre, calculé de

manière moins spécifique, à l‟aide d‟une approche de type Solvabilité I.

Dans le cadre forcément réduit de ce mémoire, nous nous intéresserons exclusivement aux

composantes qui permettent de réaliser un Best estimate.

Lors de la troisième étude d‟impact quantitatif (QIS3), le CEIOPS a invité les organismes

assureurs à appliquer une proposition de formule standard et à renvoyer les résultats à leur

autorité de tutelle (ACAM en France). Les principaux objectifs de cette troisième démarche (il y



aura en tous 5 ou 6 questionnaires) du pilier 1 étaient d‟affiner le calibrage de la formule

standard et d‟évaluer l‟effet de l‟application de la spécification de QIS3 aux groupes

d‟assurance. Dans le cadre de la quatrième étude d‟impact quantitatif (QIS4), l‟exercice a

désormais pour principal objectif de raffiner et détailler les mesures quantitatives nécessaires au

calcul des exigences quantitatives de solvabilité qui vont être imposées.

Incidemment, les QIS permettent, d‟une part, de former les organismes assureurs au calcul des

exigences de solvabilité et, d‟autre part, de les encourager à faire évoluer les systèmes

d‟information pour que ces derniers soient en mesure d‟extraire les informations requises. Le

deuxième pilier de Solvabilité II s‟intéressera d‟ailleurs, sur le moyen terme, au contrôle interne

de l‟organisme assureur.

Solvabilité II n‟est pas le seul projet de réflexion en cours au niveau européen. En réaction à la

crise des marchés financiers, d‟autres systèmes de normes ont vu le jour, répondant chacun à des

objectifs différents. Nous présentons à cette section la réglementation en matière de solvabilité

dans le secteur bancaire ainsi que les normes internationales de comptabilisation, en cours

d‟élaboration pour le secteur des assurances.

2.4. Le projet Solvabilité II et la réglementation bancaire (accords de Bâle)

Le projet Solvabilité II est souvent présenté comme le parallèle, pour le secteur de l‟assurance,

du projet Bâle II. Partant, cette section se propose de présenter brièvement la réglementation en

vigueur dans le secteur bancaire ainsi que les différences principales entre les deux

réglementations.

2.4.1. Bâle…une histoire en deux temps

En 1974, la banque privée allemande Herstatt fait aveu de faillite, suite à des spéculations sur

devises. L‟impact sur l‟ensemble du système bancaire international est important (grave crise sur

le marché des changes).

En réaction à cette crise, les gouverneurs des banques centrales du groupe des Dix, le G1011

,

créent un comité de contrôle bancaire, dénommé le Comité de Bâle, avec pour objectif

d‟améliorer la stabilité et la sécurité du système bancaire. Le rôle du Comité de Bâle est

11

Le G10 est en fait constitué de onze pays: Allemagne, Belgique, Canada, Etats-Unis, France, Grande-Bretagne,

Italie, Japon, Pays-Bas, Suède, Suisse. A ces pays se sont ajoutés le Luxembourg ainsi que l‟Espagne.



d‟émettre des recommandations quant aux pratiques bancaires et de proposer des standards

minimaux en matière de contrôle prudentiel.

En 1988, ce Comité définit des normes régissant le calcul du montant minimal de fonds propres

réglementaires pour les établissements financiers. Ces normes sont connues sous le nom des

accords de Bâle I.

Les règles de calcul proposées dans ces premiers accords sont rudimentaires : le niveau de fonds

propres requis est défini comme une proportion des actifs risqués détenus par les banques.

Un minimum global est imposé : il faut détenir 8% de l‟ensemble de ses crédits en fonds

propres12

. Ce pourcentage est connu sous le nom de ratio Cooke. Le montant de fonds propres à

détenir par actif risqué est en fait pondéré selon la classe d‟actif considérée : 0% pour les

obligations sans risque (d‟États OCDE), 20% pour les contreparties bancaires, organisme

international ou État non OCDE, 50% pour les crédits garantis par une hypothèque et 100% pour

les actions propres.

Au regard de la simplicité des règles de Bâle I, elles sont aujourd‟hui devenues le standard dans

plus de cent pays. Le ratio Cooke est depuis 1992 implémenté dans la plupart des pays de

l‟OCDE.

Cette réglementation souffre cependant de lacunes et limites importantes :

Bâle I ne prend en compte que le risque de crédit ;

Le ratio Cooke appréhende faiblement le coût du risque de crédit : seul le montant du crédit

est pris en considération et non la qualité de l‟emprunteur et/ou du portefeuille de crédit ;

La gestion des risques d‟une banque n‟est pas prise en compte (produits de couvertures).

12

L‟accord définit pour ce faire ce qu‟il faut considérer comme « fonds propres au sens large ». Les fonds propres

réglementaires peuvent inclure, outre le capital (fonds propres au sens strict), du « quasi-capital », c'est-à-dire des

dettes subordonnées (certaines ne pouvant cependant entrer en ligne de compte que pour 50% des fonds propres

réglementaires).



Au milieu des années 90, le ratio Cooke est aménagé afin d‟autoriser la prise en compte de la

gestion des risques hors bilan, des risques découlant des produits dérivés, … qui connaissent une

importante diffusion à cette période. Il s‟agit de l‟amendement à Bâle I (1996).

Néanmoins, il s‟avère rapidement qu‟une refonte plus fondamentale de l‟accord de Bâle est

nécessaire.

En 1999, le Comité de Bâle entreprend dès lors une réflexion pour améliorer la proposition de

1988. Ce sont les travaux de Bâle II, finalisées le 26 juin 2004. Les accords de Bâle II, beaucoup

plus complets, fournissent des principes et recommandations en matière de gouvernance,

d'analyse et de contrôle de la gestion des risques, de détermination des fonds propres.

Les accords de Bâle II sont charpentés sur trois piliers (méthodes dont s‟est inspiré le projet

Solvabilité II), qui ambitionnent une approche plus holistique de la gestion des risques :

Premier Pilier : détermination des fonds propres exigibles, d‟un minimum de capital requis;

Deuxième Pilier : principes de surveillance et de gestion des fonds propres ;

Troisième Pilier : exigences en matière de publication, de discipline de marché.

Le premier pilier propose une méthode élaborée pour le calcul des fonds propres. Les

changements majeurs par rapport à Bâle I concernent des exigences de fonds propres pour

couvrir le risque opérationnel (fraudes et pannes de système) et le risque de marché. De plus,

Bâle II prend en compte la qualité du portefeuille de crédit, ainsi que les mécanismes de gestion

des risques en place.

La réforme remplace notamment le ratio Cooke par le ratio McDonough, encore appelé ratio de

solvabilité bancaire. Ce ratio prend en compte de manière précise le risque des prêts accordés et

vise ainsi à rendre les fonds propres cohérents avec les risques réellement encourus par les

banques.

En matière de risque de crédit, les banques peuvent désormais choisir entre deux types

d‟approches :



une approche standard, relativement proche des accords de Bâle I ;

une approche fondée sur des modèles de notation interne (appelées méthodes IRB –

internal ratings based). Pour les banques capables de développer ces modèles, les fonds

propres exigibles sont alors adaptés à la qualité de leur portefeuille.

Dans l'Union européenne, les accords de Bâle I ont été traduits en une Directive européenne dès

1989. Les accords de Bâle II ont également été traduits en une Directive européenne dès 2004.

Ils sont d‟application au sein de l‟Union européenne depuis le 1er janvier 2007.

2.4.2. Comparaison des réglementations prudentielles dans les secteurs bancaires et de

l’assurance

Les deux projets présentent certaines caractéristiques communes. Tout d‟abord, Bâle II, tout

comme Solvabilité II, s‟intéresse à la solvabilité. Tous deux visent à introduire une

réglementation du risque. Ensuite, Solvabilité II s‟est inspirée de la structure en trois piliers de

Bâle II. Enfin, les deux projets développent une approche standard mais laissent cependant la

porte ouverte à des modèles internes, plus proches de la réalité des compagnies.

Les deux approches présentent cependant des différences fondamentales :

Le risque considéré n‟est pas équivalent que l‟on se positionne sous l‟angle du secteur

bancaire ou sous celui de l‟assurance. Le risque bancaire est analysé sur base de l‟actif

(les exigences de fonds propres ne dépendent que des actifs) : il s‟agit du risque de crédit,

de marché. Le risque en assurance est un risque bilantaire : s‟ajoute un risque important

au niveau du passif, le risque d‟assurance.

L‟objectif prudentiel dans les accords de Bâle est de renforcer la stabilité du système

bancaire international. La crainte principale est le risque systémique, c‟est-à-dire le risque

d‟une chute du système bancaire dans son ensemble. Par conséquent, les accords de Bâle

visent en particulier les entreprises agissant à un niveau international.

Dans le secteur de l‟assurance, l‟objectif de la réglementation prudentielle est par contre

de protéger les assurés contre un risque de faillite isolé auquel est soumis toute

compagnie d‟assurance. Ainsi, les directives Solvabilité s‟adressent à chacune des

compagnies d‟assurance.

Les mesures de risque utilisées par les deux réglementations sont différentes.



3. La mise en œuvre pratique : QIS4

Cette partie vise à présenter et décrire les principes du QIS4. Ainsi, dans une première étape,

cette section vise à rappeler le contexte et les objectifs du QIS4. En outre, seuls les actifs et les

passifs, dans le cadre du QIS4, seront décrits dans cette partie.

3.1. Présentation du QIS4

Le développement de ce paragraphe est repris d’un document inter du cabinet Winter&Associes

3.1.1. Contexte

Le projet Solvabilité II vise à réformer en profondeur les règles de solvabilité auxquelles sont

soumises les entreprises d‟assurance et à créer un système plus harmonisé, avec une meilleure

prise en compte des risques assumés par les organismes d‟assurance. À l‟issue d‟une première

phase d‟études et de concertation, la Commission européenne a retenu en avril 2003 une

architecture à trois piliers comparable à celle définie pour le secteur bancaire par le Comité de

Bâle (Bâle II).

3.1.2. Objectif du QIS4

Le troisième questionnaire du pilier I (QIS3) était un test global du futur système et un calibrage

de la formule standard pour le calcul du Capital de Solvabilité Requis (SCR, niveau de capital

qui doit permettre à l‟entreprise d‟absorber un certain montant de pertes, correspondant en

principe à une probabilité de ruine sur un horizon d‟un an inférieure à 0,5 %). Il est à noter que la

formule de calcul du modèle standard est modulaire, elle agrège les différents types de risques

(marché, souscription vie, etc.).

La quatrième étude quantitative d‟impact (QIS4) vient simplifier et restructurer la formule

standard proposée par le QIS3. Aussi, le QIS4 donne des clarifications concernant l‟hypothèse la

plus probable (Best estimate) et la marge pour risque (risk margin, calculée selon la méthode du

coût du capital) dans le calcul des provisions techniques (le Best estimate est défini dans la partie

4.3.1.3.).



3.2. Actifs dans le QIS4

Les différents actifs doivent être évalués à leur valeur de marché. Lorsqu‟ils sont fiables, et que

des cours de marché observables sur des marchés très actifs et liquides existent, les valeurs des

actifs doivent être égales à ces cours du marché.

Pour les positions dites longues (positions à l‟achat) sur l‟actif, le prix approprié est le prix offert

(bid price) pris à la date d‟évaluation, tandis que pour des positions dites courtes (positions à la

vente), le prix approprié est le prix vendeur (offer price) à la date d‟évaluation.

Par ailleurs, les actifs non liquides ou non négociables doivent être évalués sur une base

prudente, en tenant compte de la baisse de valeur due aux risques de crédit et de liquidité y

afférents.

3.3. Passifs (Provisions techniques) dans le QIS4

Concernant les passifs, l‟évaluation des provisions techniques doit être effectuée en distinguant

les passifs réplicables (ou hedgeable) et les passifs non-réplicables (ou nonhedgeable) : à chacun

de ces types de passifs est associé une méthode d‟évaluation. En outre, il est à noter que dans le

calcul de ces engagements, le QIS4 consacre une place importante aux simplifications et autres

approximations.

3.3.1. Principes généraux

Dans un premier temps, il convient de décrire les principes généraux des calculs des provisions

techniques :

3.3.1.1. Flux réplicables

Un passif est réplicable si les flux qu‟il engendre peuvent être parfaitement répliqués et couverts

à l‟aide d‟instruments financiers se monnayant sur un marché suffisamment actif, liquide et

transparent (par exemple les passifs des bons de capitalisation et d‟épargne en UC sans garantie

plancher sont réplicables).

Il est à noter qu‟un marché est supposé actif, liquide et transparent si :



les participants du marché peuvent exécuter rapidement un grand nombre de transactions

avec un faible impact sur le prix ;

les informations sur les échanges courants et leurs prix sont disponibles au public ;

les deux points ci-dessus sont vérifiés à tout instant.

Dans le cas des passifs réplicables, la valeur actuelle du portefeuille répliquant procure de façon

immédiate un prix observable qui doit être utilisé pour valoriser le passif. On parle d‟évaluation

marked-to-market.

Par ailleurs, il convient de remarquer que, si une option, une garantie ou une part du contrat peut

être isolée et peut être répliquée sur un marché actif, liquide et transparent, les flux associés sont

classés parmi les flux réplicables (voir la partie TS.II.A.14 du QIS4).

En revanche, lorsque qu‟aucune distinction n‟est possible entre les flux réplicables et non-

réplicables, la méthode de calcul relative aux flux non réplicables doit être retenue.

3.3.1.2. Flux non réplicables

Pour les passifs non-réplicables, c‟est-à-dire les passifs des contrats autres que les bons de

capitalisation et les contrats d‟épargne en UC (unité de compte) sans garantie plancher,

l‟évaluation doit correspondre à la somme explicite du Best estimate et de la marge pour risque.

Il est à noter que le Best estimate et la marge pour risque font l‟objet d‟une évaluation séparée

(voir la partie TS.II.A.5 du QIS4).

En outre, dans le QIS4, certaines précisions sont mentionnées sur des méthodes explicites pour le

calcul du Best estimate et de la marge risque (uniquement la méthode simplifiée du BE sera

détaillée dans le cadre du mémoire, voir la partie 3.4.3.).

3.3.1.3. Best estimate

Le Best estimate est égal à la valeur actuelle probable des potentiels flux futurs de trésorerie

estimés à partir d‟informations courantes et fiables et à partir d‟hypothèses réalistes et

spécifiques à l‟entité.

Par ailleurs, le Best estimate doit être évalué en brut, c‟est-à-dire sans tenir compte des montants

couverts par la réassurance (voir la partie TS.II.A.10 du QIS4).



Des précisions sur la description de l‟évaluation du Best estimate se trouvent dans la suite du

document. À présent nous allons approfondir la réglementation indiquée sur le Best estimate des

contrats d‟épargne en euro qui est le sujet corps de notre mémoire.

3.4. Best estimate pour les contrats d’épargne en euros

3.4.1. Contrats d’épargne en euros : Passifs réplicables ou non réplicables ?

Comme indiqué dans la partie 3.3.1.1., un passif est réplicable si les flux qu‟il engendre peuvent

être parfaitement répliqués et couverts à l‟aide d‟instruments financiers se monnayant sur un

marché suffisamment actif, liquide et transparent.

Outre les garanties en cas de vie, les contrats d‟épargne en euros contiennent des garanties en cas

de décès. Les éventuelles couvertures de cette garantie en cas de décès reposent ainsi sur des

hypothèses et projections du nombre de décès annuels. Toutefois, au regard de la taille du

portefeuille assuré au titre de ces garanties et des tables de mortalité retenues pour les

évaluations, le risque d‟erreur ne semble pas négligeable dans l‟anticipation du nombre annuel

de décès.

Ainsi, les éventuelles couvertures des engagements des contrats en euros ne permettraient pas de

couvrir les passifs sans risque d‟erreur négligeable. Dans ce contexte, pour les passifs des

contrats d‟épargne en euros, il convient donc de déterminer un Best estimate et la marge pour

risque associés ; les passifs de ces contrats ne sont donc pas considérés comme réplicables.

3.4.2. Méthode d’évaluation des options dans les prestations

La détermination des flux de prestations peut toutefois être complexe à déterminer. En effet, ces

flux dépendent de deux comportements interactifs :

le comportement de l‟assureur (taux minimum garanti, taux de participation eux bénéfices,

etc.) ;

et le comportement de l‟assuré (rachat, réduction, etc.).

Sur le plan technique, la méthode de modélisation appropriée serait l‟utilisation de modèles

stochastiques (les modèles seront détaillés dans la seconde partie du mémoire). Toutefois,

comme le permet le QIS4 (voir la partie TS.II.D.43 du QIS4), une méthode déterministe peut

également être envisagée pour modéliser ces flux (à partir d‟hypothèses sur les taux de rachat,...)



3.4.3. Méthode simplifiée (Proxy) d’évaluation du Best estimate

L‟objectif de la présente partie est de présenter la méthode proxy de calcul du Best estimate d‟un

contrat d‟épargne en euro, accompagnée d‟une fiche explicative.

Nous allons commencer par rappeler le proxy sur le Best estimate fournit par le CEIOPS.

Description

La simplification qui va suivre est basée sur le système italien de participation aux bénéfices en

assurance-vie. Cette simplification peut s‟étendre à d‟autres systèmes du moment que le

mécanisme de PB est similaire. En particulier elle peut être employée pour les pays où les

clauses de revalorisation sont contractuelles ou réglementées à l‟échelle nationale.

Calcul

Dans le cadre du calcul du Best estimate d‟une provision technique, il convient de déterminer au

préalable la prestation tY qui sera payé à la date T, tel que :

0

1

(1 )T

t t

t

Y S R

Où :

- 0S représente la somme assurée totale à la date d‟évaluation, qui correspond dans un contrat

épargne euro aux cotisations nettes;

- T représente l‟échéance moyenne des polices ;

- tR représente le taux de revalorisation de l‟année .,...,, Tt 21

Il est à noter que tR est fonction du rendement tI des investissements de l‟année t , tel

que )( tt ImR .

À titre d‟exemple on peut avoir:

( )( ) max ;

(1 )

tt

I rm I

r

Où :

- représente le coefficient de participation aux bénéfices ;

- r représente le taux d‟intérêt technique ;



- représente le taux garanti minimum, avec r ;

Selon cet exemple la garantie minimum est (sans tenir compte des prestations discrétionnaires) :

0.(1 )T

garanti TBE S

Où T représente le facteur d‟actualisation au taux sans risque pour la maturitéT .

La valeur intrinsèque ( )IV de tY est définit par :

0

1

. . (1 ( ))T

T t

t

IV S m f

Où 11

tt

t

f

représente le taux forward sur la période [t-1, t] issu de la structure par terme

des taux sans risque. Or on sait que la valeur intrinsèque sous estime le Best estimate de tY (cela

provient de la différence avec la valeur temps). Donc la simplification pour le Best estimate

corrigeant la valeur temps est égale à :

*0

1

. . (1 ( ))T

T t

t

BE S m f

Où *

tf est une projection de taux obtenu par incrémentation du taux forward :

*t t tf f f (*)

En considérant que le calibrage de l‟incrément tf prend en compte la nature, l‟ampleur et la

complexité du risque couvert par les entreprises d‟assurances, *

tf est calculé de la façon

suivante :

* (1 )B E E Et t

W Wf f

t

13

13 B comme bond (obligation) et E comme equity (action).



- Les paramètres B et E seront calibrés suivant la courbe de rendement utilisée dans

QIS4.

- EW représente la fraction du fonds investie en action.

Donc la valeur des prestations discrétionnaires futures est obtenue par :

garantiBEBEFDB

À présent nous avons essayé de comprendre l‟intuition du modèle simplifiée retenu par le

CEIOPS.

Fiche explicative du proxy BE

Tout d‟abord il faut noter que la simplification du Best estimate offerte par le CEIOPS est basée

sur un modèle qui requiert des hypothèses, telles que:

Le taux minimum garanti est un taux fixé à la souscription sur la durée totale du contrat

(noté ).

On utilise l‟exemple d‟un contrat d‟épargne avec prime unique et clause de PB. Il n‟y a pas

de sortie possible (rachat, Décès).On aura un flux de prestation uniquement si l‟assuré est

en vie à terme.

Attribution de la PB au cours de l‟exercice de constitution, donc pas de provision pour

participations aux excédents (PPE).

Pour expliquer le proxy sur le Best estimate nous allons dérouler le modèle de façon intuitive.

Au départ (en date 0) le souscripteur verse une prime unique à l‟assureur, cette prime nette de

frais sera alors notre 0S . Cette somme sera investit par l‟assureur dans un fonds jusqu‟à

l‟échéance du contrat, produisant alors un rendement tI . En outre l‟assureur garantit un

rendement minimum en cas de baisse du marché et une participation aux bénéfices en cas de

hausse. Donc le produit acquis chaque année par l‟assuré devient une fonction du rendement tI .

Nous pouvons illustrer une forme de cette fonction autre que celle présenté dans le proxy par:

( ) max ; .t tm I I Les prestations minimums futures nous permettent de calculer un Best



estimate garanti représenté par la somme investit 0S capitalisée jusqu‟à échéance puis actualisée,

qui nous donne: 0.(1 )T

garanti TBE S

Schéma explicatif: valeur minimum du BE

0 1 2 T

0S

)1(

)1(0

STS )1(

0

:T

Facteur d’actualisation

0.(1 )T

garanti TBE S

Figure 2: Valeur minimum du Best estimate

À présent la valeur intrinsèque du Best estimate globale qui tient compte des prestations

discrétionnaires (hypothétique) est représentée par la formule suivante :

0

1

. . (1 ( ))T

T t

t

IV S m f

La valeur intrinsèque signifie la valeur hypothétique c'est-à-dire si le modèle se déroule comme

prévu (celui envisagé à la date 0), pour cela il faut introduire un taux de projection (appelé taux

forward).

Schéma explicatif: taux forward

0 1 2 T

Taux entre vu de la date 0

tf

t-1 t

tt ,1:t

f

Figure 3: Taux Forward

Il est naturel de comprendre que la valeur intrinsèque est une sous estimation du Best estimate,

car la réalisation future de l‟évolution du marché ne sera jamais identique à celui vu en date 0, on

parle alors de la notion « valeur temps ».



Schéma explicatif: valeur intrinsèque du BE

0 1 2 T

0S

))(1(1

fm

))(1(10

fmS

T

tt

fmS1

0))(1(

:T

0

1

. . (1 ( ))T

T t

t

IV S m f

Facteur d’actualisation

Figure 4: Valeur intrinsèque du Best estimate

Pour corriger cette sous estimation nous considérons alors un taux forward augmenté d‟un

coefficient correcteur qui prendra en compte la notion de valeur temps. On note alors ce

coefficient par (1 )B E E E

t

W Wf

t

qui n‟est rien d‟autre qu‟une simple combinaison de

portefeuille réparti en obligation et en action. Puis on considère *t t tf f f comme le nouveau

taux de projection qui donnera une meilleure estimation du Best estimate, tel que:

*0

1

. . (1 ( ))T

T t

t

BE S m f

(formule définitive)

La seule différence entre ces deux formules de Best estimate (formule du BE garanti et celle ci)

repose dans l‟inclusion des prestations discrétionnaires, on a donc : garantiBEBEFDB avec

FDB qui représente les flux de prestation futurs discrétionnaires.



Chapitre 2 Le contrat d’épargne en euro

L‟objectif de ce chapitre consistera à définir les caractéristiques types des contrats d‟épargne en

euro ainsi que leur contexte juridique. Nous aborderons dans un premier temps un rappel sur

l‟importance du marché de l‟épargne/assurance vie en France ainsi que les différents types de

support d‟épargne vendus sur ce marché.

1. Introduction

La notion d‟épargne est une opération visant à placer de l'argent qui devient indisponible pour les

paiements immédiats et la consommation courante. Le placement peut être réalisé sur des

produits proposés par des établissements financiers (notamment pour l‟épargne réglementée) ou

des assureurs. Leur rendement varie en fonction du type de placement, de la durée

d'immobilisation et du taux de rémunération fixé par le contrat.

