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FAMILLES GEENEERATRICESCours donnee aa l’eecole d’eetee Erasmus de Samos en 1990
MARC CHAPERON
Universitee Paris 7
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AVERTISSEMENT
Ce texte, d’abord paru en 1993 sous la forme d’une publication Erasmus, reproduit
sans grand changement un cours donnee lors d’une eecole d’eetee organiseee aa Samos en
1990.
Son contenu reesulte d’un effort d’adaptation aa un auditoire composee pour moitiee
d’eetudiants en physique et en geeneeral nanti d’une trees mauvaise formation en calcul
infiniteesimal et en geeomeetrie diffeerentielle ; ainsi, ne supposant aucune connaissance
dans ce dernier domaine, j’ai en outre succombee aa la tentation de preesenter d’abord
rapidement le calcul diffeerentiel “aa la Henri Cartan”, qui a marquee ma geeneeration.
Ce texte devrait donc eetre accessible aa un trees bon eetudiant de troisieeme anneee
ou aa un bon eetudiant de quatrieeme anneee, voire aa un eetudiant meediocre de cinquieeme
anneee ; c’est ce qui justifiait pour moi sa publication.
Je remercie Franccoise Delon d’avoir bien voulu, aprees les consultations d’usage,
partager ce jugement et accepter l’ouvrage aux Publications de l’Universitee Paris 7.1
Ma reconnaissance va aussi aa Spyros Pnevmatikos, organisateur de l’eecole d’eetee
de Samos, et aa Micheele Audin et Chris Golee, dont les remarques m’ont aidee aa ameelio-
rer la version primitive.
1 Un remords tardif, dont je la prie de m’excuser, m’a fait juger suffisant de le “mettre sur leweb” en attendant que Panoramas et syntheeses publie un texte plus complet sur la question.
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Marc Chaperon
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PREEFACE
Connues depuis fort longtemps, les fonctions geeneeratrices jouent par exemple un roole
essentiel dans la theeorie de Hamilton-Jacobi. Aprees un moment d’oubli, elles ont fait
un retour en force dans des domaines assez variees des matheematiques : eequations
aux deeriveees partielles (travaux de Maslov, Hoormander, Sato, Kawai et Kashiwara),
systeemes dynamiques (“courbes” invariantes d’Aubry-Mather) et geeomeetrie sym-
plectique globale, point sur lequel nous mettrons l’accent dans ce cours.
Dans le discours des grands anceetres, la distinction entre local et global restait
souvent assez floue. Or, bien que toute transformation canonique admette localement
des fonctions geeneeratrices, l’existence globale de celles-ci est assez exceptionnelle tout
en preesentant beaucoup plus d’inteereet. La question se posait donc de savoir par quoi
les remplacer lorsqu’elles cessent d’exister.
Nous allons voir que cette question admet dans de nombreux cas une reeponse
trees simple, si simple qu’on aurait tout aussi bien pu l’obtenir un sieecle plus toot : il
suffit “d’ajouter des variables” (en nombre fini) et de consideerer des familles (dites
aussi phases) geeneeratrices. Comme souvent en geeomeetrie algeebrique et en theeorie
des singularitees, on regarde donc les objets “singuliers” comme des sections d’objets
“reeguliers” de dimension plus grande.
L’exposee s’organise comme suit : aprees un chapitre de rappels et de compleements
viennent l’eenoncee et la preuve du theeoreeme principal, affirmant l’existence de familles
geeneeratrices pour une large classe de transformations canoniques. Dans le troisieeme
et dernier chapitre, on deeduit des bonnes proprieetees des familles geeneeratrices ainsi
construites un assez grand nombre de corollaires en geeomeetrie symplectique globale,
tous inconnus il y a huit ans : ce sont les reeponses apporteees par Conley, Zehnder,
Hofer, Laudenbach, Sikorav, Viterbo et l’auteur aa des questions poseees par Arnold
et Weinstein.
Comme beaucoup d’ideees simples, celle que nous exposons ici n’a reveetu que
peu aa peu sa forme deefinitive : si la construction qui aboutit au theeoreeme principal
est due aa l’auteur [3,4], il a fallu la sagacitee de Sikorav [13] et de Tchekanov pour la
formuler (suivant Weinstein) en termes de familles geeneeratrices ; l’ideee d’en deeduire le
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Marc Chaperon
theeoreeme de Hofer-Sikorav est eegalement due aa Tchekanov, sans qui notre theeoreeme
principal ne meeriterait donc pas son qualificatif.
Il va de soi que nous ne preetendons nullement rendre compte de tous les reesultats
reecents en geeomeetrie symplectique globale : l’extraordinaire perceee de Gromov [9]
reste eetrangeere aa notre propos, ainsi que le travail consideerable de Floer [8], ouu
la mise en œuvre d’ideees de deepart trees simples requiert des prouesses techniques
deepassant de beaucoup le niveau de ce cours.
Note (1995). Le sujet ayant un peu eevoluee en cinq ans, la bibliographie initiale est
suivie de quelques reefeerences suppleementaires assorties d’un bref commentaire.
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1. - RAPPELS ET COMPLEEMENTS
Ce chapitre preesente rapidement quelques faits essentiels sur le calcul infiniteesi-
mal ; pour plus de deetails, le lecteur pourra par exemple consulter Calcul diffeerentiel
d’Henri Cartan, Fondements de l’Analyse moderne (Eleements d’Analyse, tome 1) de
Jean Dieudonnee ou Real Analysis de Serge Lang.
1.1 Applications lineeaires continues
Si u est lineeaire, nous noterons souvent u · v ou u v au lieu de u(v) −non par
pur snobisme, mais pour mettre l’accent sur le fait que l’application (u, v) → u(v)
est bilineeaire, c’est-aa-dire se comporte aa bien des eegards comme un produit (ni
commutatif, ni associatif ! quand u est une application lineeaire de Rn dans Rp, le
produit en question est simplement le produit d’une matrice aa n colonnes et p lignes
par une matrice-colonne aa n lignes).
1.1.1 Espaces normees
Un espace normee reeel (resp. complexe) est un espace vectoriel reeel (resp. complexe)
eequipee d’une norme, c’est-aa-dire d’une fonction reeelle v → |v| sur E telle que, pour
tout choix de v, w ∈ E et λ ∈ R (resp. λ ∈ C),
|v| ≥ 0 , et |v| = 0 si et seulement si v = 0
|λv| = |λ| · |v||v + w| ≤ |v| + |w| (ineegalitee triangulaire).
On dit que E est un espace de Banach quand c’est un espace normee complet , c’est-
aa-dire que toute suite de Cauchy dans E est convergente− on rappelle qu’une suite
(xn) converge vers x (resp. est de Cauchy) si, pour tout ε > 0, l’ensemble des n
veerifiant |xn − x| ≥ ε (resp. l’ensemble des (n, p) veerifiant |xn − xp| ≥ ε) est fini.
Une application f de E dans un autre espace normee est dite continue quand, pour
toute suite (xn) dans E qui converge vers un x ∈ E, la suite (f(xn)) converge vers
f(x).
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Marc Chaperon
1.1.2 Espaces d’applications lineeaires continues
Soient E et F deux espaces normees sur K = R ou C.
(i) Une application lineeaire u : E → F est continue si et seulement s’il existe une
constante c ≥ 0 telle que, pour tout x ∈ E, on ait |u ·x| ≤ c|x|. Une application
lineeaire continue est donc uniformeement continue.
(ii) Les applications lineeaires continues de E dans F forment un K – espace vectoriel
L(E, F ), qui devient un K – espace normee si l’on deefinit |u|, pour u ∈ L(E, F ),
comme le plus petit c veerifiant (i).
(iii) Si F est complet, il en va de meeme de L(E, F ).
(iv) Toute application lineeaire u d’un espace normee E de dimension finie dans un
espace normee F est continue.
Rappelons que l’adheerence X d’une partie X de l’espace normee E est le plus petit
fermee contenant X, c’est-aa-dire l’ensemble des limites de suites dans X qui conver-
gent dans E.
1.1.3 Lemme de prolongement
Soient X un sous-espace vectoriel de E, et F un espace de Banach. Alors X est un
espace vectoriel et toute u ∈ L(X, F ) est la restriction aa X d’une unique application
continue u : X → F ; celle-ci est lineeaire, de meeme norme que u.
1.1.4Application : inteegrale des fonctions continues
Notations et deefinitions On se donne un intervalle compact I = [a, b] et un
espace de Banach E ; on note B = B(I, E) l’espace des fonctions borneees sur I
aa valeurs dans E, muni de la norme de la convergence uniforme (ou norme L∞)
|f |∞ = supx∈I |f(x)| qui en fait un espace de Banach, et S = S(I, E) le sous-espace
vectoriel de B formee des fonctions en escalier, deefinies comme suit : on a f ∈ S si
et seulement s’il existe k ∈ N, a0, · · · , ak+1 ∈ I avec a = a0 ≤ · · · ≤ ak+1 = b et
v0, · · · , vk ∈ E tels que f(t) = vj pour tout t ∈]aj, aj+1[ et tout j ∈ 0, · · · , k. On
dit alors que (a0, · · · , ak+1) est une subdivision de I adapteee aa f ; l’inteegrale de f de
a aa b
(1) J (f) =∫ b
af(t) dt =
k∑
j=0
(aj+1 − aj) vj ∈ E
ne deepend que de f , et non du choix de cette subdivision. On voit facilement que
(1) deefinit une application J ∈ L(S, E), de norme b − a.
Soit C(I, E) le sous-espace fermee de B formee des applications continues de I
dans E. Les fonctions en escalier preesentent un inteereet limitee, mais toute f ∈ C(I, E)
est la limite uniforme d’une suite (fn) aa valeurs dans S(I, E) (cela reesulte de la
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Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
continuitee uniforme de f) ; en d’autres termes, C(I, E) est inclus dans l’espace S
des fonctions reegleees sur I aa valeurs dans E.
En appliquant le lemme de prolongement aa J ∈ L(S, E), on obtient une ap-
plication lineeaire de norme b − a de S dans E, encore noteee J : f → ∫ ba f(t) dt et
appeleee inteegrale de a aa b.
Etant donneee f dans S(I, E) (resp. C(I, E)), sa restriction aa un intervalle
compact J = [c, d] ⊂ I appartient aa S(J, E) (resp. C(J, E)), et l’inteegrale de c aa d
de ladite restriction est noteee∫ dc f(t) dt. On note
∫ cd f(t) dt = − ∫ d
c f(t) dt.
Theeoreeme
(i) Pour a ≤ c ≤ b et f ∈ S(I, E),∫ ba f(t) dt =
∫ ca f(t) dt +
∫ bc f(t) dt.
(ii) Si E = R, l’inteegrale d’une fonction continue positive f est positive ; pour a < b,
on a alors∫ ba f(t) dt = 0 si et seulement si f est identiquement nulle.
(iii) Pour a < b, on deefinit une norme f → |f |1 sur C(I, E), la norme L1 , par
|f |1 =∫ ba |f(t)| dt. D’aprees (1) , on a |f |1 ≤ (b − a)|f |∞ .
(iv) Pour chaque espace de Banach F , chaque A ∈ L(E, F ) et chaque f ∈ S(I, E),
on a Af ∈ S(I, F ) et∫ ba A · f(t) dt = A · ∫ b
a f(t) dt.
Fonctions continues par morceaux On dit que f : I → E est continue par
morceaux quand il existe une subdivision (a0, · · · , an) de I et, pour 0 ≤ j < n,
une fj ∈ C([aj, aj+1], E) telles que f(t) = fj(t) pour tout t ∈]aj, aj+1[. Tous les
reesultats de ce paragraphe sont vrais pour les fonctions continues par morceaux (on
le voit en les appliquant aux fj) − elles sont d’ailleurs reegleees−mais il faut parler
de semi-norme L1 : une fonction continue par morceaux nulle sauf en un nombre
fini de points a une inteegrale nulle.
1.2 Calcul diffeerentiel aa une variable
1.2.1Chemins diffeerentiables
Soit E un espace normee. Un chemin (les meecaniciens parleraient plutoot de mouve-
ment) dans une partie A de E est une application continue γ d’un intervalle reeel
(pas forceement ouvert) J dans A. Lorsque J est un intervalle compact [a, b], on dit
que γ est un arc, d’origine γ(a) et d’extreemitee γ(b) (ou arc joignant γ(a) aa γ(b)
dans E).
Un tel chemin γ est diffeerentiable au point t ∈ J si (γ(s) − γ(t))/(s − t) tend
vers une limite γ′(t)− appeleee deeriveee (ou vitesse) de γ au point (ou au temps)
t− quand s ∈ J tend vers t. En termes imagees, si l’on regarde au microscope le
graphe de γ au voisinage de (t, γ(t)), ce que l’on voit ressemble eenormeement aa une
droite : le graphe de la fonction lineeaire T → γ′(t)T . De manieere preecise, regarder
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Marc Chaperon
R×E au microscope en se centrant en (t, γ(t)) et avec le grossissement 1/ε consiste
aa eecrire chaque point (t, y) de R × E sous la forme (t + εT, γ(t) + εY ) ; dans ces
nouvelles coordonneees, l’eequation y = γ(t) se lit Y = (γ(t + εT )− γ(t))/ε, qui tend
vers Y = γ′(t)T quand ε tend vers 0.
Le chemin γ est dit diffeerentiable quand il est diffeerentiable en tout t ∈ J . Si
de plus sa deriveee (ou vitesse) γ′ : t → γ′(t) est continue, alors γ est un chemin (de
classe) C1.
Par exemple, une fonction affine, c’est-aa-dire de la forme t → αt + β (α, β ∈ E), est
C1 sur R et sa deeriveee est la fonction partout eegale aa α.
On dit qu’un chemin γ : [a, b] → E est C1 par morceaux lorsqu’il existe une subdi-
vision t0 = a < t1 < · · · < tn+1 = b telle que γ soit C1 sur chacun des intervalles
[tj, tj+1] ; la deeriveee γ′ est alors bien deefinie et continue, sauf eeventuellement aux
points tj. On notera γ′ toute application de [a, b] dans E qui est la deeriveee de γ sur
chacun des ]tj, tj+1[ (et prenant des valeurs arbitraires aux points ouu γ n’est pas
deerivable). Plus geeneeralement, on dit qu’un chemin γ : J → E est C1 par morceaux
lorsque c’est le cas de sa restriction aa tout [a, b] ⊂ J .
1.2.2 Theeoreeme fondamental du calcul infiniteesimal
Soient I un intervalle et E un espace de Banach.
(i) Pour toute fonction continue par morceaux g : I → E et tout a ∈ I, l’appli-
cation G : t → ∫ ta g(s) ds est continue. En outre, pour tout intervalle J ⊂ I ne
contenant pas de discontinuitee de g, G|J est de classe C1 et a pour deeriveee g|J .
(ii) Soit γ : I → E un chemin C1 par morceaux ; quels que soient a, b ∈ I,
γ(b) − γ(a) =∫ b
aγ′(t) dt (formule de la moyenne).
1.2.3Applications bilineeaires continues et inteegration par parties
Etant donnees trois espaces vectoriels E1, E2, F , rappelons que B : E1 × E2 → F
est bilineeaire quand elle est lineeaire par rapport aa chaque variable ; elle est alors
nulle sur E1 × 0 et 0 × E2, donc en (0, 0). On munit E1 × E2 de la norme
|(x, y)| = max|x|, |y|.
Applications bilineeaires continues Soient E1, E2, F, G quatre espaces normees
sur K = R ou C.
(i) Une application bilineeaire B : E1 × E2 → F est continue si et seulement s’il
existe une constante c ≥ 0 telle que, pour tout (x1, x2) ∈ E1 × E2, on ait
|B(x1, x2)| ≤ c |x1| |x2|.
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Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
(ii) Les applications bilineeaires continues de E1×E2 dans F forment un K – espace
vectoriel L(E1, E2; F ), qui devient un K – espace normee si l’on deefinit |B|, pour
B ∈ L(E1, E2; F ), comme le plus petit c veerifiant (i).
(iii) On deefinit une isomeetrie lineeaire de L(E1, E2; F ) sur L(E1, L(E2, F )) par
∀B ∈ L(E1, E2; F ) ∀(v1, v2) ∈ E1 × E2 [( · B)(v1)](v2) = B(v1, v2) .
(iv) Quelles que soient u ∈ L(F, G) et B ∈ L(E1, E2; F ), on a |uB| ≤ |u| |B|.(v) Si F est complet, il en va de meeme de L(E1, E2; F ).
(vi) Si E1 et E2 sont de dimension finie, toute application bilineeaire B : E1×E2 → F
est continue.
Deeriveee d’un produit Soient E1, E2, F normees et B ∈ L(E1, E2; F ) ; pour tout
chemin γ : s → (γ1(s), γ2(s)) dans E1 × E2 diffeerentiable au point t, le chemin Bγ
dans F l’est aussi, et
(Bγ)′(t) = B(γ′1(t), γ2(t)) + B(γ1(t), γ
′2(t)) ;
si l’on note B comme un produit (rarement commutatif ou associatif) B(v1, v2) =
v1 · v2 , cette formule prend la forme plus familieere
(2) (γ1 · γ2)′(t) = γ′
1(t) · γ2(t) + γ1(t) · γ′2(t) .
Elle implique que Bγ = γ1 ·γ2 est C1 (resp. C1 par morceaux) quand γ l’est− c’est-
aa-dire quand γ1 et γ2 le sont− et que (γ1 · γ2)′ est alors donneee par (2) .
La preuve est la meeme que pour les produits “classiques”.
Inteegration par parties Soient E1, E2, F normees et B ∈ L(E1, E2; F ) ; comme
preeceedemment, on note B comme un produit B(v1, v2) = v1 · v2. Quels que soient
les chemins C1 par morceaux γ1 : J → E1, γ2 : J → E2 et a, b ∈ J ,
∫ b
aγ1(t) · γ′
2(t) dt = γ1(b) · γ2(b) − γ1(a) · γ2(a) −∫ b
aγ′1(t) · γ2(t) dt .
Deemonstration Il suffit d’eecrire la formule de la moyenne pour γ1 · γ2 entre a
et b (en appliquant le reesultat preeceedent) et d’utiliser la lineearitee de l’inteegrale.
Deefinissons inductivement un chemin Ck+1, k ≥ 1, comme un chemin C1 dont la
deeriveee est de classe Ck. Pour 0 ≤ j ≤ k, la deeriveee (j + 1)-ieeme γ(j+1) d’un tel
chemin γ est γ′ si j = 0 et (γ(j))′ sinon. Quand γ est Ck pour tout k, il est dit C∞,
ou lisse.
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Marc Chaperon
1.2.4Ouverts connexes dans les espaces normees
Notations et deefinitions Soit S une partie d’un espace normee E. On dit qu’un
arc γ joint a aa b dans S quand c’est un arc aa valeurs dans S, d’origine a et d’extreemitee
b.
Un arc γ : [α, β] → E est dit affine par morceaux (“ligne briseee”) quand il
existe t0 = α < t1 < · · · < tn+1 = β tels que γ soit affine sur chacun des intervalles
[tj, tj+1].
On dit que S est connexe par arcs (resp. arcs affines par morceaux , arcs C∞)
lorsque, quels que soient a, b ∈ S, il existe un arc (resp. une ligne briseee, un arc C∞)
qui les joint dans S.
Rappelons qu’un ouvert de E est une partie U de E qui ne peut contenir un
point a sans contenir une boule ouverte Br(a) := x : |x − a| < r (il revient au
meeme de dire que E \ U est fermee). On dit que l’ouvert S est connexe s’il n’est
pas reeunion de deux ouverts disjoints non vides (deefinition qui vaut pour une partie
S quelconque aa condition d’appeler “ouvert” de S l’intersection avec celle-ci d’un
ouvert de E).
