Histoire des mathématiques et pédagogie

Quelles limites ?

Histoire des mathématiques et pédagogie

Quel intérêt ?

Ahmès:la préhistoire des mathématiques

- Égypte (géométrie), Chaldée (astronomie), Phéniciens ( arithmétique), Babylone (algèbre)- collection de problèmes concrets résolus : le papyrus Rhind- arithmétique : partage de pains, règles de trois, équations du premier degré, opérations sur les fractions…- géométrie : volumes de récipients cylindriques et parallélépipédiques, aires de triangles et de rectangles; aire d’un disque : 8/9 D2 - inspiré d’un document datant de 2000 avant JC.

Vers – 1 640

Thalès:

-Thalès de Millet-Géomètre et astronome-Premiers théorèmes et premières démonstrations

-624 ; -548

Pythagore: les mathématiques comme une science…

-Pythagore de Samos-Moraliste, législateur, thaumaturge, philosophe et mathématicien-Contemporain de Zarathoustra(-628;-551), du Buddha (-563;-483) et de Confucius(-551;-479)-« tout est nombre »

-569 ; -475

-Double coupure pythagoricienne :-Coupure religieuse: le nombre est divin, il renferme la beauté et l’ordre du Monde-Coupure rationnelle : il ne suffit pas d’observer les propriétés des nombres et des figures, il faut les démontrer

-Crée une « secte » : les pythagoriciens qui découvrent à leur tour

-Les nombres premiers, les irrationnels, la formule du volume d’une pyramide, tétraèdre, cube, dodécaèdre

-Vision mystique de la discipline-Des problèmes en suspens : duplication du cube, trisection de l’angle et quadrature du cercle.

-Une grande crise : la découverte des irrationnels

22

2

Euclide : les mathématiques et la philosophie

-Les éléments : premier livre de mathématiques de l’histoire-Présentation des théorèmes obtenus depuis 3 siècles en géométrie et en arithmétique-Nette prédominance de la géométrie-Grande influence jusqu’au XXème siècle.

(-320 ? ; -260 ?

Archimède : les mathématiques

et la réalité-Archimède de Syracuse-Prémices du calcul intégral et de la physique-Premières applications militaires des mathématiques

-287 ; -212

L’age d’or des mathématiques grecques :

-Appollonios de Perge (-262;-190) écrit un traité sur les coniques-Aristarque de Samos (-310;-230) conçoit le système héliocentrique-Eratosthène (-276;-197)astronome, géographe, directeur de la bibliothèque d’Alexandrie effectue la première mesure rigoureuse de la terre

IIIème siècle avant notre ère

Diophante : les mathématiques comme écriture

-Diophante d’Alexandrie-Rompt avec la prépondérance de la géométrie : avant Diophante, la somme de deux longueurs est une longueur, leur produit est une aire, ce qui interdit la notion de polynôme-Les Arithmétiques : 13 livres renouent avec la tradition des calculateurs professionnels-Introduction des exposants-Les mathématiciens suivants ne feront plus que commenter ce qui existe déjà…-Début d’une longue éclipse en occident…

IIIème siècle de notre ère

Brahmagupta: le zéro et les nombres négatifs

- Né à Multan (actuel Pakistan)- Première définition du zéro : différence d’un nombre par lui-même- Calculs de pertes et de profits : bien et dettes représentent nombres positifs et négatifs-- technique actuelle de la multiplication-- longitude des planètes, rotation, prévision des éclipses solaires et lunaires, estime la durée de l’année à 365 jours, 6 heures, 5 minutes et 19 secondes.

598 ; 660

Al Khwarizmi : les mathématiques comme machine à penser

-Traducteur des manuscrits grecs et indiens-Méthode de résolution des équations :

-Al jabr : le reboutement 4x – 3 = 5 devient 4 x = 5 + 3 donne le mot algèbre- Al muqabala : la réduction 4x = 9 + 3 x devient x = 9-Al hatt : la division : 2x = 4 devient x=2

-Équations du second degré-Promotion du système décimal- Techniques opératoires des multiplications, divisions, règles de trois (quatrième proportionnelle), extraction de racines carrées-Tables de sinus et de tangentes-Écrit un traité de géographie qui donne les longitudes et latitudes pour 2402 localités, produit des cartes les plus précises de son époque.

