C. R. Acad. Sci. Paris, t. 333, Série I, p. 557–560, 2001Géométrie algébrique/Algebraic Geometry

Exactitude relative et actions algébriques de (Cp,+)

Philippe BONNET

Departamento de Algebra y Geometria y Topologia, Universidad de Valladolid, 47005 Valladolid, EspagneCourriel : pbonnet@topolog.u-bourgogne.fr; pbonnet@agt.uva.es

(Reçu le 26 mai 2001, accepté le 28 mai 2001)

Résumé. SoitF une application polynomiale dominante deCn dansCq avecn > q. Dans cette Note

nous étudions le quotientT 1(F ) des1-formes polynomiales exactes le long des fibresgénériques deF , par les1-formes du typedR +

∑ai dfi, où lesR,a1, . . . , aq sont des

polynômes. Ce quotient est unC[t1, . . . , tq]-module et nous montrons qu’il est toujoursde torsion. Ensuite nous déterminons sous quelles conditions surF on aT 1(F ) = 0. Enapplication, nous étudions le comportement de certaines actions algébriques de(Cp,+)sur C

n, et nous déterminons en particulier quand ces actions sont triviales. 2001Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Relative exactness and algebraic (Cp,+)-actions

Abstract. Let F be a polynomial dominating map from Cn to C

q. In this Note we study the quotientT 1(F ) of polynomial 1-forms that are exact along the generic fibres of F , by 1-forms oftype dR +

∑ai dfi, where R,a1, . . . , aq are all polynomials. We prove that T 1(F ) is

always a torsion C[t1, . . . , tq]-module. Then we determine under which conditions on Fwe have T 1(F ) = 0. As an application, we study the behaviour of a class of algebraic(Cp,+)-actions on C

n, and determine in particular when these actions are trivial. 2001Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

SoitF = (f1, . . . , fq) une application polynomiale dominante deCn dansCq avecn > q. SoitΩk(Cn)l’espace desk-formes différentielles polynomiales surCn. Notre but dans cette note est de comparer deuxnotions d’exactitude relative pour les1-formes polynomiales, et d’en tirer des conséquences sur certainesactions de groupes algébriques (pour les démonstrations,cf. [3]).

La première notion que nous introduisons est celled’exactitude relative topologique. Une 1-formepolynomialeω est topologiquement relativement exacte (en abrégé : TR-exacte) siω est exacte le longdes fibres génériques deF . Plus précisément, il existe un ouvert de ZariskiU dansCq tel que, pour toutydansU , F−1(y) est une variété lisse et non vide, etω est d’intégrale nulle le long de tout lacetγ contenudansF−1(y).

La seconde notion est celled’exactitude relative algébrique. Une 1-forme polynomiale est algébri-quement relativement exacte (en abrégé : AR-exacte) s’il existe des polynômesR,a1, . . . , aq tels queω = dR +

∑ai dfi. En d’autres termes,ω est un cobord du complexe de de Rham relatif deF [10].

Rappelons que ce complexe est donné par les espaces de formes relatives :

ΩkF = Ωk

(C

n)/∑

dfi ∧Ωk−1(C

n)

Note présentée par Étienne GHYS.

S0764-4442(01)02023-7/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 557

P. Bonnet

munis des morphismesdF : ΩkF →Ωk+1

F induits par la différentielle extérieure.

DÉFINITION 1. – Le module d’exactitude relative deF est le quotientT 1(F ) des1-formes TR-exactespar les1-formes AR-exactes. C’est unC[t1, . . . , tq]-module pour la multiplication(P,ω) −→ P (F )ω.

Pour les germesF d’applications holomorphes, Malgrange a comparé implicitement ces deux notionsd’exactitude relative dans [10]. Il a notamment montré que le premier groupe de cohomologie relative deF était nul si l’ensemble de ses singularités était de codimension 3 ; dans ce cas, le moduleT 1(F ) estréduit à zéro. Dans [2], Berthier et Cerveau ont étudié l’exactitude relative des feuilletages holomorphes,et ont introduit sensiblement le même quotient. Pour les polynômesf à deux variables, Gavrilov a montréqueT 1(f) = 0 si toute fibre def est connexe et réduite [8]. Concernant les applications polynomialesF ,nous avons montré le premier résultat suivant.

THÉORÈME 2. – Si F est dominante, alors T 1(F ) est un C[t1, . . . , tq]-module de torsion.

En d’autres termes, toute1-forme ω TR-exacte s’écrit :P (F )ω = dR + a1 df1 + · · · + aq dfq, oùP,R,a1, . . . , aq sont tous des polynômes, avecP = 0. Dans [4], l’auteur en collaboration avec AlexandruDimca a étudié de façon exhaustive la torsion de ce module dans le cas d’un polynômef : C2 → C.Nous allons étendre ces résultats en dimension quelconque et déterminer sous quelles conditions le moduled’exactitude relative est nul.