Les parties connexes de R sont les intervalles.
Theeoreeme Soit U un ouvert de E ; les proprieetees suivantes sont eequivalentes :
(i) U est connexe ;
(ii) U est connexe par arcs affines par morceaux ;
(iii) U est connexe par arcs C∞ .
1.3 Applications diffeerentiables
Dans toute cette section, E et F sont deux espaces normees, U un ouvert de E et f
une application de U dans F .
Notations de Landau Etant donnees deux espaces normees E et F , soit ϕ une
application aa valeurs dans F , deefinie dans l’intersection d’un ouvert U 0 de E et
de E\0 ; pour k ∈ N, on note alors ϕ(h) = o(|h|k) quand limh→0 |h|−kϕ(h) = 0, et
ϕ(h) = O(|h|k) quand il existe un ouvert U1 ⊂ U contenant 0 tel que h → |h|−kϕ(h)
soit borneee sur U1 \ 0.
1.3.1Deefinition
On dit que f est diffeerentiable au point a ∈ U lorsque “son graphe, regardee au
microscope en se centrant en (a, f(a)), tend vers celui d’une application lineeaire
continue Df(a) de E dans F quand le rapport de grossissement 1/ε tend vers
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Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
l’infini”. De manieere preecise, regarder E×F au microscope en se centrant en (a, f(a))
et avec le grossissement 1/ε consiste aa eecrire chaque point (x, y) de E × F sous la
forme (a+εX, f(a)+εY ) ; l’eequation y = f(x) se lit alors Y = (f(a+εX)−f(a))/ε.
Dire que f est diffeerentiable au point a signifie donc
− que, pour tout X ∈ E, la deeriveee directionnelle
(3) ∂Xf(a) := limε→0
f(a + εX) − f(a)
ε
de f suivant le vecteur X au point a existe ;
− que ∂Xf(a) = Df(a) ·X : on dit que Df(a) (aussi noteee f ′(a), Taf ou df(a))
est la diffeerentielle (ou deeriveee) au sens de Gaateaux de f au point a ;
− que la limite (3) est atteinte de manieere uniforme par rapport aa X au voisinage
de X = 0, ce qui s’eecrit
(4) f(a + h) − f(a) − Df(a) · h = o(|h|) ;
on dit que Df(a) est la diffeerentielle (dite aussi application lineeaire tangente ou
deeriveee) de f au point a. On notera que l’existence de Df(a) ∈ L(E, F ) veerifiant (4)
implique les deux proprieetees qui la preeceedent (existence de deeriveees directionnelles
et diffeerentiabilitee au sens de Gaateaux en a) et peut donc eetre prise comme deefinition
de la diffeerentiabilitee de f en a ; la version “Gaateaux” montre l’unicitee de Df(a).
Enfin, (4) entraııne que f est continue en a.
Si E = R, f est diffeerentiable au point a en ce nouveau sens si et seulement si elle l’est
au sens de 1.2.1, et Df(a) · X = X f ′(a). Cela justifie que l’on parle de “deeriveee”
aussi bien que de diffeerentielle, f ′(a) eetant l’image de Df(a) par l’isomorphisme
canonique u → u(1) de L(R, F ) sur F ; cependant, dees que E est de dimension au
moins 2, l’espace L(E, F ) ouu habite Df(a) n’est pas l’espace F ouu vit f(a) ; par
exemple, si E = Rn et F = Rp, l’espace L(E, F ) est l’espace des matrices n × p,
qui est de dimension np.
Si F est le produit F1 × · · · × Fp de p espaces normees, f est diffeerentiable au
point x si et seulement si ses composantes f1 : U → F1, . . . , fp : U → Fp le sont, et
dans ce cas
(5) Df(x) · h = (Df1(x) · h, . . . , Dfp(x) · h) .
1.3.2 Deeriveee d’une fonction composeee (“chain rule”)
Soient X un ouvert d’un troisieeme espace normee et g : X → E ; si g est diffeerentiable
au point a ∈ X et que f est diffeerentiable au point g(a), alors fg est diffeerentiable
au point a, et D(fg)(a) = Df(g(a))Dg(a).
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Marc Chaperon
Cas particulier Si γ : J → U est un chemin diffeerentiable au temps t et que f
est diffeerentiable en γ(t), alors fγ est diffeerentiable au temps t et
(6) (fγ)′(t) = Df(γ(t)) · γ′(t).
1.3.3 Deeriveees partielles Si E = Rn, la deeriveee (si elle existe) de f au point
a = (a1, . . . , an) ∈ U suivant le j–ieeme vecteur de la base canonique est noteee ∂jf(a)
et appeleee deeriveee partielle de f au point a suivant le j–ieeme facteur. C’est donc la
deeriveee au point aj de x → f((am)1≤m<j, x, (am)j<m≤n).
Plus geeneeralement, lorsque E est le produit E1×· · ·×En de n espaces normees, sa
deeriveee partielle ∂jf(a) au point a = (a1, . . . , an) ∈ U suivant le j–ieeme facteur est
la deeriveee au point aj ∈ Ej (si elle existe) de x → f((am)1≤m<j, x, (am)j<m≤n) ; c’est
donc un eeleement de L(Ej, F ). Chaque application x → ((am)1≤m<j, x, (am)j<m≤n)
eetant affine et continue, on voit facilement que si f est diffeerentiable au point a, les
deeriveees partielles ∂1f(a), . . . , ∂nf(a) existent, et
(7) Df(a) · (h1, . . . , hn) =n∑
j=1
∂jf(a) · hj .
On deeduit de (5) et (7) que, si E = Rn et F = Rp, la matrice de Df(a) est
∂1f1(a) · · · ∂nf1(a)...
......
∂1fp(a) · · · ∂nfp(a)
;
c’est la matrice jacobienne de f au point a.
1.3.4 Applications diffeerentiables f est dite diffeerentiable quand elle l’est en
tout point de U ; lui est alors associeee sa diffeerentielle (ou deeriveee) Df : U →L(E, F )−bien suur, c’est l’application x → Df(x). Lorsque f est diffeerentiable et
Df continue, f est dite continuument diffeerentiable, ou (de classe) C1.
Composition de fonctions C1 Etant donnees un ouvert U1 d’un troisieeme espace
normee E1 et une application g : U1 → E de classe C1, si f est C1, l’application
fg : g−1(U) → F est C1 (rappelons que sa deeriveee est x → Df(g(x))Dg(x)).
1.3.5 Inteegrale curviligne Si λ est une forme de Pfaff sur U aa valeurs dans
F , c’est-aa-dire une application continue de U dans L(E, F ), on deefinit l’inteegrale
(curviligne) de λ le long d’un arc C1 par morceaux γ : [α, β] → U par
∫
γλ :=
∫ β
αλ(γ(t)) · γ′(t) dt .
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Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
La formule de la moyenne (“plusieurs” variables) Soit γ un arc C1 par
morceaux joignant deux points a et b dans U ; si f est C1, alors∫
γ df = f(b)− f(a).
Corollaire (ineegalitee des accroissements finis) Si f est C1, on a |f(b) −f(a)| ≤ (γ) |(Df)γ|∞ pour tout arc C1 par morceaux γ joignant a aa b dans U ; en
particulier, si U contient le segment [a, b] := a + t(b − a) : 0 ≤ t ≤ 1,
|f(b) − f(a)| ≤ |b − a| supx∈[a,b]
|Df(x)| .
1.3.6 Criteeres pour que f soit C1
Les proprieetees suivantes sont equivalentes :
(i) f est C1 ;
(ii) il existe une application continue α : U → L(E, F ) telle que, pour tout chemin
γ de classe C1 dans U , le chemin fγ soit diffeerentiable et ait pour deeriveee
(fγ)′(t) = α(γ(t)) · γ′(t) (fγ est donc C1) ;
(iii) f est C1 au sens de Gaateaux : il existe une application continue α : U → L(E, F )
telle que, pour tout a ∈ U et tout X ∈ E, la deeriveee directionnelle ∂Xf(a) existe
et soit eegale aa α(a) · X ;
(iv) (si E est de dimension finie et que (e1, · · · , en) en est une base) les applications
∂ejf : U → F , 1 ≤ j ≤ n, existent et sont continues.
Dans (iv), la deeriveee de f est donneee par Df(a)(∑
Xjej) =∑
Xj∂ejf(a) ; dans (ii)
et (iii), Df = α.
(iv) reesulte du theeoreeme suivant :
Theeoreeme Si E est le produit de n espaces normees E1, . . . , En , f est C1 si et
seulement si ses deeriveees partielles ∂jf : U → L(Ej, F ), 1 ≤ j ≤ n, existent et sont
continues (rappelons que Df est alors donneee par (7) ).
1.3.7 Suites de fonctions C1
Soit (gn) une suite d’applications C1 de U (supposee connexe) dans F (supposee
complet), posseedant les deux proprieetees suivantes :
(i) il existe a ∈ U tel que la suite (gn(a)) soit convergente, de limite ∈ F ;
(ii) tout b ∈ U est contenu dans un ouvert Ωb ⊂ U ouu la suite (Dgn) converge
uniformeement ; en particulier, (Dgn) converge simplement vers une application
continue α : U → L(E, F ).
Alors (gn) converge simplement vers une application g : U → F de classe C1 telle
que Dg = α ; en outre, tout b ∈ U appartient aa un ouvert Ω′b ouu la suite (gn) converge
uniformeement vers g.
9
Marc Chaperon
Convergence C1 Sous les hypotheeses du theeoreeme, on dit que la suite (gn) con-
verge au sens C1 dans U .
1.3.8Applications C1 et applications lipschitziennes
Deefinitions On dit que f est lipschitzienne s’il existe c ≥ 0 tel que |f(y)−f(x)| ≤c |y−x| quels que soient x, y ∈ U (f est donc continue). Le plus petit de ces c est la
constante de Lipschitz Lip(f) de f . Par exemple, la norme de E est lipschitzienne, de
constante de Lipschitz 1 (d’aprees l’ineegalitee triangulaire). Il est commode de dire que
Lip(f) = ∞ lorsque f n’est pas lipschitzienne, ce qui permet de parler de constante
de Lipschitz dans tous les cas.
f est dite localement lipschitzienne quand tout point de U est le centre d’une
boule ouverte B ⊂ U telle que f |B soit lipschitzienne. Une application lipschitzienne
est donc localement lipschitzienne.
On dit de meeme qu’une application g de U dans un espace normee est localement
borneee quand tout point de U est le centre d’une boule ouverte B ⊂ U telle que g|Bsoit borneee. Par exemple, une application continue est localement borneee.
Deux normes sur un meeme espace vectoriel sont dites eequivalentes quand elles
deefinissent les meemes suites convergentes, c’est-aa-dire quand l’identitee est une appli-
cation continue de chacun des deux espaces normees consideerees dans l’autre. D’aprees
1.1.2 (i), les notions d’application lipschitzienne, localement lipschitzienne, borneee ou
localement borneee sont donc invariantes si l’on remplace les normes par des normes
eequivalentes (mais les constantes de Lipschitz et les normes L∞, elles, varient).
Enfin, une partie de E est convexe quand elle est “connexe par arcs affines”,
c’est-aa-dire quand elle ne peut pas contenir deux points sans contenir le segment qui
les joint.
Theeoreeme
(i) Si f est diffeerentiable au point a, on a |Df(a)| ≤ Lip(f).
(ii) Si U est convexe et f de classe C1, alors Lip(f) = |Df |∞ .
(iii) Si f est de classe C1, elle est localement lipschitzienne.
1.4 Deeriveees d’ordre supeerieur
Dans cette section, f deesigne toujours une application deefinie sur un ouvert U d’un
espace normee E, aa valeurs dans un espace normee F .
1.4.1Applications deux fois diffeerentiables
On dit que f est deux fois diffeerentiable au point a ∈ U lorsqu’elle est diffeerentiable
10
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
dans un ouvert V ⊂ U contenant a et que Df : V → L(E, F ) est elle-meeme
diffeerentiable au point a. Notons L2(E, F ) := L(E, E; F ) l’espace des applications
bilineeaires continues de E2 dans F ; graace aa l’isomeetrie canonique de L2(E, F )
sur L(E, L(E, F )) (1.2.3), on peut identifier D(Df)(a) aa un eeleement D2f(a) de
L2(E, F ), la deeriveee seconde de f au point a.
Le lecteur n’aura pas manquee de remarquer que, l’isomeetrie n’eetant pas si
canonique que cela, on aurait pu deecider que D2f(a)(v, w) = [D(Df)(a) · w] · v au
lieu de [D(Df)(a) · v] ·w ; cela n’a gueere d’importance en vertu du reesultat suivant,
qui traduit infiniteesimalement le fait que f(b) − f(a) =∫
γ df pour tout arc C1 par
morceaux γ joignant a aa b dans U :
Theeoreeme de Schwarz Si f est C1 et deux fois differentiable au point a, sa
deeriveee seconde D2f(a) appartient aa l’espace L2s(E, F ) des applications bilineeaires
continues et symeetriques de E2 dans F .
1.4.2Applications Ck
Toute u ∈ L(E, F ) est C1, et Du(v) ≡ u. Donc, Du est de classe C1 et D(Du) ≡ 0.
Une application lineeaire (ou plus geeneeralement affine) continue est donc lisse, c’est-
aa-dire de classe C∞ , au sens suivant : deefinissons inductivement une application
Ck+1, k ≥ 1, comme une application C1 dont la diffeerentielle est Ck ; si f est Ck
pour tout k, elle est dite C∞ ou lisse.
Si f est Ck+1, ses deeriveees successives sont deefinies inductivement par
D0f = f
Dj+1f = D(Djf) pour 0 ≤ j ≤ k.
Proposition
(i) Une application bilineeaire B est C∞ et DB(x, y) · (X, Y ) = B(X, y) + B(x, Y ),
[D2B(x, y)·(X1, Y1)]·(X2, Y2) = B(X1, Y2)+B(X2, Y1) et DkB = 0 pour k > 2.
(ii) Si F est le produit F1 × · · · × Fp de p espaces normees, f est Ck, k > 0, si
et seulement si toutes ses composantes fj : U → Fj le sont ; dans ce cas, les
composantes de Dmf(a) sont les Dmfj(a) pour a ∈ U et 0 ≤ m ≤ k.
(iii) La composeee de deux applications Ck est Ck.
(iv) Si E est le produit de n espaces normees, f est Ck+1 avec k > 0 si et seulement
si toutes ses deeriveees partielles sont Ck.
Pour k > 0, nous avons vu que D2f s’identifiait aa une application de U dans l’espace
L2(E, F ) des applications bilineeaires continues de E2 dans F . On identifie de meeme
Dk+1f aa une application de U dans l’espace Lk+1(E, F ) des applications (k + 1)–
lineeaires continues de Ek+1 dans F , et le theeoreeme de Schwarz entraııne la symeetrie
11
Marc Chaperon
des deeriveees successives : si f est Ck (k > 0) et k + 1 fois diffeerentiable en a ∈ U
alors, pour 1 ≤ j ≤ k, Dj+1f est aa valeurs dans l’espace Lj+1s (E, F ) des applications
(j + 1)–lineeaires continues symeetriques de Ek+1 dans F .
Notations et deefinition Pour v ∈ E et u ∈ Lk(E, F ), il est parfois commode
d’eecrire
vk = (k fois
︷ ︸︸ ︷v, ..., v) et u vk = u(
k fois︷ ︸︸ ︷v, ..., v) (aussi notee u · vk).
Si f est k fois diffeerentiable au point a, on dit (en posant D0f = f) que
T ka f : x →
k∑
j=0
1
j!Djf(a) · (x − a)j
est son deeveloppement de Taylor aa l’ordre k au point a. Si f est k + 1 fois
diffeerentiable et que l’on note dg(x) = Dg(x) · dx, on a
(8) d(T kx (b)) =
1
k!Dk+1(x)
(
dx, (b − x)k))
,
pour chaque b ∈ E, d’ouu la
Formule de Taylor Si f est Ck+1 (k ∈ N), pour tout arc γ joignant a aa b dans
U ,
f(b) = T ka f(b) +
1
k!
∫
γDk+1f(x) (dx, (b − x)k) ;
en particulier, dees que U contient le segment [a, a + X],
f(a + X) = f(a) +∑
1≤j≤k
1
j!Djf(a) Xj +
∫ 1
0
(1 − t)k
k!Dk+1f(a + tX) Xk+1 dt .
1.4.3Application aux extrema
Dans ce paragraphe, f est aa valeurs reeelles.
Deefinitions Si f est diffeerentiable, un point critique de f est un b ∈ U tel que
Df(b) = 0. La fonction f a un minimum [local, ou relatif ] en a ∈ U (on dit aussi
que f est minimale au point a) quand il existe un ouvert V ⊂ U contenant a tel que
f(a) = inf f(V ). Si l’on peut choisir un tel V de manieere que f n’y ait pas d’autre
minimum, on dit que f a un minimum strict en a.
Les maxima de f eetant les minima de −f , le lecteur pourra facilement traduire
ce qui suit en termes de maxima.
Nous dirons que u ∈ L2(E,R) est positive si l’on a u X2 ≥ 0 pour tout X ∈ E,
12
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
et deefinie positive s’il existe C > 0 tel qu’on ait u X2 ≥ C|X|2 pour tout X ∈ E (en
dimension finie, cela coııncide avec la deefinition habituelle : la spheere-unitee S de E
eetant alors compacte, l’application S X → u X2 atteint son minimum C).
Theeoreeme
(i) Si f est minimale au point c et que la deeriveee directionnelle ∂Xf(c) existe, alors
∂Xf(c) = 0 ; lorsque f est diffeerentiable, c est donc un de ses points critiques.
(ii) Si f est deux fois diffeerentiable au point c et y est minimale, alors D2f(c) est
positive.
(iii) Si f est C2 et a un point critique c ouu D2f(c) est deefinie positive, alors c est
un minimum strict de f .
13
Marc Chaperon
14
2. - FAMILLES GEENEERATRICES
Aprees des versions globales des classiques theeoreemes d’existence en calcul diffeerentiel,
nous construisons des fonctions et familles geeneeratrices (globales). Comme dans le
chapitre preeceedent, la meethode est exposeee dans un cadre “banachique” trees geeneeral,
ouu il me semble que la vraie nature des probleemes apparaııt mieux. J’ai conscience
d’aller ainsi aa contre-courant d’une mode actuelle, qui limite la theeorie au strict
neecessaire permettant d’aborder les petits probleemes visees : cette mode me paraııt
contraire aa l’essence meeme des matheematiques.
2.1 Theeoreemes d’existence globale
2.1.1Points fixes des applications lipschitziennes
Espaces meetriques Un espace meetrique est un ensemble E eequipee d’une distance,
c’est-aa-dire d’une fonction reeelle (x, y) → d(x, y) sur E×E telle que, pour tout choix
de x, y, z ∈ E,
d(x, y) ≥ 0 , et d(x, y) = 0 si et seulement si x = y
d(x, y) = d(y, x)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)| (ineegalitee triangulaire).
Toute partie d’un espace normee est un espace meetrique pour la distance d(x, y) :=
|x−y|. On voit donc comment geeneeraliser aux espaces meetriques les notions de suite
convergente, de suite de Cauchy, d’espace complet et d’application continue.
Applications lipschitziennes Etant donnees des espaces meetriques E, F , une
application f : E → F est lipschitzienne s’il existe c ≥ 0 tel que d(f(x), f(y)) ≤c d(x, y) quels que soient x, y ∈ E (f est donc continue). Le plus petit de ces c
est la constante de Lipschitz Lip(f) de f . Les autres deefinitions donneees dans 1.3.8
s’eetendent de meeme aux espaces meetriques. Un point fixe de u : E → E est un a ∈ E
tel que u(a) = a.
