Statistique et probabilités I (Etudiants A-K)Cours de M. Jean-Paul Chaze

EXAMEN DU 24 JANVIER 2012 V1 14h15 -17h15

NOM : PRENOM :

Durée de l’examen : 3 heures.La documentation est autorisée.

La calculatrice (modèle scientifique de base) est autorisée.Tout autre appareil électronique est interdit.Il est indispensable de justifier les réponses.

Les réponses doivent être données dansles emplacements prévus à cet effet !

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Total

0

Exercice 1 (17 points)

Onze succursales d’une chaîne de magasins ont réalisé en 2002 les chiffres d’affaires sui-vants (en millions de francs suisses) :

x = {115, 75, 70, 80, 55, 70, 120, 90, 90, 55, 95}

1. Complétez la table de fréquences par classe suivante pour le chiffre d’affaires des ma-gasins. Donnez les fréquences relatives avec une précision de 2 décimales. (4 points)

CA fi fi/n∑

i fi

∑i fi/n

]50, 65]

]65, 80]

]80, 95]

]95, 110]

]110, 125]

2. Calculez la moyenne, la variance et l’écart type du chiffre d’affaires (à partir des donnéesbrutes). Donnez les résultats avec une précision de 2 décimales. (3 points)

1

3. Calculez le quartile inférieur, la médiane et le quartile supérieur du chiffre d’affaires (àpartir des données brutes). (3 points)

4. Dessinez le boxplot du chiffre d’affaires dans le cadre ci-dessous, en vérifiant la présenceou non de données extrêmes (points isolés). (3 points)

60

80

100

120

2

Les données du chiffre d’affaires sont représentées par l’histogramme suivant :

chiffre d'affaires

densité

60 80 100 120

0.0

00

0.0

05

0.0

10

0.0

15

0.0

20

0.0

25

5. La hauteur des barres de l’histogramme correspond à la densité des classes définies aupoint 1, les deux dernières classes ]95, 110] et ]110, 125] étant regroupées en une seule.Calculez la densité de ces 4 classes avec une précision de 3 décimales. (2 points)

6. Ecrivez la commande S-plus permettant d’obtenir (avec les classes voulues) l’histo-gramme ci-dessus, à partir des données brutes se trouvant dans la colonne CA dudataframe MAGASINS. (2 points)

3

Exercice 2 (4 points)

Examinez le diagramme de dispersion suivant, qui montre la relation entre deux variablesx et y :

−10 −5 0 5

−10

−5

05

10

15

20

x

y

1. La corrélation entre x et y est-elle plutôt positive ou négative ? Justifiez votre réponse.(2 points)

2. Regardez la droite de régression sur le graphique. A quel couple de paramètres correspond-elle, sachant que la régression s’écrit y = α + βx + ǫ ? Justifiez votre choix. (2 points)

(a) α = 0 et β = −1

(b) α = 2 et β = 1

(c) α = 0 et β = −2

(d) α = 2 et β = −1

4

Exercice 3 (14 points)

Adrien est un passionné de mode. Chaque hiver, il renouvelle sa garde-robe composée dechaussures, manteaux, pantalons, pulls et écharpes. Dans le tableau ci-dessous vous trouverezdes informations concernant ses achats en 2010 et 2011.

Bien i wi,2010 pi,2010 (CHF/unité) pi,2011 (CHF/unité) qi,2011 (unités)

Chaussures 0.203 112 115 2Manteaux 0.362 300 344 1Pantalons 0.230 95 95 2Pulls 0.169 70 62 5Echarpes 0.036 30 26 1

Répondez aux questions suivantes sachant que la dépense totale en 2010 est égale à 1’656CHF.

1. Calculez l’indice de prix de Laspeyres pour l’année 2011 en base 2010. Quel est le tauxd’inflation correspondant ? (3 points)

2. Calculez l’indice de prix de Paasche pour l’année 2011 en base 2010. Comparez avecl’indice de prix de Laspeyres. (3 points)

5

3. Calculez l’indice de dépense pour l’année 2011 en base 2010. (2 points)

4. Calculez l’indice de quantité de Paasche pour l’année 2011 en base 2010. Commentezvotre résultat. (3 points)

5. On suppose maintenant que la catégorie “Pulls” a été supprimée. Recalculez l’indicede prix de Laspeyres et le taux d’inflation. Commentez votre résultat. (3 points)

6

Exercice 4 (14 points)

André, Bernard et Claude, bloqués par le mauvais temps, décident de faire un jeu. Cedernier consiste à lancer à pile ou face 3 pièces de monnaie : 1 pièce de 1 Fr., 1 pièce de 2Fr. et 1 pièce de 5 Fr. Sachant que la valeur d’une pièce n’apparait que sur le côté pile, legain du jeu, que l’on notera X, correspond au total des valeurs visibles (somme des valeursdes pièces tombées sur pile).

1. Donnez la loi de probabilité (valeurs possibles et probabilités associées) de la variablealéatoire X. (3 points)

2. Calculer l’espérance et la variance de X. (3 points)

Pour rendre le jeu opérationnel, Claude propose de jouer le rôle du banquier, qui encaisseles mises et distribue les gains. Il suggère de fixer la mise à 4.50 Fr., argumentant qu’il s’agitd’une valeur médiane (le gain du jeu a autant de chances d’être inférieur que d’être supérieurà cette somme).

3. Montrer que l’affirmation de Claude est correcte. (3 points)

7

4. André et Bernard jouent chacun une partie contre Claude. Calculez l’espérance etla variance du bilan financier (recette - dépense) pour André ou Bernard, puis pourClaude. (4 points)Indication : posez XA et XB pour le gain respectif d’André et de Bernard (ces gainssont indépendants et suivent la distribution de X) et utilisez les transformations devariables appropriées.

5. Malgré l’argument de Claude, le jeu vous semble-t-il équitable avec une mise de 4.50Fr. ? Dans le cas contraire, quelle mise proposeriez-vous ? Justifiez votre réponse. (2points)

8

Exercice 5 (11 points)

Un chanteur français qui aimerait faire son retour sur scène sort un nouvel album. Il vou-drait obtenir au moins un disque d’or dans son pays (50’000 disques vendus) afin de faire desbénéfices économiques, mais surtout un disque de platine (100’000 disques vendus), auquelcas la compagnie serait prête à renouveler son contrat. On sait qu’en France ce chanteurvend en moyenne 80’000 copies par album avec un écart type de 40’000. On supposera quele nombre de disques vendus suit une loi normale.

1. Quelle est la probabilité que ce disque fasse des bénéfices ? (3 points)

2. Est-ce que la compagnie aurait intérêt à anticiper le renouvellement du contrat ? (2points)

9

3. Calculez la probabilité d’obtenir entre 1 et 3 disques de platine. (3 points)

4. L’album est déjà disque d’or. Quelle est la probabilité qu’il devienne disque de platine ?(3 points)

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