GCI 210 Résistance Des Matériaux

GCI 210 Résistance des matériaux

Université de Sherbrooke, Génie civil

2.1 CHAPITRE 2

CONTRAINTES ET DÉFORMATIONS DUES AUX CHARGES AXIALES

2.1 Diagramme des efforts normaux 2.2 Contraintes dues aux charges axiales 2.3 Déformations dues aux charges axiales 2.4 Dimensionnement des éléments 2.5 Applications à des systèmes isostatiques 2.6 Éléments sous pression et réservoirs 2.7 Systèmes hyperstatiques

OBJECTIFS

Savoir calculer des efforts normaux et tracer des diagrammes

d’efforts normaux; Savoir calculer et représenter les contraintes normales, de

cisaillement et d’appui sur des plans parallèles, perpendiculaires et inclinés par rapport à N et les contraintes dans des joints boulonnés ou collés;

Savoir calculer les variations de dimensions dans des éléments soumis à des charges axiales;

Savoir dimensionner des systèmes isostatiques simples soumis à des charges axiales ( barres, treillis, axes, boulons, joints,…);

Savoir calculer les contraintes et les déformations dans des cylindres à parois minces et dans des sphères;

Comprendre le comportement et savoir calculer les contraintes et les déplacements dans des systèmes hyperstatiques composés de barres ou de plusieurs matériaux soumis à des charges axiales;

Savoir calculer les contraintes et les déformations dues à une variation uniforme de température.



2.2 2.1 DIAGRAMME DES EFFORTS NORMAUX N

(Rappel du cours GCI 105 ) Le DEN donne la valeur de l’ effort normal dans toutes les sections

perpendiculaires à la force ou charge axiale. Le DEN est obtenu par la méthode des sections en faisant une coupe

entre chaque force concentrée et à travers chaque charge répartie. Exemple avec des forces concentrées

Exemple avec une charge répartie ( poids de l’élément )

10 kN

20 kN

50 kN

30 kN

10 kNR = 40 kN0

1 2 3 4

OA

B CD

+

-

+

40

-10

10

30

30-40DEN - 20

LX

L-X

P P

N(x) = P + W(x) = P + g A (L - x)

W(x) = g A (L - x)

P

P + g A L

DEN



2.3 2.2 CONTRAINTES DUES AUX CHARGES AXIALES

(Rappel du cours GCI 105 ) Les contraintes dues aux charges axiales sont égales à l’effort qui existe dans la section considérée divisé par l’aire de la surface de matière qui résiste à cet effort, soit : Pour un effort N perpendiculaire à la section :

tanN résis tN A avec tanrésis tA aire de la surface de matière qui résiste à N. Pour un effort V parallèle à la section :

tanmoyen résis tV A avec tanrésis tA = aire de la surface de matière qui résiste à V. Pour un effort N qui appuie sur une surface :

appui appuiN A avec appuiA aire de la surface de matière sur laquelle N appuie.

Pour des efforts N et V sur un plan incliné :

2

cos sin cos

cos sin cos

R

R R

N P V P A b h

N P V P

A b h A b h

N

P

P

V

X

Y

G

b

h

h / cos



2.4 2.3 DÉFORMATIONS DUES AUX CHARGES AXIALES

(Rappel du cours GCI 105 ) Déformations et contraintes

, /

/

/

x x x

x

x

E N A Loi de Hooke

L L déformation de L

dx déformation de dx

Allongement d’un élément de longueur dx

x

x

N dxdx dx

E A E

Allongement d’un élément de longueur x

0

( )( ) ( ) ( ) var

( )

x N x dxx N x et A x ient avec x

A x E

Allongement d’un élément de longueur L avec N, E et A constants

0

L N dx N LL

AE AE

Allongement d’un élément avec N, A et E constants par intervalles

i i

i i

OA OA BC BC CD CDAB ABD OA AB BC CD

OA AB BC CD

N LL

A E

N L N L N LN L

A E A E A E A E

Allongement d’un élément sous son propre poids (A=cte, N=var.)

2

0

2

0

( ) ( )

( )( ) ( )

2

22

2

x

L

N x g A L x

g A L x dx g xx Lx

A E E

g g LL

E ELx x

P

L

L

X

dX

50 kN 20 kN 30 kN

OA

B CD

LX

N(x)

L-x

W(x)



2.5 2.4 COMPORTEMENT ET DIMENSIONNEMENT

DES ÉLÉMENTS SOUMIS À DES CHARGES AXIALES 1. COMPORTEMENT ÉLASTIQUE

Déterminer les contraintes, les déformations, les charges, les déplacements ou les sections à partir des relations suivantes :

arg 0

arg 0

arg

. .

. .

ch e adm

ch e adm

ch e adm

F S

F S

L L

Exemples : section des éléments tendus ou comprimés avec ou sans

trous; contraintes permises dans des éléments collés; dimensions des surfaces d’appui; section des boulons; contraintes autour des trous de boulons; allongements ou rétrécissements des éléments; épaisseur des cylindres à parois minces sous pression….