15
Marc Chaperon
Lemme de contraction Soient E un espace meetrique complet et u : E → E
une application lipschitzienne. S’il existe un entier m > 0 tel que Lip(um) < 1,
l’application u a un unique point fixe a ∈ E et, pour tout x ∈ E, la suite un(x)
converge vers a.
Deemonstration Si a et b sont deux points fixes de u (et donc de um), on a
d(a, b) = d(um(a), um(b)) ≤ Lip(um) d(a, b)
et donc d(a, b) = 0, d’ouu l’unicitee. Pour l’existence, on remarque que, pour tout
x ∈ E, la suite un(x) est une suite de Cauchy : on a en effet
(1) d(un(x), un+p(x)) ≤ Lip(un)d(x, up(x)) ;
si l’on eecrit n = qm + r, q ∈ N, 0 ≤ r < m, et que l’on pose c = Lip(um), on voit
que
Lip(un) ≤ cqLip(ur) ≤ cq max0≤s<m
Lip(us)
tend vers 0 quand n → ∞ ; en eecrivant de meeme p sous la forme q′m + r′, on
s’aperccoit que
d(x, up(x)) ≤
q′−1∑
j=0
d(ujm(x), u(j+1)m(x))
+ d(uq′m(x), up(x))
≤
q′−1∑
j=0
cj d(x, um(x))
+ cq′d(x, ur′
(x))
≤ d(x, um(x))
1 − c+ max
0≤s<md(x, us(x))
est bornee, ce qui montre d’aprees (1) que un(x) est une suite de Cauchy. Elle converge
donc vers un a, qui est un point fixe de u parce que la suite un+1(x) converge vers a
(comme suite extraite de la preeceedente) et vers u(a) (comme image de la suite un(x)
par l’application continue u).
Contractions Ce sont les applications u veerifiant l’hypotheese du lemme preeceedent
(deux normes eequivalentes admettent donc les meemes contractions).
Theeoreeme Soient F un espace meetrique complet, Λ un espace meetrique et Φ : Λ×F → F une application posseedant la proprieetee suivante : en notant Φλ(x) = Φ(λ, x),
il existe une constante c < 1 tels que Lip(Φλ) ≤ c pour tout λ ∈ Λ ; si ϕ(λ) deesigne
l’unique point fixe de la contraction Φλ, λ ∈ Λ, l’application ϕ : Λ → F ainsi deefinie
posseede les proprieetees suivantes :
16
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
(i) Quand µ → Φµ(ϕ(λ)) est continue au point λ (ce qui est le cas si Φ est continue),
ϕ est continue au point λ.
(ii) Lorsqu’il existe un reeel majorant les constantes de Lipschitz de toutes les appli-
cations µ → Φµ(ϕ(λ)) (c’est le cas si Φ est lipschitzienne), ϕ est lipschitzienne.
Deemonstration On a
d(ϕ(λ), ϕ(µ)) = d (Φλ(ϕ(λ)), Φµ(ϕ(µ)))
≤ d (Φλ(ϕ(λ)), Φµ(ϕ(λ))) + d (Φµ(ϕ(λ)), Φµ(ϕ(µ)))
≤ d (Φλ(ϕ(λ)), Φµ(ϕ(λ))) + c d (ϕ(λ), ϕ(µ))
et donc
(2) d(ϕ(λ), ϕ(µ)) ≤ d (Φλ(ϕ(λ)), Φµ(ϕ(λ)))
1 − c.
Notation Dans la suite, sauf mention du contraire, E et F sont des espaces de
Banach.
2.1.2 Theeoreeme d’inversion globale
Etant donneee u : E → E, si l’on a Lip(u) < 1, l’application IdE − u est bijective et
son inverse est lipschitzienne ; plus preeciseement, en posant Φy(x) = y + u(x) pour
x, y ∈ E, on a
(3) ∀y ∈ E ∀a ∈ E (IdE − u)−1(y) = limn→∞
Φny (a)
et Lip ( (IdE − u)−1) ≤ (1 − Lip(u))−1.
Deemonstration Etant donnee y ∈ E, un point x tel que (IdE − u)(x) = y
est un point fixe de Φy, auquel il suffit donc d’appliquer le lemme de contraction
pour obtenir la bijectivitee. On voit que ϕ := (IdE − u)−1 est lipschitzienne graace au
theeoreeme 2.1.1 (ii), et la relation (2) dans sa deemonstration entraııne alors la dernieere
ineegalitee.
Proposition Soient u et v deux applications de E dans lui-meeme satisfaisant aux
hypotheeses du theeoreeme, et soient g = Id−u et h = Id−v. Si g−h est borneee, il en va
de meeme de g−1−h−1 ; plus preeciseement, on a |g−1−h−1|∞ ≤ |g−h|∞/(1−Lip(u)).
Deemonstration Etant donnee z ∈ E, posons x = g−1(z) et y = h−1(z). Puisque
|g − h|∞ = |u − v|∞, et x − u(x) = y − v(y) = z, on conclut en utilisant l’ineegalitee
|x− y| = |u(x)− v(y)| ≤ |u(x)− u(y)|+ |u(y)− v(y)| ≤ |x− y|Lip(u) + |g − h|∞ .
17
Marc Chaperon
2.1.3 Inversion locale des applications lipschitziennes
Lemme de prolongement lipschitzien Quels que soient a ∈ E et r > 0, la
reetraction
(4) ρ : x →
a + r(x − a)/|x − a| pour |x − a| ≥ r
x pour |x − a| ≤ r
de E sur Br(a) a une constante de Lipschitz ≤ 2, eegale aa 1 si E est hilbertien. Pour
toute application f de Br(a) dans F , l’application f := fρ : E → F veerifie donc
Lip(f) ≤ 2 Lip(f), et meeme Lip(f) = Lip(f) si E est hilbertien.
Deemonstration On se rameene par translation au cas ouu a = 0. Pour x, y ∈Br(0), on a |ρ(y) − ρ(x)| = |y − x| ; pour |x| ≥ r ≥ |y|,
|ρ(y) − ρ(x)| = |y − r(x/|x|)| ≤ |y − x| + |x − r(x/|x|)| =
≤ |y − x| + |x| − r ≤ |y − x| + |x| − |y|≤ 2|y − x|
et, dans le cas hilbertien, |ρ(y) − ρ(x)| ≤ |y − x| (exercice facile de geeomeetrie eucli-
dienne plane) ; pour |x| ≥ |y| ≥ r, on a donc
|ρ(y) − ρ(x)| =
∣∣∣∣∣ρ
(ry
|y|
)
− ρ
(rx
|y|
)∣∣∣∣∣≤ 2
∣∣∣∣∣
ry
|y| −rx
|y|
∣∣∣∣∣=
2r
|y| |y − x| ≤ 2|y − x|
et de meeme |ρ(y) − ρ(x)| ≤ (r/|y|)|y − x| ≤ |y − x| dans le cas hilbertien.
Diffeeomorphismes Un diffeeomorphisme d’un ouvert U de E sur un ouvert V de
F est une bijection h : U → V telle que h et h−1 soient localement lipschitziennes.
Par exemple, dans le theeoreeme d’inversion globale, Id − u est un diffeeomorphisme
de E sur lui-meeme.
Diffeeomorphismes locaux et applications locales Un diffeeomorphisme en a ∈E, aa valeurs dans F , ou diffeeomorphisme local (E, a) → F , est un diffeeomorphisme
d’un ouvert U a de E sur un ouvert V de F . De meeme, une application locale
(E, a) → F est une application d’un ouvert U a de E dans F . L’inteereet de ces
deefinitions est d’alleeger les eenoncees, les ouverts n’ayant plus besoin d’eetre speecifiees.
Theeoreeme d’inversion locale lipschitzien Etant donnee un diffeeomorphisme
local A : (E, a) → F , soit R : (E, a) → F une application locale lipschitzienne. Si
Lip(R|Br(a)) tend vers 0 quand r → 0, alors A + R est un diffeeomorphisme en a.
18
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
Deemonstration En composant A+R aa droite avec A−1, nous pouvons supposer
que E = F et A = IdE. D’aprees le lemme de prolongement et notre hypotheese sur
R, pour r > 0 assez petit, la composeee R de R avec la reetraction ρ deefinie par (4)
est bien deefinie et a une constante de Lipschitz < 1. Le theeoreeme d’inversion globale
nous dit alors que IdE + R est un diffeeomorphisme ; en posant V = Br(a), il en
reesulte que (IdE + R)|V = (IdE + R)|V est un diffeeomorphisme sur (IdE + R)(V ),
dont l’inverse est la restriction de (IdE + R)−1.
Une “petite” perturbation locale d’un diffeeomorphisme est donc un diffeeomorphisme ;
naturellement, on peut ameeliorer la notion de “petitesse” choisie. Ce qui preeceede a
l’avantage d’eetre trees simple et largement suffisant dans la pratique.
2.1.4 Diffeerentielles des diffeeomorphismes
Soit h un diffeeomorphisme d’un ouvert U de E sur un ouvert V de F .
(i) Si h est diffeerentiable au point x ∈ E, alors h−1 l’est au point h(x) ; la reegle de
deerivation d’une application composeee donne donc D(h−1)(h(x)) = Dh(x)−1.
(ii) Si h est Ck, il en va de meeme de h−1.
Deemonstration En remplaccant U et V par des ouverts plus petits, on peut
supposer h et h−1 lipschitziennes dans (i) ; posons h(x) = y et commenccons par
montrer que Dh(x) est un isomorphisme de E sur F : pour tout X ∈ E et tout
ε > 0 assez petit, on a
|X| =|h−1(h(x + εX)) − h−1(h(x))|
ε≤ Lip(h−1)
|h(x + εX) − h(x)|ε
et donc, aa la limite, |X| ≤ Lip(h−1) |Dh(x) X| ; il en reesulte que Dh(x) est injective
et que Dh(x)−1, si elle existe, est continue ; en outre, Dh(x) a une image fermeee car
si la suite (Dh(x) Xk) converge, la suite (Xk) est une suite de Cauchy (on le voit en
prenant X = Xk − X dans l’ineegalitee que nous venons de deemontrer). Enfin, pour
y + w ∈ V , on a
w = h(h−1(y + w)) − h(h−1(y))
= Dh(x) (h−1(y + w) − h−1(y)) + o(|h−1(y + w) − h−1(y)|)et donc, h−1 eetant lipschitzienne,
(5) w = Dh(x)(
h−1(y + w) − h−1(y))
+ o(|w|) .
Pour tout Y ∈ F , en prenant w = εY (ε > 0 assez petit) dans (5) , on obtient
Y = limε→0
Dh(x)
(h−1(y + εY ) − h−1(y)
ε
)
,
19
Marc Chaperon
ce qui prouve la surjectivitee de Dh(x) puisque son image est fermeee. Par conseequent,
Dh(x) est un isomorphisme ; en appliquant Dh(x)−1 aux deux membres de (5) , on
voit que
h−1(y + w) − h−1(y) − Dh(x)−1 w = o(|w|) ,
d’ouu (i). Sous l’hypotheese de (ii), on a donc D(h−1)(y) = Dh(h−1(y))−1 pour y ∈h(U) ; cette formule montre que si h−1 et Dh sont Cm (m ∈ N), D(h−1) l’est aussi,
comme composeee de h−1, de Dh et de l’application analytique A → A−1 ; il en reesulte
que h−1 est Cm+1, ce qui permet de prouver (ii) dans le cas Ck par reecurrence.
L’exemple de x → x3 montre que le reesultat preeceedent n’est pas vrai si l’on remplace
les diffeeomorphismes par des homeeomorphismes. Les diffeeomorphismes jouent en
geeomeetrie diffeerentielle le roole des isomorphismes en algeebre lineeaire : ce sont les
“changements de coordonneees admissibles”.
2.1.5 Theeoreeme d’inversion locale
Soit h : (E, a) → F une application locale Ck, k ≥ 1 ; si Dh(a) est un isomorphisme,
alors h est un diffeeomorphisme en a et, pour tout ouvert U a de E tel que h|Usoit un diffeeomorphisme sur un ouvert de F , son inverse (h|U)−1 est Ck.
Deemonstration Soient A = Dh(a) et R(x) = h(x)−A(x). Pour x, x+y ∈ Bε(a)
et ε assez petit, R(x + y) − R(x) =(∫ 1
0 (Dh(x + ty) − Dh(a)) dt)
· y d’aprees la
formule de Taylor. Par conseequent, puisque Dh est continue, les hypotheeses du
theeoreeme d’inversion locale lipschitzien sont veerifieees par A et R, ce qui nous permet
de conclure graace aa 2.1.4.
2.1.6 Equations diffeerentielles
Conventions, hypotheeses et position du probleeme “Intervalle” signifie “in-
tervalle reeel d’inteerieur non vide”, J deesigne un intervalle compact et E un espace
de Banach. On se donne une application continue Γ : J ×E → E posseedant la pro-
prieetee suivante : il existe une constante c ≥ 0 telle que l’on ait Lip(Γt) ≤ c pour tout
t ∈ J (on a notee Γt(x) = Γ(t, x)). D’aprees le theeoreeme 1.3.8 (ii), cette hypotheese est
veerifieee lorsque ∂2Γ : (t, x) → DΓt(x) existe, est continue et est borneee dans J ×E.
On cherche les solutions de l’eequation diffeerentielle
(6)dx
dt+ Γ(t, x) = 0
c’est-aa-dire les chemins diffeerentiables γ dans E tels que γ′(t) + Γ(t, γ(t)) = 0 pour
tout t. Une solution γ de (6) est donc deefinie sur un intervalle contenu dans J ; la
20
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
continuitee de γ et de Γ entraıınant celle de γ′(t) = −Γ(t, γ(t)), toute solution de (6)
est C1.
Lemme Quels que soient l’intervalle compact K ⊂ J et (s, a) ∈ K × E, il existe
une unique solution γ : K → E de (6) telle que γ(s) = a.
Deemonstration Il s’agit de montrer l’existence et l’unicitee de l’application con-
tinue δ := γ′ : K → E veerifiant
(7) δ(t) + Γ(
t, a +∫ t
sδ(τ) dτ
)
= 0 pour tout t ∈ K.
Or, on deefinit une contraction us,a de l’espace de Banach F = C(K, E), muni
de la norme L∞, par
us,a(g)(t) = −Γ(
t, a +∫ t
sg(τ) dτ
)
.
En effet, us,a est eevidemment une aplication de F dans lui-meeme, et sa deefinition
implique l’ineegalitee |[us,a(h) − us,a(g)](t)| ≤ c |t − s| |h − g|∞ ; on en deeduit d’une
part (en deesignant par (K) la longueur de K) Lip(us,a) ≤ c (K) et d’autre part
|[u2s,a(h) − u2
s,a(g)](t)| ≤ c∣∣∣∣
∫ t
sc |τ − s| |h − g|∞ dτ
∣∣∣∣ =
c2 |t − s|22
|h − g|∞
d’ouu, de proche en proche,
|[uks,a(h) − uk
s,a(g)](t)| ≤ ck |t − s|kk!
|h − g|∞ ;
par conseequent,
(8) Lip(uks,a) ≤
ck (K)k
k!
tend vers 0 quand k → ∞. Le lemme en reesulte car (7) exprime que δ est un point
fixe de us,a, point fixe dont l’existence et l’unicitee sont garanties par le lemme de
contraction.
21
Marc Chaperon
Theeoreeme
(i) Quels que soient (t0, x0) ∈ J × E et l’intervalle I ⊂ J contenant t0, il existe
une unique solution γ = γI : I → E de (6) telle que γI(t0) = x0, qui est donc
la restriction de l’unique solution maximale (c’est-aa-dire deefinie dans J tout
entier) γJ du probleeme.
(ii) On deefinit une application localement lipschitzienne R : (s, a, t) → Rts(a) de
J ×E × J dans E, la reesolvante de (6), de la manieere suivante : pour chaque
(s, a, t) ∈ J × E × J , Rts(a) est la valeur au temps t de la solution (maximale)
de (6) qui vaut a au temps s.
(iii) La reesolvante veerifie Rtτ R
τs = Rt
s pour s, τ, t ∈ J , d’ouu en particulier Rst =
(Rts)
−1 ; chaque Rts est un diffeeomorphisme lipschitzien de E sur lui-meeme, et
limt→s
Lip(Rts − Id) = 0 uniformeement par rapport aa s ∈ J .
(iv) Soient K0 ⊂ J un intervalle compact et γ0 : K0 → E une solution de (6) ; si Γ
est Ck (0 ≤ k ≤ ∞) ainsi que (t, x) → DΓt(x) au voisinage du graphe gr(γ0)
de γ0, la reesolvante R est Ck+1 au voisinage de gr(γ0) × K0. Quels que soient
s, t ∈ K0, on a DRts(γ0(s)) = (δR)t
s, ouu δR deesigne la reesolvante de l’eequation
diffeerentielle lineeaire
dX
dt+ DΓt(γ0(t)) · X = 0 (“eequation aux variations”).
Deemonstration
(i) L’existence de γI est claire puisque la restriction aa I de la solution γJ (qui existe
et est unique d’aprees le lemme) est une solution. Lorsque I est compact, l’unicitee
reesulte du lemme ; lorsqu’il n’est pas compact, il suffit d’appliquer le lemme aa tous
les intervalles compacts contenus dans I.
(iii) La formule Rtτ R
τs = Rt
s exprime que, pour chaque a ∈ E, la solution maximale
qui vaut a au temps s coııncide forceement (par unicitee) avec la solution maximale
qui vaut Rτs (a) au temps τ . Montrons maintenant que chaque Rt
s est lipschitzienne
(son inverse Rst le sera aussi) : si l’on prend K = J dans le lemme, alors, pour
k ∈ N assez grand, l’application Φs : (a, g) → uks,a(g) de E × F dans F satisfait
aux hypotheeses du theeoreeme 2.1.1 (ii) : la majoration (8) est indeependante de a, et
l’on a eevidemment |us,b(g)−us,a(g)|∞ ≤ c|b− a| quels que soient g ∈ F et a, b ∈ E ;
par conseequent, l’application ϕs qui aa a ∈ E associe l’unique point fixe de us,a est
lipschitzienne. En outre, d’aprees l’ineegalitee (2) de 2.1.1, sa constante de Lipschitz
est majoreee par une constante C, indeependante de s comme le second membre de
(8) ; la constante de Lipschitz de Rts − Id : a → ∫ t
s [ϕs(a)](τ) dτ est donc majoreee par
C|t − s|, d’ouu (iii).
22
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
(ii) Pour voir que R est localement lipschitzienne, on peut proceeder comme suit :
on choisit K dans le lemme de manieere aa avoir c (K) < 1 ; on voit alors que ϕ :
(s, a) → ϕs(a) est localement lipschitzienne en appliquant l’ineegalitee (2) de (2.1.1)
aa l’application Φ : (s, a, g) → us,a(g) de (K × E) × F dans F , qui veerifie |ut,b(g) −us,a(g)|∞ ≤ c(|b − a| + |g|∞ |t − s|)].
(iv) Fixons τ ∈ K0 et posons a0 = γ0(τ) ; il existe un intervalle compact K ⊂ J dont
l’inteerieur relativement aa J contienne K0 et tel que Γ veerifie encore l’hypotheese de
(iv) lorsqu’on y remplace K0 par K et γ0 par son extension naturelle γ1 : K → E
donneee par γ1(t) = Rtτ (a0) ; un tel K eetant fixee, nous allons prouver que uτ est Ck+1
au voisinage de (a0, γ′1) : c’est en effet la composeee de l’application lineeaire continue
(a, g) →(
t → −a +∫ tτ g(s) ds
)
de E × F dans F et de γ → (t → −Γ(t, γ(t)) ), qui
est une application Ck+1 de F dans lui-meeme au voisinage de γ1.