Les produits d'épargne sont la réponse à différents besoins :

épargner sans objectif précis ou par pure précaution,

financer le court et le moyen terme,

valoriser ou faire fructifier un capital,

constituer un revenu complémentaire en vue d‟une retraite,

transmettre un capital.

Afin que chacun trouve le produit en adéquation avec ses motivations, il existe une gamme de

produits très diversifiée : (à titre d‟exemple)

Les produits à court terme où les sommes sont facilement mobilisables, les risques limités

et les rendements assez bas, tels que :

les livrets d'épargne,

le Codévi,

le Livret d'Epargne Populaire (LEP),



Les produits à long terme où le capital reste bloqué plusieurs années, par exemple:

le Plan d'Epargne Populaire (PEP),

le Plan d'Epargne en Actions (PEA),

les contrats d'assurance vie ;

Les produits liés à l'immobilier où le rendement n‟est pas très important mais qui offrent

des conditions d‟emprunt avantageuses (notamment pour les taux), comme :

le Compte Epargne Logement (CEL),

le Plan Epargne Logement (PEL).

1.1. Le marché de l’épargne/Assurance vie en France

Le but de cette section n‟est pas de réaliser une étude sur les chiffres de l‟épargne en France,

mais juste de prendre conscience de l‟importance du segment de l‟assurance vie, notamment à

travers les supports en euros.

Graphique 1: Une vision segmentée de l'assurance vie (Source : www.bipe.fr)

On constate durant ces dernières années une tendance haussière des supports euros dans la

branche de l‟assurance vie.



1.2. Le cadre de l’assurance vie

Le contrat d‟épargne dans le cadre d‟une assurance vie ressemble à un placement financier et est

proche d‟un contrat de capitalisation. Mais il reste malgré tout un contrat d‟assurance, c‟est à

dire un contrat aléatoire (par rapport à la durée de la vie humaine).

L‟assurance vie repose sur la technique de capitalisation viagère. Cela signifie que pendant la

vie du contrat, le souscripteur ne reçoit pas de revenus, mis à part le versement éventuel des

intérêts et de la participation aux bénéfices. Les produits des primes versées (nettes de frais) sont

ainsi immédiatement réinvestis et incorporés à l‟épargne, devenant ainsi eux-mêmes productifs

d‟intérêts. Il ne s‟agit pourtant pas d‟un placement purement financier puisqu‟il fait intervenir à

la fois un paramètre viager (le taux tiré de la table de mortalité) et un paramètre financier (le taux

d‟intérêt technique).

En effet, les prestations sont conditionnées par la réalisation de certains évènements comme le

décès de l‟assuré pendant la durée du contrat, la survie de la personne assurée à la date

d‟échéance ou encore par le rachat du contrat. Il est donc nécessaire pour la modélisation d‟un

contrat d‟avoir à disposition des tables de mortalités (i.e. pour chaque sexe) permettant

d‟indiquer le nombre de vivants à chaque âge de la vie humaine, et par ailleurs des lois de

rachats selon le type de contrat.

L‟aspect financier de l‟assurance vie réside quant à lui dans la capitalisation financière,

caractérisée par l‟utilisation du taux d‟intérêt technique, dont les conditions sont fixées par le

Code des assurances (article A.132-1). De manière générale, les tarifs pratiqués doivent être

établis sur un taux au plus égal à :

75 % du TME pour les contrats dont la durée maximale est inférieure à 8 ans,

min (3.5 % ; 60 % TME) pour les contrats dont la durée est supérieure à 8 ans.

Le TME désigne le taux moyen des emprunts d‟État (calculé sur une base semestrielle) qui est

« le plus élevé des deux taux suivants : taux à l'émission et taux de rendement sur le marché

secondaire ».



Finalement seul le caractère aléatoire des phénomènes viagers rend l‟assurance vie

essentiellement différente de la gestion classique des produits financiers.

Cependant, la combinaison de différentes techniques actuarielles permet de proposer des contrats

d‟assurance vie très proches de simples produits financiers ; cette activité des entreprises

d‟assurance est dite assurance capitalisation.

À leur terme, ces contrats offrent la possibilité à l‟épargnant d‟obtenir sa prestation sous forme

d‟un capital, et/ou sous la forme d‟une rente viagère. Dans le cas d‟une rente, le taux de

conversion du contrat (de capital en rente) est soit définit et garanti à la souscription ainsi que la

table de mortalité associée (car le taux de conversion varie en fonction de l'âge du bénéficiaire et

de son année de naissance), soit définit à la sortie du contrat.

1.3. Les différents types de support

Les contrats en euros

Moyennant une prime, l‟assureur garantit à l‟assuré une performance annuelle minimale de son

épargne, qui est augmentée chaque fin d‟année par une partie des bénéfices financiers réalisés.

Le montant de l‟épargne est reversé au détenteur de la police à l‟échéance de celle-ci.

Ce sont des contrats avec un risque minimal puisqu‟ils sont majoritairement investis en

obligations. Ils ont donc un rendement lié aux taux obligataires et sont ainsi peu sensibles aux

aléas de la Bourse. Ils présentent de plus une double garantie :

un rendement minimal garanti dont le montant ne peut légalement dépasser un plafond

fixé par le Code des assurances (article A.132-1), assorti d‟une participation aux

bénéfices de l‟entreprise d‟assurance ;

un effet cliquet, qui permet au souscripteur de conserver définitivement les intérêts

annuels crédités sur le contrat.

Les nouveaux contrats investis en actions

Ce sont des nouveaux contrats, dits « NSK », qui ont été créés par la loi de finances pour 2005

afin de favoriser l‟investissement des particuliers vers les entreprises innovantes et non cotées en

Bourse. Ils remplacent les anciens contrats dits « DSK » qui ne peuvent plus être souscrits mais



seulement alimentés par leurs détenteurs. Ces contrats en unités de compte majoritairement

investis en actions bénéficiaient d'une fiscalité spécifique dans la mesure où ils respectaient des

contraintes précises d'investissement (au minimum 50 % d'actions émises par des sociétés ayant

leur siège dans un État de l'Union européenne, dont 5 % de placements « à risques »).

Ces nouveaux contrats bénéficient de ces mêmes dispositions fiscales, à savoir, au-delà de huit

années de détention, une exonération de l‟impôt de 7.5 % applicable aux contrats d‟assurance vie

(suite à un abattement annuel de 4 600 € pour les contribuables célibataires et de 9 200 € pour les

contribuables mariés).

Les contrats multisupports

Dans ce type de contrat, les investissements se font sur plusieurs supports ou fonds (en euros

et/ou en unités de compte). Suivant les contrats, la répartition de l‟investissement est libre,

imposée ou préétablie. Ces contrats bénéficient de plus d‟une possibilité d’arbitrage entre les

supports en unités de compte et les supports en euros (l‟arbitrage est une opération qui consiste à

modifier la répartition du capital entre les différents supports du contrat). Il est ainsi possible de

répartir ses investissements entre des supports plus ou moins risqués. Plusieurs profils de gestion

sont d‟ailleurs souvent proposés : prudent, dynamique, équilibré. Le souscripteur confie alors

aux experts financiers de l'organisme gestionnaire le soin de gérer ses versements selon le profil

choisi.

2. Caractéristiques et clauses du contrat euro

Il existe de nombreux contrats d‟assurance vie permettant la constitution d‟une épargne. Le

souscripteur (qui acquiert automatiquement la qualité d'assuré et de bénéficiaire en cas de vie)

verse des primes qui, nettes de chargement, sont capitalisées au taux minimum garanti pour

constituer le capital garanti. Celui-ci est en outre revalorisé en tenant compte de la participation

aux bénéfices. Il faut ajouter qu‟en cas de décès avant terme, le capital est versé au(x)

bénéficiaire(s) désigné(s) dans le contrat (selon la clause bénéficiaire).

2.1. Cotisations

Les cotisations peuvent être effectuées sous différentes formes :



les contrats à versements périodiques programmés : un calendrier de versements

(mensuels, trimestriels, annuels...) est mis en place avec la plupart du temps la

possibilité d‟effectuer des versements complémentaires ; il s‟agit d‟une facilité de

versement et pas d‟un engagement ferme, puisque l‟assuré peut à tout moment

interrompre les versements ;

les contrats à versements libres : il n‟y a pas de calendrier de versements mais l‟assuré

est souvent soumis à un montant minimal de cotisations (à la souscription par

exemple);

les contrats à cotisation unique : le versement a lieu au moment de la souscription.

L‟assureur ne peut néanmoins pas exiger le paiement des primes (article L.132-20 du Code des

assurances). Le non-paiement entraîne : soit la réduction du contrat (poursuite du contrat, mais

diminution du montant des prestations garanties), soit la résiliation pure et simple du contrat.

Par-dessus tous ces éléments, il ne faut pas oublier que les contrats d'assurance-vie comportent

des frais. Ceux-ci peuvent être très différents d'une compagnie à l'autre. Mais ces frais sont aussi

nécessaires pour rémunérer l'assureur et lui permettre d'offrir des services tels que des relevés de

comptes réguliers ou l'accès à son contrat via internet.

2.2. Chargements, frais, taxes

Les frais liés aux contrats d’épargne

Ils peuvent être très différents d'une compagnie à l'autre. Il existe notamment (liste non

exhaustive) :

les frais d'entrée ou d‟acquisition : il peut s‟agir d‟un pourcentage prélevé à l'occasion

des versements effectués ou d‟une somme forfaitaire par police ;

les frais d‟administration ;

les frais de gestion liés au placement du fonds : ils sont prélevés sur l‟épargne (i.e. sur

les provisions mathématiques ou l‟encours), lors de la capitalisation annuelle, sur les

intérêts générés par le fonds ;

les frais de commission liés aux réseaux de distribution.



Cotisations sociales

Pour les contrats monosupports en euro, à chaque capitalisation annuelle, les prélèvements

sociaux sont appliqués au taux en vigueur sur les rendements de l‟investissement crédité aux

assurés. Lors d‟un rachat total en cours d'année, des intérêts pour cette dernière année sont

calculés et donne aussi lieu à des cotisations sociales.

Par contre, aucun prélèvement social n'est effectué lors du décès du souscripteur.

Les cotisations sociales annuelles viennent ainsi diminuer la participation bénéficiaire destinée

aux assurés, ce qui a un impact sur les provisions mathématiques.

Notons que le taux en vigueur au 1ier janvier 2006 est de 11 % soit :

8.2 % pour la CSG (Contribution Sociale Généralisée);

0.5 % pour la CRDS (Contribution pour le Remboursement de la Dette Sociale);

2 % pour le prélèvement social ;

0.3 % de contribution additionnelle.

Impôt sur les sociétés

L‟impôt sur les sociétés, qui concerne de plein droit les sociétés de capitaux ainsi que certaines

associations et des organismes publics, se calcule à partir du résultat technique avant impôt.

Il est imputé en même temps que le résultat, c‟est-à-dire généralement en fin d‟année.

Le taux d‟imposition en vigueur est de 33,34 % (depuis le 1ier janvier 1993). Mais en général,

pour tenir compte du fait que certaines opérations ne sont pas taxées au même taux et que des

changements de taxation peuvent intervenir dans le temps, nous appliquons (les compagnies

d‟assurances) un taux d’imposition égal à 34,43% (non modélisé dans notre modèle).

Enfin, l‟impôt sur les sociétés ne fait pas partie du compte de résultat utilisé pour calculer la

participation aux bénéfices versée aux assurés.

2.3. Les possibilités de rachat ou d'avance en cours de contrat

En termes d‟épargne, l‟assurance vie est une opération de long terme. Mais en cas de besoin

d'argent avant le terme du contrat, il est possible de demander un rachat partiel ou total, dans la

mesure où le contrat comporte une valeur de rachat (article L.132-21 du Code des assurances). Il

peut toutefois exister des pénalités (exprimés en pourcentages des provisions mathématiques)

plus ou moins importantes selon la durée de vie résiduelle du contrat. Cette indemnité destinée à



l‟assureur ne peut cependant pas dépasser 5% de la provision mathématique et devient nulle à

l'issue d'une période de dix ans à compter de la date d'effet du contrat (article R.331-5 du Code

des assurances).

Rachat partiel

Il correspond au versement par l'assureur d'une partie de la provision mathématique. L'autre

partie reste investie dans le contrat.

Rachat total

Il met fin au contrat et permet à l‟assuré de récupérer la valeur de son fond avant le terme du

contrat.

Avance

Elle permet au souscripteur d‟obtenir une somme d‟argent sans diminuer l‟épargne du contrat.

L‟assureur accepte d‟avancer des fonds sous forme de prêt qui devra être remboursé par l‟assuré.

La somme susceptible d‟être empruntée est plafonnée à un pourcentage de la provision

mathématique. L'avance est consentie moyennant un taux d'intérêt et pour un montant variable

selon le contrat souscrit.

En cas d'avance sur un contrat, les versements effectués par l'assuré viennent d'abord rembourser

l'avance avant de pouvoir être ajoutés à la provision mathématique.

Notons qu'une avance ne s'octroie pas sur un contrat à primes périodiques.

2.4. Garanties complémentaires en cas de décès

Certains contrats offrent la possibilité d'opter pour une garantie décès destinée à pallier les

conséquences d'un décès qui surviendrait dans un contexte financier défavorable. Ce type

de garantie permet aux bénéficiaires du contrat de récupérer l'intégralité des versements effectués

par le souscripteur, déduction faite des éventuels rachats partiels. Différentes garanties existent,

telles que :

la garantie majorée : en cas de décès du souscripteur, la garantie majorée permet de

disposer d‟un capital au moins égal à un montant fixé à la souscription;

la garantie cliquet : ceci permet à l‟assuré de bénéficier d‟un plancher (en rapport avec

l‟historique des valeurs atteintes, par exemple le montant maximal atteint par

l‟épargne constituée) en dessous duquel le montant garanti en cas de décès ne peut

descendre, quelles que soient les évolutions ultérieures des marchés financiers ;



2.5. La revalorisation du contrat

Taux minimum garanti

Lors de la souscription d‟un contrat d‟épargne, l’assureur s’engage à garantir un taux de

rémunération de l’épargne. Ce taux minimum garanti est défini par le Code des assurances

dans l‟article A.132-3. Il est fixé à la souscription pour toute la durée du contrat et stipulé dans

les conditions générales du contrat.

Le taux minimum garanti peut être fixé annuellement ou semestriellement pour l‟année suivante.

Dans ce cas, « il ne peut excéder alors 85 p. 100 de la moyenne des taux de rendement des actifs

de l'entreprise calculés pour les deux derniers exercices ».

D‟autre part, le taux peut être variable « en fonction d'une référence fournie par un marché

réglementé et en fonctionnement régulier de valeurs mobilières ou de titres admis en

représentation des engagements réglementés des entreprises d'assurance ». Mais la garantie de ce

taux n‟est possible que pendant une durée maximale de 8 ans.

Participation aux bénéfices

Une partie de ce paragraphe a été repris d’une présentation du power point de Winter&Associes

D‟après l‟article L.331-3 du Code des assurances, « les entreprises d'assurance sur la vie ou de

capitalisation doivent faire participer les assurés aux bénéfices techniques et financiers qu'elles

réalisent, dans les conditions fixées par arrêté du ministre de l'économie et des finances.» Ces

profits sont distribués à l‟assuré par l‟intermédiaire de la participation aux bénéfices.

Comme son nom l‟indique, cette composante du taux de rendement est liée aux bénéfices

générés par l‟assureur (bénéfices financiers et techniques). La participation aux bénéfices est

créditée le 31/12 de chaque exercice et formera, avec le Taux Minimum Garanti, le taux de

rendement global de votre contrat.

La participation aux bénéfices correspond à la prise en compte de plusieurs notions :

Les engagements pris vis-à-vis des assurés ex ante sont en général prudemment évalués.

Les engagements vis-à-vis des assurés donnent lieu à une mutualisation technique et de

gestion : il convient de faire bénéficier les assurés des résultats de cette mutualisation.



Les actifs contre-partis des engagements vis-à-vis des assurés génèrent des produits

financiers dont il convient de faire bénéficier les assurés.

Ces deux effets doivent se conjuguer pour permettre d‟améliorer ex post la teneur des

garanties données aux assurés a priori.

Il faut distinguer plusieurs aspects dans la PB: l‟aspect réglementaire (fixé par le code des

assurances), l‟aspect contractuel (clause de PB à l‟intérieur du contrat), et l‟aspect

discrétionnaire (pour des fins commerciales, jusqu‟à 100 % de PB).

La participation aux bénéfices minimale réglementaire a été instaurée en droit français à la fin

des années 60. Elle a subi différentes réformes au cours des années 80 et 90, puis plus

récemment en 2007.

Un dispositif à caractère collectif global

Les entreprises d‟assurance doivent faire globalement participer leurs assurés aux bénéfices de

leurs gestions technique et financière pour les catégories de contrats concernés. Il n‟y a en

revanche aucune obligation d‟attribution à telle ou telle catégorie d‟assurés. L‟affectation en la

matière est libre.

Un dispositif au périmètre limitatif

Seules certaines catégories de contrats sont concernées par le dispositif collectif de participation

aux bénéfices, notre contrat Euro y fait parti.

Un dispositif sous contrainte temporelle

Les attributions doivent intervenir dans un délai d‟au plus 8 ans (article A331-9 du Code des

Assurances) à compter de leur constitution.

Un taux plancher fixé par la réglementation

Un taux de participation aux bénéfices s‟élève à 85 % des résultats financiers et 90 % des

bénéfices pour les résultats techniques et de gestion. Il n‟y a donc qu‟une contrainte globale et

pas contrat par contrat.

La réglementation fixe le montant minimal de distribution de la participation aux bénéfices

(article A.331-4 du Code des assurances). Il est déterminé globalement à partir d’un compte de

participation aux résultats. Ce dernier fait intervenir deux autres comptes :



un compte technique,

un compte financier.

Le compte technique comprend principalement :

Primes versées par les assurés + Intérêts techniques (en fonction du taux minimum garanti) - Prestations garanties (rachats, termes, décès) - Charges de provision + Reprises de provision - Frais de gestion et commissions + Participation incorporée aux provisions = Solde du compte technique

Le compte financier est précisé dans l‟article A.331-6 du Code des assurances. Il se présente de

la façon suivante :

Produits financiers - Part des résultats que l'entreprise a dû affecter aux fonds propres pour satisfaire au montant minimal réglementaire de la marge de solvabilité + Intérêts techniques = Solde du compte financier

Les produits financiers dont il est question ici se calculent en multipliant l‟encours moyen des

provisions techniques de l‟exercice par le taux de rendement réel des actifs (article A.331-7 du

Code des assurances).

Le taux de rendement réel des actifs est égal à (article A.331-7 du Code des assurances):

Produits de placements netsTaux de rendement réel des actifs

Montant de placements

Où

= Produits de placement - Charges de placement + Plus-values sur cessions d’éléments d’actifs - Moins-values sur cession d’éléments d’actifs

= Montant moyen des placements au cours de l’exercice + Autres éléments d’actifs pouvant être admis en représentation des provisions techniques - Valeurs remises par le réassureur

PRODUITS DE PLACEMENTS NETS

MONTANT DE PLACEMENTS



L‟ensemble de ces données nous permet alors d‟établir le compte de participation aux résultats

qui met en évidence le montant minimal de la participation bénéficiaire à attribuer aux assurés :

85 % du solde du compte financier + 90 % du solde du compte technique - Intérêts techniques - Participation incorporée aux provisions - Solde de réassurance = Participation bénéficiaire

Dans la pratique, la participation aux bénéfices peut être effectuée (article A.331-9 du Code des

assurances) :

par un versement en espèces (peu pratiqué),

par une incorporation directe aux provisions mathématiques,

par une affectation partielle ou totale à la provision pour participation aux excédents.

Il est à noter que les sommes portées à la provision pour participation aux excédents doivent être

affectées à la provision mathématique ou versées aux assurés dans un délai de huit ans.

Donc ce dispositif laisse une marge de manœuvre significative à l‟entreprise d‟assurance dans

l‟affectation de ses participations aux bénéfices entre contrats. Le taux d‟attribution est

relativement important en droit et plus encore en fait, du fait de la concurrence en épargne.

3. Dispositions réglementaires de l’assureur

Nous venons de présenter de manière globale l‟ensemble des éléments qui caractérisent un

contrat d‟épargne. Il s‟agit à présent de comprendre le cadre réglementaire qui s‟applique à ce

genre de contrats. Nous allons voir les principales dispositions (actuelles) auxquelles sont

soumises les compagnies d‟assurance proposant des contrats d‟épargne, notamment en ce qui

concerne la marge de solvabilité et la composition des actifs. Nous décrirons ensuite les

mécanismes qui jouent un rôle lors de la comptabilisation, en particulier pour le

provisionnement. Ceci nous permettra enfin d‟établir un compte de résultat technique simplifié.

3.1 Marge de solvabilité

Afin de garantir le respect des engagements de l‟assureur et de protéger les intérêts des assurés,

la réglementation impose aux entreprises pratiquant des opérations d’assurance et de



capitalisation, de disposer à tout moment d’une marge de solvabilité suffisante. L‟objectif

est d‟amortir les effets d‟éventuelles variations économiques défavorables liées, par exemple,

aux risques de placements ou à la mortalité.

L‟article R.334-13 du Code des assurances définit la marge de solvabilité réglementaire ou

l‟exigence minimale de marge de solvabilité (suivant les dispositions du système de régulation

Solvabilité I). Elle correspond au seuil en dessous duquel la richesse de la compagnie ne doit

pas descendre (nous entendons ici par richesse la situation nette comptable et les plus values

latentes).

En assurance vie, ce montant minimal est en relation avec l‟activité de la société. Nous

distinguons :

le risque lié aux garanties décès (reflété par les capitaux garantis en cas de décès),

l‟ensemble des autres risques (reflétés par les provisions techniques).

L‟exigence minimale de solvabilité se calcule donc de la manière suivante :

4 % des provisions nettes de réassurance, ramené à 1,00% si le risque de placement est transféré à l’adhérent (contrats en Unités de Compte, sans garantie plancher), en intégrant un ratio destiné à tenir compte forfaitairement de la réassurance + 0,3 % des capitaux sous risque non négatifs, nets de réassurance

= Marge de solvabilité

Les capitaux sous risque désignent les capitaux décès, déduction faite de la provision

mathématique du risque principal (provisions mathématiques et provisions de gestion).

3.2 Composition de l’actif

Pour produire le revenu qui sera versé à l‟assuré, l‟assureur va faire fructifier les versements du

souscripteur en les plaçant soit dans un actif général (enveloppe qui gère les primes pour

l‟ensemble des contrats) soit dans un actif cantonné (enveloppe qui gère les primes du contrat).

Les sociétés d‟assurance détiennent des actifs d‟un montant au moins équivalent aux

engagements réglementés (i.e. les provisions techniques). Ces actifs admis en représentation des

engagements réglementés sont soumis à certaines contraintes légales (articles R.332-1 et

R.332-2 du Code des assurances). Les placements doivent:

être choisis dans une liste détaillée par la réglementation,



respecter les règles de localisation géographique et d‟adossement,

respecter les règles de limitation, de dispersion, de diversification,

respecter les règles d‟évaluation,

être soumis à la surveillance permanente de l‟autorité de contrôle.

Le but est de satisfaire différents principes répondant aux objectifs suivants :

la suffisance,

la rentabilité,

la diversification,

la sécurité,

la congruence (l‟unité monétaire de l‟actif doit être équivalente à l‟unité monétaire de

l‟engagement qu‟il sert à couvrir),

la liquidité (les actifs doivent être mobilisables à très brève échéance si nécessaire).

3.3 Provisionnement

La directive européenne de 1992 pose le principe selon lequel les entreprises pratiquant des

opérations d‟assurance et de capitalisation « constituent des provisions techniques dont le niveau

leur permet d‟assurer le règlement intégral de leurs engagements ». Les provisions techniques

doivent donc être suffisantes (en volume) pour faire face au paiement de tous les engagements

qu‟elles représentent et ainsi garantir la protection des assurés.

Les provisions techniques font partie des engagements réglementés (tout comme le dépôt de

garantie, les réserves d‟amortissement, les dettes privilégiées et le passif social) et se distinguent

par conséquent des fonds propres (somme du capital social, du résultat non distribué de

l‟exercice et des réserves). En tant que charge comptable, elles apparaissent au passif du Bilan.

