Fatigue des matériaux et des structures · Table des matières I - Historique et importance du phénomène de fatigue 7 A. Premiers accidents de chemin de fer

Fatigue des matériaux et des

structures

5 octobre 2010

PARTENAIRES UNIT

Table des matières

I - Historique et importance du phénomène de fatigue 7

A. Premiers accidents de chemin de fer............................................................7 1. Accident de la ligne Paris - Versailles..........................................................................7 2. Axe d'un essieu.....................................................................................................10

B. Les pionniers..........................................................................................11 1. Rankine et Stephenson..........................................................................................11 2. Wölher.................................................................................................................11 3. Les premières machines de fatigue..........................................................................12 4. Concept d'endurance en fatigue..............................................................................14

C. Dates importantes...................................................................................14 1. Ewing et l'origine du phénomène de fatigue..............................................................14 2. Miner...................................................................................................................15 3. Coffin...................................................................................................................16 4. Loi de propagation des fissures selon Paris...............................................................16 5. Peterson..............................................................................................................18 6. Endo....................................................................................................................18 7. Loi de fissuration de Paris.......................................................................................19 8. Elber et le concept de fermeture de fissure...............................................................19 9. Murakami et les dimensions des défauts pour l'amorçage des fissures..........................19

D. Accidents spectaculaires..........................................................................20 1. Accident des comèts..............................................................................................20 2. Plateforme Alexandre Killian...................................................................................21 3. Incident sur le vol 243 de Aloha Air lines (28 avril 1988)............................................22 4. Naufrage de l'Erika (11 décembre 1999)...................................................................23 5. Accident de l'ICE« Willhelm Röntgen» (1998)............................................................23 6. Roues des locomotives...........................................................................................25

II - Aspects macroscopiques et microscopiques du phénomène de fatigue 27

A. Courbe de fatigue contrainte-nombre de cycles...........................................27 1. Caractérisation de la durée de vie en fatigue.............................................................27 2. Amorçage et propagation.......................................................................................29 3. Un exemple de comportement.................................................................................30

B. Des dislocations à la fissure de fatigue.......................................................31 1. Glissement cyclique...............................................................................................31 2. Les bandes de glissement.......................................................................................34

C. Stades I et II des fissures de fatigue.........................................................36 1. Les deux stades....................................................................................................36 2. Méthodes d'observation de la progression de fissure..................................................37

D. Amorçage..............................................................................................51 1. Comment définir l'amorçage d'une fissure ?..............................................................51 2. Application au cas de l'acier C35..............................................................................51

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III - Terminologie et notions de base 57

A. Les différents types de chargement...........................................................57 1. Notion de chargement cyclique................................................................................57 2. Trajets de chargement, états de contrainte...............................................................60 3. Rapport R et contrainte moyenne ; amplitude et étendue de contrainte........................65

B. La courbe de Wöhler ou courbe S - N.........................................................66 1. Représentation de la courbe de Wöhler....................................................................66 2. Les 3 domaines de la courbe de Wöhler....................................................................67 3. Dispersion des résultats d'essais..............................................................................67 4. Modèles mathématiques de la courbe de Wöhler........................................................68

C. Rappels de probabilité.............................................................................68 1. Origine de la dispersion en fatigue...........................................................................68 2. Traitement statistique............................................................................................69

D. Influence de la contrainte moyenne...........................................................72 1. Diagramme de Haigh.............................................................................................72 2. Diagramme de Goodman........................................................................................74 3. Diagramme de Ross...............................................................................................74 4. Indice de sensibilité à la contrainte moyenne............................................................75

E. Fatigue oligocyclique................................................................................75 1. Notions d'adaptation, d'accommodation et de déformation progressive.........................75 2. Méthodes expérimentales en fatigue oligocyclique......................................................78 3. Comportement cyclique des matériaux.....................................................................81 4. Loi de Manson -Coffin............................................................................................90

F. Exercices................................................................................................91

IV - Calcul de résistance à l'amorçage des fissures de fatigue93

A. En fatigue oligocyclique............................................................................93 1. Méthodes de prévision des courbes de Manson - Coffin...............................................93 2. Influence de la contrainte moyenne.........................................................................95 3. Influence de la triaxialité mécanique........................................................................95

B. En fatigue à grande durée de vie...............................................................95 1. Notion de critère de fatigue uniaxiale et multiaxiale...................................................95 2. Présentation des familles de critères........................................................................97 3. Critère de fatigue uniaxiale : diagramme de Haigh.....................................................97 4. Critère empirique de fatigue multiaxiale : critère de Gough et Pollard.........................100 5. Critère de fatigue multiaxiale : critère de Crossland.................................................101 6. Critère de fatigue multiaxiale : critère de Dang Van.................................................105 7. Critère de fatigue multiaxiale : critère énergétique du LAMEFIP.................................113

C. Exercices..............................................................................................119

V - Calcul de résistance à la propagation de fissures en fatigue121

A. Fissures longues...................................................................................121 1. Caractérisation de la propagation..........................................................................121 2. Endommagement en pointe de fissure....................................................................130 3. Seuil de propagation............................................................................................138 4. Lois de propagation.............................................................................................145 5. Propagation sous chargement à amplitude variable..................................................157

B. Fissures naturelles.................................................................................177 1. Phénoménologie..................................................................................................177

VI - Application aux structures 181

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A. Effet d'entaille en fatigue à grand nombre de cycles..................................181 1. Description de l'effet d'entaille en fatigue................................................................181 2. Obtention de l'amplitude de contrainte effective en fatigue.......................................183 3. Le facteur de réduction en fatigue..........................................................................189 4. Coefficient de sensibilité à l'entaille q.....................................................................192 5. Application de la règle de Neuber pour la prévision de la durée de vie en fatigue.........196 6. Calcul de kf........................................................................................................198 7. Calcul du nombre de cycles d'amorcage d'une fissure au bord d'un trou......................199

B. Paramètres d'influence...........................................................................200 1. Nature du matériau.............................................................................................200 2. Etat de surface....................................................................................................200 3. Environnement....................................................................................................200 4. Effet d'échelle.....................................................................................................200 5. Contraintes résiduelles.........................................................................................200

C. Joints soudés........................................................................................200 1. Paramètres d'influence de la fatigue des joints soudés..............................................200 2. Coefficients de concentration de contraintes des les cordons de soudure.....................206 3. Coefficient d'entaille en fatigue..............................................................................213 4. Méthodes normalisées et codes de dimensionnement contre le risque de rupture par fatigue des joints soudes...........................................................................................215 5. Durée de vie d'un joint soudé................................................................................225 6. Exercice 2 sur les joints soudés.............................................................................225

Bibliographie 227

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I - Historique etimportance duphénomène defatigue

I

Premiers accidents de chemin de fer 7

Les pionniers 11

Dates importantes 14

Accidents spectaculaires 20

Ce chapitre d'introduction présente un historique des études concernant l'endommagement par fatigue des matériaux et des structures. A l'aide d'exemples d'accidents survenus en service, on montre l'importance de ce phénomène de fatigue et la nécessité d'en tenir compte si l'on veut éviter des catastrophes.

A. Premiers accidents de chemin de fer

1. Accident de la ligne Paris - Versailles

L'ouverture de la toute première ligne de chemin de fer a eu lieu en Grande-Bretagne le 27 septembre 1825 entre Stocktom et Arlington. A titre d'illustration, la figure 1.1 montre le passage de ce premier train sur le pont sur la Skerne d'Arlington (UK).

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C'est Georges Stephenson (1781-1848) qui a créé la première locomotive à vapeur. Il a appelée sa locomotive la Blücher du nom du général Prussien qui permit au Royaume Uni de battre Napoléon 1er à Waterloo. Cette locomotive, construite en 1814, pouvait tirer 30 tonnes jusqu'au sommet d'une colline avec une vitesse de 4 miles/heure. La chaudière présentait deux pistons verticaux à l'intérieur. Les tiges de piston agissaient latéralement sur les roues. Ce type de locomotives a été produit en même temps par John Blenkinsop, William Hedley et Prés Hackworth de Fléole.

Attention : pas de source Figure 1.1 Passage de ce premier train sur le pont sur la Skerne à Arlington (UK)

Figure 1.2 Portait de Georges Stephenson (1781-1848) Source : Wikipedia

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Historique et importance du phénomène de fatigue

Dans la locomotive la Blücher, le mouvement des roues n'est pas obtenu par l'intermédiaire de pignons mais par des roues comportant des flasques latéraux. Stephenson a amélioré sa locomotive et, en 1815, il a changé la conception par un système bielle-manivelles. Les roues étaient couplées avec des chaînes. En France, dès 1828, sur la voie de chemin de fer Lyon-Saint-Étienne, - la deuxième construite en France-, circulèrent les premières locomotives construites par Marc Seguin sur la base des locomotives de George Stephenson, qu'il équipa de son invention, la chaudière tubulaire, qui multipliait par six la puissance développée par ces machines.

La première ligne de chemin de fer s'est ouverte en France en 1830 avec la ligne Paris- Versailles.

Le développement des lignes de chemins de fer a connu ensuite une croissance spectaculaire dans le monde passant de 500 Km en 1840 à 1,4 millions de Km en 1930. La ligne Paris Versailles par la Rive Gauche fut le triste théâtre du premier grand accident ferroviaire de l'histoire des chemins de fer français, le 8 Mai 1842, vers Meudon, lors duquel périt un scientifique célèbre, Jules Dumont d'Urville. Il semble que 41 personnes aient péri brûlées dans ce sinistre. L'origine du sinistre est la rupture par fatigue d'un essieu, comme l'indique une reproduction d'un article de

Figure 1.5 la première ligne de chemin de fer française Paris- Versailles (1830)

Source : Google images

Figure 1.3 : La locomotive la Blücher de Stephenson Source : Google images

Figure 1.4 : La première locomotive française de Marc Seguin Source : http://www.art-et-histoire.com

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presse sur cet accident.

2. Axe d'un essieu

Cette figure est la reproduction de l'axe de l'essieu qui s'est rompu lors d'un accident en Grande Bretagne en 1844.

Q u e s t i o n Pourquoi le journaliste qualifie le phénomène de fatigue de sournois ?

* *

*

Ce premier exemple illustre l'importance que peut revêtir ce phénomène d'endommagement par fatigue et montre qu'un dimensionnement traditionnel n'est pas suffisant pour garantir la fiabilité des structures sollicitées en service.Les exemples qui suivent montrent les premières analyses qui ont été déduites de tels accidents.

Figure 1. 6 : Reproduction d'un article de presse sur l'accident de la ligne Paris-Versailles de 1842

Figure 1.6 : Schéma de l'axe de l'essieu qui s'est rompu lors d'un accident en Grande Bretagne en 1844 (D' après Glyon) Source : wikimedia

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B. Les pionniers

1. Rankine et Stephenson

C'est Wilhelm Albert qui publia en 1837 le premier article sur la fatigue. Il concerne des essais de fatigue effectués sur des chaînes de convoyeur utilisées dans les mines de Clausthal (Allemagne).

William John Macquorn Rankine, Ingénieur et physicien britannique, né le 5 juillet 1820 à Édimbourg et mort le 24 décembre 1872 à Glasgow, s'occupa des travaux d'adduction d'eau et ferroviaires à Dublin et Drogheda en Irlande puis entra à la compagnie ferroviaire Caledonian Railway où il effectua ses premiers travaux sur la résistance et fatigue des matériaux. En 1843, il publia ses articles sur la fatigue des essieux de locomotives.

Robert Stephenson, fils de George Stephenson, a étudié en 1850 la rupture des rails et conclu à l'impossibilité de déduire le comportement en fatigue à partir des caractéristiques statiques des matériaux.

2. Wölher

August Wöhler, (1819-1914), a montré très tôt des capacités en mathématiques et a obtenu une bouse pour étudier à la Technische Hochschule d'Hanovre, sous la direction de Karl Karmarsch. En 1840, il a été recruté dans l'entreprise Bersig à Berlin où il a travaillé à la fabrication des voies ferroviaires. En 1843, après un bref séjour à Hanovre, il a reçu une formation dans la conduite des locomotives en Belgique. Il est ensuite retourné en tant qu'ingénieur à Hanovre sur la ligne de Lehrte. En 1847, Wöhler était surveillant en chef des matériels de transport sur le chemin de fer de la Silésie-Brandenberg. Sa réputation croissante l'a conduit à rencontrer en 1852 le ministre prussien du commerce pour étudier les causes de rupture des axes de chemin de fer, travail qui devait occuper Wöhler pendant les deux décennies suivantes. Le chemin de fer a été nationalisé en 1854 en Allemagne. La reconnaissance de ses qualités d'administrateur et de ses compétences techniques ont eu comme conséquence sa nomination comme directeur des chemins de fer impériaux nouvellement formés, dont le siège social était basé à Strasbourg, un poste qu'il a occupé jusqu'à sa retraite en 1889. Wöhler a commencé ses investigations de recherche dans la théorie de l'élasticité et a proposé, en 1855, une méthode pour prévoir la flèche d'une poutre treillis, ceci avant le travail de Émile Clapeyron. Il a également présenté une méthode de support des extrémités d'un pont sur roulements à rouleaux pour tenir compte de la dilatation thermique. Son travail sur la fatigue des matériaux marque la première recherche systématique des courbes SN, également connues sous le nom de courbes de

Figure 1.7 : Portrait de William John Macquorn Rankine. (1820-1872) Source :

Wikimedia

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Wöhler, pour caractériser le comportement de fatigue des matériaux ref divII. La présentation de son travail à l'exposition de Paris en 1867 lui a conféré une large audience internationale. En son temps, Wöhler était un ardent avocat de la standardisation des essais et certification du fer et de l'acier. Il est mort à Hanovre.

3. Les premières machines de fatigue

Les premières machines d'essai de fatigue étaient essentiellement des machines de flexion, soit de flexion répétée comme celle de James et Galton, soit de flexion rotative comme celle de Wöhler.

Figure 1.10 Machine de fatigue en flexion rotative de Wöhler. Source : Google images

Figure 1.9 Machine de fatigue en flexion répétée de James et Galton Source : Timoshenko History of strength of materials

Figure 1.8 : Portrait de August Wöhler (1819-1914) Source : Wikimedia

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4. Concept d'endurance en fatigue

En 1850, Wöhler a présenté le concept d'endurance en fatigue, c'est-à-dire qu'il a défini un niveau d'amplitude de contrainte au dessous duquel la durée de vie Nr en nombre de cycles est illimitée. Il a présenté plus tard une relation entre l'amplitude

de contrainte et la durée de vie log Nr =A−B .

Q u e s t i o n Y a t -il cohérence entre ces deux travaux ?

C. Dates importantes

Ce paragraphe présente les origines de différents concepts, très importants en fatigue. Ils seront décrits de façon plus détaillée dans la suite du cours (voir références aux chapitres suivants). On peut d'ores et déjà noter que, depuis l'origine de ces premiers travaux, de nombreuses recherches ont été menées en utilisant ces mêmes notions.

1. Ewing et l'origine du phénomène de fatigue

Le concept de courbes de fatigue représentant l'étendue de contrainte en fonction du nombre de cycles date de 1850. Sir James Alfred Ewing a montré en 1903 que l'origine de la fatigue réside dans l'existence de microfissures, comme le montrent les photographies tirées de son article.

Figure1.11 : Photographie de l'article d'Ewing montrant le rôle des fissures de fatigue (1903) Source : Wikimedia

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2. Miner

La règle de Miner, ou de Palmgren-Miner, pose que les dommages correspondants sont additifs. La rupture se produit donc lorsque la somme des dommages relatifs à chaque amplitude atteint l'unité.(réf chap suivant)

3. Coffin

Coffin a propose une relation liant l'amplitude de déformation totale au nombre de cycles à rupture pour la fatigue oligocyclique (ref définition et chap suivant).

Figure1.13 Figure tirée de l'article de Miner Cumulative damage in Fatigue Journal of applied mechanics Vol 12, A159-A164 ,(1945)

Figure1.14 Figure tirée de l'article de Coffin A study of the effects of cyclic thermal stress on a ductile metal transaction ASME vol 76,931-950, (1954).

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4. Loi de propagation des fissures selon Paris

En 1960, Paris, Gomez et Anderson ont représenté le taux de croissance des fissures de fatigue da/dN en fonction l'amplitude du facteur d'intensité de contraintes K pour un chargement à amplitude constante. La figure, tirée de l'article de P. Paris et F. Erdogan (1963), A critical analysis of crack propagation laws, Journal of Basic Engineering, Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, December 1963, pp.528-534, illustre cette loi de propagation écrite sous la forme : da/dN = C K m C et m sont des constantes du matériau. Cette figure illustre aussi l'influence du rapport de la contrainte minimale sur la contrainte maximale R sur la loi de fissuration.ref chap suivant)

Figure1.15 : Figure tirée de l'article de Paris.P :The fracture mechanics approach to fatigue Proceedings of the tenth Cagamore Army Materials conference p107-132

(1963)

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5. Peterson

Peterson a proposé de caractériser la sensibilité à l'entaille en fatigue d'un matériau par un paramètre qui dépend du rayon d'entaille et des propriétés du matériau.ref chap suivant

Figure 1.16 : Evolution de la vitesse de fissuration en fatigue da/dN en fonction l'amplitude du facteur d'intensité de contraintes deltaK. Influence du rapport R.

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6. Endo

Dans l'article de Matsubishi and Endo, intitulé Fatigue of Metals subjected to various stress ; Fatigue lives under random loading, Proceedings of the Kyushu District meeting JSME 37-40 (1968), Endo a décrit la méthode de comptage des cycles en fatigue aléatoire ou méthode rainflow.ref chap suiv

Figure 1.18 Endo 1925-1989

Figure1.17 : Figure tirée de l'article de Peterson: Fatigue of metals, Part 3 Engineering and design aspects Materials Research and standards (1963)

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7. Loi de fissuration de Paris

Q u e s t i o n En examinant attentivement la .figure 1.12, peut-on dire que la loi de fissuration de

Paris da /dN=C K m est valable pour toute l'étendue des observations expérimentales ?

8. Elber et le concept de fermeture de fissure

La découverte du phénomène de fermeture de fissure est due à Rolf Elber quand il était étudiant à l‘Université de New South Wales à Sydney en Australie. Ce phénomène est caractérisé par le fait qu'une fissure se propageant sous l'effet des contraintes cycliques reste fermée jusqu'à une valeur de la charge qui ne dépasse pas en général la moitié de la charge maximale. Ce phénomène est d'une importance majeure pour les problèmes de propagation de fissure sous chargement aléatoire. La première publication des travaux d'Elber a été rejetée par l'un des examinateurs. Sous le conseil d'Hardrath de la Nasa, Elber a publié en 1970 un article intitulé Fatigue crack closure under cylic tension dans la revue Engineering Fracture Mechanics plus accessible. Cet article est fortement cité dans « Science Citation index (SCI).ref chap suivant

9. Murakami et les dimensions des défauts pour l'amorçage des fissures

Le Professeur Murakami de l'Université de (Japon) a publié en 1989 un article dans la revue « International Journal of fatigue » dans lequel il montre que la limite d'endurance en fatigue est conditionnée par l'amorçage des fissures sur des inclusions. Il indique que la limite d'endurance (voir définition) en fatigue va dépendre de la racine carrée de la superficie de ces inclusions. Ces travaux ont une très grande importance sur le phénomène de fatigue contact.

D. Accidents spectaculaires

Dans ce paragraphe, nous allons décrire quelques accidents spectaculaires qui ont malheureusement permis de faire avancer les connaissances.Vous remarquerez que certains d'entre eux sont très récents.

1. Accident des comèts

Le Comet a été dessiné et construit en Grande Bretagne. Il fut le premier super jet airliner commercial au monde. Dans les années 50, une série de rupture par fatigue ont conduit plusieurs Havilland Comet à s'écraser. Il faut citer :

Le 2 Mai 1953, l'avion G-ALYV se désintègre dans une tempête à 10 000 pieds durant la phase ascensionnelle de son vol de Calcutta vers Delhi.

Le 10 Janvier 1954, l'avion G-ALYP s' écrase de 27 000 pieds par beau temps au cours du vol Rome– Londres.

Le 10 Janvier 1954, l'avion de la BOAC s'écrase en Méditerranée sur l'ile d'

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Elbe tuant 35 personnes. Le 3 Mars 1953, le Comet de la Canadian Pacific Airline s'écrase sur

l'aéroport de Calcutta suite à une erreur du pilote en tuant 11 personnes. Le 8 Avril 1954, l'avion G-ALYP disparaît au cours du vol Rome-Le Caire. Les

114 passagers et les 7 membres d'équipage sont tués.

Par la suite, tous les Comets ont été cloués au sol.Après cette série d'accidents, des études par pressurisation sur le fuselage du Comet dans les conditions de vol (différence de pression), ont prouvé que la rupture par fatigue du fuselage à partir de fissures amorcées au coin des hublots carrés était la cause des accidents de ces avions. La figure 1.15 droite montre une fissure de fatigue partant d'un coin d'un hublot carré et entraînant par sa propagation le déchirement du fuselage.

COUT SOCIETAL : On peut, à cette occasion, mesurer les conséquences importantes du phénomène de fatigue des matériaux en termes de vies humaines.

2. Plateforme Alexandre Killian

La plateforme Alexandre Kielland était une plateforme norvégienne d'extraction de pétrole dans le domaine d'Ekofisk. La plateforme, située approximativement à 320 kilomètres à l'est de Dundee, Écosse, était la propriété de la compagnie américaine Phillips. La plateforme a été baptisée du nom du célèbre écrivain norvégien. Après 40 mois de service, la plateforme flottante de forage n'était plus employée pour forer mais servait de quartiers résidentiels aux équipes exploitant la plateforme voisine Edda. Le 27 mars 1980, alors que la majeure partie de l'équipe assistait à une séance de cinéma dans la plateforme, un élément de structure s'est effondré et la plateforme a chaviré.

Figure 1.19: Photographie du Comet, le premier super jet airliner commercial au monde Source : http://www.geocities.com

Figure 1.20 : fissure de fatigue partant d'un coin d'un hublot de Comet Source : http://aviation-safety.net/

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Un an après, en mars 1981, le rapport d'investigation a conclu que la plateforme s'est effondrée à cause d'une fissure de fatigue présente dans l'une de ses six tubulures, reliée à une jambe qui s'est effondrée avec le reste de la plateforme.

3. Incident sur le vol 243 de Aloha Air lines (28 avril 1988)

COUT ECONOMIQUE Le coût économique des ruptures en service est estimé à combien ? dont 90% ont pour origine des fissures de fatigue.

Attention : pas de source Figure 1.22 Emplacement marqué par une flèche de la fissure de Fatigue amorcée dans une des tubulures de la plate forme Alexandre

Kielland.

Figure 1.23 Etat du fuselage de l'Aloha Airlines 243 après un atterrissage d'urgence Source : Wikimedia

Figure 1.21 : Naufrage de la plateforme Alexandre Kielland le 27 mars 1980 Source : Google images

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4. Naufrage de l'Erika (11 décembre 1999)

Le navire se casse en deux le 11 décembre 1999 à 8h15 (heure locale) dans les eaux internationales, à une trentaine de milles au sud de la pointe de Penmarc'h (Pointe sud du Finistère). La partie avant du navire sombre dans la nuit du 12 au 13 décembre à peu de distance du lieu de la cassure. La quantité de mazout déversée au moment du naufrage est alors estimée entre 7 000 et 10 000 tonnes. Le capitaine a déclaré qu'il avait constaté une importante fissuration du pont. Il avait essayé de stopper cette fissure en émoussant son extrémité par perçage, mais sans succès. COUT ECOLOGIQUE : Ce fait illustre que le coût écologique provoqué par le phénomène de fatigue peut être très élevé.