Exercice Le prouver ; plus preeciseement, montrer que sa deeriveee j–ieeme au point
γ, appliqueee aa δγj (δγ ∈ F), est t → DjΓt(γ(t)) · δγ(t)j.
Comme γ′1 est un point fixe de u(τ,γ(τ)) et donc de um
(τ,γ(τ)) pour tout entier m,
l’application vτ,m : (a, g) → umτ,a est de classe Ck+1 au voisinage de (a0, γ
′1) ; si
l’on choisit m assez grand pour que les umτ,a (a ∈ E) soient des contractions, on
a |Dumτ,a|∞ < 1 et donc (a, g) → (a, g − um
τ,a(g)) est un diffeeomorphisme Ck+1 au
voisinage de (a0, γ′1) d’aprees le theeoreeme d’inversion locale ; on en deeduit que la
“fonction implicite” a → (t → (∂/∂t)Rtτ (a)) est Ck+1 au voisinage de γ1(τ).
Il en reesulte aussitoot que Rtτ est Ck+1 au voisinage de a0, mais aussi (par
reecurrence) que a → (t → (∂/∂t)j+1Rtτ (a)) est Ck−j au voisinage de a0 pour 0 ≤
j ≤ k, car (∂/∂t)Rtτ (a) = −Γ(t, Rt
τ (a)) ; par conseequent, Rτ : (a, t) → Rtτ (a) est
Ck+1.
On en deeduit que Rτ : (a, t) → (t, Rtτ (a)) est un Ck+1– diffeeomorphisme
(c’est le cas au voisinage de tout point d’aprees le theeoreeme d’inversion locale, et
Rτ est bijective) ; son inverse (b, s) → (s, Rτs (b)) est donc Ck+1. Par conseequent,
R : (s, a, t) → Rts(a) = Rt
τ Rτs (a) est bien Ck+1.
Pour finir de prouver (iv), il reste aa veerifier que, pour tout δa ∈ E, t → DRtτ (a0)·
δa est solution de l’eequation aux variations− ce sera celle qui vaut δa au temps τ
puisque Rττ = Id ; pour cela, remarquons que Rt
τ (a) = a +∫ tτ Γs (Rs
τ (a)) ds et donc,
par “deerivation sous le signe somme”,
DRtτ (a0) · δa = δa +
∫ t
τDΓs (Rs
τ (a0)) · (DRsτ (a0) · δa) ds ;
le reesultat annoncee s’obtient en deerivant cette identitee par rapport aa t.
23
Marc Chaperon
Cas ouu Γ ne deepend pas du temps Soit X : E → E une application lipschit-
zienne (“champ de vecteurs” lipschitzien sur E).
(i) Pour tout a ∈ E, il existe une unique solution maximale (deefinie sur R
tout entier) t → ρt(a) de l’eequation diffeerentielle x′ = X(x) valant a au temps 0 ;
l’application t → ρt est un homomorphisme du groupe additif R dans le groupe des
diffeeomorphismes lipschitziens de E sur lui-meeme− on a donc
(9) ∀(s, t) ∈ R2 ρs+t = ρsρt .
L’application ρ : (x, t) → ρt(x) est localement lipschitzienne ; on dit que c’est le
groupe aa un parameetre, ou flot engendree par X (on exprime aussi (9) en disant
que ρ est une action de R sur E).
(ii) Si X est Ck, k > 0, il en va de meeme de ρ.
Deemonstration On a ici Γ(t, x) = −X(x). On peut appliquer le theeoreeme aa
toutes les restrictions de Γ aa des J × E pour obtenir l’existence et l’unicitee. Le
caracteere autonome de l’eequation se traduit par la relation Rts = Rt−s
0 ; en posant
Rt0 = ρt, (9) n’est donc rien d’autre que l’identitee Rt
τ Rτs = Rt
s. Les autres affirma-
tions reesultent aussitoot du theeoreeme.
2.2 La construction principale
Soient E un espace normee reeel, E∗ := L(E,R) son dual (topologique) et E∗∗ :=
L(E∗,R) son bidual. Le theeoreeme de Hahn Banach affirme qu’on deefinit une isomee-
trie lineeaire j de E dans E∗∗ par j(x) u = u(x). Lorsque cette isomeetrie est un
isomorphisme, on dit que E est un espace reeflexif− c’est alors un espace de Banach,
puisqu’il est isomeetrique aa l’espace de Banach (cf. 1.1.2 (iii)) E∗∗. En pareil cas, il
est naturel (et commode) de consideerer j comme une identification. Par exemple,
les espaces de Hilbert (et donc les espaces de dimension finie) sont reeflexifs.
2.2.1 Hypotheeses et notations On se donne un espace de Banach reeflexif B, un
reeel T > 0 et une fonction continue H : [0, T ]×B ×B∗ → R posseedant la proprieetee
suivante : en notant Ht(q, p) = H(t, q, p), (t, q, p) ∈ [0, T ] × B × B∗, l’application
(t, q, p) → DHt(q, p) est bien deefinie, continue, et uniformeement lipschitzienne par
rapport aa (q, p) − c’est-aa-dire qu’il existe un reeel c ≥ 0 tel que l’on ait Lip(DHt) ≤ c
pour tout t.
Il est alors clair que les hypotheeses de 2.1.6 sont satisfaite par J = [0, T ],
E = B × B∗ et
(10) Γt(q, p) = (−∂2H(q, p), ∂1H(q, p)) , (t, q, p) ∈ [0, T ] × B × B∗ .
24
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
L’eequation diffeerentielle (dx/dt) + Γ(t, x) = 0 s’eecrit sous la forme des eequations de
Hamilton
(11)
dq
dt= ∂2Ht(q, p)
dp
dt= −∂1Ht(q, p)
associeees au hamiltonien H. Les notations eetant celles du theeoreeme 2.1.6 (avec le
choix (10) de Γ), soit δ > 0 tel qu’on ait Lip(Rts − Id) < 1/2 pour |t − s| < δ. Le
theeoreeme d’inversion globale 2.1.2 entraııne le
Scolie Soient Qts et P t
s les composantes de Rts suivant B et B∗ respectivement.
Pour |t − s| < δ, l’application gts : (q, p) → (Qt
s(q, p), p) est un diffeeomorphisme de
B × B∗ sur lui-meeme.
2.2.2 Fonctions geeneeratrices
D’aprees le scolie, pour |t − s| < δ, on deefinit une fonction Sts : B × B∗ → R par
(12)
Sts(g
ts(q, p)) =p (q − Qt
s(q, p))+
+∫ t
s
(
P τs (q, p)
d
dτQτ
s(q, p) − Hτ (Rτs (q, p))
)
dτ .
Theeoreeme Pour |t − s| < δ,
(i) le graphe de Rts est l’ensemble des ((q, p), (Q, P )) ∈ (B × B∗)2 veerifiant
q = Q + ∂2S
ts(Q, p)
P = p + ∂1Sts(Q, p) :
on dit que Sts est une fonction geeneeratrice de Rt
s ;
(ii) Les points critiques de Sts sont les images des points fixes de Rt
s par le diffeeor-
morphisme gts ;
(iii) Les points critiques de la restriction de Sts aa B × 0 sont les gt
s(q, 0) tels que
P ts(q, 0) = 0. Ils sont donc en bijection avec les intersections de B × 0 et de
son image par Rts.
(iv) on a(
d
dtSt
s
)
gts = −HtR
ts ;
en particulier, si H est ≥ 0 (resp. > 0), alors Sts est ≤ 0 (resp. < 0) pour s < t.
25
Marc Chaperon
Deemonstration Pour prouver (i), il suffit de montrer que
(13) d∫ t
s
(
P τs (q, p)
d
dτQτ
s(q, p) − Hτ (Rτs (q, p))
)
dτ = P ts(q, p)dQt
s(q, p) − pdq ;
en effet, on en deeduit immeediatement que
(14) d(
Stsg
ts
)
(q, p) =(
P ts(q, p) − p
)
dQts(q, p) +
(
q − Qts(q, p)
)
dp ,
ce qui (puisque gts est un diffeeomorphisme) n’est qu’une autre faccon de formuler (i).
Si l’on applique le premier membre de (13) aa (δq, δp) ∈ B × B∗, en notant
(Qts, P
ts) = (Qt
s(q, p), P ts(q, p)) et (δQt
s, δPts) = dRt
s(q, p) (δq, δp), on obtient
∫ t
s
(
δP τs
d
dτQτ
s + P τs
d
dτδQτ
s − ∂1Hτ (Qτs , P
τs ) δQτ
s − ∂2Hτ (Qτs , P
τs ) δP τ
s
)
dτ ;
Comme (d/dτ)Qτs = ∂2Hτ (Qτ
s , Pτs ) et ∂1Hτ (Qτ
s , Pτs ) = −(d/dτ)P τ
s , cela vaut
∫ t
s
(
P τs
(d
dτδQτ
s
)
+
(d
dτP τ
s
)
δQτs
)
dτ ,
c’est-aa-dire∫ ts (d/dτ) (P τ
s δQτs) dτ alias P t
s δQts − pδq, d’ouu (14) et donc (i). Pour
obtenir (ii)–(iii), il suffit de lire (14). Prouvons maintenant (iv) : en deerivant par
rapport aa t les deux membres de (12), on obtient l’identitee(
d
dtSt
s
)
(Qts, p) + ∂1S
ts(Q
ts, p)
(d
dtQt
s
)
=(
P ts − p
) d
dtQt
s − Ht(Qts, P
ts) ,
d’ouu l’on deeduit (iv) car, d’aprees (14) , P ts − p = ∂1S
ts(Q
ts, p).
2.2.3 Familles geeneeratrices
Choisissons une subdivision 0 = t0 < · · · < tN+1 = T , N ∈ N, de [0, T ] veerifiant
maxtj+1 − tj < δ et deefinissons S : (B × B∗)N+1 → R par
S ((Qj, pj)0≤j≤N) =N∑
j=0
(
Stj+1tj
(Qj, pj) + pj+1 (Qj+1 − Qj))
,
ouu les indices j sont pris modulo N +1 (c’est-aa-dire que N +1 = 0). Un calcul facile
donne le
Lemme Si l’on deefinit qj = qj(Qj, pj) ∈ B et Pj = Pj(Qj, pj) ∈ B∗ par (Qj, pj) =
gtj+1tj
(qj, pj) et (Qj, Pj) = Rtj+1tj
(qj, pj), on a (en posant toujours N + 1 = 0)
(15) dS =N∑
j=0
((Pj − pj+1) dQj + (qj+1 − Qj) dpj+1) .
26
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
Theeoreeme principal Posons (Q, p) = (QN , p0), v = (Qj, pj+1)0≤j<N et con-
sideerons S comme une fonction de (Q, p, v). Le graphe de RT0 est alors
(16) (
(Q +∂S
∂p(Q, p, v) , p) , (Q , p +
∂S
∂Q(Q, p, v) )
)
:∂S
∂v(Q, p, v) = 0
,
et chaque point du graphe correspond aa un unique zeero de ∂S/∂v : on dit que S est
une famille geeneeratrice (ou phase geeneeratrice) de RT0 . En particulier,
(i) les points critiques de S sont en bijection avec les points fixes de RT0 ;
(ii) les points critiques de S|P=0 sont en bijection avec les intersections de B×0et de son image par RT
0 .
Deemonstration Avec les notations de (15) la relation (∂S/∂v)(Q, p, v) = 0
signifie que, pour 0 ≤ j < N , (qj+1, pj+1) = Rtj+1tj
(qj, pj), c’est-aa-dire (puisque
Rtτ R
τs = Rt
s) que (qj+1, pj+1) = Rtj+10 (q0, p0) et donc (QN , PN) = RT
0 (q0, p0). Les
points de (16) sont donc sur le graphe de RT0 , et aa tout point ((q, p), (Q, P )) de
celui-ci est associee l’unique zeero de ∂S/∂v deefini par (Qj, pj) = gtj+1tj
(Rtj
0 (q, p)),
0 ≤ j ≤ N .
2.2.4Hamiltoniens et familles geeneeratrices quadratiques aa l’infini
Theeoreeme Soit K un autre hamiltonien veerifiant les hypotheeses 2.2.1 et, en choi-
sissant δ assez petit pour convenir aa la fois aa H et K, soient Ats et A les fonc-
tions Sts et S associeees aa K − la subdivision (tj) eetant la meeme que pour H. Si
(t, q, p) → D(Kt−Ht)(q, p) est borneee, il en va de meeme des applications D(Sts−At
s),
|s − t| < δ, et (donc) de D(S − A).
Deemonstration Montrons d’abord que, si l’on note Bts les applications Rt
s as-
socieees aa K, les Rts−Bt
s sont uniformeement borneees pour |t−s| ≤ δ : supposons s ≤ t
(le cas s ≥ t est analogue) ; en notant c := sup Lip(DKt), k := sup |D(Kt − Ht)|,Rt
s := Rts(q, p), Bt
s := Bts(q, p) et ∆t(q, p) := (−∂2Kt(q, p), ∂1Kt(q, p)), on a
∣∣∣Rt
s − Bts
∣∣∣ =
∣∣∣∣
∫ t
s(−Γτ (Rτ
s ) + ∆τ (Bτs )) dτ
∣∣∣∣
≤∫ t
s|(−Γτ + ∆τ ) (Rτ
s )| dτ +∫ t
s|−∆τ (Rτ
s ) + ∆τ (Bτs )| dτ
≤ (t − s) k + c∫ t
s|Rτ
s − Bτs | dτ ,
c’est-aa-dire
d
dt
(
e−ct∫ t
s|Rτ
s − Bτs | dτ
)
≤ (t − s) k e−ct
27
Marc Chaperon
et donc
e−ct∫ t
s|Rτ
s − Bτs | dτ ≤
∫ t
s(τ − s) k e−cτ dτ ,
soit encore∫ t
s|Rτ
s − Bτs | dτ ≤ k
∫ t
s(τ − s) ec(t−τ) dτ ;
on deeduit donc bien de l’ineegalitee initiale que
∣∣∣Rt
s − Bts
∣∣∣∞
≤ (t − s) k + ck∫ t
s(τ − s) ec(t−τ) dτ = k
ec(t−s) − 1
c≤ k
ecδ − 1
c
pour 0 ≤ t − s ≤ δ.
Nous avons donc prouvee que les Rts − Bt
s sont uniformeement borneees pour
|t−s| ≤ δ ; en notant f ts les applications gt
s associeees aa K, on en deeduit qu’il en va de
meeme des f ts −gt
s. C’est eegalement le cas des (f ts)
−1−(gts)
−1 pour |s− t| < δ puisque
la proposition 2.1.2 et le choix de δ entraıınent |(f ts)
−1 − (gts)
−1|∞ ≤ 2|f ts − gt
s|∞. La
formule (14) s’eecrit aussi
dSts(Q, p) =
(
π2Rts(g
ts)
−1(Q, p) − p)
dQ +(
π1(gts)
−1(Q, p) − Q)
dp ,
ouu π1, π2 deesignent les projections de B × B∗ sur ses facteurs ; on a donc
d(Sts − At
s) =(
π2(Rts(g
ts)
−1 − Bts(f
ts)
−1))
dQ +(
π1((gts)
−1 − (f ts)
−1))
dp
et l’on conclut graace au fait que,∣∣∣(gt
s)−1 − (f t
s)−1
∣∣∣∞
, Lip(Rts) et |Rt
s − Bts|∞ eetant
uniformeement bornees pour |s − t| < δ, il en va de meeme de∣∣∣Rt
s(gts)
−1 − Bts(f
ts)
−1∣∣∣∞
≤ Lip(Rts)
∣∣∣(gt
s)−1 − (f t
s)−1
∣∣∣∞
+ |Rts − Bt
s|∞ .
Hamiltoniens quadratiques aa l’infini Lorsque les Kt sont des formes quadra-
tiques, il en va de meeme des Ats et de A ; le theeoreeme preeceedent exprime donc que
“quand H est quadratique aa l’infini, il en va de meeme de S.”
Deemonstration Les eequations de Hamilton associeees aa K eetant lineeaires, les
Bts et f t
s le sont aussi.
2.3 Cas des hamiltoniens convexes par rapport aa p
Ce paragraphe n’est pas utilisee dans le chapitre 3.
2.3.1Hypotheeses
En plus des hypotheeses 2.2.1, nous supposons ici que (t, p, q) → D2Ht(q, p) existe,
est continue et que ∂ 22 Ht(q, p) est “uniformeement deefinie positive” : il existe c > 0
28
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
telle que l’on ait
(17) ∀(t, q, p) ∈ [0, T ] × B × B∗ ∀P ∈ B∗ ∂ 22 Ht(q, p) P 2 ≥ c|P |2 .
Ainsi, H est “uniformeement strictement convexe par rapport aa p.” En outre, d’aprees
le theeoreeme 1.3.8, D2Ht est borneee puisque les DHt sont unifomeement lipschit-
ziennes ; il existe donc en particulier une constante C ≥ c telle que l’on ait
(18) ∀(t, q, p) ∈ [0, T ] × B × B∗ |∂ 22 Ht(q, p)| ≤ C .
Scolie Soient E un espace de Banach et u ∈ L2s(E,R). Si u est deefinie positive
(1.4.3), alors elle deefinit (1.2.3 (iii)) un isomorphisme de E sur E∗.
Deemonstration La norme ‖ · ‖ deefinie sur E par ‖x‖2 = u x2 est alors eequiva-
lente aa la norme initiale ; le produit scalaire u munit donc E d’une structure d’espace
de Hilbert (puisqu’il est complet) et la conclusion de notre lemme n’est autre que le
theeoreeme de Riesz (cf. par exemple Lang, Real Analysis).
L’espace B et son dual sont donc des espaces de Hilbert (du moins aux yeux du calcul
diffeerentiel, qui ne change pas quand on remplace une norme par une norme eequi-
valente). Le reesultat suivant contient l’essentiel de la theeorie de la “transformation
de Legendre-Fenchel” :
2.3.2 Theeoreeme
Soit f une fonction reeelle de classe C2 sur un espace de Hilbert E. S’il existe c > 0
telle que l’on ait
(19) ∀x, X ∈ E; D 2f(x) X2 ≥ c|X|2 ,
les proprieetees suivantes sont veerifieees :
(i) la diffeerentielle Df est un diffeeomorphisme de E sur E∗− en particulier, la
fonction f a un unique point critique x0, qui est son minimum absolu ;
(ii) si de plus C := |D 2f |∞ est finie, la fonction f∗ : E∗ → R deefinie par
f∗(Df(x)) = Df(x) x− f(x) est de classe C2, a une deeriveee seconde borneee et
veerifie
(20) ∀y, Y ∈ E∗; D 2f∗(y) Y 2 ≥ c
C2|Y |2 ;
la fonction f∗ a donc les meemes proprieetees que f , on a min(f∗(E∗)) = −f(0),
et la fonction (f∗)∗ n’est autre que f .
Deemonstration D’aprees le scolie et le theeoreeme d’inversion locale, Df est un
diffeeomorphisme en tout point de E ; en particulier, Df(E) est un ouvert de E∗.
