Introduction à la modélisation d’équilibre de trafic

Laura WynterINRIA Rocquencourt et l’université de Versailles

D’abordD’abord, , définissonsdéfinissons le le graphegraphe

Nœuds Liens : • Flôt sur un lien a, fa

• Temps de parcours sur le lien, ta (fa)

Demandes (commodités) :Origine: noeud pDéstination: noeud qNombre de voyageurs, dpq

Modélisation statique de la congestioModélisation statique de la congestionncascas simple: simple: uneune seuleseule classeclasse d’usagersd’usagers homogèneshomogènes

• Le délai (temps de parcours) sur un lien dépend du flôt total sur le lien.

• Les fonctions sont croissantes par rapport au flôt.

• Un délai classique (BPR); ta(fa)=

0 1am

aa

a

ft c +

0at

( )a at f

af0

Fluide

File d’attente

Embouteillage

Ca

Modélisation statique de la congestioModélisation statique de la congestionncascas plusplus complexecomplexe:: multiples classes multiples classes d’usagersd’usagers hétérogèneshétérogènes

• Le délai sur un lien dépend de plusieurs différents types des flôts.

• La délai pour une classe, tqk, est croissante par rapport au flôt de la classe, k,

• mais pas forcément globalement monotone

• Fonctions plus difficiles à éstimeret à calibrer.

02

46

810 0

0.5

1

1.52

02000040000

02

46

810

t1(fa1,fa2)

fa1

fa2

Modélisation statique de la congestioModélisation statique de la congestionncascas plusplus complexecomplexe:: multiples classes multiples classes d’usagersd’usagers hétérogèneshétérogènes

• Fonctions plus difficiles à éstimer et à calibrer: conditions nécessaires de cohérence [ToW96]

t1(fa1,fa2)

fa1

fa2

02

46

810 0

0.5

1

1.52

02000040000

02

46

810

0)](det[,),(...)()(

,,1)()(

,,0)0(

21

≠∇Γ∈∀≤≤≤

∀→⇒→

∀=

ftfaftftft

lkftftCf

katt

aaKaaaa

aal

aakaa

akak

Modélisation des coûts des usagersModélisation des coûts des usagersincorporation des prix incorporation des prix :: multiples classes multiples classes d’usagersd’usagers

• Prendre en compte des coûts multi-critères (délai et frais monétaires /péages).

• Donne aussi l’arbitrage prix-tempsdes usagers: valeurs du temps

• Constante, w, pour tous les usagers amène à des résultats biaisés.

• La constante d’arbitrage est distribuée dans la population.

• Distributions souvent log-normales. w

Distribution log-normale

des valeurs du temps

Modélisation des coûts des usagersModélisation des coûts des usagersCoûtsCoûts sursur les liens les liens :: multiples classes multiples classes d’usagersd’usagers

• Coûts totaux seront définis pour chaque classe d’usager,

• éventuellement aussi par mode (VL, PL, bus,…)

• Le coût généralisé pour un usager du type et/ou classe, k, sera :

akkaakaak pwftfc += )()(

Applications pratiquesApplications pratiquesdes modèles des modèles multimulti--classesclasses

•Multiples modes (VL, PL, bus; taxi,…) qui partagent la voirie.

•Différentiation des usagers par leur volonté de payer –nécessaire pour étudier des politiques de tarification / péages.

•Interactions entre voies aux carrefours.

Critères d’affectationCritères d’affectationWardropWardrop (1952)(1952)

Optimum du système : Le coût total est minimum. On peut donc contrôler les routes choisiesOptimum du système :Optimum du système : Le coût total est minimum. On peut donc contrôler les routes choisies

Equilibre des usagers : Aucun usager ne peut changer de route et ainsi minimiser son coût. Un ensemble de choix individuels, stable

Equilibre des usagers :Equilibre des usagers : Aucun usager ne peut changer de route et ainsi minimiser son coût. Un ensemble de choix individuels, stable

Equilibre stochastique des usagers : Aucun usager ne peut changer de route et ainsi minimiser son coût perçu. Généralisation du précédent

Equilibre stochastiqueEquilibre stochastique desdes usagers :usagers : Aucun usager ne peut changer de route et ainsi minimiser son coût perçu. Généralisation du précédent

Hypothèse Hypothèse de de WardropWardropEquilibreEquilibre des des usagersusagers

Aucun usager ne peut modifier son itinéraire et ainsi diminuer son coût.

Pour une paire O-D donnée, le coût de chaque route utilisée est égal, et minimalPour une paire O-D donnée, le coût de chaque route utilisée est égal, et minimal

c'est l'ensemble de routes de à pq p qR

flot qu'utilise la route pqr pqh r∈R

ˆ cout d'emprunter la route pqr pqc r∈R

ˆ cout du parcours minimal de à pq p qπ

( )utilisées non utilis

1

s

1

ée

pqpq pql pqnpq lc c c c+= = ≤ ≤ ≤L1442443 14442

L4443

0

0pqr pqr pq

pqr pqr pq

h c

h c

π

π

> ⇒ = = ⇒ ≥

Formulation MathématiqueFormulation Mathématique(Beckmann et (Beckmann et alal.,1956).,1956)

Problème équivalent d’optimisation Problème équivalent d’optimisation (Beckmann et (Beckmann et alal.,1956).,1956)

( ). .

min s t

T f

f ∈Γ( ) ( )

0. .min

0

a

pq

pq

f

as t a

pqra pqr apq r

pqr pqr

pqr

T f c s ds

h f

h d

h

δ∈

∈

∈

=

= =

≥

∑∫∑ ∑∑

A

R

R

Problème d’inéquation Problème d’inéquation variationnellevariationnelle((DafermosDafermos,1980; Smith,1979),1980; Smith,1979)

Γ∈

≤−

f

fffc

ˆ

0ˆ),(

Γ= ( ) ( )0. .

min

0

a

pq

pq

f

as t a

pqra pqr apq r

pqr pqr

pqr

T f c s ds

h f

h d

h

δ∈

∈

∈

=

= =

≥

∑∫∑ ∑∑

A

R

R

Γκ= pour chaque classe, k :

Propriétés des EquilibresPropriétés des Equilibres

Γ=

•Existence d’une solution : Comme pour des équilibres (mixtes, non pas pures) de Nash, l’existence d’une solution est assurés sous

•La compacité et convexité de l’ensemble de contraintes (qui est même polyédrale) et

•La semi-continuité inférieure des fonctions de coût. (Verifiée pour la majorité des applications).

