INSTITUT DE L ' U N E S C O P O U R L ' É D U C A T I O N

H A M B O U R G

ÉTUDES P É D A G O G I Q U E S INTERNATIONALES 22

Formation continue des enseignants de la mathématique

au niveau secondaire

RAPPORT D'UNE RÉUNION INTERNATIONALE D'EXPERTS

HAMBOURG, OCTOBRE 1968

DIRECTEUR DE LA PUBLICATION

M . GLAYMANN

O C D L , 65 rue Claude-Bernard

Paris 5e

L'Institut de l ' U N E S C O pour l'Éducation est un institut de caractère international dont les ressources proviennent d 'un fonds de dépôt où est versée, en particulier, la contribution du Gouvernement de la République Fédérale d'Allemagne. Les programmes de l'Institut sont élaborés en consultation avec le Directeur Général de l ' U N E S C O . Cependant, les publications de l'Institut de l ' U N E S C O pour l'Éducation paraissent sous la seule responsabilité de cet Institut et l ' U N E S C O en tant qu'organisation n'est pas responsable de leur contenu.

Les points de vue, le choix des faits présentés, ainsi que les opinions exprimées sont ceux des auteurs, et ne coïncident pas nécessairement avec les prises dé position officielles de l'Institut de l ' U N E S C O pour l'Éducation, Hambourg.

PRÉFACE

Les changements rapides qui affectent la plupart des cultures d'aujour­d'hui par suite des progrès continus qui se manifestent dans tous les domaines de la science imposent aux autorités responsables de l'éducation qu'elles alignent l'enseignement sur la marche du progrès.

La durée d'une carrière d'enseignant étant suffisamment longue pour que celui-ci connaisse plusieurs étapes d'une évolution, et la formation des maîtres ne pouvant suivre le rythme des besoins éducatifs, il a fallu trouver une solution qui puisse dans les années à venir, répondre à ces besoins. Cette solution est la formation continue des enseignants. L'importance de ce problème a incité l'Institut à inscrire à son programme une série de réunions internationales centrées sur la formation des maîtres et tout particulièrement sur leur formation continue.

La mathématique moderne ayant connu au cours des dernières années une telle évolution qu'il devient pratiquement impossible au professeur de mathématique de dispenser son enseignement en mathématique sans être initié à ses méthodes, l'Institut y a consacré une série de projets.

L e premier en date a été le Projet International pour l'évaluation du rendement scolaire (I.E.A.) dont l'Institut a assumé la responsabilité admi­nistrative entre 1959 et juin 1967. L a première phase de ce projet, portant exclusivement sur l'étude du rendement de l'enseignement des mathémati­ques aux niveaux primaire, secondaire et pré-universitaire, a permis de publier dès 1962 les premières conclusions de travaux menés conjointement par douze instituts de recherche nationaux, avant de s'achever tout récem­ment par la publication d'une étude comparative sur l'ensemble des résultats obtenus dans les douze pays participants.

L'Institut de l ' U N E S C O pour l'éducation a publié entre-temps un rapport que l ' U N E S C O (Paris) avait demandé au Groupe d'étude inter­national pour l'apprentissage des mathématiques ( I . S . G . M . L . ) de préparer afin que les États membres de l ' U N E S C O soient informés des résultats des récentes recherches entreprises en matière d'enseignement des mathémati­ques; ce rapport, consacré à l'apprentissage des mathématiques à l'école primaire, tire également parti de diverses autres contributions et notam­ment des conclusions de deux conférences tenues, l'une à Stanford (États-

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Unis d'Amérique) en décembre 1964, l'autre à Paris (France) en août 1965.

C e rapport de 1965 a servi de base aux travaux d'une réunion d'experts qui s'est tenue à l'Institut de Hambourg du 10 au 13 janvier 1966 afin d'examiner plus en détail les problèmes se rapportant au développement ultérieur des mathématiques à l'école primaire et la manière de procéder pour favoriser ce développement.

Faisant suite au v œ u exprimé par cette dernière réunion d'experts, l'Institut a organisé du 13 au 18 novembre 1967, une autre réunion d'experts qui a préparé un ouvrage destiné à aider les administrateurs scolaires et les enseignants à résoudre certaines des questions que posent l'organisation et la réalisation d'un apprentissage de la mathématique moderne à l'école primaire.

Enfin, l'Institut a organisé du 21 au 26 octobre 1968 une réunion inter­nationale d'experts qui s'est principalement intéressée à la formation continue des enseignants de mathématique et aux moyens de les initier aux nouvelles méthodes de l'enseignement mathématique. Les résultats de cette réunion sont contenus dans le présent ouvrage.

Les participants à la réunion ont émis en outre le v œ u de voir s'organiser ultérieurement une réunion sur la formation des maîtres de l'école primaire.

Nous tenons à remercier les experts qui par leur compétence et leur enthousiasme ont garanti à la réunion le succès qu'elle a connu, et tout spécialement le professeur G . Papy qui a dirigé les débats avec une grande maîtrise.

Nous remercions aussi M . Glaymann qui a assuré avec compétence la direction de la publication française de cet ouvrage.

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Préface

TABLE DES MATIÈRES

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Table des matières 7

Liste des participants 9

Introduction 11

PREMIÈRE PARTIE

CHAPITRE 1 : LE PROBLÈME DE LA FORMATION CONTINUE 15

1. Buts de la formation continue 15 2. Difficultés dans l'organisation de la formation continue . . . . 18

CHAPITRE 2 : L E C O N T E N U D U COURS 20

1. Cours fondamental A 22 2. N o m b r e d'heures nécessaires pour ce cours f o n d a m e n t a l . . . . 26 3. Méthodes d'enseignement 27 4. Cours plus poussés 29

a) Analyse comprenant des éléments de topologie (cours B ) . . 29 b) Algèbre linéaire (cours C ) 30 c) Probabilité, statistique et analyse numérique (cours D ) . . . 30 d) Fondements de la mathématique (cours E) 31

CHAPITRE 3 : ORGANISATION DES COURS 32

1. Schémas pour la formation continue 32 2. Les motivations 34 3. M o y e n s et méthodes 36 4 . M o y e n s de diffusion de l'information 39 5. Durée et fréquence des séances de travail 40 6. Modernisation 41 7. Les institutions 43

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CHAPITRE 4 : LA RECHERCHE FONDAMENTALE 44

1. Objets de la recherche fondamentale 44 2. Relations entre la recherche fondamentale et les Départements de

mathématiques 46 3. Collaboration internationale au niveau de la recherche fonda­

mentale 47

C H A P I T R E 5 : C O N T A C T S I N T E R N A T I O N A U X 48

SECONDE PARTIE

Analyse de la situation présente en matière de formation continue.

C H A P I T R E 1 : F O R M A T I O N D E S ENSEIGNANTS D A N S DIVERS P A Y S . . . . 51

1. Formation des enseignants de la mathématique 52 2. Durée de formation 53 3. Principaux sujets 54 4. Examens 55 5. Formation professionnelle 56 6. Stages 58 7. Besoins 58 8. Salaires 59 9. Recrutement 61

C H A P I T R E 2 : L A SITUATION PRÉSENTE D A N S Q U E L Q U E S P A Y S 62

1. Organisation 62 2. Finance 70 3. Diplômes et certificats 70 4. Difficultés 71

CHAPITRE 3 : D O C U M E N T A T I O N ET INFORMATION 72

1. Ouvrages 72 2. Revues 76 3. Bibliothèques 79 4. Revue internationale 79 5. Réunions nationales et internationales 80 6. Information des professeurs 80

CHAPITRE 4 : RECHERCHES ET INSTITUTS 81

CHAPITRE 5 : R E C O M M A N D A T I O N S ET COMMENTAIRES 84

TABLEAUX 87

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LISTE D E S PARTICIPANTS

BARNER Martin BENDJOUADI Seghir B L A N C Emile CHRISTIANSEN Bent D U M R A U F Irma FREUDENTHAL Hans G E N Z W E I N Ferenc G L A Y M A N N Maurice H O L V O E T Roger LEMIRE Lévis M A R K U S Asher MASJLOVA Galina O ' B R I E N Stephen PAPY Frédérique P A P Y Georges REVUZ André S M O L E C Ignacije UESHIBA Tsutomu VESSELO I. R.

Allemagne Fédérale Algérie Suisse Danemark Argentine Hollande Hongrie France Belgique Canada Israël URSS Irlande Belgique Belgique France Yougoslavie Japon Grande-Bretagne

O B S E R V A T E U R S

GRIESING

LINDNER

WIJDEVELD

V A N D O R M O L E N

Allemagne Fédérale Allemagne Fédérale Hollande Hollande

INSTITUT D E L ' U N E S C O P O U R L ' É D U C A T I O N

KOBAYASHI Tetsuya Directeur de l'Institut V A N D E N BOSSCHE J. Coordonnateur principal

du programme

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O P I T Z Kurt Coordonnateur du programme

U L R I C H Gisela Coordonnateur du programme

S C H U R E K Antje Chef du service de documentation et d'information

S C H Ô T T L E R Elisabeth Administrateur v. K A U F F M A N N S Angela Secrétaire

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INTRODUCTION

La rapidité des progrès de la découverte scientifique dans tous les domaines impose à l ' homme d'aujourd'hui d'utiliser dans son métier des connaissances et des techniques qu'il ne peut avoir étudiées ou apprises quand il se trouvait sur les bancs de l'école ou de l'université.

Il est donc nécessaire de prévoir aujourd'hui, en plus de l'enseignement initial, une formation continue adaptée aux diverses professions. Continuer à apprendre, devient, à l'heure actuelle, une partie intégrante du métier. Il importe que les autorités responsables dans tous les domaines en soient conscientes, et prennent les mesures qui permettent la réalisation de ce nouveau type d'enseignement.

Il va de soi que cette tâche est plus urgente encore en ce qui concerne les enseignants puisqu'un manque de formation de ceux-ci peut avoir des conséquences fâcheuses pour les générations futures.

Plus que tout autre, l'enseignant au niveau secondaire ou primaire sera dorénavant, non seulement un professeur, mais encore un étudiant dans le sens plein du terme.

La situation est tout particulièrement cruciale en ce qui concerne l'en­seignement de la mathématique. Cette science a; non seulement fait des progrès très importants au cours des dernières années, mais elle a, de plus, considérablement accru ses domaines d'application.

Il devient aujourd'hui indispensable d'inculquer la mathématique nouvelle à pratiquement tous les enfants qui abordent l'enseignement secondaire, non plus c o m m e un vague élément de culture, mais c o m m e u n outil, dont ils pourront avoir besoin plus tard, dans leur métier.

Sous l'effet de cette pression sociale, la pédagogie de la mathématique a fait de tels progrès au cours de la dernière décennie, qu'elle s'érige aujour­d'hui en authentique branche de la recherche fondamentale.

Il importe donc que les enseignants de la mathématique soient tenus au courant de certains développements importants de la science, qu'ils soient éclairés sur ses applications nouvelles, et qu'on leur communique les découvertes récentes dans la pédagogie de son enseignement.

Il est généralement admis que la formation des enseignants de mathéma­tique au niveau secondaire doit être assurée par ceux qui sont en contact

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direct avec la science qui se crée. Cela est vrai, à fortiori, pour la formation continue des enseignants.

Celle-ci devra être maintenue en contact avec les départements de mathématique des universités et les centres de recherche en pédagogie de la mathématique.

C o m m e tous les professionnels, les enseignants ne mordent vraiment à des cours de formation continue que pour autant qu'ils se rendent compte de l'utilité de cet effort en entrevoyant le m o m e n t où ils pourront utiliser et mettre en pratique leurs nouvelles connaissances dans leur classe.

Il est vrai, d'autre part, qu'une véritable réforme de l'enseignement de la mathématique ne peut être envisagée sans que l'on assure simultanément une substantielle information des professeurs.

Ainsi se dégage c o m m e un impératif inéluctable, l'obligation de dévelop­per en symbiose, la recherche fondamentale en pédagogie de la mathémati­que, la formation continue des enseignants, et la réforme permanente dans l'enseignement primaire et secondaire.

U n peu partout dans le monde , de nombreux enseignants volontaires, ont fait, à titre bénévole, un effort considérable pour accroître leur qualifi­cation afin d'améliorer leur enseignement.

Il ont montré, de la sorte, la possibilité d'organiser de manière efficace et féconde, des cours de formation continue. Il faut se rendre compte que cette situation ne peut être que transitoire; en cette matière, c o m m e en d'autres, le bénévolat ne peut être qu'un tremplin de départ.

Il est urgent que la formation continue des enseignants soit reconnue partout c o m m e partie intégrante de leur service.

* * *

Nous s o m m e s reconnaissants à l'Institut de l ' U N E S C O pour l'Éducation à H a m b o u r g d'avoir organisé une réunion pour étudier dans ses grandes lignes le problème de la formation continue, tel qu'il se pose dans tous les pays.

La conférence a été préparée par un Comité comprenant, en plus de M M . L E G R A N D , Directeur de l'Institut, et V A N D E N B O S S C H E , Coordonnâtes Principal du Programme, le Professeur B A R N E R de l'Université de Fribourg, Monsieur G L A Y M A N N , Directeur de l'Institut de Recherche pour l'Enseigne­ment de Mathématiques de Lyon et le Professeur P A P Y de l'Université de Bruxelles.

C e Comité restreint a dressé la liste des personnes invitées et a établi un questionnaire auquel a été assurée la plus large diffusion.

C o m m e toujours en la circonstance, il va de soi que l'Institut de H a m b o u r g n'a pu tenir compte que des réponses qui lui ont été adressées. Celles-ci émanent en général d'experts, et rarement de la direction des institutions ou des gouvernements. Avec son talent habituel, le staff

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restreint de l'Institut de Hambourg a assuré le dépouillement des réponses au questionnaire et a rédigé le synopsis qui constitue la deuxième partie de cet ouvrage.

La liste des personnalités ayant pu accepter de participer à la Réunion qui s'est tenue du 21 au 26 octobre 1968, se trouve en tête du livre.

Après une brève séance plénière au cours de laquelle le Professeur P A P Y a été élu président, les travaux se sont essentiellement poursuivis en commissions.

La lre Commission, présidée par M . Bent C H R I S T I A N S E N , de Copenhague, avait pour mission de préparer la rédaction des chapitres concernant les buts et le contenu de la formation continue (Chapitres 1 et 2).

Cette Commission était composée de :

M M . B E N D J O U A D I (Alger) G R I E S I N G (Hambourg)

H O L V O E T (Belgique) L I N D N E R (Hambourg)

M A R K U S (Israël) M m e M A S L O V A (U.R.S.S.)

O ' B R I E N (Dublin)

La 2 m e Commission, présidée par le Professeur Hans F R E U D E N T H A L d'Utrecht, s'est chargée d'étudier l'organisation proprement dite de la formation continue des enseignants de la mathématique.

Sa composition était la suivante :

M M . B L A N C Emile (Suisse) Mlle D U M R A U F Irma (Argentine)

G E N Z W E I N Ferenc (Hongrie) L E M I R E (Canada) R E V U Z André (France) I. R . Vesselo (Grande-Bretagne) W I J D E V E L D (Hollande)

La 3 m e Commission consacrée à la recherche fondamentale comprenait, en plus de son président :

M M . BARNER

G L A Y M A N N (France) P A P Y Frédérique (Belgique) S M O L E C (Yougoslavie) U E S H I B A (Japon)

M M . B L A N C et G L A Y M A N N ont bien voulu se charger de préparer le chapitre concernant les contacts internationaux.

Des contacts personnels permanents ont été maintenus entre les différen-

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tes commissions, et plusieurs réunions plénières ont permis la confrontation des idées. E n certaines circonstances, des groupes restreints ont proposé de nouvelles rédactions. Finalement, le texte définitif a pu être discuté et approuvé à l'exception des détails du programme que l'on trouvera dans le chapitre 2 .

C e programme a été communiqué dans ses grandes lignes, en séance plénière, mais, faute de temps, il n'a pu être discuté dans ses détails. Il doit donc être considéré c o m m e un projet qui n'engage que la responsabilité scientifique des membres de la lre Commission. A u x yeux des autres, il constitue un programme possible.

L e Professeur V E S S E L O et Monsieur G L A Y M A N N , ont bien voulu se charger, en collaboration avec le Président, des éditions définitives en langue anglaise et française de l'ouvrage.

Les textes originaux ont été établis en français et en anglais. Il est techni­quement impossible d'indiquer de manière précise la langue de chacun des fragments.

Les textes français ont été traduits en anglais, sous la responsabilité du Professeur V E S S E L O , et les textes anglais ont été traduits en français sous la responsabilité de Monsieur G L A Y M A N N .

Avant la publication, le manuscrit a été communiqué aux Présidents des diverses commissions.

Je serai l'interprète de tous les participants en exprimant l'espoir que cet ouvrage puisse être une contribution à la promotion de la formation continue, dans tous les pays du monde .

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PREMIÈRE PARTIE

CHAPITRE 1

LE PROBLÈME D E LA FORMATION CONTINUE

1. — Buts de la formation continue

Dans ce chapitre, nous indiquerons brièvement les objectifs de la forma­tion continue des professeurs de mathématiques. Prise dans son sens le plus large, elle doit améliorer naturellement le travail des professeurs dans les écoles. Ceci conduit à poser la question : « Quels sont les buts de l'enseigne­ment des mathématiques à l'école ? »

D e nos jours où tout évolue si rapidement, il est particulièrement important qu 'un individu soit capable d'utiliser les mathématiques, tant dans sa vie quotidienne que dans son travail, pour décrire des situations concrètes et des problèmes théoriques, et qu'il soit capable de communiquer en mathématiques et sur les mathématiques. Il est important que tout m e m b r e de la société actuelle soit familiarisé avec des situations mathémati­ques; il doit être capable d'énoncer un problème fondé sur l'expérience intuitive, d'analyser un tel problème, de le résoudre et de formuler une solution; toutes ces étapes doivent être familières et parfaitement acquises par l'élève. Il en résulte qu'aujourd'hui, les professeurs ont le devoir de former leurs élèves en fonction de telles attitudes. D e plus, ils doivent être capables d'organiser leur enseignement afin qu'il devienne un moyen de réaliser un nombre important d'objectifs généraux :

1. Acquisition véritable des concepts par la compréhension du sujet dans le programme choisi, connaissance des liens entre les différents concepts, connaissance des exemples montrant le rôle unificateur des modèles et des structures mathématiques.

2 . Mise en évidence des valeurs esthétiques des mathématiques telles que : joie d'expérimenter des situations mathématiques, du travail produc­tif, satisfaction de trouver des modèles, des présentations originales d'idées,

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d'avoir la possibilité d'agir sur une situation donnée, de résoudre des problèmes, de prouver des théorèmes issus d'expériences.

3. Considérer la mathématique c o m m e domaine ouvert, se développant et évoluant constamment.

4. Reconnaissance de la primauté du langage quotidien dans la descrip­tion des idées mathématiques et par ce moyen , acquisition des premiers éléments de logique.

5. Formation d'individus capables d'apprendre les mathématiques par eux-mêmes et, plus généralement, de s'éduquer par eux-mêmes .

6. Présentation des mathématiques c o m m e théorie deductive. 7. Utilisation des modèles mathématiques pour faire comprendre l'idée

de mathématisation des situations concrètes, ce qui permet d'établir une correspondance d'une part entre des situations pratiques et d'autre part entre des concepts mathématiques, des structures ou m ê m e des théories. E n outre, une telle correspondance étant établie, il est nécessaire de vérifier qu'elle est correcte. Finalement, il faut être capable de trouver une solution mathématique à l'aide du modèle choisi et de l'interpréter.

L a description de quelques-uns de ces objectifs, que les professeurs devraient atteindre aujourd'hui, montre clairement que les conditions de travail et les obligations des professeurs de mathématiques de nos jours sont totalement différentes de celles d'autrefois, lorsque les professeurs, dans de nombreux cas, enseignaient tout le temps leur matière d'une façon étriquée et sans y apporter de modifications au cours des années. Aujour­d'hui, notre société réclame des élèves qui soient en contact avec le m o n d e actuel et qui soient préparés à se servir des mathématiques contemporaines.

Afin de pouvoir satisfaire aux nouvelles obligations que lui impose la société, le professeur, aujourd'hui, doit se tenir, d'une part, constamment au courant de l'évolution des mathématiques et, d'autre part, suivre l'évolution pédagogique, psychologique, didactique et méthodologique de l'enseignement moderne des mathématiques.

L a société doit permettre aux professeurs d'adapter leur travail à ces impératifs en leur fournissant l'occasion de recevoir une formation con­tinue. L e résultat de cette formation continue se répercutera à travers les objectifs de l'enseignement à l'école, en formant des individus qui seront préparés le mieux possible à l'utilisation des mathématiques contempo­raines et qui seront adaptés aux inévitables mutations de la société en évolution.

Nous allons indiquer quelques objectifs qui peuvent servir dans un cours de formation continue, au niveau de l'enseignement du second degré, de façon à permettre aux professeurs d'accomplir leur tâche, conformément aux buts mentionnés ci-dessus.

L a formation continue doit permettre au professeur : 1. D'approfondir ses connaissances antérieures en fonction des program­

mes scolaires.

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2. D e prendre contact avec les fondements de la mathématique et la construction des théories mathématiques.

3. D e prendre connaissance d'exemples tirés d'un grand nombre d'applications mathématiques et des idées utilisant des modèles mathéma­tiques pour résoudre des problèmes pratiques et théoriques.

4. D'être à m ê m e de réorganiser son enseignement, de modifier l'ordre des sujets d'étude, d'accroître son domaine d'exemples et d'exercices pour présenter les concepts et les structures d'une manière inductive, de choisir les degrés appropriés de précision et la terminologie pour l'enseignement mathématique à différents niveaux.

5. D e prendre connaissance de la pédagogie, de la psychologie, de la didactique et de la méthodologie le rendant apte à prendre une part active dans le développement des nouvelles approches de l'enseignement de la mathématique et de la recherche dans ce domaine.

Il faut insister sur le fait que la nécessité de la formation continue ne doit pas se limiter au stade actuel qui correspond à la transition d'une phase statique de l'enseignement des mathématiques à une phase dynamique, caractérisée par l'adoption de nouveaux programmes au niveau du second degré dans presque tous les pays, programmes très voisins et ayant les m ê m e s buts.

C'est l'évolution continuelle de la société qui appelle la formation permanente des professeurs. Par conséquent, à l'avenir, la formation des maîtres dans les universités devra être poursuivie suivant un programme de formation continue offrant un large éventail de cours et autres activités destinés à aider les professeurs dans leurs études et leurs recherches pédago­giques.