29
Marc Chaperon
Quels que soient x, X ∈ E, on a
(Df(x + X) − Df(x)) X =∫ 1
0D2f(x + tX) X2 ≥ c|X|2 ;
on en deeduit d’une part que Df est injective, et d’autre part l’ineegalitee
(∗) |X| ≤ |Df(x + X) − Df(x)|c
,
qui implique que Df(E) est fermee (et donc eegal aa E∗ tout entier, puisqu’il est
ouvert) : si (Df(xn)) converge vers z ∈ E∗, c’est une suite de Cauchy et donc
(xn) aussi d’aprees (∗) ; comme E est complet, la suite (xn) converge vers une limite
x, donc son image par l’application continue Df converge vers Df(x), d’ouu z =
Df(x) ∈ Df(E). Nous avons donc prouvee que Df eetait un diffeeomorphisme de E
sur E∗. Pour voir que x0 := (Df)−1(0) est le minimum absolu de f , il suffit d’eecrire
la formule de Taylor et d’utiliser (20) :
f(x0 + X) = f(x0) +∫ 1
0(1 − t) D2f(x0 + tX) X2 dt ≥ f(x0) +
c
2|X|2.
Pour prouver (ii), remarquons que, la deefinition de f∗ s’eecrivant
(21)
f∗(y) = y(x) − f(x)
y = Df(x) ,
on a df∗(y) = xdy et donc
(22) Df∗(y) = x = (Df)−1(y).
Il en reesulte que Df∗ est C1 et que, vue comme application de E∗ dans E = E∗∗,
D2f∗(y) = D2f(x)−1 ;
on en tire d’une part
|D2f∗(y)| ≤ 1
c
puisque
(∗∗) |D2f∗(y)Y | |Y | ≥ D2f∗(y) Y 2 = D2f(x) (D2f∗(y)Y )2 ≥ c |D2f∗(y)Y |2 ,
et d’autre part,
|D2f∗(y) Y | ≥ |Y ||D2f∗(y)−1| =
|Y ||D2f(x)| ≥
|Y |C
,
ce qui permet de deeduire (20) de la dernieere ineegalitee de (∗∗). Enfin, (21) et (22)
entraıınent la dernieere assertion.
30
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
2.3.3 Proposition
Si H veerifie les hypotheeses 2.3.1, il existe ε > 0 tel que chacune des applications
hts : (q, p) → (q, Qt
s(q, p)) avec 0 < |t − s| < ε soit un diffeeomorphisme lipschitzien
de B × B∗ sur B × B.
Deemonstration Il suffit eevidemment de montrer que c’est le cas de kts := Lt
shts,
ouu Lts est l’automorphisme de B × B deefini par
Lts(q, Q) =
(
q,Q − q
t − s
)
.
L’avantage de ce changement de coordonneees est que kts est bien deefini pour t = s,
puisque les eequations de Hamilton donnent
(∗ ∗ ∗) kts(q, p) =
(
q ,1
t − s
∫ t
s∂2Hτ (Rτ
s (q, p)) dτ)
et donc kss(q, p) = (q, ∂2Hs(q, p)). Quel que soit q, le theeoreeme 2.3.2, appliquee aa
p → Hs(q, p), nous dit que p → ∂2Hs(q, p) est un diffeeomorphisme, et il reesulte de
(∗) que la constante de Lipschitz de son inverse est majoreee par 1/c ; comme (q, p) →∂2Hs(q, p) est elle-meeme lipschitzienne, on en deeduit que ks
s est un diffeeomorphisme
lipschitzien pour tout s, et qu’en outre les constantes de Lipschitz de kss et de (ks
s)−1
sont majoreees indeependamment de s. Or, on a∣∣∣
(
∂2Hτ Rτs − ∂2Hs
)
(x + X) −(
∂2Hτ Rτs − ∂2Hs
)
(x)∣∣∣ ≤
≤Lip (∂2Hτ ) |Rτs (x + X) − Rτ
s (x)| + Lip (∂2Hs) |X|≤
(
Lip (∂2Hτ ) Lip (Rτs ) + Lip (∂2Hs)
)
|X| ;
les constantes de Lipschitz qui apparaissent dans le second membre eetant borneees
uniformeement par rapport aa s, τ , il reesulte donc de (∗ ∗ ∗) que Lip(kss − kt
s) → 0
quand t → s, uniformeement par rapport aa s. Il existe donc ε > 0 tel qu’on ait
Lip (Id − kts(k
ss)
−1 ) ≤ Lip (kss − kt
s) sup0≤s≤T
Lip ((kss)
−1) < 1
pour |s − t| < ε ; le theeoreeme d’inversion globale, appliquee aa u = Id − kts(k
ss)
−1,
nous dit alors que kts(k
ss)
−1 est un diffeeomorphisme lipschitzien ; c’est donc le cas
de kts.
2.3.4 La fonctionnelle d’action Pour 0 < |t−s| < ε, c’est la fonction Ats deefinie
sur B × B par
Ats(h
ts(q, p)) =
∫ t
s
(
P τs (q, p)
d
dτQτ
s(q, p) − Hτ (Rτs (q, p))
)
dτ
31
Marc Chaperon
La formule (20) s’eecrit
(23) dAts(Q, q) =
(
P ts(h
ts)
−1)
(q, Q) dQ −(
π2(hts)
−1)
(q, Q) dq
ouu π2 est la projection sur le second facteur de B × B∗.
Theeoreeme Pour 0 < |t − s| < ε, on a les proprieetees suivantes :
(i) Les points critiques de Ats sont les ht
s(q, 0) tels que P ts(q, 0) = 0. Ils sont donc
en bijection avec les intersections de B × 0 et de son image par Rts.
(ii) Les points critiques de Ats|q=Q sont les images par ht
s des points fixes de Rts ;
(iii) Pour chaque Q ∈ B, les points critiques de q → Ats(q, Q) sont les ht
s(q, 0) tels
que Qts(q, 0) = Q. Ils sont donc en bijection avec les intersections de Rt
s(B×0)et de Q × B∗.
(iv) Pour chaque Q ∈ B, si l’on a s < t, la fonction q → Ats(q, Q) tend vers +∞
quand |q| → ∞.
Deemonstration Il suffit de lire (23) pour obtenir (i)–(iii). Pour prouver (iv),
commenccons par remarquer que (23) et les eequations de Hamilton donnent
d
dt
(
Atsh
tsR
st (Q, P )
)
= ∂2Ht(Q, P ) P − Ht(Q, P )
et donc
∂2
(d
dt
(
Atsh
tsR
st (Q, P )
))
P = ∂ 22 Ht(Q, P ) P 2 ≥ c|P |2 ,
d’ouu
d
dt
(
Atsh
tsR
st (Q, P ))
)
=d
dt
(
Atsh
tsR
st (Q, 0))
)
+
+∫ 1
0∂2
(d
dt
(
Atsh
tsR
st (Q, τP )
))
Pdτ ≥
≥ d
dt
(
Atsh
tsR
st (Q, 0)
)
+c
2|P |2
et finalement, puisque Ass = 0,
Atsh
tsR
st (Q, P ) ≥ At
shtsR
st (Q, 0) +
c(t − s)
2|P |2 .
Il en reesulte que Atsh
tsR
st (Q, P ) → +∞ quand |P | → ∞ ; pour achever la deemons-
tration, il suffit de remarquer que htsR
st (Q, P ) = (q, Q) eequivaut aa hs
t(Q, P ) =
(Q, q), auquel cas |P | → ∞ si et seulement si |q| → ∞.
32
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
2.3.5 Familles geeneeratrices
Choisissons une subdivision 0 = t0 < · · · < tN+1 = T , N ∈ N, de [0, T ] veerifiant
maxtj+1 − tj < ε et deefinissons A : BN+2 → R par
A ((qj)0≤j≤N+1) =N∑
j=0
Atj+1tj
(qj, qj+1) .
Un calcul facile donne le
Lemme Si l’on deefinit pj = pj(qj, qj+1) ∈ B∗ et Pj = Pj(qj, qj+1) ∈ B∗, 0 ≤ j ≤N , par (qj, qj+1) = h
tj+1tj
(qj, pj) et (Qj, Pj) = Rtj+1tj
(qj, pj), on a
(24) dA = PNdqN+1 − p0dq0 +∑
0≤j<N
(Pj − pj+1) dqj+1 .
Comme dans 2.2.3, on en deeduit le
Theeoreeme principal Posons Q = qN+1, q = q0 v = (qj)1≤j≤N et consideerons A
comme une fonction de (q, Q, v). Le graphe de RT0 est alors
(25) (
(q , − ∂A
∂q(q, Q, v)) , (Q ,
∂A
∂Q(q, Q, v) )
)
:∂A
∂v(q, Q, v) = 0
,
et chaque point du graphe correspond aa un unique zeero de ∂A/∂v : ici encore, on dit
que A est une famille geeneeratrice (ou phase geeneeratrice) de RT0 . Elle posseede
les proprieetees suivantes :
(i) les points critiques de A sont en bijection avec avec les intersections de B×0et de son image par RT
0 ;
(ii) les points critiques de A|q=Q sont en bijection avec les points fixes de RT0 .
(iii) si l’on fixe (q, Q), les points critiques de v → A(q, Q, v) sont en bijection avec
les intersections de RT0 (q × B∗) et de Q × B∗ ;
(iv) si l’on fixe Q, les points critiques de (q, v) → A(q, Q, v) sont en bijection avec
les intersections de RT0 (B × 0) et de Q × B∗.
33
Marc Chaperon
34
3. - APPLICATIONS
Nous tirons maintenant quelques conseequences de notre construction, d’abord sur
les tores et les espaces euclidiens, puis sur des (sous)-varieetees plus geeneerales. Pour ne
pas trop eelever le niveau requis du lecteur, des “rappels et compleements” occupent
de nouveau une dizaine de pages au milieu de l’exposee. Sauf mention du contraire,
les objets consideerees sont C∞ et les dimensions sont finies.
3.1 Reesultats sur les tores et les espaces euclidiens
3.1.1 Fonctions phases
Une fonction phase (ou simplement une phase) sur Rn est une fonction F : Rn×E →R de classe C2, ouu E deesigne un espace vectoriel reeel de dimension finie. Lorsque
F (x, v) est Zn–peeriodique par rapport aa v ∈ Rn, elle induit une fonction f sur
Tn × E, ouu Tn deesigne le tore Rn/Zn ; on dit alors que f est une phase sur Tn.
Les points critiques de f sont les images de ceux de F par la projection canonique
π : Rn × E → Tn × E ; un tel point critique π(a) est dit non deegeeneeree quand
D2F (a), vue comme une application de Rn ×E dans (Rn ×E)∗ (cf. 1.2.3 (iii)), est
un isomorphisme.
Une phase F sur M = Tn ou Rn est dite quadratique (abreeviation assez mal-
heureuse pour “quadratique non deegeeneereee aa l’infini”) lorsqu’il existe une forme
quadratique non deegeeneereee K sur E telle que l’application
M × E (x, v) → ∂F
∂v(x, v) − dK(v) ∈ E∗
soit borneee. Nous admettrons le reesultat suivant (voir par exemple [6]) :
Theeoreeme Le nombre de points critiques d’une phase quadratique sur Tn est
strictement supeerieur aa n dans tous les cas, et au moins eegal aa 2n quand aucun de
ces points critiques n’est deegeeneeree.
35
Marc Chaperon
3.1.2 Le theeoreeme de Conley et Zehnder
Hypotheeses et notations On se donne un reeseau Z de Rn × (Rn)∗, c’est-aa-dire
un sous-groupe tel qu’il existe un isomorphisme lineeaire de Rn × (Rn)∗ sur R2n
envoyant Z sur Z2n. Soit H : [0, 1] × Rn × (Rn)∗ → R une fonction continue telle
que Ht(x) = Ht((x + m)) quel que soit m ∈ Z, ce qui s’exprime en disant que H
est Z–peeriodique. On suppose que (t, x) → DHt(x) existe et est lipschitzienne en x,
uniformeement par rapport aa t (ce sera par exemple le cas, par peeriodicitee, si H est
C2). Les hypotheeses de 2.2.1 sont donc satisfaites (avec T = 1), ainsi que celles de
2.2.4 avec K = 0 (toujours par peeriodicitee). Adoptons donc les notations de 2.2.
Scolie
(i) Pour |t − s| < δ, les applications Rts, gt
s et Sts deefinies dans 2.2.2 sont Z–
peeriodiques.
(ii) L’application S (cf. 2.2.3) veerifie S(((Qj, pj) + m)0≤j≤N) = S((Qj, pj)0≤j≤N)
pour tout m ∈ Z.
Deemonstration Quels que soient (, m) ∈ Z et (q, p) ∈ Rn × (Rn)∗, on a
Rts(q + , p+m) = Rt
s(q, p)+ (, m) parce que les deux membres satisfont aa la meeme
eequation diffeerentielle et ont la meeme valeur au temps t = s ; on en deeduit facilement
(i). Pour prouver (ii), il suffit donc de montrer que
N∑
j=0
(pj+1 + m) (Qj+1 − Qj) =N∑
j=0
pj+1 (Qj+1 − Qj),
ce qui est eevident car
mN∑
j=0
(Qj+1 − Qj) = m (QN+1 − Q0) = 0.
Un changement de variables Avec les notations de (2.2.3), posons xj = Qj+1−Qj, yj = pj −p0 pour 1 ≤ j ≤ N , w = (xj, yj)1≤j≤N et (comme dans 2.2.3) (Q, p) =
(QN , p0). La fonction F (Q, p, w) deeduite de S par ce changement de variables est
une famille geeneeratrice de R10 aus sens de 2.2.3 ; elle est Z–peeriodique par rapport
aa (Q, p) et c’est une phase non deegeeneereee sur l’espace Rn × (Rn)∗ des (Q, p) ; plus
preeciseement, si l’on pose
F0(Q, p, w) =N∑
j=1
yj xj ,
D(F − F0) est borneee.
36
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
Deemonstration La premieere affirmation est claire ; la peeriodicitee de F par rap-
port aa (Q, p) traduit le point (ii) du scolie ; la dernieere assertion provient de 2.2.4,
appliqueee aa K = 0 : la fonction S associeee au hamiltonien nul est eevidemment
N∑
j=0
pj+1 (Qj+1 − Qj) ;
en remarquant que
p0 (Q0 − QN) = −p0
N∑
j=1
xj ,
on en deeduit que la fonction F associeee est bien
F0(Q, p, w) = −p0
N∑
j=1
xj +N∑
j=1
(p0 + yj) xj =N∑
j=1
yj xj .
Corollaire (Conley et Zehnder [7]) Sous les hypotheeses preeceedentes, R10 a au moins
2n + 1 points fixes ne se ramenant pas les uns aux autres par translation dans Z, et
au moins 22n lorsqu’ils sont tous non deegeeneerees (c’est-aa-dire lorsque 1 n’est jamais
valeur propre de la diffeerentielle de DR10 en un point fixe).
Deemonstration Les points fixes de R10 sont en bijection avec les points critiques
de sa famille geeneeratrice F , qui est une phase quadratique sur Rn × (Rn)∗ ; la
peeriodicitee par rapport aa Z signifie que F provient d’une phase sur le tore (Rn ×(Rn)∗)/Z, aa laquelle il suffit d’appliquer le theeoreeme 3.1.1 pour conclure, modulo le
Lemme Les points fixes non deegeeneerees de R10 correspondent aux points critiques
non deegeeneerees de F .
Deemonstration du lemme D’aprees la formule (15) de 2.2.3 et avec les notations
de celle-ci, dire qu’un point critique de S est non deegeeneeree signifie que la diffeerentielle
de
(Qj, pj)0≤j≤N → (qj+1 − Qj, Pj − pj+1)0≤j≤N
y est bijective, c’est-aa-dire (en la composant avec les diffeeomorphismes gtj+1tj
) que la
diffeerentielle de
(Rn × (Rn)∗)N+1 (z0, . . . , zN)Φ−→
(
(z0 − RtN+1tN
(zN) ) , (zj+1 − Rtj+1tj
(zj))0≤j<N
)
au point z = (z0, . . . , zN) correspondant (ouu Φ s’annule) est bijective.
37
Marc Chaperon
Or, Z = (Z0, . . . , ZN) annule DΦ(z) si et seulement si l’on a
Z0 = DRtN+1tN
(zN)ZN
Zj+1 = DRtj+1tj
(zj) Zj , 0 ≤ j < N ,
c’est-aa-dire, d’aprees les relations Rtτ R
τs = Rt
s et la reegle de deerivation des fonctions
composeees, si et seulement si
Z0 = DR1
0(z0) Z0
Zj = DRtj
0 (z0) Z0 , 1 ≤ j ≤ N ;
pour que ce systeeme lineeaire ait pour seule solution Z = 0, il faut et il suffit eevi-
demment que, au point fixe z0 de R10 consideeree, l’eequation lineeaire Z0 = DR1
0(z0) Z0
n’ait pas d’autre solution que Z0 = 0, ce qui prouve le lemme.
Remarque Le lemme preeceedent vaut en dimension infinie ; il fait partie des geeneera-
litees que nous aurions pu inclure dans le chapitre 2.
3.1.3Un theeoreeme d’intersection
Hypotheeses Les hypotheeses et les notations sont les meemes que dans 3.1.2, sauf
que H est ici seulement Zn–peeriodique par rapport aa la variable q ∈ Rn. Par ail-
leurs, nous allons voir qu’il n’est pas reeellement neecessaire que les DHt soient (uni-
formeement) globalement lipschitziennes, ni meeme que R10 soit deefini partout : nous
importe seulement qu’il soit deefini en tout point de Rn × 0.
Theeoreeme Sous les hypotheeses preeceedentes, Rn × 0 et son image par R10 ont
au moins n + 1 points d’intersection ne se ramenant pas les uns aux autres par
translation dans Zn × 0, et au moins 2n lorsque ces intersections sont toutes
transverses.
Deemonstration Puisque Rn q → R10(q, 0) est Zn–peeriodique, elle est borneee.
Il suffit donc de multiplier tous les Ht(q, p) par une meeme fonction de p, aa support
compact mais eegale aa 1 dans un grand voisinage de p = 0, pour se ramener, sans
rien changer aa q → R10(q, 0), au cas ouu Ht(q, p) est nulle pour |p| assez grand− et
donc veerifie aa la fois les hypotheeses de 2.2.1 et celles de 2.2.4 avec K = 0.
En effectuant les meemes changements de variables que dans 3.1.2, on arrive aa
une famille geeneeratrice F (Q, p, w) dont la restriction G(Q, v) aa p = 0 est Zn–peerio-
dique par rapport aa Q et induit donc une phase sur le tore Tn, qui est quadratique
d’aprees 2.2.4. Il reesulte donc de 3.1.1 que G a au moins n + 1 points critiques ne
se ramenant pas les uns aux autres par translation dans Zn × 0, et au moins 2n
lorsqu’ils sont tous non deegeeneerees. D’aprees le point (ii) du theeoreeme principal 2.2.3,
38
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
les points critiques de G sont en bijection avec les intersections de Rn × 0 et de
son image par R10 ; plus preeciseement, la formule (15) de 2.2.3 permet de voir que G
a un point critique (Q, w) si et seulement si (Q, 0) ∈ Rn × (Rn)∗ appartient aa ladite
intersection. Pour conclure, il reste aa prouver l’analogue du lemme 3.1.2, excellent
exercice pour le lecteur.
Remarque La deemonstration initiale de ce reesultat [3] utilisait une meethode moins
simple, inspireee de Conley et Zehnder. La preuve que nous preesentons ici se trouve,
au langage prees, dans [5].