5. Accident de l'ICE« Willhelm Röntgen» (1998)

Le 3 juin 1998, le bandage d'une roue de l'ICE «Willhelm Röntgen», qui roulait à 200 km/h en direction de Hambourg se rompt. Cette rupture restant tout d'abord inaperçue, un morceau de cette pièce défectueuse vient malencontreusement se coincer dans un aiguillage qu'elle actionne. La partie postérieure de la rame est alors déviée sur la voie voisine, l'ICE fonce alors à pleine vitesse sur deux voies parallèles et à Eschede, il entre en collision avec un pont. Les conséquences sont effroyables: 100 personnes meurent et autant sont blessées. Dans le procès ouvert à la suite de cet accident, l'expert a recherché les causes qui avaient pu conduire à la rupture par fatigue de ce bandage de roue. Il a certes constaté la présence de minuscules amorces de fissures mais de telles amorces de fissures ont aussi été décelées sur les 5000 autres roues démontées pour contrôle sur les autres ICE. Sur les compositions ICE actuelles, les roues à bandage ont été remplacées par des roues pleines.

Figure 1.24 : Naufrage de la partie avant de l'Erika partie avant dans la nuit du 12 au 13 décembre 1999 Source : http://planet-terre.ens-lyon.fr

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6. Roues des locomotives

Q u e s t i o n Pourquoi de nombreuses compagnies ferroviaires de part le mode emploient-elles une personne pour taper sur les roues des locomotives et des wagons de chemin de fer ?

* *

*

Ces quelques exemples sont révélateurs et justifient le grand nombres d'études menées pour comprendre et éviter le problème de rupture par fatigue. Les chapitres suivants vont développer les méthodes mises en place pour prévenir ces catastrophes.

Figure 1.25 Vue de l'accident de l'ICE «Willhelm Röntgen» le 3 juin 1998 Source : Wikimedia

Attention : pas de source Figure N° 1.26 : Exemple de fissure amorcée sur un bandage de roue

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II - Aspectsmacroscopiques etmicroscopiques duphénomène defatigue

II

Courbe de fatigue contrainte-nombre de cycles 27

Des dislocations à la fissure de fatigue 31

Stades I et II des fissures de fatigue 36

Amorçage 51

Cette partie présente quelques exemples d'amorçage de fissures en fatigue et les principales notions de base. A titre d'illustration, sont présentés des résultats issus d'une étude sur l'acier C35.

A. Courbe de fatigue contrainte-nombre de cycles

1. Caractérisation de la durée de vie en fatigue

La durée de vie en fatigue s'exprime par la courbe "contrainte - durée de vie"

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On représente sur cette courbe l'amplitude de contrainte en fonction du nombre de cycles à rupture. Elle est obtenue en menant des essais sur des éprouvette généralement cylindriques. Chacune des éprouvettes est sollicitée à un niveau de chargement donné jusqu'à rupture.

Que se passe-t-il au cours de la durée de vie d'une éprouvette : quels sont les mécanismes physiques ? Ils peuvent être différents suivant le niveau de

Amplitude de contrainte en fonction du nombre de cycles à rupture

Essai en fatigue endurance

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Aspects macroscopiques et microscopiques du phénomène de fatigue

chargement appliquéOn distingue généralement deux domaines : fatigue oligocyclique : faible nombre de cycles, le matériau plastifie à l'échelle macroscopique, fatigue polycyclique : grand nombre de cycles, le matériau reste élastique à l'échelle macroscopique. La distinction entre ces deux domaines est fortement dépendante du type de matériau, mais on peut proposer une séparation entre 103 et 105 cycles.

2. Amorçage et propagation

La durée de vie en fatigue d'un matériau métallique peut se décomposer en deux phases : Phase d'amorçage d'une fissure (nombre de cycles nécessaire à créer un fissure à partir du mouvement des dislocations) Phase de propagation (la fissure existe et se propage dans le matériau jusqu'à la rupture complète)

L'importance de ces deux phases en nombre de cycles est très fortement liée au matériau et au niveau de sollicitation. On peut dire de façon générale que la phase de propagation est souvent importante pour les fortes contraintes (amorçage rapide de la fissure) alors que la phase d'amorçage est majoritaire dans le domaine des très faibles contraintes et des grandes durées de vie. Comme illustré par les figures ci-dessus, les mécanismes d'amorçage sont assez différents alors que les mécanismes de propagation sont similaires.

Amorçage de propagation

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3. Un exemple de comportement

Si l'on compare la limite de fatigue en traction pour R = -1 à la courbe d'écrouissage cyclique de l'acier C35, on peut constater que le comportement reste élastique d'un point de vue macroscopique pour une contrainte voisine de 240 MPa. Cette courbe d'écrouissage cyclique montre que l'essai à grand nombre de cycles est dans le domaine de l'élasticité macroscopique du C 35. Pour les durées de vie inférieures à 105 cycles (250 MPa), la plasticité commence à apparaître au niveau macroscopique.

Courbe contrainte - durée de vie

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B. Des dislocations à la fissure de fatigue

Objectifs

Dans le domaine de la fatigue des métaux, on distingue généralement la durée de vie à l'amorçage d'une fissure et la durée de vie pour propager cette fissure de fatigue.Dans le cadre de ce cours, nous porterons notre attention sur le domaine des grandes durée de vie pour lequel le comportement à l'échelle macroscopique reste élastique et nous proposerons quelques outils de base pour l'ingénieur pour calculer la durée de vie à l'amorçage et à la propagation. Dans cette partie, nous allons successivement illustrer les mécanismes physiques impliqués dans la durée de vie par 4 étapes : Amorçage : - Mouvement des dislocations - Bande de glissement persistante Propagation : - Fissure en stade 1 - Fissure en stade 2 Ces quatre étapes sont plus ou moins importantes selon le matériau et le chargement mécanique.

1. Glissement cyclique

Si le matériau se déforme dans son domaine d'élasticité au niveau macroscopique, quelques grains peuvent plastifier, ce qui va conduire à l'amorçage d'une fissure de fatigue. Nous allons donc nous intéresser dans un premier temps aux premiers stades de la déformation plastique des métaux : les mouvements de dislocations. Les planches qui suivent présentent 3 étapes décrivant le mouvement des dislocations : la nucléation (sur ce premier film on peut observer le défaut initial qui augmente en taille sous l'effet d'une contrainte appliquée. Cela montre que pour créer des dislocations, il faut un petit défaut initial dans le cristal)

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La propagation (le défaut étant créé, ce film montre une source de Franck Read qui créé une boucle de dislocation à partir d'une dislocation ancrée en un point qui peut être un défaut ponctuel. Sous l'action de la contrainte, la dislocation évolue et forme une boucle qui va se propager. Dans le même temps, une autre boucle peut être créée à nouveau, on assiste donc à une source qui va créer de nombreuses dislocation sous l'action de la contrainte)

l'annihilation (ce film permet de montrer que le matériau peut aussi se restaurer en faisant disparaître certaines dislocation : c'est le mécanisme d'annihilation. Des

Nucléation de dislocations

Source de Franck et Read

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dislocations de signe opposé se rencontrent dans un même plan de glissement et s'annulent pour disparaître, c'est-à-dire pour reconstituer un plan atomique continu)

Remarquez l'échelle de chaque film : 10 nm c'est-à-dire 1 million de fois plus petit que le mm ! Il faut un Microscope Electronique à Transmission pour observer un tel phénomène !

Annihilation de dislocations

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2. Les bandes de glissement

Comme nous venons de le voir, les dislocations sont mises en mouvement par le chargement mécanique. Ces mouvements peuvent être complexes et sont très liés à la microstructure du matériau. De nombreuses études expérimentales en particulier sur des monocristaux ont permis de comprendre l'organisation de ces dislocations avec le chargement cyclique. On peut noter que les dislocations s'arrangent principalement sous forme de bandes de glissement persistantes qui sont situées dans des plans bien particuliers de la structure cristalline. Ces bandes comportent des millions de dislocations qui s'accumulent jusqu'à un stade critique où il est nécessaire de créer une fissure pour accommoder la déformation plastique. Examinons l'évolution de la densité de dislocations avec la durée de vie dans le cas du Fer pur.Lors d'un premier stade, la déformation plastique est plutôt homogène dans le matériau.

MET

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A partir d'un certain stade de saturation de la déformation plastique homogène, il y a localisation de la déformation, c'est à dire que la déformation se concentre dans les Bandes de Glissement Persistantes (BGP). La déformation dans ces bandes peut être 1000 fois plus grande que dans les zones du cristal où la déformation est homogène. C'est à partir de ces bandes de glissement qu'une fissure peut apparaître soit le long d'une bande, soit le long du joint de grain.

C. Stades I et II des fissures de fatigue

Densité de dislocations. Source : Fatigue of metallic materials, M. Klesnil, P. Lukas ; Fatigue of Materials, S. Suresh

Bandes de glissement persistantes. Source : Fatigue of metallic materials, M. Klesnil, P. Lukas ; Fatigue of Materials, S. Suresh

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Nous sommes à présent en présence d'une fissure de fatigue qui est observable en surface grâce à un microscope électronique à balayage.Intéressons-nous à l'évolution de cette fissure au cours du chargement de fatigue en fonction du type de sollicitation.

1. Les deux stades

Intéressons nous maintenant à la propagation de cette petite fissure jusqu'à la ruine du matériau. On peut distinguer 2 stades de cette propagation :

Stade 1 : les premières fissures s'amorcent généralement dans des plans ou la contrainte de cisaillement est importante car c'est elle qui gouverne la mobilité des dislocations. Les fissures de stade 1 sont aussi fortement influencées par la microstructure : orientation cristallographique et joints de grains.

Stade 2 : la fissure devient grande devant la microstructure et se propage plutôt perpendiculairement à la direction de la plus grande contrainte principale. Sa propagation est stable et dépend de moins en moins de la microstructure.

2. Méthodes d'observation de la progression de fissure

Les deux stades de progression d'une fissure de fatigue

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Quelques mots sur les expériences permettant d'observer la propagation des fissures de fatigue à la surface d'un matériau (ici l'acier C 35) Les figures suivantes illustrent la microstructure de l'acier, la préparation des échantillons et indiquent les caractéristiques mécaniques (limite d'élasticité, charge à rupture et limites d'endurance en traction et torsion). La forme des éprouvettes et les conditions expérimentales sont décrites.

Méthode d'observation de la progression de la fissure

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34


La technique des répliques consiste à faire une empreinte de la surface à observer avec une résine souple (Palin-Luc et al. 2002, Experimental Techniques, Vol. 33). Ces empreintes sont ensuite métallisées pour être observées à l'aide d'un microscope électronique à balayage.

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Voici un exemple. Après avoir interrompu l'essai, 3 répliques successives sont prises. L'observation au MEB permet de déterminer la longueur de fissure après chaque interruption.

L'analyse des répliques permet de remonter l'historique de la fissure et d'observer toute la surface (cas d'amorçage de plusieurs fissures)

Technique des répliques

Répliques

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Cette technique permet d'obtenir une résolution de l'ordre de 1 m . Il est donc possible de suivre de très petites fissures, mais il n'est pas possible d'observer des bandes de glissement persistantes.

Evolution de la fissuration pour un essai de traction R = -1.

Visualisation d'une fissure

A chaque arrêt : 3 répliques

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On peut ainsi représenter l'évolution de la fissure en fonction du nombre de cycles.

Voici les résultats obtenus pour un essai de torsion R = -1 Pour le niveau de chargement appliqué (175 MPa), la rupture a été observée au

Evolution de la fissure en fonction du nombre de cycles

Evolution de la fissuration

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bout de 9 105 cycles.

Représentation de l'avancée de fissure en fonction du nombre de cycles. Il est important de remarquer que contrairement à la traction ou la fissure se propage principalement selon le mode I, la fissure de torsion se propage dans un premier temps selon le mode II avant de bifurquer en mode I.

Evolution de la fissuration pour un essai de torsion R=-1

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* *

*

Nous venons de parcourir la durée de vie en fatigue d'une éprouvette métallique depuis le mouvement des dislocations jusqu'à la rupture finale. Avant d'aller plus loin, il est temps d'effectuer une petite synthèse de ces observations tout en gardant à l'esprit que ce qui vient d'être décrit est un processus assez général pour de nombreux métaux mais qu'il est sage de ne pas appliquer directement ces schémas sans une étude approfondie du matériau étudié ainsi que des sollicitations en service.

Avancée de fissure en fonction du cycle

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D. Amorçage

1. Comment définir l'amorçage d'une fissure ?

Avant de terminer ce chapitre sur l'observation expérimentale des mécanismes d'endommagement par fatigue dans les métaux, il est souhaitable d'aborder la question de la définition de la phase d'amorçage car de nombreuses approches nécessitent une définition du domaine d'amorçage. Quand peut on considérer que l'amorçage est terminé ? Est-ce la plus petite fissure observable ? Cette définition dépend fortement du moyen d'observation ! Est-ce lorsqu'une fissure intragranulaire arrive à franchir un joint de grain pour passer dans les grains voisins ? Cette définition nécessite de connaître la microstructure. Est-ce la longueur à partir de laquelle une fissure en mode II bifurque en mode I ? Cette définition dépend du chargement comme nous venons de le voir. Il est délicat de définir cette notion d'amorçage et il existe probablement autant de définitions que d'experts en fatigue ! Il faut donc choisir une définition en fonction du matériau et surtout du problème à traiter (durée de vie et type de chargement).

2. Application au cas de l'acier C35

Voici une définition possible de l'amorçage dans le cas de l'acier C 35. Après analyse de la microstructure de cet acier, on peut considérer que les grains de perlite constituent une barrière difficile à franchir pour les petites fissures amorcées dans la ferrite. Il parait donc raisonnable de considérer que lorsqu'une fissure arrive

Test de torsion

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à casser les grains de perlite l'entourant, elle arrivera à casser les autres et pourra se propager jusqu'à rupture. Nous proposons donc de définir dans ce cas l'amorçage par une longueur de fissure en relation avec la microstructure. Cette longueur est de 60 microns dans ce matériau.

Le choix d'une longueur à l'amorçage reliée à la microstructure permet de prendre en compte la taille de grain du matériau qui est un facteur important vis-à-vis de la fatigue mais présente aussi l'inconvénient de ne pas prendre en compte le paramètre mécanique car en torsion, la propagation en mode II se prolonge bien au-delà de 60 microns.

Définition de l'amorçage

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Dans la suite de ce cours, il va être question de calcul de durée de vie. Après ce que nous venons de constater d'un point de vue expérimental, il semble nécessaire de séparer la durée de vie en une phase d'amorçage et une phase de propagation. NR=Na+Np

Autre définition de l'amorçage

Comparaison traction - torsion

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Cette figure représente les courbes de fatigue de l'acier C35 pour le cas de la traction et de la torsion. Nous avons représenté en trait plein la courbe moyenne à rupture et en trait interrompu la courbe moyenne à l'amorçage en utilisant la définition proposée pour ce matériau. On peut constater que les deux courbes sont très proches dans le domaine des grandes durées de vie alors qu'elles s'éloignent dans le domaine des petites durée de vie. Cela vient démontrer une proposition du début de chapitre : l'amorçage est prépondérant dans la durée de vie pour les grandes durées de vie alors que la propagation joue un rôle d'autant plus important que l'on tend vers les faibles durée de vie.Nous allons étudier dans les chapitres suivants les outils utiles à l'ingénieur pour décrire l'amorçage et la propagation des fissures de fatigue par le calcul, afin d'estimer la durée de vie des pièces mécaniques sous chargements cycliques.

Amorçage et propagation

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Distinction entre amorçage et propagation sur une courbe d'endurance

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III - Terminologie etnotions de base

III

Les différents types de chargement 57

La courbe de Wöhler ou courbe S - N 66

Rappels de probabilité 68

Influence de la contrainte moyenne 72

Fatigue oligocyclique 75

Exercices 91

Cette partie présente quelques notions de base couramment utilisées en fatigue des matériaux et des structures. La connaissance des termes présentés permettra de suivre aisément la suite de la formation et une bonne compréhension de toute la littérature sur ce très vaste domaine.

A. Les différents types de chargement

1. Notion de chargement cyclique

La très grande majorité des systèmes mécaniques et des structures est chargée par des efforts (forces ou résultantes, moments, déplacements) variables dans le temps. Ceux-ci créent dans les pièces des contraintes et des déformations elles-mêmes variables dans le temps de façon cyclique (et pas seulement strictement monotone comme lors d'un essai classique de traction ou compression quasi-statique). On parle alors de chargement de fatigue.

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La figure ci-dessus montre quelques exemples de chargements typiques. On voit qu'ils peuvent présenter une grande variété.Si les efforts ou les moments appliqués aux pièces mécaniques le sont suivant différentes directions, on parle alors de fatigue multixiale. La figure ci-dessous montre un exemple de ce type de chargement où l'on distingue 3 composantes d'efforts et un composante de moment.

Notion de chargement cyclique. Source : SONSINI C.M., Fatigue testing under variable amplitude loading, Int. J. Fatigue, vol 29, pp 1080-1089, 2007

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Terminologie et notions de base

Un chargement est dit d'amplitude constante quand il est simplement sinusoïdal (ou triangulaire lors d'un test en laboratoire) avec une valeur moyenne et une amplitude constantes dans le temps. Sinon, le chargement est qualifié d'amplitude variable. Le chargement de gauche illustré ici est d'amplitude constante. Celui de droite est déjà d'amplitude variable (même si on constate visuellement qu'il varie peu sur un cycle de période T).

Exemple de chargement multiaxial d'amplitude variable

Amplitude constante ou amplitude variable

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Dans le cadre de ce cours, nous nous limiterons aux chargements sinusoïdaux (ou triangulaire) dits d'amplitude constante.

2. Trajets de chargement, états de contrainte

Il ne faut pas confondre les chargements (efforts, moments, déplacements) [« load » en anglais] et les contraintes [« stress » en anglais]. Le chargement appliqué à une structure (ou pièce) est dit multiaxial quand les forces (ou moments) appliqués sont de directions différentes (non parallèles). L'état de contraintes est dit multiaxial quand il y a au moins 2 contraintes principales non nulles. Il en résulte qu'à un chargement multiaxial, correspond forcément un état de contrainte multiaxial. Par contre, un chargement uniaxial n'entraîne pas systématiquement un état de contrainte uniaxial (rôle de la géométrie de la pièce et des concentrations de contrainte qui en résultent)

RemarqueL'état de contraintes est un concept local ; il concerne un petit élément de volume élémentaire dv. Le chargement est un concept global à l'échelle de toute la pièce ou de la structure étudiée.

Les différents états de contrainteEtat de contrainte UNIAXIAL : une seule contrainte principale est non nulle au cours de tout un cycle de chargement

Etat de contraintes MULTIAXIAL : 2 ou 3 contraintes sont non nulles

Etat de contrainte uniaxial

Etat de contrainte multiaxial

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Base fixe attachée à la pièce

Voici un exemple d'essai de fatigue biaxiale sur un bras de suspension de voiture.

Film Renault à insérer Le trajet de chargement représente l'évolution de l'extrémité du vecteur de coordonnées S1(t),S2(t),S3(t) dans le repère principal des contraintes (où Si désigne les contraintes principales i=1 à 3). Si le repère principal des contraintes est fixe par rapport à la matière (la pièce) ET que les contraintes principales sont proportionnelles deux à deux à chaque instant (S1(t)=kS2(t)=qS3(t) où k et q sont des constantes réelles) sur la période de chargement, le trajet est dit proportionnel. Si au moins l'une des deux conditions précédente n'est pas remplie, le trajet de chargement est dit non proportionnel.Les deux figures suivantes donnent l'exemple d'un chargement proportionnel et d'un chargement non proportionnel.

Base fixe

Essai de fatigue biaxiale sur bras de suspension de voiture et sur pièce réelle

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L'animation présentée ci-dessous représente ce qui est obtenu dans le cas d'un chargement proportionnelCommentaire: nous ne considérons que des chargements périodiques, le trajet de chargement est donc une courbe fermée.

Chargement proportionnel

Chargement non proportionnel

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En complément notons que le chargement illustré ici est proportionnel affine : c'est le cas si le trajet décrit par l'extrémité du vecteur ayant pour coordonnées les 3 contraintes principales est un segment de droite ne passant pas par l'origine du repère principal.Si toutes les contraintes principales sont à valeur moyenne nulle alors le chargement est dit proportionnel radial.Dans le cas d'un chargement non proportionnel, la courbe décrite n'est plus une droite, ce qui est illustré dans l'animation ci-dessous.

3. Rapport R et contrainte moyenne ; amplitude et étendue de contrainte

On appelle rapport de charge R (ou de contraintes) le ratio entre la contrainte minimale sur un cycle et la contrainte maximale. De même, le rapport de

Trajet de chargement non proportionnel

Trajet de chargement proportionnel

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déformation R est le ratio entre la déformation minimale sur un cycle et la déformation maximale sur ce même cycle.

Nota: attention à ne pas confondre l'amplitude de contrainte amp (respectivement de déformation) et l'étendue de contrainte (respectivement de déformation)./2= amp

L'animation présente les différents rapports R possibles ainsi que la terminologie relative.

B. La courbe de Wöhler ou courbe S - N

1. Représentation de la courbe de Wöhler

La courbe de Wöhler ou courbe SN (Stress=Contrainte, N=Nbre de cycles) représente l'amplitude de contrainte (ou la contrainte maximale) en fonction du nombre de cycles supportables (échelle logarithmique) par le matériau ou la pièce jusqu'à un critère de ruine donné (souvent la rupture en deux parties de l'éprouvette ou de la pièce si rien n'est précisé). Cette courbe n'a de sens que pour une contrainte moyenne fixée ou bien pour un rapport Rs donné. Nota: cette courbe n'a de sens que sous chargement d'amplitude constante. Pour les aciers on observe dans de nombreux cas une tendance asymptotique pour les durées supérieures à environ 5.106 cycles. Le niveau de contrainte correspondant est appelé limite d'endurance. Ce concept est à manipuler avec précaution car depuis une quinzaine d'années des travaux de recherche ont montré que dans certains cas des ruptures par fatigue peuvent survenir après 108, 109 ou

Rapports R et terminologie relative

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1010 cycles. On parle alors de fatigue gigacyclique. Ce cours ne traitera pas de ce domaine et se limitera volontairement à la fatigue à grande durée de vie soit jusqu'à 107 cycles. Par ailleurs il est connu depuis très longtemps que la courbe de Wöhler n'a pas d'asymptote pour les alliages d'aluminium.

2. Les 3 domaines de la courbe de Wöhler

La courbe de Wöhler est constituée de trois domaines de durées de vie : - le domaine de la fatigue oligocyclique correspond aux durées de vie courtes (moins d'environ 104 à 105 cycles): la matériau est cyclé dans son domaine plastique. Des déformations plastiques macroscopiques apparaissent à chaque cycle de chargement - le domaine de l'endurance limitée: c'est un domaine intermédaire entre la fatigue oligocyclique et le domaine des grandes durées de vie. - le domaine des grandes durées de vie: au delà de 106 à 107 cycles selon les métaux, où le matériau est cyclé dans son domaine d'élasticité macroscopique. Aucune déformation plastique macroscopique cyclique n'est mesurée.

3. Dispersion des résultats d'essais

Il est primordial en fatigue de tenir compte de la dispersion des résultats d'essais. Toute choses égales par ailleurs (conditions d'essais, fabrication de l'éprouvette, précautions expérimentales), sur un lot d'éprouvettes identiques issues de la même pièce brute, on observe autant de durées de vie différentes qu'il y a d'éprouvettes. Parfois la dispersion en durée de vie pour un même niveau de contrainte atteint un facteur 5 voire 10 dans des cas extrêmes. A noter que la dispersion est diminue quand le niveau de contrainte augmente. Les résultats d'essais de fatigue oligocyclique sont moins dispersés que ceux dans le domaine des grandes durée de vie (à plus faible niveau de contrainte).

Courbe de Wöhler

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On représente donc les courbes de Wöhler pour une probabilité de survie Ps donnée. Si rien n'est précisé c'est généralement la courbe pour une probabilité de survie de 0,5 (50% des éprouvettes, ou des pièces, se rompent ou se fissurent avant la durée de vie correspondante sur la courbe!)

