FIN1163 Ingénierie financière: produits dérivés€¦ · Évaluation risque-neutre Chapitre 24 - Risque de crédit Chapitre 8 - Titrisation Chapitre 25 - Dérivés de crédit Probabilités

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FIN1163 Ingénierie financière: produits dérivés

Sébastien Blais

Département des sciences administratives, UQO

30 octobre 2017

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Évaluation risque-neutre Chapitre 24 - Risque de crédit Chapitre 8 - Titrisation Chapitre 25 - Dérivés de crédit

Aujourd’hui

2 Évaluation risque-neutre3 Chapitre 24 - Risque de crédit

24.1 Notations de crédit24.2-4 - Probabilités de défaut24.6 - Modèle de Merton24.9 - Corrélation des défauts

4 Chapitre 8 - Titrisation8.1 - Titrisation8.3 - La crise

5 Chapitre 25 - Dérivés de crédit25.1 Les CDS25.2 L’évaluation des CDS25.7 Les TRS25.3 Les indices de crédit25.8 Les CDO25.9-10 La corrélation et l’évaluation des CDO


Évaluation risque-neutre

On présente souvent l’évaluation risque-neutre comme l’évaluationqui prévaudrait si les investisseurs n’étaient pas averses au risque.Cette présentation est une source de confusion pour plusieurs...

1. Le prix d’un actif financier est toujours inférieur à l’espérance deses flux actualisés.

S0 < E[

ST e−rT]

2. S’il n’y a pas d’opportunités d’arbitrage, il existe des probabilitéstelles que le prix d’un actif est égal à l’espérance de ses fluxactualisés:

S0 = EQ[

ST e−rT]

On appelle ces probabilités les probabilités risque-neutres. Ellessont implicites dans les prix des actifs et on doit les extraire.


Évaluation risque-neutre

Procédure:1 On postule un modèle f () qui relie les prix S0 des actifs

financiers aux probabilités risque-neutres q: S0 = f (q)On illustre (voir exemple) avec un modèle simple et desprobabilités discrètes. Des modèles plus réalistes sont pluscomplexes. Les variables modélisées sont souventcontinues.

2 À partir de (plusieurs) prix, on calcule les probabilitésrisque-neutres: q̂ = f−1(S0)

3 À partir de ces probabilités, on peut calculer le prix den’importe quel actif financier: C0 = f (q̂).


Exemple

Un titre vaut 20$ aujourd’hui et le taux sans risque est de 12%.

Modèle:

dans 3 mois, il vaudra 18$ ou 22$

Le prix du titre satisfait

20 = q × 18 × e−0,12×0,25 + (1 − q)× 22 × e−0,12×0,25.

Une équation (un prix), une inconnue (paramètre).

On peut résoudre pour trouver q̂ = 0, 3477. Il ne s’agit pas de laprobabilité que le titre vaille 18$ dans 3 mois!

Remarque: Dans ce modèle simple, le seul paramètre inconnuest une probabilité. Dans un modèle plus riche, on aurait unevariance, une corrélation, etc.


Combien vaut une option d’achat européenne avec un prix delevée de 21$?

Elle vaut 0$ si le titre vaut 18$ et 1$ si le titre vaut 22$.

Le prix de l’option est donc l’espérance, sous les probabilitésrisque-neutres, de ses flux actualisés, soit

0, 3477 × 0 × e−0,12×0,25 + (1 − 0, 3477) × 1 × e−0,12×0,25 = 0, 633

Remarque: Il n’y a aucun lien (sans hypothèsessupplémentaires) entre les probabilités physiques/historiqueset les probabilités risque-neutres.


Aujourd’hui






Qu’est-ce que le risque de crédit

C’est le risque associé à la capacité de l’émetteur d’un titre dedette d’honorer ses obligations contractuelles.