L a situation dans de nombreux pays montre que les gouvernements et les autorités prennent conscience de plus en plus de leurs responsabilités dans l'amélioration tant de la formation initiale que de la formation con­tinue. D e nouveaux programmes, de niveau plus élevé, sont appliqués pour la formation initiale des professeurs; en outre, des instituts permettant de compléter cette formation ont été créés dans plusieurs pays. A u Danemark, par exemple, un institut d'état pour l'enseignement supérieur assure toute la formation des professeurs des classes 1-10. Cet institut emploie un personnel de 90 personnes à plein temps (11 en mathématiques) et un grand nombre de personnes à temps partiel. Près d'un tiers des professeurs danois suivent des cours de formation continue. Chaque année, plus de 400 profes­seurs sont déchargés de leurs cours pendant un an. Les autorités payent les remplaçants de ces professeurs et ceux-ci perçoivent intégralement leur traitement. E n Belgique, depuis 1961, le Centre Belge de Pédagogie de la Mathématique a organisé des cours de formation continue dans une trentaine de villes. E n France, trois Instituts ont été créés : Instituts de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (I. R . E . M . ) ; quatre autres le seront en octobre 1969. Les buts de ces instituts sont de donner

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une formation initiale aux futurs professeurs, une formation continue à ceux qui sont déjà en service, d'organiser des expériences pédagogiques, de créer la recherche fondamentale dans l'enseignement de la mathématique et de fournir de la documentation. Ces instituts sont rattachés aux universités (de Paris, Lyon, Strasbourg pour les trois premiers) ; les professeurs de tout niveau y travailleront.

O n constate, généralement que les professeurs suivent avec beaucoup d'intérêt ces cours de formation continue. La motivation est en partie interne, en partie externe. Dans son propre intérêt, le maître veut se tenir au courant de ce qu'il y a de nouveau et d'important en mathématiques. Il a besoin lui-même, pour des raisons personnelles, de comprendre et d'avoir des idées sur les nouveaux domaines et de savoir utiliser les mathé­matiques dans le m o n d e actuel. Enfin, tout maître en a besoin pour la simple raison qu'il doit enseigner un nouveau programme. Aussi, quand on aide les professeurs en leur organisant des cours de formation continue, ils sont nombreux à les suivre et à y participer largement avec beaucoup d'intérêt.

2. — Difficultés dans l'organisation de la formation continue

Dans la plupart des pays, une des difficultés majeures provient de la différence de niveau des connaissances antérieures des professeurs de mathématiques du second degré :

1. Les professeurs ont des formations diverses (université, école normale, institut pédagogique, collège de formation des maîtres, etc..)

2. L'âge des professeurs influence leur besoin de recyclage, car la forma­tion qu'ils ont reçue s'est modifiée au cours des années.

U n e autre difficulté provient des types différents d'établissements secon­daires où l'on enseigne les mathématiques. L e type de formation continue nécessaire pour un professeur dépend en grande partie du type d'établisse­ment où il enseigne (lycée, collège d'enseignement secondaire, collège d'enseignement général, collège d'enseignement technique, école normale, école professionnelle, etc.).

Il est très important, qu'à l'avenir, les cours de formation continue proposent des programmes tels, qu'ils permettent aux professeurs d'y choisir des cours en rapport étroit avec leurs besoins personnels. Dans certains pays, des programmes très différents sont proposés aux deux principales catégories de maîtres, ceux qui ont des diplômes universitaires et ceux qui ont été formés dans des instituts spécialisés. Dans certains pays, les différences de niveau et de formation initiale sont telles qu'il est impossible d'organiser des cours c o m m u n s convenant à tous les profes­seurs.

Cependant, dans de nombreux pays" et durant la période de transition

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actuelle, il est possible de recycler tous les professeurs du second degré en leur offrant un seul et m ê m e cours. L e programme de ce cours comprendra en général un cours fondamental, destiné principalement à familiariser les participants avec le langage et les concepts des mathématiques actuelles.

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CHAPITRE 2

LE CONTENU DU COURS

C e cours doit permettre la compréhension et l'acquisition des principaux concepts des ensembles (y compris les relations et les fonctions) et de l'algèbre. Dans un tel cours, on présentera les concepts des ensembles et de la logique d'un point de vue naïf, dans la mesure où on les traitera à un niveau élémentaire, ce qui est généralement le cas. Il en sera de m ê m e des structures algébriques. Cependant, l'importance des concepts ensemblistes et des structures algébriques peut être mise en évidence, car ces concepts et structures sont de nos jours les moyens les plus efficaces pour exprimer les idées mathématiques. E n outre, ils peuvent aider le professeur dans son travail en fournissant une base à son enseignement. D e plus, tout l'enseigne­ment, depuis la première année du primaire jusqu'à la dernière année du secondaire, utilise de plus en plus le langage des « mathématiques modernes » qui supplante les présentations antérieures peu structurées.

Cependant, il ne suffit pas, dans ce cours fondamental de la formation continue, que les ensembles et l'algèbre soient enseignés d'une façon mathé­matiquement féconde. Il est encore plus important que les professeurs deviennent capables d'enseigner les sujets de mathématiques (qu'ils con­naissent par leur formation antérieure ou par leurs études) de manière efficace et originale. Aussi, les professeurs devraient être en mesure d'utiliser largement le « nouveau langage », pour résoudre leurs problèmes. S'il en est ainsi, on utilisera en classe le m ê m e langage que celui des étudiants qui, contrairement aux professeurs, n'ont qu 'un seul langage à leur disposition, celui des « mathématiques modernes ».

C e second aspect du cours fondamental exige évidemment une présen­tation particulière des sujets mathématiques. Ainsi, la pédagogie dans la formation continue devient d'une extrême importance. Dans le dernier paragraphe, on présentera des remarques sur cette pédagogie. A cet additif, on pourra encore ajouter qu'il est fondamental que les professeurs de mathématiques participent activement à la présentation des sujets, à la discussion des problèmes et à l'élaboration des exercices et autres sujets d'enseignement.

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Voici le plan de ce cours fondamental que nous désignerons par « Cours A ». Il y a six sujets principaux, proposés c o m m e éléments de base :

1. Ensembles 2 . Relations et fonctions 3. Structures algébriques 4 . Le concept de nombres 5. Éléments d'algèbre linéaire 6. Géométrie

Nous détaillerons rapidement le contenu de chacun de ces sujets. E n outre, nous donnerons des commentaires relatifs à chacun d'eux. Nous terminerons la description du cours A par quelques indications sur la façon de répartir les heures d'enseignement. Tous ces commentaires et remarques doivent servir simplement de suggestions pour des discussions ultérieures sur l'adaptation du plan présent de la formation continue à des situations particulières. Les problèmes qui se posent dans les divers pays sont évidem­ment si différents qu'il est impossible de développer des projets c o m m u n s dans leurs moindres détails, valables pour tous ces pays. Cependant, on peut parler, dans une certaine mesure, d 'un tronc c o m m u n pour la forma­tion continue. O n trouvera ce tronc c o m m u n dans la description du cours A .

O n remarquera cependant, qu'un domaine mathématique de la plus haute importance ne figure pas sur la liste des sujets proposés, à savoir l'analyse. Personne ne discutera le fait que certaines parties du calcul intégral et différentiel appartiennent au programme de mathématiques du second degré. E n outre, ces dernières décennies, l'analyse s'est considérablement développée par suite de l'utilisation de la topologie pour la construction de certaines de ses théories. Dès lors, on peut faire remarquer, à juste titre, qu'un cours fondamental de formation continue doit inclure un exposé des principaux sujets de l'analyse. Par conséquent, dans certains pays où le niveau de formation des professeurs de mathématiques est très élevé, le seul changement apporté dans le plan du cours A est l'adjonction de sujets d'analyse. Dans d'autres pays, il sera intéressant, d'inclure un exposé élémentaire d'éléments de calcul différentiel et intégral dans ce cours fondamental. Ceci est également recommandé dans les cas où le cours fondamental est destiné surtout à des professeurs dont la formation antérieure ne comprenait pas de tels sujets.

Après l'exposé des principaux arguments, il faut encore souligner que le cours fondamental, c o m m e on l'a déjà indiqué devra servir de base de départ aux professeurs qui rencontreront pour la première fois les nouvelles ten­dances de l'enseignement des mathématiques tant du point de vue concepts que du point de vue didactique, méthodologique et pédagogique. Les professeurs, à qui on aura présenté ces importantes questions dans le cours fondamental, seront très bien préparés pour suivre, plus tard, d'autres cours de formation continue où l'on traitera l'analyse.

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1. — Cours fondamental A

Liste des sujets accompagnée de remarques :

a. Ensembles

Concept d'ensemble. Eléments d 'un ensemble (la relation d'apparte­nance). Égalité des ensembles. Description d'un ensemble par une enumera­tion ou une propriété. Diagrammes de Venn. Sous-ensemble. Sous-ensemble propre. Ensemble défini en compréhension : {xe .. | } Ensemble vide. Intersection. Réunion. Différence d'ensembles. Complé­ment d'un ensemble A dans un ensemble E . Différence symétrique. Parti­tion d 'un ensemble. Ensemble d'ensembles. Algèbre des ensembles (com-mutativité et associativité pour les opérations sur les ensembles). Utilisation des diagrammes de V e n n c o m m e moyens de présentation. Démonstration par utilisation des diagrammes de Venn .

Remarques. Cette liste constitue le m i n i m u m nécessaire pour le dévelop­pement des principales notions en tête des chapitres qui vont suivre et pour la préparation des professeurs pour la nouvelle approche dans l'enseigne­ment des mathématiques. Les professeurs qui suivent ce cours doivent comprendre que le concept d'ensemble n'est pas un concept isolé, mais un concept très important dans tous les domaines ; la théorie des ensembles constitue une part importante du langage des mathématiques contemporaines.

Les professeurs doivent comprendre clairement les relations qui existent entre les lois de la logique et l'algèbre des ensembles.

b. Relations et fonctions

Relations. Couple. Ensemble de couples. Relations. Source et but d'une relation. Relation d 'un ensemble A vers un ensemble B . Produit cartésien. Représentation graphique de couples et de relations. Relation réciproque d'une relation. Ensemble image par une relation. Composition de relations. Propriétés des relations (réflexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité). Relation d'équivalence. Partition d 'un ensemble. Relation d'ordre (ordre partiel, ordre total). Utilisation des schémas (cartésien et sagittal). Simplexe.

Fonctions. Source et but d'une fonction. Fonction d'un ensemble A vers un ensemble B . Injection. Surjection. Bijection. Relation réciproque d'une fonction. Ensemble image par une fonction. Composition de fonctions. Permutations (bijections).

Remarques. Les notions de couple et de relation doivent être introduites intuitivement à l'aide de nombreux exemples et en utilisant des schémas (cartésiens et sagittaux).

L a définition (x, y) = {{x}, {x, y}} peut être donnée aux maîtres ; on pourra faire une discussion sur l'égalité des couples.

L'utilisation des schémas est fortement recommandée. Les études de la relation réciproque d'une relation, de la composition des relations et de la

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classification des relations en fonction de leurs propriétés sont simplifiées par l'utilisation de schémas. L e simplexe peut illustrer l'ordre partiel.

Il est souhaitable d'introduire des exercices sur l'analyse combinatoire. E n effet, les problèmes classiques d'analyse combinatoire sont du type suivant : dénombrer les applications d 'un ensemble à p éléments vers un ensemble à n éléments; dénombrer les injections d'un ensemble à p éléments vers un ensemble à n éléments; dénombrer les bijections d 'un ensemble à n éléments dans lui-même ; dénombrer les sous-ensembles à p éléments d 'un ensemble à n éléments.

L e maître peut aussi étudier quelques applications des relations et des schémas dans les domaines suivants :

1. Calculateur électronique 2. Réseaux électriques 3. E n psychologie 4. E n linguistique

c. Structures algébriques

Loi de composition dans un ensemble. Commutativité, associativité, élément neutre, élément symétrique d'un élément, distributivité, groupoïdes, monoïdes, groupes.

Sous-groupe d'un groupe.

Le groupe des permutations d'un ensemble. Le groupe {¿P (E), A). L e groupe additif des entiers et ses sous-groupes. Le groupe additif des entiers modulo n. Groupes de transformations en géométrie. Calculs dans les groupes y compris la résolution d'équations.

Anneaux.

L'anneau des entiers. L'anneau des entiers multiples du naturel n. L'anneau {0> {E), A, Ç\). L'anneau U [x] des polynômes en x, à coefficients réels. Anneaux de fonctions.

Corps (y compris les corps finis) et particulièrement les corps suivants :

(Q, + ,.); (R, + , .) ; (C, + , .). Corps ordonnés et complètement ordonnés. Isomorphisme des structures algébriques. Homomorphisme.

Remarques. Ce sujet est de la plus haute importance dans la construction de diverses théories mathématiques à tous les niveaux. Il est possible, aujourd'hui, en utilisant les structures algébriques, de montrer le lien qui existe entre des théories mathématiques que l'on considérait autrefois c o m m e différentes. Les concepts d'homomorphisme et d'isomorphisme sont fondamentaux.

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Les connaissances des maîtres dans le domaine de l'algèbre peuvent modifier la manière de présenter la mathématique aussi bien au niveau de l'enseignement primaire qu'au niveau de l'enseignement secondaire. O n peut enseigner les structures algébriques dès le premier cycle du secondaire de façon assez détaillée. A u niveau du second cycle du secondaire, les structures algébriques peuvent devenir un outil très efficace pour le profes­seur et ses élèves. Les premières approches des structures algébriques doivent être inductives : l'abstraction des concepts ne se fera qu'après la présentation de très nombreuses situations. Par la suite, on pourra utiliser les structures pour décrire aussi bien l'espace physique que pour étudier des problèmes théoriques. M ê m e si les connaissances du professeur attei­gnaient un haut niveau dans ce domaine, il faut reconnaître qu'elles ne seraient pas d'une grande utilité pour son enseignement, si le professeur, au m o m e n t où le besoin s'en faisait sentir, ne pouvait illustrer ces concepts par des exemples concrets.

Par conséquent, il faut fournir lors de la formation continue un très grand nombre d'exemples. Voici une remarque importante : les premiers exemples qu 'on donne au cours de la formation continue doivent porter sur des domaines connus des participants et il est bon de se placer d'un point de vue très naïf. Les exemples sur les nombres sont très utiles. Dès lors, il est facile de montrer que les structures peuvent permettre d'introduire de nouveaux êtres mathématiques, qui se comportent de la m ê m e manière que ceux qui ont été rencontrés dans la phase naïve sans avoir besoin de faire appel à de nouvelles considérations théoriques. C e point de vue est évidemment valable au niveau de l'école primaire.

d. Le concept de nombre.

Nombres cardinaux. Nombres naturels. L'anneau des entiers. Nombres réels. L e corps ordonné des nombres réels et le sous-corps ordonné des nombres

rationnels. Nombres réels dans le système binaire et le système décimal. Calculs exacts et approchés dans le corps des réels. Remarques. Les nombres naturels peuvent être définis c o m m e les car­

dinaux d'ensembles finis. Les définitions de l'addition et de la multiplication des nombres rationnels sont basées sur les opérations théoriques sur les ensembles. Les relations entre les propriétés des opérations théoriques sur les ensembles et les opérations dans l'ensemble des entiers rationnels devraient être mises en évidence.

Il semble important que les maîtres aient des connaissances sur l'utilisa­tion du système binaire dans les applications des mathématiques. Ainsi la valeur pédagogique des idées contenues dans le système binaire est développée.

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Donner au maître une connaissance approfondie de la construction mathématique d u concept du nombre, doit constituer une part importante du cours fondamental de formation continue. Après une étude sur les naturels (basée sur une théorie axiomatique, type de Peano), suit la construc­tion des entiers définis par des couples de naturels, puis la construction des rationnels définis par des couples d'entiers. O n arrive ainsi au problème de la construction des réels. Dans les différentes parties de ce développement, depuis les naturels jusqu'aux rationnels, les concepts d'ensembles et de relations, d'algèbre (relations d'équivalence, relation de congruence, h o m o -morphisme et isomorphisme) sont utilisés avec le plus grand profit. L a construction d u corps ordonné des réels ne doit pas être incluse dans le cours fondamental ; mais il est important que les professeurs de mathémati­ques aient des connaissances précises sur la construction des réels.

e. Éléments d'algèbre linéaire

Espace vectoriel. Exemples d'espaces vectoriels tels que polynômes, fonctions... Calcul vectoriel. Applications linéaires. Bases d 'un espace vectoriel. Coordonnées. Matrice considérée c o m m e application linéaire par rapport à des bases.

Remarques. Durant ces dernières années, l'expérimentation dans le premier cycle de l'enseignement secondaire, et au niveau du primaire, a montré qu'on pouvait utiliser avec succès le concept d'espace vectoriel. O n a constaté dans de nombreux cas, que les professeurs trouvaient difficile une « structure compliquée » c o m m e celle de l'espace vectoriel, alors que les élèves, grâce à une approche inductive, saisissaient et comprenaient les éléments de cette structure. N o u s rencontrons ici une situation où les professeurs de mathématiques doivent dominer, à partir d 'un enseignement solide, les sujets mentionnés ci-dessus; mais il est également important qu'ils soient capables d'illustrer par des exemples, des plus naïfs aux plus compliqués, les idées de ce domaine.

A u niveau du second cycle de l'enseignement secondaire, le concept d'espace vectoriel en tant que structure mathématique de base exige de la part du professeur, des connaissances plus poussées que celles qu'il peut acquérir en suivant le cours fondamental. Aussi, un cours plus approfondi (voir le cours C ) sur l'algèbre linéaire devrait figurer dans le programme de la formation continue.

f. Géométrie

Géométrie affine. Plan, ligne, point. Axiomes d'incidence. Relation de parallélisme. Orientation. Demi-droites (ouvertes, fermées), intervalles (ouverts, fermés, semi-ouverts). Convexité. Transformations affines du plan. Projections parallèles. Groupe de transformations dans le plan. Théorème de Thaïes (avec ses applications). Homothéties dans le plan; le groupe d'homothéties dans le plan.

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Géométrie métrique. Perpendicularité. L e groupe des isométries dans le plan et ses sous-groupes. Propriétés qui restent invariantes dans une isométrie. Distance. Produit scalaire. Cosinus. Applications importantes, c'est-à-dire, l'inégalité de Cauchy-Bunjakowsky; propriétés métriques des polygones. Disques et cercles ; éléments de symétrie (par rapport à un point ou une droite) ; convexité d u disque. L e groupe des angles. Introduction à la trigonométrie.

Remarques. L e cours de géométrie fournit une excellente occasion pour expliquer la nécessité d'un traitement axiomatique d'une théorie. Il c o m ­prend la discussion de concepts tels que (1) termes primitifs, (2) axiomes, (3) théorèmes avec démonstrations, (4) définitions.

L a géométrie affine est l'étude des espaces vectoriels; la géométrie métrique est l'étude d'un espace vectoriel munie d'un produit scalaire. Les éléments d'algèbre linéaire seront ainsi constamment utilisés dans le cours de géométrie.

O n insistera, en géométrie affine, sur l'importance des translations et homothéties. L a géométrie métrique plane peut être basée sur les symétries qui engendrent le groupe d'isométries du plan.

2. — Nombre d'heures nécessaires pour ce cours fondamental

Pour ce cours de base, on peut estimer qu'il faudrait 120 heures au m i n i m u m et 240 heures au m a x i m u m . Dans le premier cas, une séance hebdomadaire de 3-4 heures serait souhaitable. Dans le second cas, on peut envisager deux séances de 3-4 heures chacune. Dans les deux cas, le cours doit être réparti sur une seule année scolaire. O n peut envisager, également, un cours de 120 heures se déroulant en un mois, à raison de 24 heures par semaine. Dans certains pays, on a organisé de tels cours, sur deux périodes de 14 jours, séparées par une période allant jusqu'à un an et pendant laquelle les participants suivaient un cours par correspondance.

Cependant, il faudrait souligner que ce cours de base peut être modifié selon les besoins. Si le cours est organisé pour un groupe plutôt faible (par le niveau de ses connaissances), le programme établi ci-dessus pourrait être fait dans sa totalité, mais d'une façon élémentaire, m ê m e en disposant de 240 heures. Dans le m ê m e cas, il faudrait utiliser un programme réduit si l'on ne dispose que de 120 heures : par exemple, un tel cours comprendrait les paragraphes 1 et 2 en entier, les paragraphes 3, 4 et 6 en partie et le paragraphe 5 pourrait être rapidement énoncé. D'autre part, dans le cas d 'un cours organisé pour un groupe de maîtres ayant un solide bagage (c'est-à-dire de formation universitaire récente), on peut faire, en 120 heures, les paragraphes 1 et 2 rapidement et on peut consacrer la plus grande partie du temps aux paragraphes 3, 5 et 6 et m ê m e faire quelques parties des sujets énoncés dans les cours B , C , D , E .

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3. — Méthodes d'enseignement

Les sujets qui font l'objet du cours fondamental ne pourront être traités de façon correcte, que si une grande partie du cours est réservée à des exposés de type plutôt traditionnel. L'animateur expose le sujet, donne son point de vue, souligne les idées mathématiques en rapport étroit avec les principaux points considérés. E n fait, il est important que cette présen­tation apporte aux participants des idées et les rende aptes à u n travail personnel sur le sujet traité ou les mathématiques en général. Dans la méthode traditionnelle, on essaye souvent d'y parvenir en donnant aux participants, l'occasion de poser des questions ou d'exprimer leurs opinions sur les problèmes mathématiques soulevés par l'animateur.

Si la durée de chaque cours est assez longue, 3 ou 4 heures par exemple, c'est certainement perdre du temps que de la consacrer entièrement à des exposés de type traditionnel. Les participants doivent avoir l'occasion d'exercer d'autres activités personnelles que celle d'écouter uniquement. Voici quelques-unes de ces activités possibles :

1. L'animateur interroge un ou plusieurs professeurs sur des sujets qui viennent d'être traités ou en rapport étroit avec ceux-ci. Tout participant intéressé peut se joindre à la discussion.

2 . U n ou plusieurs professeurs exposent une partie intéressante du programme à tout l'auditoire ou à u n petit groupe. L'exposé peut porter sur des sujets déjà traités ou un nouveau sujet préparé ou non.

3. Pendant l'exposé de l'un des professeurs, les participants peuvent prendre des notes (utilisation des symboles, des structures, le degré de précision, etc.). Après l'exposé, plusieurs des participants (et l'animateur) expriment leurs critiques et présentent une autre façon d'exposer.

4 . Des problèmes sont posés par l'animateur ou choisis dans u n manuel. Les participants donnent leurs idées sur la solution et contribuent à la discussion générale du problème. L'animateur doit jouer le rôle d'arbitre dans la discussion.