L‟article R.331-3 du Code des assurances énumère l‟ensemble des provisions techniques en

assurance vie.

Provision mathématique (PM)

Dans les contrats traditionnels d‟assurance, la PM est estimée suivant une vision prospective, en

application des principes de prudence propres à l‟activité d‟assurance : nous n‟examinons que ce

qui se passe après l‟époque d‟évaluation, anticipant l‟ensemble des phénomènes ayant un impact



sur les flux, notamment en terme de revalorisation des engagements (l‟inflation par exemple) ou

de modification des fréquences de survenance des sinistres. La PM correspond alors à la

différence entre d‟une part la valeur actuelle probable des engagements pris par l‟assureur

(prestation due) et d‟autre part, la valeur actuelle probable des engagements pris par l‟assuré

(paiement des cotisations).

Dans un contrat d‟épargne, nous adoptons une vision rétrospective. En effet, la PM correspond

à « l‟encours », à savoir l‟épargne acquise par les assurés qui est revalorisée chaque année

suivant les dispositions contractuelles. De ce fait, la variation de la PM est égale à la somme des

primes nettes versées, des intérêts, de la participation aux bénéfices, le tout diminué des

chargements et des prestations versés aux assurés (en rapport avec les rachats, les prestations

décès et les contrats arrivant à maturité).

Provision pour participation aux excédents (PPE) ou aussi appelée provision

pour participation aux bénéfices (PPB)

Comme nous l‟avons vu, les entreprises d‟assurance font participer leurs assurés et les

bénéficiaires désignés aux bénéfices techniques et financiers. La provision pour participation aux

excédents (PPE) est la provision destinée à prendre en charge le montant des participations aux

résultats attribués aux assurés lorsque ces excédents ne sont pas payables immédiatement après

la liquidation de l‟exercice qui les a produits.

La participation aux résultats concerne :

les intérêts techniques en fonction du taux minimum garanti,

la participation aux bénéfices.

Toutefois, toute somme affectée à la PPE devra être affectée à la provision mathématique ou

versée aux assurés dans un délai de huit ans. La PPE fonctionne en fait comme une réserve de

participation qui permet soit de lisser les rendements des contrats et d‟offrir une rémunération

stable, soit de pallier les résultats d‟une année difficile.

Provision globale de gestion (PGG)

Elle est destinée à couvrir des charges de gestion future non couvertes par des chargements sur

primes ou par des prélèvements sur produits financiers. Elle répond au principe de prudence



selon lequel les pertes futures doivent être prises en compte et estimées dès qu‟elles sont

connues, afin que les coûts futurs des contrats réalisés ne pèsent pas sur les nouvelles générations

de contrat (A.331-1-1 du Code des assurances).

Provisions concernant la gestion des placements

Réserve de capitalisation (RdC)

Elle permet de se parer à la dépréciation des valeurs comprises dans l'actif de l'entreprise et

à la diminution de leur revenu. Elle n‟est impactée qu‟en cas de cession des parts de valeurs

amortissables réglementées à l‟exception des obligations à taux variable (article R.332-2 du

Code des assurances). Ce sont surtout des placements obligataires à taux fixe qui sont concernés.

L‟objectif est d‟égaliser les rendements suivants :

- le rendement actuariel des titres après prélèvement ou versement à la RdC,

- le rendement attendu lors de l‟acquisition des titres.

Les opérations concernées sont les ventes et les conversions de titres.

Ainsi, les plus-values réalisées sont affectées à la RdC et les moins-values lui sont imputées.

Notons que les plus-values ou les moins-values s‟apprécient sur la différence entre le prix de

cession (prix de vente net de frais ou valeur de conversion selon le cas) et la valeur actuelle des

flux futurs. Cette valeur actuelle est à calculer au jour de la vente du titre. Elle est obtenue par

actualisation des flux futurs (coupons et remboursement du principal à l‟échéance), au taux

actuariel constaté lors de l‟acquisition du titre (taux qui égalise au moment de l‟achat du titre, le

prix d‟acquisition et la valeur obtenue par l'actualisation de l‟ensemble des flux à venir relatifs à

ce titre).

Cette réserve est donc destinée à lisser les résultats financiers des placements en cas de

variation des taux. Elle fait de plus partie des éléments constitutifs de la marge de

solvabilité.

Provision pour aléas financiers (PAF)

Elle est à constituer pour compenser une éventuelle baisse de rendement des actifs par rapport à

des engagements de taux garantis sur des contrats autres qu‟en unités de compte. La méthode de

provisionnement est décrite dans l‟article A.331-2 du Code des assurances.



En effet, si lors de l‟inventaire,

intérêts tecniques +minimum garanti de participation aux excédents80 % taux de rendement réel des actifs <

montant moyen des PM constituées

et si PM recalculées avec 80% du taux de rendement des actifs > PM à l‟inventaire, alors une

dotation est affectée à la PAF.

Le montant de la dotation est égal à la différence entre :

- les PM recalculées avec 80 % du taux de rendement réel des actifs et

- les PM à l‟inventaire.

Cette provision est reprise dans les comptes de l‟entreprise à l‟inventaire suivant.

Le taux de rendement réel des actifs est calculé conformément à l‟article A.331-7 du Code des

assurances (voir la partie concernant la revalorisation du contrat d‟épargne et la détermination de

la participation bénéficiaire).

Provision pour risques d’exigibilité (PRE)

Cette provision est à constituer si l‟inégalité suivante est réalisée :

Valeur de réalisation globale des placements au bilan < Valeur comptable des placements au bilan

(action et immobilier)

La provision à constituer est égale à la différence constatée entre les deux évaluations et est

destinée à faire face à une insuffisance de liquidité des placements, notamment en cas de

modification du rythme de règlement des sinistres (article R.331-5-1 du Code des assurances).

Provision pour dépréciation durable (PDD)

Il s‟agit d‟une méthode propre à l‟assurance française, dérogatoire du droit commun : les valeurs

amortissables sont supposées pouvoir être cédées rapidement, ce qui implique un certain

provisionnement des moins-values. L‟évaluation de la provision pour dépréciation à caractère

durable se fait ligne à ligne et peut prendre en compte, par exemple, l‟évolution de marché ou

l‟analyse de la structure financière de l‟émetteur du titre.

Ces provisions pour dépréciations durables ne sont cependant pas définies clairement par la

réglementation et sont appliquées en partie à l‟appréciation de l‟assureur. Ceci résulte du

caractère subjectif lié au seuil de dépréciation et au montant à provisionner.



3.4 Compte de résultat

Le compte de résultat fait partie, de même que le Bilan et des diverses annexes comptables, des

documents comptables de synthèse qui sont destinés à l'information financière des personnes,

tant internes à l'entreprise (direction, personnel...) qu'externes à celle-ci, mais ayant une situation

d'ayant droit (fisc, actionnaires, banquiers...).

Le compte de résultat présente sous la forme d‟un tableau l’ensemble des charges et des

produits issus de l’activité de la société. Il est établi pour une période donnée, dite exercice

comptable, et permet de calculer le résultat net de l'exercice, qui peut être un bénéfice (les

produits excèdent les charges) ou un déficit (les charges excèdent les produits). L‟activité de

l‟assureur se résume donc de la manière suivante :

COMPTE DE RESULTAT TECHNIQUE

CHARGES PRODUITS

Prestations versées : rachats, termes, décès Frais de gestion Commissions Cotisations sociales Intérêts versés Participation aux bénéfices versée Charges de provisions

Primes des assurés Produits financiers Intérêts techniques Reprises de provisions

Résultat (si négatif) avant impôt Résultat (si positif) avant impôt



PARTIE II. Modélisation Stochastique

Après cette mise en jambe théorique à caractère littéraire, cette seconde partie, est consacrée à

la présentation d‟une modélisation stochastique qui peut être utilisée en assurance vie lors de la

valorisation d‟un portefeuille de contrats d‟épargne et ce, dans le cadre du calcul du Best

estimate pour une compagnie d‟assurance donnée ne proposant que des contrats euro.

Pour ce faire, nous proposerons un chapitre servant de boîte à outil à la modélisation

stochastique. Puis nous développerons dans le chapitre qui suit une modélisation complexe de

gestion actif-passif, tout en restant précis afin de pouvoir réaliser un outil fonctionnel sur Visual

Basic. Enfin dans un dernier chapitre nous réaliserons des tests et analyserons les résultats issues

du modèle présenté.



Chapitre 3

Boîte à outils de la modélisation stochastique

L‟objet du présent chapitre est de détailler les différents modèles choisis pour la mise en place de

l‟application illustrant ce mémoire, et en particulier de fournir un modèle stochastique d‟actif.

Le modèle « actif stochastique » doit être conçu comme une boîte à outil générique capable de

générer des trajectoires simulées pour les différents actifs composant le portefeuille.

Définir une modélisation stochastique opérationnelle nécessite la sélection de modèles pour les

différents types de placements et le choix de leur discrétisation afin d‟être en mesure de simuler

l‟évolution des différents cours. Cette simulation passe par le choix d‟un générateur de nombres

aléatoires.

Il faut toutefois porter une attention particulière dans le choix de ce générateur car celui-ci

conditionne la performance des simulations : le générateur doit être fiable, c‟est-à-dire

efficace avec une grande périodicité (i.e. générer un nombre de valeurs différentes avant que la

séquence ne se répète). C‟est pour cela que nous avons consacré une partie à la génération des

nombres aléatoires.

1. Générateur de nombres aléatoires

Toute simulation de réalisations des différentes lois de probabilité nécessite d‟être capable de

générer des nombres aléatoires distribués selon la loi uniforme sur [0,1]. Le problème qui se pose

ici est de simuler une réalisation d‟une variable aléatoire réelle U distribuée selon la loi uniforme

continue sur l‟intervalle [0,1], de fonction de répartition donnée par :

0 si 0

( ) si 0 1

1 si 1

U

u

F u u u

u

on notera [0,1]( ) 1 ( ) sa densité.Uf u u



1.1. Générateur de nombres aléatoires d’une loi uniforme

Simulation à partir du générateur congruentiel Rnd de Visual Basic14

(langage de développement

Microsoft).

Mise en œuvre opérationnelle

Données Commentaires

NbLignes Nombre de lignes

NbColonnes Nombre de colonnes

tdRealisationsVariablesUniformes() Tableau de stockage des résultats

Paramètres Commentaires

Rnd Fonction random de Excel

Résultats Commentaires

procRealisationsVariablesUniformes

Procédure qui génère NbLignes x NbColonnes réalisations de

v.a. de loi U[0;1] et les stocke dans le tableau

tdRealisationsVariablesUniformes

Formule de remplissage du tableau sous VB

Après avoir cité une simulation des réalisations de la loi uniforme, nous pouvons présenter une

méthode classique de simulation de réalisation d‟une loi normale.

1.2. Générateur des réalisations de la loi Normale

1.2.1. Méthode de l’inversion de la fonction de répartition (Algorithme de Moro)

Classiquement, c‟est l‟une des méthodes les plus utilisées en simulation, au moins lorsque la

puissance de l‟outil informatique permet les calculs, et que l‟inversion de la fonction de

répartition est possible, ce qui nécessite le plus souvent une expression analytique simple de cette

fonction.

Propriété : Si la fonction de répartition F est continue et strictement croissante sur [0;1], alors

elle admet une fonction réciproque notée F-1.

14 Identique à la fonction Alea de Microsoft Excel

tdRealisationsVariablesUniformes(i, j) = Rnd



L‟existence de la fonction de répartition inverse (ou réciproque) étant acquise, son utilisation est

légitimée par le fait que si U est une variable aléatoire (v.a.r.) suivant la loi uniforme sur

l‟intervalle [0;1] alors la v.a.r. F-1

(U) a pour fonction de répartition F.

Ainsi, pour simuler un n-échantillon i.i.d. d‟une loi ayant pour fonction de répartition F, il suffit

de simuler n réalisations indépendantes d‟une v.a.r. de loi uniforme sur l‟intervalle [0;1], puis

d‟appliquer l‟inverse de la fonction de répartition à chacune de ces valeurs. Ceci montre tout

l‟enjeu d‟une simulation “optimale” des réalisations d‟une loi uniforme, puisque les seules

approximations résident dans cette opération quand l‟inversion de la fonction de répartition est

possible de manière analytique.

Loi Normale N(μ;σ2) : Algorithme de De Moro

Comme nous le verrons dans la suite de cette étude, il existe de très nombreux algorithmes de

simulation de la loi Normale. Après avoir présenté la fonction de répartition de cette loi, nous

développerons ici l‟un des algorithmes les plus performants de simulation existant pour obtenir

des échantillons gaussiens.

Les paramètres de la loi Normale sont μ réel, et σ > 0.

Définition : Fonction de répartition de la loi Normale

La fonction de répartition F de la loi Normale est donnée par :

( )x

F x

où Φ est la fonction de répartition de la loi Normale centrée réduite, N(0;1),

avec :

2

21

( )2

tx

x e dt

Le problème de la simulation de N(μ;σ2) peut donc être vu comme le problème de l‟inversion de

la fonction de répartition de N(0,1). En effet, si Y ~ N(0;1), alors X = μ + σY suit N(μ;σ2).

L‟inverse de la fonction de répartition de la loi Normale centrée réduite n‟étant pas aisément

calculable, l‟algorithme de De Moro permet d‟approcher le résultat par une méthode numérique.

Il est à noter que cette méthode de simulation est l‟une des plus précises parmi l‟ensemble des

algorithmes existants, notamment au niveau de la queue de distribution.



Définition : Algorithme de De Moro

Soit y la valeur de loi uniforme générée, alors y = Ô(x) d‟après ce qui précède.

Posons z = y - 0,5.

Si 0.42 z alors x est approché par :

32

0

42

0

i

i

i

i

i

j

a z

x z

b z

Dans le cas contraire, si 0.42 z , alors :

80

0

( )2

i i

i

cx c T t

, avec signe de z ; et

1 2

12 ln ln

2t k z k

La fonction 8

0

0

( ) ( )2

i i

i

cf t c T t

pouvant être approchée par l‟algorithme suivant :

Soit d10 =0 et d9 =0

Soient di les réels déterminés par la relation récursive :

di= 2 tdi+1- di+2+cj pour i = 8, 7, …, 1.

Alors on a 0

1 2( )2

cf t td d .

Les valeurs ai, bi, ci, ki sont données en annexe.


Algorithme de Moro


y Représente une case du tableau tdRealisationsVariablesUniformes(i, j)


ai, bi, ci, ki Les valeurs ai, bi, ci, ki sont données en annexe




dFdRNormaleInverse_deMoro

Procédure qui permet de trouver le y (qui suit une N(0,1)) décrit plus

haut à partir de la loi uniforme généré et stockée dans le tableau

tdRealisationsVariablesUniformes()

Algorithme sur Visual Basic

1.2.2. Simulation des variables gaussiennes


dMu On veut une loi normale (0,1) donc dMu=0

dSigma On veut une loi normale (0,1) donc dSigma=1

NbLignes Nombre de lignes

NbColonnes Nombre de colonnes

tdRealisationsVariablesGaussiennes() Tableau de stockage des résultats, voir la formule plus bas


procRealisationsVariablesUniformes

Procédure qui génère NbLignes x NbColonnes réalisations de v.a.

de loi U[0;1] et les stocke dans le tableau

tdRealisationsVariablesUniformes

z = y - 0.5

If Abs(z) < 0.42 Then

r = z ^ 2

x = z * (((a4 * r + a3) * r + a2) * r + a1) / ((((b4 * r + b3) * r + b2) * r + b1) * r + 1)

Else

If z > 0 Then r = Log(-Log(1 - y))

If z <= 0 Then r = Log(-Log(y))

r0 = c7 + r * (c8 + r * c9)

r1 = c4 + r * (c5 + r * (c6 + r * r0))

x = c1 + r * (c2 + r * (c3 + r * r1))

If z <= 0 Then x = -x

End If

dFdRNormaleInverse_deMoro = x



dFdRNormaleInverse_deMoro

Procédure qui permet de trouver le y (qui suit une N(0,1)) décrit

plus haut à partir de la loi uniforme généré et stockée dans le

tableau tdRealisationsVariablesUniformes()

tdRealisationsVariablesUniformes(i, j) Tableau de stockage


procSimuleVariablesGaussiennes

Procédure qui génère NbLignes x NbColonnes réalisations d‟une

v.a. de loi N[dMu;dSigma] et les stocke dans le tableau

tdRealisationsVariablesGaussiennes()

Formule pour remplir le tableau :

1.3. Méthode de Box Muller

C‟est sûrement la méthode la plus connue de simulation de variables aléatoires distribuées

normalement. Elle produit des couples normalement distribués, de corrélation nulle. Cet

algorithme est assez simple à mettre en œuvre, mais nous préférerons implémenter l‟algorithme

de Moro (justifié plus bas).

Proposition : Soient U1 et U2 deux variables aléatoires de loi uniforme [0,1]. Alors les variables

aléatoires 1 1 22ln( ) cos(2 )X U U et 2 1 22ln( ) sin(2 )X U U

Démonstration : Par transformation

1 1 2

2 1 2

2ln( ) cos(2 )

2 ln( ) sin(2 )

X U U

X U U

2 21 2

1( )

21

212

1

1tan

2

X X

U e

XU

X

a pour jacobien 2 2

1 212

( )2

1

2

X X

J e

qui

est la densité d‟une loi normale bivariée.

Lors de la simulation d‟une trajectoire, on ne doit considérer que les valeurs prises par l‟une ou

par l‟autre de ces variables. Les autres valeurs sont utilisées pour la simulation d‟une autre

trajectoire du processus.

Au global, après avoir testé de nombreux algorithmes de simulation d‟échantillon normaux, il

nous est apparu que la méthode de Moro était la meilleure, car elle est efficace même pour un

nombre réduit de valeurs générées, ce qui est fort appréciable au niveau du temps de calcul.

tdRealisationsVariablesGaussiennes(i,j)=dMu+dSigma*dFdRNormaleInverse_

deMoro(tdRealisationsVariablesUniformes(i, j))



Après avoir généré des réalisations de la loi normale, nous pouvons alors modéliser l‟actif.

2. Modélisation de l’actif

L‟objet de cette partie est de présenter les modèles d‟actifs stochastiques retenus pour projeter

deux classes d‟actifs : les obligations (on se contentera d‟une sorte d‟obligation perpétuelle, en

simulant des taux de coupons), et les actions.

On retient des modèles de diffusion en temps continu pour modéliser l‟évolution des prix des

actifs pris en compte.

Pour les obligations, nous nous sommes tournés vers la démarche de VASICEK (1977) qui permet

de modéliser le taux d‟intérêt court terme.

Pour les actions, nous avons retenu le modèle de BLACK et SCHOLES (1973) avec présence d‟une

corrélation avec les taux.

Compte tenu de leur large utilisation dans le domaine financier et de leur facilité d‟utilisation, on

retient des modèles de diffusion en temps continu pour modéliser l‟évolution des prix des actifs

pris en compte. La mise en œuvre pratique de ces modèles implique une étape de discrétisation

présentée ci-dessous.

Cette partie est tirée de l’ouvrage de F.Planchet, P.Thérond, J.Jacquemin : Modèles financiers

en assurances, Analyses de risques dynamiques ; Economica (2005)

2.1. Discrétisation exacte de processus continus

2.1.1. Préambule

Les différents titres de placements vont suivre des dynamiques continues du type :

0

( , ) ( , )t t t tdX X t dt X t dB

X x

où tB est un mouvement brownien dans l‟univers historique. Le processus d‟Itô permet de voir

cette équation comme une formulation symbolique de :

0 0

( , ) ( , )

t t

t s s sX x X s ds X s dB



Dans la suite on notera le pas de discrétisation, c'est-à-dire le temps qui s‟écoule entre deux

instants où l‟on va simuler le processus. T désignera l‟horizon de projection. X sera le processus

qu‟on souhaite simuler et 1; /k k T

X le processus discret effectivement utilisé pour simuler

des réalisations de X aux instants de discrétisations k où 1; /k T . Enfin désignera une

variable aléatoire de loi N(0,1).

2.1.2. Définition et Propriété

Un processus 1; /k k T

X est une discrétisation exacte du processus X si

0, 1; / L

k kk T X X .

Un processus X admet une discrétisation exacte dès lors que l‟on peut résoudre

explicitement l‟équation différentielle stochastique (EDS) qui lui est associée.

C‟est notamment le cas du mouvement brownien géométrique retenu par BLACK et SCHOLES

pour modéliser le cours d‟une action ou encore celui retenu par VASICEK pour modéliser le taux

d‟intérêt instantané.

2.1.3. Processus d’Ornstein – Ulhenbeck

Dans le cas du modèle de VASICEK, le taux instantané r est solution de l‟EDS

( )t t tdr a b r dt dB . La solution s‟écrit dans ce cas :

0

0

(1 )

tat at at as

t sr r e b e e e dB

Les propriétés de l‟intégrale d‟une fonction déterministe par rapport à un mouvement brownien

conduisent à la discrétisation exacte :

21(1 )

2

aa a

t te

r r e b ea

2.1.4. Mouvement brownien géométrique

Intéressons nous à présent au cas du mouvement brownien géométrique :

tt

t

dSdt dB

S



Ce processus admet une discrétisation exacte :

2

0 0exp2

t tS S t B B

En choisissant un pas de discrétisation , on obtient le schéma récursif exact suivant :

2

exp2

t tS S

2.2. Modèles retenus

2.2.1. Le modèle de taux d’intérêt de Vasicek

2.2.1.1. Hypothèses et Notations

Les hypothèses de base sur lesquelles reposent ces modèles sont les hypothèses classiques

d‟absence de coût de transaction et de titres parfaitement divisibles ; on suppose également que

les agents sont rationnels et disposent du même niveau d‟information, que les marchés sont

efficients (ils ne permettent pas de possibilité d‟arbitrage).

On fait alors l‟hypothèse que le taux instantané r suit un processus de diffusion caractérisé par

l‟équation suivante : ( ) ( , ) ( , ) ( )dr t r t dt r t dW t

Avec dr la variation du taux r au cours de l‟instant dt , ( , )r t la moyenne des changements

instantanés du taux par unité de temps (ou coefficient de dérive), ( , )r t l‟écart-type des

changements instantanées (ou coefficient de diffusion, ou encore volatilité) et ( )W t un

mouvement standard vérifiant : 20 et t tE dW E dW dt

2.2.1.2. Le modèle

L‟une des premières modélisations stochastiques des taux a été développée par VASICEK [1977].

Cette modélisation du taux instantané à court terme utilise le processus auto régressif (voir

section 2.1.3.) défini comme suit :

( )t t tdr a b r dt dB

où les paramètres a, b et (tous positifs) représentent respectivement le taux limite (valeur

moyenne à long terme), la vitesse de convergence et la volatilité. Et tdB correspond à un

processus de WEINER standard.



Nous avons vu selon le Processus d‟Ornstein – Ulhenbeck une solution discrétisé du modèle de

VASICEK, tel que :

21(1 )

2

aa a

t te

r r e b ea

2.2.2. Modélisation des actions

2.2.2.1. Notations

- tS le cours de l‟action à la date t et 0S le cours initial ;

- Aq le taux continu de dividende – constant ;

- A le rendement continu espéré de l‟action ;

- A la volatilité du cours.

2.2.2.2. Présentation du modèle

BLACK et SCHOLES modélisent le cours des actions dans l‟univers historique par la dynamique :

= +t

A A At

dSdt dz

S , où A = espérance de rentabilité de l‟action, A = volatilité de l‟action et

Adz est un mouvement brownien standard sous la probabilité historique.

Dans l‟univers risque-neutre, cette dynamique devient :

( ) ˆ= ( ) - +t

A A At

dSr t q dt dz

S , avec Aq = taux dividende de l‟action et ( )r t le taux sans risque et

- ( )ˆ = +A A

A

r tdz dz dt

: mouvement brownien sous la probabilité risque neutre. Et

- ( )

A

r t

=prix

de marché du risque.

En effet, en univers risque neutre, le rendement de tout actif correspond au taux sans risque, alors

que dans le monde réel, ce rendement est égal au taux sans risque plus une prime de risque.