•Unicité de la solution I : Pour le cas à une seule classe (pb. d’optimisation), l’unicité est assurée sous la convexité des coûts, hypothèse généralement satisfaite en pratique.

•Unicité de la solution II : Pour le cas de multiples classes d’usagers (pb. d’IV), l’unicité est assurée sous la forte monotonie de l’opérateur global des coûts ; c’est hypothèse est rarement vérifiée en pratique.

•Parfois une forme de monotonie moins forte peut être satisfaite qui garantie l’unicité de la solution et la convergence des algorithmes [CoC88,Wyn02,MaW03].

ExtensionsExtensions

Γ=

•Equilibre sous contraintes couplantes (ex. contraintes de capacité des liens) : [Patriksson et collaborateurs]

•Ré-interpreter les conditions d’équilibre.

•Le multiplicateur des contraintes couplantes représente un coût suppléméntaire liée à l’utilisation de la resource limitée.

Extensions importantesExtensions importantes

Γ=

•Optimisation des paramètres de control – optimisation biniveaux ou hierarchique, ou encore, MPEC : [Wynter ; Marcotte]

•Un problème d’équilibre, paramètrique, qui donne les réactions des usagers du réseau en fonction des controls du gestionnaire,

•L’optimisation de ces controls pour le gestionnaire ; chaque évaluation donc de sa fonction objectif demande la résolution duproblème d’équilibre.

•Modèles ‘combinés’ font simultanément : [D. Boyce et collaborateurs]

•Estimation des demandes totales de transport (modèle entropique),

•Répartition des demandes selon des modes de transport,

•Obtention des choix et des flôts sur les itinéraires.

ExtensionsExtensions

Γ=

•Equilibre statique (steady state) - ce qui n’est pas pris en compte :

•les effets temporels tels que la répartition des flôts dans le temps,

•l’effet des files d’attentes.

•Comment prendre en compte ces deux éléments du trafic ?

•Modèles étendus directement du modèle statique (IV, poss. en dimension infinie) [travaux de Friesz et al.; équipe du CRT, TUDelft…]

•Modèles basés de la théorie fluide du trafic [Papageorgiou] ou[Lebacque; Daganzo]

•Simulation [Mahmassani, Transims, Los Alamos]

ExtensionsExtensions--dynamiquedynamique

Γ=

•Equilibre dynamique : étant donné

•Une estimation de la demande OD qui dépend du temps, et

•Une description du mécanisme de la dynamique qui fait déplacerles véhicules le long des liens et à travers des carrefours,

•Une définition de l’équilibre dynamique.

•Définir des coûts temporels, taux de départs.

•Donne des flôts par tranche de temps sur chaque lien.

•Les flôts satisfont les contraintes temporelles de demande.

ExtensionsExtensions--dynamiquedynamique

Coûts et délaisDemandes temporelles

Déterminer routes et flux temporels

Chargement du réseau

Stop Convergence? nonoui

ExtensionsExtensions--dynamiquedynamique•Equilibre dynamique :

•A partir des coûts temporels, Cr(s), taux de départs, er(s) pour route r

( ) ( )( )

sPrFsCFsC

se ododr

odrr ∀∈∀

≥⇒==⇒>

,00

ExtensionsExtensions--dynamiquedynamique• Equilibre dynamique (exemple) : [Heydecker, 02]

Départ au moment s implique une arrivée à τ(s)

Coûts “dynamiques”:

• Temps de parcours: τ(s) – s• Composants liées à l’arrivée: f [τ(s)] • Composants liées qu départ: h (s)

Exemple d’un coût temporel au moment s sur route r :

Cr (s) = h (s) + [τ(s) – s] + f [τ(s)]

ExtensionsExtensions--dynamiquedynamiqueEtat du domaine, selon Michael Florian Etat du domaine, selon Michael Florian [12/2000][12/2000]

• La plupart des modèles analytiques de l’ATD ne représentent pas bien la propagation des délais, c’est-à-dire les files d’attentes.

• En général, les réeseaux qui peuvent être traités sont petits, et l’énumeratoion des chemins est nécessaire.

• Le modèle dit de ‘cell transmission’ (v. Lebacque ou Daganzo) donne une solution approché au modèle de LWR, mais ne traite pas bien les différentes voies dansune route, le chargement n’est donc pas au point.

• Toutes les approches qui ,odélisent les files d’attentes via les EDP nécessitentune forme de simulation avec une discretisation en des petits pas de temps.

• Il n’est toujours pas clair si le fait de vérifier la condition de FIFO est souhaitabledans l’étape chargement, surtout pour la raison des files de trafic qui mergent.

• Des approches macroscopiques sont utiles surtout pour des problèmes de petite taille tels que les accès aux autoroutes.

• L’approche de simulation (avec chaînes d’activité) basée sur les automates cellulaires (Transims) n’a toujours pas été calibrée pour pouvoir l’évaluer.