3.1.4Un reesultat de Hofer
Peut-eetre faut-il l’attribuer aa Rabinowitz... la deemonstration que je preesente est en
tous cas une version simplifieee de celle de Hofer [11], obtenue en collaboration avec
B. D’Onofrio.
Hypotheeses On consideere ici la norme euclidienne standard sur Rn,
|(q1, . . . , qn)| =
n∑
j=1
q 2j
12
et la norme “duale”
|(p1, . . . , pn)| =
n∑
j=1
p 2j
12
sur (Rn)∗. Les eequations de Hamilton associeees au hamiltonien quadratique
K0(q, p) = |q|2 + |p|2
deefinissent le flot
(1) ρtK0
(q, p) = (q sin 2t + p cos 2t , q cos 2t − p sin 2t).
On consideere un hamiltonien H : Rn × (Rn)∗ → R de classe C2 posseedant les trois
proprieetees suivantes :
(a) il est identiquement nul au voisinage de 0 ;
(b) il est eegal aa 3πK0/2 en dehors d’un compact ;
(c) il n’est nulle part neegatif.
Il veerifie donc eevidemment les hypotheeses de 2.2.1 avec H(t, p, q) := H(p, q), et celles
de 2.2.4 avec
K(t, q, p) :=3π
2K0(q, p) .
39
Marc Chaperon
On note ρtH le flot qu’il deefinit (c’est-aa-dire que Rt
s = ρt−s)H ), et l’on s’inteeresse
aux points fixes a du diffeeomorphisme ρ1H − c’est-aa-dire aux solutions peeriodiques de
peeriode 1 des eequations de Hamilton associeees aa H. Plus preeciseement, on s’inteeresse
aa l’action
A(a) :=∫ 1
0
(
P τ (a)d
dτQτ (a) − H(ρτ (a))
)
dτ
le long d’une telle solution, ouu l’on a notee ρτH(a) = (Qτ (a), P τ (a)). Nous verrons que
le reesultat suivant, qui n’a l’air de rien, permet entre autres de donner une preuve
trees simple de la conjecture de Weinstein dans R2n :
Theeoreeme Sous les hypotheeses preeceedentes, ρ1H posseede au moins un point fixe a
veerifiant A(a) > 0.
Deemonstration Choisissons δ > 0 dans 2.2.1 assez petit pour convenir aux
trois hamiltoniens H, K et 0 (c’est-aa-dire, en fait, aa H). Un entier N eetant choisi
comme dans 2.2.3, nous pouvons consideerer les trois familles geeneeratrices SH , SK
et S0 associeees aa ces hamiltoniens, et y effectuer le meeme changement de variables
que dans 3.1.2, ce qui donne trois familles geeneeratrices FH , FK et F0 des variables
(Q, p, w). Nous savons deejaa que
F0(Q, p, w) =N∑
j=1
yj xj .
Lemme
(i) La fonction FH − F0 est nulle au voisinage de 0 et ne prend pas de valeur
strictement positive.
(ii) La forme quadratique FK − F0 est deefinie neegative.
(iii) La forme quadratique FK est non deegeeneereee ; la somme de son indice (nombre
de carrees neegatifs) et de celui de −F0, eetant eegale aa 2n(N + 2), est strictement
plus grande que la dimension 2n(N +1) de l’espace sur lequel elles sont deefinies.
Preuve La deefinition 2.2.3 de S montre que
(∗) S − S0 =N∑
j=0
Stj+1tj
(Qj, pj) ,
d’ouu l’on deeduit la premieere affirmation de (i), les Stj+1tj
eetant nulles au voisinage
de 0 d’aprees l’hypotheese (a) ; en outre, la neegativitee dans (i)–(ii) reesulte de (∗) et
du theeoreeme 2.2.2 (iv). Dire que FK est deefinie neegative signifie donc, d’aprees le
theeoreeme 2.2.2 (ii), que ρtj+1−tj
K n’a pas de point fixe autre que 0 ; c’est eevident car
40
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
dans le cas contraire tj+1−tj serait d’aprees (1) au moins eegal aa π, ce qui contredirait
la deefinition de δ dans 2.2.1.
Pour montrer (iii), remarquons que, pour |t − s| < δ et λ ∈ R, la fonction Sts
qui correspond aa λK0 n’est autre que la fonction Sλ(t−s)0 , d’ouu l’on deeduit par le
theeoreeme 2.2.2 (iv) que la forme quadratique
d
dλSλK0
est deefinie neegative quel que soit λ ≤ 3π/2. Il en reesulte que l’indice de la forme
quadratique SλK0 augmente de 2n chaque fois que λ traverse un point de πZ en
croissant ; (1) nous dit en effet que ce sont les valeurs de λ pour lesquelles SλK0
est deegeeneereee ou autrement dit a des points critiques, ces points eetant (cf. 2.2.3) en
bijection (en l’occurrence lineeaire) avec les points fixes de ρ1λK0
. Il en reesulte que
l’indice de SK est la somme de l’indice nN de S0 et de deux fois 2n, une pour la
traverseee de λ = 0, l’autre pour celle de λ = π.
Preuve du Theeoreeme Soit x → x l’isomorphisme de Rn sur son dual deefini
par le produit scalaire associee aa la norme
(|Q, p, v)| =
(
|Q|2 + |p|2 +N∑
1
(|xj|2 + |yj|2))1
2
;
posons
W+ = (Q, p, v) : yj = (xj) pour 1 ≤ j ≤ N et (Q, p) = 0W−
0 = (Q, p, v) : yj = −(xj) pour 1 ≤ j ≤ N ;
d’aprees le point (i) du lemme, FH est strictement positive sur W+ au voisinage de 0,
et ne prend pas de valeur positive sur W−0 ; d’aprees (ii)–(iii), il existe un sous-espace
vectoriel W−1 contenant W−
0 comme hyperplan et tel que la restriction de FK aa W−1
soit deefinie neegative. La diffeerentielle de FH − FK eetant borneee, on deeduit donc de
la formule de Taylor que la restriction de FH aa W−1 tend vers l’infini aa l’infini. Pour
r > 0 assez petit et R > r assez grand, on est donc dans la situation suivante :
(∗) la restriction de FH aa la spheere de rayon r dans W+ est constante et eegale
aa r2 ;
(∗∗) si B ⊂ W−1 deesigne l’intersection de la boule de centre 0 et de rayon R
avec un des deux demi-espaces deelimitees par W−0 , la restriction de FH aa la frontieere
∂B de B ne prend pas de valeur strictement positive.
Consideerons le flot (gt) du gradient de FH , c’est-aa-dire du champ de vecteurs
∇FH deefini par
∇FH(Q, p, v) = DFH(Q, p, v) ;
41
Marc Chaperon
puisque ∇FH−∇FK est bornee et que le champ de vecteurs lineeaire ∇FK ne s’annule
qu’en 0 (car FK est non deegeeneereee), ∇FH(Q, p, v) tend vers l’infini quand (Q, p, v) →∞ et gt, comme le flot de ∇FK , est deefini pour tout t. Il reesulte de (∗)–(∗∗) que
g−t(B) rencontre S pour tout t ≥ 0 ; en effet, le nombre algeebrique d’intersections
entre g−t(B) et S vaut 1 ou −1 pour t = 0 (selon les orientations choisies), et ne
pourrait varier au cours du temps que si g−t(∂B) rencontrait S, ce qui est impossible
pour t ≥ 0 : d’aprees l’identitee
d
dtFH(g−t(X)) = −|∇FH(g−t(X))|2,
t → FH(g−t(X)) est deecroissante ; (∗∗) nous dit donc qu’elle n’est jamais > 0 (ni a
fortiori eegale aa r2) pour X ∈ ∂B et t ≥ 0.
On en tire l’ineegalitee
(∗ ∗ ∗) ∀t ≥ 0 max FH(g−t(B)) ≥ r2,
dont nous allons deeduire que FH a au moins une valeur critique (image par FH d’un
de ses point critique) ≥ r2 ; en effet,
B0 :=⋂
t≥0
X ∈ B : FH(g−t(X)) ≥ r2
est non vide, comme intersection deecroissante de compacts non vides ; pour X ∈ B0,
on a donc∫ t
0|∇FH(g−τ (X))|2 dτ = (FH(X) − FH(g−t(X))) ≤ FH(X) − r2
pour tout t ≥ 0, ce qui entraııne l’existence d’une suite (tk) de reeels, tendant vers
∞, et telle que ∇FH(g−tk(X)) → 0 quand k → ∞ ; comme ∇FH tend vers l’infini aa
l’infini, la suite g−tk(a) est borneee et l’on peut donc en extraire une suite convergente
g−tk()(X). La limite X0 de cette suite est un point critique de FH , car ∇FH(X0) =
lim ∇FH (g−tk()(X)) = 0 ; on a bien FH(X0) = lim FH (g−tk()(X)) ≥ r2 d’aprees
(∗ ∗ ∗).Il en reesulte que la famille geeneeratrice SH a un point critique (a, v) ∈ (Rn ×
(Rn)∗) × (Rn × (Rn)∗)N avec SH(a, v) ≥ r2 ; en d’autres termes, le point fixe a de
ρ1H veerifie A(a) ≥ r2.
Remarque Contrairement aux apparences, la deemonstration preeceedente est plu-
toot moins difficile que celle du theeoreeme de Conley et Zehnder : l’impression inverse
vient de ce que nous avons deetaillee l’argument topologique permettant de prouver
l’existence d’un point critique alors que nous n’avions pas preetendu deemontrer le
theeoreeme 3.1.1, nettement plus “savant”.
42
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
3.2 Compleements de geeomeetrie diffeerentielle
Ce qui suit vaut en dimension infinie, aa condition d’imposer aux sous-espaces vec-
toriels consideerees d’eetre facteurs directs. L’ideee geeneerale est d’utiliser des diffeeomor-
phismes pour mettre divers objets sous forme normale, c’est-aa-dire sous une forme
aussi simple que possible. Les isomorphismes preeservant les dimensions et les codi-
mensions, il en va de meeme des diffeeomorphismes.
Nous noterons dom(f) le domaine d’une application locale f , et Im(f) son
image f(dom(f)).
3.2.1 Sous-varieetees
On dit que V ⊂ Rn est une sous-varieetee Ck, k > 0, de dimension d et de codimension
c = n − d en a ∈ Rn quand “aa diffeeomorphisme Ck en a prees, elle ressemble aa
0 × Rd ” : il existe un diffeeomorphisme local h : (Rn, a) → Rn−d × Rd de classe
Ck (appelee carte adapteee aa S) tel que h(V ∩ dom(h)) = (0×Rd)∩ Im(h). On dit
que d (resp. n− d) est la dimension (resp. codimension) de V en a. Naturellement,
V est une sous-varieetee (de meemes dimension et codimension qu’en a) en tout point
de dom(h) ∩ V .
V est une sous-varieetee Ck de dimension d et de codimension c = n − d de Rn
quand c’est une sous-varieetee Ck de dimension d et de codimension n − d en chacun
de ses points.
Exemples Un ouvert de Rn est une sous-varieetee de codimension 0 ; un point est
une sous-varieetee de dimension 0. Le graphe d’une application f : R → Rm est une
sous-varieetee de R × Rm, de dimension (resp. codimension) (resp. m)−pour le
“redresser”, il suffit de lui appliquer le diffeeomorphisme (x, y) → (x, y − f(x)).
3.2.2 Submersions et points critiques
On dit de meeme que f : (Rn, a) → (Rc, b) est une submersion en a, ou submersion
locale f : (Rn, a) → Rc quand “modulo des diffeeomorphismes en a et b, c’est une
projection lineeaire” : il existe deux diffeeomorphismes locaux g : (Rn, a) → Rn et
h : (Rc, b) → Rc tels que hfg−1 soit la restriction aa dom(g) de la projection
π1 : Rc × Rn−c → Rc ; on dit alors que g et h sont des cartes adapteees aa f
en a. Bien suur, f est une submersion en tout x ∈ dom(g) et elle est “localement
surjective” : il existe des ouverts U a et V b tels que f |U soit une surjection sur
V .
On dit que f est une submersion quand c’est une submersion en tout point.
Un point critique d’une application f est un point a ∈ dom(f) ouu f n’est pas
une submersion (c’est coheerent avec la deefinition donneee pour les fonctions reeelles).
43
Marc Chaperon
On dit alors que f(a) est une valeur critique de f . Un point b ∈ N qui n’est pas
une valeur critique de f est dit valeur regulieere de f . En particulier, quand b n’est
pas une valeur de f , c’est une valeur reegulieere de f !
Les deefinitions preeceedentes entraıınent la
Proposition
(i) Une partie V ⊂ Rn est une sous-varieetee de codimension c en a si et seulement
s’il existe une submersion locale p : (Rn, a) → (Rc, b) telle que S ∩ dom(p) =
p−1(b) ; on dit alors que p = b est une eequation de S au voisinage de a,
expression qui sous-entend que p est une submersion.
(ii) En particulier, si b ∈ Rc est une valeur reegulieere de f : Rn → Rc, alors f−1(b)
est une sous-varieetee de codimension c de Rn.
3.2.3 Immersions et plongements locaux
On dit que f : (Rd, b) → (Rn, a) est une immersion en b quand “aa diffeeomorphismes
en a et b prees, c’est une injection lineeaire” : il existe deux diffeeomorphismes locaux
g : (Rd, b) → Rd, h : (Rn, a) → Rn tels que hfg−1 soit la restriction aa dom(g−1)
de l’injection j : Rd → Rn donneee par j(x) = (0, x). On dit alors que h−1jg est
un plongement local et que g et h sont des cartes adapteees aa f en b. Bien suur, f est
une immersion en tout x ∈ dom(g−1), et f est “localement injective” : il existe un
ouvert U b tel que f |U soit injective.
On dit que f est une immersion quand c’est une immersion en tout point.
Comme preeceedemment, on deeduit des deefinitions la
Proposition Une partie V de Rn est une sous-varieetee de dimension d en a si et
seulement s’il existe un plongement local j : (Rd, b) → (Rn, a) et un ouvert U a
de Rn tels que U ∩ V = Im(j) ; on dit alors que j est un parameetrage de V prees
de a. On deeduit du theeoreeme d’inversion locale une trees importante
3.2.4 Caracteerisation infiniteesimale des submersions et des immersions
Soit f : (Rn, a) → (Rc, b) ;
(i) f est une submersion en a si et seulement si Df(a) est surjective ;
(ii) f est une immersion en a si et seulement si Df(a) est injective.
3.2.5 Espace tangent Soit V ⊂ Rn une sous-varieetee en a. L’espace tangent TaV
de V en a est l’ensemble de toutes les vitesses en t = 0 de chemins C1 locaux
γ : (R, 0) → (V, a) [le choix de t = 0 est eevidemment arbitraire dans cette deefinition].
Il est donc clair que TaV = Rn si V est un ouvert de Rn.
44
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
Proposition Soit V ⊂ Rn une sous-varieetee en a.
(o) Si V est un sous-espace vectoriel, TaV = V .
(i) La (co)dimension de TaV est celle de V : pour toute carte h : (Rn, a) →Rd × Rn−d adapteee aa V , on a TaV = Dh(a)−1(0 × Rn−d).
(ii) Si p = b est une eequation de V au voisinage de a, alors TaV est le noyau de
Dp(a).
(iii) Si j : (Rd, b) → (Rn, a) est un parameetrage de V en a, alors TaV est l’image
de Dj(b).
3.2.6 Fonctions sur les sous-varieetees
Si V est Ck, les proprieetees suivantes sont eequivalentes, et s’expriment en disant que
ϕ : V → Rm est Ck :
(i) Pour chaque a ∈ V , il existe une application locale ϕ : (Rn, a) → Rm de classe
Ck telle que ϕ(q) = ϕ(q) pour tout q ∈ V ∩ dom(ϕ).
(ii) Pour chaque a ∈ V , il existe un Ck–parameetrage j de V prees de a tel que ϕj
soit Ck.
(iii) Pour tout a ∈ V et tout Ck–parameetrage j de V prees de a, ϕj est Ck ; au-
trement dit, si h : (Rn, a) → Rn−d × Rd est une carte adapteee aa V en a,
l’application Rd x → ϕ(h−1(0, x)) est Ck.
Le fibree tangent Etant donneee une sous-varieetee V de Rn, son fibree tangent est
l’ensemble des (q, v) ∈ Rn ×Rn avec v ∈ TqV . C’est une sous-varieetee de dimension
double de celle de V , car si h : (Rn, a) → Rn−d × Rd est une carte adapteee aa V en
a, l’application
Th : (q, v) → (h(q), Dh(q) v)
est une carte adapteee aa TV en (a, b) pour tout b ∈ TaV . De telles cartes Th sont
appeleees cartes naturelles de TV .
L’application τV de TV sur V donneee par τV (q, v) = q est la projection du fibree
tangent ; pour chaque q ∈ M , on dit que τ−1V (q) est la fibre du fibree tangent, et on
l’identifie aa TqV .
Par exemple, le fibree tangent aa un ouvert U de Rn s’identifie naturellement aa
U × Rn, et τU aa la projection habituelle.
La diffeerentielle Si ϕ : V → Rm est Ck, la diffeerentielle de ϕ est l’application
dϕ : TV → Rm de classe Ck−1 deefinie comme suit : pour tout arc γ dans V ,
diffeerentiable au temps s, ϕγ est diffeerentiable au temps s et
(2) dϕ(γ(s), γ′(s)) = (ϕγ)′(s) ;
45
Marc Chaperon
avec les notations du criteere (i) de la proposition preeceedente, on a eevidemment
dϕ(q, v) = Dϕ(q) v pour chaque q ∈ V et chaque v ∈ TqV ; si l’on note
Dϕ(q) v = dϕq v = Tqϕ v := dϕ(q, v) ,
l’application Dϕ(q) = dϕq = Tqϕ : TqV → Rm est donc lineeaire.
Cas ouu ϕ est aa valeurs dans une Ck–sous-varieetee W Pour chaque a ∈ M ,
Taϕ = Dϕ(a) est alors aa valeurs dans Tϕ(a)W ; autrement dit, on deefinit une appli-
cation Tϕ de classe Ck−1 de TM dans TN par Tϕ(q, v) = (ϕ(q), Dϕ(q) · v). Par
exemple, si γ est un chemin, on a Tγ(t, τ) = (γ(t), τγ′(t)).
Deeriveee d’une application composeee On suppose que ϕ est aa valeurs dans W
et que ψ est une application de W dans une troisieeme sous-varieetee Z ; alors, ψϕ
satisfait aa la reegle de deerivation d’une fonction composeee 1.3.2, qui s’eecrit aussi
T (ψϕ) = (Tψ)Tϕ .
Diffeeomorphismes, cartes, immersions et submersions On dit que h : V →W est un diffeeomorphisme Ck lorsqu’elle est bijective et que h et h−1 sont Ck.
D’aprees la reegle de deerivation d’une fonction composeee, Dh(a) est alors pour chaque
a ∈ V un isomorphisme de TaV sur Th(a)W , d’inverse D(h−1)(h(a)).
Les notions d’application locale, de diffeeomorphisme local, etc. sont deefinies sur les
sous-varieetees comme sur les ouverts d’espaces de Banach ; eetant donnee a ∈ V , une
carte (locale) de V en a est un diffeeomorphisme local (V, a) → Rd. Par exemple, la
restriction aa V de la seconde composante d’une carte adapteee aa V en a, ou (c’est,
plus qu’un exemple, une deefinition eequivalente) l’inverse d’un parameetrage de V en
a, sont des cartes de V en a ; par conseequent, la proposition 3.2.6 affirme que ϕ est
Ck si et seulement si, pour chaque a ∈ V , il existe une carte Ck, g, de V prees de a
telle que ϕg−1 soit Ck − c’est alors le cas pour toute carte Ck de V en a.
Theeoreeme
(i) Le theeoreeme d’inversion locale 2.1.5 subsiste quand on y remplace les espaces
de Banach E et F par des sous-varieetees V et W , l’hypotheese eetant dans les
deux cas que Dh(a) est un isomorphisme de TaV sur Th(a)W .