780;850

-C’est d’une déformation de son nom que vient le mot algorithme (succession de manipulation sur les nombres qui s’exécutent toujours de la même façon)

Les mathématiques dans le monde arabe du IXème au

XVème siècle-Abu Kamil : systèmes de plusieurs équations à plusieurs incnnues-Al Karaji : considère les quantités irrationnelles comme des nombres-Al Farisi : base de la théorie des nombres -Thabit ibn Qurra, Al Nayziri, Abu Wafa : calculs d’aires, paraboles, ellipses, théorie des fractions, trigonométrie-Al Karaji, Al Samaw’al : opérations sur des inconnues, exposants algébriques, calculs sur les exposants…-Al Kashi fait la synthèse des mathématiques arabes élaborées durant près de 7 siècles…

Fibonacci : la renaissance éphémère des mathématiques

-Léonardo de Pise-Relaie le savoir accumulé par les arabes-Se positionne pour la numération arabo-indienne en Europe, y compris le zéro-Travaille sur les propriétés des nombres et conduit ses propres recherches.

1170 - 1250

François Viète : les mathématiques comme symbolique

-Avocat au Parlement de Paris, puis Conseiller au Parlement de Rennes, il ne fait des mathématiques que pour ses loisirs- Simplification des calculs de sinus et cosinus- Passe maître dans le décryptage des messages secrets que s’envoient les Espagnols- il officialise les symboles des opérations +,-, /, in pour X, bis pour X2.-- bases du calcul littéral pour résoudre tout problème. Les inconnues sont désignées par les voyelles, les grandeurs connues par les consonnes-Calcule Pi à 10 décimales exactes

1540 ; 1603

Simon Stevin : les mathématiques à virgule

- Ingénieur, physicien, mathématicien et comptable - Invente le char à voile- - met au point le calcul des forces dans l’équilibre -Le nombre 89,532 se note :         

1548 ; 1620

Rodolphe Snellius ou Rodolphe Snell : les mathématiques à virgule

- géomètre,- reconstitue la mesure de la Terre d’Eratosthène- découvre les lois de la réfraction de la lumière (faussement attribué à Descartes)

- transforme la méthode de Stevin en introduisant la virgule pour séparer partie entière et partie décimale

1591 ; 1626

René Descartes : la méthode-« Le doute comme principe-Le découpage en sous tâches-Du simple au complexe-S’assurer de ne rien omettre »-Mise en place des notations modernes : les premières lettres de l’alphabet pour les constantes, les dernières pour les inconnues, les exposants-Le repérage du plan : les coordonnées (la mouche)-Traitement des problèmes géométrique par la voie numérique : pour étudier les propriétés d’une courbe, il passe par l’équation déterminée par une relation liant ses coordonnées : la géométrie analytique

1596 ; 1650

Isaac Newton

- Bases du calcul intégral et différentiel- Étude des fonctions cubiques, des fonctions dérivables, de leurs dérivées et de leurs représentations.-Publication en 1670 de « Philosophiae naturalis principia mathematica ». Principe d’inertie, la proportionnalité des forces et des accélérations, l’égalité de l’action et de la réaction, les lois du choc, étudie le mouvement des fluides, donne la théorie des marées, etc. -Théorie de l’attraction universelle : les corps s’attirent avec une force inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. -Travaux sur la nature de la lumière et sur le télescope

1642 ; 1727

Gottfried Wilheim von Leibniz : les mathématiques comme cosmos

Philosophe, théologien, mathématicien, physicien, historien…Travaille de longues années sur la conception d’une machine à calculer les multiplications et les divisionsNotations nouvelles :généralisation du signe =, : pour la division, trouve le mot « fonction », la notation dx/dy, le signe

Calculs intégral et différentiel, calculs infintésimaux

1646 ; 1716

Charles Frédéric Gauss les mathématiques comme

voyage autour du monde-Étude de langues anciennes- construction à la règle et au compas d’un polygone régulier à 17 côtés-S’attache à la géométrie non euclidienne (surfaces courbes)-Connu pour l’étude des probabilités (courbe de Gauss)-En astronomie, calcule la trajectoire de Ceres, juste après que l'astronome italien Giuseppe Piazzi l’a découverte--s’est illustré également en tant que physicien (travaux sur le magnétisme)

1777 ; 1855

L’univers est écrit dans la langue mathématique…

Algèbre, géométries, topologies algébriques et différentielles trouvent leurs applications en physique, biologie, économies : fractales, chaos, groupes quantiques, nœuds et tresses, ondelettes…7 problèmes ouverts restent encore à résoudre…

Laurent SchwartzJean-Pierre Serre

René ThomPierre Louis Lions

Alain ConnesLaurent Lafforgues

Jean-Christophe Yoccoz

Des stars inconnues

médaille Fields 1950 : Laurent Schwartz 1954 : Jean-Pierre Serre  1958 : René Thom 1982 : Alain Connes 1994 : Pierre-Louis Lions 1994 : Jean-Christophe Yoccoz 2002 : Laurent Lafforgues

Alain Connes, prix Crafoord en 2001Jean-Pierre Serre, premier lauréat du prix Abel (2003)