GELE2511_Ch4

Chapitre 4Transformee de Fourier

Au chapitre precedent, on a vu qu’on pouvait representer une fonction periodique parune somme de sinusoıdes. La transformee de Fourier permet de representer des signauxqui ne sont pas periodiques.

La transformee de Fourier est tres utile dans certains domaines comme les telecom-munications et le traitement de signaux.

4.1 Derivation de la transformee de Fourier

On peut obtenir la transformee de Fourier a partir de la serie de Fourier. Soit la seriede Fourier, sous forme exponentielle :

f (t) =∞∑

n=−∞Cne

jnω0t (4.1)

ou

Cn =1T

∫ T /2

−T /2f (t)e−jnω0tdt (4.2)

On cherche une serie de Fourier pour un signal aperiodique. Si on fait tendre la periodeT vers l’infini (T →∞), alors on passe d’un signal periodique a un signal aperiodique. Onregarde alors ces effets sur la serie de Fourier.

Si T augmente, la separation entre les harmoniques devient de plus en plus petite.On passe donc d’un spectre qui est seulement definit a quelques points a un spectre qui

1

CHAPITRE 4. TRANSFORMEE DE FOURIER

est continu (infinite d’harmoniques). La difference entre deux harmoniques de la serie deFourier est :

∆ω = (n+ 1)ω0 −nω0 =ω0 (4.3)

La difference entre deux harmoniques est tout simplement la frequence fondamentale.Mais,

ω0 =2πT

(4.4)

Alors si T →∞, la separation entre les frequences est devient une petite separation dω. Onpasse de quelque chose de discret (seulement des frequences a certains points) a quelquechose de continu. Au fur et a mesure que la periode augmente,

nω0→ω (4.5)

Un exemple est montre a la figure 4.1. On prend un pulse carre, de duree 0.2s, et onaugmente progressivement la periode. La figure du haut represente le pulse, de duree 0.2s,avec une periode initiale de 1s. Le spectre de ce pulse est montre a la deuxieme figure. Latroisieme figure montre le spectre du meme pulse, mais cette fois avec une periode de2s. Les coefficients de la serie de Fourier sont bien plus rapproches. La derniere figuremontre le pulse avec une periode de 4s. On voit bien que plus la periode augment, plusles coefficients de la serie de Fourier se rapprochent.

Quel est l’impact de ces changements sur l’equation 4.2 ? Les coefficients de la seriede Fourier deviendront de plus en plus faibles : Cn → 0 lorsque T → ∞, ce qui fait dusens, puisque le signal est en train de devenir aperiodique. Cependant, le produit CnT nedevient pas nul :

CnT →∫ ∞−∞f (t)e−jωtdt (4.6)

Cette derniere equation represente la transformee de Fourier :

F(ω) = F f (t) =∫ ∞−∞f (t)e−jωtdt (4.7)

La transformee inverse est donnee par :

f (t) =1

2π

∫ ∞−∞F(ω)ejωtdω (4.8)

Gabriel Cormier 2 GELE2511


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.10

0.5

1

Temps (s)

Pulse

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

Frequence (Hz)

T = 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

Frequence (Hz)

T = 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

Frequence (Hz)

T = 3

Figure 4.1 – Exemple de periode qui tend vers l’infini



Exemple 1

Faire la transformee de Fourier du pulse suivant :

t

v(t)

−τ/2

Vm

τ/2

En appliquant directement l’equation 4.7, on obtient :

V (ω) =∫ τ/2

−τ/2Vme

−jωtdt

= Vme−jωt

−jω

∣∣∣∣τ/2−τ/2=Vm−jω

(−2j sin

ωτ2

)

On peut ecrire ceci sous une autre forme,

V (ω) = Vmτsinωτ/2ωτ/2

= Vmτ sinc(ωτ/2)

4.2 Convergence de la transformee de Fourier

Pour que la transformee de Fourier existe, il faut que la fonction f (t) converge. Lespulses et exponentiels qui sont tres utilises en genie electrique sont des integrales quiconvergent. Cependant, certains signaux interessants, comme une constante ou les si-nusoıdes, n’ont pas d’integrale qui converge. On fait un peu de gymnastique mathemati-que pour obtenir la transformee de Fourier de ces signaux.