4. Modèles mathématiques de la courbe de Wöhler

A titre d'information ce transparent présente quelques modèles analytiques de courbes de Wöhler (ou courbe SN). Ceux encadrés en rouge sont les plus utilisés industriellement: S désigne la contrainte (amplitude ou contrainte maximale selon le choix de l'utilisateur du modèle) a et b sont des constantes à identifier d'après un ensemble de résultats d'essais. Wöhler et Basquin ne considèrent pas d'asymptote Bastenaire considère qu'une asymptote (E) existe.

C. Rappels de probabilité

1. Origine de la dispersion en fatigue

Une courbe de Wöhler n'est connue expérimentalement que jusqu'à un nombre de cycles donné (appelé « censure des essais ») car il faut bien que les essais soient faits en un temps limités. Il est maintenant admis que pour les métaux (cadre de ce cours), la résistance en fatigue (amplitude de contrainte) pour une durée de vie donnée peut être décrite par une loi normale (au gaussienne) quel que soit le domaine de durée de vie. Par contre, la durée de vie suit une loi log-normale en endurance limitée et l'inverse de la durée de vie (1/N) suit une loi log-normale pour les grandes durées de vie.

Modèles de courbe de Wöhler ou courbe S-N (Wöhler curve, S-N curve)

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ANIMATION

2. Traitement statistique

rappels de probabilitéUne variable aléatoire X suit une loi normale si sa densité de probabilité est donnée par:

Probabilités et courbe de Wöhler

définition de la loi normale

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ANIMATION Une variable aléatoire X suit une loi Log-normale si la densité de probabilité de la variable Y est Gaussienne (ou Normale) en faisant le changement de variable Y=ln(X) :

ANIMATION En dehors de la fatigue oligocyclique, il est communément admis que la distribution de la résistance en fatigue pour une durée de vie donnée est Normale. Connaissant la courbe S-N médiane (Ps=0,50 i.e. Une pièce sur deux est défaillante!) on peut donc estimer la courbe S-N pour n'importe quelle probabilité de survie Ps si on connaît un estimateur fiable de l'écart-type. La courbe P-S-N s'obtient en translatant la courbe médiane (Ps=0,50) de Up écart-types, le facteur Up étant donné par les tables de la Loi Normale. Par exemple Up~3 pour Ps=10-3, Up=1 pour Ps=0,16. Dans l'aéronautique on utilise souvent pour dimensionner des structures la courbe S-N pour Ps=10-3.

définition de la loi log-normale

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D. Influence de la contrainte moyenne

Pour les métaux, il est connu expérimentalement qu'une contrainte normale de traction réduit l'amplitude de contrainte admissible par le matériau pour une durée de vie donnée. On parle de sensibilité à la contrainte moyenne. Plusieurs modèles empiriques illustrés ci-dessus on été proposés pour traduire cette sensibilité. Le plus conservatif (sécuritaire) est celui de Soderberg (modèle traduisant une dépendance linéaire entre la résistance en fatigue obtenue pour R=-1 (contrainte moyenne nulle) et la limite d'élasticité Re du matériau). Le plus courant est celui de Goodman (également linéaire mais en remplaçant Re par Rm, la résistance maximale en traction quasi-statique). Le plus utilisé dans l'industrie automobile est celui de Gerber (modèle quadratique).

1. Diagramme de Haigh

Courbe de Wöhler et probabilité ou courbe P-S-N

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Exemple : diagramme de Haigh de l'acier 30NCD16 trempé revenu (éprouvettes lisses)

2. Diagramme de Goodman

3. Diagramme de Ross

Pour état de contrainte uniaxial seulement ! effet de la contrainte normale moyenne de traction et de compression

Diagramme de Haigh

Diagramme de Haigh

60


Le diagramme de Haigh précédent ne décrit pas l'effet de contrainte moyenne négative (compression) sur l'amplitude de contrainte admissible pour une durée de vie donnée. La DVM (équivalent en Allemagne de la Société Française de Matériaux Métallurgie) recommande d'utiliser le diagramme suivant pour lequel il faut connaître : les valeurs de Rm en traction et en compression du matériau ses limites d'élasticité en traction et en compression ses résistances en fatigue pour R=-1 et R=0 pour la durée de vie considérée (dans le domaine des grandes durées de vie).

Diagramme allemand

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Effet d'une contrainte moyenne de cisaillement PAS d'effet si la contrainte de cisaillement MAXI ne dépasse pas environ 0,8 fois la limite d'élasticité en cisaillement du matériauSource : Davoli et al. Int. J. Fatigue, vol. 23, 2003

4. Indice de sensibilité à la contrainte moyenne

E. Fatigue oligocyclique

Comme nous l'avons défini dans le chapitre précédent, dans le domaine de la fatigue oligocyclique, les niveaux d'amplitude de contrainte sont généralement supérieurs à la limite d'élasticité, et l'éprouvette subit alors une déformation plastique dans sa masse à chaque cycle. Ceci conditionne les essais pratiqués qui sont différents de ceux correspondant à la fatigue endurance.L'intérêt d'étudier la fatigue oligocyclique est principalement que cela :

Permet de connaître les matériaux (caractéristiques, comportement). Permet de dimensionner des pièces dans certains cas.

1. Notions d'adaptation, d'accommodation et de déformation progressive

Avant de présenter les essais qui permettent de caractériser le matériau en fatigue oligocyclique, il est nécessaire d'introduire quelques notions décrivant les différents comportements des matériaux.

Influence d'une contrainte moyenne de cisaillement

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Le cas le plus connu est celui qui conduit à la ruine plastique lors d'un chargement monotone

Considérons qu'un chargement périodique est appliqué à une structure et ne conduit pas immédiatement à la ruine plastique. Quatre cas sont alors observés :Le premier cas possible est le comportement élastique. C'est typiquement ce que l'on observe lors d'un essai de fatigue à grande durée de vie sur éprouvettes lisses.

Le second cas possible correspond au phénomène d'adaptation. Lors du premier cycle de chargement, la limite d'élasticité du matériau est dépassée et une déformation plastique est observée. Cependant, après un certain nombre de cycles de chargement, le comportement du matériau redevient élastique.

Ruine plastique

Comportement élastique

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Si, lors des cycles de chargement successifs, le comportement du matériau reste plastique tout en décrivant une courbe d'hystérésis qui se stabilise, on parle d'accommodation.

Un dernier cas peut être observé, celui de la déformation progressive ou rochet pour lequel la déformation du matériau augmente à chaque cycle de chargement, ce qui conduit à une ruine de la structure.

Accomodation

Adaptation

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2. Méthodes expérimentales en fatigue oligocyclique

Le principe général des essais consiste à imposer une sollicitation qui provoque une déformation plastique cyclique dans la pièce et à déterminer le nombre de cycles que pourra supporter l'éprouvette.Le film qui suit donne un exemple d'expérience menée en laboratoire.

Machines d'essais Les essais sont effectués à l'aide de machines servo-hydrauliques de traction

- compression, flexion ou torsion alternée. Les essais sont généralement limités à 105 cycles, car les durées de vie dans

ce domaine sont faibles. La fréquence de sollicitation est faible (quelques Hz) de façon à ne pas

échauffer l'échantillon, ce qui pourrait modifier ses propriétés.

Déformation progressive

Fatigue oligocyclique

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Pour éviter le phénomène de rochet et faciliter la conduite des essais, les essais sont menés en déformation imposée, ce qui signifie que la consigne de déplacement du vérin est commandée par un extensomètre lié à l'éprouvette. Il est fréquent que l'on impose une vitesse de déformation constante en utilisant un cycle triangulaire.EprouvettesLes éprouvettes pour essais oligocycliques sont lisses avec une partie réduite pour l'amorçage de fissure et des têtes massives pour ne pas avoir de déformations. On procède souvent à un polissage soigné de la surface de la partie utile. Elles ont généralement une section circulaire, même si pour des applications particulières, on soit amené à utiliser des éprouvettes de section carrée ou rectangulaire. Suivant le type d'extensométrie que l'on utilisera, on choisira des éprouvettes à profil torique ou à partie utile cylindrique.

Différents types d'éprouvettes de fatigue oligocyclique

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AmarragePour éviter le flambement lorsque le chargement est en compression et pour supprimer les jeux, il est nécessaire d'avoir un très bon alignement des têtes de l'éprouvette. Plusieurs méthodes sont employées :

Métal de Wood Amarrages filetés

Eprouvette tubulaire pour essai de torsion

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Extensométrie et mesure des déplacementsLà encore, plusieurs possibilités existent

mesure du déplacement de la traverse de la machine d'essai grâce au capteur de déplacement intégré dans la machine : l'inconvénient de cette méthode est que l'on mesure également la déformation du système d'amarrage (cellule de charge, mors)

mesure directement sur l'éprouvette : exemple : éprouvette à collerettes À l'aide d'un extensomètre :

avec contact : fixation sur l'éprouvette à l'aide de couteaux ; sans contact : mesure optique

L'extensométrie peut être axiale ou diamétrale.

3. Comportement cyclique des matériaux

Ecrouissage cycliqueQuand une éprouvette est soumise à une déformation cyclique imposée, on constate que les contraintes maximales et minimales ne restent que rarement constantes pendant tout l'essai.

Exemple de montage avec métal de Wood

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On distingue généralement trois stades : un stade transitoire où les contraintes varient très sensiblement ; dans

l'exemple présenté dans la figure 8, on observe que les contraintes augmentent fortement au cours des 10 voire 100 premiers cycles et ceci d'autant plus que l'amplitude de déformation imposée est importante. Dans le cas d'autres matériaux, on peut observer une décroissance de la contrainte à chaque cycle de chargement.

un stade de stabilisation, au cours duquel le niveau de l'amplitude de contrainte ne varie pas d'un cycle à l'autre.

un dernier stade au cours duquel on observe une chute des contraintes souvent associée à l'apparition de fissures.

Dans le cas où le matériau se durcit, on parle de consolidation.Lorsque le matériau s'adoucit, il s'agit de déconsolidation ou d'adoucissement.La figure 10 montre la réponse d'un matériau qui se consolide (qui s'adoucit) dans un essai à déformation imposée. La réponse est différente si l'essai est mené à contrainte imposée.(fig 11)

Evolution de l'amplitude de contrainte en fonction du nombre de cycles appliqué lors d'un essai de fatigue oligocyclique

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Réponse d'un matériau à une sollicitation de fatigue oligocyclique à déformation imposée

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Voici représentées schématiquement les courbes d'évolution de l'amplitude de contrainte en fonction du nombre de cycles appliqués

Réponse d'un matériau à une sollicitation de fatigue oligocyclique à contrainte imposée

71


Courbe contrainte/déformationOutre les courbes de durcissement ou d'adoucissement cyclique, la réponse du matériau peut être caractérisée par l'évolution des boucles d'hystérésis contrainte-déformation au cours du cyclage. Pour cela, on enregistre l'effort ou la contrainte en fonction de la déformation. On obtient des boucles qui évoluent et se stabilisent dans le cas où un régime stable existe.La courbe montrée dans la figure 3 est obtenue pour le même matériau (acier inoxydable 316) que pour la figure précédente ; on voit bien que la contrainte évolue fortement au cours des premiers cycles.

Courbes de durcissement ou adoucissement cycliques schématiques

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Les courbes suivantes montrent de façon schématique comment évoluent les boucles d'hystérésis quand il y a consolidation (adoucissement).

courbes contrainte - déformation

73


Les étendues de variation de la contrainte , et des déformations totale t , plastique p et élastique el sont repérées sur la figure suivante. On peut écrire :

t=el p=E

p

Boucles d'hystérésis contrainte - déformation

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III.3.- Relation contrainte - déformationL'enregistrement des courbes précédentes permet de déterminer la courbe d'écrouissage cyclique. Cette courbe est l'équivalent d'une courbe de traction monotone qui serait déterminée à l'aide d'un chargement cyclique, mais cette courbe ne peut être déterminée avec une seule éprouvette.On effectue n essais avec n éprouvettes. Pour chaque éprouvette, on impose une déformation donnée et on mesure la contrainte, une fois stabilisée, on obtient des courbes comme sur la figure suivante.

Boucle d'hystérésis stabilisée

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On utilise alors les courbes d'hystérésis tracées au cycle stabilisé pour chaque niveau de déformation.

Courbe de consolidation cyclique obtenue àpar la méthode à une éprouvette par niveau pour un matériau durcissant cycliquement

Différentes méthodes d'obtention de la courbe d'écrouissage cyclique

76


Plusieurs méthodes permettent de la construire. En pratique, on prend 1 ou 2 éprouvettes :

à partir d'une éprouvette en commençant par une amplitude de déformation faible, en attendant la stabilisation, puis en choisissant un niveau de déformation supérieur

par des sollicitations par blocs d'amplitudes de déformations linéairement croissants puis décroissants.

Dépouillement des résultats :Utilisation d'une loi puissance (par analogie avec une loi de courbe de traction classique) .Sur un diagramme logarithmique, on reporte la contrainte rationnelle en fonction de la déformation vraie .

4. Loi de Manson -Coffin

Courbes de résistance à la fatigue (courbes de Manson-Coffin)Ce sont les courbes qui indiquent la déformation en fonction du nombre de cycles à rupture (comme les courbes de WÖHLER le sont à contrainte donnée).* Loi de Basquin :cette loi relit l'amplitude de déformation élastique au nombre de cycles à rupture à l'aide de la relation suivante :el

2= f

E 2N R b

* Loi de Manson-Coffin :cette loi relit l'amplitude de déformation plastique au nombre de cycles à rupture ; elle s'écrit :

courbe d'écrouissage cyclique pour l'acier 316

77


p

2= f

' 2N R c

* Loi totale :t2

=el

2p

2

F. Exercices

Loi de Manson coffin

78


IV - Calcul de résistanceà l'amorçage desfissures de fatigue

IV

En fatigue oligocyclique 93

En fatigue à grande durée de vie 95

Exercices 119

A. En fatigue oligocyclique

1. Méthodes de prévision des courbes de Manson - Coffin

Ces méthodes consistent à tracer les courbes de Manson-Coffin d'un matériau donné à l'aide de caractéristiques déterminées à partir d'un essai de traction monotone.* Méthode des 4 points :Les droites élastiques et plastiques sont déterminées à l'aide des coordonnées de 4 pointsLa droite élastique est définie par les couples de points :

N R=14 ;

el= f

E

N R=105 ;el=0,9

u

EPour la droite plastique, on considère les points :

N R=10 ; p=

14D 0,75

N R=104 ;

p=0,01321,91

el

Ces coefficients proviennent d'essais monotones.D est la ductibilité en tractionu la contrainte ultime

79

* Méthode des pentes universelles :Dans ce cas, les droites élastique et plastique sont tracées en considérant que quel que soit le matériau, les pentes de ces 2 droites restent toujours les mêmesPour la droite élastique :pente b = - 0,12

N R=1 ; el=3,5

u

EPour la droite plastique :pente c=-0,6

N R=1 ; p=D0,6

Méthode des 4 points

Méthode des 4 points

80

Calcul de résistance à l'amorçage des fissures de fatigue

2. Influence de la contrainte moyenne

3. Influence de la triaxialité mécanique

B. En fatigue à grande durée de vie

1. Notion de critère de fatigue uniaxiale et multiaxiale

Pourquoi ce cours ?Si, sur une pièce à dimensionner en fatigue, à l'endroit considéré l'état de contraintes est UNIAXIAL « il suffit » de comparer les valeurs du couple (amplitude de contrainte, contrainte moyenne) (valeurs locales) aux grandeurs expérimentales supportables par le matériau (voir courbes de Wöhler ou de Manson Coffin). Si l'état de contraintes est MULTIAXIAL on ne peut pas considérer séparément chaque contrainte principale, il faut utiliser un critère de fatigue multiaxial. C'est l'objet de cette partie du cours!

Définition : Qu'est-ce qu'un critère de fatigue ?C'est un formalisme mathématique faisant intervenir des paramètres influents sur l'amorçage d'une microfissure de fatigue.

Remarqueun critère de fatigue permet de répondre à la question suivante : Est-ce que la pièce se fissurera sous le niveau de contraintes suivant avant N cycles (107, par exemple) ?Un critère de fatigue ne répond jamais à la question : quelle est la durée de vie ?

Un critère de fatigue est une fonction mathématique de une ou plusieurs variables

Notion de critère de fatigue uniaxiale et multiaxiale

81


définissant un domaine de survie (et un domaine de ruine) représentatif du comportement du matériau et de la structure considérée. Ce formalisme doit être intrinsèque: c'est-à-dire que le résultat final ne doit pas dépendre du repère dans lequel les calculs sont effectués. Le choix des variables pertinentes dépend des auteurs et du type d'approche utilisée (énergie, plan critique, invariants, etc.)

Ce cours présente les bases de quelques critères de fatigue dans le contexte défini ci-après.

Matériaux métalliques Chargements : sollicitations d'amplitude constante (ou peu variable) fréquence inférieure à 150 Hz Environnement : air, température ambiante Probabilité de fissuration = 0,5 Pas d'effet d'échelle Pas de propagation de fissure (pas de "Tolérance à l'endommagement")

Typiquement on considère que la fréquence de chargement a généralement une influence négligeable sur la tenue en fatigue des métaux dans le domaine des grandes durées de vie si elle est inférieure à environ 150 à 200 Hz. Ce cours est présenté en considérant que les propriétés des matériaux en fatigue correspondent à des probabilités de survie (amorçage d'une fissure technique typique de 1mm de long) de 0,5. La même méthodologie peut être appliquée pour d'autres probabilités de survie.

2. Présentation des familles de critères

Variables Vi ? Quel paramètre d'endommagement choisir ?Différentes approches existent:

empiriques

Notion de critère de fatigue uniaxiale et multiaxiale

82


utilisant des invariants de type plan critique énergétiques

Les contraintes considérées peuvent être de plusieurs types : normale à un plan : moyenne, alternée, maximale. amplitude de cisaillement sur un plan : octaédral , ou autre plan matériel Invariants du tenseur des contraintes (voir définition ci-dessous)

Des approches énergétiques peuvent être utilisées : élastique, plastique, totale...

3. Critère de fatigue uniaxiale : diagramme de Haigh

Diagramme de Haigh (cf. 'Diagramme de Haigh' p 60)

Ce critère ne s'applique qu'aux états de contrainte uniaxiaux !Il s'agit d'un critère empirique pour prendre en compte l'effet de la contrainte normale moyenne de tractionPour un état de contrainte uniaxial (traction, compression, flexion) l'amplitude de contrainte admissible pour une durée de vie donnée (107 cycles par exemple) décroît si la contrainte moyenne augmente. Ceci se traduit dans le diagramme de

Diagramme de Haigh

Invariants du tenseur de contraintes

83


Haigh par divers seuils: Gerber, Goodman, Soderberg. Dans l'industrie automobile, la parabole de Gerber est la plus utilisée. Dans le milieu aéronautique la droite de Goodman est souvent retenue. Enfin si on veut être très sécuritaire, la droite de Soderberg doit être

utilisée. A noter: ce diagramme ne fait pas de différence entre traction et compression (contrainte normale moyenne positive ou négative).Voici un exemple de diagramme de Haigh obtenu sur un acier 30NCD16 trempé revenu (éprouvettes lisses)

En Allemagne, la DVM (équivalent de la Société Française de Métallurgie et Matériaux) recommande d'utiliser le diagramme de Haigh suivant, où l'effet bénéfique d'une contrainte normale moyenne négative (compression) est bien pris en compte, jusqu'à un certain seuil bien entendu.

Diagramme de Haigh de l'acier 30NCD16 trempé revenu (éprouvettes lisses)

84


4. Critère empirique de fatigue multiaxiale : critère de Gough et Pollard

Pour des applications particulières, quelques critères empiriques de fatigue multiaxiale ont été proposés dans la littérature. Le critère de Gough et Pollard a été proposé pour des arbres de machine tournantes chargées en flexion et torsion combinées. Il peut aussi être utilisé sous un chargement de traction et torsion combinées. Ce critère s'illustre dans un plan et représente sous le quart d'ellipse le domaine d'amplitudes de contraintes normale (flexion) et de cisaillement (torsion) admissibles pour la durée de vie considérée (par exemple 107 cycles) NB: une variante de ce critère existe permettant de distinguer les métaux fragiles et ceux ductiles. Le seuil n'est plus un quadrant d'ellipse mais seulement un arc d'ellipse.

Effet de la contrainte normale moyenne de traction et de compression

85


Adapté pour traction et torsion combinées ou flexion et torsion combinéesExemple : diagramme de Gough et Pollard de l'acier 30NCD16 trempé revenu (éprouvettes lisses)

5. Critère de fatigue multiaxiale : critère de Crossland

Le critère de Crossland est un critère de type invariant.

Diagramme de Gough et Pollard

Diagramme de Gough et Pollard de l'acier 30NCD16 trempé revenu (éprouvettes lisses)

86


Crossland suppose que l'amorçage d'une fissure de fatigue dans un métal est fortement influencé par deux grandeurs mécaniques:

la contrainte hydrostatique (sa valeur maximale sur un cycle de chargement)

l'amplitude de la contrainte de cisaillement sur le plan octaédral.Hypothèses :

Pas d'influence de la cission moyenne Effet important de la contrainte hydrostatique

a et b sont des constantes matériau

oct , a : plus grande amplitude de cisaillement octaédral

H ,max : contrainte hydrostatique maximale sur le cycleCes deux variables sont définies de la façon suivante :

i t = contraintes principales

Critère de Crossland

Critère de Crossland

Critère de Crossland : définition du plan octaédral

87


ou bien

NB : pour un chargement proportionnel, l'amplitude de oct t peut se calculer en prenantl'amplitude de chaque contrainte principale dans l'équation ci-dessus.On notera que la contrainte de cisaillement sur le plan octaédral est proportionnelle à la racine carré du second invariant du tenseur déviateur des contraintes. Aussi si le repère principal des contraintes n'est pas fixe par rapport à la matière, l'amplitude de cette grandeur n'est pas définie de façon intrinsèque!Pour éviter tout problème de calcul une variante intrinsèque du critère de Crossland a été proposée. L'amplitude du cisaillement octaédral est alors définie par rapport à la variation (ou l'étendue), sur un cycle de chargement, du second invariant du tenseur des contraintes.

Le critère s'écrit alors :

Le niveau de sécurité vis à vis du risque d'amorçage d'une fissure de fatigue avant la durée de vie considérée (utilisée pour identifier le seuil du critère) s'apprécie généralement en calculant un coefficient de sécurité défini comme illustré sur la figure ci-dessous.Identification du seuil du critère pour une durée de vie donnée (107 par exemple) :Cette identification se fait à l'aide de 2 valeurs expérimentales de la résistance en fatigue du matériau considéré pour la durée de vie étudiée. On utilise souvent les valeurs en torsion et en traction ou flexion :

Torsion (R=-1) : To Traction (R=-1) : Tr ou Flexion (R=-1) : FI ou 2 autres résultats d'essais...

Variante intrinsèque

Titre ?

Critère de Corssland

88


6. Critère de fatigue multiaxiale : critère de Dang Van

Le critère de Dang Van est un critère de type plan critiqueC'est le premier critère basé sur un changement d'échelle ''méso / macro'' Hypothèses :

Adaptation élastique du matériau : symétrisation de la cission Fissuration causée par une microplastification des grains, influencée par la

Identification du seuil du critère de Crossland

Diagramme de Crossland et définition du coefficient de sécurité

89


contrainte hydrostatique Pas d'amorçage de fissure de fatigue à l'échelle mésoscopique si les

contraintes à cette échelle, dans l'état adapté, ne violent pas le critère de plasticité mésoscopique.

Explications :Changement d'échelle selon Hill et Mandel :

Hyp : macroscopiquement le matériau reste élastique en fatigue à grand nombre de cycles, la matrice impose sa déformation aux quelques grains plastifiés

Hyp : grain et matrice ont même tenseur d'élasticité :

Hypothèses du critère de Dang Van

Macroscopiquement, le matériau reste élastique

Même tenseur d'élasticité

x=Ax :

Ax :Tenseur de localisationdes contraintes

:Contraintesrésiduelleslocalesmésoscopiques

L=l

90


donc égalité des contraintes hydrostatiques "macro et méso" :

Hyp : adaptation élastique du cristal (grain), supposé suivre un comportement élastoplastique à écrouissage isotrope linéaire : symétrisation de la cission mésoscopique - Fissuration causée par une microplastification des grains, influencée par la contrainte hydrostatique

a et b sont des constantes matériau ' n , t : vecteur cisaillement mésoscopique dans l'état adapté sur le plan matériel (facette) de normale

H t =H t : contrainte hydrostatique mésoscopique (= celle macroscopique)Etat adapté :

donc :

Plus petit cercle circonscrit au trajet de l'extrémité de

Le centre de ce cercle permet d'estimer

Le schéma ci-dessous permet de visualiser les différences entre trajets méso et macro

Egalité des contraintes hydrostatiques

Titre ?