2. COMPORTEMENT ÉLASTO – PLASTIQUE

Comportement qui suit les courbes contrainte – déformation élastique –parfaitement plastique ou élastique avec écrouissage linéaire.

Exemples : contraintes dans des éléments composés de 2 matériaux; charge élastique EP (charge qui produit une contrainte

égale à 0 dans un élément du système ), effondrement élastique;

charge ultime LP (charge qui produit une contrainte égale à 0 dans tous les éléments du système ), effondrement plastique.



2.6 2.5 APPLICATIONS AUX SYSTÈMES ISOSTATIQUES

( Rappel du cours GCI 105 )

CONTRAINTES NORMALES

N RP A

2 4 ( )R R R RA bt A d A b d t A bt

CONTRAINTES DE CISAILLEMENT

moyenR

V P

A L W

L

W



2.7 CONTRAINTES NORMALE ET DE CISAILLEMENT

4000 40001,33 0,381

8 25 15 7 100 15colle colleR

PMPa MPa

A

CONTRAINTES SUR UN PLAN INCLINÉ

2 1,5adm adm admCalculer P si MPa et MPa

2tan

sin 20 cos 70 cos 20 sin 70

50 100 sin 20 14620

sin 20 , cos 20

sin 2085,5

sin 20

cos 2023,3

cos 20

résis t

adm adm adm adm

adm adm adm Radm adm

R R

adm adm adm Radm adm

R R

adm

Notez que et

A mm

N P V P

N P AP kN

A A

V P AP kN

A A

donc P

23,3kN

20°

Colle

P adm

P adm

P adm

50 mm

100 mm

20°

N

V



2.8 CISAILLEMENT DES AXES ET DES BOULONS

1. Simple cisaillement

2 4R

P P

A d

2. Double cisaillement

22 4R

P P

A d

2. Cisaillement multiple

2

( 3)4R

P Pn

A n d

3 boulons 1 plan de cisaillement



2.9 CONTRAINTES D’APPUI SUR UNE SURFACE PLANE

min

3

min

3 .

3125

100 10: 267

125 3

admappui

appuiappui

Calculer la valeur de l si

MPa

P PMPa

A l

donc l mm

CONTRAINTES D’APPUI SUR LES BORDS D’UN TROU

appuiappui

P P

A d t

CAS GÉNÉRAL

222 .

, ,4

4

appui normalappui R cisail

P P P P P P

A A d A d tdb



2.10 CALCUL DE LA CHARGE ADMISSIBLE

:

150

150

100

200000

adm

normal adm

appui adm

adm

Calculer Q si

MPa

MPa

MPa

E MPa

1. Calcul des efforts (DCL de ABC ) 0,38 0,2 0 1,9

1,9 0 0,9

C BD BD

X X X

M Q F F Q

F Q C Q C Q

2.Cisaillement des boulons

2

2

0,9100 14,13

2 9 4

1,9, 100 11,90

2 12 4

ADMADM ADM

ADMADM ADM

QBoulonC Q kN

QBoulons B D Q kN

3. Contrainte normale dans les barres BD

,

1,9150 10,10

20 12 8 2ADM

N ADM ADM

QQ kN

4. Contraintes d’appui

,

,

,

1,9150 11,37

12 121,9

150 15,152 8 120,9

150 24,02 8 9

ADMAPPUI ADM ADM

ADMAPPUI ADM ADM

ADMAPPUI ADM ADM

QAppui D Q kN

QAppui D Q kN

QAppuiC Q kN

: 10,10ADMdonc Q kN



2.11 DIMENSIONNEMENT D’UN TREILLIS

Dimensionner les barres en choisissant des cornières doubles et en utilisant les données suivantes : 20 ( )boulond mm double cisaillement

, , ,175 , 120 , 120adm tension adm compression adm boulonMPa MPa MPa

Nombre de boulons Un boulon résiste à :

2 22 / 4 120 2 20 / 4 75,3b admF d kN

: 125 125 75 1,67 2

: 100 2 : 225 3

: 100 2 : 375 5

: 400 6

BE requis

DE BD

AB AD

CD

Barre BE F kN n n

Barre DE F kN n Barre BD F kN n

Barre AB F kN n Barre AD F kN n

BarreCD F kN n

Dimensionnement des barres

,

,

2

2

2

: ( 2 )

: ( / )

: (125000 /175) (20 10) 914

2( 45 45 6) ( 1010 )

: 833 2( 4

requis adm tension

requis adm compression

requis

r

Sectionrequiseentension A F d t ou d t

Sectionrequiseencompression A F

Barre BE A mm

L A mm

Barre DE A mm L

2

2 2

2 2

2 2

2 2

5 45 6) ( 1010 )

: 1875 2( 65 65 8) ( 1950 )

: 771 2( 45 45 5) ( 850 )