On prend l’exemple d’une constante A. On peut approximer cette fonction par la fonc-tion suivante :

f (t) = Ae−ε|t| (4.9)

Si ε→ 0, f (t)→ A, comme montre a la figure 4.2.



−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

e−|t|

e−0.5|t|

e−0.2|t|

Temps (s)

Figure 4.2 – Approximation d’une constante par un exponentiel

La transformee de Fourier de f (t) est donc :

F(ω) =∫ 0

−∞Aeεte−jωtdt +

∫ ∞0Ae−εte−jωtdt (4.10)

En faisant l’integration, on obtient :

F(ω) =A

ε − jω+

Aε+ jω

=2εAε2 +ω2 (4.11)

Lorsqu’on fait tendre ε→ 0, la transformee de Fourier devient un pulse δ. La surfacesous F(ω) represente la force du pulse et est :∫ ∞

−∞

2εAε2 +ω2dω = 2πA (4.12)

La transformee de Fourier d’une constante A est donc :

F A = 2πAδ(ω) (4.13)

Transformee de Fourier d’un signum

D’autres fonction sont aussi interessantes a calculer. On commence en premier par lafonction signum. On utilise l’expression du signum avec des echelons pour faire le calcul :

sgn(t) = u(t)−u(−t) (4.14)



Pour calculer la transformee de Fourier de cette fonction, il faut utiliser une approxi-mation. On peut approximer la fonction sgn par l’expression suivante :

sgn(t) = limε→0

[e−εtu(t)− eεtu(−t)], ε > 0 (4.15)

A partir de l’equation 4.7, on calcule

F(ω) =∫ ∞

0e−εte−jωtdt −

∫ 0

−∞eεte−jωtdt

=e−(ε+jω)t

−(ε+ jω)

∣∣∣∣∣∣∞

0

− e(ε−jω)t

ε − jω

∣∣∣∣∣∣0

−∞

=1

ε+ jω− 1ε − jω

=−2jωω2 + ε2

On prend maintenant la limite ε→ 0,

limε→0

−2jωω2 + ε2 =

2jω

(4.16)

Transformee de Fourier d’un echelon

On peut faire la transformee de Fourier d’un echelon si on s’apercoit qu’un echelonpeut etre decrit par :

u(t) = 0.5 + 0.5sgn(t) (4.17)

Alors,

F u(t) = F 0.5+ F 0.5sgn(t) = πδ(ω) +1jω

(4.18)

Quelques transformees de Fourier importantes sont donnees dans le tableau 4.1.

4.3 Transformees operationnelles

La transformee de Fourier possede ce qu’on appelle des transformees operationnelles :ce sont des proprietes qui permettent de simplifier le calcul des transformees.



Tableau 4.1 – Transformees de Fourier communes

Fonction f (t) F(ω)impulsion δ(t) 1

constante A 2πAδ(t)

signum sgn(t)2jω

echelon u(t) πδ(ω) +1jω

exponentiel e−atu(t)1

a+ jω, a > 0

exponentiel complexe e−jω0t 2πδ(ω −ω0)

cosinus cos(ω0t)u(t) π[δ(ω+ω0) + δ(ω −ω0)]

sinus sin(ω0t)u(t) jπ[δ(ω+ω0) + δ(ω −ω0)]

4.3.1 Multiplication par une constante

De la definition de la transformee de Fourier, si

F f (t) = F(ω) (4.19)

alorsF Kf (t) = KF(ω) (4.20)

La multiplication de f (t) par une constante correspond a la multiplication de F(ω) par lameme constante.