Soit F : X → Y une application régulière entre variétés algébriques irréductibles. Une propriétéP surl’espace des fibres deF estk-générique si l’ensembleZ des pointsy deY dont la fibreF−1(y) ne satisfaitpas la propriétéP est de codimension> k dansY . Un effondrement est une hypersurfaceV de Cn tellequeF (V ) soit de codimension 2 dansCq. S’il n’existe pas de telle hypersurface, nous dirons queFestsans effondrement. Enfin,F estnon singulière en codimension 1 si l’ensemble de ses points singuliersest de codimension 2. On montre aisément qu’une application non singulière en codimension1 n’a pasd’effondrement.

DÉFINITION 3. – L’applicationF est dite primitive si ses fibres sont génériquement connexes et1-génériquement non vides.

On montre alors qu’une application est primitive si et seulement si tout polynômeR localement constantle long des fibres génériques deF se factorise sous la formeR = S(F ), oùS est un élément deC[t1, . . . , tq].En ce sens, cette définition généralise la notion de polynôme primitif [7].

DÉFINITION 4. – L’applicationF est quasi fibrée siF est non singulière en codimension1, ses fibressont1-génériquement connexes et2-génériquement non vides. Elle est faiblement quasi fibrée siF n’a pasd’effondrement, ses fibres sont1-génériquement connexes et2-génériquement non vides.

THÉORÈME 5. – Soit F une application primitive. Alors F est quasi fibrée si et seulement si T 1(F ) = 0.Si F est faiblement quasi fibrée, alors toute 1-forme TR-exacte ω se décompose sous la forme ω = dR+ω0,où R est un polynôme et ω0 ∧ df1 ∧ · · · ∧ dfq = 0.

Nous utilisons ensuite ces résultats pour étudier certaines actions algébriques de(Cp,+) sur Cn.

Rappelons qu’une telle action est une application régulièreϕ : Cp × Cn → Cn telle queϕ(u,ϕ(v, x)) =ϕ(u+v, x) pour tousu, v, x. En termes géométriques,ϕ s’obtient en intégrant un systèmeD = ∂1, . . . , ∂pde dérivations surC[x1, . . . , xn], qui commutent deux à deux et sont localement nilpotentes [9], c’est-à-dire : pour toutf ∈ C[x1, . . . , xn], il existek ∈ N tel que∂k

i (f) = 0. L’anneau des invariantsC[x1, . . . , xn]ϕ

est l’ensemble des polynômesP tels queP ϕ = P . Enfin ϕ est libre au point x si l’orbite dex est dedimensionp, et libre si elle est libre en tout point deCn. L’ensemble des points oùϕ n’est pas libre est notéNL(ϕ).

DÉFINITION 6. – Une action algébrique de(Cp,+) surCn satisfait l’hypothèse (H) si son anneau desinvariants est isomorphe à un anneau de polynômes enn− p variables.

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Exactitude relative et actions algébriques de (Cp,+)

Sous cette hypothèse, l’actionϕ est munie d’uneapplication-quotient F [12,9] définie comme suit : sif1, . . . , fn−p sont des générateurs deC[x1, . . . , xn]ϕ, alors :

F : Cn → C

n−p, x →(f1(x), . . . , fn−p(x)

).

Cette application fibre génériquement les orbites de l’action, mais n’est pas en général un vrai quotienttopologique : par exemple elle ne sépare pas nécessairement toutes les orbites. L’actionϕ esttriviale si elleest conjuguée par un automorphisme polynomial deCn à l’action :

ϕ0(t1, . . . , tp;x1, . . . , xn) = (x1 + t1, . . . , xp + tp, xp+1, . . . , xn).

Nous allons chercher sous quelles conditions les actions satisfaisant l’hypothèse (H) sont triviales. D’aprèsun résultat de Rentschler [13], toute action algébrique de(C,+) surC2 et sans point fixe est triviale. Onsait que l’hypothèse (H) est toujours satisfaite pour les actions de(C,+) surC3 (cf. [11]), mais on ignoretoujours si les actions sans point fixe de(C,+) surC3 sont triviales [9]. En dimensionn 4, les travauxde Nagata et de Winkelmann ont montré que l’hypothèse (H) n’était pas nécessairement vérifiée (cf. [12,14]). Enfin pour les actions satisfaisant (H), Deveney et Finston ont montré qu’elles étaient triviales si leurapplication-quotient définissait une structure de(C,+)-fibré localement trivial sur son image [6].

Nous allons voir comment ce dernier résultat s’étend via l’exactitude relative. Soitϕ une actionsatisfaisant la condition (H), et introduisons les opérateurs :

[D] : (R1, . . . ,Rp) → det((∂i(Rj)

)), J : (R1, . . . ,Rp) → det(dR1, . . . ,dRp,df1, . . . ,dfn−p).