Critère de Dang Van

car p est undéviateur

'=*

' n , t =T n , t *n , t

T M ,n , t

*n=* .n

91


Avec des grandeurs macroscopiques uniquement

Pour un trajet RADIAL et des sollicitations sinusoidales (en phase)

Représentation du critère de Dang Van

Schématisation du critère de Dang Van

maxn

{maxt∈T

[∥ T an , t ∥aH t ]}b

maxn

{maxt∈T

[∥ T an , t ∥aH t ]}b

92


sont maximales en même temps

Alors le maxi de la somme est égal à la somme des deux maximums. MAIS PAS en général !Pour un trajet RADIAL et en état de contraintes planes (ici sans contrainte moyenne par exemple) :insérer équations T26

Donc :

Flexion et torsion

T a n , t etH t

T a t =∣TRESCAij , at ∣=12∣1a t −3at ∣

H t = 11t 22t 33t

3

t =11a 12a 012a 0 0

0 0 0sin t

T t =11a−22a

2 2

12a2 ∣sin t ∣etH t =

11a22a

3sin t

93


ATTENTION : les critères de CROSSLAND et de DANG VAN ne donnent pas des prévisions correctes pour des chargements multiaxiaux non proportionnels (déphasés). Pour les chargements non proportionnels il vaut mieux utiliser les critères de :

Morel (ENSMA, Poitiers), Papadopoulos (Ispra, Italie), LAMEFIP, etc... (plus d'une quarantaine dans la littérature)

7. Critère de fatigue multiaxiale : critère énergétique du LAMEFIP

Ce critère est un critère de type énergétique. Les hypothèses sont les suivantes

Diagramme de Dang Van "sur le plan critique"

94


Correction de triaxialité des contraintes :

avec :

Critère énergétique du LAMEFIP

Fonction empirique

95


Hypothèses : W f eqC i = travail fourni en C i équivalent à un état de contrainte uniaxial


Une version ponctuelle de ce critère s'énonce de la façon suivante :

S'identifie d'après une limite d'endurance uniaxiale : traction, flexion plane ou rotative (R=-1) sur éprouvettes "lisses".

Pour identifier il faut connaître les limites d'endurance (R=-1) en torsion et en flexion rotatives sur éprouvettes "lisses".Dans sa version volumique, le critère s'écrit :Quelle partie de Wf participe à l'endommagement ?CONVERTIR T32 EN ANIMATION

Fonction empirique

D'après une limite d'endurance uniaxiale

Fonction empirique

Hypothèse

Critère

96


Version volumique

Quelle partie de Wf participe à l'endommagement ?

97


Une contrainte seuil * existe sous la limite d'endurance usuelle D

de petits cycles d'amplitude inférieure à * ne créent pas d'endommagement mésoscopique

des cycles entre sigma * et sigma D participent à

l'endommagement sigma * dépend :

du matériau de sa microstructure

FAIRE LE T34 EN ANIMATION

Hypothèses

Volume d'influence V∗C i

Quelle partie de Wf participe à l'endommagement ?

Critère énergétique et volumique du LAMEFIP

Volume influençant l'amorçage de fissure

98


Ci est un maximum local de W f eqM

Hyp : Wf* ne dépend pas du chargement moyen Si état de contrainte UNIAXIAL

Hypothèse :

Alors :

Fonction empirique :

Avec :

Hypothèse : W f eqCi = travail fourni en Ci équivalent à un état de contrainte uniaxial Alors :

Volume d'influence

Version ponctuelle

Fonction empirique

Détail de la fonction empirique

fD uniax = f

D Trac= fD Flex.pl.= f

D Flex.rot

Wf *=2 σ−1

D Trac2−σ−1D Flex.rot.2

Eet f

D uniax=σ−1

D Flex.rot.2−σ−1D Trac2

E

99



CONVERTIR T37 EN ANIMATION

C. Exercices

Synoptique du critère

Wf eqC i=Wf C iF dT uniax , β F dT C i , β

f ,eq C i ≤ fD uniax

100


V - Calcul de résistanceà la propagation defissures en fatigue

V

Fissures longues 121

Fissures naturelles 177

A. Fissures longues

Dans le premier chapitre, nous avons vu que la durée de vie en fatigue se décompose suivant une phase d'amorçage et une phase de propagation. Toutefois, toute pièce mécanique est susceptible de contenir des défauts liés au matériau et/ou au procédé (inclusions, retassures, défauts de surface, etc.), ou encore des concentrations de contrainte qui constituent autant de sites potentiels pour l'amorçage d'une fissure. En pratique, il faut donc tenir compte non seulement de la possibilité d'amorçage d'une fissure, mais également de la croissance de défauts préexistants. Enfin, des défauts de type fissures peuvent également être générés en service par un endommagement autre que la fatigue (corrosion, choc, etc.) et se développer ensuite sous l'action de sollicitations cycliques.La prédiction des cinétiques de croissance nécessite de disposer de données quantitatives sur la résistance à la propagation du matériau utilisé, c'est-à-dire de lois de propagation permettant de prédire les vitesses de propagation de fissure en fonction de l'amplitude de chargement ou tout autre facteur susceptible d'influencer la propagation. Ces lois sont généralement déterminées à partir d'essais de laboratoire menés sur éprouvettes normalisées du type mécanique de la rupture.L'objectif de ce chapitre est donc d'examiner les mécanismes de propagation en se limitant aux conditions où la mécanique linéaire de la rupture reste applicable. L'influence de différents facteurs sur les vitesses de propagation, ainsi que leur prise en compte dans les lois de propagation utilisées dans les outils prédictifs seront ensuite examinées.

1. Caractérisation de la propagation

Les données nécessaires à l'évaluation ou à un calcul de durée de vie en fissuration sont établies expérimentalement. Un essai typique de propagation de fissure peut par exemple être conduit sur une tôle contenant une entaille centrale (Center Crack Tension) facilitant l'amorçage (Figure 0 1) et sollicitée en traction ondulée. Cette entaille consiste en un trou de petite dimension avec deux coupures latérales plus fines. Sous l'action du chargement cyclique, deux fissures se développent à partir de ces coupures latérales de façon quasiment symétrique. La longueur totale de fissure correspond à

101

la distance entre les deux extrémités des deux fissures (Figure 0 1). Cette longueur est conventionnellement notée « 2a ». Pour des géométries telles que la fissure ne comporte qu'une pointe (plaque avec entaille latérale par exemple), la longueur de fissure est notée « a ».Au cours de l'essai de fissuration, on suit l'évolution de la longueur de fissure 2a en fonction du nombre de cycles appliqués N, soit par un dispositif optique, soit par des techniques plus évoluées telles que la variation de potentiel électrique ou de complaisance de l'éprouvette qui permettent une automatisation de l'essai.

La représentation la plus simple des données ainsi collectées consiste à tracer un graphe donnant l'évolution de la longueur de fissure a en fonction du nombre de cycles appliqués N, comme le montre la Figure 0 2. Pour un chargement à amplitude constante, le taux de croissance de la fissure

Fissuration

Fig 0 1 : Eprouvette CCT pour essai de fissuration

102

Calcul de résistance à la propagation de fissures en fatigue

dépend de l'amplitude de contrainte appliquée.

On peut, à partir de ce type de graphe, déterminer en différents points de la propagation une vitesse de propagation, définie comme la tangente à la courbe a-f(N), notée da/dN et exprimée en m/cycle. La méthode la plus simple de détermination de cette vitesse est la méthode de la sécante. Elle consiste à assimiler la tangente à la sécante entre deux points proches (Figure 0 3):

dadN

≈ aN

=a i1−a i

N i1−N i Eq. 0 1. Cette valeur est affectée au point où la longueur de fissure correspond à la longueur moyenne a entre les deux points:

a=a ia i1

2 Eq. 0 2

Fig 0 2 : Evolution de la longueur de fissure en fonction du nombre de cycles appliqués

Fig 0 3 : Détermination de la vitesse de propagation da/dN

103


L'ASTM (American Society for Testing of Materials) préconise d'utiliser un polynôme de degré n. On peut alors tracer l'évolution de la vitesse de propagation da/dN en fonction de la longueur de fissure a (Figure 0 4 a).

L'ASTM recommande aussi pour déterminer la courbe da /dN= f K de conduire les essais sous K quasi constant.L'ASTM recommande que la variation de K entre le début et la fin d'un palier de chargement permettant d'obtenir un point de

la courbe da /dN= f K soit inférieur ou égal à 7%.On peut même sur certaines machines hydrauliques à faible fréquence asservir l'essai à K = Constante. Ceci suppose de recalculer en temps réel (à chaque cycle ou paquet de cycles) l'effort à appliquer en fonction de la longueur de la fissure.

La vitesse de propagation croît avec la longueur de fissure jusqu'à la rupture finale ou l'arrêt de l'essai. En outre, pour une longueur de fissure donnée, la vitesse est d'autant plus élevée que l'amplitude de contrainte appliquée est importante. Il s'ensuit entre autre que l'on peut décrire un même intervalle de variation de vitesse de propagation da/dN avec des valeurs différentes de a et . La même remarque pourrait s'appliquer si l'on faisait varier les dimensions de l'éprouvette utilisée pour obtenir les données. prévoir une animation La limite de ce type d'analyse des essais de fissuration apparaît donc clairement: les données sont fortement dépendantes des conditions d'essai (amplitude de contrainte, longueur de fissure initiale, géométrie,...). Il convient donc de rechercher une méthode d'analyse qui permette de s'affranchir de cette dépendance et de dégager ainsi des données propres au matériau. Dans les conditions de service, les fissures de fatigue se développent selon une direction qui est, à l'échelle macroscopique, perpendiculaire à l'axe de la contrainte principale. Dans de très nombreux cas, le chemin de fissuration sera donc perpendiculaire à la direction de traction qui tend à ouvrir la fissure. Ce type d'ouverture est appelé mode I. Les autres modes, appelés II et II sont toutefois envisageables.rappels : les 3 modes montrés dans la partie rupture

Fig 0 4 : Evolution de la vitesse de propagation da/dN en fonction a) de la longueur de fissure b) du facteur d'intensité de contrainte

104


La Figure 0 6 considère le cas d'une fissure de longueur 2a dans une plaque soumise en mode I à une contrainte à l'infini. La théorie de l'élasticité permet de décrire le champ de contrainte au voisinage de la pointe de fissure à l'aide des relations suivantes :

xx= a2 r

cos21−sin

2sin 3

2

yy= a2r

cos 2 1sin

2sin 3

2

xx= a2 r

cos2

sin 2

cos 32

voir cours MR pour de plus amples détails

Différents modes d'ouverture

105


On constate que lorsque r tend vers 0, les contraintes tendent vers l'infini. En réalité les contraintes en pointe de fissure seront finies du fait de l'activation de la plasticité en pointe de fissure, notamment pour les matériaux ductiles. Ces relations peuvent donc être écrites sous la forme:

ij=K

2 rf ij

avec: K= aK est appelé facteur d'intensité de contrainte et est exprimé en MPam .Dans le cas général, le facteur d'intensité de contrainte (FIC) s'exprime:K=S a

où représente un facteur de correction géométrique. Ce facteur est sans dimension, mais dépend généralement de la longueur de fissure et de dimensions caractéristiques du problème considéré.Il convient de ne pas confondre le facteur d'intensité de contrainte K avec le facteur de concentration de contrainte Kt. Si tous deux sont définis dans le cadre de la théorie de l'élasticité linéaire, le facteur Kt est sans dimension et ne dépend que de la géométrie. A ce titre, le facteur Kt est davantage à rapprocher du facteur de correction Par ailleurs, les fissures se développant dans des tôles minces seront généralement traversantes suivant l'épaisseur, avec un front de fissure rectiligne. Par contre, dans des pièces plus massives, les fissures ne sont pas nécessairement traversantes et le front de fissure possède une forme particulière. Une fissure traversante, avec un front de fissure rectiligne et perpendiculaire à la surface de la pièce, est traitée comme un problème unidimensionnel (1D) dans la mesure où la valeur de K est constante sur le front et qu'il n'a qu'une direction de propagation. C'est le type de fissure que l'on retrouve sur des tôles minces. Un tel traitement n'est plus possible pour une fissure partiellement traversante (fissure en coin par exemple). Dans ce cas, la valeur de K varie le long du front de fissure et le problème devient bidimensionnel (2D). Les fissures tridimensionnelles constituent un cas encore plus complexe.

a) Description de la propagation dans le cadre de la mécanique de la rupture

Paris et ses collaborateurs ont montré que les paramètres de la mécanique de la

Fig 0 6 : Plaque infinie contenant une fissure en mode I

106


rupture étaient à même de décrire la vitesse de propagation des fissures soumises à des chargements cycliques. Cette caractérisation est basée sur l'utilisation de l'étendue du facteur d'intensité de contrainte K définie comme suit:K=K max−K min Les valeurs de Kmax et Kmin sont les valeurs du FIC calculées au maximum et au minimum du cycle respectivement pour une même valeur de la longueur de fissure a:

K max=maxa et

K min=mina

Kmin est toujours pris positif ou nul, même si min0L'étendue du FIC est donc reliée à sa valeur maximale par l'intermédiaire du rapport de charge:

K= max−min a=max 1−R a=K max 1−R L'utilisation de ces concepts permet de surmonter les limitations évoquées ci-dessus. En effet, dès lors que les résultats d'un essai de fissuration sont analysés en calculant la valeur de K (fonction de et a) correspondant aux vitesses de propagation da/dN mesurées, toutes les données collectées pour différentes conditions d'essais se corrèlent (Figure 0 4b). C'est ce principe de similitude qui permet également de transférer les données établies sur éprouvettes aux calculs de structures. On admet en effet qu'une même valeur de K conduit à une même valeur de la vitesse de propagation da/dN, même pour des géométries très différentes.Différents régimes de propagation Le comportement en fissuration par fatigue d'un alliage dans des conditions de sollicitations données (rapport de charge, température, environnement, sens de prélèvement, etc.) sera caractérisé par une courbe tracée sur un diagramme bi-logarithmique. Sur ce diagramme, la vitesse de propagation mesurée par cycle da/dN est reportée en fonction de l'étendue du facteur d'intensité de contrainte K déterminée à partir de l'amplitude de chargement et de la longueur de fissure.

La courbe ainsi obtenue présente généralement une allure décrite sur la Figure 0 7 et constituée de 3 domaines caractéristiques, désignés I, II, et III:

Fig 0 7 : Représentation schématique des différents régimes de propagation

107


• le domaine I se caractérise par une rapide décroissance de la vitesse de propagation lorsque la valeur de K approche d'une valeur caractéristique. Cette

valeur est appelée seuil de propagation et notée K seuil l. En dessous de cette valeur, l'endommagement en pointe de fissure engendré par le chargement cyclique devient si faible qu'il est quasiment impossible de détecter expérimentalement une avancée de fissure. On considère donc que la fissure ne se

propage pas pour KK seuil . Ce domaine est en outre caractérisé par une forte influence de la microstructure, du rapport de charge et de l'environnement.• dans le domaine II, la courbe présente généralement une partie linéaire sur un assez large intervalle. Cette linéarité traduit une dépendance en loi puissance de la vitesse de propagation par rapport à l'amplitude de facteur d'intensité de contrainteK :dadN

=CK m

Cette loi puissance est communément appelée loi de Paris et le domaine de vitesses de propagation dans lequel cette relation est vérifiée est appelée domaine de Paris.Il convient de souligner que, même si des expressions similaires peuvent être obtenues de manière théorique, cette relation reste avant tout empirique. C et m sont donc des paramètres dépendant certes du matériau considéré, mais aussi des conditions d'essai (rapport de charge, environnement, ...);• le domaine III correspond à une accélération de la propagation juste avant la rupture brutale. Celle-ci intervient lorsque la valeur maximale du facteur d'intensité de contrainte au cours du cycle Kmax devient égale à une valeur critique caractéristique du matériau notée KC (ténacité). En pratique, ce dernier domaine ne revêt que peu d'importance dans la mesure où il ne concerne qu'une très faible partie de la durée de vie en propagation et que le dimensionnement a précisément pour objet d'éviter de faire opérer la structure dans ce domaine.Sur la Figure 0 7 sont également indiquées les vitesses de propagation exprimées sous la forme distance de propagation/temps pour un chargement à 50Hz, qui représente une fréquence relativement élevée pour les machines servo-hydrauliques couramment utilisées. Il apparaît que le temps nécessaire pour faire propager la fissure d'1 mm varie entre 1 minute pour la partie supérieure du domaine de Paris, et 1 semaine pour le voisinage du seuil. Par conséquent les données de propagation au voisinage du seuil sont extrêmement coûteuses à acquérir en terme de temps d'essai. Il convient donc, avant d'entamer la détermination de vitesses de propagation dans ce domaine, de s'interroger sur les conditions d'opération de la structure et la durée de vie visée.

2. Endommagement en pointe de fissure

La progression d'une fissure de fatigue résulte d'un processus d'endommagement en pointe de fissure, lui-même relié à l'amplitude de déformation plastique cyclique imposée au matériau dans cette région.Les relations Eq. VI-2 permettent de déterminer la contrainte normale en contraintes planes en un point situé à une distance r de la pointe d'une fissure sollicitée en mode I ( =0 ) à:

yy=K 1

2r Cette relation indique que la contrainte devient infinie lorsque la distance r à la pointe de fissure tend vers 0. En fait, pour un alliage ductile, cette valeur de la contrainte est supérieure à la limite d'élasticité du matériau RE. Il y a donc

108


déformation plastique au sein d'une zone en tête de la fissure au sein de laquelle on

a: yy=RE=

K1

2 ret appelée zone plastifiée.Irwin, en faisant l'hypothèse d'une zone plastifiée circulaire, définit alors pour un état de contrainte plane le rayon rp de la zone plastifiée par:

La taille et la forme de la zone plastifiée dépendent essentiellement de l'état de contrainte. Ainsi, Irwin propose pour un état de déformations planes :

soit une taille de zone plastifiée inférieure d'un facteur 3 à celle obtenue en contraintes planes pour une même valeur de KI. Ceci est observé expérimentalement entre le cœur et la surface d'une éprouvette épaisse.En réalité, la zone plastifiée possède une forme complexe. Les observation expérimentales (méthodes optiques, mesures de microdureté) comme les calculs par la méthode des éléments finis font apparaître deux « ailes de papillon » (ou haricots) symétriques par rapport au plan de fissuration. Cette forme est retrouvée analytiquement en introduisant un critère de plasticité dans la solution en pointe de fissure. Ainsi, l'application du critère de von Mises en pointe d'une fissure sollicitée en mode I conduit à:

(Eq. 0 12) en état de contrainte plane et(Eq. 0 13) en état de déformation plane. Les relations ci-dessus ne concernent que le cas d'une fissure soumise à une sollicitation monotone. Or, au cours d'un cycle de fatigue, après l'alternance et même lorsque la contrainte nominale reste positive, il se produit une déformation plastique de compression au voisinage de la pointe de fissure. Ce phénomène est illustré sur la Figure 0 8 dans l'hypothèse d'un matériau parfaitement plastique pour lequel la limite d'élasticité en compression est égale à l'opposé de la limite en traction.

109


Au cours de la mise en charge, le matériau en pointe de fissure se plastifie dès que la contrainte locale atteint la limite d'élasticité. Après l'alternance de charge, la matériau répond dans un premier temps par une déformation élastique. La plastification en compression intervient lorsque l'amplitude de contrainte vue par le matériau en pointe est égale au double de la limite d'élasticité. Il en va de même pour les alternances suivantes. La répétition de ce processus de plastification engendre donc, au sein de la zone plastifiée monotone, l'apparition d'une zone de déformations plastiques cycliques appelé zone plastifiée cyclique. Le rayon de cette zone est donné par une relation similaire à l'équation Eq. VI-10 en remplaçant K par K et RE par 2R. On obtient alors:

Cette zone plastifiée cyclique est 4 fois plus petite que la zone plastifiée monotone dans le cas d'un chargement R=0. D'une manière générale le rapport entre zone

plastifiée monotone et cyclique est donné par : cyclique/monotone= 1−R 2

4En réalité la limite d'élasticité n'est pas constante au sein de la zone plastifiée et varie en fonction de l'adoucissement ou du durcissement de l'alliage considéré. Ceci explique au moins en partie les disparités entre observations expérimentales (microdureté, diffraction RX, MET etc.) et modèles théoriques. Il reste néanmoins que ces relations permettent d'estimer le volume de matière endommagé en pointe de fissure et sont de ce fait utilisées dans de nombreux modèles théoriques.

a) Mécanismes de propagation

L'examen fractographique par microscopie électronique à balayage des surfaces rompues par fatigue constitue la principale source d'information sur les mécanismes mis en jeu lors de la progression de la fissure.Les surfaces de rupture présentent un faciès de type trans- ou intergranulaire suivant l'alliage considéré mais aussi les conditions d'essais (environnement, température,...). Le faciès particulier aux ruptures par fatigue est la strie. Il se caractérise par un marquage périodique de la surface dont le pas se corrèle avec la vitesse de propagation macroscopique. Des exemples de stries sont présentés sur

Fig 0 8 : Déformations plastiques cycliques en pointe de fissure

110


la Figure 0 9. Il serait cependant abusif de croire que toute rupture par fatigue présente des faciès de type strie et que, réciproquement, l'absence de stries permette d'éluder totalement un endommagement par fatigue. En fait, les stries ne se rencontrent que dans le domaine de Paris (typiquement entre 10-8 et 10-6

m/cycle). Par ailleurs, dans certains alliages tels que les aciers à haute résistance, elles sont généralement mal définies. Enfin, on n'observe pas de stries sur les surfaces fissurées par fatigue sous vide (Figure 0 9).De nombreux mécanismes ont été proposés pour décrire la propagation en stade II et tout particulièrement la formation des stries. Parmi ceux-ci, on peut citer le mécanisme proposé par Laird et basé sur l'émoussement et le ré-aiguisage de la fissure (Figure 0 10). Dans cette description l'incrément de fissure est intimement lié à l'émoussement en fond de fissure. Lors de l'alternance de charge (Figure 0 10(d)), la compression en pointe n'annihile pas totalement l'émoussement créé lors de la phase de tension. Il en résulte également que la fissure progresse d'une quantité proportionnelle à l'ouverture en fond de fissure (CTOD). Ce type de description peut en outre s'appliquer aux polymères.Une approche différente, présentée sur la Figure 0 11, a été proposée par Pelloux. Elle permet notamment d'expliquer l'absence de stries sous vide. En effet, Pelloux considère que, dans un environnement actif, l'oxydation des surfaces mises à nu par glissement au cours de la mise sous charge limite la réversibilité du glissement lors de l'inversion de charge. Il en résulte un incrément de fissure plus grand que sous vide et que, de plus, le faciès de rupture ne présente pas de stries sous vide.

Fig 0 9a : Exemple de stries de fatigue dans un alliage d'aluminium de la série 2000 à l'air du laboratoire

111


Il est à noter que ces descriptions servent également de support à des modèles théoriques de propagation.