Le risque de crédit est souvent modélisé par l’intermédiaire detrois paramètres:

1 la probabilité de défaut2 la perte en cas de défaut (taux de recouvrement, en % de

l’exposition)3 l’exposition en cas de défaut (pour le crédit rotatif - surtout

modélisé par les banques)

E [Perte] = PD × PCD × ECD

On fait souvent (à tord) l’hypothèse que ces paramètres sontindépendants les uns des autres.


Notations de crédit

Les agences de notation (Moody’s, Fitch, S&P, DBRS) évaluentla qualité de crédit d’émetteurs de titre de dette, à leurdemande.

Chaque agence utilise ses propres échelles de notation, unepour les obligations et une autre pour les instruments demarché monétaire.

Définition des notations de crédit de Moody’s:https://www.moodys.com/Pages/amr002002.aspx?lang=en&c

Par souci de transparence, les agences publient leursméthodologies de notation. Par exemple:https://www.moodys.com/research/Banks--PBC_186998?l

https://www.moodys.com/Pages/amr002002.aspx?lang=en&cy=can

https://www.moodys.com/Pages/amr002002.aspx?lang=en&cy=can

https://www.moodys.com/research/Banks--PBC_186998?lang=en&cy=can

https://www.moodys.com/research/Banks--PBC_186998?lang=en&cy=can


Notations de Moody’s: Long terme

Note DescriptionAaa Meilleure qualitéAa Haute qualitéA Qualité “moyenne-haute”

Baa Qualité moyenne avec certains caractéristiquesspéculatives

Ba Spéculative avec risque substantielB Spéculative avec risque élevé

Caa Spéculative avec risque très élevéCa Hautement spéculative avec défaut imminent

et possible récupération de capitalC En défaut avec faible probabilité de récupération de capital

Les notes Aaa à A sont dites investment grade (les autres étantspeculative grade).


Moody’s apporte parfois les précisions suivantes:Ajout d’un chiffre entre 1 et 3 après la note à partir de Aa.Exemples:

A1: meilleure qu’une A moyenneA2: équivalente à un A moyenneA3: inférieure à une A moyenne

Une opinion sur l’évolution à moyen terme de la note(Outlook)

POSitive: possibilité d’amélioration de la noteNEGative: possibilité de détérioration de la noteSTAble: faible probabilité de changementDEVeloping: possibilité de changement de la note

Une opinion sur un processus de révision en coursreview for upgrade (UPG)review for downgrade (DNG)uncertain (UNC)


Notations de Moody’s: Court terme

Note DescriptionCapacité de rencontrer les obligations à court terme...

P-1 ... supérieure.P-2 ... forte.P-3 ... acceptable.NP Not prime.

Les agences de notations ont beaucoup évolué depuis la crisede 2007. Elles offrent maintenant une vaste gamme d’échellesde notation et de services.


Structure à terme des probabilités de défaut

Attention à la période de défaut utilisée lorsqu’on définit uneprobabilité de défaut!

En général, la probabilité de faire défaut entre T1 et T2 ne dépendpas seulement de T2 − T1, elle dépend aussi de T1 − T0

(www.moodys.com/.../PBC_151956.xlsx, feuille 32).

La structure à terme des probabilités de défaut dépend(historiquement) de la qualité de l’émetteur

1 Pour les émetteurs de bonne qualité, la probabilité de défauttend à augmenter avec l’échéance, parce que la situation del’émetteur peut se détériorer avec le temps.

2 Pour les émetteurs de mauvaise qualité, la probabilité dedéfaut tend à diminuer avec l’échéance, parce que la situationde l’émetteur peut s’améliorer une fois les difficultésimmédiates surmontées.

https://www.moodys.com/research/Annual-Default-Study-Corporate-Default-and-Recovery-Rates-1920-2012--PBC_151956


Probabilité et intensité de défaut

Supposons que la probabilité q’un émetteur noté Caa fassedéfaut au cours des deux prochaines années est 0,27867 etque la probabilité qu’il fasse défaut au cours des troisprochaines années est 0,36908.

La probabilité que l’émetteur fasse défaut au cours de latroisième année est 0, 36908 − 0, 27867 = 0, 09041.