O n peut citer d'autres activités du m ê m e type. Cependant, il est indis­pensable d'ajouter à de telles activités purement mathématiques, les nouveaux moyens qui améliorent les communications entre les participants eux-mêmes et l'animateur. Dans cette perspective, il est particulièrement recommandé d'utiliser les nombreuses occasions qui se présentent au niveau de la didactique, de la méthodologie et de la pédagogie des mathématiques. Voici quelques suggestions :

a) Les participants sont amenés à envisager la didactique des mathémati­ques c'est-à-dire, l'étude des relations entre quelques objectifs déterminés de l'enseignement des mathématiques et les moyens d'atteindre ces objec­tifs. O n n'envisage d'abord que les objectifs les plus généraux de l'enseigne­ment des mathématiques. Après un débat qui conduit en général à accepter de tels objectifs initiaux (acceptation souvent temporaire), on discute des

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objectifs secondaires, encore d'un type général, et on en dresse une liste. Chacun de ces objectifs secondaires peut être considéré c o m m e un but en soi, mais aussi c o m m e un moyen d'atteindre les objectifs initiaux. O n pourra trouver une hiérarchie dans l'ensemble de ces buts; les buts les plus « bas » de cette hiérarchie sont les sujets mathématiques, tandis que les plus « élevés » sont des problèmes généraux.

L a discussion sur le plan didactique engagera fortement le professeur, il sera ainsi conduit à reconsidérer au cours de sa formation continue d'une part son savoir mathématique et d'autre part son propre enseignement.

¿>) E n relation avec la discussion sur la didactique décrite en a), le choix des moyens efficaces pour enseigner est un problème important. Le profes­seur doit dans ses propres classes faire souvent de nombreux choix. Dans la plupart des pays, le programme est imposé par les autorités ; les profes­seurs ont cependant la liberté de choisir d'une part la manière de présenter les concepts et d'autre part les méthodes et les moyens pédagogiques.

L'étude des sujets suivants peut aider utilement les professeurs :

1. Qu'entendons-nous par la compréhension en mathématique ? 2. La formation des concepts dans l'apprentissage mathématique. 3. La méthode inductive. 4 . Relation entre approches inductive et deductive dans l'apprentissage

mathématique. 5. Les concepts unifiants. 6. Le rôle des variables à l'école primaire et dans l'enseignement secon­

daire. 7. Le rôle des relations et des fonctions. 8. La place de la logique dans les programmes scolaires. 9. Les équations et inéquations au début de l'enseignement secondaire.

10. La méthode axiomatique dans l'enseignement secondaire. 11. La place de la géométrie. 12. Initiation à la théorie des probabilités. 13. Le rôle des matériels concrets au niveau secondaire. 14. Le rôle du calcul différentiel et intégral dans les programmes du

secondaire. 15. La valeur esthétique des mathématiques.

Les problèmes didactiques définis en a) peuvent servir d'introduction et être traités de temps à autre, par contre l'étude des sujets que nous venons de présenter doit être envisagée autrement.

L e niveau de la discussion jouera un rôle important sur l'intégration de ces idées dans le cours. Bien entendu, il ne faudra traiter que certains sujets. Dans certains cas, on pourra placer la discussion à la fin du cours, en conclusion d'une étude théorique.

c) Durant la dernière décennie, un certain nombre de livres expérimen­taux intéressants ont été écrits par des équipes de mathématiciens et de

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professeurs de mathématiques. O n peut proposer à u n groupe de lire et de discuter ces ouvrages. L e groupe présentera une synthèse à l'auditoire et répondra aux diverses questions relatives au niveau, au contenu, aux idées pédagogiques, etc..

d) O n peut présenter à l'assistance des films mathématiques et en particu­lier montrer des films sur le travail des élèves en situation d'apprentissage. Après une discussion, on pourra repasser le film.

e) U n groupe peut présenter des supports pédagogiques (exemples, exercices, problèmes, choix de textes); suivra alors u n e discussion avec les autres groupes. O n pourra rechercher parmi ces supports pédagogiques ceux qui seront directement utilisables dans les classes. Après les avoir effectivement expérimentés avec les élèves, une nouvelle discussion générale pourra être ouverte.

Les travaux décrits en a, b, c, d et e n'occuperont q u ' u n e petite partie d u t e m p s ; mais, dans tous les cas, il faudra encourager u n e libre discussion entre les participants. L'animateur, qui doit être u n b o n mathématicien, apportera une contribution théorique intéressante; il doit être capable, c o m p t e tenu des idées présentées par les participants, de faire le point ; il est souhaitable que l'animateur ait aussi u n e compétence en matière d'enseigne­m e n t , (participation à u n e recherche pédagogique). D a n s ce cas, la contribu­tion de l'animateur sera très importante. D a n s u n proche avenir, et c'est déjà le cas dans certains pays, les animateurs seront formés dans ce sens; ils seront alors capables de présenter à l'assistance, des problèmes de didactique, de méthodologie et de pédagogie mathématique. E n attendant q u e ce but soit atteint, des discussions entre les professeurs serviront de catalyseurs et renforceront l'intérêt de la formation continue.

Enfin, il faut insister sur le fait suivant : tant que des recherches fonda­mentales n'auront pas été faites sur la pédagogie de la mathématique, il ne faudra pas passer trop de temps, au cours de la formation continue, sur la pédagogie.

4 . — Cours plus poussés

C e cours de base, c o m m e on l'a déjà souligné, n'est pas toujours d'un intérêt suffisant pour certains maîtres. D a n s certains pays, les maîtres suivront tous les cours de formation continue, puis passeront des cours de base à d'autres séries de cours. Dans d'autres pays, certains maîtres auront besoin de cours dont le contenu est tout à fait différent de celui du cours A , car le programme de A leur aura été déjà fait au cours de leurs études.

C'est pourquoi des listes de programmes sont brièvement esquissées ci-dessous. Dans certains cas, on se contente de citer les sujets-matières.

a. Analyse comprenant des éléments de topologie (cours B )

L e cours d'analyse devrait débuter par des notions générales de topologie, c'est-à-dire, les espaces topologiques, les ensembles ouverts et les ensembles fermés, les voisinages, la continuité, les limites.

U n e introduction de ce genre devrait être suivie par l'étude de la differentiation, l'intégra-

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tion, les series, les équations différentielles et d'autres sujets importants. Il faudra montrer

clairement l'importance de l'analyse dans les autres domaines.

b. Algèbre linéaire (cours C )

Définition axiomatique d'un espace vectoriel sur le corps des réels. (Les espaces vectoriels

sur d'autres corps peuvent être étudiés ultérieurement).

U n petit nombre de théorèmes essentiels peuvent être démontrés en utilisant les axiomes;

par exemple

r. v = o or = o ou v — o

Après cette brève introduction d'un niveau abstrait, il faudra donner de nombreux

exemples d'espaces vectoriels. Ici, nous ne citerons que trois exemples importants : l'espace

vectoriel associé à un espace affine, l'espace vectoriel des K-uples et l'espace vectoriel des

polynômes.

O n présentera ensuite les sujets suivants (il n'est pas nécessaire de respecter l'ordre

ci-dessous) :

Combinaison linéaire; sous-espaces; systèmes de vecteurs dépendants et indépendants;

ensembles générateurs; bases; dimension; dimension d'un sous-ensemble; intersection,

réunion, s o m m e et s o m m e directe d'espaces vectoriels ; applications linéaires (transformations

linéaires); composition d'applications linéaires, le groupe linéaire général; l'anneau des

transformations linéaires pour l'addition et la composition ; matrice d'une application linéaire

par rapport à une base; opérations sur les matrices; déterminants des transformations;

valeurs propres et vecteurs propres.

Produit scalaire, norme et distance, peuvent être introduits à ce moment. Les formes

bilinéaires et leur réduction ont des applications pratiques et seront étudiées en détail selon

le temps dont on dispose.

c. Probabilités, statistiques et analyse numérique (cours D )

O n introduira les probabilités en utilisant une théorie axiomatique. L'importance de ce

sujet à notre époque exige un cours substantiel. Cependant, nous indiquerons ci-dessous

uniquement la matière d'un premier cours de formation continue, et nous donnerons les

premiers éléments de statistique.

Probabilités. Espace d'échantillon. Evénement. Définition d'une probabilité. Combina-

toire. Événements dépendants et indépendants. Evénements complémentaires. Théorème de

Baye.

Distributions. Distributions binômiales et normales. Loi des grands nombres. Test

d'hypothèse. Corrélation.

Eléments de statistiques descriptives. Représentation des données. Moyenne. Médiane.

M o d e . Histogramme. Diagramme des fréquences. Écart à la moyenne. Distributions.

Distribution normale.

Analyse numérique. Ce domaine sera présenté d'un point de vue traditionnel. Cependant,

il faudra initier les professeurs à la notion d'algorithme et à son utilisation dans le traitement

des problèmes sur calculateur électronique.

1ère priorité. Notions élémentaires sur les algorithmes (variable, valeur assignée), instruc­

tion (conditionnelle, aller à), boucle, sous-programme; cartes perforées; langage simple de

programmation ; principe des opérations sur un calculateur (uniquement les plus importantes,

telles que les adresses et les cycles de base) et d'une façon plus générale montrer qu'une

donnée, à une certaine étape du processus peut devenir instruction à l'étape suivante.

2ème priorité. Applications les plus importantes des calculateurs (gestion, banque,

processus de contrôle, stockage d'informations dans les bibliothèques et les hôpitaux).

Importance des éléments terminaux pour ces applications; quelques méthodes numériques

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de calcul (Newton, quadratures); organisation d'un centre de calcul (qualification du

personnel).

3ème priorité. Application faisant appel à l'imagination (prévisions météorologiques,

échecs, construction de modèles, démonstrations mathématiques, tracé de routes et construc­

tions diverses); importance des éléments terminaux pour ces applications.

Autre priorité. Stockage, nombres binaires.

Calcul intégral et différentiel

Exemples tirés des Sciences Naturelles et d'expériences. Utilisation de tables de différences

conduisant aux dérivées et intégrales. Etude de leur relation. O n peut admettre l'existence

de l'intégrale d'une fonction continue et établir l'unicité, à une constante près, des fonctions

primitives. O n établit les règles de dérivation d'une s o m m e de produits, de quotients. O n

calcule des dérivées et intégrales de quelques fonctions simples. O n traitera des équations

différentielles simples.

d. Fondements de la mathématique (cours E)

Dans le cours fondamental, les éléments de logique sont traités d'un point de vue « naïf »

en liaison avec l'ensemble du programme et en particulier avec l'étude des ensembles.

Dans cette première phase, il est possible de présenter de nombreux concepts importants,

allant du calcul propositionnel au calcul des prédicats. Cependant, dans un cours d'un

niveau plus élevé, il faut aborder les fondements de la mathématique.

Après une introduction des éléments de la logique, il faudra étudier plusieurs théories

axiomatiques, par exemple, la théorie des groupes, celle du plan affine, enfin la théorie des

probabilités. Ces exemples devront permettre d'abstraire le concept d'axiomatique. L'utilisa­

tion des termes primitifs (concepts non définis) et d'axiomes doivent conduire à des

discussions sur les interprétations diverses. Le concept de modèle (mathématique ou

physique) d'une théorie axiomatique devra être traité en détail. D e m ê m e , les concepts de

consistance et d'indépendance seront traités en liaison avec les théories axiomatiques.

E n partant des expériences issues de la phase non formalisée du cours, du calcul proposi­

tionnel et du calcul des prédicats, on pourra présenter les notions d'un point de vue formel.

Enfin, il faudra traiter des exemples à l'intérieur d'une théorie axiomatique.

M ê m e si peu de professeurs suivent un cours sur les fondements de la mathématique,

l'importance de la méthode axiomatique de nos jours, impose à un certain nombre de

professeurs de mathématique de se poser le problème du rôle de l'axiomatique au niveau

de l'enseignement secondaire. Il faut donc envisager avec soin, l'intérêt que présente

l'introduction de ce domaine dans la formation continue des maîtres.

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CHAPITRE 3

ORGANISATION DU COURS

1. — Schémas pour la formation continue des maîtres en mathématiques

Les grands changements, qui ont eu lieu et qui ont encore lieu, tant dans le contenu des programmes de mathématiques que dans la manière de les enseigner, ont rendu indispensable une formation continue accessible à tous les professeurs de mathématiques. La nature de cette formation, le contenu de son programme, les dispositions administratives seront influencés par des facteurs tels que les conditions locales, les fonds et les facilités accordés, mais surtout par la nature de la formation antérieure du maître. Cela pose un problème difficile en soi, car les maîtres, c o m m e tous les autres h o m m e s , ne peuvent être classés en catégories bien définies. La réaction du maître devant le cours de formation continue dépendra non seulement de sa forma­tion antérieure, mais aussi du temps écoulé depuis sa formation initiale, de son aptitude à apprendre et de la façon dont ses idées ont été influencées par l'expérience et différentes autres causes.

L e programme de formation comprendra deux éléments essentiels : (1) l'acquisition de connaissances mathématiques; (2) l'étude des meilleurs moyens pour les communiquer à leurs élèves. L a prépondérance de l'un ou l'autre de ces éléments dépendra principalement de la formation antérieure du maître. S'il a une bonne formation de mathématiques modernes, il sera préférable de consacrer plus de temps aux buts, aux méthodes et aux techniques d'enseignement et le cours comprendra, en grande partie, des travaux pratiques; les maîtres, eux-mêmes, travaillant en équipes sur des situations pratiques.

Si le maître n'a qu'un bagage mathématique limité, il sera nécessaire de consacrer plus de temps à lui apprendre des mathématiques et à augmenter ses capacités à dominer un sujet donné. M ê m e dans ce cas, il faudra insister sur les travaux pratiques. L a mathématique est un sujet qu'on apprend non pas en écoutant, mais en agissant.

L'idéal serait que le maître puisse être déchargé de son enseignement pendant toute une année ou, au moins, pendant un trimestre; il pourrait

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ainsi tirer le meilleur profit d'un tel cours. Cela lui donnerait le temps de se rafraîchir et de repenser ; il pourrait revoir ses connaissances antérieures et celles, nouvellement acquises, à la lumière de ses expériences de classe, tant des succès que des échecs. C'est une des limites de la formation entre­prise avant l'expérimentation parce qu 'un grand nombre de concepts ne prennent toute leur signification qu'à mesure que croît l'expérience de la classe. Cette formation continue lui donnera l'occasion de réfléchir et il en résultera souvent une nouvelle philosophie personnelle d'enseignement. Les discussions entre les maîtres en dehors des classes sont bien souvent très profitables.

D e tels cours étoffés sont nécessairement en petit nombre et ne font qu'aborder le problème, mais ils doivent servir à former une élite dont les membres poursuivront un travail fructueux sur le plan local c o m m e animateurs et c o m m e modèles pour les autres maîtres; ils encourageront les autres maîtres à faire de m ê m e , et les aideront à surmonter leurs diffi­cultés.

N o u s insisterons sur le bénéfice le plus important qui résultera de la participation à ces cours de formation : celui de fournir des dirigeants et des pionniers. Il est très facile dans u n domaine de perdre le contact avec les progrès réalisés dans d'autres domaines. U n e des grandes difficultés de l'enseignement est l'incapacité du maître de se comparer avec les autres, de savoir s'il est sur la bonne voie. L a présence d 'un animateur qui a suivi pendant une année u n tel cours et qui met en pratique avec confiance et aisance ce qu'il y a appris, est d'une grande stimulation pour les autres maîtres, hésitants et circonspects, qui ont juste besoin de reprendre l'assurance que lui seul peut donner.

N o u s n'avons parlé que de cette élite qui, nous l'espérons, fournira les meilleurs maîtres. À l'autre extrémité de l'échelle, se trouvent nos pauvres collègues qui ne réussiront jamais vraiment et pour lesquels nous pouvons très peu. Entre ces deux extrêmes, se trouve la grande masse des maîtres de niveau moyen , qui ont besoin d'aide et qui peuvent en profiter, si on leur en montre le chemin. Ils sont trop nombreux pour qu'on les retire des écoles pour une longue période de temps, mais leurs capacités sont telles qu'ils ont besoin souvent d'aide; ils doivent être renseignés et conseillés à chaque étape.

U n e des façons d'aider ces maîtres serait de les envoyer dans un centre d'enseignement local, innovation récente et pleine de possibilités. E n accordant des facilités et en organisant régulièrement des réunions de parti­cipation active aussi bien qu'auditive, on peut faire beaucoup pour en­courager le maître assidu et compétent, mais non transcendant.

Il faut mentionner aussi les différents objectifs de l'enseignement suivant la nature et les possibilités des élèves. Sans essayer de répartir les enfants suivant une classification trop rigoureuse, on peut distinguer, d'une part, les enfants qui font preuve d'aptitude dans l'abstraction des idées et leur

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généralisation et qui pourront aller à l'université ou entreprendre des études professionnelles; d'autre part, les enfants dont les intérêts et l'orientation sont essentiellement pratiques. Il est clair que le maître, dont les élèves appartiennent au premier type, aura besoin d'une formation plus théorique que l'autre maître qui devra disposer de nombreux exemples et applications pratiques pour donner à son travail l'orientation nécessaire au type d'enfants auquel il a affaire.

2. — Les motivations du maître qui participe à la formation continue

O n peut en distinguer deux espèces différentes, les motivations internes d'ordre psychologique ou moral, et les motivations externes, d'ordre matériel ou administratif.

a) Les premières sont les plus importantes, car ce sont celles qui sont garantes de la qualité du travail qui sera accompli.

La motivation la plus immédiate et la plus puissante chez les professeurs est leur désir d'améliorer leur enseignement. Mais il arrive que ce désir se manifeste chez certains, sans qu'ils aperçoivent nettement c o m m e n t ils pourront le satisfaire. Il arrive aussi qu'il soit étouffé chez d'autres, qui, ne voyant pas clairement qu 'une amélioration soit possible en concluent abusi­vement qu'elle est impossible et en déduisent m ê m e parfois que l'enseigne­ment auquel ils sont habitués est parfait. L e premier travail est donc de montrer à la fois la possibilité et la nécessité du changement.

La démonstration de cette nécessité revêt parfois un caractère douloureux pour le maître à qui elle s'adresse, car elle consiste souvent à le persuader que des notions qu'il enseigne de bonne foi depuis de nombreuses années sont en réalité confuses, inadaptées ou inutiles ou encore présentées sous u n éclairage qui les prive d'une partie de leur efficacité. Pour pénible que soit ce travail de démolition, il est fréquemment indispensable. Il importe cependant que l'angoisse qu'il peut faire naître soit rapidement apaisée par la perspective d'une solution assez facilement accessible : alors, le maître est prêt à faire l'effort nécessaire, et à faire cet effort dans l'enthousiasme. Très souvent d'ailleurs, l'enseignant éprouve le sentiment d'une libération lorsqu'il prend conscience des insuffisances de l'enseignement auquel il était habitué : en effet, il avait en général ressenti ces insuffisances, mais faute de pouvoir y remédier, il avait opéré à leur égard u n véritable refoule­ment psychologique.

Dans le m ê m e ordre d'idée, il est important de montrer aux maîtres que la solution de leurs difficultés se trouve très souvent dans les progrès de la discipline qu'ils enseignent, progrès qu'ils ignorent o u dont ils pensent à tort avant de les connaître qu'ils ne peuvent avoir aucun effet au niveau où ils enseignent.

Il faut aussi rappeler aux maîtres que leur mission n'est pas d'être les

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dépositaires des conquêtes du passé, fussent-elles prestigieuses, mais de préparer l'avenir, et il faut les inviter à assumer pleinement leurs respon­sabilités à cet égard.

Toute formation continue amènera les maîtres d u second degré à prendre contact avec l'université. C e pourra être un motif de fierté chez ceux qui n'ont pas eu l'occasion de la fréquenter dans leur jeunesse, et l'occasion de retrouver leur jeunesse chez les autres. Il importe à ce propos que l'univer­sité se fasse accueillante, qu'elle sache à la fois exciter et satisfaire la curiosité et qu'elle donne l'exemple de la collaboration fraternelle et de la disposition à la discussion ouverte : l'enrichissement personnel que ressentira chaque maître renforcera considérablement ses motivations d'ordre plus strictement professionnel.

Bien que tout cela ne se laisse couler dans aucun cadre administratif et ne puisse pas faire l'objet d'instructions officielles, il nous paraît capital d'insister sur la nécessité de créer pour la formation continue un climat moral favorable où la liberté, la responsabilité et l'enthousiasme puissent se développer sans entraves. U n tel climat est à la fois le garant et le résultat de la qualité du travail scientifique et pédagogique qui sera accompli.

b) Les motivations externes n'ont de valeur que dans la mesure où elles favorisent les motivations internes, ce qui ne veut pas dire qu'elles soient sans importance.

Toute formation continue demande à ceux qui en bénéficient un travail personnel important : si ce dernier s'ajoute à leur travail habituel, souvent déjà trop lourd, il créera une surcharge insupportable. 77 est donc indispen­sable que le temps consacré par un maître à la formation continue soit considéré comme faisant partie de son service, et vienne donc en décharge de ce dernier.

Il doit d'autre part être entendu que tout professeur a le droit de prendre part à la formation continue, et que c'est un devoir pour les autorités res­ponsables de mettre en place les moyens nécessaires pour que les maîtres puissent en tirer le meilleur profit.

Bien que ce soit souvent l'attitude des entreprises industrielles à l'égard de leur personnel, il n'est pas sûr qu 'une obligation formelle de prendre part à la formation continue soit souhaitable, car elle risque de porter atteinte aux motivations internes. Nous préférerions parler d 'une incitation qui d'une part mettrait l'accent sur les motivations internes, et d'autre part donnerait de bonnes conditions matérielles : décharges de service mentionnées ci-dessus, prise en charge des frais, organisation des réunions dans des lieux agréables et des locaux confortables, bibliothèques bien fournies et facile­ment accessibles, diffusion des documents bien présentés. Signalons qu'une des incitations les plus puissantes est l'annonce d 'un changement de programmes devant intervenir dans u n délai fixé.

Certains pays ont lié à la formation continue des avantages de carrière (changement de catégorie, amélioration du salaire). Sans mettre de côté ce qui peut être pour certains un motif puissant, il nous paraîtrait dangereux

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qu'une disposition fasse découler automatiquement des avantages de carrière de la formation continue, car cela risquerait de dénaturer c o m ­plètement cette dernière en modifiant sa finalité. Il paraît à priori plus sain de rétribuer directement tout travail de formation continue — que ce soit celui d'un participant ou d'un moniteur — que de le récompenser indirecte­ment de cette manière. Il faut cependant constater que certains très bons professeurs peuvent être attirés vers des fonctions administratives, mieux rémunérées ou plus honorifiques et qu'il y a là une perte redoutable à l'heure où la pénurie de professeurs de mathématiques est un phénomène universel : tout système de rétribution qui contribuera à maintenir les bons professeurs à leur place naturelle, leur classe, devra être pris favorablement en considération.