(ii) Tout ce qui a eetee dit dans 3.2.2–4 persiste lorsqu’on y remplace Rn, Rc et Rd
par des sous-varieetees V , W , Z pourvu que, dans 3.2.4, on consideere Df(x) en
tant qu’application de TxV dans Tf(x)W .
Plongements On dit que f : V → W est un plongement lorsque f(V ) est une
46
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
sous-varieetee et que f est un diffeeomorphisme de V sur f(V ) (un plongement local
est donc un plongement d’un ouvert de Rd) ; par exemple, l’inclusion d’une sous-
varieetee est un plongement, et tout plongement f : V → W s’obtient par deefinition
en composant l’inclusion de f(V ) avec un diffeeomorphisme.
3.2.7 Formes de Pfaff et inteegrale curviligne
Formes de Pfaff Si V est Ck, k > 0, une forme de Pfaff ou 1–forme (diffeeren-
tielle) Ck−1 sur V est une application α : TV → R de classe Ck−1 dont la restriction
αq aa chaque fibre TqV du fibree tangent est lineeaire. La diffeerentielle d’une fonction
reeelle est donc une forme de Pfaff.
Exemple Si V est un ouvert de Rn, α s’eecrit de manieere unique
α(x) =n∑
j=1
aj(x) dxj ,
ouu dxj : Rn → R est la j–ieeme application coordonneee et aj(x) ∈ R deesigne la
valeur de α(x) sur le j–ieeme vecteur de la base canonique de Rn. En particulier, si
α est la diffeerentielle d’une fonction ϕ : V → F de classe C1,
dϕ(x) =n∑
j=1
∂jϕ(x) dxj .
Inteegrale curviligne Pour tout arc diffeerentiable γ : [t0, t1] → V de classe C1
par morceaux, on deefinit l’inteegrale (curviligne) de α le long de γ par
∫
γα =
∫ t1
t0αγ(t) γ′(t) dt;
Si α est la diffeerentielle dϕ d’une fonction ϕ sur V et que γ joint a aa b dans V , on
a la formule de la moyenne∫
γdϕ = ϕ(b) − ϕ(a).
Une forme de Pfaff α sur V est dite exacte lorsqu’elle admet une primitive, c’est-
aa-dire une application ϕ : V → R telle que dϕ = α ; elle est fermeee quand elle est
localement exacte : tout a ∈ V est contenu dans un ouvert Ω de U tel que α|Ω soit
exacte. Si de plus Ω est connexe (ou, ce qui revient au meeme, connexe par arcs C1
par morceaux), deux primitives ϕ1 et ϕ2 de α|Ω diffeerent d’une constante (d’aprees
la formule de la moyenne, car la diffeerentielle de ϕ1 − ϕ2 est nulle).
47
Marc Chaperon
Images directes et inverses L’image (directe) f∗γ par f : V → W d’un chemin
γ dans V est simplement l’arc fγ dans W . Etant donneee ϕ : W → R, son image
reeciproque (ou inverse) f∗ϕ par f est ϕf : V → R. L’image reeciproque f∗α d’une
forme de Pfaff α sur W , est deetermineee par le fait que∫
γf∗α =
∫
f∗γα
pour tout arc γ dans V ; elle est donneee par
(f∗α)x v = αf(x) (dfx · v) ;
en particulier, f∗dϕ = d(f∗ϕ). Lorsque f est un diffeeomorphisme, on deefinit de meeme
l’image reeciproque f∗ := (f−1)∗ pour les chemins et l’image directe f∗ := (f−1)∗
pour les fonctions et les formes.
La diffeerentielle exteerieure Consideerons la somme de Whitney TV ⊕V TV
du fibree tangent avec lui-meeme, c’est-aa-dire l’ensemble des triplets (q, v, w) avec
(q, v), (q, w) ∈ TV , muni de la structure de sous-varieetee de TRn ⊕Rn TRn =
Rn×Rn×Rn deefinie par les cartes adapteees (q, v, w) → (h(q), Dh(q)v, Dh(q)w), ouu
h est une carte adapteee aa V ; les fibres de la projection TV ⊕V TV (q, v, w) → q
sont donc les TqV × TqV . Une 2–forme diffeerentielle sur V est une application con-
tinue ω : TV ⊕V TV → R qui est bilineeaire alterneee dans chacune de ces fibres.
Deefinition Pour toute 1–forme α de classe C1 sur V , on deefinit une 2–forme dα
sur V , sa diffeerentielle exteerieure, de la manieere suivante : quelle que soit la
“surface parameetreee” σ : (R2, 0) → V de classe C2, on a
∂
∂s
(
ασ(s,t) · ∂2σ(s, t))
− ∂
∂t
(
ασ(s,t) · ∂1σ(s, t))
= dασ(s,t)(∂1σ(s, t), ∂2σ(s, t)) .
Lemme de Poincaree Pour qu’une forme de Pfaff α de classe C1 sur V soit fermeee,
il faut et il suffit que dα soit identiquement nulle.
3.2.8Champs de vecteurs sur les sous-varieetees et isotopies
Soit f : V → W ; supposons d’abord que V et W soient des ouverts d’espaces de
Banach. Il est raisonnable de deesirer que l’image reeciproque d’un champ de vecteurs
Y sur W soit un champ de vecteurs X sur V tel que, pour toute solution γ de
l’eequation q′ = X(q), f∗γ soit une solution de Q′ = Y (Q). Or, on a alors
Y (fγ(t)) = (fγ)′(t) = Df(γ(t)) · γ′(t)
= Df(γ(t)) · X(γ(t)) ,
48
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
ce qui impose la relation
(3) Df(x) · f∗Y (x) = Y (f(x)) .
On voit donc que f∗Y est deefini de manieere unique par (3) lorsque f est eetale, c’est-
aa-dire que sa deeriveee en tout point est un isomorphisme− et donc en particulier si
f est un diffeeomorphisme (auquel cas on peut aussi deefinir l’image directe f∗X :=
(f−1)∗X d’un champ de vecteurs sur M).
Champs de vecteurs sur les sous-varieetees On appelle champ de vecteurs X sur
la sous-varieetee V une application de V dans son espace ambiant telle que X(q) ∈ TqV
pour tout q ∈ V (X est donc bien un champ de vecteurs tangents aa V , comme il
y a des champs de blee) ; en identifiant X aa q → (q, X(q)), on voit qu’un champ de
vecteurs sur V est une section du fibree tangent, c’est-aa-dire une application de V
dans TV telle que τV X = IdV (identifier une application aa son graphe n’est pas
vraiment un abus de langage).
Etant donnee un intervalle compact J , un champ de vecteurs deependant du temps
(Γt)t∈J sur V est de meeme une application J × V (t, q) → Γt(q) telle que chaque
Γt soit un champ de vecteurs sur V (la geeneeralisation du calcul diffeerentiel aux
varieetees aa bord comme J × V ne pose pas de probleeme ; on peut aussi supposer (Γt)
obtenu par restriction d’un champ de vecteurs deependant du temps et Ck sur I×V ,
ouu I est un intervalle ouvert contenant J).
Equations diffeerentielles sur les sous-varieetees Lorsque V et W sont deux
sous-varieetees et que f : V → W est eetale, on prend (3) comme deefinition de l’image
reeciproque f∗Y d’un champ de vecteurs Y sur W .
Si h est une carte de V et (Γt) un champ de vecteurs deependant du temps
sur V , alors (h∗Γt) est un champ de vecteurs deependant du temps sur Im(h) ; or,
le theeoreeme d’existence globale 2.1.6 se localise aa la manieere de 2.1.3 et fournit un
theeoreeme d’existence (et d’unicitee locale) de solutions d’eequations diffeerentielles ; les
images par h−1 des solutions de l’eequation diffeerentielle x′ + h∗Γt(x) = 0 eetant des
solutions de l’eequation
(4) q′ + Γt(q) = 0
(et, dans dom(h), reeciproquement), on obtient des eenoncees locaux qui se recollent
pour donner le
49
Marc Chaperon
Theeoreeme Sous les hypotheeses preeceedentes, si (t, q) → Γt(q) est aa support com-
pact, c’est-aa-dire nul en dehors d’un compact,
(i) quels que soient (t0, q0) ∈ J × V et l’intervalle I ⊂ J contenant t0, il existe
une unique solution γ = γI : I → V de (4) telle que γI(t0) = q0, qui est donc
la restriction de l’unique solution maximale (c’est-aa-dire deefinie dans J tout
entier) γJ du probleeme ;
(ii) on deefinit une application R : (s, q0, t) → Rts(q0) de J × V × J dans V , la
reesolvante de (4) , de la manieere suivante : pour chaque (s, q0, t) ∈ J ×V × J ,
Rts(q0) est la valeur au temps t de la solution (maximale) de (4) qui vaut q0 au
temps s ;
(iii) la reesolvante veerifie Rtτ R
τs = Rt
s pour s, τ, t ∈ J , d’ouu en particulier Rst =
(Rts)
−1 ; chaque Rts est un diffeeomorphisme de V sur elle-meeme ;
(iv) si Γ ne deepend pas du temps et que l’on note X(q) = −Γt(q), on a Rts = ρt−s
pour s, t ∈ R, ouu t → ρt est un homomorphisme du groupe additif R dans
le groupe des diffeeomorphismes lipschitziens de V sur lui-meeme. L’application
ρ : (q, t) → ρt(q) est le groupe aa un parameetre, ou flot engendree par X.
Remarque Il est certain que la nature intime des eequations diffeerentielles ap-
paraııt beaucoup mieux dans ce contexte ouu les vitesses n’appartiennent pas au meeme
espace que les positions.
Isotopies d’une sous-varieetee V Une isotopie (gt) de V est un chemin [0, 1] t → gt dans l’espace des diffeeomorphismes de V sur elle meeme tel que g0 = Id
(de manieere preecise, on requiert que (t, q) → gt(q) soit C∞ ou au moins assez
diffeerentiable). Si J = [0, 1] dans le theeoreeme preeceedent, un exemple typique est
fourni par gt = Rt0 ; reeciproquement, une isotopie s’obtient toujours en inteegrant une
eequation diffeerentielle : aa (gt) on associe son geeneerateur infiniteesimal (Xt), c’est-aa-
dire le champ de vecteurs deependant du temps deefini par
d
dtgt(q) = Xt(gt(q)) ;
le theeoreeme d’unicitee des solutions d’une eequation diffeerentielle assez diffeerentiable
eetant vrai dees qu’il y a existence, on voit donc que gt est l’application Rt0 deefinie par
(Γt) = (−Xt). L’isotopie gt est dite aa support compact quand il existe un compact
K de V tel que gt(x) = x pour tout (t, x) ∈ [0, 1](V \ K)
Deeriveee de Lie C’est la version infiniteesimale de l’image reeciproque : si X est un
champ de vecteurs aa support compact sur V et que l’on note ρt son flot, la deeriveee
50
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
de Lie par rapport aa X est par deefinition
LX =d
dt
∣∣∣t=0
(ρt)∗.
Pour une fonction ϕ : V → R, on a donc
LX ϕ(x) = (ιXdϕ)(x) := dϕx · X(x) ;
pour une 1–forme α, on deeduit facilement de la deefinition de dα (en consideerant
σ(s, t) = ρt(γ(s)) pour chaque chemin γ dans V ) que
(5) LX α = ιX dα + d(ιX α) ,
ouu ιX α(q) = α(q) X(q) et (ιX dα)q(v) = dα(X(q), v) : (5) est la formule d’homotopie
des Cartan.
Si (gt) est une isotopie de V , de geeneerateur infiniteesimal Xt, on voit facilement
que
d
dt(gt)
∗ = (gt)∗LXt .
3.3 Reesultats de Hofer, Sikorav et Tchekanov dans les cotangents
3.3.1Reformulation et conseequences du theeoreeme principal
Hypotheeses et notations Ce sont celles de 2.2.1 avec B = Rn (l’extension
en dimension infinie ne pose pas de probleeme) ; on associe comme dans 2.2.3 au
hamiltonien H une famille geeneeratrice S.
Commentaire du theeoreeme principal Sous les hypotheeses et avec les notations
du theeoreeme principal 2.2.3,
(i) l’application ∂S/∂v admet 0 pour valeur reegulieere, et (∂S/∂v)−1(0) est donc
une sous-varieetee ΣS ;
(ii) le graphe de RT0 est l’image de ΣS par le plongement jS : ΣS → (Rn×(Rn)∗ )2
deefini par
jS(Q, p, v) =(
(Q +∂S
∂p(Q, p, v) , p) , (Q , p +
∂S
∂Q(Q, p, v) )
)
.
La remarque suivante, qui s’obtient en regardant la formule (15) de 2.2.3, peut eetre
attribueee (pour les points (i)–(ii)) aa Tchekanov et aa Sikorav :
51
Marc Chaperon
Theeoreeme Sous les hypotheeses et avec les notations preeceedentes, soit V une sous-
varieetee de Rn.
(i) En deesignant par Φ(Q, v) la restriction de S aa l’ensemble des (Q, p, v) avec
Q ∈ V et p = 0, ∂Φ/∂v admet 0 pour valeur reegulieere, et (∂Φ/∂v)−1(0) est
donc une sous-varieetee ΣΦ.
(ii) Le diffeeomorphisme de ΣS sur Rn×(Rn)∗ obtenu en composant jS et la projec-
tion (Rn × (Rn)∗ )2 ( (q, p) , (Q, P )) → (Q, P ) ∈ Rn × (Rn)∗ envoie ΣΦ sur
RT0 (Rn × 0) ∩ (V × (Rn)∗), et les points critiques de Φ sur les intersections
de RT0 (Rn × 0) et du conormal
ν∗V := (Q, P ) : Q ∈ V et P ∈ (TQV )⊥
de V , ouu (TQV )⊥ est l’ensemble des P ∈ (Rn)∗ identiquement nulles sur TQV .
(iii) De meeme, jS envoie les points critiques de la restriction de S aa l’ensemble
des (Q, p, v) avec Q ∈ V sur l’ensemble des ( (q, p) , (Q, P )) tels que (Q, P ) =
RT0 (q, p) veerifie Q ∈ V et P − p ∈ (TQV )⊥.
Suivant Tchekanov, nous sommes trees prees de pouvoir eetendre le theeoreeme 3.1.3, qui
est un reesultat sur les tores, aa toutes les (sous-) varieetees compactes ; il faut d’abord
preeciser l’espace d’arriveee de l’application jΦ deefinie sur ΣΦ par
jΦ(Q, v) =
(
Q,∂Φ
∂Q(Q, v)
)
:
3.3.2 Le fibree cotangent
Deefinition Soit V une sous-varieetee de Rn. Le fibree cotangent de V est l’ensemble
T ∗V des (q, p) avec q ∈ V et p ∈ (TqV )∗. La meetrique euclidienne standard de Rn
permet de l’identifier aa une sous-varieetee de T ∗Rn = Rn×(Rn)∗, puisque nous avons
vu dans 1.2.3 (iii) qu’elle (resp. sa restriction aa (TqV )∗) permet d’identifier (Rn)∗
aa (Rn) (resp. (TqV )∗ aa TqV ). L’application τ∗V : T ∗V → V (projection du fibree
cotangent) deefinie par τ∗V (q, p) = q se trouve alors identifieee aa τV .
La forme de Liouville La forme de Liouville λRn = p dq =∑
pj dqj de T ∗Rn
peut eetre caracteeriseee par le fait suivant : pour toute forme de Pfaff α sur Rn (qui
est une application de Rn dans T ∗Rn), on a
α∗ (p dq) = α .
La forme de Liouville λV de T ∗V est la forme de Pfaff induite sur T ∗V par p dq,
c’est-aa-dire (dans l’identification preeceedente) la restriction de p dq : T (T ∗Rn) → R
52
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
aa T (T ∗M). Elle est, elle aussi, caracteeriseee par le fait que
α∗ λV = α
pour toute 1–forme α sur V . Pour tout x ∈ T ∗V , −dλV (x) est non-deegeeneereee : −dλV
est une forme symplectique, dite structure symplectique canonique de T ∗V .
Une immersion lagrangienne dans T ∗V est une immersion j d’une sous-varieetee L
dans T ∗V veerifiant dim L = dim V et telle que j∗λV soit fermeee. Si de plus j∗λV est
exacte, on dit que l’immersion lagrangienne j est exacte.
Ces notions eetant invariantes par diffeeomorphisme de L, on peut parler de sous-
varieetees lagrangiennes (exactes ou non) de T ∗V .
La notion d’immersion lagrangienne est invariante par transformation symplec-
tique de T ∗V (diffeeomorphisme de T ∗V preeservant −dλV ), mais celle d’immersion
exacte ne l’est que par le groupe des transformations (symplectiques) g de T ∗V telles
que g∗λV − λV soit exacte : ce sont les transformations globalement canoniques de
T ∗V .
Puisque α∗λV = α, une 1–forme α sur V est un plongement lagrangien si et
seulement si elle est fermeee, un plongement lagrangien exact si et seulement si elle
est exacte ; en particulier, la section nulle du cotangent est exacte.
Le reesultat suivant se deeduit facilement de la formule d’homotopie des Cartan :
Isotopies hamiltoniennes Soit (gt) une isotopie de T ∗V ; pour que les gt soient
tous globalement canoniques, il faut et il suffit que l’isotopie soit hamiltonienne,
c’est-aa-dire qu’il existe une fonction h : [0, 1] × T ∗V → R telle que le geeneerateur
infiniteesimal (Xt) de l’isotopie soit donnee par
(6) ιXt dλV + dht = 0
pour tout t, ouu ht(q, p) = h(t, q, p). On exprime (6) en disant que (ht) est un hamil-
tonien de l’isotopie et que chaque ht est le hamiltonien du champ hamiltonien
Xt.
Exemple fondamental Si V = Rn, gt n’est autre que la “reesolvante” Rt0 des
eequations de Hamilton (cf. 2.2.1 (11)) deefinies par h.
3.3.3 Lemme de Tchekanov
Soient V une sous-varieetee compacte de Rn et (gt) une isotopie hamiltonienne
de T ∗V . Il existe une isotopie hamiltonienne (Gt) de T ∗Rn, aa support compact,
posseedant les deux proprieetees suivantes :
(i) on a Gt(Q, 0) = gt(Q, 0) quel que soit (t, Q) ∈ [0, 1] × V ;
(ii) Gt(Rn × 0) ∩ (V × (Rn)∗) = gt(V × 0) pour tout t.
53
Marc Chaperon
Deemonstration Seules nous inteeressent les gt(V × 0) ; en multipliant le ha-
miltonien de (gt) par une fonction T ∗V → R aa support compact mais eegale aa 1 dans
un grand voisinage de V ×0, nous pouvons donc supposer que (ht) (et donc (gt))
est aa support compact.
Deesignons par u : R → [0, 1] une fonction C∞ telle que u−1(1) =] − ∞, 1] et
u−1(0) = [2,∞[ ; pour chaque q ∈ V , notons πq : (Rn)∗ → (TqV )∗ la projection
paralleelement aa (TqV )⊥ (qui n’est autre que la projection orthogonale quand on
identifie cotangents et tangents comme dans la deefinition 3.3.2).
On deeduit du theeoreeme d’inversion locale et de la compacitee de V le “theeoreeme
des voisinages tubulaires” : pour ε > 0 assez petit, quel que soit q ∈ Rn veerifiant
d(q, V ) := min|q − q′| : q′ ∈ V < 3ε, il existe un unique point ν(q) ∈ V (la
projection orthogonale de q sur V ) tel que |ν(q) − q| = d(q, V ) ; dans le “tube”
Vε := q : d(q, V ) < 3ε, les applications q → ν(q) et (donc) q → d(q, V )2 sont
lisses.