L’intensité de défaut est la probabilité de faire défaut au coursd’une période sachant qu’il n’a pas fait défaut avant, divisée parla longueur de la période.

L’intensité de défaut de la troisième année est

λ (3) =

(

0, 090411 − 0, 27867

)

/1 = 0, 1253.


Estimation des probabilités de défaut

Quelle est la probabilité de défaut d’un émetteur?

1. Même si les notations de crédit mesurent la qualité de créditdes émetteurs, on peut tout de même calculer les taux dedéfaut historique pour chaque note d’une échelle.

La note de crédit devient alors un modèle: la probabilitéest entièrement caractérisée par la note.

2. On peut calculer la probabilité de défaut risque-neutre,implicite dans le prix d’une obligation par l’intermédiaire d’unmodèle


2. On peut calculer la probabilité de défaut risque-neutre, implicitedans le prix d’une obligation par l’intermédiaire d’un modèle

si le taux de recouvrement est de Rsi la seule différence entre une obligation zéro-coupon del’émetteur et une obligation sans risque est le risque de défaut

et qu’elle se transige à un écart de s au-dessus d’une obligation sansrisque de même échéance alors on peut calculer la probabilité dedéfaut implicite en solutionnant

e−(r+s)t = PD × Re−rt + (1 − PD)× Re−rt

e−(r+s)t =(

1 − e−λ̄t)

× Re−rt + e−λ̄t× Re−rt

λ̄ ≈s

1 − R


Exemple 24.1

Terme Spread Intensité T0 − T2 Intensité T1 − T2 PD T0 − T2

1 0,015 0,025 0,02472 0,018 0,03 0,035 0,05823 0,0195 0,0325 0,0375 0,0929

0, 03 =0, 015

1 − 0, 4

0, 0375 =3 × 0, 0325 − 2 × 0, 03

3 − 20, 0929 = 1 − e−0,0325×3

On peut faire des calculs plus précis avec une méthode similaireau bootstrap (Exemple 24.2).


Taux de recouvrement

Il y a relativement peu de données sur les taux derecouvrement (feuille 7)

Il existe des taux de recouvrement historiques pourcertaines classes de créances (pas de tauxrisque-neutres)

Le taux de recouvrement dépend de l’ordre de priorité(cascade ou waterfall) et de la qualité des actifs

On fait souvent, à tord, l’hypothèse que les probabilités dedéfaut sont indépendantes des taux de recouvrement


Probabilités réelles et risque-neutres

Chacune a sa fonction:

Les probabilités risque-neutres sont des prix implicites. Ilssont utiles pour calculer la valeur d’une exposition à unrisque de crédit (ou de contrepartie).

Les probabilités réelles (historiques, physiques) décriventl’incertitude autour de défaut d’un émetteur. Elles sontutiles pour calculer la distribution des pertes en général, etl’espérance de perte en particulier.


Le modèle de Merton

Le modèle de Merton est un autre modèle permettant le calculdes probabilités de défaut risque-neutres.

Selon ce modèle, les actionnaires détiennent une optiond’achat sur les actifs de l’entreprise (et les créanciers ont venducette option): ce sont les actionnaires qui décident de fairedéfaut ou non.

1 Si la valeur des actifs VT est supérieure à la dette D, lesactionnaires reçoivent VT − D et les créanciers reçoivent D

2 Si la valeur des actifs est inférieure à la dette, lesactionnaires reçoivent 0 et les créanciers reçoivent VT .

Comme on le verra aux chapitres 13 et 15, la valeur d’uneoption dépend de la distribution risque-neutre de l’actifsous-jacent. Il est alors possible (moyennant un certain nombred’hypothèses!) d’utiliser le prix des actions pour estimer les PDrisque-neutres.


Corrélation des défauts

Lorsque le sous-jacent d’un actif dérivé est un portefeuille detitres de dette, sa valeur depend des corrélations entre lesdéfauts des émetteurs (section 25.9; plus de corrélation =moins de diversification).