3. — Moyens et méthodes

C o m m e tout professionnel qui suit u n cours de formation continue, les enseignants de la mathématique ne seront véritablement intéressés par la matière qui leur est exposée que pour autant qu'ils entrevoient, dès le début, l'intérêt de celle-ci pour améliorer l'exercice de leur profession. L a formation continue des enseignants sera donc favorisée par le contexte social et administratif, s'il leur apparaît que les autorités responsables sont décidées à réformer les programmes dans un avenir suffisamment rapproché.

L a matière doit être exposée de telle manière, que l'enseignant se rende compte de la possibilité de l'intégrer dans les cours destinés à ses propres élèves. Il convient avant tout que les professeurs comprennent bien les matières exposées et qu'elles leur apparaissent sous u n aspect attirant.

U n m o y e n efficace — parmi d'autres — pour arriver à un tel résultat consiste à utiliser dans l'enseignement aux professeurs, les situations et les exemples qui réussissent avec les élèves. O n réalise de la sorte une économie en enseignant à la fois la matière et une méthodologie de son enseigne­ment.

Cependant, on ne devrait pas pousser cette intégration si loin que la mathématique de la formation continue soit subordonnée aux possibilités de cette intégration. O n ne doit définir la mathématique de la formation continue, ni par la mathématique d'un programme actuel de l'enseignement secondaire, ni par celle d'un programme futur imaginaire, si l'on ne veut pas risquer un m a n q u e de flexibilité et d'applicabilité. L'enseignant doit avoir exploré des terrains non-annexes de celui où il se trouve en enseignant, des terrains où il peut être conduit dans un développement futur de l'enseignement qu'on ne connaît pas encore, ou simplement par les hasards de son enseignement, par la curiosité des élèves. Enfin une attitude utilitariste bornée contredit les buts humanistes de l'éducation : on ne forme pas un enseignant (ni qui que soit) afin qu'il soit utile c o m m e u n rouage dans la machine technocratique.

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Actuellement, dans la plupart des pays, un des buts les plus urgents de la réforme consiste à supprimer le déphasage encore existant entre l'infor­mation des professeurs et les matières reprises dans les nouveaux program­mes . Il est dès lors évident que, dans cette période, qui doit être essen­tiellement transitoire, un des objectifs essentiels doit consister à initier et familiariser les professeurs avec la matière du nouvel enseignement. Il va de soi, qu'il conviendrait de ne pas se restreindre à ce but. La formation permanente doit dispenser aux enseignants des matières qui ne figurent pas dans les cours aux élèves. O n choisira de préférence pour commencer des matières qui éclairent l'enseignement aux élèves. O n n'omettra pas les champs d'application de la mathématique.

C o m m e l'enseignement au niveau secondaire vise avant tout à faire connaître une mathématique effectivement utilisable et applicable, il est essentiel que chaque professeur puisse connaître les processus et modalités d'application dans une ou plusieurs disciplines. Le processus d'application doit comprendre la mathématique d'une situation de départ, le raisonne­ment sur le plan mathématique et la reconversion du résultat. O n soulignera tout particulièrement l'enrichissement de la connaissance apporté par l'outil mathématique.

Les cours de mathématique et d'application de la mathématique doivent être faits en collaboration avec des spécialistes des branches enseignées et notamment des professeurs d'université.

O n attend des enseignants qui suivent des cours de formation continue, qu'ils fassent un effort de compréhension des optiques nouvelles de la mathématique. Il est souhaitable que les professeurs d'université qui collaborent aux équipes de formation continue fassent de leur côté un effort de compréhension des problèmes méthodologiques et pédagogiques. Cette condition ne devrait être en aucune circonstance une exclusive a priori. L a collaboration d'aucun spécialiste ne doit être déclinée, parce qu'il déclare ne rien connaître, voire m ê m e ne pas s'intéresser aux problèmes pédago­giques. L'expérience a montré dans de très nombreux cas que le travail en c o m m u n en vue de la formation continue corrige et harmonise la situation. Finalement, chacun gagne en participant à la formation continue des enseignants. L'information scientifique des maîtres du secondaire s'étoffe davantage mais d'autre part, la prise de conscience des problèmes pédago­giques influence et améliore l'enseignement à tous les niveaux.

Les considérations précédentes ne doivent pas faire perdre de vue, que la formation continue des enseignants doit se faire autant que possible en symbiose avec la pédagogie de la mathématique qui se crée et notamment avec des expériences pédagogiques récentes ou en cours. Il convient tout particulièrement de relater celles-ci avec suffisamment de détails. O n a pu constater, à maintes reprises, l'efficacité d'exposés rendant compte de l'enseignement aux enfants, suivis de larges échanges de vue et discussions à ce sujet.

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L a formation continue est l'occasion d'une rencontre permanente des enseignants et des cadres de l'enseignement de tous niveaux. Elle favorise la compréhension mutuelle et est de nature à faciliter les transitions entre les niveaux d'enseignement.

Par sa fonction, tout professeur prend l'habitude de considérer la mathé­matique d 'un point de vue actif. Il expose la théorie et invente ou, en tout cas, propose les problèmes à ses élèves. Très souvent d'ailleurs, il est passé lui-même d'une acceptation passive à une compréhension active de notions mathématiques. Il a conscience du progrès ainsi réalisé. Il convient dès lors de ne pas le décevoir en lui imposant une formation continue passive qui ne correspond plus à sa situation psychologique et sociologique.

U n cours de formation continue n'a de valeur durable que s'il provoque, d'une manière ou d'une autre, la participation active de ceux auxquels il est destiné.

U n tel objectif peut être atteint par des moyens variés. Il n'exclut pas l'enseignement magistral (encore dit frontal) dans les exposés initiaux ou les conclusions finales. Il semble presque toujours souhaitable qu'entre ces deux moments le travail puisse être organisé en équipes.

C'est un fait indéniable que le groupe de travail, le travail en équipe peuvent plus facilement rendre justice à la réciprocité des rôles du maître et de l'élève qui existe dans la formation continue, où se rencontrent deux catégories de mathématiciens — l'une plus forte en mathématique, l'autre en enseignement. Dans cet ordre d'idées, l'idéal est l'équipe qui s'enseigne elle-même. Il n'y a peut-être pas d'autres enseignements où les frontières maître-élève peuvent s'effacer à un tel degré que dans la formation continue, et ce serait une bonne idée de profiter de cet avantage.

Dans certains cas, les équipes peuvent se réduire aux individus. Dans cette éventualité, quand la matière s'y prête, un enseignement programmé — présenté sous une des variantes possibles — peut aboutir, dans une ambiance stimulante, à des résultats positifs.

C o m m e la mathématique au niveau secondaire vise notamment aux applications, il importe de mettre en évidence la résonance de certains processus de structuration dans des domaines variés. Cela peut se faire parfois par l'utilisation de l'outil mathématique éclairant des situations d'autres disciplines et parfois en mettant en évidence la convergence ou le parallélisme des modes d'investigation dans différentes branches. O n prendra soin d'éviter les doubles emplois inutiles. Les applications peuvent renforcer certaines connaissances mathématiques en les enrichissant d 'un support intuitif nouveau. Des problèmes posés par d'autres disciplines peuvent être une motivation à l'investigation mathématique. Dans certains cas privilégiés, des disciplines extérieures à la mathématique peuvent fournir des prototypes de structures mathématiques fondamentales. Cette synthèse doit toujours laisser à la notion mathématique une indépendance suffisante pour qu'elle reste disponible dans d'autres applications.

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L'implantation de la formation continue dans un pays est une opération à forte résonance sociologique.

L'étude de certains facteurs doit orienter le choix d'une formule d'im­plantation : le statut professionnel de l'enseignant, son niveau de connais­sance, l'attitude des autorités scolaires, des universités et des associations d'enseignants à l'égard de la modernisation et de la formation continue, des formules de perfectionnement déjà existantes, l'état de la réforme en mathématique, etc.

O n observe dans les différents pays engagés dans un programme de for­mation continue, l'influence des facteurs mentionnés ci-dessus. D ' u n e façon générale, on relève plusieurs types d'activité plus ou moins différenciés.

Les différents types d'activités sont énumérés ci-dessus :

a. Séance de travail.

Cours suivi d'une séance d'exercices : (10-15 participants aidés d 'un assistant-professeur.)

Cours suivi d'une séance de discussion : (10-15 participants avec un animateur, discussion sur un matériel ad hoc.)

Groupe local de travail : — Activités de perfectionnement

. selon a) ou b) . . à l'aide de documents d'information, film, émission T . V . , fiches de

travail, etc. — Activités liées à l'enseignement :

. préparation en c o m m u n de l'enseignement en classe : production de fiches de travail, textes programmés.

. . études de programme commenté (syllabus). . . . analyse de programmes expérimentaux.

. . . . recherche fondamentale en pédagogie de la mathématique.

b. Stages.

— Dans une université en tant qu'étudiant ou en tant qu'assistant. — D'observation dans des écoles-pilotes. — D e préparation des animateurs locaux.

4 . — Moyens de diffusion de l'information

La production d'un matériel d'information abondant et varié est une composante importante pour le succès de la formation continue.

Dans plusieurs pays, des facteurs, tels que le manque de personnel qualifié ou les grandes distances rendront nécessaire l'utilisation massive de media d'information c o m m e la télévision, le film, les fiches de travail, les textes programmés, etc.

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O n a observé que l'enseignement engagé dans la production de fiches de travail et de textes programmés participait à son propre perfectionnement d'une façon beaucoup plus efficace.

5. — Durée et fréquence des séances de travail

Les séances de travail peuvent être organisées de diverses manières suivant les conditions rencontrées. O n peut envisager notamment une répartition durant toute l'année scolaire, une concentration au début des grandes vacances ou une combinaison de ces deux formules.

a. Séances réparties durant Vannée scolaire

Ces séances doivent se dérouler en u n lieu qui évite aux enseignants un grand déplacement. Cette proximité permet de plus une sensibilisation du milieu social ambiant (parents, directeurs, collègues) qui est ainsi mis au courant du perfectionnement des professeurs.

Cette répartition répond bien à l'idée de formation continue en favorisant une imprégnation progressive : ce qui est particulièrement recomman-dable, lorsqu'il s'agit de maîtres ayant une formation initiale peu appro­fondie.

Cette formule convient spécialement à la formation d'équipes. Ces équipes travailleraient d'une part à leur propre perfectionnement; d'autre part, elles organiseraient en c o m m u n leur enseignement. D e cette manière, on favoriserait l'interaction entre ces deux types d'activité.

L a durée de chaque séance devrait être de deux à trois heures, la fré­quence pouvant varier suivant les cas entre une semaine (au m i n i m u m ) et un mois (au m a x i m u m ) pour assurer une bonne efficacité. U n e telle réparti­tion facilite d u reste l'aménagement des horaires des professeurs sans perturber le travail des élèves.

b . Séances bloquées en une seule session annuelle pendant les vacances ou durant Vannée scolaire

Cette concentration des séances en dehors de l'année scolaire permet le rassemblement d 'un plus grand nombre de participants qui se consacrent ainsi entièrement à cette tâche. Elle peut favoriser une synthèse des résultats obtenus au cours d'une plus longue période de travail étalé. U n e session annuelle unique semble avantageuse dans un pays où le mouvement de réforme débute et où les animateurs sont peu nombreux ou indisponibles en dehors des vacances.

L'organisation de séances annuelles a toutefois des servitudes non négligeables : hébergement d 'un grand nombre de personnes, déplacements parfois longs et coûteux, travail supplémentaire en période de vacances.

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L a durée d'une telle session de séances bloquées ne devrait pas dépasser deux semaines et ne pas excéder le quart des vacances, ces dernières étant une nécessité pour la santé des professeurs et leur équilibre. Placées au début des vacances, ces séances offriraient un temps de réflexion avant le passage à l'application des notions et méthodes acquises. Des sessions plus longues qui réduiraient l'indispensable détente des vacances ne devraient être mises sur pied que très exceptionnellement.

Nonobstant les inconvénients que cela peut présenter et lorsque les circonstances locales y sont favorables, on peut envisager de telles sessions dans le courant de l'année scolaire.

c. Séances combinant les deux premières possibilités

U n e combinaison de deux formules précédentes peut toujours être envisagée; elle est sans doute particulièrement indiquée lorsqu'il s'agit de la formation des animateurs.

U n e première possibilité consiste à organiser tout d'abord une session d'une à deux semaines pour étudier un sujet déterminé. C e thème est ensuite repris et approfondi, par petits groupes, chaque semaine ou chaque quin­zaine. Si des expériences ont eu lieu simultanément, ces rencontres seront l'occasion d'en rendre compte et d'en susciter de nouvelles.

U n e variante de cette organisation consiste à répartir la présentation d'un sujet limité en séances hebdomadaires qui sont elles-mêmes séparées chaque trimestre, par exemple, par une journée pédagogique durant laquelle des visites de classes expérimentales sont effectuées. À la fin de l'année, une session d'une semaine doit permettre une mise au point du thème mathé­matique et donner l'occasion aux expérimentateurs de préciser les avan­tages et les inconvénients qu'ils ont rencontrés avec leurs élèves.

6. — Modernisation

Il semble naturel de postuler que la modernisation de l'enseignement mathématique soit précédée par une adaptation de l'enseignant au moins en ce qui regarde sa préparation scientifique et que la matière qu'il doit enseigner soit enracinée dans une connaissance plus profonde de la mathé­matique. E n effet, si l'on veut enseigner les ensembles, les probabilités, l'algèbre linéaire, on ne doit pas seulement savoir ce que c'est, il faut aussi savoir comment cela s'appliquera, pourquoi on introduit telle ou telle notion ou définition, et non une autre, pourquoi on organise la matière d'une certaine manière, etc.

Dans les discussions où l'on prépare les nouveaux programmes, des enseignants devraient faire entendre leur voix, ce qui n'est possible que s'ils savent ce que les nouveaux domaines comprennent. Mieux ils seront renseignés sur la mathématique moderne, mieux les enseignants seront

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préparés pour intervenir dans les discussions sur la réforme, et plus ils pourront contribuer à cette réforme.

Toutefois, on ne doit pas exagérer ces nécessités. Évidemment si l'on voulait attendre, pour réaliser la modernisation, que

tous les enseignants ou au moins la majorité d'entre eux aient acquis toutes les connaissances scientifiques liées à leur enseignement, on n'aboutirait jamais à rien. C e qu'on appelle l'apprentissage par les exemples joue un grand rôle en mathématique. Ceux qui ont appris certaines parties de la mathématique d'une manière traditionnelle, se rappellent commen t parfois l'introduction d'une seule notion nouvelle, a illuminé un domaine entier d'un seul coup, de telle sorte que la prise de possession de ce domaine fut un acte rapide et facile. O n peut parler de « l'esprit de la mathématique moderne ». Il n'est pas douteux que, des exemples bien choisis, permettent d'apprendre davantage sur la mathématique moderne qu 'un long cours systématique. Cela ne veut pas dire que les cours systématiques soient superflus, mais qu'on devrait les considérer plutôt c o m m e la fin que c o m m e le début de la réorientation. Les difficultés que nous venons d'exposer sont plutôt la conséquence d'une croyance dans un systématisme qui, d'ailleurs, règne toujours trop dans l'enseignement. Naturellement, il ne suffit pas de condamner ce systématisme. Si l'on veut informer des enseignants (ou qui que ce soit) en utilisant des exemples, on doit bien choisir ces exemples.

Il y a d'autres raisons pour lesquelles on devrait préférer une certaine simultanéité entre la modernisation et la formation continue. Souvent les professeurs d'université confessent qu'ils n'ont vraiment compris tel ou tel sujet mathématique qu'au m o m e n t où ils se voyaient forcés de l'enseigner. Il est très probable que ce n'est pas moins vrai en ce qui concerne l'enseigne­ment secondaire. E n tout cas, on devrait reconnaître à l'enseignant le droit d'expérimenter et d'apprendre en enseignant. Pour savoir si certains sujets modernes se prêtent à l'enseignement à l'école, et de quelle manière ils doivent être introduits, on doit les soumettre à l'épreuve.

Evidemment, un enseignant qui connaît un sujet à fond est mieux qualifié pour l'essayer, mais d'autre part il est certain que, inversement, une connaissance plus profonde de ce sujet résulterait de sa mise à l'épreuve dans l'enseignement. E n certains cas, c'est un dispositif efficace de formation continue que d'exposer l'enseignant aux besoins concrets de la modernisa­tion. Il serait dangereux d'attendre pour enseigner tel ou tel sujet ou appliquer telle ou telle méthode le m o m e n t où l'on serait sûr de la plus grande perfection. L'obstacle du perfectionnisme est aussi dangereux que celui du systématisme et du dogmatisme.

Pour résumer, il faut postuler un synchronisme bien organisé entre la modernisation et la formation continue.

Cela ne veut pas dire qu'une fois la première vague de modernisation passée, la formation des enseignants soit achevée. La formation continue doit au contraire devenir permanente.

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7. — Les institutions

L e rôle toujours plus grand joué par la mathématique dans l'économie moderne, les mutations rapides de cette dernière, l'intensification de la recherche en pédagogie de la mathématique, les mises à jour toujours plus fréquentes des programmes et des méthodes, montrent l'urgente nécessité de créer des centres appropriés pour assurer un enseignement mathémati­que constamment actualisé, attrayant et efficace.

Les problèmes concernant la mathématique et son enseignement ont une spécificité telle que la création de ces centres ne doit en aucune façon être liée à celle d'instituts concernant les autres disciplines, dont les besoins sont différents.

Les centres devraient être les foyers où puissent toujours se retrouver tous ceux qui s'intéressent à l'étude et à l'amélioration de l'enseignement de la mathématique.

D a n s les pays où de tels centres n'ont pas été organisés, les universités, les Écoles Normales et les Ecoles Normales Supérieures, peuvent créer des cours spéciaux à l'intention des professeurs en exercice.

Les centres de recherche scientifico-pédagogiques constituent un m o y e n efficace pour la formation continue des professeurs.

Ils peuvent être rattachés à une université ou à u n groupe d'universités, chaque fois que cela est possible. Mais en tout cas, ils doivent avoir l'appui et la collaboration permanente des professeurs d'université qui s'intéressent aux problèmes de l'enseignement secondaire.

D e tels instituts devraient comprendre des enseignants à tous les niveaux, de l'école primaire à l'université, sans aucune exception.

Les missions des autres seraient :

— organiser les expérimentations dans les classes. — organiser la formation continue, particulièrement celle des animateurs. — animer la recherche pédagogique fondamentale. — préparer, rassembler et diffuser la documentation. — organiser des congrès, des conférences d'information et de vulgarisa­

tion, des échanges de professeurs, etc.

Il serait dangereux de faire accomplir les tâches indiquées ci-dessus par des organismes séparés qui pourraient être tentés de s'ignorer mutuellement, ce qui diminuerait l'efficacité de chacun.

Chaque centre devrait favoriser la création de centres locaux. O n n'insistera jamais assez sur la nécessité pour les divers centres de travailler en étroite liaison les uns avec les autres, d'échanger les résultats de leurs expériences, de confronter leurs méthodes et leurs points de vue.

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CHAPITRE 4

LA RECHERCHE F O N D A M E N T A L E

Toute nation soucieuse de son avenir se doit de former de plus en plus de scientifiques. D e nos jours, la pensée mathématique est présente dans tous les domaines où s'exerce une activité rationnelle. Tout enfant actuellement sur les bancs de l'école est susceptible de devoir utiliser la mathématique dans sa future profession, ce qui n'était pas le cas pour les générations précédentes.

U n e enquête récente1 a montré que dans 9 0 % au moins des situations où l'on utilise la mathématique, ce n'est pas la mathématique traditionnelle­ment enseignée à l'école secondaire qui est utile mais au contraire, la mathé­matique d'aujourd'hui. Il existe un fossé entre la mathématique qui se crée et s'utilise, et celle traditionnellement enseignée.

Cette situation a provoqué chez les enseignants un sentiment d'insécurité, et a suscité des tentatives pour résoudre cette contradiction. Ces initiatives, au départ individuelles et locales, se sont multipliées au cours des dix dernières années à un rythme de plus en plus rapide, grâce à des contacts à l'échelon national et international, et ont abouti à l'apparition d'une science nouvelle : la pédagogie de la mathématique.

À l'heure actuelle, cette science ne peut efficacement progresser que si elle est fortement appuyée par des Institutions scientifiques et les Pouvoirs Publics. À cet effet, il est indispensable de créer des organismes et de pro­poser des projets de recherche en pédagogie de la mathématique.

1. — Objets de la recherche fondamentale

Voici une liste évidemment non exhaustive de recherches à entreprendre ou à poursuivre.

L'ordre dans lequel les points suivants sont présentés n'implique pas de priorité, ni d'importance relative.

1 Pollak. O C D E Athènes.

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a) Recherche permanente de la mathématique de base à enseigner jusqu'à 18 ans. E n organiser la matière d'une manière structurée aussi unitaire que possible et en tenant compte d'une progressivité qui la rende accessible aux élèves de différents niveaux. Rédiger des textes de base, avant-projets d'une expérience.

b) Création d ' une méthode scientifique d'élaboration de p rog rammes scolaires en liaison avec l'expérience.

c) Recherche de situations pédagogiques éveillant chez l'élève des réac­tions qui le conduisent tout naturellement à des structures mathématiques.

Étudier les multiples aspects d u processus de mathématisation de situa­tions aussi variées q u e possible issues de la connaissance c o m m u n e de l'élève o u empruntées à des domaines d'application de la mathématique.

d) Des recherches doivent être entreprises en vue de développer l'activité créatrice de l'enfant. Ceci implique notamment :

1. l'étude d u choix de problèmes ouverts favorisant le développement de la créativité, de l'initiative et de l'imagination.

2 . l'étude dé l'organisation adéquate de la classe (relations maître-élèves et élèves-élèves, travail en équipe, enseignement p r o g r a m m é , etc.)

3. une recherche des moyens de communication des idées, n o t a m m e n t l'apprentissage de l'utilisation de documents par les enfants.

e) Recherche sur l'aptitude dans le domaine mathématique : aptitude à l'abstraction, à la généralisation, a u raisonnement, à la formalisation, à l'utilisation des symboles, etc..