Une hypothèse réaliste consiste à supposer que le cours est corrélé avec l‟évolution des taux

d‟intérêts. Dès lors :

ˆ ˆ× =A Adz dz dt ,



où z est le mouvement brownien qui régit l‟évolution des taux d‟intérêt dans l‟univers risque

neutre; a le coefficient de corrélation.

Il vient (décomposition de Choleski, en annexe) :

2ˆ ˆ( ) 1tA A A A A A

t

dSr t q dt dz dz

S ,

où z est un mouvement brownien indépendant de az .

Par le lemme d‟Îtô (en annexe), on obtient :

22

00

ˆ ˆexp ( ) 12

tA

t A A A A A AS S r u q du dz dz

.

Ce processus peut se discrétiser par :

1 1 1

2

1Exp ( ) 12i i i i i i

A AAt t i A i i A A t t A t tS S r t q t t B B B B

où , et i i

At tB B désignent respectivement les valeurs simulées des browniens régissant les

dynamiques des taux, et de l‟action.

Remarque :

- Dans notre modèle 1i it t vaut 1/12

- On peut réaliser le même type de modèle pour l‟immobilier.

2.3. Mise en œuvre opérationnelle


S0 Valeur initial de l‟action, par défaut =100

Oblig0 Valeur initial du taux de coupon, calibré par l‟utilisateur

dSigmaA, dRhoA, dqA A , a , Aq (voir plus haut modèle B&S)

a ,b ,dSigmaO Voir plus haut modèle de Vasicek


tdBrowTaux Mouvement brownien du taux de marché

tdBrowAction Mouvement brownien du cours de l‟action

tdBrowOblig Mouvement Brownien du taux coupon



dFdRNormaleInverse_deMoro Procédure qui permet de trouver une réalisation qui suit une N(0,1) à

partir de la loi uniforme généré

Résultats

Commentaires

tdCouponOblig Simulation du taux coupon

tdVMAction Représente tS le cours de l‟action à la date t et 0S le cours initial ;

tdResultatSimulationActif Tableau qui stocke les simulations

Code sur VB

Call procSimuleVariablesGaussiennes(tdRealisationsVariablesGaussiennesCentreesReduites(),

Entree.Parametre.lNbSimulationsActif, MoisDateterme, 0, 1)

For ia = 1 To Entree.Parametre.lNbSimulationsActif

S0 = 100

Oblig0 = Range(csTauxCouponInitial)

For t = 1 To MoisDateterme

If t = 1 Then

tdBrowTaux(ia, 1) = 0

tdBrowAction(ia, 1) = 0

tdBrowOblig(ia, 1) = 0

tdVMAction(ia, 1) = S0

tdCouponOblig(ia, 1) = Oblig0

Else

tdBrowTaux(ia, 1) = tdBrowTaux(ia, t - 1)

tdBrowAction(ia, 1) = tdBrowAction(ia, t - 1)

tdBrowOblig(ia, 1) = tdBrowOblig(ia, t - 1)

tdVMAction(ia, 1) = tdVMAction(ia, t - 1)

tdCouponOblig(ia, 1) = tdCouponOblig(ia, t - 1)

End If

'- Simule tx de coupon pour les obligations perpétuelles

tdBrowOblig(ia, t) = tdBrowOblig(ia, 1) + tdRealisationsVariablesGaussiennesCentreesReduites(ia, t)

tdCouponOblig(ia, t) = tdCouponOblig(ia, 1) * Exp((-a) * (1 / 12)) + b * (1 - Exp((-a) * (1 / 12))) +

dSigmaO * ((1 - Exp(-2 * a * (1 / 12))) / (2 * a)) ^ 0.5 * (tdBrowOblig(ia, t) - tdBrowOblig(ia, 1))

'- Simule les actions avec une corrélation du taux de marché

tdBrowTaux(ia, t) = tdBrowTaux(ia, 1) + tdRealisationsVariablesGaussiennesCentreesReduites(ia, t)

tdBrowAction(ia, t) = tdBrowAction(ia, 1) + tdRealisationsVariablesGaussiennesCentreesReduites(ia, t)

tdVMAction(ia, t) = tdVMAction(ia, 1) * Exp((tdCouponOblig(ia, t) - dqA - (dSigmaA ^ 2 / 2)) * (1 / 12) +

dSigmaA * (dRhoA * (tdBrowTaux(ia, t) - tdBrowTaux(ia, 1)) + (1 - dRhoA) ^ 0.5 * (tdBrowAction(ia, t) -

tdBrowAction(ia, 1))))

tdResultatSimulationActif(ia, t, 1) = tdVMAction(ia, t)

tdResultatSimulationActif(ia, t, 2) = tdCouponOblig(ia, t)

Next t

Next ia



3. Construction d’une table de mortalité mensuelle à partir d’une annuelle

Au départ nous avons une table de mortalité annuelle (TH 00-02) tel que :

Voici le schéma de construction :

Formules :

1x x xd l l , représente le nombre de décès sur l‟année x.

1 /12Mensuelx x xl l d , on prend la valeur arrondie pour obtenir des entiers.

Nombre de personne à

l‟âge x Age Lx (annuel)

0 100 000

1 99 511

Table de mortalité annuelle

Mois Age Lx (annuel) dx dx/12Lx

MensuelQx

0 0,0 100 000 489 40,75 100 000 0,041%

1 0,1 100 000 489 40,75 99 959 0,041%

2 0,2 100 000 489 40,75 99 919 0,041%

3 0,3 100 000 489 40,75 99 878 0,041%

4 0,3 100 000 489 40,75 99 837 0,041%

5 0,4 100 000 489 40,75 99 796 0,041%

6 0,5 100 000 489 40,75 99 756 0,041%

7 0,6 100 000 489 40,75 99 715 0,041%

8 0,7 100 000 489 40,75 99 674 0,041%

9 0,8 100 000 489 40,75 99 633 0,041%

10 0,8 100 000 489 40,75 99 593 0,041%

11 0,9 100 000 489 40,75 99 552 0,041%

12 1,0 99 511 38 3,17 99 511 0,003%

Construction

Table de mortalité (mensuelle)



Chapitre 4 Application pour un portefeuille de contrats d’épargne en euro

Le « Best estimate » se définit comme la valeur actuelle probable dans un univers risque-neutre

des flux futurs, actualisés selon la courbe des taux sans risque, et prenant en compte une

information récente, crédible et réaliste.

Le calcul consiste à simuler des réalisations des flux de prestations futures (ia scénarios, avec

ia = 0,1,…,IA). L‟actualisation au taux sans risque de ces flux fournit une réalisation de la valeur

en 0 des prestations futures. On simule une trajectoire d‟actif. Cette trajectoire conduit à une

gestion des actifs qui va déterminer la revalorisation du contrat. Cette revalorisation permet

d‟établir une loi de rachat, qui évalue le comportement probable de l‟individu, et ainsi obtenir

une trajectoire du passif. Tout se ramène à calculer la date de service de la prestation (rachat,

décès ou terme), et le montant de cette prestation.

L‟objectif du présent chapitre est de fournir, un descriptif fonctionnel d‟une modélisation

stochastique sous la réglementation actuelle de l‟évaluation du Best estimate d‟un portefeuille de

contrat euro. Il nous permettra alors de constater les résultats principaux suivants :

- la sous évaluation du BE par le biais d‟un modèle déterministe face au modèle

stochastique ;

- l‟impact et la place primordiale du risque financier, jusque là négligé par les précédents

modèles, face au risque technique ;

- le rôle et l‟impact de la PB discrétionnaire dans le calcul du BE.

Cette modélisation intègre un modèle de gestion d‟actif, un modèle d‟attribution de participation

aux bénéfices et un modèle de comportement des assurés vis à vis du rachat de contrat, indexés

sur une modélisation de l‟actif.



Dans un premier temps, nous allons décrire les hypothèses de l‟application suivie de

l‟organigramme général du déroulement du modèle stochastique.

1. Introduction

1.1. Description des éléments de la compagnie d’assurance et Hypothèses

simplificatrices

Nous considérons une compagnie d‟assurance fictive. Le portefeuille étudié comporte 100

contrats d‟épargne en euros avec un encours total de 530 000 euros.

Dans la suite du chapitre, nous supposerons :

Contrat

- que l‟outil se base sur des groupes homogènes d‟assurés (comportement similaire :

Rachat, PB, TMG)

- qu‟on utilise l‟exemple d‟un portefeuille de contrat d‟épargne en euro avec prime unique

et clause de PB.

- que la prime est versée à la souscription, avec date de souscription le 01/01/2008

- que l‟on considère les primes nettes de frais

- qu‟il y a versement de l‟épargne aux ayants droits en cas de décès avant terme.

- qu‟il y a possibilités de rachat total (pas de rachat partiel) moyennant une pénalité

dégressive avec le nombre de semestre restant à courir (entre date de rachat et terme du

contrat).

Taux minimum garanti

- que le taux minimum garanti (TMG) est fixé à la souscription (taux annuel), constant

jusqu‟à l‟échéance.

Participation aux bénéfices

- qu‟il n‟y a pas de bénéfices techniques (seulement financier)

Évaluation du Best estimate

- que la date d‟évaluation par défaut est le 31/12/2008

- que l‟écart entre deux dates de projection sera d‟un mois



- que les sorties en cours d‟année sont revalorisées uniquement au taux minimum garanti

(au prorata du délai couru sur l‟année entamée)

Voici un échantillon du tableau des données par individu :

Date de naissance Epargne constituée

30/06/1952 1390,51

30/06/1974 1390,51

30/06/1966 1390,51

30/06/1978 1390,51

30/06/1961 1390,51

30/06/1940 1452,34

30/06/1947 1453,08

30/06/1993 1748,34

30/06/1995 1796,99

30/06/1991 1796,99

Données individuelles

Figure 5: Les 10 premières lignes du portefeuille au 01/01/2008

La compagnie considérée pour notre application possède un portefeuille simplifiée d‟actifs

composé :

- d‟actions

- d‟obligations perpétuelles (voir la section Gestion d‟actif)

Ces actifs dits de couverture sont les suivants :

Classe VNC en date 0 Allocation

ACTION 100 30%

OBLIGATION 100 70%

Données sur les Actifs

Figure 6: Portefeuille d'actifs au 01/01/2008

Ci-dessous les paramètres de simulation dont l‟utilisateur aura la possibilité de calibrer.



Domaine Variable Valeur

Souscription Date 01/01/2008

Évaluation Date 31/12/2008

Terme Date 01/01/2016

Nombre de simulations Actif 10

Simulation Action

Taux de dividende 0

Volatilité 20,00%

Corrélation avec taux de marché -0,1

Simulation Obligation (tx de coupon)

Taux de coupon initial 3,50%

Taux limite 20,00%

Vitesse de convergence 2,00%

Volatilité 0,10%

Revalorisation de l'épargne Taux seuil 5,50%

Taux (mensuel) de rendement cible de l'actif 4,80%

Pénalité rachat Taux fixe par semestre restant 0,40%

Rachat dynamique Alpha 7

Lamda 20,00%

Déduction Chargement encours 0,80%

Revalorisation Minimum Taux Minimum Garanti 3,00%

Figure 7: Paramètres de simulation par défaut

Pour mieux comprendre l‟élaboration de l‟outil, présentons l‟algorithme sous forme

d‟organigramme. Au niveau de l‟organigramme général, nous avons six étapes principales :

- Dans un premier temps, une étape préliminaire qui est l’initialisation des paramètres et la

lecture des données.

- Ensuite nous simulerons un état ia (nombre de simulation de l’actif) du monde de l’actif,

qui influencera la gestion d‟actif, la loi de rachat ainsi que la gestion de la PB.

- Nous calculons la revalorisation du contrat issue de cet état du monde de l‟actif.

- Après avoir généré l‟état ia du monde de l‟actif ainsi que la loi de rachat nous pouvons alors

commencer à évaluer le Best estimate contrat par contrat.

- De l‟étape précédente nous déduirons le Best estimate du portefeuille global.

- Et pour finir nous tenterons d‟analyser le Best estimate du portefeuille selon les différentes

simulations de l‟actif.

Voyons tout de suite l‟organigramme du mécanisme général.

1.2. Organigramme général



Lancement de la simulation

Initialisations des paramètres

Lecture des données

Assuré j

ia = 1

j = J ?

Génération de l‟état du

monde de l‟actif n° ia

Calcul loi de rachat : à partir

d‟une table de rachat et de

l‟évolution de l‟actif

Calcul du BE pour l‟assuré j

dans l‟état du monde ia

j = j+1

ia = IA ?

Faux

Calcul du BE du portefeuille

dans l‟état du monde ia

Vrai

Faux

Vrai

Calcul du BE moyen des ia

simulations et mise en forme des

résultats

ia = ia+1

Fin de la simulation

Schéma 1. Organigramme général du calcul d’un BE d’un portefeuille de contrat euro

j = 1



Commençons tout de suite par zoomer sur le calcule des probabilités de sorties.

Pour cela, nous allons considérer une projection mensuel, c‟est à dire que nous calculerons les

probabilités de sortie par intervalle d‟un mois, depuis la date de souscription jusque la date de

terme. On envisagera quatre cas de figure par intervalle : le décès avant rachat, le rachat avant

décès, le rachat et le décès dans le même intervalle, et le non-rachat avec le non-décès.

Pour le cas du décès et rachat dans le même intervalle, nous avons considérer le flux de décès

associé à cette probabilité, pour être plus prudent au niveau du provisionnement.

On provisionnera alors seulement deux flux de prestation à toutes les périodes : un pour le décès

(avec la probabilité de décès avant rachat et la probabilité du cas n° 3 Dc&Ra) et un pour le

rachat avant décès (celui ci sera particulier car diminué d‟une pénalité pendant les 10 premières

années). Et on ajoutera un dernier flux pour le cas où l‟assuré aurait survécu pendant toute la

durée du contrat (avec la probabilité du cas 4 : ni rachat et ni décès).

2. Modélisation des sorties

2.1. Notations et formules :

- Soit xT l‟âge au décès et yT l‟âge au rachat

- Soit pt x

la probabilité d‟un individu d‟âge x de survivre jusqu‟à x+t.

- Soit 1

qx t

la probabilité d‟un individu d‟âge x+t-1 de mourir dans la t ème année.

- Soit '1

qy t

la probabilité d‟un individu d‟ancienneté (sur le contrat) y+t-1 de racheter dans

la t ème année.

- Soit 'pt y

la probabilité d‟un individu d‟ancienneté y de ne pas racheter jusqu‟à y+t.

- Le 'q est le taux de rachat total : central + additionnel, voir la section rachat dynamique.

Formules :

Probabilité de survie : x t

t x

x

pl

l

Probabilité de ne pas racheter : 1 1

1 1

0 0

' ' . ' ....... ' ' (1 ' )t y y y y t y i y i

t t

i i

p p p p p q





x calcule l'âge de l‟assuré exprimé en mois à la souscription

y calcule le nombre de mois qui sépare la date d‟évaluation de la

souscription, => ancienneté du contrat

t Période : dans le tième mois

tdTableMortalite() table de mortalité

tdTableQxRachat() table de rachat central (q‟x, voir la section sur les rachats)

dTauxRaAdd c'est le taux de rachat additionnel qu'on ajoutera au taux central de

rachat pour donner le taux total (voir la section sur le rachat)

t = 0

t = T

Flux vu

en date 0

Axe temporelle

en mois

Probabilité de

sortie entre t-1 et t

Da

te d’é

va

lua

tion

D

ate d

e term

e

t = t Flux t

1; 1; 1, 1 et x y x y

t t t tP T T T t T t

1 1 1 1. ' . ' .t x t y y t x tp p p q =

1 1. ' .t x t y x tp p q

Décès

Rachat 1; 1;et 1, 1y x x yt t t tP T T T t T t

1 1 1 1. ' . '.t x x t t y y tp p p q =

1 1' . '.t x t y y tp p q

Dc et

Ra

1; 1, 1,y x x yt tP T T T t T t

1 1 1 1. ' . . '

t tx y x t y tp p q q

Ni rachat

et ni décès 1; 1, 1, . 'y x x yt tP T T T t T t p pt x t y

t = t-1




dProba_nepasracheter Cette fonction permet de calculer la probabilité qu'un individu d'âge x

ne rachète pas avant x+t

dProba_survie Cette fonction permet de calculer la probabilité qu'un individu d'âge x

survive jusqu'à x+t


dProba_DcAvtRa Cette fonction permet de calculer la probabilité qu'un individu d'âge x

et d'ancienneté y décède entre t-1 et t avant un rachat/terme

dProba_RaAvtDc Cette fonction permet de calculer la probabilité qu'un individu d'âge x

et d'ancienneté y rachète entre t-1 et t avant un décès/terme

dProba_RaEtDc Cette fonction permet de calculer la probabilité qu'un individu d'âge x

et d'ancienneté y rachète et décède entre t-1 et t

dProba_NiRaEtNiDc Cette fonction permet de calculer la probabilité qu'un individu d'âge x

et d'ancienneté y ne rachète pas et ne décède pas entre t-1 et t

Voir les formules dans le cadre

Pour pouvoir calculer les probabilités de sorties vues précédemment il faut avant tout déterminer

la loi de rachat. Il nous faut alors modéliser le comportement du souscripteur face au rachat. Le

rachat total de contrat peut s‟expliquer en partie par des arbitrages d‟assurés qui se tournent vers

des placements plus performants. Nous proposons un modèle simple. Il consiste à découper le

rachat.

2.3. Modélisation des rachats dynamiques

Dans le terme « Rachat », nous engloberons les rachats totaux uniquement. Le taux de rachat

sera décomposé en deux parties : un taux de rachat structurel (central) et un taux de rachat

conjoncturel (additionnel), fonction de la situation des taux de marché.

2.3.1. Le taux de rachat central, indépendant des conditions économiques :

C‟est la partie du rachat qui est incompressible, ou plutôt structurelle. C‟est par exemple les

rachats qui sont dus à des assurés qui s‟aperçoivent rapidement après la souscription, que le

contrat ne leur convient pas. Cette partie du rachat correspond au niveau de rachat lorsque



l‟environnement économique reste stable, indépendant de l‟évolution des marchés et de la

politique de revalorisation de l‟épargne de la société d‟assurance.

Pour le taux central nous proposons deux alternatives (seule la première sera implémentée), une

dans le cas où l‟on disposerait une table de rachat et une en cas d‟inexistence de table mais avec

un historique sur les rachats.

Première alternative :

Le « rachat structurel » représenté par le taux de rachat central, peut s‟extraire d‟une table de

rachat fonction de l‟ancienneté du contrat, estimée sur le passé des dernières années.

Exemple :

La probabilité de rachat dans le 3ème

mois est égale à 0.156%.

Deuxième alternative :

Le rachat structurel n‟est fonction que de l‟assuré et du type de produit considéré.

Quatre variables explicatives sont retenues pour synthétiser le comportement de ce rachat :

La variable « âge de l‟assuré » :

L‟explication est partiellement d‟ordre successoral : il y a une réduction d‟exonération des droits

de succession sur les primes versées après 70 ans.

La variable « richesse de l‟assuré »

Cette « richesse » peut être mesurée à l‟aide de la donnée « prime moyenne annuelle versée par

l‟assuré ». Généralement on constate qu‟un assuré moins riche, rachète moins.



La variable « produit considéré »

Le type de produit commercialisé peut aussi être un facteur expliquant le rachat, selon que le

produit est à primes uniques ou à primes périodiques. Nous reverrons l‟effet de cette variable

plus tard.

La variable « durée de détention du contrat »

Les trois premières années, un certain nombre d‟assurés s‟aperçoivent qu‟ils ne veulent pas

mobiliser leur argent aussi longtemps que prévu et demande donc le rachat.

Par contre à partir de la troisième année, les assurés essaieront d‟attendre jusqu‟au terme fiscal (8

ans) pour bénéficier de l‟exonération d‟impôts sur les produits financiers (prélèvement

libératoire).

On s‟aperçoit en outre que le terme du contrat joue un rôle particulier : on constate notamment

que si l‟assureur prévient par courrier l‟assuré du terme du contrat, (lui proposant qu‟il a le choix

entre proroger ou clore son contrat), le taux de prorogation est nettement plus faible qui si

aucune démarche n‟est entreprise par l‟assureur (une reconduction automatique du contrat étant

alors appliquée si l‟assurée ne se manifeste pas). A l‟heure actuelle les nouveaux contrats

prévoient une tacite reconduction, et le terme joue ainsi une importance moins grande au niveau

des rachats.

Procédure adoptée d’estimation des rachats structurels

Les taux de rachats structurels peuvent être estimés sur la base des taux historiques. Nous

pouvons modéliser un taux de rachat structurel spécial pour les contrats euros (primes uniques),

en fonction de la durée de détention du contrat. Ainsi est considérée dans cette modélisation,

uniquement la variable « durée de détention ». Les variables « âges de l‟assuré » et « richesse de

l‟assuré » peuvent être ignorés puisque généralement pour un produit donné, la variance de ces

variables est faible.

La courbe du taux de rachat structurel en fonction de la durée de détention peut être simplifiée en

trois points. En d‟autres termes pour un groupe d‟assurés homogène vis à vis des variables année

de souscription (ou année de terme), et produit, nous avons défini le taux de rachat structurel

selon la courbe :



Figure 8: Taux de rachat structurel

.

Remarque : Le niveau t2 variera si l‟assureur incite à proroger ou non.

L‟estimation des trois taux t1, t2 et t* se fait à l‟aide d‟une analyse par « génération de

souscription ». Cette analyse par génération consiste à calculer pour chaque année n de

souscription les taux (sur les différentes années k) du type suivant.

Nb contrat souscrits année n et rachetés année kTaux Rachat année k =

Nb contrat souscrits année n

Dans ce cas l‟analyse se fait en « Nombre de contrat » puisque le référentiel est le « nombre de

contrats souscrits ». D‟autres analyses pourraient se faire, par exemple un raisonnement en

« montant » (raisonnement particulièrement adapté si les contrats ont des montants très différents

comme c‟est s‟il n‟y a pas de plafond). Nous choisirons pour notre part une analyse par

montants.

Montant contrat souscrits année n et rachetés année kTaux Rachat année k =

Montants vus année k des contrat souscrits année n

A partir de ces taux de rachats, nous pourrons tracer les courbes par génération (n).

Puis nous pouvons aussi tracer une courbe moyenne pondérée (par les montants) de l‟ensemble

des courbes par génération, pour avoir une idée de la tendance générale de la courbe.

L‟estimation de t1, t2 et t* peut alors se faire.

À présent l‟autre partie du rachat.

Taux de rachat

Durée de détention

t1

t2

t*

Terme contractuel



2.3.2. Le taux de rachat additionnel (inspiré d’un document interne Winter)

Le « rachat conjoncturel » représenté par le taux de rachat additionnel (au mois t de l‟année n)

peut être modélisé par une fonction linéaire croissante de l‟écart de taux entre le taux de

référence de l évolution des marchés financiers et du taux crédité au contrat (en n-1), en limitant

ce taux additionnel à un seuil .

Le taux de référence peut, par exemple, être fonction des taux du marché obligataire sur des

horizons semblables à ceux des contrats d‟épargne.

Le taux crédité sera déterminé dans la section détaillant le mécanisme de distribution de PB :

taux créditénR r TMG avec r= taux de distribution des PB (hors intérêts techniques)

Voici donc la formule du taux de rachat additionnel annuel:

Taux de rachat additionnel= Min .Max(Taux de référence - taux crédité au contrat ;0);(n-1)

Puis nous prenons le taux mensuel équivalent.

Nous fixons 7 et =20%

Finalement nous obtenons : (ici t est le mois comme dans l‟ensemble du document)

Une alternative prenant en compte également les différentiels de taux des années précédentes

(éventuellement avec une sous-pondération) pourrait également être envisagée :

Remarque : Nous comprenons bien qu‟il faille avant tout modéliser l‟actif pour pouvoir calculer

la revalorisation du contrat associé à la politique de PB (et de sa modélisation) et donc du

rendement financier issue de la gestion de l‟actif.