Exemple: si on portefeuille contient 100 titres, la valeur del’actif dérivés dépend de 100 × (100 − 1) /2 = 4950 corrélations.

Trois approches de modélisation populaires:1 Il n’y a qu’une seule corrélation (un paramètre - c’est

l’approche retenue pour l’évaluation risque-neutre)2 Modèle factoriel (un paramètre par facteur par émetteur)3 Copule (un paramètre par corrélation, mais on utilise les

corrélations entre les rendements des actions)


Aujourd’hui






Titrisation

La titrisation est une processus par lequel on crée des titres(négociables sur les marchés) à partir d’actifs financiers(habituellement des créances) non négociables.

1 Le créancier vend les créances à une entité créée pourl’occasion (SPV, special purpose vehicule)

2 Le SPV émet des titres dont les flux sont directement liés àceux des actifs (créances)

3 Des investisseurs achète ces titres (le créancier originaldétient habituellement une partie des titres)

La création d’un portefeuille permet une certain diversification.


Alphabet de la titrisation

L’appellation des instruments indique la composition duportefeuille et la nature des titres émis

MBS (mortgage backed securities)

CMBS (commercial mortgage backed securities)

ABS (asset backed securities)

ABCP (asset backed commercial paper)

CLO (collateralized loan obligations)

CDO (collateralized debt obligations, synthetic lorsque desCDS sont titrisés)

Remarque: plusieurs de ces produits ne sont plus transigésdepuis la crise de 2007...


Structure d’une titrisation type

Les revenus générés par les actifs du SPV sont distribués auxcréanciers selon un ordre de priorité (waterfall).

En général, trois types de créances sont émises:1 Tranche senior: première payée; autour de 80% des

émissions; rendement faible (e.g. LIBOR+60 pb)2 Tranche mezzanine: payée seulement si les revenus sont

suffisants pour payer la tranche senior; autour de 15% desémissions; rendement élevé (e.g. LIBOR+200 pb)

3 Tranche équité: payée en dernier; autour de 5% desémissions; rendement (ce qui reste après avoir payé lesautres tranches) et risque très élevés.


Distribution des pertes par tranche

Portefeuille ABS ABS CDOMezzanine 5-20 Equité 0-10 Mezzanine 10-35 Sénior 35-100

10,0% 33,3% 100,0% 93,3% 0,0%13,0% 53,3% 100,0% 100,0% 28,2%17,0% 80,0% 100,0% 100,0% 69,2%20,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

0, 533 =0, 13 − 0, 050, 2 − 0, 05

0, 933 =0, 33 − 0, 10, 35 − 0, 1

0, 282 =0, 533 − 0, 35

1 − 0, 35


Comment ça devrait/devait fonctionner:

1 Les institutions financières avaient fait des prêts aumeilleur de leur connaissance en évaluant soigneusementle risque des emprunteurs.

2 Les prêts étaient garantis par des actifs de bonne qualité(immobilier).

3 Les portefeuilles étaient diversifiés4 Les agences de notations évaluaient la qualité de crédit

des différentes tranches. Les tranches seniors étaienthabituellement investment grade

5 Les institutions financières conservaient la tranche équité,ce qui assurait aux acheteurs des autres tranches que leSPV était bien géré.


Qu’est-ce qui s’est passé?

Devant l’immense succès des titrisations initiales (stimulé parl’obligation de certains investisseurs de détenir des titresinvestment grade),

Des institutions financières ont commencé à faire des prêtsdans l’unique but de les titriserLorsqu’il n’y avait plus de prêts garantis par des actifs, on atitrisé des prêts sans garantie et des actifs synthétiques(CDS)Pour “faciliter la couverture”, on a commencé à transigédes tranches synthétiques (sous-jacent: indice de CDS,portefeuille bespoke de CDS)

Comment évaluer les positions pour la gestion ducollatéral?Lorsque les prix sont devenus volatiles, certains modèlesd’évaluation impliquaient des probabilités de défautnégatives et des corrélations supérieures à 1!


...