Fig 0 9b : Exemple de stries de fatigue dans un alliage de la série 2000avec passage air/vide au cours de la propagation

Fig 0 10 : Mécanisme de Laird

112


b) Influence du rapport de charge R ; fermeture de fissure

Parmi les facteurs modifiant les vitesses de propagation, le rapport de charge est particulièrement important puisque lié au chargement mécanique. L'influence de ce rapport se traduit par un décalage des courbes da /dN−K vers les faibles valeurs de K pour une valeur donnée de la vitesse de propagation da/dN lorsque la valeur de R augmente, comme le montre la Figure 0 12. Ce décalage est tout particulièrement marqué au voisinage du seuil, c'est-à-dire dans le domaine des vitesses lentes, et aux fortes valeurs de K , lorsque Kmax approche la ténacité du

matériau KC. La valeur de K SEUIL est donc fortement dépendante du rapport de charge. L'explication aujourd'hui la plus généralement admise (bien qu'encore controversée) pour rendre compte de cet effet du rapport de charge R fait appel au mécanisme de fermeture de fissure introduit par Elber. En effet, Elber a mis expérimentalement en évidence qu'une fissure de fatigue, même sollicitée en traction ondulée (R>0), demeurait fermée pendant une fraction du cycle autour du minimum de charge (Figure 0 13).

Fig 0 11 : Mécanisme de Pelloux

Fig 0 13 : Fermeture de fissure

113


Suivant le principe qu'une fissure ne peut se propager que lorsqu'elle est totalement ouverte, seule une partie supérieure du cycle contribue effectivement à l'avancée de la fissure.

Elber utilise cette partie du cycle durant laquelle la fissure est totalement ouverte

pour définir l'amplitude du facteur d'intensité de contrainte effective K eff :K eff=K max−K ouv où Kouv représente le facteur d'intensité de contrainte à l'ouverture, c'est-à-dire le facteur d'intensité de contrainte qu'il faut appliquer pour ouvrir la fissure sur toute sa longueur.Elber introduit le rapport U tel que:

U=K eff

K Ce rapport U quantifie donc la part de l'effort global transmise à la pointe de fissure et contribuant donc effectivement à l'endommagement de fatigue :

si K eff=K , alors U=1

si K eff≤K , alors U≤1Enfin, Elber a montré que les données expérimentales de fermeture relatives à l'alliage d'aluminium considéré dans son étude pouvaient être décrites à l'aide de la relation:U=a+bRInitialement, les effets de fermeture ont été associés uniquement aux états de contraintes planes. La raison était que, d'une part il est plus difficile de déterminer les effets de fermeture en déformations planes, d'autre part les modèles théoriques étaient limités à cet état de contrainte. Des mesures expérimentales, appuyées par des simulations numériques, ont confirmés que les effets de fermeture de fissure, bien que moins intenses, affectent également la propagation en déformations planes. Dans le cas d'un fissure 3D, les effets de fermeture évoluent d'un état de contraintes planes en surface vers un état de déformation planes à cœur, au point le plus profond de la fissure au sein de la pièce. Les études expérimentales et numériques confirment que la fissure se referme d'abord en surface, puis à cœur. Cet effet est illustré dans la simulation numérique d'une fissure dans une

Fig 0 12 : Influence du rapport de charge R sur les courbes de fissuration

114


éprouvette CCT avec un comportement de type élastique - parfaitement plastique présentée sur la Figure 0 14.

Dans la pratique, la prédiction de la valeur du rapport U en fonction des conditions de chargement est difficile du fait de la complexité des processus mis en jeu, notamment au voisinage du seuil. Des descriptions phénoménologiques, identifiées sur la base d'essais de laboratoire, peuvent de ce fait difficilement être étendues au cas de défauts sur structure où l'intensité des différents mécanismes peut varier.

3. Seuil de propagation

Au cours des dernières années, le comportement des fissures de fatigue dans le domaine des vitesses lentes, c'est-à-dire au voisinage immédiat du seuil de propagation, a reçu une attention accrue par rapport au domaine des vitesses intermédiaires car les conditions d'extension d'un défaut de petite dimension correspondent en très grande partie à ce domaine. Il convient donc de maîtriser les facteurs gouvernant la propagation dans ce régime afin d'obtenir des prédictions réalistes.

a) Mécanismes de propagation au voisinage du seuil.

Dans le domaine de propagation par strie, on postule que la fissure progresse à chaque cycle d'une quantité a. Cette hypothèse est validée par l'adéquation entre l'incrément de propagation au cours d'un cycle estimé à partir des vitesses de propagation macroscopiques et les mesures d'interstries i sur les surfaces de rupture.Cependant, au voisinage du seuil, cette hypothèse n'est plus valide. En effet, les vitesses mesurées sont de l'ordre de 10-10 m/cycle, c'est-à-dire de l'ordre d'une distance interatomique. Dans le régime des basses vitesses de propagation, la progression de la fissure est en fait discontinue, c'est-à-dire que la fissure demeure stationnaire pendant un nombre N de cycles, puis progresse brutalement d'une quantité a . Ce passage à une régime de propagation discontinue est en accord avec la disparition des stries dans le domaine des basses vitesses. Enfin, dans ce régime la zone plastifiée cyclique estimée à partir des relations ci-dessus devient d'une taille comparable voire inférieure à des grandeurs microstructurales caractéristiques (taille de grain ou distance entre précipités par exemple).

Fig 0 14 : Simulation par la méthode des éléments finis de l'évolution de l'ouverture le long d'un front de fissuredans une éprouvette CCT

115


Les faciès de rupture au voisinage du seuil révèlent généralement un mode de rupture transgranulaire au caractère cristallographique marqué (pseudo-clivage, décohésion cristallographique, décohésion des plans de glissement). L'identification des facettes de la surface de rupture montre que les plans de rupture sont généralement des plans simples ({100} dans les c.c. et les c.f.c.). On peut également rencontrer des ruptures de type intergranulaire, notamment dans le cas des aciers à l'état trempé-revenu (Figure 0 15).

b) Fermeture de fissure

La Figure 0 12 montre que l'influence du rapport de charge devient de plus en plus marquée à l'approche du seuil, ce qui traduit une contribution plus importante des effets de fermeture.Elber suggéra initialement que la fermeture de fissure résulte de la propagation de la fissure au sein d'anciennes zones plastifiées (Figure 0 16). Le sillage plastique ainsi formé, de par les déformations résiduelles dont il est le siège, induirait une remise en contact des lèvres de la fissure pour des charges positives. Ce mécanisme de fermeture induite par la plasticité prévaut en réalité dans les domaine des valeurs de K élevées. D'autres mécanismes ont depuis été identifiés (Figure 0 16) pour rendre compte des effets de fermeture au voisinage du seuil.Le mécanisme de fermeture induite par la présence d'oxyde (Figure 0 16 b) s'appuie sur l'observation qu'à l'air, même à température ambiante, un film d'oxyde se développe sur les surfaces rompues. Ce film, bien plus épais que la couche d'oxyde obtenue sur un échantillon poli exposé dans les mêmes conditions d'environnement, présente dans le domaine des vitesses lentes une épaisseur du même ordre de grandeur que le déplacement cyclique des lèvres de la fissure CTOD , entraînant ainsi une remise en contact prématurée des parois de la fissure lors de la décharge. Il s'agit donc en réalité d'une non-refermeture provoquée par un effet « coin ». La surépaisseur est en outre liée à un déplacement résiduel en mode II qui, lors de la remise en contact des lèvres, provoque un déchirement du film d'oxyde et entraîne ainsi l'exposition de métal nu au milieu oxydant et la formation d'un nouveau film. C'est la répétition de ce processus sous l'action des sollicitations cycliques qui conduit à la formation d'une surépaisseur d'oxyde. Ces effets sont particulièrement marqués pour les aciers au voisinage du seuil, même à température ambiante, et sont significatifs sur la plupart des

Fig 0 15 : Exemple de facettes intergranulaires au voisinage du seuil dans un acier trempé-revenu

116


alliages.

La dernière source de fermeture est la fermeture induite par la rugosité des surfaces (Figure 0 16 c). En effet, en présence d'un déplacement résiduel en mode II au voisinage de la pointe de fissure, la remise en contact des surfaces rompues se produit prématurément du fait du relief de ces surfaces. Il s'agit là encore d'un mécanisme de non-fermeture, mais dont les effets sont équivalents.L'intensité de ces deux derniers mécanismes de fermeture prépondérants au voisinage du seuil ne peut plus être décrite à l'aide d'une relation aussi simple que la relation Eq. 0 17.Par ailleurs, il apparaît clairement que le phénomène de fermeture de fissure est avant tout un effet de sillage. Il se développe par conséquent progressivement au fur et à mesure que la fissure progresse. Pour rendre compte de ces effets de sillage, McEvily a proposé de décrire la propagation au voisinage du seuil à l'aide de la relation :dadN

=C K−1−e− k . K ouv−K min −K eff , seuil 2

Eq. 0 18

Le paramètre k représente le taux de développement de la fermeture et la longueur du sillage, éventuellement différente de la longueur de fissure, notamment dans le cas d'une fissure émanant d'une entaille.

c) Influence de l'environnement

Les vitesses mesurées dans un environnement actif tel que l'air ambiant sont, pour la plupart des métaux à l'exception de l'or, supérieures à celles obtenues dans un environnement inerte (vide, argon sec,...). Cette différence est attribuée à la présence d'humidité dans l'air ambiant. Les molécules de vapeur d'eau adsorbées sur les surfaces mises à nu en pointe se dissocient et libèrent de l'hydrogène. L'hydrogène pénètre au sein de la zone plastifiée où il va fragiliser le métal par un mécanisme encore mal connu. Ce processus séquentiel est schématisé sur la Figure 0 17. Un exemple d'action de l'air ambiant sur les cinétiques de propagation est présenté sur la Figure 0 18 dans le cas d'un acier faiblement allié.

Fig 0 16 : Mécanismes de fermeture de fissure

117


L'exposition à un environnement corrosif engendre différentes formes de perte de résistance à la fissuration. Le comportement illustré sur la Figure 0 19a) caractérise ce qui est communément appelé fatigue-corrosion pure. Il recouvre les cas où l'exposition à un environnement induit une perte de résistance à la fissuration sous sollicitation cyclique et un changement de mode d'endommagement par le biais de processus physico-chimiques en pointe de fissure et reflété par le changement dans la forme de la courbe, alors même que cette exposition ne produit aucun effet sous charge statique. Cette perte de résistance est notamment observée pour des valeurs de Kmax inférieures à celles correspondant au seuil de fissuration sous contrainte KICSC. Le comportement représenté sur la Figure 0 19b) correspond au cas où la valeur de Kmax dépasse la valeur de KICSC. Le dommage de corrosion sous contrainte vient alors s'ajouter au dommage de fatigue pure, sans couplage. Enfin le comportement de la Figure 0 19c), dit comportement mixte, constitue une combinaison des deux comportements précédemment décrits.L'influence de l'environnement est modulée en fonction de la température. En particulier la nature des espèces chimiques impliquées peut changer lorsque la température augmente ou diminue. Ainsi, à hautes températures, l'oxygène peut constituer l'espèce agressive vis à vis de la résistance à la propagation.La sensibilité à un environnement donné dépend fortement de la nature du matériau. Ainsi l'oxygène est plus actif pour le cuivre que pour l'aluminium, ce dernier étant surtout sensible à la vapeur d'eau.

Fig 0 17 : Action de l'environnement sur la fissuration (d'après R. Wei)

118


d) Influence des facteurs métallurgiques

Les facteurs métallurgiques, comme la taille de grain, la nature et la répartition de la précipitation ou le comportement élasto-plastique qui en découle, influencent la propagation essentiellement au voisinage du seuil. Ainsi, pour une valeur de R

donnée, la valeur de K seuil augmente lorsque la taille de grain augmente, comme l'illustre la Figure 0 20 dans le cas du fer ARMCO. On peut donc parler d'effet bénéfique du grossissement des grains. Cet effet bénéfique est lié à l'augmentation des effets de fermeture puisque la valeur du seuil effectif, c'est-à-dire corrigé des éventuels effets de fermeture, est indépendante de la taille de grain. Cet effet de la taille de grain sur l'intensité des effets de fermeture intervient au travers de la rugosité des surfaces produites, mais aussi par un effet sur la limite d'élasticité si celle ci obéit à une loi de type Hall-Petch:

y=0kd

Fig 0 18 : Exemple d'influence de l'environnement au voisinage du seuil sur un acier faiblement allié

Fig 0 19 : Différents types de fatigue-corrosion

119


où 0 et k sont des paramètres liés au matériau. Dans un tel cas, une réduction de la taille de grain faible entraîne une augmentation de la limite d'élasticité, ce qui réduit l'intensité des effets de fermeture. En effet, comme le montre la Figure 0 21,

la limite d'élasticité influence également la valeur de K seuil }, les valeurs élevées de la limite d'élasticité conduisant aux valeurs les plus basses du seuil. Là encore, la limite d'élasticité influence le seuil de propagation par l'intermédiaire des mécanismes de fermeture puisque, lorsque l'on considère la valeur effective du seuil de propagation, l'influence de la limite d'élasticité disparaît. On constate que, pour des faibles rapports de charge (typiquement R=0,1), la valeur du seuil augmente lorsque la limite d'élasticité diminue. Néanmoins, pour les fortes valeurs de R ou lorsque les effets de fermeture sont pris en compte en estimant la valeur

de K eff , l'influence des facteurs métallurgiques s'estompe fortement. La Figure 0 21 met par ailleurs en évidence les couplages pouvant s'établir entre les effets de fermeture et l'action de l'environnement. En effet, il apparaît une moindre dépendance de la valeur seuil par rapport à la limite d'élasticité sous air que sous vide. Ces couplages sont illustrés sur la Figure 0 22. La température de revenu, en contrôlant notamment la limite d'élasticité influence la dépendance de la valeur seuil vis à vis du rapport de charge R. En outre, pour une condition de revenu donnée, l'action de l'air ambiant cette dépendance.

Fig 0 20 : Influence de la taille de grain sur la valeur de \DeltaK_{seuil}

120


Tableau à ajouterIl apparaît, à l'examen des figures précédentes, que la valeur effective du seuil est, pour une classe d'alliage donnée, quasiment indépendante de facteur métallurgiques (taille de grain, traitements thermiques...) ou de la limite d'élasticité macroscopique. En revanche il a été montré que les valeurs effectives mesurées sur différents types d'alliage sont proportionnelles au module d'Young. Herzberg a constaté sur des alliages ferreux, d'aluminium, de cuivre et de nickel que l'on a:

K eff , seuil≈E b Eq. 0 19Des modélisations basées sur la description de la plasticité en pointe de fissure par

la théorie des dislocations fournissent des valeurs de K eff , seuil inférieures à celles fournies par la relation Eq. VI-19.

4. Lois de propagation

Pour réaliser un calcul de durée de vie en propagation, il faut disposer d'une loi de

Fig 0 21 : Influence de la limite d'élasticité sur la valeur de \DeltaK_{seuil}

Fig 0 22 : Influence de revenus sur la dépendance du seuil par rapport au rapport de charge à l'air et sous vide pour un acier de construction

121


propagation permettant de prédire les cinétiques de croissance des défauts en fonction de l'amplitude de chargement appliquée, mais aussi de tous les facteurs affectant la propagation. Dans ce chapitre, nous nous limiterons essentiellement à la formulation de la propagation de fissures longues en stade II.Comme nous l'avons vu au chapitre précédent, les facteurs influençant la propagation peuvent se regrouper en deux catégories :

les facteurs intrinsèques (module d'Young, limite d'élasticité, propriétés cycliques, paramètres microstructuraux) ;

les facteurs extrinsèques tels que le rapport de charge R, l'environnement, la température, l'épaisseur, etc.

Face à ces multiples influences, qui peuvent en outre donner lieu à des couplages complexes, il n'est pas étonnant de constater qu'aucune théorie ne permette de prédire les cinétiques de propagation sous différentes conditions de sollicitations, même pour un matériau donné.Une loi de propagation se doit donc de relier la vitesse de propagation à ces paramètres à l'aide d'une expression de la forme:dadN

= f K , R ,mi

où les variables mi désignent les paramètres métallurgiques influençant la propagation tels que la taille de grain, le comportement cyclique, etc. On distingue deux principaux types de lois :

les lois théoriques issues de modèles qui, si elles intègrent généralement des effets intrinsèques, ont l'inconvénient de rarement prendre en compte le rôle des différents facteurs extrinsèques;

les lois empiriques qui ne constituent qu'une description analytique de résultats obtenus en laboratoire en incorporant de façon empirique l'influence d'un certain nombre de facteurs intrinsèques et extrinsèques; elles sont de ce fait limitées au cadre qui a servi à les établir.

Le croisement des deux approches permet néanmoins d'obtenir des descriptions réalistes, basées sur la physique des phénomènes.

a) Modèles théoriques

Ce paragraphe ne prétend pas à l'exhaustivité, mais se propose simplement de présenter les principaux concepts avancés au cours des dernières décennies pour fournir une base théorique aux lois de propagation utilisées en dimensionnement.

i - Modèles basés sur le cumul de dommages

Le premier type de ces modèles repose sur la théorie des dislocations. Sous l'effet de la concentration des contraintes les dislocations tendent à sortir de la zone plastifiée en pointe de fissure. Cependant le matériau exerce une contrainte de friction qui s'oppose à ce mouvement. En écrivant les conditions d'équilibre à chaque cycle, on peut en déduire la valeur du déplacement en pointe de fissure. C'est la démarche initialement suivie par Weertman, qui suppose en outre que l'avancée de la fissure se produit lorsque le déplacement cumulé atteint une valeur critique. Il aboutit à la relation suivante:

dadN

=A K 4

02U

Eq. 0 1

où désigne le module de cisaillement, 0 représente un terme de résistance généralement assimilé à la limite d'élasticité et U l'énergie nécessaire pour créer

122


une surface de fissure unitaire exprimée en J/m2. Rice aboutit à une relation identique par une approche différente basée sur la plasticité en fond de fissure mais en utilisant un argument similaire quant à l'incrément.Les tentatives pour déterminer expérimentalement la valeur de l'énergie U suggèrent que la valeur du facteur A réel serait 2 à 10 fois inférieure à celle donnée par le modèle.

ii - Modèles basés sur les propriétés cycliques

Tomkins considère qu'en stade II, l'endommagement se développe suivant deux bandes de glissement de longueur l de part et d'autre du plan de la fissure (Figure 0 25). L'ouverture de la fissure est décomposée en une contribution plastique et une contribution élastique.

La longueur l est reliée à l'amplitude de contrainte appliquée

Eq. 0 2

où ' désigne une valeur moyenne de la contrainte au sein de la bande.

Par ailleurs, l'avance de fissure est donnée par : a= p . lLa vitesse de propagation est alors obtenue en combinant les deux relations précédentes :

Eq. 0 3En supposant que l'amplitude de déformation plastique et l'amplitude de contrainte

sont liées par une relation de la forme : =kxpn on obtient :

Définition des paramètres du modèle de Tomkins

123


Eq. 0 4Ce modèle apparaît particulièrement adapté pour décrire la propagation en fatigue plastique. McClintock proposa en 1963 un modèle de propagation basé lui aussi sur un principe de cumul de dommage en pointe de fissure mais utilisant une loi de type Manson-Coffin comme critère d'avancée. Il suppose que la déformation plastique en un point situé à une distance r de la pointe de fissure peut se mettre sous la forme :

p=e R p

r−1

Eq. 0 5où Rp désigne la taille de la zone plastifiée.En supposant que l'avancée de fissure suit une loi de type Miner, celle ci se produit lorsque l'on a :

sur une distance à l'intérieur de la zone plastifiée, où représente l'exposant de la loi de Manson-Coffin pour l'alliage considéré.Il en découle :

Eq. 0 6

soit dans le cas =-1/2:

dadN

= 7,516

K 4

f E2 y ²

Eq. 0 7Différents auteurs ont repris cette approche qui consiste à assimiler le matériau en pointe de fissure à une micro-éprouvette de fatigue plastique. La limite de ce type d'approche réside dans la détermination du paramètre , distance caractéristique liée à la microstructure sur laquelle est sommé le dommage.

Lanteigne et Baïlon assimilent la pointe de fissure à une entaille de rayon . La progression de la fissure au cours d'un incrément se fait sur une distance égale à 4 . Cette valeur est déduite de l'analyse en Mécanique Elastique Linéaire de la Rupture qui montre que le taux de triaxialité des contraintes est maximal à cette distance. En utilisant une description du champ de déformation et en appliquant la loi de Manson-Coffin en fond d'entaille, ils obtiennent, pour un chargement à R=0, une loi de la forme :

124


Eq. 0 8où C désigne le taux de triaxialité de contrainte en pointe de fissure.

On voit que l'on retrouve une loi en K à la puissance 4 comme précédemment lorsque =1/2. En outre, l'existence du seuil de propagation est prise en compte

en supposant qu'il existe une valeur critique de l'amplitude de déformation 0 en dessous de laquelle l'endommagement en pointe de fissure ne peut conduire à des vitesses de propagation supérieures à 10-10 m/cycle. En prenant =0,3 la valeur théorique du seuil est donnée par :

K th≈12,4 E y' 0

Eq. 0 9.Ce modèle n'est a priori valide que pour un chargement à R=0 et ne prend pas en compte le comportement réel du matériau, en particulier l'écrouissage cyclique. En outre, ce modèle n'est valide que pour des conditions de propagation telle que :N f≥1 en pointe de fissure. Lorsque le nombre de cycle sur lequel on cumule le

dommage Nf devient inférieur à l'unité, la progression de la fissure devient continue et la loi de propagation se réduit à :

dadN

=1− ² 3

K²E y

'

Eq. 0 10On trouve alors dans ce cas une dépendance de la vitesse de propagation en fonction du carré de K . Le modèle est alors en accord avec la description de formation des stries proposée par Pelloux. En pratique, les paramètres de la loi de Manson-Coffin et la valeur du seuil sont déterminés expérimentalement et la valeur de est ajustée aux données expérimentales.Une approche légèrement différente a été développée par Roven et Nes. Le dommage est cumulé sur un élément de volume de largeur s et de hauteur d et la rupture de cet élément est gouvernée par une loi de type Manson-Coffin :

p , pointe= f' N s

−

où p , pointe=

CTODd

= Keff ²E y

' dIl en résulte :

Eq. 0 11

125


Lorsque la propagation passe en régime continu, on a:

dadN

∝CTOD

Par continuité entre les deux régimes on obtient :

dadN

= s f' d

K eff ²E y

'

Eq. 0 12

Chan propose d'introduire le paramètre adimensionnel défini par : = Es

y ' f ' d . Les relations Eq. VII-11 et VII-12 deviennent, pour =1/2 :

Eq. 0 13et

Eq. 0 14respectivement.L'ajustement des relations Eq. VII-13 et VII-14 aux données expérimentales fait ressortir que le paramètre , intégrant plusieurs caractéristiques microstructurales, ne dépend que faiblement de la microstructure. Ainsi, dans une microstructure fine, la faible valeur de d sera compensée par une augmentation de y

'. La relation Eq. VII-14 se révèle bien adaptée pour décrire la propagation en

milieu inerte pour un grand nombre d'alliages métalliques. Il ressort néanmoins que

le facteur

2

2s ne varie que faiblement d'un alliage à l'autre.

iii - Modèles basés sur l'ouverture en fond de fissure (CTOD)

Dans ce type de modèles on suppose que la propagation s'effectue par glissement en pointe de fissure dans des directions orientées à 45° par rapport au plan de fissuration. En ce sens, ce type d'approche est en accord avec le mécanisme de formation de strie proposé par Pelloux (2.2).