Taux de rachat total (t) = Taux central (t) + (n-1)Min .Max(Tauxréférence - taux crédité ;0);

où α 0 représente la sensibilité du taux de rachat de la période n à l‟écart entre le taux cible

et le taux de revalorisation effectif sur la période précédente 1n , ie la vitesse de réaction

du souscripteur face à cet écart.

Taux de rachat total (t) = Taux central (t) + (n-i)Min .Max(Tauxréférence - taux crédité ;0);i





MoisDateterme cela permet de calculer le nombre de mois qui sépare la date

d'évaluation de l'échéance du contrat

tdCourbeZC() calcule le nombre de mois qui sépare la date d‟évaluation de la

souscription, => ancienneté du contrat

dAlpha vitesse de réaction du souscripteur, calibré aléatoirement par l‟utilisateur

dLamda Limite du taux de rachat additionnel, calibré aléatoirement par

l‟utilisateur

dTauxCrediteAnterieur taux de revalorisation crédité au contrat sur l'année n-1

Résultats

Commentaires

dTauxdereference il s'agit du taux de référence du marché qui va influencer le rachat, c'est

le taux sans risque d'une obligation de maturité T (échéance du contrat)

dTauxderachatadd c'est le taux de rachat additionnel qu'on ajoutera au taux central de

rachat pour donner le taux total (voir formule plus haut)

Code sur VB

Public Function dTauxderachatadd(dalpha As Long, dlamda As Double, dTauxRef As

Double, dTauxCrediteAnterieur)

' C'est le taux de rachat additionnel qu'on ajoutera au taux central de rachat pour donner le

taux de rachat total

dTauxderachatadd = (1 + (Min(dalpha * Max(dTauxRef - dTauxCrediteAnterieur, 0),

dlamda))) ^ (1 / 12) - 1

End Function



3. Gestion et allocation d’actifs

3.1. Préambule

La gestion des actifs d‟une entreprise d‟assurance est un exercice délicat dans la mesure où le

gestionnaire doit s‟assurer à tout moment que les actifs en portefeuille sont les meilleurs, non

seulement en terme de couple rentabilité/risque mais également au regard des engagements

souscrits par l‟entreprise et des contraintes comptables et réglementaires.

Nous allons déterminer immédiatement la politique d‟investissement ou de désinvestissement

des actifs, qui comme nous verrons par la suite a une place primordiale au niveau de la

revalorisation des contrats, notamment pour la participation aux bénéfices. Et donc nous

permettre la « meilleure estimation » (Best estimate) des passifs.

Voici le schéma des étapes du modèle de la gestion actif-passif :

Voyons d‟abord l‟impact de cette gestion d‟actif sur la participation aux bénéfices.

Nous avons vu au chapitre 2, section 2.5. que l‟assureur doit reverser (PB) au moins 85% du

solde du compte financier aux assurés. Ce compte est composé essentiellement des produits

financiers. Les produits financiers dont il est question ici se calculent en multipliant l‟encours

moyen des provisions techniques de l‟exercice par le taux de rendement comptable des actifs.

Donc l‟objet de cette partie sera de déterminer ce taux de rendement. On déterminera ce taux de

façon annuel (comme la PB).

Le taux de rendement réel des actifs (TRC) est égal à (article A.331-7 du Code des assurances):

Actif Passif

Flux à placer

Stratégie financière

Politique commerciale et politique de dégagement des plus values

Compte de résultat/Revalorisation/Provisionnement

Comportement des assurés

(sorties)

Marchés financiers



Produits de placements netsTaux de rendement comptable des actifs

Montant de placements

Où

= Produits de placement

- Charges de placement

+ Plus-values sur cessions d‟éléments d‟actifs

- Moins-values sur cession d‟éléments d‟actifs

= Montant moyen des placements au cours de

l‟exercice

+ Autres éléments d‟actifs pouvant être admis

en représentation des provisions techniques - Valeurs remises par le réassureur

Dans un premier temps nous décrirons un modèle simplifié (pour des raisons de délai) que nous

avons implémenté, puis nous offrirons aux lecteurs les éléments nécessaires pour élargir ce

modèle.

3.2. Contexte

Hypothèses simplificatrices :

- Dans notre étude on considère des contrats avec primes uniques versées à la souscription.

- Les périodes sont mensuelles (noté t)

- Les flux de prestation en cours d‟année sont revalorisés au taux minimum garanti, et les

prestations sont versées en fin de période.

- On considère un modèle d‟actifs sans charges de placement, sans remises du réassureur et sans

aucuns éléments d‟actif autre que les actifs financiers.

- Les produits de placement considérés seront uniquement les dividendes, les coupons et les

remboursements obligataires.

La compagnie considérée pour notre application numérique possède un portefeuille simplifié

d’actifs composés : d‟actions et d‟obligations exclusivement.

Pour la mise en œuvre opérationnelle, on considèrera des actions sans dividendes et une sorte

d‟obligation perpétuelle (sans maturité définie) qui n‟a pas de valeur de remboursement. Cette

obligation a un rendement périodique variable (coupon), sa valeur d‟achat est égal à la valeur

PRODUITS DE PLACEMENTS

NETS

MONTANT DE PLACEMENTS



nominale. Donc dans notre modélisation stochastique on simulera uniquement la valeur de

marché de l‟action pour chaque période, et pour l‟obligation on simulera le taux de coupon

périodique.

De plus, on considèrera dans notre tableau d‟actif uniquement deux lignes : une pour les actions

et une pour les obligations.

Type d’actif Quantité en date 0 Valeur nette comptable en 0

Action n0Action 100

Obligation n0Oblig 100

La stratégie d‟investissement consiste à définir l‟allocation cible (i.e. les proportions de chaque

classe d‟actifs à détenir en portefeuille) et les règles d‟achat et de vente d‟actifs de sorte à

atteindre cette allocation.

Nous travaillerons alors avec la valeur nette comptable moyenne décrite par la formule :

1 1

1

t t t tt

t t

n VNC n VNCVNC

n n

avec n qui représente la quantité de l‟actif et VNC la valeur

comptable. On recalculera cette valeur moyenne uniquement lorsqu‟on fera des achats d‟actions.

Il n‟y aura pas d‟allocation définie pour chaque actif, car nous avons que deux lignes (une action,

une obligation) et nous travaillons avec les valeurs comptable moyenne

Remarques :

- Les valeurs nettes comptables de nos obligations perpétuelles sont toujours égales au prix

d‟achat (100) et leurs valeurs de marché ne bougent pas, seuls les coupons varient. Donc on ne

pourra pas réaliser de plus ou moins value latentes sur les obligations.

- De plus lorsque on vendra des actifs, on commencera par les actions (actifs risqués) puis si

nécessaire on vendra des obligations, dans la limite des stocks disponibles. Par contre pour

l‟achat on commencera par acheter des obligations. On pourra acheter dans la limite de la valeur

totale de marché de l‟actif présent dans le portefeuille.

- À chaque transaction, un flux de liquidité sera débité ou crédité (dans le cas d‟achat d‟actif

respectivement de vente d‟actif) à la valeur totale en marché de l‟actif.



Nous choisissons une allocation stratégique des actifs qui conserve la répartition initiale du

portefeuille en valeur de marché, à savoir :

- Actions : 30%

- Obligations : 70%

En date 0, on a les quantités d‟actifs suivants :

0

0

Action ( )0

n 30%

j

j NbrAssuré

Action

S

VNC

et

0

0

Oblig ( )0

n 70%

j

j NbrAssuré

Oblig

S

VNC

, avec ( ) ( )

0 0 100Action ObligVNC VNC

En supposant que toutes les primes des contrats sont investit dans ces deux actifs.

Le rééquilibrage du portefeuille (l‟achat et la vente d‟actifs pour maintenir la répartition cible

des classes d‟actifs) est effectué mensuellement par rapport à la valeur de marché au niveau de

chaque classe d‟actifs. Il consiste à :

calculer les montants des achats et des ventes nécessaires par classe d‟actifs pour atteindre

l‟allocation cible ;

réaliser les achats et les ventes d‟actifs.

Si le rééquilibrage requiert une vente, la stratégie consiste à vendre chaque actif d‟une même

classe dans les mêmes proportions de sorte à toujours garder la répartition initiale du portefeuille.

Voyons tout de suite le déroulement du processus à travers un organigramme général, puis de

façon détaillée.

3.3. Modèle d’investissement/désinvestissement des Actifs

3.3.1. Organigramme du mécanisme



Calcul des caractéristiques

de chaque actif en début de

période (en t-1)

t = 1

i = NbreLigne

Actif ?

Calcul des prestations probables [t-1, t]

t = 12 ?

Faux

Vrai

Faux

t = t+1

i = 1

i = i+1

Réalisation des moins values

latentes pour diminuer le TRC, ou

achat d‟actifs.

Schéma 2 : Organigramme du mécanisme de la gestion d’actif

Trajectoire simulée ia de l‟actif i

(Valeur Marché, dividende..)

tTRC dTRCCibleMensuel ?

Vrai

Faux

Réalisation des plus

values latentes pour

augmenter le TRC ou

vente d‟actifs

Calcul du TRC annuel

Calcul du TRC mensuel

Calcul des caractéristiques

de chaque actif juste avant

la fin de période (en t-)

Recomposition du portefeuille

pour atteindre l‟allocation cible et

contrôle du nouveau TRC

Recomposition du

portefeuille pour

atteindre l‟allocation

cible et contrôle du

nouveau TRC

Investir/désinvestir pour

régler nos prestations dues



Détaillons à présent pas à pas les étapes de l‟organigramme ci-dessus

3.3.2. Modèle simplifié

Étape 1 : Calcul des flux de prestation probables

Comme nous l‟avons expliqué la quantité des actifs investis/désinvestis vont dépendre des

engagements et de la revalorisation ciblée. Pour cela nous allons commencer par décrire le

mécanisme des flux de prestations, afin de pouvoir calculer le montant à libérer pour honorer

les engagements.


e Représente le nombre de mois couru sur l‟année t/12

0 jS les cotisations nettes de frais du contrat j

, 12t tTPR

Taux de pénalité de l‟année t/12 appliquée uniquement pour les 10

premières années, 5%, Nbr de semestre restant TauxPénalitéFixeMin

dTMG Taux minimum garanti

Fonction Commentaires

1,FluxProbables t t Flux de prestation probable entre [t-1,t]

1,F ( )

t tDc

Flux de prestation en cas de décès probable entre [t-1,t]

1,F ( )

t tRa

Flux de prestation en cas de rachat probable entre [t-1,t]

nR Taux de revalorisation effectif (crédité au contrat) de l‟année n, PB

incluse

PMn Provision mathématique de l‟année n (cf détail dans 4.4. , PB)

Pénalitén Pénalité de rachat pendant l‟année n

dProba_DcAvtRa Probabilité d‟avoir un Décès avant un rachat entre t-1 et t, 1( )p t

dProba_RaAvtDc Probabilité d‟avoir un rachat avant un décès entre t-1 et t, 2 ( )p t

dProba_RaEtDc Probabilité d‟avoir un rachat et un décès entre t-1 et t, 3( )p t

dProba_NiRaEtNiDc Probabilité d‟avoir ni rachat et ni décès entre t-1 et t, 4 ( )p t

PrestationProbable Fonction qui calcule les prestations probables sur une période

Pour toutes les périodes de toutes les années on a : (Voir section 2, Modélisation Sorties)

1, 1,1 3 21,FluxProbables F ( ) ( ) ( ) F ( ) ( )t t t tt t Dc p t p t Ra p t



Pour la dernière période de l‟année de la date terme on a :

1, 1, 1,1 3 2 41,FluxProbables F ( ) ( ) ( ) F ( ) ( ) F ( ) ( )t t t t t tt t Dc p t p t Ra p t Dc p t

Avec :

1,

int( /12) 1

0

1

F ( ) 1 1

avec ( /12) int( /12) et n= int( /12) 1

t t

t

j n

j lNbAssures n

Dc S R dTMG e

e t t t

(Remarque : R1=0)

et

1,

1,1,

F ( ) si t<120

F ( ) F ( ) sinon

t t

t tt t

nDc Pénalité

RaDc

avec , 12n nt tPénalité TPR PM

À présent nous pouvons analyser la composition du portefeuille en calculant les caractéristiques

de chaque actif en t-1 et en t-(juste avant la fin de la période), en vue de calculer le taux de

rendement comptable sur la période.

Étape 2 : Calcul des caractéristiques des actifs en début de période et en fin (un instant

avant t) de période après simulation.

Pour chaque actif nous aurons :

Variables Commentaires

i =1,2 Numéro de ligne des actifs dans le portefeuille (1 : action ; 2 : obligation)

( )1

itVNC

Valeur comptable moyenne (Prix d‟achat) de l‟actif i en date t-1 (t période

mensuelle)

( )1

itVM Valeur de marché (Valeur observée sur le marché) de l‟actif i en date t-1

( )itVNC

Valeur comptable unitaire (Prix d‟achat) de l‟actif i en date t (t période

mensuelle), i =1…I ;

( )i

tVM Valeur de marché (Valeur observée sur le marché) de l‟actif i en date t

( )1

itn Nombre (quantité) d‟actif i en date t-1

( )i

tn Nombre (quantité) d‟actif i en date t

1,Coupons

t t

Coupons servis entre [t-1, t ] (distribués en milieu de période)



1t t

( )1

( )1

( )1

it

it

it

n

VNC

VM

( ) ( )1

( ) ( )

( )( )1

( ) ( ) ( )1

1, 1,

i itt

i i

t t

iit t

Obligation Obligation Obligtt

n n

VM ValeurSimulée

VNC VNC

Coupons TC VM nt t t t

L‟assureur aura deux objectifs à considérer lors de sa stratégie d‟investissement

/désinvestissement :

Libérer de l‟argent pour payer les prestations probables.

Se rapprocher du taux cible de rendement comptable.

Donc dans un premier temps on s‟occupe des engagements à honorer.

Toutes nos transactions d’actifs se feront de façon proportionnelle, dans un souci de

conserver l’allocation cible initiale.

Étape 3 : On paye les prestations en investissant ou désinvestissant une partie de nos actifs.


PrestFlux Flux d‟investissement / désinvestissement pour régler nos engagements

( )Prest

Actionn Quantité d‟action à acheter ou vendre pour régler nos engagements

( )Prest

Oblign Quantité d‟obligation à acheter ou vendre pour régler nos engagements

( )AprèsPrest( ) Actionn t Quantité d‟action après avoir réglé nos engagements

( )AprèsPrest( ) Oblign t Quantité d‟obligation après avoir réglé nos engagements

Prest 01Flux Représente une indicatrice et vaut 1 si Prest 0Flux

On identifie ce flux par : ( )

Prest 1,FluxProbables1,

Obligt tFlux Coupons

t t

(Prestations–Revenus)

Si ce flux est positif on doit désinvestir, car il y a plus de prestations à réglés que de revenus. Et

s‟il est négatif on peut investir et rembourser les prestations avec les coupons.



Désinvestir :

Pour désinvestir on doit vendre des actifs tel que :

( ) PrestPrest 30%

Action

Action

t

Fluxn

VM et ( ) Prest

Prest 70%Oblig

Oblig

Fluxn

VM avec 100ObligVM (pour toutes les

périodes de notre modèle)

Investir :

Pour investir on achète des actifs tel que :

Prest( )Prest 30%

Action

Action

t

Fluxn

VM et Prest( )

Prest 70%Oblig

Oblig

Fluxn

VM avec 100ObligVM (pour notre modèle)

On calcule les nouvelles quantités d‟actifs :

Prest Prest

( ) ( ) ( ) ( )AprèsPrest 1 Prest Prest0 0( ) .1 .1Action Action Action Action

t Flux Fluxn t n n n

et

Prest Prest

( ) ( ) ( ) ( )AprèsPrest 1 Prest Prest.0 0( ) .1 1Oblig Oblig Oblig Oblig

t Flux Fluxn t n n n

Puis on recalcule notre VNC moyenne (après chaque transaction) :

Prest

Prest

AprèsPrest

( )( ) ( )11 Prest 0

( ) ( )Prest 0( )

( )AprèsPrest

1

1( )

( )

ActionAction Actiontt Flux

Action ActionFlux tAction

Action

n n VNC

n VMVNC t

n t

Pour les obligations (perpétuelles) la VNC est toujours la même, dans notre cas elle vaut 100.

Maintenant que nous avons réglé nos prestations, nous pouvons commencer à décrire la stratégie

pour atteindre la performance souhaitée par l‟assureur au niveau du rendement comptable des

actifs.

Étape 4 : Calcul du TRC mensuel (en t -, juste avant le règlement des prestations).


( )1

Obligtn Nombre d‟obligation i en date t - 1

( )1

Actiontn Nombre d‟action i en date t - 1

( )

1,iOblig

Couponst t

Coupon servi entre t-1 et t pour l‟obligation i




1,Produits Placement

t t

Produits (coupon, dividende) réalisés entre t-1 et t

1,Montants de palcement

t t

Montants (Prix d‟achat) placés entre t-1 et t


1,t tTRC

Taux de rendement comptable mensuel entre t-1 et t (avant

réallocation des actifs)

Formule du TRC mensuel :

1,

1,

1,

Produits Placement

Montants de palcement

t t

t t

t t

TRC

( ) ( )1

( ) ( )1, ( ) ( )1 11 1

1,

. .

Oblig Obligt

Action Obligt t Action Obligt tt t

n Couponst t

TRC

n VNC n VNC

Et ( ) 1001, 1,

ObligCoupons TCt t t t

Remarque : Ce taux de rendement mensuel ne contient pas de plus ou moins values réalisées,

contrairement à la définition d‟un TRC, car on fait l‟hypothèse qu‟il n‟y a pas de cession ou

d‟acquisition à l‟intérieur d‟une période.

Étape 5 : Comparaison et équilibre avec le taux cible.


1,FluxProbables t t Flux de prestation probable entre [t-1,t]


iNombreActionLiberee Nombre d‟actions à vendre pour libérer l‟argent des prestations

iNombreObligationLiberee Nombre d‟obligations à vendre pour libérer l‟argent des prestations


tTRC

Taux de rendement de comptable mensuel (évalué juste avant la fin du

mois t)

dTRCCibleMensuel Taux de rendement de comptable mensuel fixé par l‟assureur




1,Produits PlacementDiminution

t t

Montant des produits de placement à diminuer pour diminuer le TRC

mensuel

tNombreActionMVL Nombre d‟action à vendre pour réaliser les moins values latentes

(idem pour les obligations)

tNombreActionPVL Nombre d‟action à vendre pour réaliser les plus values latentes (idem

pour les obligations)

( )

t

ActionAprèsMVLn

Nombre d‟action à détenir en portefeuille après la réalisation des plus

values latentes (idem pour les obligations)

( )it

ActionAprèsPVLn

Nombre d‟action à détenir en portefeuille après la réalisation des plus

values latentes (idem pour les obligations)

1,Produits PlacementAjout

t t

Montant des produits de placement à ajouter pour augmenter le TRC

mensuel

Le taux cible est fixé par l‟assureur.

1er

cas : Si t

TRC dTRCCibleMensuel

Pour diminuer le TRC et se rapprocher du taux cible, on peut réaliser les moins values latentes

(MVL) en vendant l‟actif dont la valeur de marché en t- est inférieure à la valeur comptable

moyenne. Et s‟il n‟y a pas de MVL à réaliser, on pourra acheter des actifs.

On veut obtenir :

1,

1,

1,

Produits Placement


t t

t t

t t


En réalisant les moins values latentes, on va diminuer les produits de placements

(numérateur).

Voici le montant à diminuer s‟il y a des MVL réalisables:

1, 1,

1,

Produits PlacementDiminution Montants de palcement

Produits Placement

t t t t

t t

dTRCCibleMensuel

Il suffit donc de trouver les quantités d‟actifs à vendre pour réaliser ces moins values :



1,

( )1

Produits PlacementDiminutiont t

t Actiont

t

NombreActionMVLVM VNC

On ne vendra pas d‟obligation car on ne peut pas réaliser de moins values latentes (cf.3.2.)

La quantité d‟action après la réalisation des moins values latentes devient :

( ) ( )AprèsPrest( )

AprèsMVLt

Action Actiontn n t NombreActionMVL

Par contre en achetant des actifs on augmente les montants de placements (dénominateur).

1,

1,

1,

Produits Placement

Montants de palcementAjout


t t

t t

t t

dTRCCibleMensuel

Il suffit donc de trouver les quantités d‟actifs à acheter :

1,

( )


30%t t

t Action

t

NombreActionAchatVM

1,

( )


70%t t

t Oblig

t

NombreObligationAchatVM

Les quantités d‟actifs après l‟achat des actifs :


t

Oblig ObligAprèsAchat tn n t NombreObligationAchat


AprèsAchat t

Action Actiontn n t NombreActionAchat

Puis comme après chaque transaction, on recalcule la VNC moyenne

( )( )1

( )( )

( )

AprèsMVLt

ActionActiont

ActionAction t t

tAction

t

n VNC

NombreActionAchat VMVNC

n

Idem pour les obligations avec les paramètres appropriés.

2ème

cas : Si t

TRC dTRCCibleMensuel (symétrie du premier cas)



Pour augmenter le TRC et se rapprocher du taux cible, on peut réaliser nos plus values latentes

(PVL) en vendant l‟actif dont la valeur de marché en t est supérieure à la valeur comptable

moyenne. Et s‟il n‟y a pas de PVL on pourra vendre des actifs.

On veut obtenir :

1,

1,

1,

Produits Placement


t t

t t

t t


En réalisant les plus values latentes, on va augmenter les produits de placements

(numérateur).

Voici le montant à ajouter :

1, 1,

1,

Produits PlacementAjout Montants de palcement

Produits Placement

t t t t

t t

dTRCCibleMensuel

Il suffit donc de trouver la quantité d‟action à vendre pour réaliser ces plus values :

1,

( )1

Produits PlacementAjoutt t

t Actiont

t

NombreActionPVLVM VNC

On ne vend pas d‟obligation, car on ne peut réaliser de plus values latentes (cf. 3.2.)

La quantité d‟action après la réalisation des plus values latentes devient :


AprèsPVLt

Action Actiontn n t NombreActionPVL

Par contre en vendant des actifs on diminue les montants de placement (dénominateur).

1,

1,

1,

Produits Placement

Montants de palcementDiminution


t t

t t

t t

dTRCCibleMensuel

Il suffit donc de trouver les quantités d‟actifs à vendre :



1,

( )


30%t t

t Action

t

NombreActionVenteVM

1,

( )


70%t t

t Oblig

t

NombreObligationVenteVM

Les quantités d‟actifs après l‟achat des actifs :


t

Oblig ObligAprèsVente tn n t NombreObligationVente


t

Action ActionAprèsVente tn n t NombreActionVente

La VNC moyenne reste identique lorsqu‟il n‟y a pas d‟achat d‟actifs.

Étape 6 : Recomposition du portefeuille en allocation cible

Après toutes ces manipulations il faut recomposer le portefeuille pour retrouver la composition

initiale (allocation cible) en valeur de marché.


avantReallocValeurMarchéTotal Représente valeur de marché du portefeuille avec les nouvelles quantités

I Ligne d‟actif (la ligne action ou la ligne obligation)

( )itVM Valeur marché de l‟actif i en date t

( )inAprèsMVLt

Quantité de l‟actif i après la réalisation des moins values latentes

( )inAprèsPVLt

Quantité de l‟actif i après la réalisation des plus values latentes

( )

t

iAprèsAchatn Quantité de l‟actif i après la libération de l‟argent dû

( )

t

iAprèsVenten Quantité de l‟actif i après la libération de l‟argent dû


( )avantRealloc

it

n Quantité de l‟actif i avant la recomposition

( )aprèsRealloc

it

n Quantité de l‟actif i après la recomposition



Pour cela il faut en premier lieu calculer la valeur de marché du portefeuille avec les nouvelles

quantités (après libération de l‟argent dû, et après l‟équilibrage avec le taux cible) :

( ) ( )avantRealloc avantRealloc

it

it

i NbLigneActif

ValeurMarchéTotal n VM

avec ( ) ( ) ( )( ) ( )

avantRealloci i i

t t t t t

i iAprèsAchat AprèsVente AprèsPVL AprèsMVLn n n n n

Remarque : Chaque période deux éléments de cette formule seront nuls en fonction du cas de

figure (cf. supra)

Puis on recompose de la sorte :

( ) avantReallocaprèsRealloc ( )

(30% ou 70%)it i

t

ValeurMarchéTotaln

VM

Étape 7 : Contrôle du TRC mensuel

On recalcule notre TRC selon le cas de figure, tel que :

1er

cas : t


( ) ( )1

1

1, ( ) ( )( ) ( )

1,

. .