On a construit des SPV avec l’aide des agences denotations pour qu’ils obtiennent la note désirée (enabusant des limites des modèles)

On a commencé à titriser des tranches mezzanines(CDO2) et des titrisations à levier (leveraged CDO)Leveraged: avec une simple marge initiale.Comment évaluer les positions pour la gestion ducollatéral?www.dbrs.com/.../fundamentals-of-leveraged-super-

Au Canada, certains SPV ont émis du papier commercial.en.wikipedia.org/wiki/Asset-backed_commercial_pa

www.dbrs.com/.../fundamentals-of-leveraged-super-senior-cdos-archived.pdf

http://www.dbrs.com/research/149269/fundamentals-of-leveraged-super-senior-cdos-archived.pdf

en.wikipedia.org/wiki/Asset-backed_commercial_paper

https://en.wikipedia.org/wiki/Asset-backed_commercial_paper


La titrisation est devenue une machine à faire des titresinvestment grade.

Les investisseurs ont oublié qu’il n’est pas possible dediversifier tout le risque: il restera toujours un risquesystémique, qui finira par frapper quelqu’un... ou tous!

Les investisseurs ont été échaudés et sont revenus auxproduits “vanilles”. Pour combien de temps?

www.bloomberg.com/.../welcome-back-leveraged-super-

www.bloomberg.com/.../welcome-back-leveraged-super-senior-synthetic-cdos

https://www.bloomberg.com/view/articles/2013-11-27/welcome-back-leveraged-super-senior-synthetic-cdos


Aujourd’hui






Credit Default Swap

Un CDS est un contrat de gré à gré qui donne le droit (toujours exercé)de vendre une obligation de référence d’une entité de référence(émettrice) à sa valeur nominale lorsqu’un aléa de crédit (défaut)survient, en échange de paiement périodiques fixes, jusqu’àl’échéance du contrat.

Le règlement peut être physique ou en espèces. Dans ce dernier cas,la valeur de l’obligation de référence (la moins chère à livrer) estétablie lors d’une enchère organisée par l’ISDA.

Les paiements périodiques sont exprimés en % de la valeur nominale,ce qui est appelé le spread du CDS.

D’un point de vue financier, le spread est approximativement égal à ladifférence entre le rendement de l’obligation de référence et le tauxswap de même échéance. Autrement dit, acheter l’obligation deréférence et un CDS est équivalent à acheter une obligation sansrisque (de crédit).


L’intensité de défaut

Comme dans le cas des taux d’intérêt, on doit préciser lafréquence dans laquelle une probabilité de défaut est exprimée.

Exemple: Si la probabilité (marginale) de défaut est de 1% aucours des 6 prochains mois, la probabilité de ne pas avoir faitdéfaut dans un an est (1 − 0, 01) (1 − 0, 01) = 0.9801 et laprobabilité de défaut au cours de la prochaine année est1 − 0, 9801 = 0, 0199.

Comme dans le cas des taux d’intérêt, on peut exprimer lesprobabilités de défaut en temps continu. Si on note λ (lambda)l’intensité de défaut, la probabilité de défaut entre maintenant etT années est

PT = 1 − e−λT (équation 24.1).


Évaluation d’un CDS

Problème: Trouver le spread tel que l’espérance (risque-neutre)des paiements actualisés de chaque patte est égale.

Exemple: Pour simplifier...

Échéance de 5 ans

Coupon annuel

Défaut possible seulement en milieu d’année

Taux sans risque: 5%

Intensité de défaut (risque neutre): 2%

Taux de recouvrement: 40%


Étape 1: calcul des probabilités

Si l’intensité de défaut est 0,02, la probabilité de surviependant un an est e−0,02 = 0, 9802 et la probabilité de défaut lapremière année est 1 − 0, 9802 = 0, 0198.La probabilité de survie pendant deux ans este−0,02×2 = 0, 9608 et la probabilité de défaut la deuxièmeannée est 0, 9802 − 0, 9608 = 0, 0194....