L'ouverture cyclique en pointe de fissure CTOD est donné par:

CTOD= K²4 E y

Eq. 0 15

Par conséquent, si on a :

dadN

=12CTOD

, il vient :dadN

= K²8E y

Eq. 0 16On vérifie généralement expérimentalement que la distance interstrie se corrèle

126


bien avec K² .Ces modèles, bien qu'utiles pour appuyer les lois phénoménologiques utilisées, possèdent par ailleurs d'évidentes limitations. Par exemple, on peut observer sur les équations Eq. VII-7, 12 et VII-16 que la vitesse de propagation suit une évolution inversement proportionnelle à la limite d'élasticité, toutes choses étant égales par ailleurs. Une telle dépendance n'est pas vérifiée dans la pratique, en particulier dès lors que les effets de fermeture sont pris en compte.

b) Lois empiriques

Le but de ces lois est de décrire le plus simplement possible les variations observées expérimentalement en fonction d'un certain nombre de paramètres. Le premier exemple est la loi de Paris évoquée plus haut :dadN

=CK m

Eq. 0 17Dans le cas du matériau utilisé dans leurs investigations, à savoir l'alliage 2024T3, Paris et ses collaborateurs trouvèrent m≈4. L'avantage de cette relation est qu'elle permet une estimation aisée de la durée de vie en propagation par intégration. Par contre, elle ne prend pas explicitement en compte l'influence des paramètres intrinsèques au matériau (facteurs métallurgiques), ni l'influence des paramètres extrinsèques (rapport de charge). Ces influences sont implicitement prises en compte dans les paramètres C et m. Par conséquent les valeurs de ces paramètres sont fortement dépendantes des conditions expérimentales utilisées pour leur détermination et doivent donc être étendues avec prudence à d'autres conditions. Enfin, nous avons vu que cette loi est inadaptée pour décrire la propagation au voisinage du seuil ou la propagation à fortes valeurs de Kmax. Différentes formulations ont été proposées pour pallier ces manquements.

i - Loi de Walker

Cette loi constitue une tentative d'extension de la loi de Paris pour rendre compte de l'effet du rapport de charge sur les vitesses de propagation. Elle s'exprime comme suit :

Eq. 0 18

127


Différentes raisons motivent le choix d'une expression différente pour les rapports de charge négatifs. Tout d'abord, l'utilisation de Kmax à la place de K limite le décalage des courbes vers la droite du diagramme et fait converger le faisceau de courbes obtenues à différents R. Ensuite, le décalage des courbes est gouverné par

le terme 1−R m−1 lorsque R≥0 . Ainsi, lorsque m augmente, le décalage diminue

pour une valeur de R donnée et vice versa (Figure 0 2). Cette dépendance du décalage par rapport à m doit être maintenue pour R≤0 . Enfin, l'utilisation de ce terme entraîne un décalage moins fort pour une valeur négative de R donnée que pour la valeur opposée de R, ce qui est en accord avec les observations expérimentales.

ii - Loi de Forman

L'une des modifications les plus connues de la loi de Paris est la loi de Forman :Eq. 0 19

Il s'agit en fait d'une amélioration de la loi de Walker puisqu'elle rend compte de l'évolution asymptotique de la partie supérieure de la courbe de propagation lorsque Kmax tend vers Kc.

Illustration de la loi de Walker

128


On peut encore citer des lois du type de celle de MacEvily-Forman :Eq. 0 20

qui tentent quant à elles de rendre compte de l'ensemble de la courbe de propagation en incorporant la valeur seuil.6.3. Loi NASGROL'équation NASGRO a été développée par Forman et Newman à la NASA, de Koning au NLR (Pays-Bas) et Henriksen à l'ESA et est aujourd'hui utilisée dans le code de prédiction de durée de vie de la NASA. La loi proposée est de la forme :

Eq. 0 21où C, n, p et q sont des constantes dépendantes du matériau et ajustées aux données expérimentales.Par ailleurs la fonction f, qui précisément rend compte des effets de fermeture, est donnée par :

f =K op

K max={max R , A0A1RA2 R²A3R

3 si R≥0 A0A1 R si −2≤R0 A0−2 A1 si R≤−2

Les coefficients sont :

Application de la loi de Forman dans le cas d'un alliage d'aluminium

129


représente le rapport de confinement entre contrainte plane et déformation

plane et

Smax

0 est le rapport entre la contrainte maximale appliquée et la contrainte d'écoulement.Cette loi rend compte des comportements asymptotiques et intègre l'influence du rapport R par l'intermédiaire notamment de la fonction f. On remarquera au

passage que la définition du facteur

1− f1−R est équivalente à celle du rapport U

d'Elber.La relation Eq. VII-21 fait intervenir la valeur du seuil pour le rapport R considéré. Cette valeur est donnée par :

Eq. 0 22avec :

– K 0 : valeur du seuil pour R=0 ;– a : longueur de fissure;– a0 : longueur de fissure dite intrinsèque (3.81x10-5 m/cycle) ;– Cseuil : coefficient de seuil.On peut noter que cette expression est similaire à celle proposée par El Haddad et al. (Eq. VI-21).La Figure 0 5 montre un exemple d'évolution de la valeur du seuil en fonction du rapport de charge R prédit par ces relations.

130


Enfin, la loi NASGRO intègre également l'influence de l'épaisseur sur la valeur critique du facteur d'intensité de contrainte critique Kcrit. Cette valeur est reliée à la ténacité du matériau par :

K crit

K 1C=1Bk e

−A ktt0

où :– K1C : ténacité en mode I et en déformations planes ;– AK et BK paramètres à ajuster aux données expérimentales ;– t : épaisseur ;– t0 : épaisseur de référence (déformations planes).

Evolution du point d'ouverture en fonction du rapport de charge R pour la loi NASGRO

Prédiction du seuil en fonction de R pour un alliage 2024 T351

131


Cette loi est attrayante puisqu'elle couvre tout le domaine de propagation, depuis le seuil jusqu'à la rupture, et intègre sur la base de phénomènes physiques l'influence du rapport de charge R. L'identification de l'ensemble des paramètres requiert toutefois un nombre important d'essais, y compris dans le domaine des basses vitesses. Néanmoins une large base de donnée, couvrant différents types d'alliages, est disponible et est par exemple intégrée dans le logiciel AFGROW.

iii - Loi arctanh

Larsen a proposé d'ajuster les données de propagation pour un rapport R donné à l'aide d'une loi dite « arctanh »:

Cette expression permet de rendre compte de la forme de courbe présentée sur la Figure 0 7. En effet, les valeurs des paramètres C2 et C3 sont choisies de façon à ce que l'argument de la fonction arctanh soit compris entre –1 et +1 lorsque K tend vers la valeur seuil ou la valeur critique respectivement, ce qui permet de définir les branches asymptotiques. Les paramètres C1 et C4 permettent d'améliorer l'ajustement pour les valeurs de K intermédiaires.

5. Propagation sous chargement à amplitude variable

Les lois de propagation présentées précédemment permettent de décrire la propagation de fissures longues sous chargement à amplitude constante. En effet, il est implicitement supposé qu'un cycle donné engendre un dommage assimilé à une avance a indépendamment de l'histoire de chargement antérieure. Or, dans la réalité, les structures ne sont que très rarement soumises à des chargements à amplitude constante. Les mesures de spectre de chargement indiquent au contraire une variation de l'amplitude de charge au cours du temps. De plus, l'expérience montre que l'endommagement induit par un cycle donné peut dépendre de l'histoire antérieure de chargement. L'objet de ce chapitre est donc de décrire la phénoménologie des effets d'histoire de chargement sur la propagation, puis de présenter quelques modèles permettant de prédire l'intensité de ces effets pour des prédictions plus réalistes.

Application de la loi NASGRO pour un alliage d'aluminium 2024 T351

132


a) Aspects phénoménologiques

Les différents niveaux de charge d'un spectre interagissent entre eux de façon complexe. La compréhension des effets d'histoire de chargement sous spectre nécessite de considérer des chargements simplifiés par rapport aux spectres réels. Le cas le plus simple , mais toutefois riche d'enseignement, est constitué par une surcharge décrite ci-après.

i - Effet d'une surcharge

On appelle surcharge l'augmentation de la charge maximale au cours d'un seul cycle. La surcharge est caractérisée par le taux de surcharge défini par:

=K pic

K max , où Kpic désigne la valeur du facteur d'intensité de contrainte atteinte lors de la surcharge (Figure 0 1).L'application d'une surcharge sur une fissure créée préalablement sous chargement à amplitude constante se traduit dans la majorité des cas par un ralentissement ou retard de la propagation. Ce dernier peut aller jusqu'à un arrêt définitif.

Définition d'une surcharge

Différents types de retard

133


On distingue quatre types d'effet « retard » caractéristiques et présentés de façon schématique sur la Figure 0 32, dans l'hypothèse où la propagation se fait à K constant. Si l'amplitude de contrainte est maintenue constante, la valeur de K augmente lorsque la fissure progresse, et par conséquent la vitesse de propagation de référence croît également. Les effets de surcharge sur les vitesses de propagation sont de ce fait plus difficiles à analyser puisque la vitesse de propagation de référence varie, mais ces effets restent qualitativement les mêmes. Le point S désigne le point d'application de la surcharge. Dans le premier cas, la surcharge n'est pas suffisamment sévère pour induire un quelconque effet sur la propagation ultérieure. Dans la situation présentée sur la Figure 0 32 b), on observe un ralentissement de la propagation dès l'application de la surcharge : la vitesse de propagation décroît progressivement avant de croître à nouveau, jusqu'à retrouver sa valeur nominale observée sous chargement à amplitude constante. On parle alors de « retard » induit par la surcharge dans la mesure où, du fait du ralentissement engendré par la surcharge, le nombre de cycles requis pour atteindre une longueur de fissure donnée est supérieur au nombre de cycles nécessaire pour atteindre cette longueur sous chargement d'amplitude constante. Un comportement légèrement différent est présenté sur la Figure 0 32 c) ; dans ce cas, on constate que l'application de la surcharge ne se traduit pas instantanément par un ralentissement de la propagation. Dans certains cas même, on observe une accélération initiale de la propagation avant le ralentissement. Enfin, la Figure 0 2 d) présente un cas particulier où, après le ralentissement induit par la surcharge, la vitesse de propagation augmente et dépasse sa valeur nominale, jusqu'à ce que la courbe de propagation rejoigne la courbe que l'on aurait obtenue sans application de surcharge. Le retard n'est donc, dans un tel cas, qu'un phénomène transitoire qui n'induit à terme aucun effet sur la durée de vie.Le retard est généralement caractérisé à l'aide de différents paramètres définis ci-dessous et sur la Figure 0 33:

NR : nombre de cycles de retard, défini comme la différence entre le nombre de cycles requis pour atteindre une longueur de fissure donnée après surcharge NS et le nombre de cycle N0 qu'il aurait fallu appliquer sous chargement à amplitude constante pour atteindre cette même longueur;

aR : longueur de fissure perturbée par la surcharge,

dadN min : vitesse minimale atteinte après surcharge;

a* : longueur de fissure pour laquelle la vitesse minimale après surcharge est atteinte;

: facteur de ralentissement, défini comme le rapport entre la vitesse minimale et la vitesse initiale :

134


Les principaux paramètres gouvernant le retard sont: ∆Kbase, amplitude du facteur d'intensité de contrainte du chargement

nominal. D'une manière générale, le retard tend à s'atténuer pour les valeurs les plus élevées de ∆Kbase.

le taux de surcharge : il existe une valeur seuil de en-dessous de laquelle aucun effet retard n'est sensible pour une valeur de ∆Kbase donnée.

Inversement, on peut mettre en évidence une valeur max à partir de laquelle l'effet « retard » sature.

Rbase, rapport de charge du chargement de base. l'état de contrainte (déformations planes, contraintes planes ou mode

mixte): on constate expérimentalement que le retard est plus prononcé sur des tôles minces, où l'état de contraintes planes prédomine, que sur des pièces de plus forte épaisseur en déformations planes prédominantes. Empiriquement, cette différence peut s'expliquer par des tailles de zones plastifiées plus importantes en contraintes planes qu'en déformation planes.

ii - Origines de l'effet « Retard »

Les explications généralement avancées pour expliquer le phénomène de retard sont :

l'effet de contraintes résiduelles induites par la surcharge en avant de la pointe de fissure;

un accroissement des effets de fermeture induit par le matériau fortement déformé durant la surcharge et situé dans le sillage de la fissure;

un émoussement de la pointe qui réduirait l'intensité des contraintes subies en pointe de la fissure assimilée à une micro-entaille;

un durcissement du matériau induit par la surcharge en tête de la fissure.L'application de surcharges se traduit généralement par des marquages caractéristiques sur les chemins de fissuration et les surfaces de ruptures (Figure 03 4). Ces marquages permettent notamment de reconstituer l'historique de la progression de la fissure en fonction de l'histoire du chargement lors d'expertise de pièces rompues en service.

Paramètres définissant le retard

135


iii - Autres types de variation de chargement

Changements de niveauxCes chargements sont caractérisés par une variation brutale de la contrainte maximale et se répartissent en deux catégories :

les chargements de type « Bas-haut » (« Low-High ») qui se traduisent par une accélération transitoire de la propagation;

les chargements de type « Haut-Bas » (« High-Low») qui produisent un retard plus marqué que celui que provoquerait une surcharge unique de même amplitude.

Sous-chargePeu d'études ont été menées sur l'influence de sous-charge, notamment en compression, sur les vitesses de propagation et les différences expérimentales (matériau, ∆Kbase, R) ne permettent pas d'établir un comportement typique. Pour certains auteurs, l'introduction d'une sous charge dans un chargement à amplitude constante se traduit par une légère accélération de la propagation.Effets combinésSi une sous-charge n'a que peu d'influence sur la propagation lorsqu'elle est isolée, en revanche elle peut interagir avec une (ou plusieurs) surcharge(s). Si la sous-charge intervient avant la surcharge, elle n'a généralement que peu d'influence sur la propagation. Si par contre elle intervient après la surcharge, elle peut réduire de façon significative le retard induit par la surcharge, comme le montre la Figure 0 5.

Effet de surcharges répétées sur la surface de rupture dans un acier faiblement allié (simulation de spectres hélicoptères, G. Hénaff)

136


b) Modèles de propagation sous chargement à amplitude variable.

L'objectif final d'un modèle de propagation est de prédire quantitativement la durée de vie de structures soumises à des sollicitations cycliques d'amplitude variable. Compte-tenu de la complexité des phénomènes mis en jeu, les modèles disponibles conservent une part d'empirisme. Deux types d'approches sont retenues : les approches globales, qui considèrent un chargement à amplitude constante équivalent à une séquence considérée, et les analyses de type « cycle par cycle », qui considèrent le dommage induit par un cycle donné.

i - Approche globale

L'idée de base dans ce type d'approche est que les variations aléatoires de l'amplitude de contrainte vues en pointe de fissure peuvent être décrite à l'aide de la valeur moyenne de l'amplitude du facteur d'intensité de contrainte définie par:

K moy=∑i=1

n

K i

n Eq. 0 1

où K i représente l'amplitude du facteur d'intensité de contrainte au cycle i au sein d'une séquence de n cycles. On peut noter au passage que pour un

chargement d'amplitude constante on a K moy=KLa vitesse de propagation pour la séquence considérée est ensuite obtenue en

employant la valeur de K i dans la loi de propagation adéquate :

dadN

= f K moy.

Si ce type d'approche fournit des résultats satisfaisants pour certains types d'application, elle est prise en défaut pour rendre compte des effets de spectre sur structures d'avion par exemple.

ii - Analyses cycle par cycle

Dans ce type d'approche, l'avance au cours d'une séquence est supposée être la somme des avancées élémentaires au cours de chaque cycle de la séquence:

aséquence=∑i=1

n

ai

Effet combiné surcharge/souscharge

137


Les modèles diffèrent par la méthode utilisée pour estimer l'avance élémentaire en fonction de l'histoire de chargement. Ils s'appuient sur les causes supposées du retard. Ainsi, les modèles empiriques sont basés sur des effets d'interaction entre la zone plastifiée créée lors de la surcharge et la zone plastifiée courante associée au chargement de base. D'autres modèles, basés sur le concept de fermeture, se proposent de déterminer l'évolution de la charge à l'ouverture au cours de la séquence. Quelques modèles caractéristiques de ce type d'approche sont décrits dans le paragraphe suivant.

c) Approches empiriques basées sur les interactions de zones plastifiées

i - Modèle de Wheeler

Le modèle de Wheeler repose sur la détermination, pour un cycle i donné, d'un facteur de ralentissement noté Cpi qui évolue au fur et à mesure que la fissure progresse au sein de la zone plastifiée créée par la surcharge (Figure 0 6).Juste après la surcharge, Cp est donné par:

où R0 désigne la taille de la zone plastifiée courante, Rpic est la taille de la zone plastifiée créée par la surcharge et est un paramètre propre au matériau.Il en découle:

Lorsque la fissure atteint une longueur ai, le facteur de ralentissement devient:

Le retard disparaît lorsque Cpi=1, c'est-à-dire lorsque la zone plastifiée courante vient tangenter l'extrémité de la zone plastifiée créée par la surcharge. La confrontation des prédictions avec les données expérimentales montre que le paramètre dépend de plusieurs paramètres d'essai.

138


ii - Modèle de Willenborg

Le modèle de Willenborg constitue une approche légèrement différente puisqu'il se propose de déterminer non plus un facteur de ralentissement, mais une valeur effective du rapport de charge vu en pointe de fissure Reff défini par:

Reff=K mineff

K maxeff Eq. 0 5

avec: K mineff=K min−K R et K maxeff=K max−K R Eq. 0 6.La valeur du facteur d'intensité de contrainte KR est définie pour une longueur de fissure ai donnée comme celle nécessaire pour créer une zone plastifiée de taille Req

venant tangenter la zone plastifiée créée par la surcharge comme indiqué sur la Figure 0 7. On suppose donc que le retard disparaît dès que la zone plastifiée courante pénètre dans une zone de matière non affectée par la surcharge.

On a donc:Req=a0Rpic−a i Eq. 0 7.

Définition des paramètres du modèle de Wheeler

Modèle de retard de Willenborg

139


La taille de la zone plastifiée équivalente Req est donnée parReq=

1 K R

y ² où

décrit l'état de contrainte.

Il s'ensuit : K R= y a0R pic−a i , soit encore: K R=K pic x 1−

ai−a0

R pic Eq. 0 8.La valeur effective du facteur d'intensité de contrainte, différente de celle introduite par Elber pour décrire les effets de fermeture de fissure, est alors obtenue de la façon suivante:

Si K mineff0 et K maxeff0 , K eff=K ;

Si K mineff0 et K maxeff0 , K eff=K maxeff ;

Si K maxeff0 , K eff=0 .Selon ce modèle, il n'y a retard que si le rapport de charge affecte les vitesses de propagation. Il présente comme avantage, par rapport au modèle de Wheeler, de ne pas introduire de paramètre supplémentaire.Ces deux modèles montrent les mêmes limites :

Ils prédisent tous deux un retard maximal juste après la surcharge, ce qui n'est que rarement observé expérimentalement;

Ils ne peuvent rendre compte de l'influence de surcharges multiples et de sous charges éventuelles.

Le logiciel AFGROW utilise une version étendue du modèle de Willenborg. La valeur de KR y est définie de la façon suivante:

K R=K pic1−ai−a0

Rpic−K max

Eq. 0 9avec:

=1−K seuil0

K max crit−1 Eq. 0 10

où K seuil0 représente la valeur du seuil pour R=0 et crit la valeur critique du taux de surcharge entraînant un arrêt de la propagation.La valeur de Kpic est remise à jour chaque fois que la charge maximale excède la précédente valeur maximale, ou lorsque la zone plastifiée courante s'étend au-delà de la zone créée par la dernière surcharge. Par ailleurs, ce modèle utilise la valeur

de crit comme paramètre « matériau » pour contrôler l'effet d'histoire de

chargement. A titre indicatif, on a crit=2 pour les aciers, crit=2,7 pour les

alliages de titane et crit=3 pour les alliages d'aluminium. Dans ce modèle, AFGROW rend compte également des effets de sous-charges éventuelles en compression en modifiant la taille de la zone plastifiée créée par la surcharge de la façon suivante:

R pic=1−0,9∣comp

pic ∣R pic

Eq. 0 11.De ce fait, seule l'intensité du retard est influencée par les sous-charges. En particulier, ce modèle ne peut prédire une durée de vie supérieure à celle déterminée sans effet d'interaction du fait de l'application de sous-charges.

140


d) Approches basées sur les effets de fermeture de fissure

i - Modèle PREFFAS (PREvision de la Fissuration en Fatigue AéroSpatiale)

Le modèle PREFFAS, comme d'autres modèles, se propose de remplacer une séquence d'un chargement à amplitude variable, par un nombre de cycles équivalents d'un chargement à amplitude constante (Figure 0 8).

Ce modèle repose en outre sur un certain nombre d'hypothèses généralement bien vérifiées pour les alliages légers utilisés en aéronautique. Ces hypothèses sont les suivantes:(i). La fissure se propage à chaque cycle par formation de strie. Ce modèle est donc

limité au domaine dit de Paris et la loi de propagation est du type:

dadN

=CK m

.

(ii). Ce modèle repose sur le concept de K eff introduit par Elber. Au cycle i,

l'incrément de fissuration est donné par: a i=CK effm =C K max, i−K ouv ,i

Eq. 0 12.

(iii). La valeur de K ouv ,i dépend de l'histoire du chargement et est déterminée à partir d'une loi semblable à celle d'Elber.

K max−K ouv, j=U R .K max−K min Eq. 0 13

avec U R =A.

K minH

KmaxHB

, où KminH et KmaxH sont des valeurs représentatives de l'histoire de chargement.(iv). Au cycle i, on considère toutes les valeurs Kmaxj (j < i). A une valeur Kmaxj est

associée une valeur Kmink définie par K mink=inf K min , p pour p variant de j+1 à i: (Figure 0 9). A ce couple correspond une valeur de Kouvj :

K ouv , j=K max, j−U R Kmaxj−K mink Eq. 0 14

avecU R =A

Kmin ,k

KmaxjB

.Finalement:

Principe du modèle PREFFAS

141


avec :U R =A

Kmin ,k

KmaxjB

Eq. 0 16(v). On suppose enfin qu'il n'y a pas d'effet d'évanescence, c'est-à-dire que la valeur de Kouvi est supposée indépendante de l'avancée de la fissure entre les cycles fournissant les valeurs d'histoire permettant de la calculer et le cycle i considéré.La prédiction de la progression sous chargement à amplitude variable ne nécessite donc que la détermination de 4 paramètres, à savoir :C et m, les coefficients de la loi de Paris ;A et B, les coefficients de la relation d'Elber.Ces 4 coefficients sont déterminés à partir de deux essaisun premier essai conduit sous chargement à amplitude constante avec une valeur du rapport de charge faible (typiquement R=0,1) ;- un second essai réalisé sous un chargement identique avec superposition d'une surcharge à =1,7 tous les 1 000 cycles.Si l'on considère en outre que l'on a: A + B = 1, hypothèse vérifiée sur le 2024, le nombre de paramètres se réduit à 3.Le principal intérêt de ce modèle réside dans sa facilité de mise en œuvre puisqu'il ne nécessite que deux essais d'identification. Il suppose cependant que l'influence du rapport R se traduise, sous chargement à amplitude constante, par un réseau de droites parallèles et que la relation U(R)=AR+B soit vérifiée dans tout le domaine de propagation considéré.