Oblig Obligt

tt t

t t Action ObligAction Obligt tt t

n Couponst t

NombreActionMVL VM VNC

TRC

n VNC n VNC

On diminue les produits et les

montants sont constants. (car il y a des MVL)

( ) ( )1

1, ( ) ( )( ) ( )

1,

. .t t

Oblig Obligt

t t Action ObligAction Obligt tAprèsAchat AprèsAchat

n Couponst t

TRC

n VNC n VNC

On augmente

les montants et les produits sont constants. (il n‟y a pas de MVL)



2ème

cas : t


( ) ( )1

1

1, ( ) ( )( ) ( )1 11 1

1,

. .

Oblig Obligt

tt t

t t Action ObligAction Obligt tt t

n Couponst t

NombreActionPVL VM VNC

TRC

n VNC n VNC

On augmente les produits et

les montants sont constants. (car il y a des PVL)

( ) ( )1

1, ( ) ( )( ) ( )

1,

. .t t

Oblig Obligt

t t Action ObligAction Obligt tAprèsVente AprèsVente

n Couponst t

TRC

n VNC n VNC

On diminue les

montants et les produits sont constants. (car il n‟y a pas de PVL)

Remarque : Il est fort probable que le TRC n‟atteint pas le taux cible, car nous manipulons des

quantités d‟actifs entières. (notre système prend la valeur arrondie), et il n‟y a pas toujours les

quantités d‟actifs suffisantes ou la valeur totale en marché de l‟actif nécessaire pour équilibrer le

TRC.

Étape 8 : Calcul du TRC annuel


, 12t tTRC Taux de rendement comptable des placements de l‟année civile où se trouve

la date t

1,PrestationProbable

t t Prestations probables dans [t - 1, t]

1,Plus-Values réalisées t t Plus-values sur cessions d‟éléments d‟actifs dans [t - 1, t]

1,Moins-Values réalisées t t Moins-values sur cessions d‟éléments d‟actifs dans [t - 1, t]

1,Produits Placement t t Représente les produits (dividendes, coupons) réalisés dans le tème

mois

1,Montants de palcement t t Valeur d‟achat des placements en date t

1,Coupons

t t Coupons servis entre [t - 1, t]



12

1, 1, 1,

1, 12 12

1,

1

Produits Placement Plus-Values réalisées - Moins values réalisées


t t t t t t

tt t

t t

t

TRC

De façon plus détaillée :

1212 ( )( ) ( )( ) ( ) 1111 ,1

, 12 12 12( ) ( )( ) ( )

1 11 1

1 , 1 ,

1,+

ii iOblig Oblig tt ttt i Action Obligt

t ti ii i

t tt t

t i Action Oblig t i Action Oblig

n VM VNCn Couponst t

TRC

n VNC n VNC

3.3.3. Éléments pour modèle général

Nous n‟allons pas décrire un modèle élargi du modèle précédent, juste indiquer la possibilité de

considérer d‟autres éléments.

Tout d‟abord dans les revenus financiers (produits de placement), on peut intégrer les dividendes

et les remboursements obligataires en plus des coupons.

Au niveau du tableau des actifs, plusieurs lignes pourront être créées, mais il faudra faire

attention à gérer l‟allocation de chaque actif pour conserver l‟allocation cible.



4. Participation aux Bénéfices et Provision pour Participation aux Bénéfices

Ce paragraphe est inspiré d’un document Winter&Associes.

4.1 Hypothèses simplificatrices

Dans la suite, on fera les hypothèses simplificatrices suivantes (sur lesquelles il sera possible de

revenir dans un deuxième temps) :

les sorties en cours de période sont revalorisées au taux minimum garanti (TMG)

uniquement ;

les bénéfices techniques sont supposés nuls.

4.2 Problématique

Des projections en vue de déterminer le Best estimate du passif doivent intégrer des contraintes

d‟attribution de PB15

aussi réalistes que possible. Intuitivement, un modèle d‟attribution de PB

doit intégrer le taux de rendement des actifs réalisé par la société et un taux cible de

revalorisation du contrat, fonction de contraintes juridiques (réglementaires et contractuelles) et

de contraintes économiques (liées aux conditions de marché et aux objectifs commerciaux) de

revalorisation.

En effet, le taux de rendement financier des actifs en représentation des contrats (ou le cas

échéant de l‟actif général de la société) engage la société, au moins au titre des clauses

contractuelles et réglementaires d‟attribution de bénéfices financiers. Par ailleurs, ce taux indique

le taux de revalorisation maximal que peut accorder l‟assureur sans toucher à ses plus-values

latentes.

Quant au taux cible, il dépend en partie du contexte commercial et des taux pratiqués par le

marché indépendamment du taux de rendement des actifs propres à l‟assureur.

Ce modèle de PB sera implémenté sur des contrats différents (à taux techniques différents),

même si dans l‟application on a des taux minimums garantis (TMG) identiques pour tous les

contrats. Une politique de gestion de la PB sous-tend une gestion globale, autrement dit une

attribution par contrat qui s‟ajuste selon celle des autres contrats.

Il s‟agit donc d‟opérer une gestion globale de la PB avec dotation et reprise en PPB16

.

15 Participation aux bénéfices 16 Provision pour PB



Pour ce faire on définit :

le taux cible de revalorisation : il s‟agit du taux de revalorisation que se fixe la compagnie

en début de période ;

La société doit déterminer, en fonction de ses contraintes économiques et réglementaires un

taux cible de revalorisation.

Le taux cible de revalorisation peut, par exemple, être fonction des taux du marché

obligataire sur des horizons semblables à ceux des contrats d‟épargne (ex : OAT 8 ans).

Il apparaît naturel que ce taux soit supérieur :

o au taux de prélèvement sur encours,

o au tmg du contrat considéré.

Par exemple, on peut proposer comme taux cible de revalorisation :

taux revalo cible taux OAT(8 ans) taux prelev encours tmgmax , , .

Le mécanisme de détermination de ce taux cible peut être calibré sur les dernières années

(dans notre exemple, comparaison du taux cible envisagé par la société et du taux des OAT

à 8 ans pendant les mêmes périodes de référence).

le taux seuil de revalorisation : il s‟agit du taux au-delà duquel on dote en PPE (équivalent

à la PPB) le surplus de produits financiers distribuables.

Cependant, le taux technique étant propre à chaque contrat, on considère que :

- le taux cible effectif pour un contrat est égal à max (taux cible de revalorisation, taux

technique) ;

- le taux seuil effectif pour un contrat est égal à max (taux seuil de revalorisation, taux

technique).

Grâce à ces deux taux on peut alors déterminer les volumes cible et seuil de revalorisation :

- la revalorisation cible : il s‟agit du montant global de revalorisation cible ;

- la revalorisation seuil : il s‟agit du montant global de revalorisation seuil.



Ces deux paramètres (taux cible et taux seuil) sont identiques pour tous les contrats quels que

soient leurs niveaux de revalorisation technique. Cependant, pour un contrat pris

individuellement, le taux technique peut dépasser le taux cible, voir le taux seuil. Ces paramètres

peuvent donc voir leurs effets annulés.

Il peut être envisagé de retenir un taux seuil inférieur au taux cible ; dans ce cas le taux cible

prend la valeur du taux seuil : il s‟agit de prendre en compte les situations où l‟assureur décide

délibérément de servir la PB en deçà du taux cible quitte à voir les rachats des assurés gonflés.

4.3. Mécanisme de gestion de la PB et de la PPB

Quatre cas de figure peuvent se produire :

Cas 1 : les produits financiers distribuables dépassent la revalorisation seuil et par

conséquent impliquent une dotation du surplus en PPB. On sert tout d‟abord les intérêts

techniques pour chaque contrat puis on attribue les montants distribuables jusqu‟au seuil.

Puis on dote la PPB avec le reste des PFD (Produits Financiers Distribuables).

Cas 1 : les produits financiers distribuables

dépassent la revalorisation seuil

Contrats

PB dotée en PPBPB servieIntérêts techniques

Seuil

Cible

Cas 2 : les produits financiers distribuables sont suffisants pour servir la revalorisation cible

mais ne permettent pas d‟atteindre la revalorisation seuil. On sert les intérêts techniques de

chaque contrat puis on partage les PFD au prorata des PM de chaque contrat.



Cas 2 : les produits financiers sont suffisants pour

servir la revalorisation cible mais pas la

revalorisation seuil

Contrats

PB servieIntérêts techniques

Seuil

Cible

Cas 3 : les produits financiers distribuables sont insuffisants pour servir la revalorisation

cible mais suffisants pour servir les intérêts techniques. On puise dans la PPB, si elle existe,

afin d‟atteindre autant que possible la revalorisation cible, en servant toujours au prorata

des PM ;

Cas 4 : les produits financiers distribuables sont insuffisants pour servir les intérêts

techniques et donc la revalorisation cible. On puise dans la PPB, si elle existe, afin de servir

au mieux les intérêts techniques puis si c‟est possible (toujours au prorata des PM) la

revalorisation cible.

Cas 3 et 4 : les produits financiers sont insuffisants

pour servir la revalorisation cible

Contrats

Revalorisation cible servie autant que possibleIntérêts techniques servis autant que possibleIntérêts techniques

Seuil

Cible



Le but de ce système de gestion de la PPB est de considérer des volumes globaux au lieu

d‟utiliser des taux spécifiques à chaque contrat et ainsi de créer une homogénéité sur l‟ensemble

du portefeuille. On peut noter que les montants dotés en PPB ne peuvent l‟être,

réglementairement, que pour une durée de 8 ans maximale au-delà desquels ils doivent être

distribués, i.e. injecté dans les produits financiers distribuables.

Enfin, cette procédure (via un niveau cible et un niveau seuil) ne s‟applique que pour calculer la

revalorisation des provisions mathématiques des contrats d‟épargne en cours de vie, hors

prestations : les capitaux termes, les sinistres par décès, les rachats sont – quant à eux –

revalorisés avec les p.f.d17

générés sur les placements en représentation de la part des provisions

mathématiques affectées à ces montants de prestations, et ce sans seuil ni cible de revalorisation :

à chaque année de simulation, la distribution est intégrale.


Nous allons détailler le déroulement de ce mécanisme. Voici brièvement les étapes principales à

travers un organigramme détaillé par la suite.

On détermine les taux suivants : le taux de référence du marché, le taux cible et le taux seuil.

Calcul des PMhors PB par contrat, et on déduit la PMhors PB annuel du portefeuille. Création du

tableau n°1 (décrit dans les formules qui vont suivre...)

Calcul des niveaux cible, seuil et des intérêts techniques (noté IT).

Calcul des produits financiers distribuables.

Distribution de la PB et gestion de la PPB.

Calcul du taux de distribution de PB hors IT par année et par assuré

17 Produits financiers distribuables



18

18 a= numéro de l‟année couru entre la date d‟évaluation du BE et la date de terme a=1,..,A; j= numéro de l‟assuré j=1,…,J

t= période en mois t =1,…,12

Calcul des taux (TMG, cible,

seuil, référence)

Calcul des éléments de

la PM hors PB

a = 1

j = J ?

Données Assuré j

Calcul PMn hors PB et création

tableau n°1

t = t+1

a = A ?

Faux

Calcul des niveaux

IT/Cible/Seuil

Vrai

Faux

a = a+1

t = 1

Lecture des paramètres de

simulation

j = 1

t =12? Faux j = j+1

Vrai

Calcul des PFD et

distribution de la PB

Calcul du taux de

distribution de PB par année

et par assuré

Schéma 3. Organigramme du mécanisme de la PB



Étape 1 : Lecture des paramètres de simulation et détermination des taux suivants : le taux de

référence du marché, le taux cible et le taux seuil.


lNbAssures Nombre de contrat dans le portefeuille

AnneeDateTerme Nombre d‟année entre la date d‟évaluation du BE et la date de terme

dTauxSeuil Taux seuil de revalorisation


dChargementEncours Taux de chargement des encours

; 12t tdTRC Taux de rendement comptable annuel de l‟actif simulé


TdCourbeZC() Tableau des taux zéro coupon


dTauxRef Taux de référence du marché (OAT T)

dTauxCible Taux cible de revalorisation


Voir les formules dans la partie explicative plus haut.

Étape 2 : Calcul des PMhors PB par contrat, et on déduit la PMhors PB annuel du portefeuille. Et

création du tableau n°1


x Âge de l‟assuré à la souscription exprimé en mois

y Nombre de mois qui sépare l‟évaluation du BE et la souscription

dCotisationNette Prime unique nette de frais noté S0 dans la formule


nR Taux de revalorisation effectif (crédité au contrat) de l‟année n, PB

incluse








nTPR Taux de pénalité de l‟année n appliquée uniquement pour les 10 premières

années, 5%, Nbr de semestre restant TauxPénalitéFixeMin


PM

Provision mathématique hors PB de l‟année n et du contrat j, noté dans la

formule jnPM

TdTableauPmIt() Voir Tableau 1

PMtotal PMhors PB annuel du portefeuille

Formules :

( ) ( 1) ( )j j jn n nPM PM PM

( ) Primes+Interêt Technique+ Participation aux Bénéfices -PrestationsjnPM

Remarque : Dans les formules qui vont suivre les intérêts et la PB sont compris dans le taux de

revalorisation nR , et dans notre modèle la prime est unique (versée à la souscription)


1, 1,

Prestations

int( /12) 1 12

0 1 3 2

11

1 1 F ( ) ( ) ( ) F ( ) ( )j t t t t

t

n j n

tn

PM S R dTMG Dc p t p t Ra p t

Définition des PM :

Dans un contrat d‟épargne, nous adoptons une vision rétrospective pour le calcul des

PM. En effet, la PM correspond à « l‟encours », à savoir l‟épargne acquise par les assurés

qui est revalorisée chaque année suivant les dispositions contractuelles. De ce fait, la

variation de la PM est égale à la somme des primes nettes versées, des intérêts, de la

participation aux bénéfices, le tout diminué des chargements et des prestations versés aux

assurés (en rapport avec les rachats, les prestations décès et les contrats arrivant à

maturité).




1, 1, 1,

int( /12) 1 12

0 1 3 2 4

11

1 1 F ( ) ( ) ( ) F ( ) ( ) F ( ) ( )j t t t t t t

t

n j n

tn

PM S R dTMG Dc p t p t Ra p t Dc p t

Avec :

1,

int( /12) 1

0

1

F ( ) 1 1

avec ( /12) int( /12) et n=int( /12) 1

t t

t

j n

n

Dc S R dTMG e

e t t t

(Remarque : R1=0)

Et

1,

1,1,

F ( ) si t<120

F ( ) F ( ) sinon

t t

t tt t

nDc Pénalité

RaDc

avec n n nPénalité TPR PM

Remarque : On calcule les PM hors PB, donc au niveau des probabilités de rachat il faut

remplacer le taux crédité par le TMG. En effet à l‟état actuel le taux effectif crédité au contrat

n‟est pas encore déterminé car la PB n‟est pas distribué.

Tableau 1 : tdTableauPmIt()

Numéro assuré j PMj PMj*TMG PMj*TauxCible PMj*TauxSeuil

Étape 3 : Calcul des niveaux cible, seuil et des intérêts techniques (noté IT).



dTauxCible Taux cible de revalorisation


Paramètre Commentaires

PM Provision mathématique du contrat j et de l‟année a


BesoinPBpourITtotal Montant total nécessaire pour couvrir les TMG

BesoinPBcible Niveau nécessaire pour atteindre une revalorisation cible

BesoinPBseuill Niveau nécessaire pour atteindre une revalorisation cible



Formules :

1

lNbAssures

j

j

BesoinPBITtotal PM dTMG

1

lNbAssures

j

j

BesoinPBcible PM dTauxCible

1

lNbAssures

j

j

BesoinPBseuil PM dTauxSeuil

Étape 3 : Calcul des produits financiers distribuables.

Les bénéficies financier à distribuer sous forme de PB est appelé : Produit financier distribuables

noté par la suite PFD.


PMtotal PMhors PB annuel du portefeuille

Paramètre Commentaires

; 12t tdTRC Taux de rendement comptable annuel de l‟actif simulé


PFD Produit financier distribuable de l‟année a

Formule : ; 12t tPFD PMtotal dTRC

Étape 4 : Distribution de la PB et gestion de la PPB


PFD Produit financier distribuable de l‟année a

BesoinPBpourITtotal Montant total nécessaire pour couvrir les TMG

BesoinPBcible Niveau nécessaire pour atteindre une revalorisation cible

BesoinPBseuill Niveau nécessaire pour atteindre une revalorisation cible


tempPPB Variable temporaire qui stocke la provision pour PB

tempPPBSoustrait Représente la portion retranchée de la PPB

D Représente le montant restant après avoir réglé les IT


tdTableauPBdistribue() Tableau des montants de PB distribués chaque année pour chaque

contrat



Formules :

Posons (0, - )D Max PFD ITtotal

( )

,

, ,

tdTableauPBdistribue j

PM dTauxSeuil si PFD seuil

D PM PFDPM dTMG Min si seuil PFD cible

PMtotal lNbAssures

D PM PFD tempPPBPM dTMG Min Min PM dTauxCible

PMtotal lNbAssures lNbAssures

.,

si cible PFD ITtotal

PFD PM tempPPB PMMin PM dTMG si PFD ITtotal

PMtotal PMtotal

1 (0, - ) - n ntempPPB tempPPB Max PFD seuil tempPPBSoustrait

0, ,

Max 0, Min ,

tempPPBMax Min PM dTauxCible si cible PFD ITtotal

lNbAssurestempPPBSoustrait

tempPPB PMPM dTMG si PFD ITtotal

PMtotal

Étape 5 : Calcul du taux de distribution de PB hors IT par année et par assuré


jI

Soit jI le montant de PB distribué dans la tranche n°j, 1j n – où

n désigne le nombre de taux techniques présents en portefeuille pour

la période en cours de simulation.

PM dTMG Montant nécessaire pour couvrir les IT du contrat j, noté jIT

jPM Niveau des provisions du contrat j


jr Taux de revalorisation hors IT calculé par tranche de taux

Formule :

j j

jj

I ITr

PM

d‟où le taux de revalorisation (Rn) du contrat j et de l‟année n = TMG + jr



Une fois le processus de revalorisation des contrats terminé, nous pouvons atteindre notre

objectif : calculer un Best estimate qui tente de refléter au plus proche la réalité des

engagements.

5. Calcul des flux de prestation et du Best estimate

Notations et remarques :

- Les flux sont partagés en deux termes : le premier pour la revalorisation jusqu‟au 31/12

de l‟année N-1, et le deuxième pour la partie couru sur l‟année N.

- Il faut noter qu‟ici t est le nombre de mois couru depuis la date d‟évaluation.


X Âge de l‟assuré à la souscription exprimé en mois

Y Nombre de mois qui sépare l‟évaluation du BE et la souscription

dCotisationNette Prime unique nette de frais noté S0 dans la formule


nR Taux de revalorisation effectif (crédité au contrat) de l‟année n, PB incluse


, 12t tTPR

Taux de pénalité de l‟année t/12 appliquée uniquement pour les 10

premières années, 5%, Nbr de semestre restant TauxPénalitéFixeMin






FPA Flux probables actualisés

BEcontrat Best estimate du contrat, noté BE j dans la formule

BEtotal Best estimate du portefeuille

BEMoyen Best estimate moyen de l‟ensemble des scénarios, noté BEFinal

Formules :

On a : èmeFlux futurs probables dans la n année, actualisés au taux sans risquenFPA



On a alors la FPA de l‟année n et du contrat j.


1, 1,

12

1 3 2

1

(0; ) F ( ) ( ) ( ) F ( ) ( )j t t t tn

t

p tFPA Dc p t p t Ra p t


1, 1, 1,

12

1 3 2 4

1

(0; ) F ( ) ( ) ( ) F ( ) ( ) F ( ) ( )j t t t t t tn

t

p tFPA Dc p t p t Ra p t Dc p t

Avec :

1,

int( /12) 1

0

1

F ( ) 1 1

avec ( /12) int( /12) et n=int( /12) 1

t t

t

j n

n

Dc S R dTMG e

e t t t

(Remarque : R1=0)

Et

1,

1,1,

F ( ) si t<120

F ( ) F ( ) sinon

t t

t tt t

nDc Pénalité

RaDc

avec , 12n nt tPénalité TPR PM

Et ( /12)

1(0; )

(1 )t

t

p tr

(facteur d‟actualisation) avec tr le taux zéro coupon annuel.

On obtient au finale le Best estimate du contrat tel que :

Puis le Best estimate du portefeuille par:

Au final nous obtenons :

jj nBE FPA

AnnéeTerme

n AnnéeEvaluation

total jj NbrAssuré

BE BE

Nbr de Simulation

TotalFinal

BEBE



Chapitre 5 Tests et analyse des résultats

L‟objectif de ce chapitre est de tenter d‟approuver notre modèle d‟évaluation du Best estimate

basé sur le portefeuille décrit au début du chapitre 4. Pour ce faire, nous réaliserons une batterie

de tests. Nous partirons d‟une situation de référence, puis nous ferons varier certains paramètres

afin de calculer le Best estimate et une série de mesures de sensibilités.

Dans un premier temps, nous allons décrire les éléments du contexte sur lequel ont été réalisés

les tests. Puis nous étudierons l‟impact des différents facteurs de risque sur l‟évaluation du Best

estimate. Les résultats présentés (encore primaires) devront être affinés par la suite.

1. Contexte

Mortalité

Nous retenons pour la mortalité une table d‟expérience qui se définit comme la table de mortalité

TH 00-02. Rappelons que nos projections sont mensuelles, voici alors un aperçu de l‟allure de la

courbe de mortalité.

Graphique 2: Table de mortalité TH 00-02

Table de mortalité TH 00-02

0

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

0,008

12

70

128

186

244

302

360

418

476

534

592

650

708

766

824

882

940

Age en mois

Pro

bab

ilit

é



Rachats

Nous avons vu qu‟il est assez difficile de définir un comportement rationnel pour les assurés qui

effectuent des rachats de contrats d‟assurance vie. En effet, ce genre de décision fait intervenir

plusieurs éléments qui sont de natures diverses. Nous avons alors découpé le rachat en une

partie déterministe et une partie dynamique. La partie déterministe est issue d‟une table de rachat

d‟expérience (issue du cabinet Winter). Il reste encore à prendre en compte les rachats liés aux

fluctuations des taux d’intérêts qui prévalent sur le marché. Ces rachats peuvent avoir un

impact non négligeable sur la valeur du portefeuille. En effet, un écart élevé entre le taux crédité

au contrat et le taux de référence du marché peut conduire certains assurés à racheter leurs

contrats dans le but de trouver une meilleure opportunité de placement, avec un taux garanti plus

élevé par exemple. Ainsi, quand le taux de référence est élevé, les rachats ont tendance à

augmenter alors qu‟une baisse des taux n‟induit pas de vague supplémentaire de rachats.

Taux de rachat additionnel= Min .Max(Taux de référence - taux crédité au contrat ;0);(n-1)

Nous fixons 7 et =20%

Voici l‟allure de la loi de rachat additionnelle (voir la section : Modélisation des sorties, Chap. 4)

Graphique 3: Loi de Rachat additionnelle

Simulation de l’actif

Dans le cadre des simulations de l‟actif, le taux de dividende est fixé à 0 de sorte à produire le

rendement total des actions. Nous raisonnons sur une valeur initiale S0 égale à 100 et pour le

taux coupon initial 3.5 %. La volatilité et la corrélation entre les rendements sur action et le taux

court ont été estimées à partir d‟une analyse des données historiques.



