exercice_maths_S_10

8/4/2019 exercice_maths_S_10

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MATHEMATIQUES Srie SN : 32010

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Fiche Exercices

Fiche 10 : Probabilits

Calculer une probabilit simple

Mthode

Dans le cas dun tirage au hasard , chaque vnement lmentaire a la mme probabilit dapparition.

Dans ce cas, pour tout vnement A :

( ) AP AE

nombre d'lments de nombre de cas favorables=

nombre d'lments de nombre de cas possibles=

Exercice 1

(Reprenons lexercice propos page 2 de la fche cours n10 Probabilits .)

Dans un supermarch, il y a 150 cartons de lait, dont 8 sont avaris. Un client prend 2 cartons au hasard. Quelle est la probabilit

quil soit mcontent ?

Oprations sur les vnements et probabilit

Mthode

Faire la distinction entre le et qui correspond et le ou qui correspond . Se servir de la formule :

Exercice 2

On extrait simultanment et au hasard 5 cartes dun jeu de 32. Calculer la probabilit des vnements suivants :

a) Obtenir trois rois.

b) Obtenir une dame.

c) Obtenir trois rois et une dame.

d) Obtenir trois rois ou une dame.

Calcul dune probabilit conditionnelle

Mthode

On applique la formule de dnition : ( ) ( ) ( )( )A

P A BP B P B / A ,

P A

= = ce qui nous ramne un calcul de probabilit simple.

Exercice 3

On extrait simultanment et au hasard 5 cartes dun jeu de 32.

Calculer la probabilit pour quune main contenant le roi de pique contienne galement la dame de pique.


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Fiche Exercices

Reconnatre une probabilit conditionnelle

Mthode

Dans lcriture de la dnition, il faut commencer par regarder ce qui conditionne.

Exercice 4

Lors dune comptition de tir larc, on a constat quun tireur entran a 80 % de chances datteindre sa cible.

Probabilits composes

Mthode

A et B sont deux vnements quelconques.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A B P B P B A P A . = =

Exercice 5

Lors dune comptition de tir larc, on a constat quun tireur entran a 80 % de chances datteindre sa cible. Parmi les

participants, 40 % sont des tireurs entrans.

Quelle est la probabilit dtre un tireur entran et de gagner ?

Utiliser la formule des probabilits totales

Mthode

On utilise la formule dans le cas particulier important o la partition se rduit { }A, A . La formule devient : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P B P B / A P A P B / A P A .= +

Exercice 6


participants, 40 % sont des tireurs entrans. Les autres ont 50 % de chances datteindre la cible. On choisit un participant au hasard,

quelle est la probabilit quil atteigne la cible ?

Reconnatre une loi binomiale

Mthode

Il faut reprer lpreuve de Bernoulli, dterminer la valeur dep (probabilit de succs une preuve de Bernoulli). Puis dterminer

la valeur de n, nombre de fois o cette preuve de Bernoulli est rpte (preuves indpendantes).

Exercice 7


participants, 40 % sont des tireurs entrans. Les autres ont 50 % de chances datteindre la cible.On choisit un tireur au hasard, on lui fait faire 10 tirs conscutifs, indpendants.

Calculer la probabilit quil atteigne exactement 7 fois la cible.


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Fiche Exercices

Etude dune variable alatoire discrte

Dterminer une loi de probabilit

Mthode

premire tape : regarder les valeurs que peut prendre la variable alatoire X ; deuxime tape : regarder ce que signie chacun des vnements ; troisime tape : calculer les probabilits de chacun des vnements dtermins prcdemment.

Exercice 8

On considre lexprience alatoire qui consiste effectuer des lancers successifs dune pice de monnaie dans les conditions

suivantes :

on arrte lexprience ds que lon a obtenu face ;

on effectue au maximum 5 lancers.Soit X la variable alatoire dnie comme le nombre de lancers effectus.On fait les hypothses habituelles :

chaque lancer les vnements pile et face sont quiprobables ; les lancers successifs sont indpendants deux deux.Dterminer les valeurs prises par X et la loi de X.

Dterminer une fonction de rpartition

Mthode

Il suft dappliquer la dnition ( ) ( )XF x P X x .=

Fonction de rpartition , che cours n10 Probabilits .

Pour calculer cette probabilit, il faut cumuler les valeurs. Dans certaines calculatrices, elle porte le nom de fonction

cumulative.

Exercice 9 (Suite de lexercice prcdent)

Dterminer la fonction de rpartition de X et tracer sa courbe reprsentative.

Calculer une esprance

Mthode

Pour le calcul de lesprance, il suft dappliquer la dnition ( )i k

i i

i 1

E X x p .=

=

=


Calculer lesprance mathmatique de X

Calculer une variance, un cart-type

Mthode

Il est prfrable de commencer par calculeri k

2

i i

i 1

x p=

=

puis dappliquer la formule ( ) ( )( )i k

22

i i

i 1

V X x p E X=

=

=

(le calcul est plus

facile effectuer de cette manire).


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Fiche Exercices


Calculer lcart-type de X

Etude dune variable alatoire continue

Densit de probabilit

Mthode

Il sagit ici dtudier une loi de probabilit sur un univers continu. Il suft dappliquer les dnitions sans trop se poser dequestions.

Ce type dexercice est essentiellement un calcul dintgrales car la thorie relative ce type de loi de probabilit nest pas au

programme de terminale.

Exercice 12 (Sujet du bac, juin 2004)

On sintresse la dure de vie, exprime en semaines, dun composant lectronique. On modlise cette situation par une loi de

probabilit P de dure de vie sans vieillissement dnie sur lintervalle [ [0; + : la probabilit que le composant ne soit plus en tatde marche au bout de t semaines est [ [( )

tx

0P 0; t e dx.=

Une tude statistique, montrant quenviron 50 % dun lot important de ces composants sont encore en tat de marche au bout de

200 semaines, permet de poser [ [( )P 0; 200 0, 5.=

1. Montrer queln 2

.200

=

Calculer une probabilit dans le cas continu

Mthode

Une primitive de xx e a t calcule donc, penser reprendre le rsultat prcdent. Ce sera toujours le cas : une primitive

de la densit de probabilit interviendra souvent.


2. Quelle est la probabilit quun de ces composants pris au hasard ait une dure de vie suprieure 300 semaines ? On donnera

la valeur exacte et une valeur approche dcimale au centime prs.

Calculer une esprance mathmatique avec une loi continue

La formule nest pas au programme do lnonc : on admet que .


3. On admet que la dure de vie moyenne dmde ces composants est la limite quand A tend vers + de

Ax

0xe dx.

a) Montrer queA A

Ax

0

Ae e 1xe dx .

+ =

b) En dduire d

m; on donnera la valeur exacte et une valeur approche dcimale la semaine prs.

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