Le calcul de propagation se fait ensuite en déterminant l'efficacité de la séquence. L'avance au cours des n cycles de la séquence est donnée par:

a=∑i=1

n

ai=C∑i=1

n

K effim

Eq. 0 17.

où , K effi= a .Peffi .a , a étant le facteur de correction géométrique.Si l'on suppose que la variation de longueur de fissure au cours d'une séquence

Valeurs d'histoire

142


n'est pas trop importante, on peut écrire la relation précédente sous la forme:

Le terme ∑i=1

n

P effim

est défini comme l'efficacité de la séquence notée EF. L'efficacité est donc un terme caractéristique du spectre considéré et intégrant les caractéristiques « matériau » par le biais de l'exposant de la loi de Paris. On a donc:

Par ailleurs, pour le chargement équivalent on a:

En égalant les relations Eq. IX-9 et Eq. IX-10 on en déduit le nombre de cycles Neq

du chargement équivalent :

N eq=EF

a R refb Pmaxeq−Pmineq m

Eq. 0 21.Ce modèle a connu des évolutions permettant de rendre compte de l'effet de chargement complexe. En particulier, afin de prendre en compte l'influence de sous-charge en compression, la relation donnant U a été modifiée comme suit :

avec =1−B

B , B étant le paramètre de la loi d'Elber.Le domaine d'application de ce modèle conserve toutefois quelques limites. Ainsi, il ne s'applique plus dès lors que le niveau de Kmax rencontré au cours de l'application du spectre est proche de la ténacité Kc du matériau considéré. Dans ce cas la fissure ne se propage plus par un mécanisme de strie mais par déchirure ductile et la loi de Paris n'est plus vérifiée. Par ailleurs, l'hypothèse de non-évanescence de l'effet retard ne sera valable que si l'avance au cours de la séquence reste limitée. Ceci est vérifié tant que l'on a :

Si tel n'est pas le cas, il est recommandé de diminuer la longueur des séquences.Les Figure 0 10 et Figure 0 11 présentent des exemples d'application du modèle PREFFASS à deux types d'alliages et deux types de spectre. Le premier exemple (Figure 0 10 ) concerne deux alliages d'aluminium utilisés en construction aéronautique et un spectre de type mini-Twist représentatif du chargement vu par un intrados de voilure d'avion de transport. Sur les essais de calibration, il apparaît

143


que l'alliage 2124 présente une meilleure résistance à la fissuration que l'alliage 2618 (alliage du Concorde), principalement par le biais d'effets de fermeture plus marqués pour une valeur de R donnée. Cette meilleure résistance du 2124 se trouve confirmée pour les essais sous spectre, où la durée de vie obtenue pour cet alliage est environ 3 fois supérieure à celle mesurée pour l'alliage 2618. On note également que les prédictions fournies par le modèle PREFFASS pour le 2618 sont proches de celle obtenue par un calcul de cumul simple ne prenant pas en compte les effets d'interaction, ce qui traduit un faible effet retard induit par les surcharges au sein du spectre. En revanche la différence entre les deux calculs est bien marquée dans le cas de l'alliage 2124, ce qui traduit des effets d'interaction plus importants.

Allige 2124

Alliage 2618

144


Le deuxième exemple (Figure 0 11) concerne un acier faiblement allié utilisé pour des pièces assez fortement sollicitées et un spectre de type « mât-pylone ». L'essai de calibration fait ressortir des effets de fermeture peu élevés du fait de la limite d'élasticité relativement élevée de ce type d'acier. Toutefois, l'application du spectre conduit à des durées de vie supérieures à celles prédites par un calcul sans effet d'interaction. Par ailleurs, si les prédictions fournies par le modèle PREFFASS sont plus proches des résultats expérimentaux, il convient de noter qu'elles surestiment légèrement la durée de vie et ne sont pas, de ce fait, conservatives.Le modèle PREFFASS est intégré dans le logiciel de calcul Crack-Kit développé par EADS.

Essais de calibration et simulation sur spectre Mini-Twist du modèle PREFFASsur 2 alliages de la série 2000

Acier 40CDV12

145


ii - Modèle de Dugdale modifié - FASTRAN

Newman, à la NASA, a étendu le modèle de zone plastifiée proposé par Dugdale pour prédire les variations du niveau d'ouverture sous l'action d'un spectre de chargement. A ce titre, cette modélisation aurait pu figurer au paragraphe précédent. La distinction entre les deux approches réside essentiellement dans les développements numériques et les temps de calcul nécessaires à leur mise en œuvre.Le modèle de Dugdale se propose de calculer la taille de la zone plastifiée Rp à la pointe d'une fissure de longueur a. Dugdale suppose que la plastification se produit dans une bande rigide, c'est à dire que la contrainte dans la zone plastifiée est

constante et égale à 0 ( 0 : limite d'élasticité). Cette situation est équivalente à une fissure fictive plus longue (a* = a + Rp) et soumise entre a et a* à une

contrainte égale à 0 . L'équivalence suppose que la singularité en pointe de fissure disparaît, d'où la valeur de Rp. Le point remarquable du modèle de Dugdale est qu'il permet de traiter le problème de la zone plastifiée par la superposition de deux problèmes élastiques.

chargement

Identification des valeurs de paramètre et simulation du modèle PREFASS appliqué au cas d'un spectre pylône moteur et d'un acier faiblement allié 40CDV12

146


Newman a adapté le modèle de Dugdale, initialement limité à l'état de contrainte plane, dans le cas d'une fissure se propageant en prenant en compte les effets tridimensionnels. Le matériau rigide représentant la zone plastique se retrouve après propagation de la fissure dans le sillage pour former des "coins". La zone plastifiée et le sillage de la fissure sont discrétisés en éléments de type « barre ». Ce modèle, appelé FASTRAN, permet de déterminer l'allongement subi par chacun de ces éléments au sein de la zone plastifiée. Lorsque la fissure progresse, les éléments rompus passent dans le sillage en conservant leur allongement résiduel. Au minimum du cycle, ces éléments étirés se retrouvent en contact, ce qui engendre une contrainte de compression au sein de ces barres. Il faudra donc, au cours de la mise en charge suivante, compenser la contrainte de compression la plus forte pour ouvrir totalement la fissure, ce qui définit le point d'ouverture. La

contrainte à l'ouverture ouv est donc calculée en fonction de l'histoire de

chargement et de la longueur de fissure; la valeur de ouv est à son tour utilisée pour évaluer ∆Keff et donc l'incrément de fissure via une loi de propagation da/dN = f(∆Keff). On suppose que les données de propagation obtenues pour toute valeur du rapport R se regroupent sur une courbe unique lorsqu'elles sont exprimées en fonction de ∆Keff .FASTRAN utilise un facteur de confinement pour modifier la contrainte d'écoulement afin de prendre en compte l'état de contrainte local. La valeur de ce facteur varie entre 1 pour un état de contrainte plane et 3 pour un état de déformation plane. La valeur de ce facteur peut être différente pour la compression. Les contraintes d'écoulement en traction et en compression sont alors données par:

Distributions de déplacements et de contrainte selon le modèle de Dugdale modifié

147


Newman a montré que ce modèle prédit des effets d'interaction (retard accélération) ainsi que des résultats en bon accord avec des données expérimentales sous spectre. Le point fort de ce modèle est qu'il détermine le niveau d'ouverture sans faire appel à une relation empirique. Toutefois les prédictions sont fortement dépendantes des valeurs de facteur de confinement . Cette influence est illustrée sur la Figure 0 13 qui compare les prédictions fournies par FASTRAN pour différentes valeurs de avec des données expérimentales. En pratique, ce coefficient sera utilisé comme paramètre d'ajustement pour prendre en compte différents effets.Le modèle FASTRAN est aujourd'hui implanté dans le code AFGROW en prenant en compte la présence éventuelle d'entaille. Il existe des variantes du modèle de Dugdale modifié permettant notamment de prendre en compte l'écrouissage du matériau.Il convient enfin de noter que FASTRAN permet également de traiter les problèmes de fissures courtes.

B. Fissures naturelles

L'un des principaux problèmes rencontrés lors d'un dimensionnement en propagation est associé au fait que les lois utilisées ont été établies à partir de vitesses mesurées sur des fissures dont la longueur est de l'ordre de la dizaine de millimètres. Or il existe de nombreux composants (aubes de turbine par exemple) pour lesquels on doit raisonner sur des défauts beaucoup plus petits. De même, les exigences d'extension de durée de vie conduisent à extrapoler les lois de propagation à des tailles de défauts très petites.

1. Phénoménologie

L'expérience montre que les vitesses de propagation des fissures de petites dimensions peuvent être nettement supérieures à celles obtenues sur des fissures longues sollicitées dans les mêmes conditions nominales (Figure 0 23). En

Comparaison des prédictions de FASTRAN avec des données d'essais pour un spectre TWIST appliqué à un alliage d'aluminium

148


particulier, les petites fissures peuvent se propager avec des vitesses relativement élevées pour des valeurs du facteur d'intensité de contrainte K inférieures à la valeur ΔKseuil déterminée sur fissures longues avant de recouvrir un comportement similaire au comportement « fissure longue ». L'utilisation de données établies à partir de fissures longues peut donc conduire à des surestimations importantes de la durée de vie en propagation.

Ce comportement atypique des petites fissures peut s'expliquer par différents facteurs.Tout d'abord, les discontinuités microstructurales telles que les joints de grain, les précipités, etc. peuvent affecter les conditions de propagation de petits défauts car leurs dimensions caractéristiques sont du même ordre que la profondeur du défaut considéré. La Figure 0 24 illustre l'influence de la taille de grain sur le comportement des fissures courtes dans un alliage d'aluminium 7075. On voit que, pour les deux tailles de grain considérées, les vitesses de propagation des fissures courtes sont initialement élevées puis diminuent avant de rejoindre la courbe déterminée à partir de fissures longues. Le minimum de vitesse est observé lorsque la taille de fissure est comparable à la taille de grain. On en déduit que les joints de grain jouent le rôle de barrière microstructurale dans la propagation des fissures courtes tant qu'elles restent confinées à l'intérieur de quelques grains.

Fig 0 23 : Comportement des fissures courtes

149


Par ailleurs, l'utilisation des concepts de la mécanique de la rupture repose sur le principe de similitude. Ce principe indique que le champ de contraintes/déformations en pointe de fissure est le même pour des conditions de chargement et de géométrie différentes dès lors que la valeur du paramètre caractérisant ce champ, c'est-à-dire le FIC K en condition de plasticité confinée, est la même. Par conséquent, le problème des fissures courtes peut également être vu comme un problème de non-validité de la mécanique de la rupture.Enfin, le comportement des fissures longues au voisinage du seuil est fortement influencé par les effets de fermeture qui se développent dans le sillage de la fissure. Par conséquent, les fissures courtes sont par définition moins influencées par de tels effets de sillage. Ceux-ci deviennent actifs au fur et à mesure que la fissure croît et le comportement de la petite fissure tend à rejoindre le comportement déterminé sur fissure longue. La différence de vitesse de propagation entre fissures courtes et longues s'estompe d'ailleurs généralement fortement dès que ces vitesses sont exprimées en fonction de Keff.

Fig 0 24 : Influence de la taille de grain sur le comportement des fissures courtes dans l'alliage 7075 T6 (d'après Lankford)

150


VI - Application auxstructures

VI

Effet d'entaille en fatigue à grand nombre de cycles 181

Paramètres d'influence 200

Joints soudés 200

A. Effet d'entaille en fatigue à grand nombre de cycles

1. Description de l'effet d'entaille en fatigue

L'effet d'entaille en fatigue peut s'observer sur les courbes de résistance en fatigue amplitude de contrainte en fonction du nombre de cycles à rupture. Ces courbes appelées aussi courbe de Wöhler sont représentées par une fonction puissance du type

s amplitude de contrainte nominale qui se confond avec l'amplitude de contrainte globale dans le cas d'essais réalisés sur des éprouvettes lisses, 'f est la résistance en fatigue, b' exposant de Basquin, NR nombre de cycle à rupture. La figure 4. 1 illustre cet effet d'entaille par comparaison des courbes de Wöhler obtenus par des essais de flexion rotative sur des éprouvettes lisses et entaillées en acier E36. On constate que la courbe de résistance en fatigue est en dessous de la courbe de résistance en fatigue d'éprouvettes lisses conduisant à un nombre de cycles à rupture moindre pour une même amplitude de contrainte nominale. Les paramètres b et 'f. L'effet d'entaille en fatigue est défini comme la différence d'amplitude de contrainte nominale conduisant au même nombre de cycles à rupture sur des éprouvettes lisse et entaillée. Il est représenté par le segment AA' sur la figure 4.1

(1)

151

Cet effet d'entaille est bien sur lié à la concentration de contrainte en fond d'entaille sans que toutefois être fonction strictement de l'amplitude de contrainte maximale comme le montre la figure 4.2 où les résultats de la figure 4.1sont reportés non plus en fonction de l'amplitude de contrainte nominale mais en fonction l'amplitude de contrainte maximale.

On constate que la courbe de résistance en fatigue est située bien au dessus de la courbe de Wöhler représentative de l'éprouvette lisse démontrant ainsi que cette amplitude est bien supérieure à l'amplitude de contrainte qui conduira au même nombre de cycles à rupture sur une éprouvette lisse. Cette amplitude de contrainte est appelée amplitude de contrainte effective et permet de replacer les courbes de résistance en fatigue des éprouvettes entaillées sur celle des éprouvettes lisses. Il faut indiquer en outre que l'effet d'entaille en fatigue n'est pas uniquement lié aux géométries de l'entaille et de l'éprouvette. Sur la figure 4. 3, on voit que les courbes de résistance en fatigue réalisées sur les mêmes éprouvettes mais soumises à des sollicitations de traction, torsion et de flexion. On constate que pour la même amplitude de contrainte nominale, le nombre de cycles à rupture est

Figure 4.1 : Mise en évidence de l'effet d'entaille en fatigue

Figure 4.2 : Présentation de l'effet d'entaille en fatigue par utilisation de l'amplitude de la contrainte maximale

152

Application aux structures

moindre en torsion et supérieur en flexion. L'effet d'entaille en fatigue est aussi sensible au mode de chargement.

2. Obtention de l'amplitude de contrainte effective en fatigue

L'amplitude de contrainte effective est obtenue à partir de la distribution de la l'amplitude de contrainte en fond d'entaille. Comme elle est inférieure à l'amplitude de contrainte maximale comme nous l'avons vu précédemment, cette amplitude de contrainte effective est en relation avec une distance appelée distance effective plus grande que la distance correspondant à l'amplitude de contrainte maximale. Cette dernière est juste au fond d'entaille dans le cas d'un comportement élastique, un peu au-delà dans le cas d'un comportement élastique. A partir de la connaissance de cette distance effective, l'amplitude de contrainte effective est déterminée par l'une des quatre méthodes suivantes :

La méthode du point ; La méthode de la ligne ; La méthode de l'aire ; La méthode volumétrique.

a) La méthode du point

Cette méthode est aussi appelée méthode de Peterson[1]. L'amplitude de la contrainte effective est définie comme la valeur de la contrainte correspondant sur la distribution de l'amplitude de contrainte en fond d'entaille, à l'abscisse donnée par la valeur de la distance effective Xef (Figure 4.4).

Figure 4.3 : Effet du mode de chargement sur l'effet d'entaille

153


La distance effective est considérée comme une constante du matériau. Taylor [2] a proposé que cette distance effective dans la méthode point soit égale à :

Ou Ks est la valeur du seuil de non fissuration et D la limite d'endurance du matériau.

b) La méthode de la ligne

Cette méthode est aussi appelée méthode de Kuhn et Hardrath [3]. L'amplitude de la contrainte effective est définie comme la valeur moyenne de la distribution de l'amplitude de contrainte sur la distance effective Xef (Figure 4.5).

Dans ce cas la distance apprendre en compte est le double de celle de la méthode du point notamment celle donnée par la formule (2)

Figure 4.4 : Définition de la contrainte effective selon Peterson [1]

(2)

Figure 4.5 : Définition de la contrainte effective selon Hardrath et al [3]

154


c) La méthode de la surface et la méthode en volume

Dans la méthode de la surface, l'amplitude de la contrainte effective est définie comme la valeur moyenne de la distribution de l'amplitude de contrainte sur une surface circulaire de diamètre Xef .

La distance effective est identique à celle de la méthode de la ligne.Dans la méthode en volume, l'amplitude de la contrainte effective est définie comme la valeur moyenne de la distribution de l'amplitude de contrainte dans le volume d'élaboration du processus de fatigue V. Ce dernier peut se ramer à un cylindre de section circulaire de diamètre Xef et de hauteur égale à l'épaisseur.

Le volume considéré est le volume associé aux contraintes supérieures à 90 voire 95% de la contrainte maximale.

d) La méthode volumétrique [4]

La méthode volumétrique est une forme particulière de la méthode en volume. Le volume d'élaboration de la rupture Vef est limité par la position du minimum du gradient de contrainte relatif .

L'amplitude de la contrainte effective est définie comme la valeur moyenne de la distribution de l'amplitude de contrainte dans le volume d'élaboration du processus de fatigue Vef ainsi défini. La distribution des contraintes réelles sur laquelle cette

moyenne est réalisée est pondérée par une fonction de poids r , pour tenir compte de l'influence du gradient relatif de contrainte .

La contrainte pondérée ij* permet de tenir compte du gradient de contrainte et donc du mode de chargement.

La fonction de poids r , prend la forme suivante :

(3)

(4)

(5)

(6)

155


Les figures 4.6 et 4.7 illustre cette méthode et montre la distribution volumique des contraintes et du gradient de contrainte relatif en bout d'une rainure de clavette à bout semi circulaire.

Les Figures 4.8 et 4.9 illustrent l'application de cette méthode dans le cas de l'influence de la concentration de contrainte due à des rainures de clavette. La figure 4.8 présente les courbes de Wöhler obtenues sur des éprouvettes présentant deux types de rainure à bout droit et à bout semi circulaire soumises à une flexion rotative. On note que l'effet d'entaille en fatigue est marqué. La figure 4.9 illustre l'application de la méthode. Les valeurs des couples de point (

ef-Nr) viennent se placer avec un bon accord sur la courbe obtenue sur des éprouvettes lisses et donc représentative du matériau. La méthode volumétrique permet donc à l'aide du calcul de la contrainte effective selon la procédure décrite et avec la possession de la courbe de résistance en fatigue du matériau de prévoit la durée de vie en fatigue

(7)

Figure 4.6 : Distribution de contrainte en bout d'une rainure de clavette chargée en flexion

Figure 4.7 : Distribution du gradient de contrainte relatif en bout d'une rainure de clavette chargée en traction

156


d'une structure entaillée. Toutefois, l'intégration en volume permettant d'obtenir l'amplitude de contrainte effective présente de faibles différences avec l'intégration en surface et en ligne. Pour cette raison, l'intégration en ligne est préférentiellement utiliser pour économiser les temps de calcul et de dépouillement.

3. Le facteur de réduction en fatigue

Dans le cas de la rupture par fatigue, on notera que pour un matériau donné, la limite d'endurance diminue quand le facteur de concentration de contrainte kt

augmente. Cette diminution est d'autant plus forte que le matériau possède des caractéristiques mécaniques élevées. Selon Peterson [1] le facteur de réduction en fatigue kf représente le rapport entre la limite d'endurance d'une éprouvette lisse et la limite d'endurance d'une éprouvette entaillée.

Figure 4.8 : Courbe de fatigue d'éprouvettes présentant 3 types de rainure de clavette

Figure 4.9 : Application de la méthode volumétrique à des éprouvettes présentant 3 types de rainure de clavette

157


D,L et D,n sont les limites d'endurance sur éprouvette lisse. Ce facteur est donc un coefficient expérimental calculé à partir d'essais de fatigue. Il prend une valeur toujours plus faible que la valeur du facteur de concentration de contrainte kt. Il représente un facteur de concentration de contrainte en fatigue qui tient compte de la relaxation plastique cyclique et de l'effet du processus de fatigue qui se produit dans un volume dans lequel règne un gradient de contrainte.

Le concept de facteur de réduction en fatigue a été étendu pour toute valeur de la duré de vie en fatigue et donc non limité à un nombre de cycles conventionnellement pris à 1 million, 2 ou 10 millions de cycle définissant la limite d'endurance. Le concept de facteur de réduction en fatigue généralisé Kf,g est défini par :

Il varie avec le nombre de cycles à rupture entre les valeurs 1 et kt. Son évolution avec le nombre de cycles. Cette évolution peut être décrite par la formule (10) :

Dans cette formule b et c sont respectivement les exposants de Basquin et de

(8)

Titre à définir

(9)

(10)

158


Coffin.L'évolution du facteur de réduction en fatigue est sensible au mode de chargement comme le montre la figure 4.10.

L'influence du mode de chargement sur le facteur de réduction en fatigue est lié au gradient de contrainte induit par le mode de chargement. Brandt [5] a montré que la limite d'endurance d'une éprouvette entaillée est reliée au gradient de contrainte * par la relation :

Le gradient de contrainte * est une valeur particulière du gradient de contrainte et est défini pour la valeur de la contrainte maximale.

Les valeurs des constantes a et b sont données par le tableau 4.1. Les valeurs de gradient de contrainte peuvent être calculées, dans certain cas, à l'aide du tableau 4.E1

Figure 4.10 : Influence du mode de chargement sur l'évolution du facteur de réduction en fatigue

(11)

(12)

159


Stieler[6] et Switech [7] ont calculé le facteur de concentration de contrainte en fatigue kf en fonction du gradient de contrainte

Où Sg est une constante du matériau, calculée en fonction de la limite d'élasticité Re.

4. Coefficient de sensibilité à l'entaille q

Pour le dimensionnement des pièces en fatigue, les bureaux d'études utilisent le concept ancien de coefficient de sensibilité à l'entaille. Celui-ci est défini par la formule suivante :

Les pièces étant dimensionnées pour une résistance illimitée en fatigue conduit à associer à cette définition kf et la limite d'endurance. Dans la littérature, des modèles anciens permettent de relier le rayon d'entaille, une caractéristique du matériau et le facteur de réduction en fatigue. Certains de ces modèles prennent en

Figure 4.11 : Influence du gradient de contrainte sur le facteur de réduction en fatigue

(13)

(14)

(15)

160


compte le gradient de contrainte enduit à la fois par le mode de chargement et l'effet d'entaille.

a) Modèle de Peterson [1]

Le modèle de Peterson propose une variation du facteur de sensibilité à l'entaille en fatigue q en fonction du rayon en fond d'entaille selon la relation empirique :

Tableau 4.1 : Valeurs des coefficients a et b dans la relation de Brand

Tableau 4.2 : Formules permettant le calcul du gradient

(16)

161


est le rayon de l'entaille en mm et ap une constante du matériau donné par une autre relation empirique avec la résistance ultime en (MPa).

b) Modèle de Neuber

Neuber [8] a proposé une autre relation pour calculer le coefficient de sensibilité à l'entaille :

Où an est un paramètre caractéristique, donné sur la figure 4.12.

(17)

Figure 4.12 : Evolution du facteur de sensibilité à l'entaille en fatigue q en fonction du rayon en fond d'entaille selon Peterson

(18)

162


5. Application de la règle de Neuber pour la prévision de la durée de vie en fatigue

Généralement la valeur élevée du facteur de concentration de contrainte kt conduit à une plastification en fond d'entaille qui relaxe les contraintes. La concentration de contrainte est alors plus faible et décrite par le facteur de concentration de contrainte élastoplastique k auquel est associé le facteur de concentration de déformation élastoplastique k plus grand que kt. Neuber [8] a proposé une relation liant ces trois grandeurs :

On considère alors que le fond d'entaille est soumis à une fatigue oligocyclique. Le matériau obéit à la loi de comportement cyclique :

Figure 4 .13 : Variation de la grandeur caractéristique dans la formule de Neuber

(19)

(20)

163


Avec E module de Young K' , coefficient de la loi d'écrouissage cyclique et n' : exposant de la loi d'écrouissage cyclique. La relation de Neuber et transformé en fatigue sous le nom de règle de Neuber où kf remplace kt:

Le remplacement des facteurs de concentration elastoplastiques par leur formalisme avec l'utilisation des amplitudes de contrainte et déformation conduit à :

Le produit max.

max = Constante de sorte que :

En faisant l'hypothèse que l'amplitude de contrainte globale est élastique. g=E

g.En fond d'entaille le matériau est soumis à une fatigue oligocyclique régie par la loi de Manson-Coffin

' f coefficient de la contrainte en fatigue. b exposant de la contrainte en fatigue.

' f coefficient de la ductilité en fatigue. c exposant de la ductilité en fatigue. E module de Young.

La figure 4.13 résume le principe de cette méthode.

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

164


6. Calcul de kf

Q u e s t i o n Calculer les valeurs du coefficient de concentration de contrainte kt et du coefficient d'effet d'entaille kf pour une éprouvette de flexion dont la géométrie est la suivante :

profondeur d'entaille a = 5mm largeur de l'éprouvette W = 15mm

rayon d'entaille = 0,4mm

Indice :

Le calcul du coefficient d'effet d'entaille se fera à partir de la relation de Neuber relative au facteur de sensibilité à l'entaille q.

Figure 4.14 : Principe de la méthode de l'hyperbole de Neuber

Schéma de l'éprouvette

165


an est le paramètre de Neuber.