Maturité Probabilité de défaut Probabilité de survie1 0,0198 0,98022 0,0194 0,96083 0,0190 0,94184 0,0186 0,92315 0,0183 0,9048

(Coquilles dans le manuel: voir fichier exemple25.2.xlsx)


Étape 2: Patte longue (paie le coupon)

On paie le coupon tant que l’entité survie. Puisqu’il y a défauten milieu d’année, on paie un demi-coupon en “couru”.

Il y a une probabilité de 0,9802 que l’entité survive aumoins un an. La valeur espérée (risque neutre) actualiséedu coupon s est

0, 9802 × e−0,05×1× s = 0, 9324 × s.

Il y a une probabilité de 0,0198 que l’entité fasse défaut lapremière année. La valeur espérée (risque neutre) dudemi-coupon est

0, 0198 × e−0,05×0,5×

s2= 0, 0097 × s.

...


Coupons entiers

Date Probabilité de survie Paiement espéré Actualisation Valeur actuelle1 0,9802 0,9802× s 0,9512 0,9324× s2 0,9608 0,9608× s 0,9048 0,8694× s3 0,9418 0,9418× s 0,8607 0,8106× s4 0,9231 0,9231× s 0,8187 0,7558× s5 0,9048 0,9048× s 0,7788 0,7047× s

4,0728× s


Demi-coupons

Date Probabilité de défaut Paiement espéré Actualisation Valeur actuelle0,5 0,0198 0,0099× s 0,9753 0,0097× s1,5 0,0194 0,0097× s 0,9277 0,0090× s2,5 0,0190 0,0095× s 0,8825 0,0084× s3,5 0,0186 0,0093× s 0,8395 0,0078× s4,5 0,0183 0,0091× s 0,7985 0,0073× s

0,0422× s

La valeur de la patte longue est donc4, 0728 × s + 0, 0422 × s = 4, 115 × s fois le notionnel.


Étape 3: patte courte

Lorsqu’il y a un défaut, on paie la perte sur l’obligation, soit 1 − 0, 4fois le notionnel.

Il y a une probabilité de 0,0198 que l’entité fasse défaut lapremière année. La valeur espérée (risque neutre) de la perteest

0, 0198 × e−0,05×0,5× (1 − 0, 4) = 0, 0116.

...

Date Probabilité de défaut Paiement espéré Actualisation Valeur actuelle0,5 0,01980 0,01188 0,97531 0,011591,5 0,01941 0,01165 0,92774 0,010802,5 0,01902 0,01141 0,88250 0,010073,5 0,01865 0,01119 0,83946 0,009394,5 0,01828 0,01097 0,79852 0,00876

0,05062

La valeur de la patte courte est donc 0, 05062 fois le notionnel.


Étape 4: Résoudre pour le spread

La valeur du CDS est nulle si

4, 115 × s = 0, 05062

s =0, 050624, 115

= 0, 0123 (123pb)


Calcul de l’intensité de défaut risque-neutre

Nous avons donc calculé le spread à partir de l’intensité dedéfaut.

Étant donné le spread d’un CDS, on peut donc aussi calculerl’intensité de défaut (qui sera alors utilisée pour évaluer d’autreCDS sur la même entité).

Il suffit de reproduire les calculs précédents dans un chiffrier etl’utiliser le solveur pour trouver l’intensité de défaut telle que lesdeux pattes du CDS aient la même valeur (voir fichierexemple25.2.xlsx).


Les total return swaps (TRS)

Une alternative aux CDS est le TRS, dans lequelle la rentabilitétotale d’un actif (une obligation, par exemple) est échangéecontre un taux variable.

Exemple: Échange de la rentabilité d’une obligation contreLIBOR + 100 pb.

La rentabilité totale inclut les flux périodiques de l’actif et lavariation de sa valeur pendant la durée du contrat.


Les TRS sont aussi une alternative aux repos (chapitre 4) etpermettent de financer un investissement:

repo: on achète le titre et on le donne en collatéral desprêts (roulés) au taux repo

TRS: on obtient le rendement du titre contre un paiementau taux LIBOR + écart.