Nous pouvons donc deefinir un hamiltonien (ht)0≤t≤1 sur T ∗Rn par
ht(q, p) =
ht(q, πqp) pour q ∈ V
u(d(q, V )/ε)ht(ν(q), p) pour q ∈ Vε
0 sinon.
Les proprieetees suivantes sont alors faciles aa eetablir :
(a) ce hamiltonien satisfait aux hypotheeses 2.2.1, et engendre donc une isotopie
(gt) ;
(b) la restriction de cette isotopie aa T ∗V n’est autre que (gt) ;
(c) on a gt(V × (Rn)∗) = V × (Rn)∗ pour tout t ∈ [0, 1].
Il en reesulte immeediatement que l’on pourrait prendre (Gt) = (gt) si l’on n’exigeait
pas que (Gt) soit aa support compact, mais en fait (a) et (b) ne nous inteeressent
qu’en restriction aa p = 0 ; il suffit donc de deefinir (Gt) par son hamiltonien
Ht(q, p) = u(|p|/R) ht(q, p) :
pour R > 0 assez grand, on aura Gt(q, 0) = gt(q, 0) pour tout q ∈ Rn, d’ouu le lemme
de Tchekanov.
3.3.4 Fonctions phases sur une sous-varieetee compacte V Les deefinitions
d’une fonction phase et d’une phase quadratique sur V sont les meemes que pour
V = Rn (cf. 3.1.1).
Theeoreeme (Sikorav [13] et Tchekanov) Sous les hypotheeses du lemme de Tcheka-
nov, soit S une famille geeneeratrice associeee comme dans 2.2.3 au hamiltonien (Ht)
de l’isotopie (Gt) que nous venons de construire.
54
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
(i) En appelant Φ(Q, v) la restriction de S aa l’ensemble des (Q, p, v) avec Q ∈ V et
p = 0, l’application ∂Φ/∂v a 0 pour valeur reegulieere, et (∂Φ/∂v)−1(0) est donc
une sous-varieetee ΣΦ ;
(ii) on deefinit un plongement jΦ : ΣΦ → T ∗V par
jS(Q, p, v) = (Q ,∂Φ
∂Q(Q, v) ) ,
et jΦ(ΣΦ) n’est autre que la varieetee lagrangienne g1(V × 0) ;
(iii) la fonction Φ est une phase quadratique sur V , et ses points critiques sont en
bijection avec g1(V × 0) ∩ (V × 0).Ces trois conditions s’expriment en disant que g1(V × 0) est engendreee par la
phase quadratique Φ.
Deemonstration La fonction Φ est une phase quadratique d’aprees le theeoreeme
2.2.4, appliquee aa K = 0. Pour le reste, le lecteur se convaincra qu’il suffit de mettre
bout aa bout le lemme de Tchekanov et le theeoreeme 3.3.1 (i)–(ii).
Nous admettrons le reesultat suivant (voir par exemple [6]) :
Lemme Le nombre de points critiques d’une phase quadratique sur une sous-
varieetee compacte V est strictement supeerieur aa la longueur cohomologique (“cup
length”) c(V ) de V dans tous les cas, et au moins eegale aa la somme SB(V ) de ses
nombres de Betti quand aucun de ces points critiques n’est deegeeneeree.
Comme c(Tn) = n et SB(Tn) = 2n, ce reesultat contient le theeoreeme 3.1.1 et le
point (iii) du theeoreeme permet une geeneeralisation de 3.1.3 :
Corollaire (Hofer [10]) Soient V une sous-varieetee compacte de Rn et (gt) une
isotopie hamiltonienne de T ∗V . Les varieetees lagrangiennes V ×0 et g1(V ×0) se
coupent en au moins c(V ) points, et au moins SB(V ) quand toutes ces intersections
sont transverses.
3.4 La conjecture de Weinstein dans R2n
3.4.1 Enoncee du theeoreeme
On se donne une hypersurface (sous-varieetee de codimension 1) compacte et connexe
M de T ∗Rn. Le theeoreeme de Jordan-Brouwer affirme alors que T ∗Rn \ M a une
seule composante connexe borneee Ω et donc en particulier que M est orientable (la
deemonstration la plus simple consiste aa caracteeriser Ω comme l’ensemble des points
x ∈ T ∗Rn \ M tels que les demi-droites issues de x coupent geeneeriquement M
55
Marc Chaperon
en un nombre impair de points). Les autres composantes connexes de T ∗Rn \ M
constituent ce que nous appellerons l’exteerieur de M .
On peut donc “eepaissir” M en un tube
Mε = x + tνx : x ∈ M et − ε < t < ε ,
ouu νx est la normale unitaire aa TxM , orienteee vers l’exteerieur ; en effet, pour ε assez
petit,
] − ε, ε[×M (t, x)hε−→ x + tνx ∈ Mε
est un diffeeomorphisme ; on peut donc construire un hamiltonien H : T ∗M → R
constant dans chaque composante connexe du compleementaire de Mε et tel que
Hhε(t, x) = u(t)
dans ] − ε, ε[×M , ouu u(t) est constante au voisinage de −ε et de ε et eegale (par
exemple) aa t prees de 0. Il en reesulte que 0 est valeur reegulieere de H et que H−1(0) =
M .
Caracteeristiques Dans cette situation, soit X le champ hamiltonien engendree
par H ; pour x ∈ M et v ∈ Rn, par deefinition de X,
(−dλRn)x(X(x), v) = dHx · v ;
il en reesulte que la direction caracteeristique χx de M en x, c’est-aa-dire l’orthogonal
de TxM pour (dλRn)x, n’est autre que RX(x) ; comme l’orthogonal de X(x) contient
X(x) par antisymeetrie de (dλRn)x, on a donc χx ⊂ TxM . La restriction de X aa M
est donc un champ de vecteurs sur M . Les courbes inteegrales (ou orbites) de X|M ,
c’est-aa-dire les images des solutions maximales de x′ = X(x), sont les courbes dont
la tangente en chaque point x est χx ; elles ne deependent donc pas du choix du
hamiltonien H ayant M pour niveau reegulier. On les appelle les caracteeristiques de
M ; elles forment le feuilletage caracteeristique, partition de M en courbes immergeees :
si ρt deesigne le flot de X, chaque caracteeristique C est l’image de l’immersion t →ρt(x) pour tout x ∈ C − c’est bien une immersion car, 0 eetant valeur reegulieere de
H, le champ X ne s’annule pas sur M . Une telle caracteeristique C est dite fermeee
quand c’est l’image d’une solution peeriodique
Hypersurfaces de type contact Sous les hypotheeses preeceedentes, on dit que M
est une hypersurface de type contact quand il existe une 1–forme α sur un voisinage
de M telle que dα = −dλRn et que l’on ait αx|χx = 0 pour tout x ∈ M . Le reesultat
suivant prouve une conjecture d’Alan Weinstein :
56
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
Theeoreeme (Viterbo [14]) Toute hypersurface compacte de type contact dans
T ∗Rn a au moins une caracteeristique fermeee.
3.4.2 La deemonstration
Comme les translations de T ∗Rn preeservent la structure symplectique, nous sup-
poserons que 0 apprtient aa la composante connexe borneee Ω du compleementaire de
M .
Nous allons construire un hamiltonien H veerifiant les hypotheeses du theeoreeme
3.1.4, et tel que celui-ci entraııne l’existence d’une caracteeristique fermeee sur M .
La construction de H au voisinage de M va s’effectuer comme dans le paragraphe
preeceedent, mais en remplaccant hε par un diffeeomorphisme gε tirant parti du fait que
M est de type contact.
Soit donc α une 1–forme satisfaisant aux conditions eenonceees dans la deefinition
d’une hypersurface de type contact. En multipliant α par une fonction aa support
compact dans dom(α) eegale aa 1 au voisinage de M , on peut supposer α globalement
deefinie sur T ∗Rn et aa support compact (bien entendu, dα n’est eegale aa la structure
symplectique standard qu’au voisinage de M). Deefinissons alors le champ de vecteurs
Y sur T ∗Rn par
ιY dλRn + α = 0;
La formule d’homotopie des Cartan donne
LY (−dλRn) = d(−ιY dλRn) = dα ,
qui vaut −dλRn au voisinage de M ; par deefinition de la deeriveee de Lie, si σt est le
flot de Y , il existe donc δ > 0 tel que l’on ait(
(σt)∗(−dλRn))
x= et(−dλRn)x
pour tout (t, x) ∈ [−δ, δ]×M . Comme les caracteeristiques d’une hypersurface com-
pacte sont inchangeees quand on remplace dans leur deefinition la forme symplectique
−dλRn par une des formes symplectiques et(−dλRn), on en deeduit le
Scolie 1 Pour −δ < t < δ, les caracteeristiques de σt(M) sont les images par σt
de celles de M . Pour trouver une caracteeristique fermeee sur M , il suffit donc d’en
trouver une sur une des σt(M) avec −δ < t < δ.
Nous n’avons pas utilisee pour l’instant les rapports particuliers de α avec les ca-
racteeristiques de M ; reeparons cette omission :
57
Marc Chaperon
Scolie 2 On a Y (x) ∈ TxM pour tout x ∈ M . Par conseequent, pour ε ∈]0, δ] assez
petit, l’application
] − ε, ε[×M (t, x)gε−→ σt(x)
est un diffeeomorphisme sur un ouvert M ′ε 0 de T ∗Rn.
Deemonstration Si H est un hamiltonien ayant M pour niveau reegulier et que
l’on appelle X le champ hamiltonien qu’il deefinit, on a Y (x) ∈ TxM pour un x ∈ M si
et seulement si dHx Y (x) = 0, ce qui s’eecrit aussi (−dλRn)x(X(x), Y (x)) = 0, c’est-
aa-dire αx X(x) = 0 par deefinition de Y . Comme χx = RX(x), c’est incompatible
avec le choix de α. La seconde assertion en reesulte graace au theeoreeme d’inversion
locale, appliquee en chaque point de 0 × M , et aa un argument de compacitee.
Le theeoreeme de Viterbo est une conseequence immeediate du theeoreeme 3.1.4 et du
Lemme [11] On peut contruire un hamiltonien H : T ∗M → R satisfaisant aux
hypotheeses de 3.1.4 et posseedant en outre les proprieetees suivantes :
(i) il existe K > 0 tel que, pour 0 < b < K, le niveau H−1(b) soit un des σt(M)
avec −ε < t < ε ;
(ii) Avec les notations du theeoreeme 3.1.4, on ne peut avoir ρtH(a) = a et A(a) > 0
que pour 0 < H(a) < K.
Deemonstration Soit B une boule ouverte de centre 0 ∈ T ∗Rn, de rayon R
assez grand pour que l’on ait
M ′ε ∪ Ω ⊂ B;
deefinissons H dans B par
H = 0 dans Ω \ M ′ε (et donc en 0)
H = K dans B \ (M ′ε ∪ Ω)
Hgε(t, x) = Ku(t) pour (t, x) ∈] − ε, ε[×M ,
ouu u vaut 0 prees de l’extreemitee de ]− ε, ε[ correspondant aa Ω, vaut 1 prees de l’autre
extreemitee, et est strictement monotone entre ces deux valeurs.
Si l’on a pris la preecaution de choisir
K >3πR2
2,
il existe une fonction v : R → R de classe C∞ posseedant les proprieetees suivantes :
v(t) = K pour t ≤ R2
v(t) = 3πt/2 pour t ≥ 4R2
v′′(t) > 0 pour R2 < t < 4R2 ;
58
Familles geeneeratrices en geeomeetrie symplectique
on acheeve alors de deefinir un H veerifiant (i) en posant
H(x) = v(|x|2) pour |x| ≥ R.
Bien entendu,
A(a) =
0 si H(a) = 0
−K si H(a) = K ;
il reste donc aa prouver qu’on a A(a) ≤ 0 pour ρ1H(a) = a et H(a) > K. Le probleeme
ne se pose que pour R < |a| < 2R (car ρ1H(a) = a n’a pas de solution pour |a| ≥ 2R) ;
sous cette hypotheese, en notant ρtH(a) = (Qt(a), P t(a)), une inteegration par parties
donne∫ 1
0P t(a)
(d
dtQt(a)
)
dt =∫ 1
0
1
2
(
P t(a)
(d
dtQt(a)
)
− Qt(a)
(d
dtP t(a)
))
dt
puisque ρtH(a) = a ; par deefinition des eequations de Hamilton, cela vaut
∫ 1
0
1
2DH(ρt
H(a)) · ρtH(a) dt ,
c’est-aa-dire∫ 1
0v′(|ρt
H(a)|2) |ρtH(a)|2 dt
et donc, puisque t → H(ρtH(a)) (et donc t → |ρt
H(a)|) est constante,
∫ 1
0P t(a)
(d
dtQt(a)
)
dt = v′(|a|2) |a|2.
On a donc
A(a) = v′(|a|2) |a|2 − v(|a|2) ;
la fonction t → tv′(t) − v(t) a pour deeriveee v′′(t), qui est positive pour R2 < t <
4R2 ; comme elle est nulle pour t = 4R2, on a bien A(a) < 0 pour ρ1H(a) = a et
R < |a| < 2R.
3.5 En guise de conclusion
Le theeoreeme principal a d’abord [4] eetee formulee en termes d’inteegrale curviligne, ce
qui a l’avantage de montrer que le cas “convexe” 2.3 s’obtient (dans cette formula-
tion geeomeetrique) par restriction du cas geeneeral. La premieere deemonstration “rai-
sonnable” [12] du corollaire 3.3.4 s’inspirait de [5]. L’article [11] a donnee naissance
aa la “theeorie des capacitees symplectiques” d’Ekeland-Hofer, dont Claude Viterbo a,
semble-t-il, donnee reecemment une version plus proche du point de vue de ce cours.
59
Marc Chaperon
60
REEFEERENCES
[1] V. I. ARNOLD, Sur une proprieetee topologique des applications globalement ca-
noniques de la meecanique classique, C. R. Acad. Sc. Paris 261 (1965), Groupe
1, 3719–3722.
[2] V. I. ARNOLD, Meethodes matheematiques de la meecanique classique, Mir, Mos-
cou (1976).
[3] M. CHAPERON, Quelques questions de geeomeetrie symplectique [d’aprees, entre
autres, Poincaree, Arnold, Conley et Zehnder], Seeminaire Bourbaki, Asteerisque
105–106 (1983), 231–249.
[4] M. CHAPERON, Une ideee du type “geeodeesiques briseees” pour les systeemes
hamiltoniens, C. R. Acad. Sc. Paris t. 298 (1984) seerie A, 293–296.
[5] M. CHAPERON, An elementary proof of the Conley-Zehnder theorem in sym-
plectic geometry, dans Braaksma, Broer et Takens, Dynamical systems and
bifurcations, Springer Lecture Notes in Mathematics 1125 (1985), 1–8.
[6] M. CHAPERON, E. ZEHNDER, Quelques reesultats globaux en geeomeetrie sym-
plectique, dans P. Dazord, N. Desolneux-Moulis, Geeomeetrie symplectique et de
contact : autour du theeoreeme de Poincaree-Birkhoff, Travaux en cours, Hermann
(1984), 51–121.
[7] C. C. CONLEY, E. ZEHNDER, The Birkhoff-Lewis fixed point theorem and a
conjecture of V. I. Arnol’d, Invent. math. 73 (1983),. 33–49.
[8] A. FLOER, Morse theory for lagrangian intersections, J. Diff. Geom. 28 (1988),
513–547.
The unregularized gradient flow of the symplectic action Comm. in pure and
appl. math. 41 (1988), 775–813.
A relative Morse index for the symplectic action, Comm. in pure and appl.
math. 41 (1988), 393–407.
Witten’s complex and infinite dimensional Morse theory, J. Diff. Geom. 30
(1989), 207–221.
Cuplength estimates for Lagrangian intersections, Comm. in pure and appl.
math. 42 (1989), 335–356.
61
Marc Chaperon
[9] M. GROMOV, Pseudo-holomorphic curves in symplectic manifolds, Invent.
math. 82 (1985), 307–347.
[10] H. HOFER, Lagrangian embeddings and critical point theory, Ann. Inst. H.
Poincaree, Analyse non lineeaire, Vol. 2 no 6 (1985), 407–462.
[11] H. HOFER, E. ZEHNDER, Periodic solutions on hypersurfaces and a result by
C. Viterbo, Invent. math. 90 (1987), 1–9.
[12] F. LAUDENBACH, J. C. SIKORAV, Persistance d’intersection avec la section
nulle..., Invent. math. 82 (1985), 349–357.
[13] J. C. SIKORAV, Probleemes d’intersections et de points fixes en geeomeetrie ha-
miltonienne, Comm. math. Helvet. Vol. 62 No 1 (1987), 62–73.
[14] C. VITERBO, A proof of the Weinstein conjecture in R2n, Ann. Inst. H. Poin-
caree, Analyse non lineeaire (1987).
Reefeerences additionnelles (1995)
L’article [15] contient une extension de notre theeoreeme principal aa la geeomeetrie
de contact et diverses applications. Yu.V. Tchekanov a fini par reediger ses reesultats
de 1986, qui devraient paraııtre bientoot (en russe) dans Functional Analysis and its
applications ; en geeomeetrie de contact, son approche diffeere un peu de [15].
La construction trees eeleementaire qui fait l’objet de ce cours et de [15] ne s’ap-
plique malheureusement qu’aa des espaces “assez lineeaires”. Pour obtenir des reesultats
sur les intersections lagrangiennes eetendant le theeoreeme de Hofer (corollaire 3.3.4)
aa des varieetees symplectiques geeneerales, deux voies semblaient possibles : suivre jus-
qu’au bout une ideee simple en bravant d’eenormes difficultees analytiques, ou se ra-
mener au theeoreeme de Hofer en “aspirant les isotopies consideereee dans un morceau
de cotangent” ; la premieere voie a eetee suivie par Floer [8] il y a presque dix ans, alors
que la seconde a eetee exploreee plus reecemment par Franccois Laudenbach [17].
Le lecteur trouvera une excellente introduction au travail de Floer et bien
d’autres reesultats dans [16]. L’article de Viterbo mentionnee tout aa la fin du texte
est [18].
[15] M. CHAPERON, On generating families , dans H. Hofer, C.H. Taubes, A. Wein-
stein, E. Zehnder (Editors), The Floer Memorial Volume, Birkhaauser (1995),
283–296.
[16] H. HOFER, E. ZEHNDER, Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics ,
Birkhaauser, 1994.
[17] F. LAUDENBACH, Engouffrement symplectique et intersections lagrangiennes,
Comm. math. Helvet., aa paraııtre.
[18] C. VITERBO, Symplectic topology as the geometry of generating functions,
Math. Annalen 292 (1992), 685–710.
62
TABLE DES MATIEERES
Preeface page i
1 Rappels et compleements 1
1.1 Applications lineeaires continues 1
1.2 Calcul diffeerentiel aa une variable 3
1.3 Applications diffeerentiables 6
1.4 Deeriveees d’ordre supeerieur 10
2 Familles geeneeratrices 15
2.1 Theeoreemes d’existence globale 15
2.2 La construction principale 24
2.3 Cas des hamiltoniens convexes par rapport aa p 28
3 Applications 35
3.1 Reesultats sur les tores et les espaces euclidiens 35
3.2 Compleements de geeomeetrie diffeerentielle 43
3.3 Reesultats de Hofer, Sikorav et Tchekanov dans les cotangents 51
3.4 La conjecture de Weinstein dans R2n 55
3.5 En guise de conclusion 59
Reefeerences 61
63