7. Calcul du nombre de cycles d'amorcage d'une fissure au bord d'un trou

On considère une plaque en acier de largeur 2W et possédant en son centre un trou de diamètre 2a. Cette plaque est soumise à une amplitude de contrainte égale à la limite d'élasticité.

Q u e s t i o n Calculer le nombre de cycles d'amorçage de la fissure de fatigue qui prendra naissance au bord du trou.Données :

largeur de la plaque 2W = 0.5m hauteur de la plaque h = 0.5m diamètre du trou 2a = 0.02m

amplitude de contrainte = Re limite d'élasticité Re = 360MPa module de Young E = 210 000MPa coefficient de kt = 3.(1 - √a/w)) concentration de contrainte

loi de comportement cyclique = K' n' Coefficient K K' = 800 MPa coefficient d'écrouissage n' = 0.21 déformation à rupture 'f 0,6 résistance ultime Rm = 725 MPa

Indice :

1. On détermine le facteur de concentration de contrainte kt. 2. On calcule les amplitudes de contrainte et de déformation locales à partir

de la contrainte globale. 3. On construit la courbe de la loi des pentes universelles.

Indice

166


B. Paramètres d'influence

1. Nature du matériau

2. Etat de surface

3. Environnement

4. Effet d'échelle

5. Contraintes résiduelles

C. Joints soudés

1. Paramètres d'influence de la fatigue des joints soudés

La durée de vie en fatigue des joints soudés est fortement affectée par la présence en pied du cordon d'une concentration de contrainte liée à la géométrie de la soudure. Les zones d'amorçage de la fissure sont en correspondance soit avec cet accident géométrique du cordon, soit avec un défaut interne (manque de pénétration, soufflures) ou externe (caniveaux, inclusions de laitier). La résistance statique d'un assemblage soudé bout à bout est en général égale à celle du métal base par contre la résistance en fatigue est bien inférieure. Différents paramètres affectent la tenue en fatigue des joints soudés :

facteurs géométriques : forme du cordon, mauvais alignement des tôles, épaisseur des tôles,

facteurs métallurgiques : nature du métal base, procédé de soudage, défauts de soudage, niveau des contraintes résiduelles,

facteurs liés à la sollicitation : mode de chargement (amplitude constante ou variable, rapport de charge), gradient de sollicitation, biaxialité des contraintes, environnement.

a) Epaisseur de la tôle et facteur d'échelle

De nombreuses études montrent que pour des joints géométriquement similaires, la résistance en fatigue tend à décroître lorsque l'épaisseur des tôles augmente. L'évolution des durées de vie en fatigue en fonction de l' épaisseur B pour des assemblages en T sollicités en flexion est de la forme :

(1)

167


B0 est une épaisseur de référence et K( ) un paramètre. D'une façon plus générale, l'expérience montre que des pièces semblables réalisées avec un même matériau ont une résistance en fatigue décroissante lorsque toutes les dimensions augmentent. Ceci est dû au fait que la probabilité d'apparition des défauts susceptibles d'amorcer une fissure croît proportionnellement avec le volume de la pièce.

b) Mode de chargement

Le mode de chargement est aussi très influent sur la résistance en fatigue d'une soudure. La comparaison de résultats obtenus soit en traction, soit en flexion, fait apparaître un effet du gradient de contrainte au voisinage du pied du cordon, qui se traduit par des durées de vie différentes en fatigue avec la même amplitude de contrainte appliquée. Similairement, la position des appuis par rapport au point d'application de la force est un facteur qui influence la nature des contraintes en proximité du cordon. Ces contraintes peuvent être de traction ou de flexion ou biaxiale dans les zones de concentration (Figure N° 4.3.2).

Figure 4.3.1 Influence de l'épaisseur sur la résistance à la fatigue d'un joint soudé de type C

168


Peu de résultats de la littérature concernent le cas de chargements complexes ; une méthode consiste à considérer la contrainte principale maximale comme contrainte de calcul à comparer à la contrainte admissible de l'assemblage considérée. Dans la figure N°4.3.2, on peut remarquer la variation de la contrainte maximale équivalente en deux points différents du cordon de soudure (point 1 et 2).Pour des distances d'appui Se différentes, on peut prévoir que la rupture tirera son origine dans la position 1 en traction ou dans la position 2 en flexion selon la grandeur du bras d'appui. Les résultats ont été obtenus pour un joint en T sollicité en flexion 3 points. On notera que l'amorçage se fera au point 2 pour des distances Se = 15 et 20 mm.

Figure 4.3.3 Evolution de la contrainte maximale équivalente en fonction de la distance au pied du cordon au pont 2pour un joint en T d'épaisseur 18 mm

Figure 4.3.2 Définitions des points de rupture en fatigue dans un assemblage en T soumis à une traction et une flexion

169


c) Rapport de charge

La valeur du rapport de charge R= min / max a une grande influence sur l 'endurance en fatigue pour le matériau de base. En pratique, lorsque l'on peut craindre la présence de contraintes résiduelles élevées et qu'il n'est pas possible de mesurer celles-ci ou d'effectuer un traitement de détente, on admet que l'amplitude de contrainte correspond à la valeur de l'amplitude maximale. Les premiers cycles même si la valeur du rapport est élevée, déterminent dans la zone plastique une baisse de la contrainte moyenne jusqu'aux conditions R = 0. C'est pourquoi la plupart des codes de calcul actuels ne considèrent pas l'effet de la contrainte moyenne et fournissent pour un type d'assemblage donné une seule valeur de variation de contrainte admissible .

d) Défauts d'alignement

Figure 4.3.5 Définitions des défauts d'alignement dans les joints soudés

Figure 4.3.4 Evolution de la contrainte moyenne au cours des cycles de fatigue

170


Ces types de défauts conduisent à des moments de flexion parasites qui viennent s'ajouter à la contrainte nominale appliquée. Puisque l'alignement entre les plaques soudées et le système de charge et d'amorçage sur la tôle n'est jamais parfaitement fiable, soit pour les éprouvettes d'essais, soit dans les structures soudées des produits industriels, l'effet combiné de deux type de défaut (axial et angulaire) doit être pris en compte dans les règlements. En effet, la présence d'un angle de désalignement inférieure à 1° conduit à contraintes parasites de l'ordre d'une centaine de MPa. La contrainte de flexion b s'exprime en fonction de la contrainte axiale axial par

e) Facteurs métallurgiques internes

Une des conclusions les plus importantes obtenues est que la nocivité des inclusions dépend principalement de la présence possible d'hydrogène. Ce rôle de l'hydrogène dans la diminution d'endurance des joints soudés, en liaison avec la présence de porosité, a été reconnu par de nombreux auteurs. L'influence des soufflures et des inclusions de laitier sur les caractéristiques de fatigue provoque évidemment des effets négatifs, mais on a montré que tels défauts n'affectent l'endurance du métal que pour des durées de vie supérieures à 104 cycles. Plus généralement on établi que le degré de nocivité des défauts métallurgiques internes (pores, cratères de reprises, manque de pénétration, inclusions non métalliques et morsures de bord) correspond à la concentration de contrainte induite.

f) Influence des contraintes résiduelles

Par définition, les contraintes résiduelles forment un système de contraintes internes en équilibre qui existe en l'absence d'une charge extérieure. Elles sont généralement le résultat d'une déformation plastique permanente due aux effets thermiques locaux du procédé de soudure, ils sont dus en particulier à la contraction du métal, à la variation de la limite d'élasticité et du coefficient de dilatation thermique avec la température. Elles tirent leur origine de diverses façons ; souvent les tôles à souder contractent le cordon longitudinalement pendant le refroidissement, en outre le déplacement du point de fusion fait solidifier un bord de la tôle avant de l'autre.

(2)

171


La figure N° 4.3.6 donne un exemple de la distribution de ces contraintes dans le cas d'un simple joint bout à bout transversal. Ces contraintes tirent leur origine des dilatations longitudinales empêchées. La présence de contraintes résiduelles dans un cordon de soudure est inévitable ; leur influence change la distribution des contraintes dans la zone de transition entre le matériau de base et le matériau d'apport. En plus, l'état de compression généré par les contraintes résiduelles proche de la surface, cause un phénomène de fermeture de fissure qui retarde sa propagation.

2. Coefficients de concentration de contraintes des les cordons de soudure

La durée de vie en fatigue de joints soudés est fortement affectée par la présence au pied de cordon d'une concentration de contraintes liées à la géométrie du joint soudé, ou à la présence d'un défaut préexistant. La présence de concentration de contraintes est un facteur déterminant dans le comportement d'une structure en fatigue car la rupture apparaît toujours au niveau de celle ci.

Figure 4.3.6 Distribution des contraintes résiduelles dans un cordon de soudure bout à bout

172


Nihei [1] a étudié la variation de la résistance à la fatigue (à 5 105 cycles) de différents types de joints en fonction du coefficient de concentration de contrainte. Leurs résultats reportés dans la figure N° 4.3.7 indiquent une forte réduction de la résistance à la fatigue en fonction de kt.

a) Coefficient de concentration de contrainte élastique

Le coefficient de concentration de contrainte en général et dans un joint soudé en particulier est défini par le rapport entre la contrainte locale maximale et la contrainte globale. Ce coefficient de concentration de contrainte dépend surtout du rayon au pied de cordon de l'angle de raccordement mais aussi de la géométrie du joint soudé et du mode de chargement. Diverses formules de calcul du coefficient de concentration de contrainte sont proposées dans la littérature. Certaines formules simplifiées ne prennent pas en compte l'ensemble des paramètres.

b) Influence de l'angle de raccordement

Richards [2] a montré que la limite d'endurance augmentent linéairement avec l'angle de raccordement du cordon sur une structure soudée bout à bout. La figure 4.3.8 montre l'influence de l'angle de raccordement sur le facteur de concentration de contrainte en pied de cordon.

Figure 4.3.7 Relation entre la valeur moyenne de la résistance à la fatigue à 5 105 cycles et le logarithme du facteur de concentration de contrainte pour différents

types de joints soudés selon [1]

173


c) Influence du rayon au pied du cordon

Skorupa et al. [3] à partir d'une étude menée par un calcul aux éléments finis sur des joints soudés cruciformes ont développé une équation pour l'estimation du coefficient de concentration de contrainte élastique kt tenant compte du rayon au pied de cordon et de l'épaisseur de la plaque t. Celle-ci est donnée par :

Ikeda et al. [4] montrent l'influence du rayon au pied de cordon sur la réduction de la résistance à la fatigue (figure N° 9.7). Ces résultats ont été obtenus à partir des essais réalisés sur des joints en croix (K2) réalisés en acier à haute limite d'élasticité (780 MPa).

d) Influence de l'angle de raccordement et le rayon au pied du cordon

Des études effectuées [5, 6] sur des éprouvettes usinées (entaillées) dont le profil est analogue à celui d'éprouvettes soudées ont été réalisées en faisant varier de façon continue le rayon et l'angle de raccordement du joint simulé. Ces études ont montré que l'augmentation du rayon d'entaille ou la diminution de l'angle de raccordement diminue fortement la concentration de contraintes. L'influence de devient négligeable lorsque est inférieur à 10 ou 15° et l'influence de devient négligeable, soit lorsque sa valeur dépasse 40° ou lorsque dépasse 6 à 10 mm.Niu et Glinka [7] estiment le coefficient de concentration de contraintes kt d'un joint soudé cruciforme à partir de la formule suivante :

(9.2)

Figure 4.3.8 Influence de l'angle de raccordement sur le facteur de concentration de contrainte en pied de cordon

174


est l'angle de raccordement en radians.

e) Influence de la géométrie du cordon

Nihei et al. [1] déterminent le coefficient de concentration de contrainte en fonction des paramètres géométriques du cordon hauteur H, épaisseur t, rayon d'entaille et (en radians) angle d'entaille à partir de la formule suivante :

f) Influence de la géométrie et du chargement

Machida [8] pour le calcul du coefficient de concentration de contrainte, a tenu compte de la géométrie et du type de chargement en proposant pour 3 géométries de joint, des formulations du facteur de concentration de contrainte applicables

(4)

Figure 4.3.9 Influence du rayon au pied de cordon sur la réduction à la résistance à la fatigue [4]

(3)

175


dans les intervalles du rapport /t (0,0025≤ /t ≤ 0,2 et 0,26≤ /t ≤ 5,2). H épaisseur.

joint soudé cruciforme soumis à un chargement de traction axial : kt,1

L'équation 5 est la demi-longueur de l'entraxe. joint en T soumis à une flexion : kt,2

joint cruciforme soumis à un effort de flexion : kt

g) Comparaison des formules analytiques avec des calculs aux éléments finis

Des calculs aux éléments finis ont été réalisés sur des joints soudés en T dont la géométrie est représentée en cartouche dans la figure N° 8 en vue d'étudier l'influence du rayon au pied de cordon et de l'angle de raccordement.

(7)

(6)

(5)

176


Nous constatons dans la figure 4.3.10 que les formules de Nihei [1] Skorupa [3], Glinka [7] et Machida [8] donnent des résultats voisins entre eux et voisins des résultats des calculs numériques en ce qui concerne l'influence du rayon en pied de cordon. La divergence entre les formules analytiques et les calculs par éléments finis est plus marquée pour l'influence de l'angle de raccordement (figure N°9.9).

3. Coefficient d'entaille en fatigue

L'utilisation du coefficient de concentration de contraintes kt donne des prédictions excessivement pessimistes par rapport aux résultats expérimentaux dans le domaine de la fatigue. Ceci particulièrement vrai pour les faibles rayons à fond d'entaille. C'est pourquoi, en fatigue, on utilise un autre coefficient empirique pour caractériser l'effet d'entaille. Noté kf et appelé coefficient d'entaille en fatigue, il est déterminé au cours d'essais de même type et défini par :

Figure 4.3.11 Influence de l'angle de raccordement sur le facteur de concentration de contrainte élastique dans un joint soudé en T

Figure 4.3.10 Influence du rayon au pied de cordon sur le facteur de concentration de contrainte élastique dans un joint soudé en T

177


où D est la limite d'endurance sur éprouvettes lisses, D,n la limite d'endurance sur éprouvettes entaillées.

Un certain nombre d'équations présentées dans la littérature permettent la détermination du coefficient de concentration de contrainte en fatigue, le plus souvent en fonction du kt. Une généralisation du facteur d'entaille en fatigue en fonction du nombre de cycles est maintenant utilisée :

Figure 4.3.13 Evolution du facteur d'entaille en fatigue en fonction du nombre de cycles pour un joint soudé bout à bout

Figure 4.3.12 Evolution du facteur de concentration de contrainte et du facteur de réduction en fatigue avec le rayon en pied de cordon

(8)

178


(NR) : amplitude de contrainte sur éprouvette lisse. n (NR) : amplitude de contrainte sur éprouvette entaillée.

4. Méthodes normalisées et codes de dimensionnement contre le risque de rupture par fatigue des joints soudes

Les outils actuellement utilisés pour le dimensionnement des joints soudés contre la rupture par fatigue sont : la méthode de la contrainte linéarisée, l'Eurocode 3 et la méthode des contraintes géométriques ou effectives.

a) Méthode de la contrainte linéarisée

Cette méthode est utilisée dans les recommandations anglaises BSI PD 6493 de 1991. Son principe repose sur la détermination d'une amplitude de contrainte appelée contrainte linéarisée.Cette amplitude de contrainte est reportée sur une courbe de référence de résistance en fatigue, ce qui conduit à la prévision de la durée de vie. On considère que dans le cas le plus général, toute structure est soumise à une contrainte résultante considérée comme la superposition de quatre types de contraintes :

une contrainte primaire due au chargement mécanique, m+ b

une contrainte secondaire due au chargement thermique et aux contraintes résiduelles Q,

une contrainte de pic induite par la présence de discontinuités géométrique pic

une contrainte due aux désalignements disal. La contrainte totale est considérée comme la somme de ces contraintes.

(9)

179


La distribution des contraintes ainsi obtenue est linéarisée dans le sens de l'épaisseur selon le choix le plus conservatif comme il est indiqué dans la figure. Cette linéarisation permet d'en déduire :

Une amplitude de contrainte de traction mt

Une amplitude de contrainte de flexion \Delta\sigmab

Amplitude de contrainte de flexion

Amplitude de contrainte de traction

Figure 4.3.14 Classification des contraintes dans les structures

180


Toutefois l'amplitude de contrainte de flexion effective doit tenir compte de l'amplitude de contrainte de désalignement

des. Pour cela on définit un facteur de désalignement kdes. L'amplitude de contrainte effective de flexion 'b est alors donné par :

Les courbes de références en fatigue différentes selon les classes de soudure Q1 à Q10.

Les courbes sont présentées avec une double échelle d'amplitude de contrainte l'une pour les aciers l'autre pour les alliages d'aluminium. Cette méthode ne fait aucunement référence à la nature du matériau et à l'influence du rapport de charge R. Dans ce dernier cas, on considère que cette influence est masquée par la présence de contraintes résiduelles. Notons que ces dernières s'effacent par relaxation plastique au cours du cyclage.

Tableau 4.3.1 Tableau des qualités

(10)

Figure 4.3.15 Principe de la contrainte linéarisée ; définition des amplitudes de contrainte

181


b) Eurocode III

Selon cette norme, le nombre de cycles que peut endurer un élément de structure soudé sollicité à la fatigue dépend de l'étendue de la contrainte nominale et de la catégorie du détail auquel se rapporte l'élément de structure étudié. La vérification à la fatigue consiste à satisfaire la relation :

a est l'étendue de contrainte effective qui est calculée pour un chargement à amplitude non constante à partir de la méthode "rainflow" et à l'aide de la règle de Miner.

R est l'étendue de la résistance en fatigue s et m sont des facteurs partiels de sécurité.

Le facteur partiel de sécurité du matériau m réduit l'incertitude sur la résistance à la fatigue due aux variations de dimensions, de forme, des concentrations de contrainte, de la présence des contraintes résiduelles et des dégradations du matériau dues aux soudages, Le facteur partiel de sécurité sur le chargement s tient compte des incertitudes sur l'amplitude des charges appliquées sur le nombre de cycles appliqués, de la transformation des charges en contraintes. Les éléments de structures soudés sont rassemblés dans des catégories de détails. Ces catégories rassemblent les exigences de fabrication et de contrôle notamment sur la détection de fissures préexistantes. Ces classes de détail sont référencées à partir d'un nombre Xcl qui correspond à la résistance à la fatigue à 5 millions de cycles exprimés en MPa. voir comment on peut améliorer l'image ci-dessous

Figure 4.3.16 Courbes de référence en fatigue pour la norme BS 6493, (pour des raisons de clarté seul les coures relatives aux Classes Q1,Q4,Q7 et Q 10 sont

représentées)

(11)

182


Joints soudés

183


La courbe de fatigue de chaque classe de détail est obtenue par une décomposition en 3 parties dans un diagramme bilogarithmique (étendue de la contrainte - nombre de cycles à rupture) :

Partie 1 : demi-droite (à gauche) de pente m=3 passant par le point [5.106 ; Xcl] où Xcl est le nombre associé à la classe de détail,

Partie 2 : demi-droite (à droite) de pente m=5 et passant par le point [5.106

; Xcl], Partie 3 : troncature de la droite réalisée pour un nombre de cycles de 108.

Ces courbes ont été obtenues à partir de nombreux résultats expérimentaux sur des joints soudés d'épaisseur voisine de 15 mm. L'Eurocode s'applique à des joints soudés ayant des contraintes résiduelles élevées et soumis à un rapport de charge élevé, comme dans le cas du code britannique, il ne tient pas compte de la nature du matériau et du rapport de charge. Pour des épaisseurs fortes dépassant 25 mm, les résultats obtenus peuvent conduire à des coefficients de sécurité insuffisants.

Figure 4.3.17 Courbe de référence en fatigue selon l'Eurocode III 5 pour la clarté seules les courbes relatives aux classes de détail 36, 71 et 140 ont été présentées

184


La comparaison de données expérimentales dans le cas d'un un joint soudé en T symétrique en acier E36 d'épaisseur 8mm soumis en flexion R = -0,1 montre le degré de conservatisme de l'Eurocode III (Figure N°4 .3.17).

c) Utilisation de la contrainte géométrique

L'Institut International de la soudure a proposé une norme ISO dans son document XIII 1539-96/XV –345-96 intitulé "Recommandation pour la conception en fatigue de joints soudés". Le dimensionnement vis-à-vis du risque de fatigue des joints soudés est basé sur l'existence d'une courbe de référence en fatigue pour chaque classe de détail de soudures identiques à celle de l'Eurocode III.

Ce qui diffère, c'est la détermination de l'étendue de la contrainte effective qui peut être

soit la contrainte géométrique,

Figure 4.3.19 Définition de la contrainte géométrique dans une structure soudée

Figure 4.3.18 : Courbe de Wöhler pour un joint soudé en T symétrique en acier E36 d'épaisseur 8mm soumis en flexion R = -0,1. Comparaison des résultats de

l'expérience avec l'Eurocode

185


soit la contrainte effective d'entaille. La contrainte géométrique est liée, bien entendu, à la géométrie de l'assemblage et de la soudure. Elle tient compte des effets de désalignement des contraintes résiduelles et des facteurs d'échelle. La contrainte géométrique est obtenue par linéarisation de la distribution réelle des contraintes obtenues par calcul aux éléments finis ou expérimentalement à l'aide de jauge de contraintes. La linéarisation est faite selon une procédure qui consiste à faire passer une distribution linéaire des contraintes par les points particuliers d1 et d2. d1 et d2 sont choisis en fonction de l'épaisseur B de la tôle.

Notons que si la contrainte au point d1 et d2 est mesurée à l'aide de jauges de contraintes, la longueur de leur grille doit être inférieur à 0,2 B. Plus précisément, la distribution théorique est linéaire pour une sollicitation de traction et quadratique dans le cas d'une sollicitation de flexion. La valeur extrapolée en pied de cordon est précisément la valeur de la contrainte géométrique. Dans le cas d'une discontinuité géométrique conduisant à une concentration de contrainte, la contrainte effective d'entaille est obtenue à partir de la distribution réelle calculée par la méthode des éléments finis. Les hypothèses de calcul sont celle d'un comportement élastique et d'un rayon en pied de cordon de valeur uniforme de 1mm. La valeur calculée en pied de cordon à partir de ces hypothèses est considérée comme la contrainte effective d'entaille et introduite dans la courbe de référence en fatigue. Les courbes de référence de la résistance à la fatigue sont des droites dans un diagramme bilogarithmique de pente constante et égale à 3. Cette droite passe par le point [2.10 6 ; Xcl] où Xcl est la classe de détail.Notons que ces classes de détail sont différentes car celle de l'Eurocode 3 et plus conservatives. Cette méthode permet de tenir compte de l'influence du rapport de charge s'il reste inférieur à R< 0.5. On tient compte de l'influence du rapport R en changeant le nombre caractéristique de la classe de détail. Celui-ci est obtenu par la multiplication par un facteur f fraction du rapport R dont les valeurs sont reportées dans le tableau suivant :

A) Matériau de base et soudures sans contraintes résiduelles et effets secondaires B) Soudures simples en faible épaisseur, petits cordons C) Structures complexes et en forte épaisseur

5. Durée de vie d'un joint soudé

On considère un joint soudé de bout avec une semelle d'épaisseur t = 8mm et de largeur W= 30 mm. Le cordon de soudure présente un rayon en pied de codon de

(12)

Tableau 9.2

186


0, 25 mm et un angle de raccordement de 135 °.Ce cordon de soudure est soumis a une amplitude de force cyclique F de 25KN avec un rapport de charge R = 0. La courbe de résistance en fatigue est donnée par l'équation de Basquin

Q u e s t i o n Calculer le nombre de cycles à rupture.

6. Exercice 2 sur les joints soudés

On considère un joint soudé dont la catégorie de détail est 71 dans l'EUROCODE3.

Q u e s t i o n Calculer la durée de vie de ce joint soudé pour une étendue de contrainte de 100MPa.

Joint soudé en T catégorie de détail 71

Equation de Basquin

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Fatigue des matériaux et des structures · Table des matières I - Historique et importance du phénomène de fatigue 7 A. Premiers accidents de chemin de fer