4.3.2 Addition (Soustraction)

L’addition (soustraction) dans le domaine du temps correspond a une addition (sous-traction) dans le domaine de frequence. Donc, si

F f1(t) = F1(ω)F f2(t) = F2(ω)F f3(t) = F3(ω)

alorsF f1(t) + f2(t)− f3(t) = F1(ω) +F2(ω)−F3(ω) (4.21)



4.3.3 Derive

La transformee de Fourier de la derivee de f (t) est :

F

df (t)dt

= jωF(ω) (4.22)

De facon generale,

F

dnf (t)dtn

= (jω)nF(ω) (4.23)

Ces deux equations sont valides si f (t) = 0 a ±∞.

4.3.4 Integration

L’integration dans le domaine du temps correspond a diviser par jω dans le domainede Laplace.

F

∫ t

−∞f (x)dx

=F(ω)jω

(4.24)

Cette relation est seulement valide si∫ ∞−∞f (x)dx = 0 (4.25)

4.3.5 Echelonnage

Le temps et la frequence sont des domaines reciproques : si le temps est etire, lafrequence est compressee (et vice-versa).

F f (at) =1aF(ωa

), a > 0 (4.26)

4.3.6 Translation dans le domaine du temps

La translation dans le domaine du temps represente un dephasage : l’amplitude dusignal ne change pas, mais sa phase change.

F f (t − a) = e−jωaF(ω) (4.27)



4.3.7 Translation dans le domaine de frequence

La translation dans le domaine de frequence correspond a une multiplication par unexponentiel dans le domaine du temps.

Fe−jω0tf (t)

= F(ω −ω0) (4.28)

4.3.8 Modulation

La modulation en amplitude est le processus de faire varier l’amplitude d’une si-nusoıde. Si le signal modulant est note f (t), le signal module devient f (t)cos(ω0t). Lespectre de ce signal est la moitie de l’amplitude de f (t) centre a ±ω0.

F f (t)cos(ω0t) = 0.5F(ω −ω0) + 0.5F(ω+ω0) (4.29)

Cette derniere propriete est tres importante en telecommunications.

4.3.9 Convolution

La convolution dans le domaine de temps represente une multiplication dans le do-maine de frequence (et vice-versa).

F

∫ ∞−∞x(λ)h(t −λ)dλ

= X(ω)H(ω) (4.30)

4.3.10 Dualite

Si F(ω) est la transformee de Fourier de f (t), alors la transformee de Fourier de F(t)est 2πf (−ω) :

F(t)F↔ 2πf (−ω) si f (t)

F↔ F(ω)

Exemple 2

Lors de la creation de signaux de communication, il est tres commun de multiplierdeux sinusoıdes, tels que

g1(t) = 2cos(200t) g2(t) = 5cos(3000t)



pour obtenir un signal module

g3(t) = g1(t)g2(t) = 10cos(200t)cos(3000t)

Calculer le spectre du signal module g3(t).

On peut utiliser la propriete de modulation (equation 4.29), pour obtenir la trans-formee de Fourier. Dans l’equation 4.29, on choisit f (t) = 10cos(200t) qui est modulepar cos(3000t). Il faut maintenant trouver la transformee de Fourier de f (t). A l’aide dutableau 4.1, on obtient :

F 10cos(200t) = 10π(δ(ω+ 200) + δ(ω − 200))

Il faut ensuite appliquer la propriete de modulation. On obtient :

F(ω) = 10(0.5)π(δ(ω+ 200− 3000) + δ(ω+ 200 + 3000)+ δ(ω − 200 + 3000) + δ(ω − 200− 3000))

= 5π (δ(ω − 3200) + δ(ω − 2800) + δ(ω+ 2800) + δ(ω+ 3200))

Le spectre ainsi obtenu est donne a la figure suivante.

−3,000 −2,000 −1,000 0 1,000 2,000 3,0000

5

10

15

Frequence (rad/s)

4.4 Theoreme de Parseval

Le theoreme de Parseval permet de faire le lien entre l’energie d’un signal en fonctiondu temps et l’energie en fonction de la frequence. Puisque la frequence et le temps sont



deux domaines qui permettent de decrire completement un signal, il faut que l’energietotale soit la meme dans les deux domaines. Le theoreme de Parseval est :∫ ∞

−∞f 2(t)dt =

12π

∫ ∞−∞|F(ω)|2dω (4.31)

Exemple 3

Le courant dans une resistance de 40Ω est i(t) = 20e−2tu(t)A. Quel est le pourcentagede l’energie totale dissipee dans la resistance provient de la bande 0 < ω < 2

√3 rad/s ?