/ ) Recherche sur les problèmes que posent diverses formes de raisonne­m e n t logique dans l'enseignement de la mathématique. Etudier les m o y e n s d'initier progressivement les élèves de tous niveaux, à la pensée probabiliste et à la technique statistique.

g) Recherche concernant le rôle des algorithmes dans l'enseignement de la mathématique.

h) Recherche en vue d'améliorer chez l'élève la maîtrise d'exécution d u calcul et sa compréhension.

t) Création de supports mathématico-pédagogiques qui facilitent l'acqui­sition et l'assimilation de concepts et l'accès aux théories, supports mathématico-pédagogique autres q u e le matériel didactique proprement dit, par exemple cercles d'Euler, diagrammes de V e n n , graphes de Papy, arbres, etc.. Il s'agit donc de moyens essentiellement transmissibles, utilisables de manières très variées et respectant la personnalité des utilisateurs.

j) Création de matériels didactiques. Par matériels didactiques, on entend par exemple réglettes Cuisenaire,

blocs logiques de Vigotsky — Hull — Dienes, mini-computer de Papy, multibases de Dienes, cartes perforées, etc. O n s'intéressera à la recherche de matériels polyvalents favorisant l'apprentissage de multiples concepts et faisant apparaître les liens entre eux.

k) U n e recherche importante consiste à accroître la portée des supports

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mathématico-pédagogiques et des matériels didactiques en étendant leurs domaines d'application. U n autre domaine d'investigation consiste à préciser les conditions et les modes d'utilisation.

I) Étude des apports des moyens audio-visuels, tels que : films muets, films sonores, films-striq, rétroprojecteurs, télévision, magnétophone, magnétoscope dans l'enseignement de la mathématique et en pédagogie de la mathématique.

m) Etude des facteurs psychologiques et affectifs qui interviennent dans l'apprentissage de la mathématique. Réunir des documents sur les enseigne­ments nouveaux en vue de leur analyse du point de vue psychologique.

L'intervention de psychologues serait également utile pour tenter de découvrir la cause de l'échec ou de la réussite de certaines expériences pédagogiques. Dans le premier cas, cette explication peut suggérer u n correctif. Dans la deuxième éventualité, l'enseignant rendu conscient de la raison psychologique pour laquelle une expérience réussit, peut tenter certains transferts, ce qui accroîtrait la portée de l'expérience initiale.

Il va de soi que c'est le rôle de l'enseignant et de tout chercheur en pédagogie de la mathématique d'être conscient et suffisamment averti des facteurs psychologiques et affectifs dans l'enseignement de la mathématique.

n) Recherche sur les méthodes d'évaluation des résultats de l'enseigne­ment de la mathématique.

o) Exploration de domaines d'application authentique de la mathémati­que. O n recherchera tout particulièrement des situations où l'utilisation de la mathématique n'est pas mécanique et immédiate, mais exige au contraire une mathématisation effective et requiert l'exercice de la pensée mathéma-que.

Cette investigation devrait couvrir, notamment, en plus de la physique et de la technique, des domaines tels que la biologie, la sociologie, la linguistique, etc.

2 . — Relations entre la recherche fondamentale en pédagogie de la mathématique et les Départements de mathématiques

U n Centre de Recherche doit toujours se trouver en liaison avec un o u plusieurs Départements de mathématique.

L a formation continue des enseignants devrait avoir lieu de la façon suivante : créer un rapport étroit avec les situations qui se présentent dans la classe ; à chaque théorie, il faut donner des exemples qui se rapportent à la classe. D e plus, il faut familiariser les professeurs avec des thèmes qui sortent d u contexte scolaire. L a coopération entre un Centre de Recherche et un Département de mathématique devrait être aussi fructueux au niveau de la formation initiale ; ici le côté scientifique sera fortement prépondérant. L e Centre de Recherche devrait être également un point de convergence

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de tous les efforts individuels entrepris par les professeurs dans leurs classes.

Il est naturellement impossible q u e tous les professeurs puissent entrer en contact direct avec ces Centres de Recherche. Il s'agit bien plus de relier les plus compétents d'entre eux à u n e telle institution et il est à espérer que le contact u n e fois établi, subsistera.

Certains professeurs de l'enseignement secondaire devront être détachés dans les Centres de Recherche pendant des périodes limitées, sans pénalisa­tion d u point de vue traitement, et seront engagés dans la formation con­tinue et l'expérimentation. Ces professeurs obtiendront ainsi une qualifica­tion qui les destine tout particulièrement pour des postes de professeurs des Écoles Normales et des Cadres de l'Enseignement.

L a soutenance de thèse, d ' u n haut niveau, sur la pédagogie de la m a t h é ­matique devrait être possible dans les facultés des Sciences. Les candidats devront avoir u n e culture mathématique adéquate au grade qu'ils postulent. Ceci implique que tous les grades universitaires et académiques pourront être atteints dans le doma ine de la pédagogie de la mathématique.

Les autorités responsables doivent se rendre c o m p t e q u e la rénovation de l'enseignement de la mathématique nécessite u n budget important pour l 'équipement des Centres de Recherche, la rétribution des chercheurs, des techniciens, des secrétaires et des professeurs de formation continue et les frais de formation de cet enseignement permanent.

3 . — Collaboration internationale au niveau de la recherche fondamentale

L e but d 'une collaboration internationale est de stimuler les activités de chacun des Centres de Recherche fondamentale dans le domaine de l'en­seignement de la mathématique en le faisant profiter des activités des autres et d'éviter les doubles emplois inutiles. D a n s cette perspective, il est souhaitable d'obtenir des renseignements sur :

a) les résultats de la recherche b) l'organisation d'expériences courantes c) l'organisation de futures expériences dans d'autres centres

C e but peut être atteint par :

a) l'échange des renseignements durant des contacts nationaux et inter­nationaux

b) la participation à des stages de formation dans d'autres centres c) l'échange de chercheurs d) l'échange de documents é) la création de centres internationaux de documentation et d'informa­

tion.

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CHAPITRE 5

CONTACTS INTERNATIONAUX

Les réunions internationales tenues ces deux dernières décennies en vu de l'étude et de l'amélioration de l'enseignement mathématique ont grande­ment favorisé le départ du renouvellement en la matière. Il est donc indispensable d'intensifier et d'organiser ces contacts internationaux pour que cette rénovation se développe de plus en plus et se généralise. Dans ce but, il est nécessaire que des échanges réguliers aient lieu entre les h o m m e s et qu'une large diffusion des moyens soit entreprise.

Contacts au niveau des hommes

Organiser les colloques, une fois l'an au moins, au niveau des directeurs de recherche afin de faire connaître rapidement les résultats de leur recherche fondamentale, d'élaborer et de répartir de nouveaux thèmes d'étude. Lors de ces colloques serait étudiée une coordination de traduc­tions de documents importants. D ' u n autre côté, des rencontres entre chercheurs et expérimentateurs permettraient d'exposer des thèmes particu­liers de recherche.

D e s bourses d'étude nationales et internationales devraient être multi­pliées pour que des professeurs de l'enseignement secondaire et des assistants d'université qui s'intéressent à la pédagogie de la mathématique, puissent participer à des stages d'au moins un an dans des Centres de recherche étrangers. Ces stages seront proposés en priorité aux professeurs des pays en voie de développement.

Échanges de moyens d'information

Diffuser les résultats de la recherche fondamentale, des expériences et des informations sur la formation continue en créant ou développant des revues nationales ou internationales. E n particulier, u n fichier périodi-

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quement mis à jour devrait permettre de faire connaître tous les articles et publications.

Coopérer à l'échelon international (dans toute la mesure du possible) à l'élaboration des émissions télévisées et à la réalisation de films ou de tout autre matériel didactique.

Comparer les systèmes d'enseignement, les programmes, les méthodes, et les manuels des divers pays afin d'harmoniser l'enseignement de la mathématique à travers le monde .

4

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SECONDE PARTIE

ANALYSE D E LA SITUATION PRÉSENTE EN MATIÈRE D E FORMATION CONTINUE

CHAPITRE 1

FORMATION DES ENSEIGNANTS DANS DIVERS PAYS1

C e chapitre a pour objet principal de décrire quelle est dans divers pays la situation de la formation continue des enseignants de la mathématique au niveau secondaire. Pour des raisons pratiques, il a été nécessaire de se limiter à certaines régions. N o u s croyons toutefois que la synthèse des informations que nous présentons offre déjà un matériel suffisant pour se faire une idée des pratiques les plus courantes dans le m o n d e actuel en matière de formation continue des enseignants de la mathématique au niveau secondaire.

Certains des pays qui participèrent à notre réunion se sont trouvés devant des difficultés, quand il s'est agi de répondre au questionnaire, notamment l'Allemagne Fédérale, le Canada, la Yougoslavie et la Suisse, qui en raison de leur structure politique basée sur une organisation fédérale n'ont pas toujours pu donner des réponses qui soient valables pour chacun des États. Cet inconvénient est atténué du fait qu'il nous importe moins de savoir quelles sont les pratiques propres à ces divers états que de déterminer les diverses formules qui peuvent favoriser la mise en application d 'un enseigne­ment de la mathématique moderne.

1 Ces renseignements ont été fournis par des experts, non par des Institutions gouverne­mentales.

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1. — Formation des enseignants de la mathématique qui enseigneront aux enfants de 12 à 18 ans1

Si dans quelques pays, tels que l'Irlande et 1 ' U . R . S . S . , tout enseignant de mathématique du niveau secondaire est formé à l'université, dans un Institut pédagogique ou dans une école polytechnique, dans la plupart des pays, la formation des enseignants varie selon les enfants auxquels ceux-ci s'adressent ou selon le type d'école où ils enseignent. Les universités forment les enseignants pour les élèves d e l 5 à l 8 o u l 9 ans (Belgique, Hongrie, Algérie, Israël, Suisse, Japon, Australie, Yougoslavie, U . R . S . S . ) tandis que les enseignants pour les élèves de 12 à 15 ans sont formés dans des écoles normales primaires (Australie, Algérie), des écoles normales moyennes ou supérieures (Belgique, Canada, Royaume-Uni , Danemark, Yougoslavie, Hongrie, Suisse, Japon) ou dans des Instituts pédagogiques (Roumanie), ce qui n'exclut toutefois pas que des enseignants formés à l'université puissent dans certains pays et dans certains cas être affectés à une classe d'enfants de 12 à 15 ans (Algérie, Argentine, Belgique, Canada, Japon, République Fédérale d'Allemagne, Roumanie, Royaume-Uni , Suisse, Yougoslavie). E n Argentine, les enseignants formés dans les écoles normales moyennes ou supérieures enseignent aux enfants de 12 à 18 ans. Dans certains pays, le choix de l'établissement de formation de l'enseignant sera fonction, non de l'âge de l'enfant, mais du type d'école où le professeur enseignera. E n France, les professeurs de Lycée et de Collège sont formés à l'université, tandis que les professeurs de Collèges d'enseignement général (C. E . G . ) sont formés dans des centres spéciaux rattachés aux écoles normales et passent un certificat à l'université. E n République Fédérale d'Allemagne, les professeurs des « Gymnasien » sont formés à l'université ou dans une école polytechnique, tandis que les professeurs de la « Grundschule » et de la « Realschule » sont formés dans les Instituts pédagogiques.

E n Israël, les professeurs des classes d'enfants de 6 à 14 ans sont formés dans des Séminaires, les professeurs d'enfants de 14 à 18 ans à l'université.

E n Hongrie, les professeurs des écoles du niveau secondaire sont formés à l'université. Les élèves d'école primaire qui ne continuent pas leurs études dans le secondaire apprennent un métier dans une école professionnelle, ou s'ils vont travailler immédiatement après l'école primaire, ils fréquentent deux fois par semaine une école de formation continue de mathématique. Les professeurs de ces deux types d'enseignement ont un certificat pour l'enseignement dans une école primaire ou secondaire.

A u x Pays-Bas, les professeurs de l'enseignement secondaire supérieur sont formés, partiellement à l'université, partiellement, par des cours privées; les professeurs du niveau secondaire inférieur sont formés dans les écoles normales avec u n complément de leçons privées.

1 E n U . R . S . S . , également les enfants de 10 à 12 ans.

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A u Japon, tous les enseignants de mathématique depuis l'école gardienne jusqu'au niveau secondaire supérieur doivent être détenteurs d 'un certificat d'enseignement délivré par le Conseil de l'Éducation. Celui-ci est attribué après l'accomplissement de certaines prestations prescrites par la loi dans une université ou une institution de formation de maîtres. C'est la durée de formation qui déterminera le niveau dans lequel l'enseignant exercera (de 4 à 6 ans pour le niveau secondaire supérieur; de 2 à 4 ans pour le niveau secondaire inférieur).

2. — Durée de formation

a. Cours Universitaires.

Selon les pays, la durée de formation des enseignants à l'université varie entre 1 an et 8 ans.

Ces différences sont dues au genre de formation qui est exigée des ensei­gnants de mathématique au niveau secondaire. Dans certains cas, la forma­tion universitaire est le complément d'une formation qui a eu lieu dans un autre établissement, et est alors de courte durée; dans d'autres cas, elle constitue l'essentiel de la formation requise pour enseigner dans des établissements de niveau secondaire.

E n Irlande, la durée théorique et moyenne de formation universitaire est de 1 an; au Royaume-Uni , une année universitaire au Département de l'Éducation constitue un complément à la formation reçue dans les « Colleges of Education ». Toutefois, cette formation peut s'étendre sur quatre ans.

Il semble qu'une situation semblable se présente en Australie et en Israël. E n Argentine, après 5 ou 6 ans d'école secondaire, il y a 4 ans d'enseigne­

ment supérieur à l'université ou à l'École Normale supérieure. Dans la plupart des autres pays, la durée théorique de la formation univer­

sitaire est de quatre à cinq ans (Algérie, Belgique, Danemark, France, Hongrie, Japon, Pays-Bas, République Fédérale d'Allemagne, Suisse, Yougoslavie). E n pratique, elle peut s'étendre sur 6 à 8 ans (Belgique), 6 à 7 ans (Danemark, Pays-Bas, République Fédérale d'Allemagne).

b. Autres institutions

La durée des études dans les autres institutions varie entre 1 et 4 années ; école normale moyenne: Belgique 2 ans, Israël 2 à 3 ans ; Institut pédagogi­que : République Fédérale d'Allemagne (Berlin-Ouest, Baden-Wurtem­berg) 3 ans, Roumanie 3 ans, Yougoslavie 2 à 4 ans; Teacher Training Colleges : Australie 1 an, Danemark 4 ans, Royaume-Uni 3 ans ; École normale supérieure : Algérie 3 ans, Suisse 3 ans, U . R . S . S . 4 à 5 ans.

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3. — Principaux sujets

E n général, les matières scientifiques exigées à l'examen du futur enseig­nant portent principalement sur les mathématiques, — algèbre supérieure, calcul différentiel et intégral, éléments de calcul des différences et du calcul des variations, géométrie analytique, projective et descriptive, calcul des probabilités, analyse numérique, statistique, — mais aussi sur certaines autres branches telles que la physique, la chimie, l'astronomie, la logique et la morale, la psychologie et parfois la pédagogie. Dans certains pays l'éventail des matières est assez large au cours des deux premières années de candidature. La licence permet une spécialisation plus poussée, le choix entre la mathématique pure et la mathématique appliquée et l'option d'un certain nombre de cours. Dans d'autres pays, tels que la Grande-Bretagne et l'Irlande, les futurs enseignants suivent les cours de leur choix. Si, toutefois, ils ont opté pour une matière scientifique, celle-ci fera partie des matières d'examen. E n Grande-Bretagne, la majorité des étudiants con­sacrent la moitié de leur temps à l'étude de ces matières scientifiques pen­dant leur formation. A u Danemark, on distingue deux groupes : dans l'un, la mathématique peut être la seule matière obligatoire. (Au cas où la physique ou la chimie ou l'astronomie constitue la matière principale, elle sera suivie d'un cours de mathématique qui formera la matière de complément et de soutien); dans l'autre groupe, composé d'étudiants formés dans les écoles normales (training colleges), l'enseignement porte sur la pédagogie et la psychologie, la langue maternelle, la mathématique, les sciences sociales, la religion, le sport, le chant et les activités créatrices. Chaque élève-professeur choisit deux branches principales qui doivent lui permettre d'enseigner aux enfants de 13 à 16 ans. Quinze pour cent environ des étudiants choisissent la mathématique et la physique c o m m e branche principale. C'est sur ces branches que porte alors l'examen. U n e situation à peu près similaire existe en Suisse alémanique. A u Japon, la matière scientifique qui fait l'objet d 'un examen semble se limiter à la mathématique (algèbre, géométrie, analyse, statistique). Dans certains États de l'Allemagne Fédérale, la mathématique peut être combinée avec une autre branche laissée au choix de l'étudiant. Dans les États de Hessen et Westphalie les étudiants passent un examen en philosophie et en pédagogie. E n U . R . S . S . , il y a des examens à la fin de chaque semestre. Ils portent sur la psychologie, la pédagogie, l'hygiène scolaire, la mathématique, la pédago­gie mathématique, des cours spéciaux de mathématique c o m m e branche d'option. Il y a aussi un examen d'État qui porte sur la mathématique et les méthodes d'enseignement de la mathématique.

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4. — Examens

Dans la plupart des pays, les futurs professeurs sont soumis à un examen qui clot une période d'études universitaires qui varie de deux à cinq ans.

Dans certains pays, il existe plusieurs formules permettant selon les cas d'enseigner au niveau inférieur ou au niveau supérieur de l'école secondaire.

E n Belgique, les licenciés qui se préparent au professorat passent l'examen d'agrégé de l'enseignement secondaire supérieur. Les licenciés qui n'ont pas cette agrégation sont payés c o m m e les régents en mathématique.

A u x Pays-Bas, les étudiants passent parfois un examen de candidature qui ne leur donne aucun droit. Quant à la licence, elle n'existe pas.

E n Australie, les futurs maîtres doivent être porteurs d'un diplôme de B . Se. ou de B . A . , complété par un diplôme en éducation, ou font des études universitaires suivies d'un examen dans un Institut pédagogique. U n e situation semblable existe en Israël, où il est fait cependant une distinction entre les maîtres des 9 e et 10e degrés qui doivent être titulaires d'un diplôme de B . S e , complété par un diplôme pédagogique et les maîtres des 11e et 12e degrés qui sont titulaires d'un diplôme de M . Se. E n Irlande, les futurs professeurs doivent avoir une candidature d'université complétée par un diplôme pédagogique. Ces épreuves ne sont pas compétitives. A u Danemark, par contre, la licence dans une université ou un diplôme d'Insti­tut pédagogique est requise et fait l'objet d'une épreuve compétitive.

E n France, trois formules sont possibles : le concours du C A P C E G qui est d'un niveau assez médiocre, le concours du C A P E S qui est bon et l'Agrégation qui est d'un niveau élevé mais dans la préparation de laquelle la part pédagogique est faible. Le C A P E S est également exigé en Algérie, mais les instituteurs ou les professeurs du C . E . G . doivent passer le C A P C E G .

U n diplôme universitaire est exigé en Roumanie (licence). A u Canada (Québec), un diplôme, appelé Brevet A , est décerné après

quatre années d'études dans les Écoles Normales d'État. O n considère que la dernière de ces quatre années d'étude est de niveau universitaire.

E n Grande-Bretagne, l'examen pour l'obtention du Certificat de Profes­seur s'obtient après 3 années de cours dans un « Collège of Education » attaché à un Institut de Pédagogie dirigé par une Université. Les examens écrits se rapportent aux matières de caractère professionnel, aux principales branches d'option et aux cours de collège. Certains Instituts ont remplacé les examens écrits en tout ou en partie par un système d'évaluation interne permanente où chaque travail présenté au cours des études contribue à la cote finale.

E n Yougoslavie, les étudiants se soumettent à un examen après leurs études et à un autre examen après un stage de 2 ans dans une école.

E n Hongrie, un examen d'État a lieu après 4 ou 5 années d'études. La rédaction d'un mémoire est obligatoire.

E n U . R . S . S . , les études dans un Institut pédagogique sont closes par

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un examen comprenant les mathématiques et les méthodes de son enseigne­ment. Ces examens ne sont pas compétitifs. L'examen en mathématique et en pédagogie de la mathématique peut être remplacé par un travail de composition.

A u Japon, la nomination au grade de professeur fait l'objet d'un concours. E n Suisse, les professeurs du premier cycle passent un examen pour

l'obtention du brevet secondaire, ceux du second cycle passent un examen pour le brevet de maître de gymnase.

E n République Fédérale d'Allemagne, 4 à 7 années préparent au profes­sorat ; 6 mois ou un an de cette période sont consacrés à des études pédagogi­ques et philosophiques. Les futurs professeurs sont soumis à un examen d'État suivi parfois de 2 années d'études dans un Institut pédagogique.

5. — Formation professionnelle

La formation pédagogique des futurs enseignants varie considérablement d'un pays à l'autre. Dans certains pays c o m m e en U . R . S . S . la formation pédagogique fait partie intégrale des cours d'université ou d'instituts pédagogiques.

E n Belgique et en Roumanie, les étudiants ont un cours de pédagogie, de méthodologie et parfois de psychologie. E n outre, ils sont soumis à un stage pédagogique qui est en Belgique de 6 leçons ( + 2 leçons d'examen) dans un athénée ou lycée pour les universitaires. Si donc en Belgique la formation pédagogique des futurs agrégés de l'enseignement secondaire supérieur est dérisoire, celle des futurs régents est par contre très sérieuse.

A u Danemark, les étudiants des Instituts pédagogiques suivent un cours intensif en pédagogie, psychologie et didactique et acquièrent leur expé­rience pratique en enseignant à l'école sous la direction d'un professeur expérimenté. La formation pratique et théorique en pédagogie des ensei­gnants formés à l'université n'est que de 4 mois. La pratique consiste en 12 leçons d'une heure sous la direction d'un professeur expérimenté.

A u Canada, la formation professionnelle est de deux ans. 30 à 4 0 % de ce temps sont consacrés à la formation pédagogique qui est complétée par deux stages pratiques d 'un mois. A u x Pays-Bas, le cours de pédagogie générale et de didactique est suivi d'un stage de trois mois.

E n Irlande et en Australie, le cours théorique et pratique d'enseignement est d 'un an. E n Australie, la pratique est de 10 semaines. E n Grande-Bretagne, la plupart des futurs enseignants consacrent de deux-tiers à la moitié de leur formation à la pédagogie et de 2 à 3 mois à la pratique pédagogique.

E n France, la licence actuelle1, mise en place en octobre 1967, permet aux

1 Elle a été remplacée en 1969 par une maîtrise d'enseignement.

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futurs licenciés de mathématique de suivre des travaux pratiques de pédagogie. Les étudiants qui préparent le C . A . P . E . S. ont ensuite 9 mois de stages pédagogiques; ceux qui préparent l'agrégation ont un stage de 2 ou 3 semaines.

E n Algérie, la formation pédagogique des maîtres titulaires d'une licence d'enseignement se fait sous la forme d 'un stage pédagogique d'une durée d'un an. L e stagiaire reçoit régulièrement dans sa classe la visite d'un Conseiller pédagogique et il se rend parfois dans la classe de celui-ci. Des demi-journées pédagogiques sont organisées par le Conseiller pédagogique ou par l'Inspecteur Général deux fois par mois à l'intention de tous les les stagiaires qui travaillent sous l'égide d'un Conseil pédagogique. L e fonctionnement et le contrôle de ces réunions sont assurés par l'Inspecteur Général de Mathématique. Le stage est sanctionné par les épreuves du C . A . P . E . S. pratique.