Voici alors un aperçu d‟une simulation de l‟actif selon nos modèles :

Graphique 4: Cours moyen de l'action simulé

Graphique 5: Courbe du taux moyen de coupon

Provisions mathématiques moyennes

Juste un aperçu des provisions mathématiques pour montrer que notre modèle est bien cohérent

au niveau de la tendance haussière des PM. En effet chaque année l‟épargne acquise augmente.

Taux de coupon de l'obligation perpétuelle

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91

Maturité en mois

Montant des PM annuels

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

1 2 3 4 5 6 7

Année

Eu

ro

Cours moyen de l'action

0

100

200

300

400

500

600

700

1 8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

Maturité en mois



2. Étude de l’impact des différents facteurs de risques

2.1. Situation de référence

Nous allons nous baser sur la situation de référence décrite dans le début du chapitre 4, à partir

de laquelle nous allons modifier certains paramètres de sorte à pouvoir observer l’impact des

différents facteurs de risque sur le Best estimate.

Nous rappelons les principales hypothèses retenues pour cette situation de référence :

- rachats déterministes et dynamiques ;

- garantie de taux minimum (TMG);

- participation aux bénéfices réglementaire: distribution de 90 % du rendement financier net;

augmentée de la PB discrétionnaire (commerciale)

- politique d‟investissement : maintenir en valeur de marché la répartition de 30 % en actions,

70 % en obligations.

Nous appelons « Base » l‟évaluation qui ne prend pas en compte la garantie de TMG (TMG=0)

et les rachats dynamiques en rapport avec le taux de référence sur le marché (nous ne

considérons alors que les rachats déterministes), et la PB discrétionnaire (nous ne considérons

alors que la PB réglementaire).

À partir de la situation de base, nous évaluons le Best estimate moyen en ajoutant d‟abord

uniquement la garantie de TMG, puis nous procédons de même avec l‟option de rachats

dynamiques ainsi qu‟avec la PB discrétionnaire. Enfin, pour arriver à notre situation de

référence, nous calculons le BE moyen en combinant la garantie de TMG et l‟option de rachats

dynamiques ainsi que la PB discrétionnaire.

BE Variation

Base 501 546,22

Avec garantie de TMG 516 093,55 +2,90%

Avec les rachats dynamiques 609 643,72 +21,55%

Avec la PB discrétionnaire 622 698,50 +24,16%

Situation de référence 556 240,28 +10,91%

Remarque :

Pour chaque simulation, on a effectué 1000 scénarios



Pour la situation de référence, nous obtenons un BE moyen égale à 556 240,28 €, soit une

augmentation de valeur de 10.91 %% par rapport à une situation sans option ni garantie, ce qui

est très significatif.

Le coût des garanties s‟élève à 54 694,06 € (= 556 240,28 - 501 546,22). Nous pouvons

remarquer que la garantie de TMG, les rachats dynamiques et la PB discrétionnaire se

compensent puisque ce coût global ne correspond pas à la somme des coûts de chaque garantie

prise isolément. Celle-ci vaut en effet 243 797,12 €, dont :

Coût

Base

Avec garantie de TMG 14 547,34

Avec les rachats dynamiques 108 097,50

Avec la PB discrétionnaire 121 152,28

Total 243 797,12

L’augmentation du BE est donc surtout liée à la PB discrétionnaire, même si le coût de cette

garantie est allégé lorsque nous introduisons le phénomène des rachats dynamiques et la garantie

TMG. De plus on constate que la garantie TMG coûte moins cher que l‟option des rachats

dynamiques. Ainsi, nous pouvons déjà dire qu‟il est plus intéressant (notamment lorsque le

rendement des actifs est faible) pour l‟assureur de supporter la charge liée à la garantie de TMG

que l‟assuré rachète son contrat d‟épargne par anticipation.

La présence des rachats dynamiques diminue la PB discrétionnaire car elle provoque une

diminution des provisions mathématiques (au niveau des prestations). En revanche, elle

augmente légèrement avec la garantie de TMG: les TMG impliquent un taux de revalorisation de

l‟épargne plus important ce qui se traduit par un accroissement plus rapide des provisions

mathématiques. L‟effet combiné de la garantie de TMG et des rachats dynamiques aboutit à une

PB plus faible par rapport à la situation de base (l‟impact des rachats étant plus significatif).

Ces résultats, à eux seuls, ne permettent pas de confirmer la hauteur des engagements de la

compagnie d‟assurance. En effet, diffuser une valeur, sans la mettre en relation avec les risques

auxquelles la compagnie peut être confrontée, n‟a aucun intérêt. C‟est pourquoi, nous allons faire

varier différents paramètres pour comprendre les risques auxquelles la société est soumise et les

conséquences que cela peut avoir sur l‟évaluation du Best estimate.



2.3. Impact des rachats dynamiques

Nous choisissons d‟étudier l‟impact des rachats dynamiques en faisant varier le taux de

référence utilisé lors du calcul de l’écart avec le taux crédité au contrat:

- « Taux_ref » fait référence à la situation de référence (avec la garantie de TMG) ;

- « Taux_ref -0.3% » correspond à une évaluation où nous diminuons de 0.3% le taux de

référence ;

- « Taux_ref +0.3% » correspond à une évaluation où nous augmentons de 0.3% le taux de

référence.

Rappelons que le taux de rachat dynamique s‟obtient suivant cette formule :

Taux de rachat dynamique=Min {7*Max (Taux de référence-Taux crédité au contrat;0) ; 0.2}

Le taux de référence du marché correspond au taux d‟une obligation zéro-coupon sans risque, de

maturité 10 ans.

BE Variation

Taux_ref 556 240,28 Taux_ref -0,3% 548 173,15 -1,45%

Taux_ref +0,3% 567 138,27 1,96%

Toutes choses égales par ailleurs, si le taux de référence utilisé pour calculer le taux de rachat

dynamique augmente, nous observons un accroissement des rachats dynamiques (l‟écart entre le

taux de référence et le taux servi étant plus élevé) et par conséquent une hausse du BE moyen.

En effet, les assurés qui rachètent leur contrat par anticipation, augmentent les provisions

mathématiques ainsi que les flux probables.

2.4. Impact de la garantie de taux

Nous faisons varier le TMG de 1 %, dans un premier cas à la baisse (situation notée « TMG -

1% »), et dans un second cas à la hausse (situation notée « TMG +1% »).

Nous notons « TMG_ref » la situation de référence.

Nous allons d‟abord étudier l‟impact de cette garantie de manière isolée puis nous ajouterons les

rachats dynamiques ainsi que la PB discrétionnaire.



Sans option des rachats dynamiques ni PB discrétionnaire :

BE Variation

TMG 517 768,46

TMG -1% 506 454,81 -2,19%

TMG +1% 522 742,33 +0,96%

Le fait de diminuer de 1% le TMG implique une diminution du BE moyen de – 2.19 % (avec une

valeur de 506 454,81€), alors que l‟effet inverse implique une augmentation du BE moyen égale

à +0.96 % (nous obtenons une valeur de 522 742,33€). Il semble donc évident que le BE soit

sensible au TMG appliqué.

Lorsque le TMG est élevé, la probabilité de déclencher les garanties augmente ce qui signifie

que la compagnie est plus sensible aux variations du taux. Cette exposition au risque se

manifeste dans le besoin en capital, notamment sur les flux de prestation probables.

Avec option des rachats dynamiques et sans PB discrétionnaire :

BE Variation

TMG 568 723,63

TMG -1% 552 193,56 -2,91%

TMG +1% 528 884,40 -7,01%

La prise en compte des rachats dynamiques diminue le BE moyen :

- la baisse de 1% du TMG aboutit une diminution de -2,91 % sur le BE moyen, car cela implique

une diminution des flux probables.

- la hausse de 1% du TMG aboutit à une diminution de -7,01 %, car le TMG augmente le taux de

revalorisation et donc diminue l‟écart entre le taux de référence et le taux de revalorisation, ce

qui implique une baisse du taux de rachat additionnel et donc des probabilités de sorties (Flux

probables diminue).

Sans option des rachats dynamiques et avec la PB discrétionnaire :

BE Variation

TMG 527 313,99

TMG -1% 513 513,44 -2,62%

TMG +1% 531 890,97 0,87%

On constate que la hausse du TMG un impact haussier sur le BE moyen en considérant la PB

discrétionnaire. Et inversement dans le cas d‟une baisse. Ce qui s‟explique par la hausse et la

baisse des PM et donc des taux de revalorisation et des flux probables.



Avec option des rachats dynamiques et la PB discrétionnaire :

BE Variation

TMG 561 857,92

TMG -1% 553 998,56 -1,40%

TMG +1% 546 881,56 -2,67%

En combinant l‟option des rachats dynamiques et de la PB discrétionnaire on constate une baisse

du BE moyen dans le cas d‟une hausse du TMG. Il est clair alors que le poids de l‟option du

rachat dynamique prend le dessus sur la PB discrétionnaire. En effet nous avons vu que suite à

une hausse du TMG le taux de rachat additionnel diminue et donc diminue directement la

probabilité des flux de sortie (par conséquent le BE aussi).

2.5. Impact de la composition de l’actif

Nous étudions à présent l‟impact que peut causer une modification de la politique

d‟investissement. Pour ce faire, nous considérons des stratégies plus ou moins risquées en

faisant varier la proportion investie en actions et en obligations. En plus de la situation de

référence (qui se caractérise par une proportion d‟actions égale à 30 % et une proportion

d‟obligations égale à 70 %), nous envisageons deux situations :

- « Actions_25 % » : le portefeuille d‟actifs se compose alors de 25 % d‟actions, 75 %

d‟obligations ;

- « Actions_35 % » : le portefeuille d‟actifs se compose alors de 35 % d‟actions, 65 %

d‟obligations ;

Avant de les confronter avec la situation de référence, nous commençons par analyser chaque

situation.

Situation Action_25 % :

BE Variation

Base 497 978,22



Avec la PB discrétionnaire 471 971,61 -5,22%

Situation Totale 550 800,85 +10,61%



Nous obtenons dans ce cas un BE moyen de 550 800,8 €, soit une hausse de valeur de 10.61 %

par rapport à la situation de base qui ne tient compte ni de la garantie de TMG, ni de l‟option de

rachats dynamiques ni de la PB discrétionnaire.

Le coût des options et des garanties s‟élève à 52 822,63 € (=550 800,85– 497 978,22) avec une

domination du coût des rachats dynamiques. Alors que la somme des coûts individuels est

plus élevé.

Coût

Base



Avec la PB discrétionnaire -26 006,61

Total 106 440,69

Situation Action_35 % :

BE Variation

Base 504 195,19



Avec la PB discrétionnaire 473 047,88 -6,18%

Situation Totale 555 954,49 +10,27%

Nous obtenons dans ce cas un BE moyen de 555 954,49 €, soit une hausse de valeur de 10.27 %

par rapport à la situation de base qui ne tient compte ni de la garantie de TMG, ni de l‟option de

rachats dynamiques ni de la PB discrétionnaire.

Le coût des options et des garanties s‟élève à 51 759,3 € (=555 954,49– 504 195,19) avec une

domination du coût des rachats dynamiques. Alors que la somme des coûts individuels est

plus élevé, mais inférieur à celle de la situation « Action_25 % ».

Coût

Base



Avec la PB discrétionnaire -31 147,32

Total 96 763,56



Confrontation des résultats avec la situation de référence

BE Variation

Situation de référence (30 %) 553 170,75

Action_25% 550 800,85 -0,43%

Acion_35% 555 954,49 0,50%

Le BE moyen paraît sensible à la composition du portefeuille d’actifs. En effet, le fait de

varier de plus ou moins 5% la proportion des actions (au détriment ou en faveur des obligations)

provoque des modifications du BE moyen.

Plus la stratégie est risquée, plus l‟optionalité présente dans les contrats d‟épargne est coûteuse,

et plus le BE moyen augmente. En effet, si le portefeuille d‟actifs est très volatile (en raison

d‟une grande proportion d‟actions), les rendements du portefeuille auront une probabilité plus

grande de devenir faibles voire négatifs, ce qui déclenchera plus fréquemment la garantie de

TMG, provoquant ainsi un coût supplémentaire à l‟assureur. Ce dernier est en effet dans

l‟obligation de servir les taux promis, quels que soient les aléas du marché financier.

Une politique d‟investissement en actifs plus risqués se traduit par une espérance de rentabilité

plus élevée mais aussi par une exposition au risque plus grande (liée à la volatilité du portefeuille

investi). Il faut donc faire un bon compromis entre risque et rentabilité : le fait d‟avoir une

espérance de rentabilité plus attractive implique un coût lié au risque supporté qui peut induire

des pertes potentielles plus lourdes de conséquences que les gains probables créateurs de valeur.

À l’issue de la réalisation de ces tests, on peut tirer deux conclusions principales :

Le risque financier qui s’exprime pour une certaine partie au travers des taux de

rachats additionnels (rachats dynamiques) a une part beaucoup plus importante

que le risque technique (probabilité de décès quasi-minimes) dans l’évaluation du

Best estimate d’un portefeuille de contrat d’épargne en euros.

La participation aux bénéfices discrétionnaire (PB au-delà de la réglementaire) joue

un rôle majeur dans l’évaluation exacte du BE, jusque là ignorer dans les modèles

de solvabilité précédents (qui sous évaluer le BE, en tenant compte exclusivement de

la PB réglementaire).

En clair toutes les garanties et options des contrats d’épargnes doivent être à présent

considérées dans l’évaluation des passifs de l’assureur.



3. Les limites du modèle

Différentes limites peuvent être citées si bien sur les modèles utilisés que les hypothèses émises.

Ces limites pourront être corrigées à l‟avenir. Les limites sont les suivantes :

Le modèle considère un TMG unique et constant jusqu‟au terme des contrats, une date de

souscription et une date de terme unique pour l‟ensemble du portefeuille, alors que dans

la réalité chaque contrat est différent.

Nous n‟avons pas considéré les primes périodiques ou libres, ni les chargements et taxes

associés à ce type de contrat.

Au niveau de l‟actif seul les actifs financiers sont modélisés, on a considéré uniquement

des actifs de même maturité et de même caractéristiques et donc la ventilation des actifs

se fait en moyenne de la valeur nette comptable. Alors que dans la réalité le portefeuille

d‟actifs est bien plus détaillé.

Différentes provisions concernant la gestion des placements n‟ont pas été modélisées,

notamment la réserve de capitalisation, provision pour aléa financier ainsi que la

provision pour risque d‟exigibilité.

Au niveau de l‟outil, le temps d‟exécution devient assez long lorsque le nombre de

simulations est important.

Toutefois, la maquette réalisée devrait être encore optimisée et améliorée durant la fin de

mon stage, de façon à proposer au client un outil encore plus performant.



Conclusion générale

En Europe, l‟assurance vie et sa réglementation sont en train de vivre une période d‟évolutions

considérables, où le risque constitue une préoccupation primordiale.

« L‟évaluation Best estimate des engagements d‟assurance constitue dorénavant une étape

incontournable de la détermination des provisions prudentielles (Solvabilité II) ou comptables

(phase 2 de la norme IFRS sur les contrats d‟assurance), mais également de l‟exigence des fonds

propres. En effet la formule standard de calcul du SCR requiert notamment de mesurer des

amplitudes de variation du Best estimate consécutive à des chocs. » (Paru dans la Tribune,

P.Therond).

Les normes IFRS définissent un référentiel comptable commun unique, fondé sur le principe de

« Fair Value », à savoir une valorisation des actifs et des passifs en juste valeur, offrant ainsi une

vision économique de la société. Le projet Solvabilité II crée un cadre européen prudentiel qui

permet d‟apprécier la solvabilité globale des compagnies, en adoptant une approche intégrée des

risques et une évaluation des actifs et des passifs qui soit cohérente avec le marché. Les

entreprises d‟assurance sont donc amenées à mieux connaître et gérer leurs risques.

Afin de retracer une image fidèle de la compagnie et communiquer des informations pertinentes

concernant sa santé et la hauteur de ses engagements, il faut donc disposer d‟outils susceptibles

de contrôler les processus de connaissance et de gestion des risques. Les approches utilisées

doivent être conformes aux principes de la réglementation, fondées sur la réalité des aspects

économiques, et capables de tenir compte au plus juste du profil de risque de la société.

Pour ce faire, l‟évaluation des actifs et des passifs doit se faire en valeur de marché. Or, il

n‟existe pas de prix de marché pour la majorité des passifs d‟assurance vie. Tout le problème

réside alors dans la manière de valoriser ces passifs. Nous avons vu que dans ce cas, seule une

modélisation stochastique permet de tenir compte de la volatilité des phénomènes étudiés (en

particulier dans le cas des options et des garanties financières présentes dans les contrats

d‟épargne en euro) et d‟obtenir une estimation qui soit le plus proche de la réalité économique.



Tables et Bibliographie



Liste des Figures

Figure 1: Architecture du projet Solvabilité II ______________________________________ 25

Figure 2: Valeur minimum du Best estimate ________________________________________ 39

Figure 3: Taux Forward _______________________________________________________ 39

Figure 4: Valeur intrinsèque du Best estimate ______________________________________ 40

Figure 5: Taux de rachat structurel ______________________________________________ 83

Liste des Schémas

Schéma 1: Organigramme général du calcul d’un BE d’un portefeuille de contrats euroI ____ 78

Schéma 2: Organigramme du mécanisme de la gestion d’actifs ________________________ 91

Schéma 3: Oganigramme du mécanisme de la PB __________________________________ 109

Liste des Graphiques

Graphique 1: Une vision segmentée de l'assurance vie _______________________________ 42

Graphique 2: Table de mortalité TH 00-02 _______________________________________ 116

Graphique 3: Loi de Rachat additionnelle ________________________________________ 117

Graphique 4: Cours moyen de l'action simulé _____________________________________ 118

Graphique 5: Courbe du taux moyen de coupon ___________________________________ 118



Bibliographie

Ouvrages

Foata : Processus stochastiques ; Dunot (2002)

Hull : Options, futures et autres actifs dérivés ; 5e édition, Pearson Education

France(2004)

Le Vallois, Palski, Paris, Tosetti : Gestion Actif Passif en Assurance Vie, Réglementation,

outils, méthodes ; Economica (2003)

F.Planchet, P.Thérond, J.Jacquemin : Modèles financiers en assurances, Analyses de

risques dynamiques ; Economica (2005)

Jean-François Piraud : Le contrat d’assurance vie, Verneuil (2004)

Jacques Le Pape, Guillaume Leroy : Analyse financière et actuarielle, l‟Assurance

Française (1995)

Publications

Hoai Minh Lam, Christine Barbier: Gestion Actif/Passif de portefeuilles des

institutionnels, Contrat d’assurance vie en capital à prime non unique, Colloque AFIR19

F.Planchet, P.Thérond : Simulation de trajectoires de processus continus ; ISFA-

Laboratoires SAF, JWA-Actuaires (2004)

F.Planchet, P.Thérond : L’utilisation des méthodes de simulation en assurance ; ISFA-

Laboratoires SAF, JWA-Actuaires (2004)

F.Black, M.Scholes : The pricing of option and corporate liabilities, Journal of Political

economy (1973)

O.Vasicek: An equilibrium characterisation of the term structure, Journal of financial

economics (1977)

Commission européenne : QIS4 Technical Specifications, (2007)

Documents internes du cabinet Winter&Associes

19 Approche actuarielle des risques financiers



Mémoires

Autier, Cayeux : Garanties implicites d’un contrat d’assurance-vie en euros ; Mémoire

ENSAE (2002)

P.Kaltwasser, P.Le Moine, Modèle de risque et solvabilité en assurance vie, ENSAE

(2004)

C.Kaeckenbeek, A.Miller : Solvabilité réglementaire des assureurs vie, Université

Catholique de Louvain (2006)

M.Chemouny, Simulation prospectives de contrats d’épargne, ULP (2005)

Koch : L’évaluation d’un portefeuille de contrats selon les recommandations du CFO

Forum ; Mémoire ULP (2005)

C.Riedinger : Modélisation stochastique des produits de prévoyance, ULP (2007)

F.Henge : Rapprochement des concepts de la valeur intrinsèque et du capital économique

en assurance vie (2007)

Cours de la formation d’actuaires de l’ULP

Bufflier : Droit des assurances (2008)/ Mathis : Fiscalité des Assurances (2008)

Heinrich : Comptabilité des assurances (2008)

Merli, Roger : Options et gestion du risque de taux (2008)

Rubio : Assurance vie (2007 et 2008)

Sites Internet

www.cfoforum.nl

www.fbf.fr

www.ffsa.fr

www.iasb.org

www.institutdesactuaires.com

www.legifrance.gouv.fr

www.wikipedia.org

www.ressources-actuarielles.net



Liste des abréviations

AOA : Absence d‟Opportunité d‟Arbitrage

CADES : Caisse d‟Amortissement de la Dette Sociale

CAPM : Capital Asset Pricing Model

CECAPP : Comité Européen des Contrôleurs des Assurances et des Pensions

Professionnelles

CFO : Chief Financial Officers

CSG : Contribution Sociale Généralisée

DSK : Anciens contrats d‟assurance vie investis en actions

EC: Capital Economique (Economic Capital)

EDS : Equation Différentielle Stochastique

EEV : European Embedded Value

EV : Valeur Intrinsèque (Embedded Value)

IAIS : International Association of Insurance Supervisors

IAS : International Accounting Standards

IASB : International Accounting Standards Board

IASC : International Accounting Standards Commitee

IFRIC : International Financial Reporting Interpretations Committee

IFRS : International Financial Reporting Standards

MC : Cohérent avec les valeurs de marché (Market-Consistent)

MCEV : Market-Consistent Embedded Value

MCR : Exigence minimale de capital sous Solvabilité II (Minimum Capital

Requirement)

MS : Marge de solvabilité réglementaire sous Solvabilité I

NAV : Net Asset Value

NSK : Nouveaux contrats d‟assurance vie investis en actions

OAT : Obligation d‟État

OCDE : Organisation de Coopération et de Développement Economiques

OPCVM : Organisme de Placement Collectif en Valeurs Mobilières



PAF : Provision pour Aléas Financiers

PB : Participation aux Bénéfices

PDD : Provision pour Dépréciation Durable

PEA : Plan d‟Epargne en Actions

PEL : Plan d‟Epargne Logement

PEP : Plan d‟Epargne Populaire

PFD : Produits Financiers distribuable

PGG : Provision Globale de Gestion

PGP : Provision pour la Garantie Plancher

PM : Provision Mathématique

PPB : Provision pour Participation aux Bénéfices

PPE : Provision pour Participation aux Excédents

PRE : Provision pour Risques d‟Exigibilité

PVFP : Valeur actuelle des profits nets distribuables aux actionnaires (Present Value of

Future Profits)

PVIF : Valeur actuelle du stock de contrats (Present Value of In Force)

RdC : Réserve de Capitalisation

SCI : Société Civile Immobilière

SCR : Exigence de capital de solvabilité sous Solvabilité II (Solvency Capital

Requirement)

SICAV : Société d‟Investissement à Capital Variable

TEV : Méthode traditionnelle du calcul de la Valeur Intrinsèque (Traditionnal Embedded

Value)

TME : Taux Moyen des Emprunts d‟Etat

TMG : Taux Minimum Garanti

TP : Titre Participatif

TRC : Taux de Rendement comptable des Actifs

TVaR : Tail-Value-at-Risk

VaR : Value-at-Risk

VIF : Valeur du stock (Value of In Force)



Glossaire

Absence d’Opportunité d’Arbitrage : Il n‟est pas possible de construire un portefeuille

sans risque qui ait un rendement plus élevé que le taux sans risque ; chaque séquence de

flux futurs ne peut avoir qu‟une seule valeur actuelle qui est identique à la valeur du

portefeuille utilisé pour le répliquer

Approche Market-Consistent : Méthode de valorisation cohérente avec les valeurs de

marché, où les risques sont calibrés à partir d‟une évaluation de marché des flux de

trésorerie issus des produits

Approche Monde Réel ou Real World : Méthode traditionnelle de valorisation

financière, basée sur des données historiques et observables, où les risques sont calibrés

sur le prix de marché des flux de trésorerie versés aux actionnaires et aux créanciers

(suivant la formule d‟équilibre du MEDAF)