: 2650 2( 75 75 10) 2800

: 3333 2( 75 75 13) ( 3560 )

r

r

r

r

A mm

Barre BD A mm L A mm

Barre AB A mm L A mm

Barre AD A mm L A mm

BarreCD A mm L A mm

A B

EDC

150kN

75kN

400

225

400

+ 125

-100

-225

+ 100

+ 375

-400

A B

EDC

150kN

75kN

1,2m 1,2m

0,9

m



2.12 ALLONGEMENT D’UN CABLE SOUS SON PROPRE POIDS

Calculer l’allongement et la contrainte maximale dans le câble soumis à son propre poids avec :

3 2 2 4 2

6 2

5000 / , 10 / , 100 10 ,

150000 150000 10 / , 500

kg m g m s A mm m

E MPa N m L m

Effort normal

4( ) ( ) 5000 10 10 ( )

( ) 5(500 ) 2500 0MAX

N x g A L x L x

N x x N N pour x

Contrainte maximale

4

250025

10MAX

WMPa

A

Allongement

26

10 40 0

( ) 5(500 )( ) ( ) 0,33 10 (500 )

15 10 10 2

41,7 500

x x

MAX

N x dx x dx xx x x

AE

mm pour L m

DÉPLACEMENT D’UN POINT

Calculer le déplacement du point B du système montré

3

2

3

3

23

3

3

3,5 10124

6 / 4

3,5 107, 4

50 3

3,5 10 2500,155

6200 10

4

3,5 10 300,072

50 3 3,1 10

0,155 0,072 0,227

barreAB

cylindreAC

AB

AC

AB AC

MPa

MPa

N Lmm

A E

mm

L mm

X

L-x

L

N(x)

W(x)



2.13 2.6 ÉLÉMENTS SOUS PRESSION ET RÉSERVOIRS

1. Cylindres à bouts ouverts Équilibre d’un demi cylindre à parois minces ( 10t r )soumis

à une pression p :

0 0

0 sin

: 2 sin 2

:

verticale verticale

verticale

Calculons F avec dA b r d et p p

il vient F p dA pbr d pbr

F pb r p ret

b t b t t

Allongement du cylindre déroulé soumis à et T

2

2

22

2

2

final

final

F L p rL T L r T

AE t E

Périmétre r L

l p rRayon r r T r

tE

2. Cylindre à bouts fermés soumis à p : force sur le bout fermé et

contrainte longitudinale dans les parois

2

2

2 2

long

longlong

parois

F p A p r

F p r p r

A r t t



2.14 2.7 SYSTÈMES HYPERSTATIQUES

TYPES DE SYSTÈMES

- Systèmes composés de barres avec plus de 3 inconnues dans le plan;

- Comportement au delà de la limite élastique ( compor-

tement élasto-plastique );

- Systèmes composés de plusieurs matériaux;

- Variation de température avec déformation empêchée.

MÉTHODE DE RÉSOLUTION

1.Tracer le DCL de chaque élément du système afin de mettre en évidence les inconnues à calculer et appliquer les équations d’équilibre;

2.Faire un schéma du système déformé et écrire les équations de compatibilité des déplacements ou des déformations ;

3.Écrire la loi de comportement en tenant compte des différentes phases de la courbe contrainte– déformation et de la convention de signe suivante :

F+ (tension ), F- (compression ), + ( allongement ), - ( rétrécissement )

déplacement dû à une variation de température selon le signe de T .

4.Résoudre les équations.



2.17 VARIATION DE TEMPÉRATURE UNIFORME

1. Déformation libre

2. Déformation empêchée (comportement )

3.Méthode de résolution Équilibre : murR F

Compatibilité : temp force

Loi de comportement :

2 ( )F L

T LA E

Résolution :

2

:

T L AEF

Let F A

0

0

x y z

x y z

T

L T L

h T h

b T b

X

Y

Z

L

h

b

L L

L2

T2

L

L1

T1

Position initiale Position intermédiaire Position finale

1

1 1

0

0

T

L T L

1

1 1

0

0

T

L T L

2 1

2

0

T T

L

L

F

F L / A E = F O R C E

T E M P

Rmur

TL=



2.18 VARIATION DE TEMPÉRATURE UNIFORME

EXEMPLE Si l’on fait varier la température dans l’élément 2 seulement, calculer la variation de température qui produit la rupture du système lorsque la contrainte atteint la valeur de 0 dans un élément

avec : 2 5 01 1 1 0150 , 200000 , 10 / , 300 ,A mm E MPa C MPa

2 5 02 2 2 02200 , 80000 , 2 10 / , 100 .A mm E MPa C MPa

Équilibre 1 2F F F Compatibilité géométrique des déplacements 2 1 0,1mm Loi de Hooke

2 12

2 2 1 1

0,1F h F h

T L mmA E A E

Résolution

1 2

2 1 1 2 2

1 Fh FhT

L A E A E

La valeur maximale de F qui crée la rupture dans l’élément 1 est :

max1 01 1 300 50 15F A kN . En remplaçant F par 15 kN dans l’équation précédente, on trouve : 210 1,5 0,47 0,1 206.9OT C

1m

0,5

m

1 1

2 2

0,1mm 0,1mm1

2F

F

F

F

T2

2F

2T 1F

Documents

GCI 210 Résistance Des Matériaux