E n République Fédérale d'Allemagne, la formation professionnelle est d 'un à deux ans et est complétée par u n stage pratique dans une école secondaire.

E n Suisse, la formation varie suivant les établissements auxquels les maîtres sont destinés. Pour les maîtres du secondaire (1er cycle) il y a un semestre de pédagogie, de psychologie et de méthodologie suivi d 'un semestre de stage; pour les maîtres de gymnase (2e cycle) il y a un cours de pédagogie théorique et pratique suivi d 'un stage didactique qui dure de 1 à 2 semestres.

Dans les Instituts pédagogiques de l 'U .R.S .S . , les futurs enseignants doivent suivre les cours suivants : mathématique élémentaire (380 h.), méthodes d'enseignement de la mathématique (380 h.), psychologie (74 h.), pédagogie et histoire de la pédagogie (14 h.), hygiène scolaire (20 h.). E n outre, l'étudiant doit préparer deux travaux annuels se rapportant au contenu et aux méthodes de présentation de certaines matières de la mathématique scolaire et il peut choisir une branche d'option se rapportant à l'enseignement de la mathématique dans l'enseignement secondaire et aux travaux pratiques dans des camps de pionniers. A u cours de la 3 e année, il travaille pendant 8 semaines dans une école et au cours de la 4 e année, il y travaille pendant 18 semaines. Le travail comprend des leçons, l'organisa­tion d'activités extraprogramme, des conférences et des discussions.

Dans certaines universités yougoslaves, les futurs enseignants suivent des cours de pédagogie, de psychologie pédagogique, de didactique, de métho­dologie de l'enseignement mathématique à l'université.

E n Hongrie, les étudiants ont une pratique pédagogique au cours de leur 3 e année d'études et une pratique scolaire au cours de la 5 e année. La 5 e année d'études se fait dans les écoles expérimentales des universités où les étudiants sont initiés à la pratique de l'enseignement et à l'administration scolaire.

Dans certains pays c o m m e en Israël, les futurs maîtres suivent des cours

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de méthode pédagogique, de philosophie de l'éducation et de psychologie de l'enfant. E n Argentine, à l'université c o m m e dans les Écoles Normales Supérieures, il y a environ 35% de branches pédagogiques et de culture générale (histoire et philosophie de l'éducation, philosophie des sciences, pédagogie générale, pédagogie spéciale).

6. — Stages

E n Algérie, au Canada, au Danemark, en France, en Hongrie, en Irlande, en Israël, au Japon, en République Fédérale d'Allemagne, en Suisse et en U . R . S . S . il n'est pas exigé de stage avant l'entrée en fonction dans l'ensei­gnement, mais en Australie, en Grande-Bretagne et en Irlande il y a une période probatoire à l'issue de laquelle le professeur "est confirmé dans son emploi. E n Hongrie, l'enseignant est initié pendant 6 mois à la pratique de son métier à l'école où il enseigne. E n Belgique, les professeurs des athénées et des lycées de l'Etat portent pendant les deux premières années de leur carrière le titre de stagiaire. Pendant cette période, ils enseignent d'une part dans leur propre classe, et effectuent d'autre part un stage sous la direction d'un professeur ayant au moins 15 ans de service.

A u x Pays-Bas, un stage de 3 mois est exigé avant l'entrée en fonction. E n Roumanie et en Yougoslavie, le candidat professeur passe un examen

après 3 ans (Roumanie) ou 2 ans (Yougoslavie) de stage.

7. — Besoins

À l'exception de la Belgique, où il semble y avoir trop de régents, — ceux-ci enseignent dans les écoles moyennes (élèves de 12 à 15 ans) et dans les classes du cycle inférieur des athénées et lycées éloignés des centres — et où il est fait surtout appel aux licenciés pour l'enseignement secondaire, la plupart des pays manquent de professeurs qualifiés pour l'enseignement de la mathématique.

E n général, on se contente de professeurs insuffisamment préparés qui parachèvent leur formation par une instruction en cours d'exercice (Grande-Bretagne) ou par des cours par correspondance (Roumanie).

E n Roumanie, les professeurs qui enseignent dans les lycées ont une for­mation supérieure. Dans certaines écoles de culture générale, surtout en milieu rural, on emploie des bacheliers qui se perfectionnent en cours de fonction. E n U . R . S . S . , lorsque les professeurs en cours d'exercice n'ont pas la qualification requise, il est procédé à leur perfectionnement dans des Instituts pédagogiques du soir ou par correspondance rattachés à des Instituts pédagogiques plus importants. Il y a aussi u n Institut de cours pédagogiques par correspondance de l'État qui fonctionne à Moscou.

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A u Canada et en Irlande, la préférence est donnée aux diplômés d'univer­sité m ê m e s'ils n'ont pas de brevet d'enseignement.

E n Israël, une licence provisoire est accordée aux détenteurs du diplôme de B . Se. n'ayant pas de préparation pédagogique ou aux étudiants qui ont fait 2 années d'études universitaires.

E n France, un licencié en sciences naturelles peut enseigner les mathé­matiques sans formation préalable. O n fait appel à de simples bacheliers c o m m e maîtres auxiliaires. U n e situation similaire existe au Japon.

E n République Fédérale d'Allemagne et dans certaines régions d'Argentine, des professeurs d'autres branches sont préparés pour l'ensei­gnement de la mathématique aux élèves de 10a 14 ans. Il est fait parfois appel à des ingénieurs ou à des assistants d'université pour pallier la pénurie de professeurs. Quoique au Danemark, la pénurie de professeurs ait sensible­ment diminué au cours des dernières années, il est également parfois fait appel à des ingénieurs pour l'enseignement de la mathématique dans les gymnases.

E n Algérie, les bacheliers en mathématique élémentaire ou en sciences expérimentales enseignent dans les classes d'élèves de 12 à 15 ans. Pour les élèves de 15 à 18 ans, il est fait appel à des professeurs ayant acquis 2 ou 3 certificats d'études supérieures à l'université.

E n Hongrie, il est pallié au manque de professeurs par des heures de cours supplémentaires ou par des auxiliaires engagés à titre définitif.

E n Suisse, les besoins de l'enseignement sont généralement satisfaits pour les classes du 2 e cycle, mais non pour celles du 1er cycle. Les nominations de maîtres qui ne possèdent pas le diplôme requis ne sont que provisoires.

E n Australie, on espère résoudre le problème du manque de professeurs par l'engagement de professeurs féminins.

A u x Pays-Bas, un grand nombre de professeurs de mathématique n'ont pas la qualification requise ou n'ont qu 'un certificat de moindre valeur.

8. — Salaires

Les traitements initiaux et terminaux sont indiqués dans le tableau 3 en annexe et sont exprimés dans la monnaie locale. Il s'agit de traitements annuels bruts. Il n'a pas été tenu compte dans ces chiffres des indemnités sociales.

a) Dans aucun des pays faisant l'objet de la présente étude, les profes­seurs de mathématiques ne bénéficient d'un régime préférentiel. Leur traitement n'est pas supérieur à celui de leurs collègues d'autres disciplines. C e problème a été cependant soulevé en Grande-Bretagne, mais il s'est heurté à une opposition de la part des associations de professeurs.

E n U . R . S . S . l'échelle des traitements des professeurs varie selon le nombre d'années d'expérience et le nombre de classes dans lesquelles le

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professeur enseigne. L e nombre d'heures de cours intervient également dans la fixation des salaires. Le nombre normal d'heures de cours est 18. Si, par exemple, le professeur enseigne pendant 24 heures, son traitement sera augmenté du coefficient 1,5.

b) E n Belgique, en Argentine et au Danemark, les professeurs de mathé­matique peuvent devenir préfet des études, directeur d'école ou inspecteur.

E n Roumanie, les professeurs reçoivent une augmentation de traitement correspondant à leur niveau de formation. Ils peuvent se présenter à des examens qui leur permettent d'accéder au 2 e degré ou au 1e r degré.

A u Canada, la promotion est fonction des études faites et du nombre d'années d'expérience.

E n Irlande, on accorde une indemnité spéciale de 60 £ aux professeurs qui enseignent en langue irlandaise. Quant à la promotion à l'intérieur de la carrière, elle est très limitée, mais une combinaison de différents types d'éducation post-primaire offre certaines possibilités de promotion.

E n Grande-Bretagne, il y a un système spécial d'indemnisation pour différentes formes de responsabilité et il existe une possibilité pour le professeur d'être promu au grade de chef de département ou m ê m e de directeur d'école.

A u x Pays-Bas et en République Fédérale d'Allemagne, les professeurs peuvent accéder au grade de recteur de lycée.

E n France, il n 'y a que le changement de carrière à la suite d'un concours supérieur qui puisse donner lieu à un changement de catégorie.

A u Danemark, la promotion est fonction de l'ancienneté. Toutefois, l'accès aux postes supérieurs est limité à un nombre assez restreint de professeurs. Il en est de m ê m e en Israël.

E n Yougoslavie, la promotion dépend des qualités de l'enseignant et de sa compréhension du milieu.

E n Hongrie, les professeurs bénéficient d'une augmentation tous les 3 ans. U n e promotion spéciale est prévue pour les professeurs méritants.

E n Algérie, le professeur de l'enseignement moyen peut accéder au professorat de l'enseignement secondaire, s'il prépare et termine une licence d'enseignement. Pour les professeurs certifiés, l'avancement se fait à l'ancienneté ou au choix. Les professeurs agrégés, qui sont assez rares, demandent généralement d'être affectés à l'enseignement supérieur (univer­sité).

E n Australie, les chances de promotion sont bonnes en raison de l'expan­sion de l'enseignement. Les diplômés en éducation peuvent facilement devenir chef de Département à l'âge de 30 ans et être n o m m é s ensuite directeur d'école. Les professeurs non diplômés ont moins de chances d'avancement. Ils sont généralement obligés de passer un examen, s'ils veulent devenir chef de Département.

E n Suisse, la promotion est presque inexistante. E n U . R . S . S . , les professeurs les plus expérimentés, deviennent présidents

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de groupes de professeurs de mathématique de leur école, ou du district, etc. Ils peuvent suivre des cours post-universitaires (pour préparer une thèse) dans u n Institut pédagogique ou dans un Institut de recherche de l'Académie des Sciences pédagogiques ou dans une université. Ainsi peuvent-ils trouver un emploi dans une institution scientifique ou de recherche.

A u cours des dernières années, des efforts furent faits pour associer les professeurs aux travaux de recherches en matière de programme de mathé­matique moderne à appliquer dans tout le pays. D e nombreux professeurs travaillent à des thèses. Cela inclut des cours post-universitaires. Certaines écoles octroient aux candidats toute l'aide financière nécessaire.

9. — Recrutement

Dans la plupart des pays, peu ou rien n'est fait pour créer une vocation d'enseignant de mathématique (Australie, Belgique, France, Grande-Bretagne, Hongrie, Japon, République Fédérale d'Allemagne, Suisse, Yougoslavie). Dans la plupart de ces pays, les mathématiciens sont le plus souvent attirés par l'industrie qui leur offre non seulement de meilleurs traitements, mais aussi de meilleures conditions de travail.

Dans certains pays cependant, on s'efforce de créer la vocation soit par des avantages matériels, tels que le relèvement des traitements (Algérie, Canada, Danemark), soit par l'amélioration des conditions de travail (Algérie, Canada, Danemark, Israël), soit par la revalorisation du statut des professeurs ou leur participation à la recherche et à l'organisation du programme d'étude (Canada, Danemark, Irlande, Israël, U . R . S . S . ) . E n Irlande, les professeurs sont associés individuellement ou par le truchement de leurs associations à la formulation de la politique éducative, aux cours de perfectionnement ou de recyclage et à la préparation du programme scolaire. E n Israël, ils bénéficient de bourses pour compléter leurs études ou accéder à des études d 'un niveau supérieur, ils participent à des projets de recherche et il leur est accordé une année de congé (sabbatical year) pour des recherches ou des compléments d'étude. Ceci contribue grandement au rehaussement de la valeur du professeur. E n U . R . S . S . et en République Fédérale d'Allemagne, de grands efforts sont faits pour revaloriser le statut et le prestige d u professeur et intéresser la jeunesse à cette profession. Pour attirer la jeunesse dans la carrière enseignante, on a créé en France des Instituts de Préparation à l'Enseignement Secondaire (I. P . E . S.) qui recrutent leurs élèves à la fin de la lre année d'université et leur octroient un traitement.

E n général, pour favoriser le recrutement d'un personnel de valeur, certains pays procèdent à des campagnes publicitaires, à l'amélioration des traitements et des possibilités de travail, à l'octroi de bourses et à l'organisa­tion d'un système de conseil pédagogique.

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CHAPITRE 2

LA SITUATION PRÉSENTE DANS QUELQUES PAYS

1. — Organisation

Nous décrirons dans cette section, pour chaque pays participant à la réunion, les réalisations qui ont été faites en vue de la formation continue des enseignants de la mathématique et des cadres de l'enseignement, y compris les inspecteurs.

Belgique. E n Belgique, le Centre Belge de Pédagogie de la Mathématique organise depuis 1961 des cours hebdomadaires pour les enseignants de la mathématique et les cadres de l'enseignement. Ces cours se font dans 23 groupes de travail répartis sur tout le pays. L e Centre organise aussi des congrès et des journées pédagogiques.

L e Centre Belge de Pédagogie de la Mathématique est un centre de recherche fondamentale collective d'initiative ministérielle. Il dispense une formation continue hebdomadiare et organise des conférences et des stages qui durent de 3 à 5 jours.

Bien que la plupart des professeurs enseignant dans les « Cours de recyclage » soient des professeurs de l'enseignement secondaire, une dizaine de professeurs d'université y font également des cours. U n e relation assez constante s'est donc établie entre l'université et la formation continue.

Roumanie. E n Roumanie, la formation continue des professeurs de mathématique et des inspecteurs spécialisés est assurée à l'initiative du Ministère de l'Enseignement par des instituts de perfectionnement et par la Société des sciences mathématiques.

Cette formation se fait par des conférences, des cours de vacances, des cercles pédagogiques et par des commissions pédagogiques et de méthodolo­gie.

Les membres de l'Académie et les professeurs d'université font périodi­quement des conférences d'information scientifique ou des cours (notam­ment des cours de vacances).

Canada (Québec). E n 1965, l'Association Mathématique de Québec soumettait au Ministère de l'Education un projet en vue d 'un cours de

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recyclage des professeurs de mathématique du niveau secondaire. C e projet a été adopté par le Ministère de l'Education en 1966 et est depuis en voie d'exécution.

Sur le plan provincial, les initiatives sont venues de l'Association Mathé­matique de Québec et du Ministère de l'Éducation. Sur le plan local, elles sont venues des Commissions scolaires, des universités et de certaines personnalités du m o n d e scientifique.

Les universités offrent des cours à temps partiel pour les professeurs du cours secondaire ou du cours élémentaire. Elles dispensent aussi des cours intensifs qui s'échelonnent sur une période de 6 semaines en juillet et août et des cours à temps partiel, le soir et le samedi pendant l'année scolaire. E n général, les cours conduisent à une licence en enseignement. Dans chaque université se trouvent des membres du corps professoral qui s'intéressent spécialement au perfectionnement des professeurs de mathématique des niveaux primaire et secondaire.

Il est fréquemment fait usage de cours télévisés. Irlande. La formation continue a fait l'objet d'une action soutenue en

Irlande au cours des cinq dernières années et a bénéficié d'une aide généreuse de la part du Ministère. Les inspecteurs participent activement à ces cours en qualité d'élèves ou de conférenciers.

Ils visitent parfois des centres de formation continue à l'étranger. C'est le Ministère et les Associations de professeurs qui prennent

généralement l'initiative de l'organisation de la formation continue. Celle-ci se fait au niveau local ou national sous forme de cours d'hiver, de séminaires, de conférences faites par des experts étrangers, d'émissions de télévision, etc.

Les universités sont activement engagées dans cette formation. Grande-Bretagne. La Grande-Bretagne fait de grands efforts dans

l'établissement d 'un système de formation continue des professeurs de mathématique à l'initiative de personnalités pédagogiques ou d'universités qui organisent des cours à l'intention des professeurs.

L a formation continue se fait sous forme de stages de courte durée, de travaux d'équipe, de cours de vacances, de conférences, de cours par correspondance, de programmes de radio et de télévision, etc. Des cours plus complets sont organisés conjointement par le Ministère et les Collèges de Formation d'enseignants. La création de Centres d'Enseignants est une formule utile à la formation continue.

Les universités participent activement à cette action. Pays-Bas. A u x Pays-Bas, des cours de recyclage sont en vigueur depuis

quelques années. Chaque année une ou deux semaines y sont consacrées ; elles remportent d'ailleurs un grand succès.

Ces cours se font à l'initiative d'une Commission de modernisation de l'enseignement mathématique créée par le Gouvernement.

Pour les professeurs de lycée, les cours de recyclage se font au cours d'une semaine de conférences et d'exercices suivie d 'un travail en équipe.

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Pour les autres professeurs, le recyclage se fait au cours d'une soirée hebdomadaire.

Les cours pour les professeurs de lycée sont faits par des professeurs d'universités; pour les autres par des professeurs de lycées.

France. E n France, il n'y a pas pour le m o m e n t de réalisation officielle en matière de formation continue des professeurs de mathématique du niveau secondaire. L'Association des professeurs de mathématique (A. P . M . ) organise dans ses « régionales » des séminaires, mais rien n'est prévu pour la formation des inspecteurs.

Dans l'état actuel, la formation continue est organisée par des initiatives privées. Ainsi, par exemple, à Paris et à Lyon, l'Association des professeurs de mathématique a organisé des cercles de mathématique dans le but d'initier les professeurs à la mathématique moderne. Cette initiative se fait par des travaux en équipes de cinq à six personnes. Dix équipes travaillent sous la direction de deux moniteurs bénévoles. Les cours sont supprimés et remplacés par du travail sur fiches. Il est également fait usage de la télévision (chantiers mathématiques), mais il y a lieu de signaler que l'écoute n'a pas été organisée.

L'enseignement supérieur commence à se préoccuper du problème de la formation continue. L a Commission L I C H N E R O W I C Z avait préconisé la création d'Instituts de Recherche sur l'Enseignement Mathématique (I. R . E . M . ) (voir Charte de Chambéry, bulletin de l'A. P . M . n° 261, mars-avril 1968). L e Ministère a pris la décision d'en créer trois (Paris, Lyon, Strasbourg) en octobre 1968. Quatre autres sont prévus pour octobre 1969.

République Fédérale d'Allemagne. Peu de choses semblent avoir été faites en République Fédérale d'Allemagne en matière de formation continue des enseignants. Toute activité dans ce sens est due à des initiatives privées. Elle se manifeste par des conférences, des cours d'été dans certaines universités, (par exemple, Universités de Munster, de Berlin, das Hessische Lehrerfortbildungswerk). E n général, les professeurs d'université s'intéres­sent à ce problème, mais ils sont souvent limités dans leur action en raison de la pénurie de personnel enseignant.

Dans certaines universités (par exemple, Hambourg et Hessen Basse-Saxe) se tiennent hebdomadairement des cours, des colloques, des con­férences et des séminaires. E n Basse-Saxe, le travail des conseillers et des professeurs de mathématique est allégé à cette intention.

Suisse. E n Suisse, la formation continue est assurée par l'organisation d'un séminaire d'études qui se tient tous les 4 ou 5 ans et par la création de deux centres mathématiques notamment le Centre d'information mathé­matique du canton de Berne (à Bienne pour les Romands et à Berne pour les Alémaniques) et le Centre vaudois pour l'enseignement mathématique.

Ces réalisations sont dues à l'initiative des Sociétés de professeurs ou des autorités cantonales.

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Les centres d'information mathématique organisent des colloques toutes les 2 ou 3 semaines et des journées d'études qui durent de 2 à 5 jours.

L a formation continue des maîtres de gymnase est de plus en plus assurée par l'université. Les centres d'information mathématique s'occupent du perfectionnement des maîtres secondaires du 1er cycle.

Australie. E n Australie, on encourage les étudiants non diplômés à obtenir leur diplôme. L'enseignement est gratuit, il leur est accordé de l'argent de poche, mais il ne leur est pas octroyé de temps libre. C'est le soir et pendant leurs congés qu'ils doivent parfaire leur formation. C'est dans la perspective d'augmentations de salaire et de possibilités de promotion qu'ils trouvent une motivation pour la continuation de leur formation. Celle-ci se fait grâce à des conférences, des cours post-scolaires, des études par option en cours de fonction, des séminaires de vacances, des cours par correspondance, des conférences organisées par l'Université et des program­m e s télévisés. D e temps en temps, le Département de l'Éducation organise des séminaires de 1 à 2 jours au cours de l'année scolaire.

Les universités s'intéressent à cette formation continue en organisant dans les Instituts Pédagogiques des conférences faites par les m e m b r e s de leur personnel.

Japon. A u Japon, diverses formules de formation continue ont été mises en application au niveau national et au niveau local.

O n distingue deux catégories de formation continue, l'une qui est mise en œuvre à l'intention des professeurs non qualifiés, l'autre destinée à accroître la compétence des professeurs.

Les Instituts qui sont responsables de cette formation sont : le Ministère de l'Éducation, le Conseil local de l'Éducation, certains établissements de formation des maîtres, la Société japonaise d'Éducation mathématique.

L a formation continue se fait sous forme de conférences, de cours par correspondance à l'intention des professeurs non qualifiés et de conférences et séminaires dans le but d'accroître la compétence du corps enseignant.

Si les universités ne manifestent pas un grand intérêt à l'égard de la formation continue des professeurs de mathématique, il y a néanmoins des professeurs d'universités qui s'occupent de cette question et font des cours dans les instituts pédagogiques.

U.R.S.S. E n U . R . S . S . , c'est aux Instituts de formation continue qu'in­c o m b e le rôle de veiller à la formation continue des professeurs de mathéma­tique. Ces Instituts fonctionnent sous l'autorité du Département régional du Ministère de l'Éducation.

L a formation continue se fait sous forme de travaux hebdomadaires ininterrompus pendant un an, de cours d'été, de cours par correspondance, de séminaires organisés par des associations de méthodique scolaire, d'expo­sitions, etc. Il y a aussi des cours pour le public, notamment pour les per­sonnes qui s'occupent de séminaires et d'activités en rapport avec les méthodes d'enseignement de la mathématique.

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s

Les universités s'intéressent fortement au développement de la mathéma­tique et marquent de leur influence le programme des Instituts pédagogiques et des écoles secondaires.

Danemark. A u Danemark, selon que nous avons affaire aux professeurs formés à l'université ou à ceux qui sont formés dans les établissements de formation des maîtres, deux types de formation continue sont appliqués.