L’energie totale dissipee est :

W = R∫ ∞

0i2(t) dt = 40

∫ ∞0

400e−4t dt = 4000 J

On peut le calculer par la serie de Fourier.

F(ω) =20

2 + jω

L’amplitude de la serie de Fourier est :

|F(ω)| = 20√

4 +ω2

et l’energie totale est :

W =40π

∫ ∞0

4004 +ω2 dω =

16000π

(12

tan−1 ω2

) ∣∣∣∣∣∣∞

0

= 4000 J

L’energie dans la bande 0 < ω < 2√

3 rad/s est :

Wx =40π

∫ 2√

3

0

4004 +ω2 dω =

16000π

(12

tan−1 ω2

) ∣∣∣∣∣∣2√

3

0

= 2666.67 J

Le pourcentage de l’energie totale dans cette bande est :

2666.674000

= 66.67%



4.5 Densite spectrale

La densite spectrale d’energie est une mesure de la distribution d’energie d’un signalen fonction de la frequence. On la calcule selon :

Ef =1π|F(ω)|2 =

1πF(ω)F(ω)∗ (4.32)

La densite spectrale de puissance est une mesure de la distribution de puissance d’unsignal en fonction de la frequence. Elle s’applique aux signaux periodiques. On la calculeselon :

Pf (ω) = limT→∞

1T|FT (ω)|2 (4.33)

ou FT est la transformee de Fourier d’une periode du signal.

La puissance d’un signal peut etre calculee a partir de la transformee de Fourier :

P =1

4π2 |F(0)|2 +1

2π2

∞∑n=1

|F(nω0)|2 (4.34)

4.6 Transformee de Fourier d’un signal periodique

Au chapitre precedent, on a vu qu’une fonction periodique pouvait etre representeepar sa serie de Fourier,

f (t) =∞∑

n=−∞Cne

jnω0t (4.35)

ou

Cn =1T

∫ T

0f (t)e−jnω0tdt (4.36)

A partir de ceci, on peut calculer la transformee de Fourier d’un signal periodique. Enappliquant la transformee de Fourier a l’equation 4.35, on obtient :

F(ω) =∫ ∞−∞

∞∑n=−∞

Cnejnω0t

e−jωtdt =∞∑

n=−∞Cn

∫ ∞−∞

(e−jnω0t

)e−jωtdt (4.37)

A l’aide de la propriete de linearite et la transformee d’un exponentiel complexe (ta-bleau 4.1), on obtient :

F

∞∑n=−∞

Cnejnω0t

= 2π∞∑

n=−∞Cnδ(ω −nω0) (4.38)



ce qui veut dire que le spectre d’un signal periodique est une serie d’impulsions qui setrouvent a des multiples de la frequence fondamentale du signal. L’amplitude de chaqueimpulsion est le coefficient de la serie de Fourier multiplie par 2π.

On peut rearranger l’expression de la transformee de Fourier d’un signal periodiquesous une autre forme :

F(ω) =∞∑

n=−∞ω0G(nω0)δ(ω −nω0)

ou G(ω) est la transformee de Fourier d’une periode du signal.

Exemple 4

Faire la transformee de Fourier du signal periodique suivant.

t

v(t)

−T2

A

T2−T0 T0

Le signal g(t) est une periode de v(t) :

t

g(t)

−T2

A

T2

La transformee de Fourier de g(t) est :

G(ω) = AT sinc(Tω/2)

La transformee de Fourier de v(t) est :

F(ω) =∞∑

n=−∞ATω0 sinc(nω0T /2)δ(ω −nω0)



Le spectre (si A = 1, T = 0.5s, T0 = 8s) :

−14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14

0

0.2

0.4

Frequence (rad/s)


Documents

GELE2511_Ch4