Nous dirons que[D] (resp.J ) s’annule au pointx si [D](R1, . . . ,Rp)(x) = 0 (resp.J(R1, . . . ,Rp)(x) = 0)pour tous polynômesR1, . . . ,Rp. Les zéros de[D] correspondent aux points deNL(ϕ), et ceux deJ auxsingularités deF . Nous généralisons la formule de Daigle pour les actions de(C,+) [5].

PROPOSITION 7. – Soit ϕ une action algébrique de (Cp,+) sur Cn satisfaisant la condition (H). Alorsil existe un polynôme invariant E tel que [D] = E × J .

Géométriquement, cela signifie que l’ensembleNL(ϕ) est la réunion d’une hypersurface invariante etdes singularités deF . En particulier,E est constant si et seulement sicodim NL(ϕ) 2.

THÉORÈME 8. – Soit ϕ une action algébrique de (Cp,+) sur Cn satisfaisant la condition (H). Si E est

constant et si F est quasi fibrée, alors ϕ est triviale.

L’hypothèse « quasi fibrée » correspond donc à une certaine régularité dans la façon dontF fibre lesorbites. En particulier l’action est triviale siF définit un vrai quotient topologique, c’est-à-dire si elle estlisse, surjective, et sépare les orbites.

Nous allons montrer comment le théorème 8 se déduit des théorèmes précédents, dans le cas oùϕ estune action sans point fixe de(C,+) surCn satisfaisant la condition (H). Dans ces conditions, l’applicationquotient deϕ n’a pas de singularités d’après la proposition 7. Donc la(n − 1)-forme différentielleωF = df1 ∧ · · · ∧ dfn−1 ne s’annule jamais surCn. En appliquant le théorème des zéros de Hilbert auxcoefficients de cette(n− 1)-forme, on montre qu’il existe une1-forme polynomialeω telle que :

ω ∧ ωF = dx1 ∧ · · · ∧ dxn.

Comme les fibres génériques deF sont des orbites deϕ, et donc isomorphes àC, la 1-formeω y estexacte. Doncω est topologiquement relativement exacte. Mais siF est quasi fibré,ω est algébriquementrelativement exacte, donc elle s’écritω = dR + a1 df1 + · · · + an−1 dfn−1, oùR,a1, . . . , an−1 sont despolynômes, ce qui nous donne :dR∧ df1 ∧ · · · ∧ dfn−1 = dx1 ∧ · · · ∧dxn, et ce qui équivaut àJ(R) = 1.Soit ∂ la dérivation localement nilpotente associée àϕ. Commeϕ est sans point fixe, le facteurE de laproposition 7 est constant non nul, et l’on obtient :

∂(R/E) = EJ(R/E) = 1.

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Comme∂ est localement nilpotente, il est facile de montrer queC[x1, . . . , xn] = C[R/E,f1, . . . , fn−1].Donc(R/E,f1, . . . , fn−1) définit un automorphisme polynomial deCn qui conjugueϕ à l’action triviale.

COROLLAIRE 9. –Soit ϕ une action algébrique de (C,+) sur Cn satisfaisant la condition (H). Si

F est quasi fibrée, il existe un polynôme P tel que ϕ soit conjuguée à l’action ϕ′(t;x1, . . . , xn) =(x1 + tP (x2, . . . , xn), x2, . . . , xn).

COROLLAIRE 10. –Toute action algébrique ϕ de (Cn−1,+) sur Cn telle que codim NL(ϕ) 2 esttriviale. En particulier elle est libre.

Nous terminons par deux exemples illustrant la nécessité des conditions du théorème 8. Pour chacund’entre eux, l’hypothèse (H) est satisfaite mais l’application-quotient n’est pas quasi fibrée. D’après unrésultat dû à Daigle [5], l’applicationF est non singulière en codimension1. Donc l’obstruction à latrivialité repose sur la connexité des fibres deF , et sur son image. Soitϕ1 l’action de (C,+) sur C3

obtenue en intégrant la dérivation localement nilpotente surC[x, y, z] (cf. [1]) :

∂1 = x∂

∂y− 2y

∂

∂z.

Son anneau des invariants est engendré parx et xz + y2, d’où l’application-quotient :F1 : C3 → C2,(x, y, z) → (x,xz + y2). L’applicationF1 est surjective, mais n’est pas quasi fibrée car ses fibres ne sontpas1-génériquement connexes. En effet, pour toutu = 0, F−1

1 ((0, u)) a deux composantes connexes. Soitϕ2 l’action de(C,+) surC4 obtenue en intégrant la dérivation suivante surC[x, y, u, v] :

∂2 = u∂

∂x+ v

∂

∂y.

Cette action satisfait la condition (H), et a pour application-quotient :F2 : C4 → C3, (x, y, u, v) →(u, v, xv − yu). Toutes les fibres deF2 sont connexes, maisF2 n’est pas quasi fibrée car ses fibres nesont pas2-génériquement non vides. En effet, le complémentaire deF (C4) dansC3 est la droite pointée(0,0, t), t = 0, qui est de codimension2.

Références bibliographiques

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