Les professeurs issus de l'université suivent de temps en temps des cours d'une quinzaine de jours dans l'une des universités aux frais des autorités. L a plupart des professeurs de mathématique de ce groupe ont participé en 1960 à une ou plusieurs de ces quinzaines organisées pendant les vacances d'été.

Les professeurs issus des établissements de formation des maîtres suivent des cours à la « Royal Danish School of Educational Studies ». Cette institution a un statut d'université et comprend 25 départements, notamment un département pour chaque branche du programme scolaire. La durée du cours de mathématique varie de 15 jours à 3 ans. Il y a des cours de tous genres, depuis le plus général jusqu'au plus spécialisé, certains atteignant le niveau universitaire. Certains cours ont lieu l'après-midi et sont suivis par les professeurs 3 à 6 fois par semaine pendant 1 à 3 ans. Ces cours sont gratuits. À l'Institut Central de Copenhagen, le professeur pourra étudier de 1 mois à 3 ans en touchant son traitement plein.

Près de la moitié des professeurs issus des établissements de formation des maîtres ont suivi les cours de mathématique de la « Royal Danish School of Educational Studies ».

Si les universités dispensent de temps en temps des cours aux professeurs issus des établissements de formation des maîtres, en principe, elles ne s'occupent que des professeurs ayant bénéficié d'une formation universi­taire.

Yougoslavie. E n Yougoslavie, la formation continue des professeurs de mathématique est très limitée. Elle est organisée à l'initiative des instituts pour l'amélioration de l'enseignement et des sociétés de professeurs. Cette formation se fait sous forme de cours de vacances, de conférences, de programmes télévisés.

Les universités commencent à manifester un certain intérêt à l'égard de cette formation.

Hongrie. E n Hongrie, une attention particulière est réservée à la forma­tion continue des professeurs de mathématique. Elle est assurée par l'Insti­tut régional de Pédagogie qui fonctionne sous l'égide du Ministère de l'Éducation. Cette formation a pour but de familiariser les professeurs avec les méthodes modernes de l'enseignement de la mathématique.

À Budapest, les groupes de l'inspection et du département de l'enseigne­ment continu s'occupent de la formation continue des maîtres. Il existe une école primaire et un gymnase qui fonctionnent à l'intention de cette formation.

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Outre le Ministère de l'Éducation, d'autres institutions, telles que : l'Association de la Mathématique, le Groupe didactique de l'Institut mathé­matique de l'Académie hongroise des Sciences, la section professionnelle de la Société de Mathématique pour le Développement des connaissances scientifiques encouragent la formation continue des professeurs.

A u cours de chaque année scolaire, est organisé à deux reprises un cours de perfectionnement auquel les professeurs doivent participer.

À l'école m ê m e fonctionnent des groupes de travail sous la direction de professeurs qualifiés qui sont n o m m é s au début de l'année par les membres des groupes de travail.

Les conférences organisées par l'Association de mathématique « B O L Y A I S A N O S » ont pour but d'accroître les connaissances mathématiques des professeurs. Elles sont généralement faites par des professeurs d'université et parfois par des conférenciers étrangers. À intervalles réguliers (environ toutes les 3 semaines), l'Association organise des « après-midi mathémati­ques » auxquels les élèves très doués de l'enseignement secondaire peuvent participer en compagnie de professeurs. Les conférences sont toujours suivies de débats. L'Association « B O L Y A I S A N O S » organise aussi annuellement un séminaire de perfectionnement d'une durée de 4 à 5 jours au cours duquel sont présentées également les expériences de l'étranger.

Les inspecteurs de l'enseignement mathématique reçoivent leur forma­tion continue de l'Institut régional de Pédagogie. Malgré l'intérêt que porte l'Université à la formation continue, elle ne s'en occupe pas d'une façon systématique. U n e étude est en cours pour associer les universités et les instituts supérieurs à la formation continue des pédagogues.

Algérie. U n cours de perfectionnement et de recyclage est organisé en Algérie à l'intention des maîtres de mathématique. Il est assuré par l'univer­sité en collaboration avec les enseignants du second degré.

Il existe également un système de rencontres périodiques suivies de con­férences et de débats, sur un thème fixé à l'avance, et des travaux de groupes.

La formation culturelle et professionnelle est assurée par «l'École du travail » pour les institutions de l'enseignement élémentaire. La formation des inspecteurs de l'enseignement moyen est assurée par le Centre National du C A I P / D E N . Elle se fait sous forme de cours oraux ou par correspondance pour la lre partie et de cours au centre (1 an) pour la deuxième partie avec concours à la fin de l'année.

Cette formation se fait aussi sous forme de stage de courte durée, de travail en équipe, de cours de vacances, de conférences, de programmes de radio et de télévision, etc.

La formation continue des professeurs de mathématique a été organisée à l'initiative du Ministère de l'Éducation Nationale.

La collaboration de l'université à la formation continue a été inaugurée cette année à la demande de l'Inspection générale de mathématique. Les

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universités organisent des cours de perfectionnement et de recyclage à l'intention des maîtres de l'enseignement du second degré. Depuis la rentrée universitaire, bon nombre de professeurs du 1e r et du 2 e cycles suivent des cours dont le programme a été étudié en collaboration avec l'Inspection générale. Les professeurs stagiaires travaillent en équipe, font des cours et contribuent ainsi à leur propre recyclage. Des assistants de l'université dispensent également la majeure partie des cours de recyclage.

* * *

L e nombre des professeurs de mathématique qui bénéficient d'une forma­tion continue varie sensiblement d 'un pays à l'autre. Dans l'ensemble, les chiffres qui figurent au tableau I sont approximatifs. Il est à noter qu'au Danemark, la plupart des professeurs issus de l'université ont participé à une ou plusieurs quinzaines de cours pendant l'été, tandis que la moitié seulement des professeurs issus des écoles normales ont suivi les cours de la Royal Danish school of Educational Studies.

Dans la plupart des pays, s'accuse une tendance de plus en plus forte en faveur de la formation continue des professeurs de mathématique.

L a participation des professeurs à la formation continue est partiellement tributaire de l'exercice de leurs fonctions et des possibilités qui leur sont offertes à cet égard. L e nombre d'heures d'enseignement est un facteur important, car c'est de lui que dépend dans une large mesure la possibilité de suivre les cours de perfectionnement pendant l'année scolaire. Nous reproduisons dans le tableau II par pays, le nombre d'heures d'enseignement auxquelles sont astreints les professeurs de mathématique.

L a plupart des gouvernements sont conscients de la nécessité d'une for­mation continue pour leurs enseignants de mathématique, mais ils ne prennent pas tous les mesures qui s'imposent pour permettre l'organisa­tion de cette formation.

E n Belgique, la seule concession faite par les autorités consiste en un aménagement d'horaire permettant aux enseignants de suivre les cours hebdomadaires du Centre Belge de Pédagogie de la Mathématique. Mais ni les enseignants qui suivent les cours, ni ceux qui les font, ne jouissent d'une diminution d'horaire. D e plus, les enseignants qui s'occupent de la forma­tion continue font les « cours de recyclage » bénévolement et il leur arrive m ê m e de devoir payer eux-mêmes leurs frais de déplacement.

E n Irlande, il n'y a pas de privilèges spéciaux pour ceux qui participent à la formation continue. Toutefois, quand des occasions se présentent, les professeurs sont autorisés à se libérer de leurs fonctions pour assister à un séminaire. U n e situation semblable existe en Grande-Bretagne.

E n France, les autorités prennent conscience de la nécessité d'une forma­tion continue, mais avant la création des I. R . E . M . , il n 'y avait eu aucune action positive sur le plan pratique. L a formation continue se surajoute au

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travail normal des maîtres. Il n'y a aucun avantage accordé au personnel qui s'est formé. E n examinant le tableau des heures de cours, nous con­statons que moins le maître est qualifié, plus il fait d'heures de cours. Il en résulte que moins un maître est qualifié, moins il a la possibilité de se former. U n e situation similaire existe en Suisse.

E n Argentine, ce ne sont pratiquement que les professeurs des villes qui bénéficient dans une certaine mesure de la formation continue. Mais ils ne jouissent d'aucun avantage.

E n outre, il n'est pas accordé d'avantages au personnel ayant accru sa qualification. Dans certains cas cependant, ils bénéficient d'une possibilité d'accroissement de leurs heures de cours, ce qui leur permet d'être mieux payés ou d'obtenir une nomination définitive.

E n Roumanie, des avantages matériels ou pécuniaires sont accordés aux professeurs qui obtiennent le 2 e et le 1 e r degrés, et à ceux qui se montrent particulièrement méritants.

A u Canada (Québec), l'augmentation de salaire est le principal stimulant que l'État accorde pour favoriser la formation continue.

A u x Pays-Bas, le Gouvernement paie tous les frais afférents à la formation continue des professeurs.

E n République Fédérale d'Allemagne, les autorités deviennent de plus en plus conscientes du problème de la formation continue, mais rien de concret n'a été fait jusqu'à présent dans la plupart des États. Toutefois, certains de ceux-ci autorisent leurs professeurs à s'absenter de l'école pour suivre des cours de perfectionnement.

A u Danemark, les autorités ont accordé des fonds importants à la mise en application de la formation continue. Tout professeur qui perfectionne sa formation en cours de fonction bénéficie en principe d'une réduction d'horaire de 3 heures par semaine. Mais en raison de la situation économi­que présente, cette résolution n'a pas encore pu être réalisée.

E n Yougoslavie, une loi oblige les écoles à s'occuper de la formation continue des professeurs, mais les autorités ne contrôlent pas la mise en application de cette loi. C'est au comité de gestion de l'école qu'incombe cette responsabilité.

E n Hongrie, on accorde aux professeurs qui poursuivent des études aux instituts supérieurs ou à l'université, un congé spécial et une dispense de travail pendant les fêtes. Ceux qui participent à la formation continue systématique ne bénéficient pas d'une réduction d'heures de cours et leur appointement n'est pas augmenté automatiquement avec l'accroissement de leurs connaissances, s'ils ne font pas un travail qui requiert une qualifica­tion supérieure. L'accroissement de l'appointement est donc fonction de l'accroissement des responsabilités. Ceux qui font les cours pour la formation continue ont une réduction d'horaire de 8 heures environ par semaine.

E n Algérie, des dispositions ont été prises pour décharger de 4 heures

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d'enseignement par semaine les professeurs qui participent à la formation continue. L 'an prochain, cet aménagement sera généralisé.

E n U . R . S . S . , les professeurs disposent généralement d'une journée libre par semaine pour leurs travaux ou pour assister à des conférences.

E n Australie, l'attitude des autorités à l'égard de la formation continue est favorable, mais la pénurie de professeurs rend difficile la réduction des heures d'enseignement.

A u Japon, il existe dans chaque préfecture des centres locaux respon­sables de la planification et de la mise en application de la formation con­tinue, mais celle-ci n'est pas limitée aux professeurs de mathématique.

2. — Finance

E n Belgique, le budget ne prévoit pas de subventions pour l'organisation de la formation continue, ni pour la rémunération des professeurs chargés de cette formation, ni pour les frais de déplacement et de séjour des partici­pants, ni pour l'achat de livres. E n Grande-Bretagne, en Israël, en Irlande, au Danemark, au Canada, aux Pays-Bas, en Algérie, en Hongrie, en Australie, en République Fédérale d'Allemagne, en U . R . S . S . et dans certains cantons de Suisse, il est prévu un budget couvrant toutes les dépen­ses décrites ci-dessus à l'exception de celles pour l'achat de livres.

E n Argentine, la Commission de Recherche scientifique organise des cours pour lesquels des subventions sont prévues et qui sont faits à l'inten­tion d'un groupe de professeurs sélectionnés. Ceux-ci sont remboursés de leurs frais et reçoivent la documentation nécessaire.

A u Japon, les frais entraînés par la formation continue émargent au budget de l'éducation. Toutefois, les professeurs ne sont rémunérés pour les travaux de cette formation que dans la mesure où ils y sont officiellement invités. Dans quelques cas, les participants bénéficient d'une indemnité pour l'achat de livres.

E n Roumanie, les cours de perfectionnement sont subventionnés, mais les professeurs doivent payer eux-mêmes leur voyage et l'achat de livres.

E n Yougoslavie, le budget d'Etat ne prévoit pas de subventions pour la formation continue qui émarge au budget des autorités locales. C'est pour cette raison que les budgets diffèrent beaucoup d'une région à l'autre. Les instituts pour l'amélioration de l'enseignement subventionnent partielle­ment les cours de formation continue. Le reste est payé par les écoles (presque toujours) ou par les participants (rarement).

3. — Diplômes et certificats

Dans plusieurs pays, tels que la Belgique, la Roumanie, l'Irlande, certaines régions de la Grande-Bretagne, les Pays-Bas, la France, la

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Hongrie et l'Algérie, les cours de formation continue ne sont pas sanctionnés par un certificat. Ils le sont dans d'autres, c o m m e par exemple au Danemark où chaque professeur, qui a suivi des cours de perfectionnement, reçoit un certificat qui atteste sa participation aux cours sans qu'il établisse toutefois une évaluation des efforts fournis. E n Argentine, les professeurs obtiennent un certificat de fréquentation. S'ils réussissent l'examen, ils reçoivent un certificat de valeur plus élevée.

E n U . R . S . S . , il est également décerné un certificat attestant la participa­tion à la formation continue.

E n Roumanie, on prévoit le perfectionnement par des cours postuniver­sitaires à la suite desquels est décerné un certificat. Il en est de m ê m e en Yougoslavie. L a question est également à l'étude en Israël.

E n Algérie, il y aura bientôt u n examen de C . A . P . E . M . qui sanctionnera les études théoriques de la formation continue. L e stage de formation pédagogique sera sanctionné par les épreuves pratiques du C . A . P. E . M . (maîtres de l'enseignement moyen) et par le C . A . P . E . S . (maîtres licen­ciés ou maîtres du second cycle).

A u Japon, des certificats sont accordés à ceux qui ont suivi des cours de perfectionnement des universités ou du Conseil de l'Education.

4 . — Difficultés

La formation continue pose cependant certains problèmes qui con­stituent parfois des obstacles à son développement.

Ces obstacles peuvent être une capacité insuffisante des instituts de formation (Roumanie).

Le manque de professeurs et de personnes compétentes (Canada, Grande-Bretagne, France, République Fédérale d'Allemagne, Yougoslavie, Algérie, Argentine).

La résistance de caractère traditionel (Irlande, République Fédérale d'Allemagne, Yougoslavie, Hongrie).

L'absence d'une littérature adéquate (Irlande, Hongrie, Argentine). Le manque de ressources financières (Grande-Bretagne, France, Républi­

que Fédérale d'Allemagne, Yougoslavie, Hongrie, Argentine). Le manque de locaux (République Fédérale d'Allemagne, Algérie,

Roumanie). Dans d'autres pays, tels que la Belgique, le Danemark et la Hollande,

il ne semble pas y avoir d'obstacles majeurs à la formation continue des enseignants de mathématique.

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CHAPITRE 3

D O C U M E N T A T I O N ET INFORMATION

1. — Ouvrages

Belgique

E . A R T I N , Geometric Algebra. N e w York (Interscience) 1957; traduit par M . L A Z A R D Ed . Gautier-Villars. Paris.

M . B A R N E R , Die Kegelschnitte in vektorieller Behandlung, Der Mathe-matikunterricht, 9. Jahrgang, Heft 3, pp. 89-11, Stuttgart (Ernst Klett Verlag), 1963.

J. D I E U D O N N É , Foundations of m o d e m analysis, N e w York and London (Academic Press), 1960.

J. D I E U D O N N É , Fondements de l'analyse moderne (traduit par D . H U E T ) , Paris (Gauthier-Villars), 1963.

J. D I E U D O N N É , Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Paris 1964 (Hermann).

G . C H O Q U E T , l'Enseignement de la Géométrie, Paris (Hermann) 1964. G . P I C K E R T , Bilinearformen und Kegelschnitte, les répercussions de la

recherche mathématique sur l'enseignement, pp. 177-191, Echternach, 1965.

G . P A P Y , Aperçu général de la théorie des ensembles. Quelques notions essentielles de topologie. Bruxelles (Presses Universitaires), 1959.

G . P A P Y , Premiers éléments de mathématique moderne, Bruxelles (École Normale de Berkendael), 1960. N'existe qu'en version allemande : Erste Elemente der Modernen Mathematik. Otto Salle.

P A P Y , Groupes, Bruxelles (Presses Universitaires), 1961 Traductions : italien (Feltrinelli)

anglais : McMillan, Londres, néerlandais : Plantijn, Antwerpen.

P A P Y , Initiation aux espaces vectoriels, Bruxelles (Presses Universitaires), 1963; traduit en néerlandais chez Plantijn, Antwerpen; en allemand: Vanden Hoeck et Ruprecht, Gôttingen.

72

P A P Y et F . P A P Y , Mathématique Moderne, 1, 2, 3, 5, 6, Paris (Didier), 1963-1968; traduction néerlandaise : Didier, Bruxelles traduction anglaise : Collier McMillan, N e w York traduction espagnole : E U D E B A , Buenos-Aires traduction roumaine : Tinere Tului, Bucarest traduction allemande : Klett

P A P Y et P. D E B A U T , Géométrie affine et nombres réels, Bruxelles (Presses Universitaires) 1962, allemand : Vanden Hoeck und Ruprecht, Gôttingen.

A R L O N 6 (Analyse), C . B . P. M . , 1964. A R L O N 7 (Le plan vectoriel euclidien), C . B . P . M . , 1965. A R L O N 8 (L'enseignement de l'analyse en 2 e scientifique), C . B . P . M . , 1966. A R L O N 9 (Le calcul intégral en Ie scientifique), C . B . P . M . , 1967.

Le Conique Laconique, C . B . P . M . , 1968.

Yougoslavie

Revue pour la mathématique et la physique à l'intention des élèves (4 fois par an).

Série d'ouvrages : Matière et nombre. Environ 1 volume par an.

Roumanie

Cours, traités, manuels et méthodes pour l'information scientifique et pour la méthode des professeurs, c o m m e par exemple : Transformations géométriques (4 volumes) par Const. Ionescu-Bujor Théorie des probabilités et statistique mathématique par G h . Mihoc Programmation linéaire par N . Mihaila Analyse mathématique par Miron Nicolescu, de l'Académie Algèbre par Al. Froda Algèbre par Arghiriade et Dramar Compléments de géométrie par N . Mihaileanu Nombres complexes par C . Bors Méthode de l'enseignement de l'algèbre par Hollinger Méthode de l'enseignement de l'arithmétique par E . Russu et collab.

Dans le même but, on utilise également certains périodiques : La Gazette mathématique, série A La Gazette mathématique, série B La Gazette de l'enseignement La Revue de l'enseignement supérieur La Revue de pédagogie

Canada (Québec)

Rapport de la Comission Royale d'Enquête sur l'Enseignement dans la Province de Québec (Volumes II et III)

Projet de recyclage des professeurs de mathématique du Québec

73

Irlande

Unesco and O E C D publications Notes for teachers from Ministry Notes from University Staff College Entrance Examination Board : Report of the Commission on

Mathematics, New-York 1959. P A P Y : Mathématique Moderne, l, 2, 3, 5, 6, Didier 1963-1966 I. C . M . I. Lectures on Modern Teaching of Geometry — Aarhus Univer-

sitet C H O Q U E T : L'enseignement de la géométrie, Hermann 1964 D I E U D O N N É : Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Hermann 1964 S M S G (School Mathematics Study Group) Mathematics for High School,

Yale University Press 1960 A T M Handbook : Some Lessons in Mathematics S . M . P. (School Mathematics Project) Texts, Southampton, England T E G E R : Transformation Geometry, Allen and U n win 1966 B A C H M A N N , F : Aufbau der Géométrie aus dem Spiegelungsbegriff, Berlin

Springer 1959 A R T I N , E : Geometric Algebra, Interscience, New-York 1957 Y A G L O M : Geometric Transformations, Random House 1962

Grande-Bretagne

Le document le plus utile sur la formation continue des professeurs de mathématique est publié par le « Joint Mathematical Council of the United Kingdom ». O n peut l'obtenir chez le Prof. J. S E M P L E , King's College, Strand, London W . C . 1

Pays-Bas

Cours polycopiés (gratuits).

France

Apprentissage Mathématique E . D U P O N T (Sudel) L'apprentissage de la mathématique aujourd'hui. F L E T C H E R ( O C D L ) Les livres de D I E N E S et de P A P Y

Brochures et Bulletins de l'A. P. M . Travaux Pratiques de Mathématiques D U V E R T , G A U T H I E R , G L A Y M A N N

(OCDL) Courrier de la Recherche (IPN) Documents publiés par les I. R . E . M .

République Fédérale d'Allemagne

Synopsis fur moderne Schulmathematik, herausgegeben v o m Delegierten der Stàndigen Konferenz der Kultusminister bei der O E G D .

74

B E H N K E — B A C H M A N N — FLADT — Süss :

Grundzüge der Mathematik. Vandenhoek u. Ruprecht, Gôttingen 1966-67.

Suisse

C . B R E A R D : Mathématiques (de 5 e à terminale), Editions de l'Ecole, Paris. J. L A M A T , Statistique et Probabilités, Éditions Technique et Vulgarisation,

Paris. A . B A L A M E , Mathématique moderne (1, 2, 3), Éditions Dunod, Paris. H . S U T E R , Mathématique moderne (1, 2). H . S U T E R et P . B U R G A T , Mathématique moderne (3), Éditions Dunod , Paris. J. D I E U D O N N É , Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Éditions

Hermann, Paris. J. D I E U D O N N É , Fondements de l'analyse moderne, Éditions Gauthier-

Villars, Paris. T h . B E R N E T et G . R E U S S E R , Algèbre, Commission romande des manuels de

mathématiques. E . D U P O N T , Apprentissage mathématique, Éditions Sudel, Paris.

U.R.S.S.

Syllabus et notes explicatives (pour branches obligatoires) Déclaration du Ministère de l'Éducation. Lettres circulaires des Ministères. Nouveau syllabus sur la mathématique obligatoire et notes explicatives. Nouveau syllabus sur les branches à option en mathématique. Syllabus pour cours de réorientation.

Japon

Ministry of Education : Commentary of the Course of Study of Upper Secondary School, Dainihon tosho, 1959.

Ministry of Education : Teaching of Mathematics in Lower Secondary School, Dainihontosho, 1959.

Ministry of Education : Case Studies of Mathematical Teaching in Lower Secondary Schools, Toyokan-shuppansha, 1963.

Ministry of Education : Approach to Modernization in Mathematical Education.

Japan Society of Mathematical Education : Sets and Its Instruction, Meiji-tosho, 1966.

Japan Society of Mathematical Education : Function and Its Instruction, Meiji-Tosho 1967.