Bâle II : Directive applicable au secteur bancaire et regroupant l‟intégralité des

exigences en fonds propres

Bilan économique : Bilan d‟une compagnie présentant ses actifs et ses passifs sur la base

de leur valeur de marché

Capital Economique, Economic Capital : Montant de capital suffisant pour couvrir les

pertes potentielles à un niveau de tolérance au risque donné et pour un horizon de temps

spécifié

Contrat d’assurance : « contrat selon lequel une partie (l‟assureur) accepte de couvrir

un risque d‟assurance significatif d‟une autre partie (le titulaire de la police) en convenant

d‟indemniser le titulaire de la police si un évènement futur incertain spécifié

(l‟événement assuré) affecte de façon défavorable le titulaire de la police »

Discrétisation approchée : La loi du processus continu à simuler est approchée aux

instants de discrétisation par des processus discrets qui convergent vers le processus à

simuler

Discrétisation exacte : La loi du processus à simuler est connue à n‟importe quel

moment du temps et en particulier aux instants de discrétisation

EEV : Valeur Intrinsèque stochastique, calculée selon les normes du CFO Forum



Engagements réglementés : Engagements dont les groupements pratiquant des

opérations d‟assurance et de capitalisation doivent être en mesure de justifier l‟évaluation

; ils comportent les provisions techniques , les dettes privilégiées, les dépôts de garantie

des adhérents et des tiers, la réserve pour amortissement des emprunts et le passif social

Épargner : Placer de l‟argent qui devient indisponible pour les paiements immédiats et

la consommation courante

Fonction d’utilité : Fonction croissante et différentiable (avec une utilité marginale

décroissante), qui caractérise la richesse d‟un investisseur et qui permet à ce dernier

d‟établir un classement entre les différents portefeuilles disponibles

Fonds propres : somme du capital social, du résultat non distribué de l‟exercice et des

réserves

Juste Valeur, Fair Value : « montant pour lequel un actif pourrait être échangé, ou un

passif atteint, entre des parties consentantes et bien informées dans le cadre d‟une

transaction effectuée dans des conditions de concurrence normale » (valorisation des

éléments en valeur de marché)

Marché complet : Marché où le nombre de sources de risques est égal au nombre

d‟actifs dans le modèle

Marché efficient : Marché caractérisé par le fait qu‟à tout moment, les prix reflètent

l‟information disponible ; les prix ne sont jamais « éloignés » de la valeur fondamentale

des entreprises

Marge de solvabilité : Montant de capital devant être disponible à tout moment qui est

imposé par la réglementation aux entreprises pratiquant des opérations d‟assurance et de

capitalisation, dans le but de protéger les assurés et de garantir le respect des

engagements de l‟assureur

Market-to-market : Les prix du marché sont utilisés comme une référence

MCEV : Valeur Intrinsèque stochastique cohérente avec les valeurs de marché

Modèle stochastique : Modèle visant à prendre en compte la volatilité des phénomènes

étudiés dans ses résultats, en tirant aléatoirement de nombreux scénarios (correspondant à

autant d‟état de la nature) et en évaluant statistiquement les risques



Norme IAS 32 : Norme comptable décrivant les informations à fournir et à présenter par

une compagnie dans le cadre de la comptabilisation des instruments financiers

Norme IAS 39 : Norme comptable décrivant la comptabilisation et l‟évaluation des

instruments financiers

Norme IFRS 4 : Norme comptable visant à décrire la comptabilisation des contrats

d‟assurance

Normes IFRS : Normes comptables internationales fondées sur le principe de « Juste

Valeur », élaborées par l‟IASB, auxquelles doivent se soumettre les entreprises cotées sur

les marchés européens (pour les comptes 2005 et suivants)

Options cachées (pour un contrat d’épargne) : Garanties ou droits variés conférés aux

assurés par la réglementation ou par clauses contractuelles, afin de rendre les contrats

d‟épargne plus souples et plus attractifs

Participation aux bénéfices : Redistribution aux assurés d‟une partie des bénéfices

techniques et financiers réalisés par la compagnie

Prime de risque : Revenu espéré supplémentaire exigé par les investisseurs lors d‟achats

dans des actifs risqués, tels que les actions

Probabilité de ruine : Probabilité que le total des actifs de la compagnie soit insuffisant

pour couvrir l‟ensemble des engagements (en valeur actuelle) que l‟assureur a envers ses

assurés ; autrement dit, il s‟agit de la probabilité que la valeur actuelle des résultats nets

probables distribuables aux actionnaires devienne négative

Réserve de capitalisation : Provision concernant la gestion des placements qui permet

de se parer à la dépréciation des valeurs de certains actifs de l‟entreprise et à la

diminution de leurs revenus ; l‟objectif est de lisser les résultats financiers des placements

en cas de variation des taux

Risque : Tout évènement aléatoire qui réduit la capacité de l‟assureur à faire face à ses

engagements

Ruine : Évènement caractérisant le fait que la valeur actuelle des engagements de

l‟assureur envers ses assurés dépasse la valeur de marché des actifs de la compagnie

d‟assurance (i.e. la valeur actuelle des résultats nets probables distribuables aux

actionnaires devient négative)



Simulation stochastique : Simulation permettant de créer des réalisations de variables

aléatoires (en particulier des variables économiques ou financières) dans une situation

plus ou moins complexe

Solvabilité I : Régime de solvabilité actuellement en vigueur dans l‟Union Européenne

Solvabilité II : Projet visant à réformer Solvabilité I grâce à une approche intégrée des

risques

Solvable : Capacité d‟une compagnie de respecter à tout instant ses engagements envers

les membres participants et les autres créanciers

Taux actuariel : Taux qui égalise au moment de l‟achat d‟un titre, le prix d‟acquisition

et la valeur obtenue par l‟actualisation de l‟ensemble des flux à venir relatifs à ce titre

Taux au pair : Taux de coupon d‟une obligation qui permet d‟égaliser son prix avec sa

valeur nominale

Taux minimum garanti : Taux de rémunération de l‟épargne que l‟assureur s‟engage à

garantir lors de la souscription d‟un contrat d‟épargne

Test de la martingale : Test consistant à vérifier que la valeur escomptée de tout actif

est une martingale par rapport à la probabilité risque-neutre

Univers réel : Univers dans lequel les agents économiques sont averses au risque ; ils

sont prêts à détenir des actifs risqués uniquement si le risque supporté par leur position

est compensée par une espérance de rentabilité plus élevé que le taux sans risque

Univers risque-neutre : Univers dans lequel les agents économiques sont neutres face

au risque ; le rendement de tout actif est alors égal au taux sans risque

Valeur économique : Valeur qui est fonction du prix d‟échange sur les marchés ; résultat

de la différence entre les actifs et les passifs évalués en valeurs de marché et inscrits au

Bilan économique d‟une compagnie

Valeur historique : Valeur au coût d‟acquisition

Valeur Intrinsèque, Embedded Value : Valeur actuelle des profits futurs probables

distribuables à l‟actionnaire, hors ventes futures (prix théorique qu‟un investisseur serait

prêt à payer pour acquérir l‟ensemble de la société)



Annexes

Annexe 1. Règles de Solvabilité I

Annexe 2. Constantes de l‟algorithme de Moro

Annexe 3. Code VBA



1. Règles de Solvabilité I

Pour la non-viee

Indice des primes = (18% de la première tranche de 50 millions € de primes brutes + 16%

des primes brutes restantes) * taux de rétention ;

Indice des sinistres = (26% de la première tranche de 35 millions € de sinistres bruts

moyens + 23% des sinistres bruts restants) * taux de rétention ;

Taux de rétention = max (sinistres nets / sinistres bruts moyens ; 50%) ;

Sinistres bruts moyens = sinistralité moyenne des trois derniers exercices.

Dans l‟assurance de responsabilité civile (à l‟exception de l‟assurance RC auto) et dans

l‟assurance transport et habitation, on applique un coefficient de 1,5 aux indices.

Pour la vie

Exigence de marge solvabilité (unités de compte) = 1% de la provision mathématique

brute

Taux de rétention « provisions mathématiques » = max (provisions nettes / provisions

brutes ; 85%)

Taux de rétention « capital sous risque » = max (capital sous risque net / capital sous

risque brut ; 50%)

Marge de solvabilité = max (exigence de marge de solvabilité ; fonds minimum de garantie)

Exigence de marge de solvabilité = max (indice des primes ; indice des sinistres)

Fonds minimum de garantie = max (1/3 exigence de marge de solvabilité ; 2 millions €)

Exigence de marge solvabilité (vie classique) = 4% de la provision mathématique brute * taux

de rétention « provisions mathématiques » + 3 pour mille du capital sous risque * taux de

rétention « capital sous risque »

Fonds minimum de garantie = max (1/3 exigence de marge de solvabilité ; 3 millions €)



2. Constantes de l‟algorithme de Moro

Voici ces valeurs telles que déclarées dans l‟algorithme de calcul :

a(0) = 2.50662823884

a(1) = -18.6150062529

a(2) = 41.39119773534

a(3) = -25.44106049637

b(0) = 1

b(1) = -8.4735109309

b(2) = 23.08336743743

b(3) = -21.06224101826

b(4) = 3.13082909833

c(0) = 7.71088707054879

c(1) = 2.77720135336852

c(2) = 0.3614964129261

c(3) = 3.73418233434554E-02

c(4) = 2.8297143036967E-03

c(5) = 1.625716917922E-04

c(6) = 8.017330474 * 10 ^ (-6)

c(7) = 0.3840919865 * 10 ^ (-6)

c(8) = 0.012970717 * 10 ^ (-6)

k(0) = 0.417988642492643

k(1) = 4.24546868813766



3. Code VBA (uniquement une partie du code, pour des raisons de confidentialité)

Option Explicit

Public Sub BestEstimate() ' Cette procédure permet de calculer le best estimate d'un portefeuille de contrat en euro pour j scénario d'actif

Application.ScreenUpdating = False '------------------------------------------------------------------------------------------------------

'0 - DECLARATIONS

'------------------------------------------------------------------------------------------------------

'Variable de stockage

Dim Entree As TEntree Dim tdResultatSimulationActif() As Double, tdTauxRevalo() As Double, tdRevalo() As Double, tdTRCannuel() As Double

Dim dPrestationsProbables As Double

'Compteurs

Dim j As Long, I As Long, t As Long, ia As Long Dim lNbAssures As Long

'Mesure du temps Dim DateDebut As Date, DateFin As Date

Dim dTempsSimulation As Double

DateDebut = Now

'------------------------------------------------------------------------------------------------------ '1 - INITIALISATION ET LECTURE DES DONNEES

'------------------------------------------------------------------------------------------------------

Call ChargeInformations(Entree)

'------------------------------------------------------------------------------------------------------ '2 - SIMULATION DE L'ACTIF /REVALORISATION

'------------------------------------------------------------------------------------------------------

Call SimuleActif(tdResultatSimulationActif(), Entree)

Call ProcedureRevalorisation(dPrestationsProbables, tdResultatSimulationActif(), tdTauxRevalo(), tdRevalo(), tdTRCannuel(), Entree)

'------------------------------------------------------------------------------------------------------ '3 - CALCUL PRINCIPAL /BEST ESTIMATE- RESULTATS

'------------------------------------------------------------------------------------------------------

Call CalculBestEstimate(tdRevalo(), tdTauxRevalo(), Entree)

DateFin = Now dTempsSimulation = Int((DateFin - DateDebut) * 24 * 60 * 100) / 100

Range(csTemps) = dTempsSimulation

Application.ScreenUpdating = True

End Sub

Sub ChargeInformations(Entree As TEntree)

' Procédure de chargement des informations disponibles dans le fichier Excel

With Entree

Call ChargePortefeuille(.Portefeuille)

Call ChargeHypotheseActuarielle(.HypotheseActuarielle) Call ChargeParametre(.Parametre)

End With

Worksheets("résultats").Activate

End Sub



Sub ChargePortefeuille(Portefeuille As TPortefeuille)

' Procédure de chargement des informations disponibles sur l'onglet "DonnéesPassif"

Dim j As Long

Worksheets("DonnéesPassif").Activate With Range(csDonneesIndividuelles)

ReDim Portefeuille.tDonneesAssure(1 To .Rows.Count)

For j = 1 To .Rows.Count Portefeuille.tDonneesAssure(j).DateNaissance = .Cells(j, 1)

Portefeuille.tDonneesAssure(j).dCotisationNette = .Cells(j, 2)

Next j End With

End Sub

Sub ChargeParametre(Parametre As TParametre)

' Procédure de chargement des informations disponibles sur l'onglet "Paramètres"

Dim j As Long

With Parametre

.DateEvaluation = Range(csDateEvaluation) .DateSouscription = Range(csDateSouscription)

.DateTerme = Range(csDateTerme)

.dalpha = Range(csalpha) .dlamda = Range(cslamda)

.lNbSimulationsActif = Range(csNbSimulationsActif)

.dTMG = Range(csdTMG) .dChargementEncours = Range(csChargementEncours)

.dTauxPenaliteFix = Range(csTauxPenaliteFix)

.dTauxSeuil = Range(csTauxSeuil)

' Chargement de la Courbe ZC .MincourbeZC = Range(cscourbeZC).Cells(1, 1)

.MaxcourbeZC = Range(cscourbeZC).Cells(Range(cscourbeZC).Rows.Count, 1)

ReDim .tdCourbeZC(.MincourbeZC To .MaxcourbeZC)

For j = .MincourbeZC To .MaxcourbeZC

.tdCourbeZC(j) = Range(cscourbeZC).Cells(j + 1 - .MincourbeZC, 2)

Next j

End With

End Sub

Sub ChargeHypotheseActuarielle(HypotheseActuarielle As THypotheseActuarielle) ' Procédure de chargement des informations disponibles sur l'onglet "HypothèsesActuarielles"

Dim j As Long Worksheets("hypothèsesActuarielles").Activate

With HypotheseActuarielle

' Chargement de la table de mortalité .lAgeMinTableMortalite = Range(csTableMortalite).Cells(1, 1)

.lAgeMaxTableMortalite = Range(csTableMortalite).Cells(Range(csTableMortalite).Rows.Count, 1)

ReDim .tdTableMortalite(.lAgeMinTableMortalite To .lAgeMaxTableMortalite)

For j = .lAgeMinTableMortalite To .lAgeMaxTableMortalite

.tdTableMortalite(j) = Range(csTableMortalite).Cells(j + 1 - .lAgeMinTableMortalite, 2)

Next j

' Chargement de la loi de rachat .lAncienneteMaxTableRachat = Range(csTableRachat).Cells(Range(csTableRachat).Rows.Count, 1)

ReDim .tdTableQxRachat(0 To .lAncienneteMaxTableRachat)

For j = 0 To .lAncienneteMaxTableRachat

.tdTableQxRachat(j) = Range(csTableRachat).Cells(j + 1, 3).Value

Next j End With

End Sub



Public Sub SimuleActif(ByRef tdResultatSimulationActif() As Double, Entree As TEntree)

„Procédure qui permet de simuler le cours de l‟action et le taux de coupon de l‟obligation

Dim tdVMAction() As Double, tdBrowTaux() As Double, tdBrowAction() As Double

Dim tdCouponOblig() As Double, tdBrowOblig() As Double Dim tdRealisationsVariablesGaussiennesCentreesReduites() As Double

a = Range(csTauxLimite) b = Range(csVitesseConvergence)

dSigmaO = Range(csVolatiliteTxCoupon)

dqA = Range(csTauxDividende)

dSigmaA = Range(csSigmaAction) dRhoA = Range(csCorrelationActionMarche)

MoisDateterme = dDifferenceDate(1, Entree.Parametre.DateSouscription, Entree.Parametre.DateTerme)

ReDim tdCouponOblig(1 To Entree.Parametre.lNbSimulationsActif, 1 To MoisDateterme)

ReDim tdVMAction(1 To Entree.Parametre.lNbSimulationsActif, 1 To MoisDateterme) ReDim tdBrowTaux(1 To Entree.Parametre.lNbSimulationsActif, 1 To MoisDateterme)

ReDim tdBrowAction(1 To Entree.Parametre.lNbSimulationsActif, 1 To MoisDateterme)

ReDim tdBrowOblig(1 To Entree.Parametre.lNbSimulationsActif, 1 To MoisDateterme) ReDim tdResultatSimulationActif(1 To Entree.Parametre.lNbSimulationsActif, 1 To MoisDateterme, 1 To 2)

Call procSimuleVariablesGaussiennes(tdRealisationsVariablesGaussiennesCentreesReduites(), Entree.Parametre.lNbSimulationsActif, MoisDateterme, 0, 1)

For ia = 1 To Entree.Parametre.lNbSimulationsActif S0 = 100

Oblig0 = Range(csTauxCouponInitial)


If t = 1 Then

tdBrowTaux(ia, 1) = 0 tdBrowAction(ia, 1) = 0

tdBrowOblig(ia, 1) = 0

tdVMAction(ia, 1) = S0

tdCouponOblig(ia, 1) = Oblig0

Else

tdBrowTaux(ia, 1) = tdBrowTaux(ia, t - 1) tdBrowAction(ia, 1) = tdBrowAction(ia, t - 1)

tdBrowOblig(ia, 1) = tdBrowOblig(ia, t - 1)

tdVMAction(ia, 1) = tdVMAction(ia, t - 1) tdCouponOblig(ia, 1) = tdCouponOblig(ia, t - 1)

End If

'- Simule tx de coupon pour les obligations perpétuelles tdBrowOblig(ia, t) = tdBrowOblig(ia, 1) + tdRealisationsVariablesGaussiennesCentreesReduites(ia, t)

tdCouponOblig(ia, t) = tdCouponOblig(ia, 1) * Exp((-a) * (1 / 12)) + b * (1 - Exp((-a) * (1 / 12))) + dSigmaO * ((1 - Exp(-2 * a

* (1 / 12))) / (2 * a)) ^ 0.5 * (tdBrowOblig(ia, t) - tdBrowOblig(ia, 1))

'- Simule les actions avec une corrélation du taux de marché

tdBrowTaux(ia, t) = tdBrowTaux(ia, 1) + tdRealisationsVariablesGaussiennesCentreesReduites(ia, t) tdBrowAction(ia, t) = tdBrowAction(ia, 1) + tdRealisationsVariablesGaussiennesCentreesReduites(ia, t)

tdVMAction(ia, t) = tdVMAction(ia, 1) * Exp((tdCouponOblig(ia, t) - dqA - (dSigmaA ^ 2 / 2)) * (1 / 12) + dSigmaA *

(dRhoA * (tdBrowTaux(ia, t) - tdBrowTaux(ia, 1)) + (1 - dRhoA) ^ 0.5 * (tdBrowAction(ia, t) - tdBrowAction(ia, 1))))

tdResultatSimulationActif(ia, t, 1) = tdVMAction(ia, t)

tdResultatSimulationActif(ia, t, 2) = tdCouponOblig(ia, t) Next t

Next ia

End Sub



Public Sub ProcedureRevalorisation(ByVal dPrestationsProbables As Double, tdResultatSimulationActif() As Double, ByRef tdTauxRevalo() As Double, ByRef tdRevalo() As Double, ByRef tdTRCannuel() As Double, Entree As TEntree)

„Procédure qui permet de calculer la revalorisation des contrats

Dim tdTRCMensuel() As Double, tdTableauTauxPBHorsTMG() As Double, tdCaractActif() As Double

dTauxPenaliteFix = Entree.Parametre.dTauxPenaliteFix

AnneeDateTerme = dDifferenceDate(12, Entree.Parametre.DateSouscription, Entree.Parametre.DateTerme) 'cela permet de calculer le nbr d'année qui sépare la date de souscription de l'échéance du contrat

lNbAssures = UBound(Entree.Portefeuille.tDonneesAssure) 'nbre de contrat dans le portefeuille

NbrMoisSouscriptTerme = dDifferenceDate(1, Entree.Parametre.DateSouscription, Entree.Parametre.DateTerme) 'cela permet de calculer le nbr de mois qui sépare la date de souscription de l'échéance du contrat

For ia = 1 To Entree.Parametre.lNbSimulationsActif

For a = 1 To AnneeDateTerme If ia = 1 And a = 1 Then

ReDim tdTRCannuel(1 To Entree.Parametre.lNbSimulationsActif, 1 To AnneeDateTerme)

End If dTempTRCannuel = 0

For t = 1 To 12

' - Calcul des flux probales mensuels pour l'ensemble du portefeuille, calul du taux de revalo et de la revalo composée dPrestationsProbables = dFluxProbables(ia, a, t, tdTauxRevalo(), tdRevalo(), tdTableauTauxPBHorsTMG(),

Entree.Parametre.tdCourbeZC, dTauxPenaliteFix, NbrMoisSouscriptTerme, Entree)

' - Gestion d'actif pour trouver le taux mensuel de rendement comptable des actifs

Call ProcedureGestionActif(tdCaractActif(), dPrestationsProbables, ia, a, t, tdResultatSimulationActif(), tdTRCMensuel(),

Entree)

dTempTRCannuel = dTempTRCannuel + tdTRCMensuel(ia, a, t)

Next t

' - Calcul du taux annuel de rendement comptable des actifs, qui va nous permettre de calculer les P.F.D

tdTRCannuel(ia, a) = (dTempTRCannuel / 12)

If a < AnneeDateTerme Then ' - Distribution de la PB et calcul du taux de revalo hors IT

Call ProcedureDistributionPB(ia, a, tdTauxRevalo(), tdRevalo(), tdTRCannuel(), tdTableauTauxPBHorsTMG(), Entree)

End If

Next a

Next ia

End Sub



Public Sub CalculBestEstimate(tdRevalo() As Double, tdTauxRevalo() As Double, Entree As TEntree)

„Procédure finale qui évalue le best estimate de la simulation

Dim j As Long, t As Long, ia As Long, lNbAssures As Long, MoisDateterme As Long

Dim dtemporaireBESimulation As Double, dtemporaireBEContrat As Double, dtemporaireBEPortefeuille As Double Dim BEcontrat As Double, BEtotal As Double, BEMoyen As Double

Dim tdFluxProbablesActualises() As Double

lNbAssures = UBound(Entree.Portefeuille.tDonneesAssure) 'nbre de contrat dans le portefeuille

MoisDateterme = Round(dDifferenceDate(1, Entree.Parametre.DateEvaluation, Entree.Parametre.DateTerme)) 'cela permet de

calculer le nbr de mois qui sépare la date d'évaluation de l'échéance du contrat With Entree.Parametre

DateEvaluation = .DateEvaluation 'date d'évaluation du best estimate dTauxSeuil = .dTauxSeuil 'taux seuil de revalorisation

dChargementEncours = .dChargementEncours 'chargement provision

dTauxPenaliteFix = .dTauxPenaliteFix 'permet de calculer le tx effectif de penalité du rachat dalpha = .dalpha ' paramètre calibré par l'utilisateur pr calculer la loi de rachat

dlamda = .dlamda ' paramètre calibré par l'utilisateur pr calculer la loi de rachat

End With

dtemporaireBESimulation = 0 For ia = 1 To Entree.Parametre.lNbSimulationsActif

dtemporaireBEPortefeuille = 0

For j = 1 To lNbAssures

dtemporaireBEContrat = 0


Call ProcedureFluxProbableActualise(ia, j, t, Entree, tdFluxProbablesActualises(), lNbAssures, MoisDateterme,

tdRevalo(), tdTauxRevalo(), dalpha, dlamda, dTauxRef, dTauxPenaliteFix, dTauxRaAdd, dCotisationNette)

' - Caclcul du BE du contrat

With Entree.HypotheseActuarielle

dtemporaireBEContrat = dtemporaireBEContrat + tdFluxProbablesActualises(ia, j, t)

End With

Next t

BEcontrat = dtemporaireBEContrat dtemporaireBEPortefeuille = dtemporaireBEPortefeuille + BEcontrat 'best estimate portefeuille

Next j

' - Calcul du BE portefeuille

BEtotal = dtemporaireBEPortefeuille dtemporaireBESimulation = dtemporaireBESimulation + BEtotal

Next ia

' - Calcul du Best estimate moyen du portefeuille après les ia simulations

BEMoyen = dtemporaireBESimulation / (ia - 1) Range(csBestEstimate) = BEMoyen

End Sub