Qu’est-ce qui détermine l’écart?


Les indices de crédit

La standardisation augmente la liquidité: le marché du crédit nefait pas exception à cette règle.

MarkIt propose différents indices de crédit qui permettent dedéfinir des CDOs standards et facilite l’évaluation des dérivésnon standards.

Indices CDX (Amérique) et iTraxx (Europe)

Mis à jours deux fois par année (séries)

Marchés liquides pour différentes maturités (3,5,7,10 ans)

Contrats, confirmations et matrices:https://www.markit.com/Documentation/Product/CDX

https://www.markit.com/Documentation/Product/CDX

https://www.markit.com/Documentation/Product/CDX


Le risque des tranches

Une tranche est définie par son point d’attachement et sonpoint de détachement.

Exemple: Une tranche mezzanine qui s’attache à 5% et dedétache à 15%.

Plus le point d’attachement est bas, plus le risque estélevé.

Plus la tranche est mince, plus le risque est élevé.


Le prix des tranches

Les prix sont cotés en spread, sauf pour la tranche équité. Commele spread sur la tranche équité serait élevé, on le fixe à 5% et onfait un paiement (à l’initiation) égal à la valeur attendue actualiséedu reste, exprimé en % du notionnel.

Maturité 0-3% 3-5% 6-9% 9-12% 12-22% 0-100%1 an 10,34% 41,59 11,95 5,60 2,00 232 ans 30,98% 316,90 212,40 140,00 73,60 773 ans 64,28% 1185,63 606,69 315,63 97,13 165


La corrélation et le risque d’un portefeuille

Pour comprendre la relation entre la corrélation et le risqued’un portefeuille sans faire trop d’hypothèses, on considère uncas très simple, avec et sans corrélation:

100 titres identiquement distribuésProbabilité de défaut: 2%.

Corrélation0 . . . 1

P (X ≥ 1) = 1 − P (X ≤ 0) 86,7380% . . . 0,02P (X ≥ 10) = 1 − P (X ≤ 9) 0,0034% . . . 0,02

Donc:Le risque de la tranche équité diminue lorsque lacorrélation augmenteLe risque de la tranche senior augmente lorsque lacorrélation augmente


La corrélation et l’évaluation des CDO

Selon le modèle standard, la valeur d’un CDO dépend de lacorrélation (étant donné les probabilités de défaut et les taux derecouvrement).

On peut donc calculer la corrélation implicite à partir du spreaddu CDO.

De la même manière, la valeur d’une tranche est dépend ausside la corrélation et on peut donc calculer la corrélation impliciteà partir du spread d’une seule tranche.

Si le modèle décrivait parfaitement la valeur du CDO et de sestranches, la corrélation implicite devrait être la même pourtoutes les tranches.

Ce n’est pas le cas...


Corrélations composées

Maturité 0-3% 3-5% 6-9% 9-12% 12-22%2 ans 17,7% 7,8% 14,0% 18,2% 23,3%

Remarques:

Plutôt que de conclure (avec raison) à une lacuneimportante du modèle, on utilise la relation entre lacorrélation implicite et les points d’attachement pourévaluer d’autres tranches

Il est difficile de voir la relation entre la corrélationcomposée et les points: on préfère la corrélation de base


Corrélations de base

Maturité 0-3% 0-5% 0-9% 0-12% 0-22%2 ans 17,7% 28,4% 36,5% 43,2% 60,5%

Les corrélations de base sont calculées de manièreitérative (comme le bootstrap)

La relation avec les points est plus régulière et on peutl’interpoler pour obtenir la corrélation d’autres points.

Remarque: on fera (?,chapitre 20) quelque chose de similaireavec la volatilité implicite des options.

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FIN1163 Ingénierie financière: produits dérivés€¦ · Évaluation risque-neutre Chapitre 24 - Risque de crédit Chapitre 8 - Titrisation Chapitre 25 - Dérivés de crédit Probabilités