Japan Society of Mathematical Education : Probability, Statistics and Its Instruction, Meiji-tosho, 1967.

75

Japan Society of Mathematical Education : Figures and Its Instruction, Meiji-tosho, 1967.

Japan Society of Mathematical Education : Number , Formula and Its Instruction, Meiji-tosho, 1968.

Argentine

Notes et cours organisés par la Commission de Recherche scientifique. Notes d'orientation destinées aux professeurs et préparées par le Ministère

de l'Éducation Nationale.

2. — Revues

Belgique

N I C O , Revue du Centre belge de Pédagogie de la Mathématique. Trimes­triel. In 8° plus de 50 p . par fascicule. 4$ par an. Tirage 3 000 exemplaires. Sans soutien financier officiel.

Mathematica Paedagogia. Irrégulier. In 8°. Plus de 50 p . par fascicule. Édité par la Société de Professeurs de Mathématique de Belgique (150 Frs. belges par an). Tirage : 1 400 exemplaires, bénéficie d'un soutien financier du Ministère de l'Éducation Nationale.

Roumanie

La Gazette mathématique, série A , revue mensuelle, in 17/24 c m . , 40 pages, prix 4 lei l'exemplaire. Financée par le Ministère de l'Enseignement. Tirage : 4 500 exemplaires.

Canada

Bulletin de l'Association Mathématique du Québec. Paraît très irrégulière­ment deux ou trois fois par an, s'adresse spécialement aux professeurs de mathématiques du cours secondaire. Pour le recevoir, il suffit d'être m e m b r e de l'Association moyennant une cotisation de $5.

Irlande

T h e Journal of the Irish Mathematics Teachers Association. Paraît 2 ou 3 fois par an, in 4°, ,£-/2/5 l'exemplaire; gratuit pour les membres de l'Association. Tirage : 700 exemplaires environ. Bénéficie d'un soutien financier.

Israël

Quarterly (Hébreu) 20 pages. Semestriel. Tirage : 500 exemplaires. Finan­cée par le Ministère de l'Éducation.

76

Argentine

Conceptos : Trimestriel. Aucun soutien officiel. 40 p . ; 2$ par an; publiée depuis 1962.

Japon

Japan Society of Mathematical Education : Reports of Mathematical Education. Size B 5 , twice a year, 40 pages, ¥500 (per year). Circulation 500. S o m e financial support from government.

Japan Society of Mathematical Education : Journal of Japan Society of Mathematical education. Size B5 , monthly, 30 pages, ¥1,500 (per year) circulation 4,000.

Meiji-tosho : Pedagogy; Mathematical Education. Size A 5 , monthly, 130 pages, ¥190. Circulation 7,000.

Dainihon-tosho : Studies of Arithmetic and Mathematics. Size B5 , monthly, 16 pages, ¥30. Circulation 7,000.

Chukyo-shuppan : Studies of Arithmetic and Mathematics Teaching. Size A 5 , monthly, 20 pages, ¥30. Circulation 5,000.

U.R.S.S.

Mathematik in der Schule. Bimestriel; 100 pages. 45 K o p . Tirage 309 000 Ed. Aufklârung.

Sowjetische Pâdagogik. Mensuel; 160 pages, 60 K o p . Tirage 75 000.

Australie

Queensland Association of Mathematics Teachers Newsletter. Paraît 5 fois par an; 20 pages. Gratuit pour les membres. Tirage : 500 exemplaires.

Australian Mathematics Teachers. Sans soutien officiel.

Suisse

Math-École. Édité par le Service de la recherche pédagogique de l'Univer­sité de Genève et qui paraît 5 fois par an; 16 pages octavo; Fr. 5.— par an (Étranger Fr. 6.—).

Archimedes. Édité par Christiani Rolf et Cie à 8280 Kreuzlingen ( T G ) , 50 pages, A 4 mensuel.

Grande-Bretagne

Mathematical Gazette. Trimestriel, in 5 j X 8J; 360 à 370 pages. 2 gns par an.

Mathematics Teaching. Trimestriel, in 4°; 70-80 pages. £1/10/- par an. Tirage : 8 000 exemplaires.

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France

Bulletin de l'A. P . M . Bimestriel, in 16 X 24 ; 80-120 pages. 22 F F . Tirage : 10 000 exemplaires. Sans soutien financier. Courrier de la Recherche Pédagogique (IPN). Irrégulier. Publication

officielle. Documents d'accompagnement des émissions des « Chantiers mathéma­

tiques ». Publication officielle de l'Institut Pédagogique National. Bulletin du C E P A M (Centre d'étude du processus d'apprentissage en

mathématique) 4 000 ex. ivoire, 16 X 24; 32 p. Trimestriel sans soutien financier. 10 F .

République Fédérale d'Allemagne

Mathematisch-Naturwissenschaftlicher Unterricht. Mensuel, in 4°; 500-600 pages volume, 1 volume par an; D M 38,— par an. D M 30,40 pour étudiants ; D M 2 8 , — pour membres du « Deutscher Verein zur Fôrderung des mathematischen und naturw. Unterrichts e. V . »

Physikalisch-mathematischer Semesterbericht. Praxis der Mathematik. Mensuel, 300-400 pages par volume, 1 volume

par an. D M 24 .— pour étudiants et chercheurs; D M 29.40 pour les autres.

Hongrie

A Matematika Tanitása. Publiée par le Ministère et l'Association « Bolyai János ».

Tirage : 6 000 exemplaires, 31 pages, 2.40 Forint. « Kôznevelés ». Bimensuel. Pedagogiai. Mensuel. 39-40 p . ; 24 000 exemplaires ; 2 à 6 Forint. 6 000 exemplaires de 95 pages ; 2 à 6 Forint. Budapesti Nevelô. Trimestriel. 1 200 exemplaires, 120 pages. Ces publications bénéficient d'une subvention de l'État. Elles sont distri­

buées dans toutes les écoles. Ouvrages parus ou qui paraîtront incessamment : Urban Russa : Die philosophischen Problème der Mathematik.

Mathematische Logik. Andrasfai : Graftheorie. Sztoljar : Methoden des Mathematikunterrichts. Sztoljar : Die logischen Problème des Mathematikunterrichts.

78

3. — Bibliothèques

Dans la plupart des pays, il existe des bibliothèques contenant une littérature variée parmi laquelle figurent des ouvrages de mathématique. Mais il est plus rare qu'il y ait dans ces écoles une bibliothèque spécialisée c o m m e en ont les écoles belges, suisses et algériennes, et quelques écoles irlandaises. M ê m e dans ces cas privilégiés, les crédits sont souvent limités, sauf ceux de l'Algérie qui sont de 400 D A à 1 000 D A par école.

E n Grande-Bretagne, se dessine une tendance en faveur de la création de bibliothèques spécialisées en mathématique.

Souvent, c o m m e en France, les professeurs doivent, à défaut d'une littéra­ture mathématique suffisante dans leurs écoles, s'adresser à la bibliothèque universitaire ou à la bibliothèque centrale, ou s'acheter les livres eux-mêmes .

A u Japon, la Société pour l'enseignement de la mathématique projette la création d'une bibliothèque spécialisée de mathématique à l'usage des professeurs. Les fonds prévus pour cette entreprise sont de 400 000$. L'entretien de la bibliothèque émargera au budget national.

4 . — Revue internationale

Sur l'opportunité de créer une Revue internationale de pédagogie de la mathématique, les opinions sont assez divergentes non quant à l'utilité d'une telle revue, mais surtout en ce qui concerne sa mise en application. Certains participants de la réunion considèrent qu'une telle revue est indispensable, mais qu'il faut éviter les doubles emplois. Il existe en effet déjà deux revues européennes, l'une éditée par M . Freudenthal (Studies in Mathematics Education), une autre publiée à Genève (L'Enseignement mathématique).

Les opinions sont en outre partagées quant au rythme de publication. Certains proposent un fascicule par an, d'autres trois, quatre, voire m ê m e douze fascicules.

L a plupart des participants considèrent que cette revue devrait être publiée par les soins de l'Unesco ou de l'Institut de l'Unesco.

Quelques avis sont défavorables à la création d'une revue internationale de mathématique, prenant pour argument le fait que les revues nationales peuvent fort bien répondre aux besoins des professeurs de mathématique et qu'elles ont en outre l'avantage de ne pas se heurter au problème de la traduction. U n e revue internationale est en effet nécessairement liée à des problèmes linguistiques qui pourraient être résolus, avec certaines difficultés cependant, en faisant suivre les articles de résumés en plusieurs langues ou en publiant une revue en plusieurs langues.

Quant à la création d'une revue internationale analysant les manuels scolaires, l'opinion généralement avancée, quand elle lui est favorable, est que le travail d'analyse des manuels scolaires pourrait fort bien être inclus dans

79

la Revue internationale de pédagogie de la mathématique dont il est question plus haut. L'argument contre une telle initiative est qu'il est difficile d'émettre une opinion sur des manuels scolaires qui ont nécessairement un caractère local et s'inscrivent dans un contexte culturel qu'il est difficile de traiter à l'échelon international.

5. — Réunions nationales et internationales

L a plupart des pays représentés organisent des réunions scientifiques nationales; dans d'autres, elles sont plus rares (Argentine, Irlande, Grande-Bretagne, Pays-Bas). E n République Fédérale d'Allemagne et en Israël, il n 'y en a pas.

Quant à la participation des professeurs de mathématique à des réunions internationales, elle semble ne pas rencontrer la faveur de certains pays c o m m e les Pays-Bas et Israël. Il s'agit ici, bien entendu, de l'opinion exprimée par les experts de ces pays.

E n Belgique, le Centre Belge de Mathématique a organisé plusieurs congrès internationaux.

6. — Information des professeurs

L'information est généralement organisée par des Institutions scientifi­ques telles que le Centre Belge de Pédagogie de la Mathématique, le Centre d'Information en matière d'enseignement et d'Education (Genève) et la Société suisse des professeurs de mathématique et de physique, la « Japanese Society of Mathematics Education ». Elle est aussi assurée par des revues, telles que les revues soviétiques « Mathematik in der Schule » et Sowjetische Pàdagogik » et la revue française « Bulletin de l'Association des professeurs de mathématique » ou par des contacts personnels (voyages, congrès, réunions, etc.).

Toutefois, il semble indispensable que l'information soit plus abondante, que les professeurs soient mieux mis au courant de ce qui se passe non seulement à l'étranger, mais aussi dans leur propre pays et que pour arriver à cette fin, on favorise les contacts nationaux et les échanges internationaux de professeurs.

80

CHAPITRE 4

RECHERCHES ET INSTITUTS

La plupart des pays se soucient de la recherche scientifique en pédagogie de la mathématique mais à des degrés différents. C e sont généralement les universités qui s'occupent de cette recherche à l'exception toutefois de la Belgique, de la France, de la République Fédérale d'Allemagne où la recherche est entreprise principalement par des instituts spécialisés. Nous reproduisons ci-dessus par pays les noms des institutions de recherche tels qu'ils nous ont été communiqués dans les questionnaires remplis par les participants.

France : Institut Pédagogique National Instituts de Recherche sur l'enseignement des Mathématiques (IREM)

U.R.S.S. : Académie de Pédagogie Japon : Department of the National Institute for Educational Research Belgique : Centre Belge de Pédagogie de la Mathématique Canada : Institut de Recherche fondamentale en psycho-mathématique

(Université de Sherbrooke) L e Ministère a créé en 1967 le Service de l'Organisation et de la coordination de la recherche pédagogique.

Danemark : Danish Institute for Educational Research Royal Danish School of Educational Studies

Hongrie : Institut culturel de pédagogie Mathematisches Forschungsinstitut der ungarischen Institut de recherche mathématique de l'Académie des Sciences hongroise

Algérie : Aura bientôt une recherche organisée à l'Institut Pédagogique National

Israël : Center for Advancement of Science and Mathematics Teaching

Dans l'ensemble, les participants considèrent que les gouvernements devraient davantage organiser ou soutenir la recherche. L e développement de la mathématique et une formation adéquate des enseignants en dépen­dent grandement.

6 81

Jusqu'à présent peu de projets sont en cours pour faire face à ces besoins. Les propositions faites à cet égard sont d'ailleurs assez vagues.

E n Roumanie, on préconise le développement de la recherche en pédago­gie mathématique par l'élargissement des fonctions de l'Institut des sciences pédagogiques qui, s'appuyant sur les conclusions des recherches scientifi­ques, pourra améliorer les documents de base de l'enseignement des mathématiques.

E n République Fédérale d'Allemagne, on envisage une étroite collabora­tion entre une école secondaire « expérimentale » et la future université de Bielefeld. E n outre, un Centre de méthodologie de la mathématique a été créé à l'université de Karlsruhe. Ce centre travaille en collaboration avec le Programme de Mathématique d'une école « unique » (comprehensive school) aux États-Unis.

A u Danemark, un groupe a été formé au département de mathématique de la Royal Danish School of Educational Studies. C e groupe est composé de deux membres du département, d'un m e m b r e du département de psychologie et d'un m e m b r e du département de didactique. C e groupe travaille en collaboration avec sept professeurs de mathématique et entre­prend une étude sur l'apprentissage de la mathématique chez les enfants de 5 à 11 ans. L e rôle du raisonnement abstrait fera l'objet d'une étude ultérieure. Le département de la Statistique de cet institut collaborera à chacun des projets de recherche.

A u Japon, le Ministère de l'Éducation et la Société pour la formation mathématique (Society of Mathematical Education) envisagent u n projet d'évaluation des résultats en mathématique dans le pays entier.

Ci-dessous figurent quelques vœux émis par quelques participants.

1. Des instituts de recherche devraient être rattachés aux universités pour s'occuper de la formation des enseignants de la mathématique en collabora-, tion avec les écoles normales et les écoles normales supérieures (Blanc).

2. Il faudrait poursuivre et compléter l'étude sur les résultats en mathé­matique entreprise par l'I. E . A . (Ueshiba).

3. Il faudrait étendre l'action du Centre Belge de Pédagogie de la mathé­matique en élargissant son cadre (Papy, M m e Papy, Holvoet).

4. L a modernisation de l'enseignement de la mathématique doit être généralisée et des recherches doivent être entreprises dans le domaine de l'enseignement programmé (Ionescu-Bujor).

5. U n Institut de recherche devrait se consacrer exclusivement à la mathématique. Cet Institut devrait être rattaché à une université (Thwaites).

6. Les professeurs de mathématique devraient être encouragés à faire des recherches dans les limites de leurs possibilités et de leurs compétences (par exemple dans leurs classes). U n organisme central encouragerait et coordonnerait ce travail (Vesselo).

7. Il faudrait créer des équipes de recherches dans des établissements

82

« expérimentaux » dont la mission consisterait à mettre en œuvre de nouvel­les méthodes d'enseignement et à expérimenter de nouveaux contenus; la formation continue devant alors s'appuyer sur ces recherches (Glaymann).

8. U n e réorganisation profonde et urgente de la formation des maîtres devrait être entreprise à l'Université (Scharlau; R . F . Allemande).

9. Il faudrait entreprendre une étude des possibilités et de la mise en application de la mathématique dans le cadre de la recherche pédagogique (Smolec).

10. L e nombre de chercheurs devrait être accru et l'échange d'informa­tions et la collaboration internationale entre chercheurs devraient être favorisés par des visites, la publication d'informations et par des séminaires (Genzwein).

11. Il faudrait procéder à une réforme de l'enseignement de la mathéma­tique à l'école élémentaire et à l'école secondaire. Il faudrait élaborer des programmes et une doctrine d'expérimentation et rédiger des manuels appropriés. Des séminaires internationaux de pédagogie devraient être multipliés (Bendjouadi).

12. U n Institut de formation, d'information et d'investigation pédagogi­que devrait être créé (Dumrauf).

13. A u niveau national devrait être créé un Centre de recherche en pédagogie mathématique. À cet effet, il serait nécessaire que ce centre soit d'un niveau post-universitaire. Il offrirait des cours de méthodologie de la recherche pédagogique. Les professeurs qui feraient preuve d'une certaine compétence dans ce domaine et qui s'intéresseraient à cette recherche devraient pouvoir travailler dans ce centre pendant une période de deux ans et avoir la possibilité d'acquérir de l'expérience à l'étranger (Daffey, University of Melbourne, Australia).

La recherche scientifique en pédagogie de la mathématique et l'université

L'importance de la recherche scientifique en pédagogie de la mathémati­que est en général assez peu mise en évidence à l'université. Très souvent, l'intérêt qu'elle manifeste à cet égard dépend d u professeur de méthodologie spéciale des sciences mathématiques.

Dans certaines universités cependant, cet intérêt s'amplifie notamment dans les universités roumaines, dans la jeune université de Sherbrooke, où la recherche sur l'enseignement de la mathématique bénéficie d'un régime prioritaire.

83

CHAPITRE 5

R E C O M M A N D A T I O N S ET COMMENTAIRES

Parmi les recommandations formulées par les participants, il y a lieu de citer :

1. U n e coopération internationale qui permettra d'infléchir les autorités de divers pays dans la voie de la recherche pédagogique en mathématique. Dans l'immédiat, il faut que les divers Ministères de l'Education acceptent l'idée d'organiser des recherches systématiques au niveau de l'enseignement secondaire (et primaire) et posent en priorité le problème de la formation continue des maîtres de tous ordres. Cette formation continue doit être statutaire, donc faire partie intégrante du service d'un professeur. Des documents nécessaires à cette formation doivent être soigneusement rédigés, tenant le plus grand compte des recherches en cours. Des organis­mes officiels doivent prendre en charge leur diffusion auprès des maîtres (Glaymann).

2. Il serait souhaitable que l'Institut de l'Unesco fasse une enquête sur la Réforme de la Mathématique dans les divers pays, qu'il expose dans un bulletin, si possible, les grands aspects du problème de la modernisation de la mathématique, les expériences en cours dans le monde , les résultats obtenus, analyse les manuels scolaires et puisse donner un avis objectif sur leur contenu.

U n e revue trimestrielle (ou mensuelle) de pédagogie de la mathématique tiendrait les maîtres au courant de l'évolution constante de la mathématique et apporterait en général aux enseignants une aide importante dans leur formation continue (Bendjouadi).

3. La création d'un laboratoire et d'un centre audio-visuel pour l'ensei­gnement de la mathématique serait utile (Markus).

4 . Etude de l'osmose entre plusieurs niveaux d'enseignement. 5. Étude de la mutation d'un niveau à un autre, compte tenu de la

formation du maître (dans les deux sens).

Exemples de quelques projets en cours : 1. La conférence des directeurs cantonaux de l'instruction publique de

toute la Suisse a approuvé à l'unanimité, en mai 1968, la création d'un

84

Centre suisse pour le perfectionnement du corps enseignant secondaire dont les tâches seraient les suivantes :

— Organisation et coordination des cours de perfectionnement. Ceci exige le soutien des universités et peut, d'autre part, resserrer les liens entre nos gymnases et les hautes écoles.

— Documentation et information active du corps enseignant sur tous les problèmes, innovations et réformes de l'enseignement secondaire.

— Stimulation et aide pour l'édition de manuels suisses.

L 'une des missions de ce centre suisse de perfectionnement sera donc la formation continue des enseignants de la mathématique. Dans ce but, il s'agira de créer ou de développer les centres cantonaux ou régionaux qui ont assuré jusqu'ici l'information et le recyclage des maîtres. D e plus, une coordination entre ces centres spécialisés et ceux de l'étranger devra être assurée afin d'accroître l'efficacité des cours et séminaires.

L'élaboration des structures indispensables à la formation continue de l'enseignant de la mathématique à tous les degrés (primaire, secondaire, supérieur) doit être envisagée pour chaque pays avec ses particularités.

La mise en place des divers organes nécessaires au perfectionnement permanent doit être effectuée par les autorités scolaires dans les délais les plus brefs et avec les vues les plus larges (Blanc).

2 . A u Danemark, les conditions de la formation continue des profes­seurs issus des établissements de formation des maîtres sont très spéciales. Cela provient du fait que le Royal Danish School of Educational Studies a été créé dans le but de procéder à une telle formation continue. Les condi­tions de travail du personnel de cette institution sont exactement les m ê m e s que celles des universités. Ainsi a-t-il été possible de doter les divers dépar­tements de cet institut d'un personnel hautement qualifié tant du point de vue scientifique que du point de vue pédagogique. Pour plus de détails sur l'organisation de la Royal Danish School of Educational Studies, on est prié de se référer à la publication : T h e Department of Mathematics : T h e Royal Danish School of Educational Studies. Emdrupvey 101, 2400 Copenhagen N V .

3. Il est sans doute intéressant de signaler ici une expérimentation qui a été menée officiellement en France (sous l'égide de la Direction de la Recherche Pédagogique de l'Institut Pédagogique National) dans une cinquantaine de classes de sixième (enfants de 10-11 ans).

L'expérience portait à la fois sur un changement de contenu (programmes proposés par la commission présidée par A . Lichnérowicz, et qui sera mis en vigueur dans toutes les classes de Sixième françaises en octobre 1969) et sur un changement de méthode (enseignement faisant appel à l'activité constante de l'élève).

85

Ses traits essentiels ont été :

1. le travail en équipe de professeurs à l'échelon de l'établissement de la région et de la nation (3 stages nationaux par an),

2 . L'utilisation sous des formes assez diverses de « fiches de travail » proposant aux élèves, sous forme de questions et d'exercices simples, la mathématisation de situations.

3. L'utilisation de machines à calculer de bureau. Ces expériences ont été, pour une partie des professeurs engagés dans

l'expérience, l'occasion d 'un « recyclage » qui semble avoir été d'autant plus fécond que le travail s'est fait au sein d'équipes où régnait u n excellent esprit de collaboration et que d'autre part, ces professeurs voyaient très vite l'application dans leur classe des notions nouvelles avec lesquelles ils venaient de se familiariser. Il y a peut-être là deux des conditions les plus importantes de l'efficacité de toute formation continue (Revuz).

4 . Des maîtres du 1e r cycle (un contingent) suivent un stage de formation pédagogique animé par des Conseillers Pédagogiques (Professeurs titulaires et expérimentés).

Ils suivent également à la Faculté des Sciences des cours de perfectionne­ment et de recyclage conçus spécialement à leur intention.

Les enseignants titulaires du C A I P lère partie sont déchargés pour une année de leurs fonctions administratives et professionnelles. Ils peuvent ainsi se consacrer entièrement à la préparation du C A I D E N 2 e partie. U n e documentation très large est mise à leur disposition pour leur préparation à l'I. P . N . , au Centre de Préparation et à la Bibliothèque Nationale.

L a préparation au C A I P / D E N est sanctionnée par un examen assurant la qualité d'Inspecteur de l'Enseignement Elémentaire et M o y e n . Cet examen donne droit à la direction des Écoles (Bendjouadi).

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